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Capítulo 1. Estadística Descriptiva 1.3: Medidas de Localización
1.4: Medidas de Dispersión
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Parámetros y estadísticos• Parámetro: Es una cantidad numérica calculada
sobre una población – La altura media de los individuos de un país– La idea es resumir toda la información que
hay en la población en unos pocos números (parámetros).
• Estadístico: Ídem (cambiar población por muestra)– La altura media de los que estamos en este
sala.• Somos una muestra (¿representativa?) de
la población.– Si un estadístico se usa para aproximar un
parámetro también se le suele llamar estimador.
Normalmente nos interesa conocer un parámetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la población, calculamos un estimador sobre una muestra y “confiamos” en que sean próximos. Más adelante veremos como elegir muestras para que el error sea “confiablemente” pequeño.
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La media
El promedio (media) de n números
es 1 2, ,..., nx x x
1 2 ... nx x xx
n
1
n
ii
x
n
Media poblacional:
x
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Distintos Estadísticos Descriptivos
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Un brevísimo resumen sobre estadísticos• Posición
– Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.
• Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,...
• Centralización– Indican valores con respecto a los que los
datos parecen agruparse.• Media, mediana y moda
• Dispersión– Indican la mayor o menor concentración
de los datos con respecto a las medidas de centralización.
• Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza
• Forma– Asimetría– Apuntamiento o curtosis
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Estadísticos de posición• Se define el cuantil de orden a como un valor de
la variable por debajo del cual se encuentra una frecuencia acumulada a.
• Casos particulares son los percentiles, cuartiles, deciles, quintiles,...
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Estadísticos de posición• Percentil de orden k = cuantil de orden k/100
– La mediana es el percentil 50– El percentil de orden 15 deja por debajo al 15% de las
observaciones. Por encima queda el 85%
• Cuartiles: Dividen a la muestra en 4 grupos con frecuencias similares.– Primer cuartil = Percentil 25 = Cuantil 0,25– Segundo cuartil = Percentil 50 = Cuantil 0,5 = mediana– Tercer cuartil = Percentil 75 = cuantil 0,75
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• Ejemplos– El 5% de los recién nacidos tiene un peso
demasiado bajo. ¿Qué peso se considera “demasiado bajo”?
• Percentil 5 o cuantil 0,05 – ¿Qué peso es superado sólo por el 25% de los
individuos?• Percentil 75
– El colesterol se distribuye simétricamente en la población. Se considera patológico los valores extremos. El 90% de los individuos son normales ¿Entre qué valores se encuentran los individuos normales?
• Entre el percentil 5 y el 95– ¿Entre qué valores se encuentran la mitad de los
individuos “más normales” de una población?• Entre el cuartil 1º y 3º
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• ¿Qué peso no llega a alcanzar el 25% de los individuos?– Primer cuartil = percentil 25 = 60 Kg.
• ¿Qué peso es superado por el 25% de los individuos?– Tercer cuartil= percentil 75= 80 kg.
• ¿Entre qué valores se encuentra el 50% de los individuos con un peso “más normal”?– Entre el primer y tercer cuartil = entre 60 y
80 kg.– Obsérvar que indica cómo de dispersos
están los individuos que ocupan la “parte central” de la muestra. Ver más adelante rango intercuartílico.
– Los diagramas de caja (‘boxplot’) sintetizan esta información (y algo más).
Ejemplo
Estadísticos
PESO60,00
70,00
80,00
25
50
75
Percentiles
25% 25%25%25%
50%
100
90
80
70
60
50
40
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EjemploNúmero de años de escolarización
5 ,3 ,3
5 ,3 ,7
6 ,4 1,1
12 ,8 1,9
25 1,7 3,5
68 4,5 8,0
56 3,7 11,7
73 4,8 16,6
85 5,6 22,2
461 30,6 52,8
130 8,6 61,4
175 11,6 73,0
73 4,8 77,9
194 12,9 90,7
43 2,9 93,6
45 3,0 96,6
22 1,5 98,0
30 2,0 100,0
1508 100,0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Total
Frecuencia PorcentajePorcentajeacumulado
Estadísticos
Número de años de escolarización1508
0
12,90
12,00
12
9,00
11,00
12,00
12,00
12,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,00
16,00
Válidos
Perdidos
N
Media
Mediana
Moda
10
20
25
30
40
50
60
70
75
80
90
Percentiles
≥20%?
≥ 90%?
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Centralización Añaden unos cuantos casos particulares a las medidas de
posición. En este caso son medidas que buscan posiciones (valores) con respecto a los cuales los datos muestran tendencia a agruparse.
• Media (‘mean’) Es la media aritmética (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamaño muestral.– Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4=3,5– Conveniente cuando los datos se concentran
simétricamente con respecto a ese valor. Muy sensible a valores extremos.
– Centro de gravedad de los datos
• Mediana (‘median’) Es un valor que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos (percentil 50). Si el número de datos es par, se elige la media de los dos datos centrales.– Mediana de 1,2,4,5,6,6,8 es 5– Mediana de 1,2,4,5,6,6,8,9 es (5+6)/2=5,5– Es conveniente cuando los datos son asimétricos. No es
sensible a valores extremos.• Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. ¡La media es 117,7!
• Moda (‘mode’) Es el/los valor/es donde la distribución de frecuencia alcanza un máximo.
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Algunas fórmulas• Datos sin agrupar: x1, x2, ..., xn
– Media
• Datos organizados en tabla– si está en intervalos usar como xi las
marcas de clase. Si no ignorar la columna de intervalos.
– Media
– Cuantil de orden α » i es el menor intervalo que
tiene frecuencia acumulada superior a α ·n
» α=0,5 es mediana
n
xx i i
Variable fr. fr. ac.
L0 – L1 x1 n1 N1
L1 – L2 x2 n2 N2
...
Lk-1 – Lk xk nk Nk
n
n
nxx i ii
)( 11
1
iii
ii LL
n
NnLC
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Altura mediana
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Ejemplo con variables continuasPeso M.
Clasefrec Fr.
acum.
40 – 50 45 5 5
50 – 60 55 10 15
60 – 70 65 21 36
70 - 80 75 11 47
80 - 90 85 5 52
90 - 100 95 3 55
100 – 130 115 3 58
En el histograma se identifica “unidad de área” con “individuo”.
Para calcular la media es necesario elegir un punto representante del intervalo: La marca de clase.
La media se desplaza hacia los valores extremos. No coincide con la mediana. Es un punto donde el histograma “estaría en equilibrio” si tuviese masa.
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Ejemplo (continuación)Peso M. Clase Fr. Fr. ac.
40 – 50 45 5 5
50 – 60 55 10 15
60 – 70 65 21 36
70 - 80 75 11 47
80 - 90 85 5 52
90 - 100 95 3 55
100 – 130 115 3 58
58
• Moda = marca de clase de (60,70] = 65– Cada libro ofrece una fórmula diferente para la moda (difícil estar al
día.)
3,6958
31151055545
n
nxx i ii
6,66)6070(21
15585,060
)(585,0
11
15,0
iii
ii LL
n
NLCMediana
8,76)7080(11
365,4370)(
5875,01
1175,075
ii
i
ii LL
n
NLCP
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En el caso de los pesos los alumnos de ingeniería
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Media de un conjunto de números• Para un conjunto dado de números x1, x2 ,... xn,la
medida más conocida es la media o promedio aritmético del conjunto. Como muy a menudo se piensa a los xi como constituyentes de una muestra, el promedio aritmético también se denomina media muestral y se denota como . Definición: La media muestral de un conjunto de números
está dada por
La suma de los valores de la variable bajo estudio dividida por el número total de objetos de la población, se denota y está definida por22
( , se lee “mu”)
( , se lee “x raya”)
x
n
x
n
xxxx
n
ii
n
121
N
xN
ii
1
x
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NOTA• El símbolo , indica que se han promediado
observaciones de un conjunto de tamaño n de una población, es fundamentalmente distinto de ya que las muestras de una población pueden tener valores diferentes entre ellas dentro de la población. Mientras que la media poblacional es una sola (constante). Sin embargo si tomamos la media de todas las medias muestrales posibles se esperaría obtener el valor de la media poblacional . Esta propiedad de hace de este sea un estimador insesgado de Esta propiedad es muy importante, pues rara vez de conoce la media de la población
x
x
x
x
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Observación práctica• Al escribir se recomienda usar un dígito
decimal más que el correspondiente a la exactitud de los xi .así si las distancias de
frenado a 120 km son x1 = 125 y x2 = 131m,… podría ser = 127.3 m.
x
xEs claro que en este caso, que el tamaño poblacional N, es desconocido y que, en consecuencia, también.
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Agrietamiento por corrosión• En un estudio sobre el agrietamiento por corrosión cáustica bajo
tensiones del hierro y acero, debido a que suelen presentar fallas en torno de los remaches en calderas de acero y en rotores de máquinas de vapor.
• Si x = longitud de la grieta (m)
2.302.217.124.209.246.91.16
2.302.217.124.209.246.91.16
2.302.217.124.209.246.91.16
15
8
1
212019181716
14131211109
765432
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
0H 96 891L 27 03 40 46 181H 61 85 2L 49 04 12 33 422H 58 53 71 853L 02 243H4L4H 50
Tallo: dígito de las decenas
Hoja : dígitos de las unidades y de las décimas
Y como , la media muestral es 8.444ix
18.2121
8.444x
Ej. 1.3
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Geometría de la media
10 20 30 40
18.21x
Media corresponde geométricamente al punto de equilibrio de los datos pensando como un sistema de pesas
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Efecto de punto alejado ej0113<-read.table("ej01.13.txt",h=T) stem(ej0113$lgrieta,2)
The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
0 | 9 1 | 00234 1 | 569 2 | 0134 2 | 55679 3 | 02 3 | 4 | 4 | 5
attach(ej0113) dotchart(lgrieta,col=6) abline(v = mean(lgrieta,trim=0.00), col = 4, lty = 4) abline(v = mean(lgrieta,trim=0.05), col = 3, lty = 3) legend(35, 10,c("media","media recortada al 5%"),col=3:4,lty=3:4)
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Propiedades de la media (como operador)
Si , entonces
Luego,
Resumiendo
es decir, el operador raya (media) es lineal
En general
0,0,0 11 nxxx 0x
constante a ,xaax
constante a ,axax
yxyx
y xy x
constantes ba, ,ybxabyax
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La mediana muestral, es el valor medio en un conjunto de datos arreglado en orden ascendente. Para un número par de datos la mediana es el promedio de los dos del medio.
Mediana
,x
Mediana poblacional:
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Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 27
Mediana (Fórmula de cálculo)La mediana muestral se obtiene al ordenar las n observaciones (incluyendo los valores repetidos) de menor a mayor magnitud. Entonces se calcula
ordenado valor n ésimo
2
1
x~
ésimoésimo
2
n y
n
1
2
Valor único si n es par
Promedio de los dos valores medios si n es par
Promedio de estos dos valores ordenados: x~
La mediana poblacional, por su parte, se denota ~
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Cuantificación de hierro en la sangre
• Concentración de globulina receptora de hierro, para una muestra de mujeres con pruebas de laboratorio de evidente anemia por deficiencias de hierro
3.82.164.94.20
7.99.113.92.15
7
1
12111098
65432
x 9.4 x x 7.6 x x x
x 10.4 x x 7.6 x x x
Lista de valores ordenados
7.6 8.3 9.3 9.4 9.4 9.7 10.4 11.5 11.9 15.2 16.2 20.4Como n = 12 es par, se promedia n/2 = 6° valor con el 7° valor
ordenado:05.10
2
10.49.7 muestral Mediana
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Mediana Poblacional• Análogo a como valor muestral, hay un
valor de media poblacional, hay un valor poblacional de la mediana muestral, el que se denota por . Y del mismo modo es estimador de .
• Las relaciones entre y depende de la forma de la distribución de una población.
x
~ x~~
~
Sesgo negativo Simétrica Sesgo positivo
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Ejemplo de mediana
En un curso de 85 notas de una prueba la mediana, es el 43avo número si las notas son listadas en orden ascendente. (Nota: En este caso existen 42 arriba de la mediana y 42 abajo de la mediana).
40 41 42 43 44 45 4657.5 57.5 60.0 60.0 60.0 62.5 62.5
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Ejemplo de Media y Mediana
5.25
7.25.28.12.33.2
7.2,5.2,8.1,2.3,3.2,5 54321
X
XXXXXnSean
5.2~
32
1,
2.3,7.2,5.2,3.2,8.1
)3()
2
1(
)5()4()3()2()1(
XXXn
Así
XXXXX
n
Para encontrar la mediana, primero se ordenan los valores
5.2~
7.2,2.4)5( XyXentoncesXSi
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Relaciones entre Medias y medianas poblacionales
• Distribución poblacional
• Sensitividad a la observaciones extremas (outliers)
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 33
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 34
Tres diferentes formas de población
simétrica
Asimetría negativaAsimetría positiva
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Asimetría positivaEx 1.14, Concentración, Pág 31
X
X
7 9 11 13 15 17 19 21
0
1
2
3
4
5
Receptor Con
Freq
uenc
y
61.1105.10~ XX
Fre
cuen
cia
Concentración en receptor
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Sensitividad a los Valores Extremos
Un conjunto de datos contiene 19 familias, con 8 familias que ganan US$30,000 por año, 10 ganan US$35,000 por año, y que 1 gana $1 millones por año.
684,83$19
000,590,1
19
)000,000,1(1)000,35(10)000,30(8
X
000,35$~ X
Si la distribución es altamente asimétrica, la mediana es la mejor elección
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Modo
El modo, Mo de una serie estadística es el valor de la característica más frecuente o dominante en la muestra. El modo corresponde a la clase se frecuencia máxima en la distribución de frecuencias.
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Ventajas Inconvenientes
Media (aritmétic
a)
Fácil de calcular,Responde al principio de
mínimos cuadrados
Fuertemente influenciada por los valores extremos,
Representa mal una población heterogénea (polimodal).
Mediana
No influenciado por valores extremos,
Poco sensible a las variaciones de amplitud de las clases,
Calculable sobre caracterís-ticas cíclicas (estaciones, etc) donde la media tiene poca significación.
Se presta mal a los cálculos estadísticos,
Supone datos igualmente repartidos
Representa sólo el valor que separa las muestras en dos partes iguales.
Modo No influenciado por la exis-tencia de valores extremos,
Calculable sobre caracterís-ticas cíclicas (estaciones, etc) donde la media tiene poca significación.
Buen indicador de la hetero-geneidad de la población.
No se preta mucho a los cálculos estadísticos
Muy sensible a las variacio-nes de amplitud de las clases,
Su cálculo toma en cuenta sólo los individuos cuyos valores se reportan en la clase modal.
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Medias recortadas
5.2~
5.23
7.25.23.2
%20
7.2
,5.2,8.1,2.3,3.2,5
)20(
5
4321
X
X
alrecortadamediala
X
XXXXnSea
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 40
Robustez: Medias Recortadas
• Las medias y medianas están influidas por los valores atípicos de manera diferente, la media en gran medida y la mediana nada en absoluto. Las medidas a las cuales son o muy poco o nada afectadas por las observaciones atípicas se llaman robustas. Una familia de medidas robustas tienen sus valores entre la media y la mediana. Se consiguen recortando los extremos de la distribución previo el cálculo de la media, y por este motivos se llaman medias recortadas.
• Una media recortada al 10% se obtiene recortando el 10% de los datos de las valores más grandes y el 10% de los más pequeños.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 41
Ejemplo de Media recortada (Trimmed mean)
• Duración (en horas) de las lámpara incandescentes• Se registró las duración en horas de 20 horas de cierto
tubo incandescente:
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Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 43
Otras medidas de localización• La mediana (poblacional o muestral) divide el
conjunto (ordenado) de datos en dos partes iguales. Si se dividen los datos en más de dos partes se pueden obtener medidas de localización más finas.
4 Cuartiles (partes)
Primer cuartil
Segundo cuartil
Tercer cuartil
2° cuartil = mediana
Decíles = división de diez partes
Quintiles = división de cinco partes
Percentiles = división de 100 partes
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Datos categóricos y proporción muestral
• Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una variable de valores x la proporción muestral se define como
n
x
Donde x se enciende como la suma de los valores de presencia, al codificar los elementos de alguna clase con 1 ó 0 según tengan o no alguna característica distintiva.
La proporción poblacional se denota por p
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 45
Tareas
• Ejercicios (sección 1.3 (pares(33-43)))
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 46
1.4
Medidas de
Variabilidad
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 47
Medidas de variabilidad
• Las medidas de localización da sólo información parcial sobre un conjunto de datos o su distribución. Las distintas muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centralidad pero diferentes entre sí en otros aspectos característicos importares. En seguida se presentan los diagramas de puntos de tres muestras con la misma media y mediana, pero que difieren completamente en la cantidad de variabilidad.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 48
Medidas de Variabilidad
30 40 50 50 50
Muestras de medidas con centralidad idénticas, pero distintas variabilidades
1
2
3
(tienen la misma media y mediana: pero distinta variabilidad)La variabilidad es distinta en las tres muestras
Rango muestra 1 Rango muestra 2 > Rango muestra 3
Ojo! es en realidad “=“
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 49
Medidas de Variabilidad para Datos Muestrales
• Rango = Valor máximo – valor mínimo (también llamado Intervalo o recorrido) En el caso de la figura anterior el rango de
la muestra 1 es la de mayor variabilidad y la muestra 3 es la de menor variabilidad.
Rango muestra 1 = Rango muestra 2, pero claramente hay menos dispersión en
la segunda que en la primera muestra. ¡El rango depende mucho de los valores
extremos!
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 50
Desviaciones de la Media• Se llaman desviaciones respecto de la media
(transformación de centramiento) al resultado de restar media de cada una de las n observaciones de la muestra
Una desviación positiva si la observación es mayor (está a la derecha de la media en el eje de medición) que la media y es negativa si es menor que la media
xxxxxx n ,,, 21
30 40 50 50 50
1
2
3
Media
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 51
Propiedades de las desviaciones de la media
• Si las magnitud de todas las desviaciones pequeña, entonces las xi estarán cerca de la media y hay poca variabilidad. Si algunas de las desviaciones son grandes entonces alguna se las xi quedan lejos de , lo que indica una mayor variabilidad
x
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 52
Variabilidad o dispersión
• Los estudiantes de Estadística reciben diferentes calificaciones en la asignatura (variabilidad). ¿A qué puede deberse?
– Diferencias individuales en el conocimiento de la materia.
• ¿Podría haber otras razones (fuentes de variabilidad)?
• Por ejemplo supongamos que todos los alumnos poseen el mismo nivel de conocimiento. ¿Las notas serían las mismas en todos? Seguramente No.
– Dormir poco el día del examen, el croissant estaba envenenado...
• Diferencias individuales en la habilidad para hacer un examen.
– El examen no es una medida perfecta del conocimiento.• Variabilidad por error de medida.
– En alguna pregunta difícil, se duda entre varias opciones, y al azar se elige la mala
• Variabilidad por azar, aleatoriedad.
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Variabilidad o dispersión
• Los estudiantes de estadística reciben diferentes calificaciones en la asignatura (variabilidad). ¿A qué puede deberse?
– Diferencias individuales en el conocimiento de la materia.
• ¿Podría haber otras razones (fuentes de variabilidad)?
• Por ejemplo supongamos que todos los alumnos poseen el mismo nivel de conocimiento. ¿Las notas serían las mismas en todos? Seguramente No.
– Dormir poco el día del examen, el croissant estaba malo...• Diferencias individuales en la habilidad para hacer un examen.
– El examen no es una medida perfecta del conocimiento.• Variabilidad por error de medida.
– En alguna pregunta difícil, se duda entre varias opciones, y al azar se elige la mala
• Variabilidad por azar, aleatoriedad.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 54
Miden el grado de dispersión (variabilidad) de losdatos, independientemente de su causa.
• Amplitud o Rango (‘range’): La diferencia entre las observaciónes extremas.– 2,1,4,3,8,4. El rango es 8-1=7– Es muy sensible a los valores extremos.
• Rango intercuartílico (‘interquartile range’):– Es la distancia entre el primer y tercer cuartil.
• Rango intercuartílico = P75 - P25
– Parecida al rango, pero eliminando las observaciones más extremas inferiores y superiores.
– No es tan sensible a valores extremos.
Medidas de dispersión
25% 25%25%25%
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• Varianza S2 (‘Variance’): Mide el promedio delas desviaciones (al cuadrado) de lasobservaciones con respecto a la media.
– Es sensible a valores extremos (alejados de la media).
– Sus unidades son el cuadrado de las de la variable.
– Si habéis oído hablar en física de porqué un patinador gira a diferente velocidad cuando tiene los brazos recogidos (menor dispersión), puede que os suene el ‘coeficiente de inercia’
i
i xxn
S 22 )(1
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 56
Desviación típica (‘standard deviation’)Es la raíz cuadrada de la varianza
• Tiene las misma dimensionalidad (unidades) que la variable.
• Cierta distribución que veremos más adelante (normal o gaussiana) quedará completamente determinada por la media y la desviación típica.
– A una distancia de una desv. típica de la media tendremos 68% observaciones.
– A una distancia de dos desv. típica de la media tendremos 95% observaciones.
2SS
Peso recién nacidos en partos gemelares
50
40
30
20
10
0
Desv. típ. = 568,43
Media = 2023
N = 407,00
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 57
• Centrado en la media y a una desviación típica de distancia tenemos más de la mitad de las observaciones (izq.)
• A dos desviaciones típicas las tenemos a casi todas (dcha.)
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 58
Coeficiente de variación
Es la razón entre la desviación típica y la media.– Mide la desviación típica en forma de
“qué tamaño tiene con respecto a la media”
– También se la denomina variabilidad relativa.
– Es frecuente mostrarla en porcentajes• Si la media es 80 y la desviación típica 20 entonces
CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa)
• Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de diferentes variables.– Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los
individuos presentan más dispersión en peso que en altura.
• No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente– Por ejemplo 0ºC ≠ 0ºF
• Los ingenieros electrónicos hablan de la razón ‘señal/ruido’ (su inverso).
x
SCV
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 59
Dispersión en cuartos (Cuartiles)
La dispersión cuartílica fs (Rango inter cuartílico: IQR)
fs = cuarto superior– cuarto inferior =IQR = 3er cuartil – 1er cuartil.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 60
Cuartiles superior e inferior
Una vez ordenada las n observaciones del conjunto de datos de menor a mayor, el cuartil inferior (superior) es la mediana de la mitad inferior (superior) de los datos (largest), donde la mediana se incluye en ambas mitades de n es impar. Una medida de dispersión que es resistente a los outliers es la dispersión cuartílica
fs = cuartil superior – cuartil inferior
x
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 61
El tercer y primer cuartil
Después de ordenadas n observaciones de un conjunto de datos en orden creciente, el primer (tercer) cuartil es la mediana de de la mitad de los datos más pequeños (mayores), donde la mediana se incluye en ambas mitades si n es impar. Una medida de dispersión resistente a las observaciones extremas es el rango intercuartílico IQR:
fs = 3er cuartil – 1er cuartil.
x
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 62
Observaciones atípicas (outlier)
Cualquier observación más allá 1.5fs del cuartil más cercano es outlier. Una observación atípica es extrema si está más acá de 3fs del cuartil más cercano, y es extraña de cualquier otro modo.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 63
Ejemplo de gráfico de cajasAislantes de alto voltaje n = 25, pág 42
5.3 8.2 13.8 74.1 85.3 88.0
90.2 91.5 92.4 92.9 93.6 94.3 94.8
94.9 95.5 95.8 95.9 96.6 96.7
98.1 99.0 101.4 103.7 106.0 113.5
X~
= 94.8, fs = 90.2 fs= 96.7 q = 6.5 1.5q=9.75 3q = 19.50
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 64
Rango
Diferencia entre los valores muestrales mayor y menor.
)1()()()( XXXMinXMaxRange nii
Muy sensible a los outliers
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 65
22
1 1
i xxx x S
sn n
Varianza muestralLa Variance es una medida de dispersión de los datos.
La varianza muestral de la muestra x1, x2, …xn de n valores de X está dada por
La varianza poblacional: 2
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 66
Ejemplo de varianza muestral
• Primero, encuentre la varianza muestral:
• En seguida, sume los cuadrados de las desviaciones de la media:
• Divida por n - 1, donde n es el número de observaciones (en este caso, 85):
61.35x
2 2(62.5 61.35) (90.0 61.35) 21,531.9
21,531.9256.3
84
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 67
2s s
La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral:
Desviación estándar
La Desviación estándar es una medida de dispersión de los datos en las mismas unidades de los datos originales.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 68
Ejemplo de desviación estándar
2 256.3 16.0s s
61.35x
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 69
Fórmula para s2
22 2 i
xx i i
xS x x x
n
Una expresión alternativa para el numerador de s2 es
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 70
Fórmula para s2: Ejemplo abreviado
• Primero, sume los valores:
• En seguida, sume los cuadrados:
• El numerador de la varianza muestral es igual a 85
2
1
341,487.5n
ii
x
25215341,487.5 21,531.9
85
1
5215n
ii
x
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 71
Propiedades de s2
Sean x1, x2,…,xn cualquier muestra y c una constante no nula
donde es la varianza muestral de las x’s y es la varianza muestral de los y’s.
2xs
2ys
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 72
Ejemplo
40 52 55 60 70 75 85 90 90 92 94 95 98 100 115 125 125
X(min) = 40 X(max) = 125Q2 = 40 Q2 = 72.5
90x~
Q3 = 90
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 73
Boxplots
medianaOutlier extremo
Cuartil superiorCuartil inferior
Valores adyacentes
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 74
Ejemplo 1.18: Exploración por ultrasonido de la corrosión de fondos de estanques contenedores de petróleo (por borras)
30 40 50 60 70 80 90 100110 120130C1
30 40 50 60 70 80 90 100110 120130C1
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 75
Ejemplo de Boxplot magnitud de pulso n = 25, pág 42
5.3 8.2 13.8 74.1 85.3 88.0
90.2 91.5 92.4 92.9 93.6 94.3 94.8
94.9 95.5 95.8 95.9 96.6 96.7
98.1 99.0 101.4 103.7 106.0 113.5
X~ = 94.8,
Cuartil inferior = 90.2 Cuartil superior = 96.7 fs = 6.5 1.5fs = 9.75 3fs = 19.50
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 76
Ejemplo 1.19: Degradación de cavidades aisladoras de cerámica con el alto voltaje
0 58 1 3 7 4 * * * Outside Values * * * 8 5 8 8 8 9 H 01 9 223 9 M 444555 9 H 66 9 89 10 1 10 3 10 10 6 * * * Outside Values * * * 11 3
050
100150
C1Ancho de impulso
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 77
Boxplot del ejemplo 19A
ncho
de
impu
lso
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 78
Boxplots lado a lado (Side-By-Side)
Pes
o
Sexo
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 79
Ejercicios Sec 1.4 (44-61)
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 80
Asimetría o Sesgo
• Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen especular de su mitad derecha.
• En las distribuciones simétricas media y mediana coinciden. Si sólo hay una moda también coincide
• La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución.
• La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas).
• Las discrepancias entre las medidas de centralización son indicación de asimetría.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 81
Estadísticos para detectar asimetría• Hay diferentes estadísticos que sirven
para detectar asimetría.
– Basado en diferencia entre estadísticos de tendencia central.
– Basado en la diferencia entre el 1º y 2º cuartiles y 2º y 3º.
– Basados en desviaciones con signo respecto a la media.
• En este se basa SPSS. No lo calcularemos manualmente en este curso.
• En función del signo del estadístico diremos que la asimetría es positiva o negativa.
• Distribución simétrica asimetría nula.
• La asimetría es adimensional.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 82
Apuntamiento o curtosis
Leptocúrtica
138
108
102
97
92
87
82
77
72
67
62
57
52
47
42
37
32
27
16
3
Fre
cuen
cia
400
300
200
100
0
Platicúrtica
8481787572696663605754514845
Fre
cuen
cia
160
140
120
100
80
60
40
Mesocúrtica
99
93
89
85
81
77
73
69
65
61
57
53
49
45
41
37
32
27
Fre
cuen
cia
300
200
100
0
Los gráficos que veis poseen la misma media y desviación típica, pero con diferente grado de apuntamiento.En el curso serán de especial interés las mesocúrticas y simétricas (parecidas a la normal).
La curtosis nos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento) de una distribución con respecto a la distribución normal o gaussiana. Es adimensional.
Platicúrtica: curtosis < 0
Mesocúrtica: curtosis = 0
Leptocúrtica: curtosis > 0
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 83
0 1 2 3 4 5 6 7 Ocho o más
Número de hijos
5%
10%
15%
20%
25%
n=419
28%
n=255
17%
n=375
25%
n=215
14%
n=127
8%
n=54
4%
n=24
2%
n=23
2%
n=17
1%
Ejercicio: descriptiva con SPSSDescriptivos para Número de hijos
1,90 ,045
1,81
1,99
1,75
2,00
3,114
1,765
0
8
8
3,00
1,034 ,063
1,060 ,126
Media
Límiteinferior
Límitesuperior
Intervalo deconfianza para lamedia al 95%
Media recortada al 5%
Mediana
Varianza
Desv. típ.
Mínimo
Máximo
Rango
Amplitud intercuartil
Asimetría
Curtosis
Estadístico Error típ.
• Está sombreado lo que sabemos interpretar hasta ahora. Verifica que comprendes todo. ¿Qué unidades tiene cada estadístico? ¿Variabilidad relativa?
• Calcula los estadísticos que puedas basándote sólo en el gráfico de barras.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 84
¿Utilidad de los Boxplot lado a lado?
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 85
¿Utilidad de los Boxplot lado a lado?
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 86
¿Utilidad de los Boxplot lado a lado?
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 87
Descomposición de Salarios de Inicio de vida de Trabajo
Hombre MujerSEXO
3
4
5
6
7
8
9
SA
LAR
IO (
en m
US
$ )
Diagrama de cajas de salarios de ingreso (en miles de US$) a cargo administrativo en un Banco, por sexo
Con el Sof twareProducir este gráfi co
¿Qué pasa con este punto?
¿y con este?
Explique!
Tarea 2, P- 1
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 88
Normal
Cola corta
Cola larga
Asimétrica
Histogramas y diagramas de cajas de 100 Observaciones de cuatro Distribuciones
¿Cómo I nterpreta cada una de estas las muestras?
Tarea 2, P- 2
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 89
Aberraciones Cromosómicas por cada
100 células de 333 personas irradiadas por
la Bomba A de Hiroshima
Comente que le indican los diagramas de cajas respecto de irradiados directos y los
otros.
¿Cómo se podrían comparar estas dos muestras?
Tarea 2, P- 5
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 90
Cifras significativas y propagación del Error
Philip R. BevingtonD. Keith RobinsonSECOND EDITION 1992
El dígito no nulo del extremo izquierdo es el más significativo.Si no existe punto decimal, el dígito no nulo del extremo derecho es el menos significativos. Si existe un punto decimal, el dígito del extremo derecho es el menos significativo.Todos los dígitos entre el extremo derecho y el izquierdo cuentan como significativos.
Bevington y Robinson, pág 4:
DATAREDUCTIONANDERROR ANALYSISFOR THEPHYSICALSCIENCES
Philip R. BevingtonD. Keith Robinson
SECOND EDITION1992
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 91
Cifras significativas
¿Cuántas cifras significativas se deben informar?
Todos los números que siguen tienen cuatro dígitos significativos (o cifras): 1234, 1234000. 123.4, 1001, 1000., 10.10, 0.0001010, 100.0 Es mejor escribir en notación científica con el número apropiado de dígitos: 1.010x10-4
Para los cálculos, conservar un dígito más que el número de cifras significativas. La incerteza define el número de dígitos significativos
Es inadecuado informar 9.979 5.1015
Debido a la propagación del error, el número de cifras significativas puede que no aumente con los cálculos. En los cálculos, se puede arrastrar una cifra
significativa adicional para justificar certeza de los cálculos.
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 92
Salarios de Ingreso a la Administración por Sexo
Histograma de frecuencias de salarios de ingreso a la administración por sexo.
US$ 4000 US$ 5000 US$ 6000 US$ 7000 US$ 8000
HOMBRES
MUJERES
Salarios de Ingreso por sexo (en miles de
US$ )
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 93
Diagramas de Cajas
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 94
Gráficos de Cajas(Con SPSS)
SPSS permite identificación de los outliers (observaciones inusuales)
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 95
Tarea: Aguzar la vista
Ejercicios Cap I, Sec II: Prob: 10, 12, 22,24
Sec III: Los ya dadosSec IV: Nos 44, 54, 56, 58, 62
Además de los planteados
Cap 01 Sec 1.3 y 1.4 Prof. Heriberto Figueroa S. Material de clases para estudio individual 01-02 96
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