TORSIÓN
INTRODUCCIÓN
Una pieza está sometida a cargas de torsión cuando sobre ella están aplicadas Pares o Momentos dirigidos a lo largo de su eje centroidal y perpendicularmente a la sección transversal.
Barra sometida a Cargas de Torsión
Ejemplos reales de elementos sometidos a este tipo de carga son los árboles y ejes que por lo general tienen movimiento giratorio
Para la validez de las ecuaciones y resultados de este capítulo se asume la veracidad de las siguientes condiciones:
Los elementos son rectos
Los elementos tienen secciones transversales uniformes
Las dimensiones de la sección transversal son pequeños respecto a la longitud
Las secciones transversales permanecen planas y perpendiculares al eje axial
Las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la barra
Los esfuerzos no sobrepasan los límites de fluencia.
Las cargas se aplican en el eje de simetría de la sección transversal de la viga
ESFUERZOS
Considérese una pieza cilíndrica sometida a momentos de torsión en sus extremos. Las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro (ab) se transforman en hélices (ab’) debido a la rotación entre secciones.
Rotación entre secciones
a
b
b'
Por la ausencia de cargas axiales se concluye que en torsión no aparecen esfuerzos normales sino únicamente tangenciales.
Elemento Diferencial
dy
Considérese un elemento diferencial de una barra torsionada. El ángulo que giran sus extremos es dq. Además
De acuerdo a la ley de Hooke
Expresión que muestra que los esfuerzos tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección:
De la estática
Por lo tanto
Esfuerzos provocados por Torsión
Para evitar la falla
𝜏𝑚𝑎𝑥 =16 𝑀𝑡
𝜋 𝑑3≤ 𝑆𝑦
′
De donde
DEFORMACIONES
El Angulo de la rotación relativa de las secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión se calcula con:
𝑀𝑡 = 𝐺𝑑𝜃
𝑑𝑦𝐼0
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PARA BARRAS CIRCULARES HUECAS
Las anteriores ecuaciones son válidas para barras circulares huecas con la inercia igual a:
La sección hueca es más conveniente que la sección llena ya que siempre se requieremenor área para resistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir área con diámetro,ya que para igual resistencia el diámetro de la sección maciza será menor que elexterior de la hueca. Lo que importa es que aún con menor diámetro, la secciónmaciza es siempre más pesada y por ende más cara. Lo que concluimos recientementese debe a que los esfuerzos desarrollados en la parte central de la sección maciza sonmuy pequeños y no tienen un aporte muy significativo, por lo que para resistir a latorsión las secciones más convenientes son las huecas.
EJERCICIOS
1. Una pieza cilíndrica de Acero de diámetro Ø = 3 cm y largo L=100 cm está sometida en sus extremos a una carga de torsión de 1000 Kg cm. Se pide hallar:a) Los esfuerzos máximosb) El coeficiente de seguridad si la fluencia es Sy´= 960 Kg/cm2c) Las deformadas total y unitaria longitudinal y transversal
Solución:
La inercia es I = p Ø4/32= 7,95 cm4
a) Esfuerzo máximot max = Mt R/Io = 1000(1,5)/7,95t max = 188,62 Kg/cm2
b) Coeficiente de seguridadh = S`y/tmax = 960/188,62 = 5,08h = 5,08
c) Deformada θ = Mt l / (GIo) = 1000(100)/(6,67 x 105 7,95)θ = 0,0188 rad
2. Un tambor cuyo diámetro es 30 cm está montado sobre un eje y debe levantar una carga de 1000 Kg Calcular el diámetro del eje. Tomar Sy`= 900 Kg/cm2
Solución:
El momento Mt = 1000(30)/2 = 15000 Kg cm
d = 4,39 cm se adopta 5 cm
3. En el sistema de la figura, se pide el ángulo de deformación del extremo libre respecto al empotramiento. El material es acero y las dimensiones están en cm
Solución:
Mt = F r = 100(3) = 300 Kg cm
θ1 = Mt L/(GIo) = 300(120)/(6.67 x 105 π 34/32) = 0.00678 rad
θ2 = Mt L/(GIo) = 300(40)/(6.67 x 105 π 14/32) = 0.182 rad
θtot = θ1 + θ2 = 0.189 rad
EJERCICIOS PARA RESOLVER
4. Un motor de 5 Hp esta acoplado por medio de una transmisión a un eje que gira a30 rpm. Tomando un límite de fluencia de S`y = 900 Kg/cm2 y h = 1,5 se pide calcularel diámetro del eje.
5. Halla el diámetro “d” y la masa “m” de un cilindro sólido que tenga la mismaresistencia que otro cilindro del mismo material pero hueco con un diámetro externoD = 5 cm y un espesor e = 0,3 cm.