Captulo 5:
ANLISIS DE SENSIBILIDAD PARA MODELOS CONSTITUTIVOS DE DAO
En el captulo 3 se ha presentado el clculo no lineal de sensibilidades desde una perspectiva
terica y general. Posteriormente, en el captulo 4 se han particularizado las expresiones del anlisis
de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad, y en el apartado de ejemplos se
han detectado problemas de incapacidad en la prediccin de cargas ltimas, as como dificultades
en la extrapolacin de resultados entre estructuras que estn bajo un rgimen de comportamiento
distinto. En este captulo, se analiza la estrategia de clculo para realizar un anlisis de sensibilidad
suponiendo que el comportamiento del material se asemeja a un modelo de dao y se da respuesta
a alguno de los problemas planteados anteriormente.
5.1 ANLISIS DE SENSIBILIDAD PARA EL MODELO DE DAO
Los aspectos tericos y numricos del modelo de dao empleado en este trabajo se detallan en el
anexo 5.1, al final de este captulo. En este apartado se procede al clculo de las expresiones de
sensibilidad de formas para una estructura que estuviera construida con un material que cumpla las
condiciones de dicha formulacin constitutiva.
5.1.1 FORMULACIN DE LAS EXPRESIONES
Supuesto el Principio de los Trabajos Virtuales como expresin energtica general que conduce a
una ecuacin de equilibrio entre las fuerzas internas de deformacin y las fuerzas externa aplicadas,
y supuesta la consiguiente discretizacin en elementos finitos del problema, se obtendra:
( )B DBu dV ftVelem elem
1 = d 5.1.1
y en forma de sistema matricial:
( )K u u fS = 5.1.2
donde la dependencia no lineal del problema viene caracterizada por el parmetro de dao d . La
ilustracin 5.1 muestra grficamente el sentido fsico de la ecuacin de equilibrio.
5.2 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
Si se aplica el mtodo de diferenciacin directa DDM slo ser necesario derivar la ecuacin
superior de equilibrio 5.1.2. Por consiguiente, sabiendo que la rigidez total del sistema es la
contribucin aditiva de todos y cada uno de los elementos de la malla, se puede derivar la expresin
integral particularizada para cada uno de los elementos tal y como se hizo en el captulo 2. Tngase
en cuenta que en el anlisis de formas se deber derivar el recinto de integracin del elemento, pero
no presenta especial dificultad porque se pueden aprovechar los conceptos relativos a la
integracin isoparamtrica que tambin se formularon all.
Por lo tanto, siendo q una variable de diseo y para un estado equilibrado de carga desplazamiento,
se tendra:
( )ddq
B DBudVddq
ftVelemelem elem
1 = d 5.1.3
Suponiendo que se deriva para un nico elemento isoparamtrico:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
ddq
B DBu J dV
dBdq
D Bu J dV Bddq
DBu J dV
BdDdq
Bu J dV B DdBdq
u J dV
B DBdudq
J dV B D Bud Jdq
dV
to
V
t
oV
to
V
to
V
to
V
to
V
to
V
o
o o
o o
o o
1
1
1 1
1 1
=
+
+ +
+
d
dd
d d
d d
5.1.4
En la igualdad superior 5.1.4 se observa que la mayor parte de las expresiones son parecidas a las
que se obtenan en el anlisis lineal y por lo tanto no merecen mayor comentario, en cambio otras
como la segunda integral en concreto, presentan la particularidad de derivar el parmetro de dao
interno de la ecuacin constitutiva.
Sabiendo que en el modelo se define el parmetro de dao como, ver anexo 5.1:
Ilustracin 5.1: Equilibrio secante
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.3
d*
*
=
1
1
e
A 5.1.5
Se puede obtener su derivada segn la regla de la cadena:
ddq q A
dAdq
ddq
d d d d= + +
5.1.6
En dicha expresin la variable de diseo no aparece explcita, por lo tanto el valor de la primera
derivada es nulo. Por otro lado, la formulacin considera que el parmetro A de A5.1.48 depende de la longitud caracterstica del elemento, por lo tanto ante una modificacin de forma la longitud
caracterstica debera variar y, por lo tanto, dicho trmino derivado no sera nulo.
Obteniendo:
d
*
**
AA e
A=
1
1 5.1.7
y tambin de A5.1.48 se deduce que:
dAdq G E
ddq
t
f
c=
22 1
2f l 5.1.8
donde la ltima derivada, en base a que A5.1.45 y A5.1.46 relacionan el volumen del punto de
integracin con la longitud caracterstica, se expresa segn:
ddq J
d Jdq
cl ==1
2 5.1.9
La derivada del Jacobiano de la transformacin se defini en el captulo2 frmula 2.3.36. Sin
embargo, puede afirmarse que, en general, para mallas mnimamente densas la variacin en dicho
trmino ser despreciable.
A continuacin se deriva el ltimo trmino de 5.1.6:
ddq
ddq
d d=
5.1.10
1. La primera derivada parcial conduce a la expresin:
d fc fc= +
2
1Ae
A
5.1.11
2. El clculo de la segunda expresin es ms complejo ya que la dependencia no es explcita y por
lo tanto es necesario aplicar de nuevo la regla de la cadena sobre la norma de tensiones A5.1.18.
Por consiguiente:
ddq
ddqi
eie
i
=
=
1
3
5.1.12
5.4 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
Entonces se deben derivar estos dos nuevos trminos, el clculo de la primera derivada parcial
conduce:
( ) ( ) ( )( )( )
ie
ie i
e
i
ie
ie
i
nr
r n=
+ +
=
=
1 1 12
1
3
2
1
3 5.1.13
y sabiendo que :
( ) ( )( )
r sig
sigie
je
j
ie
i
ie
je
jie=
+
=
= =
1 12 2
1
32
1
3
1
3
5.1.14
donde
[ ]r ie
ie
iie
ie
ie= = +
=
1
3 12
, 5.1.15
El segundo trmino de la derivada s que es explcito. Ntese que las tensiones principales
dependen de las cartesianas segn unas frmulas conocidas y stas ltimas son funcin de la
variable de diseo. En funcin de esa dependencia se desarrollar a continuacin la expresin
5.1.12 para reorganizar adecuadamente los trminos y obtener una formulacin lo ms sencilla
posible.
Entonces:
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
e
e
x
xe
y
ye
yz
yx
e
e
x
xe
y
ye
yz
yx
e
e
x
xe
y
ye
yz
yx
= + + +
+
+ + +
+
+ + +
1
1 1 1
2
2 2 2
3
3 3 3
L
L
L
5.1.16
Si se desarrolla la expresin anterior y se obtienen todos los productos, el resultado es el
siguiente:
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.5
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
ddq
e
e
x
xe
e
yz
yz
e
e
x
xe
e
yz
yz
e
e
x
xe
e
yz
yz
= + + +
+ + +
+ +
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
L
L
L
5.1.17
Se puede reagrupar la expresin de la siguiente manera:
ddq
ddq
ddq
e
e
xe
e
xe
e
x
x
e
e
yze
e
yze
e
yz
yz
= + +
+
+ +
+ +
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
LLLLLL 5.1.18
En consecuencia, considerar el trmino que se busca como producto de dos vectores segn la
siguiente notacin, para el primero:
te
e
xe
e
xe
e
x
e
e
x e
e
x e
e
x
e
e
yze
e
yze
e
yz
= + +
+ +
+ +
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
,
,
,LLLLLLLL
5.1.19
y para el segundo:
dddq
ddq
t x yz
=
, ,LLLL 5.1.20
De manera que:
ddq
dt
= 5.1.21
Ahora ya todos los trminos son conocidos dado que:
dddq
dDdq
Bu DdBdq
u D Bdudq
e
= = + + 5.1.22
Obsrvese que el trmino de las incgnitas (en negrita) aparece en la expresin que se ha
deducido:
5.6 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
ddq
dDdq
Bu DdBdq
u D Bt t t
= + +dudq
5.1.23
Ahora s que se est en condiciones de calcular la derivada 5.1.10, que originalmente se buscaba.
Por lo tanto, si se introducen dichas expresiones en la ecuacin 5.1.10, se obtiene:
ddq
dDdq
Bu DdBdq
u D Bdudq
t t td d= + +
5.1.24
y entrando en la expresin integral correspondiente, la segunda de 5.1.4:
Bddq
D Bu J dV BdDdq
Bu DdBdq
u D Bdudq
D Bu J dV
BdDdq
Bu DBu J dV
B DdBdq
u DBu J dV
B D Bdudq
DB u J dV
to
t to
VV
t to
V
t to
V
t to
V
oo
o
o
o
d d
d
d
d
= + +
=
+
+
5.1.25
La ltima integral contiene el trmino incgnita que interesa calcular. Entonces, cuando se
introduzca dicha expresin en la ecuacin derivada del equilibrio 5.1.4 aparentemente se obtendr
un sistema no lineal donde ser necesario iterar de alguna manera para resolverlo.
Sin embargo, si se desarrolla la expresin integral introduciendo todos los trminos que intervienen
en el producto de matrices y vectores, as como la relacin de dimensiones que tienen entre ellos,
se observa que se puede hacer una permutacin y obtener lo siguiente.
Llmese a:
$D D Bt= 5.1.26
y sabiendo que :
e D Bu= 5.1.27
Entonces la ltima integral se convierte en:
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.7
[ ]
d d $
d $
B DBdudq
DBu J dV B Ddudq
J dV
B D J dVdudq
t to
V
te o
V
te o
V
o o
o
= =
5.1.28
De manera que ahora du dq aparece como un trmino aislado y agrupable con las expresiones
anteriores. Recapitulando se obtiene:
( ) ( )
[ ][ ]
( ) ( )
( )
ddq
B DBu J dVdBdq
DBu J dV
BdDdq
B D Bu J dV
B DdBdq
DBu J dV
B D Bu D B J dV
BdDdx
Bu J dV B DdBdq
u J dV
B DB J dV
to
V
t
oV
t to
V
t to
V
t to
V
to
V
to
V
to
V
o o
o
o
o
o o
1 1
1 1
1
=
+
+ +
d d
d
d
d
d d
d
dudq
dudq
( )o o
B D Bud Jdq
dVt oV
+ 1 d
5.1.29
Por lo tanto, si se definen las siguientes matrices:
( )
[ ][ ]
K B DB J dV
K B DBu D B J dV
St
oVelem
Dt t
oVelem
o
o
=
=
1 d
d
5.1.30
y el vector de pseudocargas como:
( )
( )
( ) ( )
fdfdq
dBdq
D Bu J dV BdDdx
B DBu J dV
B DdBdq
DBu J dV BdDdq
Bu J dV
B DdBdq
u J dV B DBud Jdq
dV
elem
t
ot t
oVVelem
t to
to
VV
to
V
to
V
oo
oo
o o
* dd
dd
d d
=
+
+ +
1
1
1 1
5.1.31
En forma matricial se podra expresar el sistema como:
5.8 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
( ) ( )[ ]K u K u dudq
fS D =* 5.1.32
Donde aparece la matriz secante del sistema de equilibrio acompaada de otra matriz derivada y de
un trmino de pseudocargas que lgicamente ser distinto del que apareca en el sistema lineal.
Comparando dicha expresin con la frmula 3.2.4 que proponan Ryu et al. en el captulo 3, parece
que de forma intuitiva se podra establecer una relacin donde las respectivas matrices seran:
K K
KKu
u
S
D
=
5.1.33
En realidad no se ha sido capaz de establecer dicha relacin porque la naturaleza de las matrices es
completamente distinta, por lo tanto se concluye que la formulacin es diferente.
Por lo tanto, a travs de 5.1.32 se ha conseguido una expresin secante para calcular las
sensibilidades sin necesidad de acudir a un esquema incremental como el que se necesita para
resolver la ecuacin de equilibrio. Con esto se desmiente la creencia errnea segn la cual la
sensibilidad de todo material dependiente de la historia debe calcularse a travs de un
procedimiento incremental al mismo tiempo que se obtiene el equilibrio. Ntese que el
planteamiento secante es una ventaja porque calcula la sensibilidad en el momento del equilibrio
que interese, sin necesidad de ir actualizando la informacin en cada incremento de carga
equilibrado. Esta estrategia puede evitar los errores que suelen acumular los mtodos incrementales
o iterativos.
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.9
5.1.2 ANLISIS CRTICO DE LAS EXPRESIONES
A un incremento de carga dado, y habiendo convergido, parece que el problema est
satisfactoriamente resuelto, y que se estara en condiciones de utilizar la informacin de las
derivadas para predecir el comportamiento de la estructura, o para evaluar la variacin de una
restriccin. En particular, el conocimiento de la sensibilidad dara la pauta de comportamiento de la
variable desplazamiento y, por lo tanto, se podra extrapolar su valor con una aproximacin de
orden uno y predecir cmo va a comportarse una estructura ante la modificacin de una variable de
diseo. Vase la ilustracin 5.2.
( ) ( )u q q u q dudq
q+ = + 5.1.34
Algoritmo 5.1 Anlisis de sensibilidad con un modelo de dao
Resolucin de la ecuacin
de equilibrio Ku f=
Formacin de la matrices secante y derivada en la posicin de equilibrio
( )K uS y ( )K uD
Formacin la pseudocarga
f* 5.1.31
Resolucin del sistema y obtencin de la sensibilidad
( ) ( )[ ]K u K u dudq
fS D =*
5.10 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
Sin embargo, existe un conjunto de ejemplos donde las hiptesis anteriores ponen en duda el
planteamiento del problema:
Ntese que, a priori, no se conoce como va a afectar la
modificacin de las variables de diseo al comportamiento
estructural. No se sabe si la alteracin de la forma va a aumentar
la capacidad resistente de la estructura o, por el contrario, va a
disminuirla. En particular, en los casos para los cuales la
capacidad resistente disminuya, ni siquiera va a tener sentido
intentar calcular las sensibilidades de los desplazamientos a
carga dada porque si el nivel de fuerzas es excesivo para la
estructura modificada, la extrapolacin horizontal a carga dada conducir a puntos donde no
est definido el equilibrio.
En otros casos, para una posicin de
equilibrio de fuerzas en la estructura
original resulta que la estructura
modificada puede tener ms de una.
Por consiguiente, no es tan evidente
en qu situacin se colocara la
extrapolacin, Rama de carga o de
descarga?
Por otro lado, un tipo de anlisis interesante consiste en ser capaces de intentar extrapolar el
valor de la carga ltima. En el caso opuesto al primero ejemplo, es decir, que una modificacin
de la forma aumente la capacidad resistente de la estructura, una extrapolacin a carga
constante desde la estructura original jams podr proporcionar la posicin del nuevo mximo
de la curva fuerza-desplazamiento. Es evidente que este hecho exige conocer la variacin
Ilustracin 5.2: Extrapolacin de la
respuesta
Ilustracin 5.3: Extrapolacin imposible
Ilustracin 5.4: Existe ms de una posicin de equilibrio
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.11
simultnea en las direcciones de fuerzas y desplazamientos, y por lo tanto, ser un objetivo
imposible si slo se dispone de informacin sobre el comportamiento de los desplazamientos.
Finalmente, sealar que en el captulo anterior se haba observado que en los modelos
elastoplsticos, a pesar de tener endurecimiento y ser capaces de llegar siempre a una posicin
de equilibrio a carga dada, en algunos problemas estructurales no se obtenan buenas
extrapolaciones de comportamiento porque el rgimen de trabajo entre las estructuras original y
modificada era diferente.
Llegados a este punto se observa que existe una problemtica comn en todo este conjunto de
objeciones: para ciertos tipos de anlisis en rgimen no lineal, no es suficiente conocer la
variacin de las variables incgnita en la ecuacin de equilibrio, es decir los desplazamientos,
tambin es necesario conocer la variacin de las fuerzas.
Se podra considerar que la variacin de las fuerzas ya est calculada en la formulacin precedente
y que, en consecuencia, se puede extrapolar utilizando la informacin del trmino de derivacin de
las fuerzas, es decir definir lo siguiente:
( ) ( )f q q f q dfdq
q+ = + 5.1.35
Sin embargo, slo en ocasiones muy particulares se estar en condiciones de realizar la
extrapolacin segn 5.1.35. Exactamente en los casos para los cuales las fuerzas se expresen como
funcin explcita de la variable de diseo, la ilustracin 5.6 muestra ambas situaciones.
Ilustracin 5.5: Extrapolacin de la carga
mxima
Ilustracin 5.6: Posibles casos de
relacin entre fuerzas y variable de
diseo
5.12 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
En el primer caso se podr construir una expresin explcita que permita la derivacin de las fuerzas
en funcin de la variable de diseo. Pero en el segundo caso no, a pesar de que existe una clara
relacin entre la variable de diseo y las fuerzas, simplemente pinsese que un cambio de seccin
aumenta la inercia a flexin y, por tanto, la capacidad portante de la estructura.
A la vista de todo ello, en el apartado siguiente se formular una propuesta de solucin general que
permita resolver las cuestiones planteadas, empezando por el problema del ablandamiento que es
motivo de este captulo.
5.2 REFORMULACIN DEL PROBLEMA DE SENSIBILIDAD En primer lugar, es necesario sealar que los modelos no lineales con ablandamiento, como el dao
o ciertas formulaciones elastoplsticas, presentan problemas en la propia resolucin de la ecuacin
de equilibrio. Como se ha visto en la ilustracin 5.4, obviando la cuestin de la extrapolacin de
resultados, para determinados valores de la solicitacin existe ms de una posicin de equilibrio.
Ciertamente, en el ablandamiento, a partir de un cierto instante se produce una prdida de la
capacidad portante de la estructura y, en esas condiciones, es imposible seguir aumentando la
solicitacin del sistema. En cambio, los desplazamientos s que pueden seguir aumentando y
permitir as, la existencia de nuevos puntos de equilibrio en la curva. En consecuencia, el anlisis
clsico, basado en el incremento de la solicitacin1, no permite llegar a soluciones ms all de la
carga mxima de la estructura y por ello, en los problemas con ablandamiento, se lleva a cabo el
anlisis del comportamiento estructural utilizando estrategias de control de desplazamientos
(longitud de arco). El mtodo de la longitud de arco permite obtener puntos de equilibrio a lo largo
de la curva fuerza-desplazamiento y se fundamenta en exigir al mismo tiempo: el equilibrio
estructural del sistema y una condicin sobre el valor de los desplazamientos. Dicho mtodo se
encuentra descrito con detalle en el anexo 2 al final de este captulo.
En este trabajo se propone que el anlisis de sensibilidad se lleve a cabo a longitud de arco
constante en lugar del anlisis clsico realizado hasta ahora, a solicitacin constante. Este
planteamiento tiene la ventaja que no presupone cual va a ser la variacin en la capacidad portante
de la estructura y ser adems consistente con la formulacin del anlisis de equilibrio.
1 No se va a trabajar la metodologa del desplazamiento impuesto porque carece de inters dada su aplicabilidad limitada y, adems, porque es reproducible con una adecuada definicin de la longitud de arco.
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.13
Por lo tanto, se realiza la derivacin de las ecuaciones que comporta la longitud de arco, la ecuacin
de equilibrio A5.2.1 y la condicin sobre el control de desplazamientos A5.2.2:
[ ] [ ]ddq
K uddq
fS = 5.2.1
( )( )ddq
ug = 0 5.2.2
Esto conduce a:
Kdudq
fddq
dfdq
dKdq
uSS =
5.2.3
ddq
g= 0 5.2.4
De las expresiones superiores aparece como trmino conocido la derivada de la matriz secante de
rigidez. En cambio, otros son completamente nuevos, como la derivada de la condicin de arco, o
una nueva pseudocarga. A continuacin se desarrollan los nuevos miembros de las ecuaciones
5.2.3 y posteriormente se conjuntarn con los trminos calculados en el apartado 5.1.1.
El vector de pseudocargas se modificar segn la expresin siguiente:
( )
( )
( ) ( )
fq
fdfdq
dBdq
D Bu J dV BdDdq
B DB u J dV
dB D
dBdq
DBu J dV BdDdq
Bu J dV
B DdBdq
u J dV B D Bud Jdq
dV
arcoelem elem
t
ot
oVVelem
t to
to
VV
to
V
to
V
oo
oo
o o
*
dd
d
d d
= +
+ +
+
1
1
1 1
5.2.5
Se reescribe la expresin usando la notacin siguiente:
fq
f farcoelem
new* *= + 5.2.6
La condicin de arco tambin se deriva aplicando la regla de la cadena se obtiene que:
( )ddq q u
dudq
ddq
g ug g g
= + +
5.2.7
5.14 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
En general, nunca existir una dependencia explcita de la condicin de arco respecto de la variable
de diseo as que la primera derivada parcial normalmente ser nula y un razonamiento parecido
puede hacerse para el ltimo sumando que, en general, nunca va a existir.
Para los casos que se contemplaban en A5.2.3-4 se obtienen las siguientes expresiones en la
derivacin de la condicin de arco:
Control de desplazamiento de un nodo:
ddq
dudq
kg = =0 0 5.2.8
Control esfrico:
ddq
ududqi
i
i
g= =0 0 5.2.9
Con las expresiones obtenidas en 5.2.1, 5.2.2, 5.130 y 5.2.6 se obtiene una estructura de ecuaciones
relativamente cmoda. Ntese que el trmino incgnita que contiene d dq puede ponerse en el
primer miembro, con las magnitudes desconocidas, y adems, la condicin de derivada del control
de desplazamientos es lineal con respecto a las incgnitas. Pero en caso de escoger otras
condiciones de control de desplazamientos se puede obtener una estructura extremadamente
complicada, incluyendo trminos altamente no lineales. Si se opera un poco y siguiendo la notacin
de 5.1.42 se obtiene2:
K K fd dq
du dqd dq
fs D new
=
g
*
0 0 5.2.10
Desarrollando un poco la expresin matricial 5.2.10 para ambas condiciones de control sobre los
desplazamientos se obtiene:
Control de desplazamientos en un punto:
K K f du dq
d dqfS D new
=
0 1 0 0L L
*
5.2.11
Control esfrico:
K K f
u udu dqd dq
fS Dn
new
=
1 0 0L
*
5.2.12
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.15
Sin embargo, se observa que el sistema de ecuaciones en ninguno de ambos casos es simtrico y,
por lo tanto, resolver el sistema directamente puede exigir un alto coste computacional. Se propone
una estrategia iterativa para obtener la solucin de forma ms econmica.
Simplemente se trata de ensayar un valor para d dq y resolver un sistema simtrico con todas
las ventajas que conlleva, modificando posteriormente dicho valor en funcin de la verificacin de
la condicin derivada del arco.
( ) ( )[ ] ( )K u K u dudq
f d dqS D arco =* 5.2.13
ddq
g= 0 5.2.14
En general, slo es necesario un par de iteraciones para hallar un valor satisfactorio de la condicin
derivada de la longitud de arco dado que la ecuacin que la gobierna 5.2.8-9 tiene una expresin
lineal con respecto a las derivadas. El esquema de funcionamiento del mtodo de anlisis de
sensibilidad con longitud de arco se describe en el algoritmo 5.2 que aparece en la pgina siguiente:
2 Kleiber et al. (1996)[K1] estudiando un problema de no linealidad geomtrica y con un planteamiento incremental de la sensibilidad deduce una expresin similar, pero dada la diferente naturaleza del problema, los trminos tienen un sentido completamente diferente.
5.16 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
Algoritmo 5.2 Anlisis de sensibilidad con un modelo de dao y longitud de arco
Resolucin de la ecuacin de equilibrio
Ku f=
Formacin de la matrices secante y derivada en la posicin de equilibrio
( )K uS y ( )K uD
valor inicial cualquiera de ( )d dq 0
Formacin de la pseudocarga f0* 5.2.5
Resolucin del sistema y obtencin de la sensibilidad
( ) ( )[ ]K u K u dudq fS D = 0*
Verificacin de la condicin derivada de arco 5.2.8 o 9
( )d dqg 0
otro valor de ( )d dq i
Formacin de la pseudocarga fi* 5.2.5
Resolucin del sistema y obtencin de la sensibilidad
( ) ( )[ ]K u K u dudq fS D i =*
Verificacin de la condicin derivada de arco 5.2.8 o 9
( )d dq ig
Tcnicas de minimizacin unidimensional Con:
( )d dq 0 ( )d dqg 0 ( )d dq i ( )d dq ig Se halla un nuevo valor de
( )d dq i +1
FIN
S
No
No
S
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.17
Del algoritmo 5.2 se deduce que la estrategia del anlisis de sensibilidad tiene un coste mnimo. En
el apartado 5.1.1 ya se vio que el clculo de la sensibilidad tambin tiene naturaleza secante como la
ecuacin de equilibrio; por lo tanto, una vez llegados al equilibrio se obtiene, en un slo paso, la
sensibilidad en ese punto y no es necesario acumular de forma incremental los resultados como
suceda con la elastoplasticidad. Esto quiere decir que se puede resolver el problema estructural
con la ecuacin de equilibrio hasta el nivel de carga/desplazamiento deseado y, una vez all, calcular
de una sola vez la sensibilidad de la estructura.
La estrategia del anlisis de sensibilidad a travs del control de desplazamientos descrita
anteriormente es fcilmente generalizable a la mayor parte de problemas no lineales, en concreto
todos aquellos para los que la posicin de equilibrio es nica, es decir, donde no se producen
bifurcaciones.
A travs de la estrategia descrita se estar en condiciones de realizar la doble extrapolacin, en
desplazamientos y en fuerzas, y predecir el comportamiento estructural no lineal ante
modificaciones de forma segn la aproximacin siguiente:
( ) ( )u q q u q dudq
q+ = + 5.2.15
( ) ( ) q q q ddq
q+ = + 5.2.16
En consecuencia, la posibilidad de simular cualquier problema estructural, incluyendo elasticidad y
elastoplasticidad, y poder extrapolar el comportamiento tanto en fuerzas como en desplazamientos
ofrece una metodologa general para calcular la sensibilidad en problemas no lineales.
Sin embargo, toda la potencia del clculo secante slo ser aprovechable si la ecuacin constitutiva
permite dicha posibilidad. En cualquier otro caso ser necesario utilizar un mtodo incremental
Ilustracin E5.7: Ahora s que se estar en
condiciones de extrapolar correctamente
5.18 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
como el descrito en elastoplasticidad para evaluar la sensibilidad al mismo tiempo que se equilibra
la estructura.
El mtodo de anlisis de sensibilidad con longitud de arco descrito permite resolver el problema de
la extrapolacin de cargas ltimas y de la existencia de ms de una posicin de equilibrio,
soluciones inalcanzables mediante el anlisis clsico de sensibilidad a carga constante.
En el Apndice 5.1 se muestran diversos ejemplos de aplicacin del anlisis de sensibilidad en
estructuras con materiales que cumplen el modelo de dao.
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.19
ANEXO 5.1: LOS MODELOS CONSTITUTIVOS DE DAO
A lo largo de este anexo se desarrolla la formulacin terica y las tcnicas numricas que requiere
un modelo de dao.
A5.1.1 GENERALIDADES
Se sabe que la simulacin numrica, mediante elementos finitos, del comportamiento constitutivo
de un material fisurable es un problema que todava no ha encontrado una solucin definitiva. En el
caso del hormign en particular, existen numerosos modelos constitutivos basados en diferentes
pautas de comportamiento3 que pueden clasificarse en cinco grandes grupos: Elasticidad lineal y
no lineal, plasticidad con ablandamiento, teora endocrnica de la plasticidad y, finalmente,
fractura. Dado que la sensibilidad de los modelos elsticos lineales y no lineales, y la de los
modelos endocrnicos conducen a expresiones explcitas conocidas (vase captulos 2 y 3), y dado
que el tema de la elastoplasticidad ya ha sido tratado en el captulo 4 se plante abordar la
sensibilidad de los modelos de fractura. De todos los modelos de fractura posibles se escogieron
los modelos constitutivos de dao porque se usan extensamente en el clculo con elementos
finitos del comportamiento de rocas, metales, materiales cermicos y compuestos y, en particular,
del hormign, uno de los materiales ms usados en las obras de ingeniera.
En trminos generales, los modelos de fractura se basan en considerar que el comportamiento no
lineal del hormign se debe principalmente al fenmeno de la fisuracin. Todo el mundo sabe que al
someter al hormign a un estado tensional donde se producen tracciones, inmediatamente aparecen
microfisuras internas en las conexiones intergranulares debido a la baja resistencia que presenta el
material ante este tipo de solicitacin. El aumento del estado tensional facilita que la fractura interna
vaya creciendo hasta degenerar en una fisura externa apreciable. Por lo tanto, el comportamiento
del material vendr determinado segn se est en uno de los dos estados posibles siguientes:
Elstico antes de la fisuracin o fracturado despus de la fisuracin.
Segn Chen4, en el mundo de los elementos finitos los modelos de fractura se pueden clasificar
segn tres grupos:
Modelos segn la mecnica de fractura clsica basada en la elasticidad lineal. En este caso el
inicio de la fractura y su posterior evolucin es funcin de unos coeficientes de intensidad de
tensiones K K KI II III, , dependiendo del modo bsico de fisuracin5.
3 El lector interesado encontrar un estupendo estado del arte en Oller [O1].
5.20 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
Modelos de fisura discreta que pretenden trazar una trayectoria de la fisura segn las
conexiones internodales.
Modelos de fisura distribuida que consideran que la fisura se desarrolla disipando la energa de
fractura en un punto del material. En este caso, en oposicin a los anteriores, la fisura no
aparece como una discontinuidad fsica apreciable en el cuerpo sino que su presencia se
detecta por una degradacin del mdulo elstico en ciertos puntos. Cuando esto sucede se dice
que el modelo localiza la fractura.
A5.1.2 EL MODELO DE DAO
En trminos coloquiales, se puede decir que el modelo de dao intenta reproducir la prdida de
rigidez del material debida a la fisuracin, evalundola a travs de uno o varios escalares, llamados
parmetros de dao, que ponderan convenientemente el tensor constitutivo elstico. El grado de
conveniencia de dicha aproximacin genera distintas formulaciones, pero todas tiene una cosa en
comn: Existe una superficie lmite que acota la existencia del dao y una funcin que modifica la
cantidad de dao que se produce segn una norma del estado de tensiones. Esto significa que el
comportamiento del material es dependiente de la historia, en el sentido que guarda en memoria el
nivel de dao anterior (irrecuperable) y lo modifica segn el nivel tensional actual.
La ecuacin constitutiva del modelo de dao ms sencillo de un slo parmetro se escoge como :
[ ] = 1 d D A5.1.1 siendo d una funcin escalar que depende de una norma de tensiones y, por lo tanto, de la energa
de deformacin. Para este caso, la curva de comportamiento tensin deformacin es la que aparece
en la ilustracin 5.9. Ntese que en fenmenos de carga se produce una degradacin del
comportamiento mientras que en descarga se mantiene lineal, con un nuevo mdulo elstico cuyo
valor es proporcional a la magnitud de la degradacin que ha sufrido el material.
4 W.F. Chen. Plasticity in Reinforced Concrete. 1982 Mc Graw Hill.
Ilustracin 5.8: Diferentes planteamientos de fractura
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.21
De la ilustracin 5.9 se destacan dos cosas, en primer lugar que el modelo constitutivo de dao se
caracteriza porque en la posicin de equilibrio se consigue definir una matriz secante, ntese que
dicha matriz reproduce el comportamiento del material en la rama elstica de carga y descarga. En
segundo lugar, se debe resaltar que el fenmeno del ablandamiento slo puede ser seguido a travs
de una deformacin impuesta o, alternativamente, gracias a una estrategia incremental-iterativa con
control de desplazamientos, tambin conocido como longitud de arco.
FORMULACIN DEL MODELO
Existen diferentes enfoques relativos a la definicin de los modelos de dao, por ejemplo Carol et
al.(1994) [C1] consideran que los modelos de dao corresponden a una teora de degradacin
elstica que puede relacionarse como un modelo evolucionado de la elastoplasticidad6. En este
trabajo se utiliza el enfoque de Lubliner et al. 1989 [L1] basado en consideraciones energticas.
Tambin se pueden encontrar ms detalles sobre el modelo que se presenta en Oliver et al. 1990
[O2] y Cervera et al. [C2].
Definiciones energticas y formulacin de la ecuacin constitutiva.
En todo material sano que se somete a un estado tensional, aparece un campo de deformaciones
como respuesta estructural a la solicitacin externa. Durante el proceso de deformacin del cuerpo
se libera una energa interna de deformacin que equilibra el trabajo que las fuerzas externas
invierten en provocar dicha deformacin. En general, los materiales sanos se comportan bajo la
hiptesis de la elasticidad lineal para pequeas deformaciones y entonces, se puede definir el
trabajo interno de deformacin en un cierto instante como:
5 Se recomienda D.R.J. Owen and A.J. Fawkes. Engineering Fracture Mechanics: Numerical Methods and Applications. 1983. Pineridge Press. 6 Segn los autores:it seems appropiate to devote new efforts to establish a unified theory of elastic degradation that brings elastic degradation models to a similar degree of development as their elastoplaticity counterparts. En la definicin del modelo, el artculo borrows concepts and terminology from the well-known flow theory of plasticity.
Ilustracin 5.9: Comportamiento tenso-deformacional del material
degradable
5.22 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
e D=12
: : A5.1.2
Para simular la degradacin del material y, en consecuencia, la prdida de su capacidad portante, se
puede suponer que el material va a absorber slo una parte proporcional de toda la energa elstica
que debera, por consiguiente se puede definir la energa de deformacin en el caso de existencia de
dao como:
( ) = 1 d e A5.1.3
Donde d es una variable interna de la formulacin (parmetro escalar de dao) que ser definida
posteriormente, pero que siempre debe ser positiva y menor que 1. Ntese que a medida que
crece d al material se le supone cada vez ms dbil y en el lmite, cuando d valga 1, ser incapaz de
resistir ningn tipo de solicitacin. En palabras sencillas, se puede decir que en un estado
equilibrado tensin-deformacin, el material degradado necesariamente debe deformarse ms que el
elstico. Porque al estar daado, una parte de la energa se pierde en aumentar su dao, mientras
que otra parte se convierte en energa de deformacin que equilibra la solicitacin externa.
Toda ecuacin constitutiva se reduce a establecer una relacin entre las tensiones y las
deformaciones que puede soportar cierto material, y una de los maneras posibles de formular dicha
expresin es a travs de un planteamiento energtico. Al realizar la deformacin se moviliza una
energa y por lo tanto, en el problema, se debe exigir el cumplimiento de la inecuacin de Clasius-
Planck [M1] para procesos termo -mecnicos desacoplados. Utilizando la parte mecnica de la
misma, y aprovechando la definicin de la energa de deformacin que se ha hecho en A5.1.3, se
obtiene que la disipacin energtica en el cuerpo es:
& : & : &d
&d
= 0 A5.1.4
Para que se cumpla dicha inecuacin frente a una variacin arbitraria de la variable libre, tensor de
deformaciones & , necesariamente deben exigirse dos condiciones simultneas:
Ilustracin 5.10: Las energas de deformacin, elstica y
de dao
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.23
1. En primer lugar:
= 0 A5.1.5
de donde se deduce que:
( ) ( ) ( )
= = = 1 1 1d d de eD: A5.1.6
2. En segundo lugar, como &d > 0 por definicin de la variable interna de la formulacin:
d
0 A5.1.7
de manera que de A5.1.3 se halla:
d
= e A5.1.8
En consecuencia se deduce que el incremento en la disipacin energtica ser:
& &d = e A5.1.9
Superficie lmite de degradacin.
En el apartado anterior se ha definido una relacin constitutiva a partir de unas consideraciones
energticas. Se deduca que las deformaciones y tensiones se relacionaban mediante una variable
de dao, variable interna de la formulacin, que ponderaba la aproximacin elstica. En el modelo es
necesario definir una superficie lmite que informe del estado actual de la variable, y por lo tanto,
saber si se est en comportamiento elstico o con dao. Matemticamente, la superficie de
degradacin es una funcin de discontinuidad en el espacio de tensiones, y tiene una relacin
directa con la superficie de fluencia que se defina en elastoplasticidad. Aprovechando dicha
analoga con la plasticidad, la funcin de degradacin se puede utilizar como criterio umbral de
existencia de dao.
Ilustracin 5.11: La energa de deformacin en el modelo
de dao
5.24 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
En consecuencia, se desea definir una funcin de degradacin, segn la cual el estado tensional
siempre deba estar en su superficie o en su interior, tal y como se enuncia en la teora de
plasticidad:
( ) ( ) ( )F , G G = A5.1.10 Donde debe ser una norma escalar de las tensiones y un parmetro de consistencia que
depende de las propiedades del material.
Varias funciones son posibles, pero se escoge en particular [O2]:
( )G*
*
=
1
1e
A A5.1.11
y anlogamente se define la funcin de endurecimiento como:
( )G
=
11
0oA
e A5.1.12
De las expresiones superiores A5.1.11 y A5.1.12 se observa que G es una funcin montona creciente y que se mueve en el intervalo [0,1], ntese que coincide con los mismas acotaciones que
debe tener la variable de dao. Asimismo, se define * como el valor umbral de la norma escalar de
tensiones y o como el valor lmite del dao obtenido de la condicin de consistencia. Finalmente
se define A como un parmetro que depende de las propiedades mecnicas del material y cuya expresin se deducir ms adelante. La analoga con plasticidad sigue siendo evidente donde la
primera funcin ( )G correspondera a uno de los criterios de fallo, Tresca, Von Mises, etc. y la
segunda ( )G sera la ley de endurecimiento del material.
Suponiendo que inicialmente se incrementa el estado tensional hasta llegar a un valor lmite donde
se inicia el dao, se cumple:
( )
=
=o
G o 0 A5.1.13
Por lo tanto, como el estado tensional no puede estar fuera de la superficie de degradacin,
necesariamente se debe cumplir que:
( )F , o = 0 A5.1.14
En consecuencia:
=
* *e
A 10 A5.1.15
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.25
La nica forma de cumplir esta igualdad es a travs de la exigencia:
= * A5.1.16
Por consiguiente, una forma muy simple de definir el lmite de degradacin ser a travs de la
expresin:
( ) ( )F , F , * * o = = = 0 A5.1.17 De donde se deriva que * = o y por lo tanto el parmetro umbral de consistencia del material
corresponde a un valor mximo admisible de la norma de tensiones.
Norma escalar de tensiones
El modelo necesita una norma de tensiones, de manera que dado un estado tensional triaxial real se
pueda calcular una tensin equivalente de comparacin que evale el trmino de la superficie lmite definida anteriormente en A5.1.10. La ilustracin 5.12 pretende dar un ejemplo sencillo de la
idea de comparacin en un estado plano de tensiones.
Nuevamente el planteamiento es equivalente al que se daba en plasticidad al definir un criterio de
fallo segn las expresiones de Von Mises, Tresca, etc. como se ha comentado anteriormente. En
caso de dao se define la norma escalar de tensiones de la siguiente forma:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) = + + +1 1 1 2 2 2 3 2r n e e e A5.1.18 siendo:
[ ]r
n
ie
ie
iie
ie
ie
comp
trac
c
t
= = +
= =
=
1
3 12
,
ff
max
max
A5.1.18 bis
Donde e D= es la aproximacin elstica de las tensiones y ie son las tensiones principales
elsticas de dicho tensor. Por lo tanto, la norma de tensiones representa una longitud ponderada
del tensor de tensiones en un espacio eucldeo. En el factor escalar de ponderacin, interviene la
Ilustracin 5.12: Criterio uniaxial de comparacin
5.26 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
relacin n que hay entre las mximas tensiones que soporta el material a compresin y a traccin, de
esta manera se tiene en cuenta el desigual comportamiento que pueda tener, segn est trabajando
en uno u otro estado de solicitacin. Finalmente el trmino r se ocupa de saber si en el estado
tensional actual predomina la traccin o la compresin.
Para aclarar conceptos, se analizan dos casos simples que permiten comprobar la correcta
definicin de las expresiones:
Caso uniaxial de traccin (tensin positiva) supuesto que se llega al lmite:
e te
ten= = A5.1.19
segn el criterio de comparacin A5.1.17:
( )F , * o = = 0 A5.1.20 en consecuencia la tensin umbral ser:
* cf= =n te A5.1.21
Caso uniaxial de compresin (tensin negativa) supuesto que se llega al lmite:
e ce
ce= = A5.1.22
en el criterio de comparacin:
( )F , * o = = 0 A5.1.23 y se obtiene que:
* cf= =ce A5.1.24
Por consiguiente, se definir de forma natural el valor umbral de la norma como la mxima tensin
admisible a compresin:
* max f= =comp c A5.1.25
Evolucin de la variable de dao
Finalmente es necesario definir la evolucin de la variable de dao. Anteriormente se ha comentado
que a medida que crece la degradacin, al material le cuesta cada vez ms generar energa de
deformacin que equilibre las solicitaciones, por lo tanto el valor de d debe ir cambiando a medida
que el dao aumente en la estructura.
Se define la ley de evolucin de la variable de dao como:
( )&d & F ,=
A5.1.26
siendo [ ]& & & = +12
Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao 5.27
En la expresin A5.1.26 el trmino & juega el papel del multiplicador plstico & que apareca en la
formulacin de la elastoplasticidad. Por su parte, la derivada parcial representa la direccin de
crecimiento de la superficie lmite respecto de las tensiones de comparacin. De manera que,
conceptualmente, la variable interna d tiene su analoga con la variable interna que apareca en la
deformacin elastoplstica del captulo 4:
d dtpt
&0
A5.1.27
Si se considera la superficie de degradacin definida anteriormente:
( ) ( ) ( )F , G G = = 0 A5.1.28 y se establece una variacin de la misma, se obtiene la condicin de consistencia de la formulacin
que fsicamente exige que el estado tensional no salga al exterior de la superficie lmite:
( ) ( ) ( )&F , &G & &G & = = 0 A5.1.29 y por la condicin en el inicio de la degradacin:
( ) ( ) ( ) ( )G G , &G &G = = A5.1.30 se deduce que:
& & = A5.1.31
En consecuencia, la variacin en la norma de tensiones definir la variacin en el parmetro de
consistencia.
Por otro lado, se ha definido la norma escalar de tensiones en A5.1.18, y se sabe que las tensiones
dependen de las deformaciones, por lo tanto se puede aplicar la regla de la cadena y obtener:
& &
= A5.1.32
Finalmente y utilizando las expresiones A5.1.26-32 se obtiene:
( ) ( )&d & F , : & G= =
A5.1.33
Como ilustracin del comportamiento general de la ley de la variable interna se van analizar los dos
estados posibles del problema, solicitacin frente a carga y frente a descarga:
5.28 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de dao
Caso de carga: Suponiendo que se entra en degradacin y que el estado tensional se sita en la
superficie lmite.
( )( )
( )
F ,
&d &G
d G
=
= =
0 A5.1.34
Caso de descarga: Suponiendo que el estado tensional entra en el interior de la superficie de
degradacin
( )F ,
& &d d .