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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnálisis de Variable Compleja

Luis Alberto Cadogan – Prof. Ingeniero Capítulo 1: Algebra de Números Complejos – Conjuntos

1. FUNDAMENTACIÓN................................................................................................................................22. SINOPSIS HISTÓRICA DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.................................23. CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS...........................................................................................53.1. Números Complejos. El plano Complejo. Representación gráfica................................................................64. FORMAS DE EXPRESAR NÚMEROS COMPLEJOS..........................................................................64.1. Forma binómica.............................................................................................................................................64.2. Forma de Par ordenado..................................................................................................................................64.3. Forma trigonométrica.....................................................................................................................................64.4. Forma exponencial.........................................................................................................................................74.5. Forma polar....................................................................................................................................................75. CASOS GENERALES DE NÚMEROS COMPLEJOS...........................................................................85.1. Número real puro...........................................................................................................................................85.2. Número imaginario puro................................................................................................................................85.3. Potencias de la unidad imaginaria..................................................................................................................96. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS.................................................................................96.1. Complejo conjugado......................................................................................................................................96.2. Complejo opuesto........................................................................................................................................106.3. Suma – Resta................................................................................................................................................106.4. Multiplicación..............................................................................................................................................116.5. División........................................................................................................................................................136.6. Potencia........................................................................................................................................................166.7. Radicación....................................................................................................................................................187. DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO.....................................................................................................198. FUNCIÓN ALGEBRAICA – FUNCIÓN TRANSCENDENTAL........................................................228.1. Teorema Fundamental del Algebra..............................................................................................................229. CONJUNTOS EN EL PLANO Z.............................................................................................................289.1. Curvas y Regiones en el plano complejo.....................................................................................................289.2. Puntos característicos – Intervalos – Entorno de un conjunto.....................................................................349.3. Arco de curva simple de Jordán...................................................................................................................38

Cap. 1 – 1



ALGEBRA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO.

1. FUNDAMENTACIÓN.

La teoría de funciones de variable compleja también denominada Variables

Complejas o Análisis Complejo es parte fundamental en la formación de Ingenieros,

Físicos, Matemáticos y otras especialidades. Existen muchos conceptos matemáticos

que se simplifican y unifican cuando se analizan desde la óptica del Análisis

Complejo.

Muchos problemas matemáticos pueden ser resueltos por medio de: Métodos que

implican la utilización de números complejos y funciones de variable compleja.

Algunos son problemas elementales para los cuales basta un conocimiento de los

números complejos:

Ecuaciones matemáticas con soluciones que son números complejos,

Problemas de circuitos eléctricos,

Sistemas mecánicos vibrantes, etc.

Otros son problemas más avanzados para los cuales es necesario conocer la teoría de

Funciones Analíticas Complejas (Análisis Complejo):

Dinámica de Fluidos,

Conducción de Calor,

Funciones de orden superior (la mayoría son analíticas),

Métodos de Integración Compleja, etc.

2. SINOPSIS HISTÓRICA DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.

La teoría actual de las funciones de variable compleja abarca un amplio dominio de

las matemáticas, haciéndose difícil enumerar todas sus ramificaciones. El concepto

de número imaginario y después complejo se conocía desde tiempos remotos,

introduciéndose con posterioridad el conjunto de operaciones con los números

complejos.

Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa, un

conjunto de importantes aplicaciones de los números complejos en diversas ramas de

la ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia se entremezclaban sin la

formulación de una concepción única.

Cap. 1 – 2



En el siglo XIX llegó el momento de crear la teoría general de las funciones de

variable compleja. Esta etapa de la historia, se caracterizó por la introducción de

definiciones precisas de los conceptos fundamentales, como por ejemplo la

interpretación geométrica del concepto de número complejo.

Un tratamiento teórico lo suficientemente general de la cuestión surgió inicialmente,

en los trabajos de Gauss y después en los de Cauchy. En 1831 Gauss publicó un

trabajo sobre la Teoría de los residuos bicuadráticos donde expuso la

fundamentación teórica y la interpretación geométrica de los números complejos,

dándoles por primera vez la denominación que se ha conservado hasta nuestros días.

En una carta de Gauss al astrónomo y matemático Bessel, escrita en 1811 y

publicada en 1880 daba la interpretación precisa de los números imaginarios, la

definición de integral en el plano complejo, el teorema integral, conocido

actualmente como Teorema de Cauchy, y el desarrollo de una función analítica en

series de potencias. De estos aspectos merece especial atención la integración en el

plano complejo, ya que la utilización de las variables complejas en los cálculos de

integrales definidas, difíciles, ejerció una gran influencia sobre el desarrollo de la

teoría de funciones de variable compleja.

Laplace hizo su contribución al Análisis Complejo, desarrollando el método de

resolución de ecuaciones lineales en diferencias y diferenciales, conocido bajo la

denominación de Transformada de Laplace. Ésta y otras transformadas similares,

permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia,

hidrodinámica, mecánica y conductividad térmica entre otros. Fue precisamente esta

presión de los problemas prácticos, lo que llevó a la necesidad de elaborar una teoría

de funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las demás partes

del Cálculo Infinitesimal.

El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy. Sus

primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes

imaginarias al cálculo de integrales definidas, formulando el Teorema Integral.

Durante los años siguientes 1826 – 1829 creó la teoría de los residuos,

desarrollándola en años posteriores y buscando nuevas aplicaciones. Junto a los

trabajos de Cauchy surgieron otros muchos sobre la teoría de funciones de variable

Cap. 1 – 3



compleja, entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y

Liouville.

Durante los años 40 quedó superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de

variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Riemann (1826 – 1866) en

los cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos

de las matemáticas.

Los resultados fundamentales de Riemann aparecen en sus obras "Fundamentos de la

teoría general de funciones de variable compleja" (1851) y en "Teoría de las

funciones de Abel" (1857). Entre los problemas analizados por Riemann citaremos el

de en qué medida las funciones analíticas se determinan por sus condiciones en la

frontera. Otro punto de desarrollo fue la interpretación geométrica de los números

complejos y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas

"Superficies de Riemann", también investigó diversas clases de funciones que

satisfacían ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. Partiendo

de las ideas de Riemann surgieron gran cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron

diferentes aspectos de la teoría de funciones de variable compleja.

Otra dirección en el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja,

denominada analítica se formó en los trabajos de Weierstrass (1815 – 1897), quien

elaboró un sistema de fundamentación lógica apoyándose en la rigurosa teoría de los

números reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y métodos

fundamentales.

Así, en esta época, la mayoría de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en

una de las tres direcciones:

La teoría de las funciones diferenciales de Cauchy,

Las ideas geométricas y físicas de Riemann y

La dirección analítica de Weierstrass.

Fue a finales de siglo XIX y a comienzos del siglo XX cuando se unificaron

conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de

variable compleja.

Cap. 1 – 4



3. CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS.

P: Conjunto de Nºs Primos: Nºs que son divisibles por si mismos y por la unidad.

N: Conjunto de Nºs Naturales.

0: El cero, y a su izquierda el conjunto de los Nºs negativos.

Z: Conjunto de Nºs Enteros.

Q: Conjunto de Nºs Racionales: pueden escribirse como el cociente de dos

números que pertenecen a los enteros.

Q’: Conjunto de los Nºs Irracionales.

R: Conjunto de Nºs Reales. Hasta aquí todos los números pueden representarse

sobre la recta Real.

C: Conjunto de los números Complejos.

Ecuación que dio origen a los Números Complejos: X2 + 1 = 0, al operar con

números reales no se pueden tratar cantidades del tipo , y se introduce el

concepto de número complejo: Z = X + iY, se define la unidad imaginaria .

El número complejo consta de una parte real Re{Z} y de una parte imaginaria

Im{Z}.

Forma general de un número complejo: Z = Re{Z} + iIm{Z} = X + iY.

Cap. 1 – 5

Q Q’

R

C

Z

N < 0 0 N

P



3.1. Números Complejos. El plano Complejo. Representación gráfica.

Para representar un número complejo usamos el Plano Complejo, conocido como

Diagrama de Argand (Jean Robert Argand).

Cap 1-Ejerc.1. Para Z = X + iY. Determinar:

1.1. Afijo de Z. Es el par ordenado (X; Y).

1.2. Módulo de Z. .

1.3. Norma de Z. .

1.4. Fase o argumento de Z.

Ángulo formado por la recta que va del origen al afijo y el semi eje positivo X.

.

4. FORMAS DE EXPRESAR NÚMEROS COMPLEJOS.

Podemos escribir un número complejo cualquiera Z de la siguiente forma:

4.1. Forma binómica.

Z = X + iY = Re{Z} + iIm{Z}

Re{Z} = X: parte real de Z. Im{Z} = Y: parte imaginaria de Z.

4.2. Forma de Par ordenado.

Z = (X; Y): el primer elemento: X = Re{Z}; el segundo elemento Y = Im{Z}.

4.3. Forma trigonométrica.

X = Re{Z} = Z cos Y = Im{Z}= Z sen

Z = X + iY = Z cos + i Z sen = Z{cos + i sen }.

Cap. 1 – 6

Re

Im

Re{Z}

Im{Z}Z



Cap 1-Ejerc.2. Ejemplos de números complejos en forma binómica.

2.1. Z = 3 + i4. Z: (3; 4) ; .

2.2. Z = – 4 + i5. Z: (– 4; 5) ; ;

4.4. Forma exponencial.

Forma módulo – argumento. Se basa en la fórmula de EULER: ei = cos + i sen

Fórmula de Euler: ei = cos + i sen, e –i = cos – i sen.

Identidad de Euler: ei + 1 = 0.

Z = Z.ei θ = Z{cos(θ) + isen(θ)}.

4.5. Forma polar.

Z = Z cos + isen

Dos número complejos en forma polar son iguales si tienen iguales sus módulos y si

sus argumentos son iguales o difieren en un número entero de circunferencias.

θ' = θ ± 2k k: entero. k = 0; ± 1; ± 2; ± 3 ......

k: = 0; ± 1; ± 2; ± 3 ......

Cap 1-Ejerc.3. Si Z = Z, calcular las componentes X e Y.

X = Zcos. Y = Zsen.

Cap 1-Ejerc.4. Dado: Z = – 3 + i3, representarlo gráficamente, y expresarlo en:

4.1. Forma Polar. 4,24135º.

4.2. Forma exponencial. .

4.3. Forma de Par Ordenado. Z = (– 3; 3).

Cap 1-Ejerc.5. Dado: Z = 4345º, Expresarlo en:

5.1. Forma binómica. Z = 30,4 + i 30,4.

5.2. Forma de par ordenado. Z: (30,4; 30,4).

5.3. Forma exponencial. .

Cap. 1 – 7



Cap 1-Ejerc.6. Utilizando la Fórmula de Euler, escribir en forma exponencial la:

6.1. Función sen. .

62 Función cos. .

6.3. Función tg. .

6.4. Función cotg. .

65 Función sec. .

6.6. Función cosec. .

5. CASOS GENERALES DE NÚMEROS COMPLEJOS.

5.1. Número real puro.

Z = (X; 0) número complejo con la parte imaginaria nula. A = a + i0 = a.

Cap 1-Ejerc.7. Expresar en forma: binómica, polar y exponencial el número complejo:

7.1. Z = (1; 0). Z = 1 + i 0 = 1(0º) = .

7.2. Z = (– 5; 0). Z = – 5 + i 0 = 5() = .

7.3. Z = – 1 Z = – 1 + i 0 = 1() = .

Cap 1-Ejerc.8. Dado Z = – 15; expresarlo en forma exponencial. Z = 15ei.

5.2. Número imaginario puro.

A = (0; b) número complejo con la parte real nula. A = 0 + ib = ib.

Cap 1-Ejerc.9. Expresar en forma polar el número complejo:

9.1. Z = (0; 1) es la unidad imaginaria. Z = i = 1(/2) = .

9.2. Z = (0; – 10). Z = – i10 = 10(3/2).

Cap 1-Ejerc.10. Conversión de la forma rectangular a polar:

Cap. 1 – 8



10.1. A = 7 + i 8 = 10,648,8º.

10.2. B = 6 – i 4 = 7,21– 33,69º.

10.3. A = – 4 + i12 = 12,64108,43º.

5.3. Potencias de la unidad imaginaria.

Cap 1-Ejerc.11. Graficar las potencias de la unidad imaginaria: .

a partir de esta potencia se repite.

Dividendo = divisor.Cociente + Resto D = dC + R

si d = 4

Cap 1-Ejerc.12. Graficar el número complejo:

12.1. Z = i307.

Contar de 1 hasta 307 o considerar que potencias de i van hasta 4 y luego se repite.

307/4 = 76 Resto = 3 Z = i307 = i3.

12.2. Z = i507. 507/4 = 126 Resto = 3 Z = i507 = i3.

12.3. Z = i 602. 602/4 = 150 Resto = 2 Z = i602 = i2 = – 1.

6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS.

6.1. Complejo conjugado.Para: Z = X + iY el complejo conjugado sera: Z* = X – iY.

Cap 1-Ejerc.13. Para cada número complejo definir su conjugado:

13.1. Z = 5 – i10 = 11,18–63,43º. Z = 5 + i10 = 11,1863,43º.

13.2. Z = – 5 – i10 = 11,18–116,56º. Z = – 5 + i10 = 11,18116,56º.

13.3. Z = – i10 = 10(3/2). Z = i10 = 10(/2).

6.2. Complejo opuesto.

Para: Z = X + iY el complejo opuesto será: .

Cap. 1 – 9

ii2

i3

i4



Cap 1-Ejerc.14. Determinar: El complejo conjugado y el opuesto para:

14.1. A = 5 – i10. A* = 5 + i10. A’ = – 5 + i10.

14.2. B = – 3 + i9. B* = – 3 – i9. B’ = 3 – i9.

Cap 1-Ejerc.15. Dado el número complejo: Z = 7 + i 8.

15.1. Identificar su parte real e imaginaria: Re{Z} = 7 Im{Z} = 8.

15.2. Calcular su módulo y su fase. Z=10,63 = 48,8º.

15.3. Encontrar su conjugado. Z* = 7 – i8.

15.4. y su opuesto. .

6.3. Suma – Resta.

Para calcular suma o resta de dos números complejos deben expresarse los mismos

en forma binómica, y se suman (o se restan) por separado sus partes real e

imaginaria. La parte real del resultado es la suma (o la resta) de la parte real de los

factores y la parte imaginaria del mismo es la suma (o la resta) de la parte imaginaria

de los factores.

Adición en la forma cartesiana: (a, b) + (c, d) = (a + c; b + d).

Adición en la forma binómica: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d).

S = A + B = (a + ib) + (c + id)

S = (a + c) + i (b + d)

R = (B – A) = (c + id) – (a + ib)

R = (c – a) + i (d – b)

Cap 1-Ejerc.16. Para: A = 5 – i10 y B = – 3 + i9; Calcular:

16.1. La suma S = A + B

S = (5 – i 10) + (– 3 + i9) = (5 – 3) +i(– 10 + 9) = 2 – i.

Cap. 1 – 10

B

A

S

A

B

– A

R

R



16.2. La diferencia. D = A – B

D = (5 – i 10) – (– 3 + i9) = (5 + 3) + i(– 10 – 9) = 8 – i19.

Cap 1-Ejerc.17. Para: A = 43ei30 y B = 92 – i 25. Calcular:

17.1. La suma y

17.2. La diferencia.

A = 43e i30 = 37,23 + i 21,5.

S = A + B = 129,23 – i 3,5. D = A – B = – 54,77 + i 46,5.

6.4. Multiplicación.

Multiplicamos: Z1= (a + ib) y Z2 = (c + id).

Z1.Z2 = (a + ib). (c + id) Aplicamos la Propiedad distributiva del producto:

Z1.Z2 = (ac – bd) + i (ad + bc) = (ac – bd; ad + bc).

Forma trigonométrica: A = |A|{cosθ + i senθ} B = |B|{cosα + i senα}.

C = AB = |A|.|B|{cosθ + i senθ}{cosα + i senα}

C = |A|.|B|{(cosθ.cosα – senθ.senα) + i(senθ.cosα + cosθ.senα).

Utilizamos las igualdades trigonométricas:

cos (θ + α) = cosθ.cosα – senθ.senα cos (θ – α) = cosθ.cosα + senθ.senα

sen (θ ± α) = senθ.cosα ± cosθ.senα

C = |A|.|B|{cos (θ + α) + isen (θ + α)}

El resultado es otro número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de

los factores y cuyo argumento es la suma de las fases de los factores. Para multiplicar

números complejos es más fácil colocar todos los factores en forma polar o

exponencial, pero también se pueden utilizar las formas cartesiana y binómica.

Dados: Z1 = X1 + iY1 y Z2 = X2 + i Y2 se puede calcular el producto de: (Z1*) Z2

(Z1*) Z2 = (X1 – iY1)(X2 + iY2) = (X1X2 + Y1Y2) + i(X1Y2 – X2Y1) = Z1.Z2 + iZ1xZ2

Producto Escalar de números complejos: Z1. Z2 = Re{Z1*Z2} = (X1 X2 + Y1Y2).

Producto Vectorial de números complejos: Z1x Z2 = Im{Z1*Z2}= (X1Y2 – X2Y1).

Cap 1-Ejerc.18. Dados los números complejos: Z1; y Z2: Calcular el producto de ambos.

18.1. Z1 = X1 + i Y1 Z2 = X2 + i Y2;

Z1Z2 = (X1 + i Y1)(X2 + i Y2) = (X1 X2 – Y1Y2 ) + i (X1 Y2 – X2 Y1)

Cap. 1 – 11



18.2. Z1 = Z1ei Z2 = Z2ei.

Z1 Z2 = Z1Z2ei;

18.3. Z1 = Z1 ; Z2 = Z2 .

Z1 Z2 = Z1Z2( +

Cap 1-Ejerc.19. Probar que:

LCDD.

Cap 1-Ejerc.20. Dados dos números complejos Z1 = 3 + i 4 Z2 = 2 – i 5 Calcular el:

20.1. {Z1*Z2}= {(3 – i 4)(2 – i 5) = – 14 – i 23.

20.2. Producto escalar de ambos: Z1. Z2 = Re{Z1*Z2}= Re{(3 – i4)(2 – i5)} = – 14.

20.3. Producto Vectorial de ambos: Z1x Z2 = Im{(3 – i4)(2 – i5)} = – 23.

Cap 1-Ejerc.21. Para los números complejos A = (2 – 3i) y B = (2 + 3i). Calcular

21.1. AB 13.

21.2. El producto escalar. – 5.

21.3. El producto vectorial. 12.

Cap 1-Ejerc.22. Calcular el producto de: A = 4 + i3 = 536,87º y B = 3 + i4 = 553,13º.

AB = (4 + i3)( 3 + i4) = i25.

AB = (536,87º)(553,13º) = 2590º.

Cap 1-Ejerc.23. Dados A = 10,63 e(–i48,81) y B = 9 + i4 calcular el producto.

Cap 1-Ejerc.24. Demostrar que multiplicar un número complejo por i equivale a rotar el

radio vector /2 en sentido anti horario.

Cap 1-Ejerc.25. Dada la ecuación compleja calcular los valores de X e Y.

Cap. 1 – 12



(1 – Yi) = (X + i)(1 + 2i) 1 – iY = (X – 2) + i(2X + 1)

Para que dos números complejos sean iguales deben ser iguales sus partes real e

imaginaria: X – 2 = 1 X = 3. 2X + 1 = – Y Y = – 7.

Cap 1-Ejerc.26. Dado el número complejo Z:

26.1. Determinar el Inverso Aditivo (IA = A = u + iv) tal que: Z + A = 0.

(X + iY) + (u + iv) = 0 + i0

(X + u) = 0 u = – X. (Y + v) = 0 v = – Y.

26.2. Determinar el inverso multiplicativo (IM = B = u + iv) tal que: Z.B = 1 + i0.

(X + iY)(u + iv) = 1 + i0

Xu – Yv = 1 (1)

Yu + Xv = 0 (2)

6.5. División.

para racionalizar el denominador multiplicamos, por su

conjugado, numerador y denominador :

.

Forma exponencial: A = Aei B = Bei .

Forma polar: A = A . B = B . .

El resultado es otro número complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos de

los factores y cuyo argumento es la diferencia de las fases de los factores. Para

dividir números complejos la forma más fácil es colocar todos los factores en la

Cap. 1 – 13



forma exponencial o forma polar, pero también se pueden utilizar las formas

cartesiana y binómica.

Cap 1-Ejerc.27. Calcular el cociente de:

27.1. A = 4 + i3 = 536,87º y B = 3 + i4 = 553,13º.

A/B = 0,96 – i0,28 = 1–16,26º.

27.2. A = 7 – i8 = 10,63 e(–i48,81) B = 9 + i4 = 9,85 e(i23,96). A/B = 0,3 – i1.03.

Cap 1-Ejerc.28. Dado el número complejo: . Determinar:

28.1. La parte real del mismo, Re {Z}, Re{Z} = 1.

28.2. La parte imaginaria del mismo, Im {Z}. Im {Z} = – 1.

Cap 1-Ejerc.29. Encontrar el valor de dos números complejos de modo que la suma de

ambos sea (1 + i6) y el cociente de ambos sea imaginario puro. Considerar

que la parte real del divisor (para calcular el cociente) es igual a 1.

Z1 = (a + ib) Z2 = (c + id)

Z1 + Z2 = (a + 1) + i (b + d) = 1 + i 6. a = 0.

bd = 0; como a = 0, b tiene que ser diferente de cero por lo tanto d = 0.

Z1 = i6 y Z2 = 1.

Cap 1-Ejerc.30. Resolver:

30.1. . Z = 1 – i3.

30.2. . Z = 9,5 + i4,5.

30.3. .

Cap. 1 – 14



Cap 1-Ejerc.31. Probar que:

LCDD.

Cap 1-Ejerc.32. Para que la suma (z + w) dividida por la diferencia (z – w) de dos números

complejos sea un número imaginario puro; verificar que ambos deben tener

el mismo módulo.

Para que se cumpla la igualdad debemos tener: z = w LCDD.

Cap 1-Ejerc.33. Dado el número complejo: , determinar el valor de Z

33.1. Para que Z sea un número real puro.

. 3X – 12 = 0 X = 4.

33.2. Para que Z sea un número imaginario puro.

9 + 4X = 0 X = – 9/4.

6.6. Potencia.

Dado: A = Aeiel resultado de elevar dicho número a la potencia “n”. B = An

B = (Ane i n B = (Ancos(n) + i sen(n)].

Cap 1-Ejerc.34. Desarrollar la Fórmula de De Moivre: (ei ) n = (cos + i sen )n

Aplicando la Fórmula de Euler: (ei ) n = cos(n) + i sen(n)]

(ei ) n = (cos + i sen )n cos(n) + i sen(n)].

Cap 1-Ejerc.35. Demostración del Teorema de De Moivre:

Cap. 1 – 15



(cos + i sen )n = cos n + i sen n.

Utilizamos el Teorema de la Inducción completa:

(1º) Consideramos para n = 1 y vemos que el Teorema es claramente válido:

(cos + isen) = cos + isen.

(2º) Suponemos válido para n = k (cos + isen)k = cos(k) + isen(k).

(3º) Multiplicamos ambos lados por: {cos + i sen}.

(cos + i sen)k{cos + i sen} = {cos(k) + i sen(k)}{cos + i sen}

(cos + i sen)(k +1) = cos(k) cos + i cos(k)sen + i sen(k)cos – sen(k) sen =

= cos(k) cos – sen(k) sen + i{sen(k)cos + cos(k)sen} =

= cos{(k) + } + i sen{(k) + } = cos{(k + 1)} + i sen{(k +1)}.

(cos + i sen)(k +1) = cos{(k + 1)} + i sen{(k +1)}.

Será válido para todo (k + 1) que es un entero positivo.

Cap 1-Ejerc.36. Análisis de la fórmula de De Moivre para n = 2:

(cos + isen)2 = cos(2) + isen(2).

cos2 – sen2 + i2cos.sen = cos(2) + i sen(2)

cos 2 = cos2 – sen2 sen 2 = 2cos . sen

Cap. 1 – 16



Cap 1-Ejerc.37. Análisis de la fórmula de De Moivre para n = 3:

(cos + isen)3 = cos(3) + isen(3).

cos3 + 3cos2(isen) + 3cos(isen)2 + (isen)3 = Agrupamos parte real e imag.

(cos3 – 3cossen2) + i(3cos2sen – sen3) =

cos(3) = cos( + 2) = coscos(2) – sensen(2) =

= cos{cos2 – sen2} – sen{2cossen} =

= cos3 – cossen2 –2cossen2} = cos3 – 3cossen2

sen(3) = sen( + 2) = sencos(2) + sen(2)cos =

= sen{cos2 – sen2} + {2cossen}cos =

= sencos2 – sen3 + 2cos2sen = 3cos2sen – sen3

(cos + isen)3 = (cos3 – 3cossen2) + i(3cos2sen – sen3) = cos(3) + isen(3).

Cap 1-Ejerc.38. Para el número complejo dado calcular:

38.1. A = 7 – i8 = 10,63 e(– i 48,81). A2 = –15 – i 112 = 113–97,63º.

38.2. Z = 2 – i. Z4 = (2,23(–26,56)4 = – 7 – i24.

Cap 1-Ejerc.39. Dado el número complejo: . Calcular: Re {Z}, Im {Z}.

.

Z = 3,6–169º = 3,6(360º–169º) = 3,6191º = 3,6(180º+11º).

Cap 1-Ejerc.40. Encontrar un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

Si: Z = X + i Y; entonces: Z2 = (X + i Y)2. y Z* = X – iY.

X2 + i 2XY – Y2 = X – i Y. Igualamos entre si las partes real e imaginaria:

X2 – Y2 = X 2XY= – Y .

y .

Cap. 1 – 17



6.7. Radicación.

La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n, y recordando

que si a la fase de un número complejo le sumamos cantidades enteras de 2 (un

giro completo = 360º) el número complejo no varia.

A = A = A (k2 k = 0; 1; 2; 3; …

k = 0; 1; 2; 3; (n – 1).

Cap 1-Ejerc.41. Encontrar la raíz cuadrada de:

41.1. Z = – 15 – i8 = 17(– 152º) = 17(208º).

k = 0; 1. B0 = 4,12104º. B1 = 4,12284º.

41.2. Z = 5 + 2i = 5,4(22º). Z0 = 2,311º Z1 = 2,3191º.

Cap 1-Ejerc.42. Resolver: Z = i2/3. .

Cap 1-Ejerc.43. Determinar .

Z0 = 563,5º. Z1 = 5153,5º. Z2 = 5243,5º. Z3 = 5333,5º.

Cap 1-Ejerc.44. Resolver la ecuación: Z3 = 1.

; k = 0; 1, 2. Z0 = 1 Z1 = 1120º Z2 = 1240º.

Si n = 2 las raices son: Z = + 1 y Z = – 1.

Para n 3, las raices corresponden a puntos ubicados en

vértices de un polígono regular inscripto en el círculo

unitario centrado en el origen. Para n = 3 tenemos un

triángulo equilátero:

Cap. 1 – 18



Cap 1-Ejerc.45. Resolver la ecuación: Z6 = 1.

k = 0; 1, 2, 3, 4, 5.

Z0 = 1 Z1 = 160º Z2 = 1120º

Z3 = 1180º Z4 = 1240º Z5 = 1300º

Los 6 puntos son Vértices de un exágono regular.

7. DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO.

Cap 1-Ejerc.46. Verificar la desigualdad triangular:

46.1. | Z1 + Z2 | | Z1 | + | Z2 |. En todo triángulo un lado cualquiera (|Z1 + Z2|) será siempre

menor o igual que la suma de los otros dos lados (| Z1 | + | Z2 |).

Elevamos al cuadrado.

Es verdadero, para cualquier valor de X e Y. Luego volvemos

hacia arriba para llegar a la desigualdad del triángulo. LCDD.

Cap. 1 – 19

Z1

Z2

Z1 + Z2

Z1 – Z2



46.2. Z1 + Z2 Z1– Z2En todo triángulo un lado cualquiera |Z1 + Z2| será siempre

mayor o igual que la diferencia de los otros dos lados: | Z1 | – | Z2 |.

Z1 = ( Z1 + Z2) + (– Z2) ( Z1 + Z2)+ – Z2

Z1 Z1 + Z2+ Z2 de donde se verífica que:

Z1 + Z2 Z1 – Z2. LCDD.

46.3. Formas alternativas de la Desigualdad triangular. Si cambiamos: Z2 por (– Z2).

Z1 – Z2 Z1+ Z2.

Z1 – Z2 Z1– Z2.

46.4. Desigualdad del triángulo generalizada: En todo trayecto, la distancia menor entre

dos puntos es la línea recta: |Z1 + Z2 + Z 3| |Z1| + |Z 2| + |Z 3|

Z1 + Z2 +…… + Zn Z1 + Z2+ ……+Zn.

Verificación por el Método de la Inducción Completa:

Paso 1: tomamos n = 2: Z1 + Z2 Z1 + Z2y ya verificamos que se cumple.

Paso 2: suponemos válida para n = k, un entero cualquiera:

Z1 + Z2 +…… + Zk Z1 + Z2+ ……+Zk.

Paso 3: Y verificamos para n = k + 1:

Z1 + Z2 +…… + Zk + Zk+1 Z1+Z2 +…… +Zk+ Zk+1.

Aplicamos la Propiedad Asociativa de la suma al término de la izquierda:

(Z1 + Z2 +…… + Zk) + Zk+1 aplicamos la Desigualdad Triangular ya verificada, y

podemos escribir:

(Z1 + Z2 +…… + Zk) + Zk+1 (Z1 + Z2 +…… + Zk)+ Zk+1.

Y volviendo a aplicar la Desigualdad Triangular tenemos:

(Z1 + Z2 +…… + Zk) + Zk+1 Z1+Z2 +…… +Zk+ Zk+1.

La Desigualdad Triangular se cumple para cualquier entero, LCDD.

Cap 1-Ejerc.47. Verificar la desigualdad del triángulo para:

Cap. 1 – 20



47.1. Z1 = 2 + i 4 y Z2 = 3 + i 6

47.2. Z1 = – 2 – i 4 y Z2 = – 3 – i 6

47.3. Z1 = – 2 – i 4 y Z2 = 3 – i 6

47.4. Z1 = 2 – i 4 y Z2 = 3 + i 6.

Cap 1-Ejerc.48. Desigualdad del paralelogramo. Dados A = p + iq y B = h + ig, Demostrar

que:

LCDD.

Cap 1-Ejerc.49. Para Z = 1 + i2 y w = 3 + i4. Determinar:

49.1. Forma polar de Z y de w.

Z = 2,2363,43º w = 553,13º

49.2. Cuadrado de Z y de w.

Z2 = 5127º = – 3 + i4 w2 = 25106,26º = – 7 + i24.

49.3. Conjugado de Z y de w.

Z = 1 – i2 = 2.23–63,43º w = 5–53,13º.

49.4. Opuesto de Z y de w.

Z = – 1 – i2 w = – 3 – i4.

Cap 1-Ejerc.50. Resolver: .

Z = 0,2 – i0,6.

Cap. 1 – 21



8. FUNCIÓN ALGEBRAICA – FUNCIÓN TRANSCENDENTAL.

8.1. Teorema Fundamental del Algebra.

Dice que todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene tiene n raíces

en el cuerpo de los complejos. No importa que alguna de las raices pueda estar

repetida (significa que la gráfica corta al eje X varias veces en el mismo punto). Se

atribuye la primera demostración a Gauss.

P0(Z)wn + P1(Z)wn–1 + .... + Pn–1(Z)w + Pn(Z) = 0.

Existen muchas formulaciones equivalentes del TFA: Cada polinomio real puede ser

expresado como producto de factores lineales reales o cuadráticos reales.

Donde: P0(Z) 0; P1(Z) ..... Pn(Z) son polinomios en Z y n entero.

Entonces w = F(Z) es una Función algebraica de Z. Cualquier F(Z) que no pueda

expresarse como una solución de la ecuación anterior se dice que es una: Función

trascendental.

Ejemplo de Función trascendental:

Función exponencial: ; en forma genérica: .

Función Logarítmica. w = LnZ.

Funciones Trigonométricas y sus inversas: senZ; cosZ; tgZ; cotgZ; secZ y

cosecZ; arcsenZ; arccosZ; arctgZ; arccotgZ; arcsecZ y arccosecZ.

Funciones Trigonométricas Hiperbólicas y sus inversas.

Las funciones polinómicas y las trascendentales se llaman Funciones elementales,

que es un sub conjunto de las funciones especiales (Una función especial es una

función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis

matemático, física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones establecidas.)

Algunos ejemplos de funciones no elementales:

Función módulo (Valor Absoluto).

Función escalón unitario. .

Otro teorema importante del álgebra dice que si un número complejo es raiz de una

ecuación, su conjugado también es raíz de esa ecuación. De aquí se deduce que un

polinomio de grado impar siempre tiene, al menos, una raíz real.

Cap 1-Ejerc.51. Encontrar las raíces de la ecuación:

Cap. 1 – 22



51.1. 5Z2 + 2Z + 10 = 0 Z1 = 1,4198ºº. Z2 = 1,41–98º.

51.2. Z2 + Z + 1 = 0.

. Z1 = (– 0,5 + i0,866) Z2 = (– 0,5 – i0,866).

Cap 1-Ejerc.52. Resolver la ecuación: Z4 + Z2 + 1 = 0.

Hacemos un cambio de variable para simplificar la ecuación: A = Z2

A2 + A + 1 = 0 A1 = 1120º; A2 = 1–120º

k = 0; 1

Z1 = 160º = 0,5 + i 0.866 Z 2 = 1240º = – 0,5 – i 0.866.

k = 0; 1

Z3 = 1(– 60º) = 0,5 – i 0.866 Z4 = 1(120º) = – 0,5 + i 0.866.

Cap 1-Ejerc.53. Resolver: Z2 + (– 3 + i2)Z + (5 – i) = 0

A = 1; B = – 3 + i2; C = 5 – i.

. Z1 = 1 + i = 1,4145º. Z2 = 2 – i 3 = 3,6304º.

Cap 1-Ejerc.54. Encontrar las raíces de la ecuación: Z4 – 3 (1 + i 2) Z2 – (8 – i6) = 0.

Hacemos una sustitución de variable: Z2 = A. A2 – (3 + i 6) A – (8 – i 6) = 0.

A1 = 3 + i4 A1 = i2

Z1 = 2,2 27º Z2 = 2,2 207º

Z3 = 2,2 45º Z4 =2,2207º.

Cap 1-Ejerc.55. Encontrar las seis raíces de la ecuación: Z6 + 729 = 0

Z6 = – 729 Número imaginario puro. Podemos escribir: Z6 = 729180º

Cap. 1 – 23



Módulo del resultado: = 3.

Fase del resultado: k = 0; 1; 2; 3; 4; 5

k 0 1 2 3 4 5

30º 90º 150º 210º 270º 330º

Z0 = 330º Z1 = 390º Z2 = 3150º.

Z3 = 3210º Z4 = 3270º Z5 = 3330º.

Los puntos coinciden con los vértices de un exágono

inscripto a la circunferencia con centro en el

origen y radio 3.

Cap 1-Ejerc.56. Resolver las ecuaciones:

56.1. Z4 + 81 = 0.

k = 0; 1; 2; 3.

Z0 = 345º Z1 = 3135º Z2 = 3225º. Z3 = 3315º.

56.2. .

Z0 = 1,120º Z1 = 1,180º Z2 = 1,1140º.

Z3 = 1,1200º Z4 = 1,1260º Z5 = 1,1320º.

Cap. 1 – 24



Cap 1-Ejerc.57. Resolver: 6Z4 – 25Z3 + 32Z2 + 3Z – 10 = 0.

Ecuación Polinómica: A0Zn + A1Zn–1 + A2Zn–2 +... + An = 0.

Identificar el término independiente: An = 10 y sus divisores: p: 1 2 5

10.

Identifica el término A0 = 6 y sus divisores: q: 1 2 3 6.

Una de las raíces del polinomio será uno de los cocientes de Z = (p/q).

Zn = p/q = 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, 2/3, 5, 5/2, 5/3, 5/6, 10, 10/3.

6 –25 32 3 –10

– 1/2 –3 14 –23 10

6 –28 46 –20 0

Z1 = – 1/2; Z2 = 2/3; Z3 = 2 + i; Z4 = 2 – i.

.

Cap 1-Ejerc.58. Probar que Z es un número real puro si y solo si Z* = Z.

Z R Z* = Z. Si: Z = X + iY Z* = X – iY + Y no puede ser igual a – Y;

por lo tanto Y debe ser igual a 0; por lo tanto Z = X + i0 es un número real puro.

Cap 1-Ejerc.59. Probar que si Z2 = (Z*)2 para Z no nulo; Z es un número real puro o un

número imaginario puro.

Z R o Im; Z = X + i0 o Z = 0 + iY (Z*)2 = Z2.

Si: Z = X + iY Z* = X – iY

Z2 = (X + iY)2 = (X2 – Y2) + i2XY (1)

(Z*)2 = (X – iY)2 = (X2 – Y2) – i2XY (2)

Para que (Z*)2 = Z2 debemos tener que la parte imaginaria de ambas expresiones (1)

y (2) debe anularse pues no podemos tener: 2XY = – 2XY. Para esto podemos tener

X = 0 en cuyo caso Z = 0 + iY = iY es imaginario puro o

Y = 0 en cuyo caso Z = X + i0 = X es un número real puro.

Cap. 1 – 25



Cap 1-Ejerc.60. Hallar el valor de “a” para que el resultado sea un número real puro.

60.1. .

.

(9 + 3a) = 0 a = – 3.

60.2. .

.

(9 + 2a) = 0 .

Cap 1-Ejerc.61. Para: ; Hallar a y b para que Z: sea real y de módulo la

unidad.

Para que Z sea Real: 9b – 4a2 = 0 (1)

Módulo unitario: 12b + 3a2 = 25(1)

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones: a = (3)1/2 b = 4/3.

Cap. 1 – 26



Cap 1-Ejerc.62. Para los números: Z1 = X1 + i Y1 y Z2 = X2 + i Y2. Demostrar:

62.1. (Z1 + Z2)* = (Z1)* + (Z2)*

{(X1 + X2) – i (Y1 + Y2)} = (X1 – i Y1) + ( X2 – i Y2)

{(X1 + X2) – i (Y1 + Y2)} = (X1 + X2) – i (Y1 + Y2) LCDD.

62.2. (Z1.Z2)* = ( Z1)*(Z2)*

{(X1 + iY1)(X2 + iY2)}* = {(X1X2 – Y1Y2) + i(X1Y2 + X2Y1)}* =

(Z1.Z2)* = {(X1X2 – Y1Y2) – i (X1Y2 + X2Y1)}

(Z1)*(Z2)* = (X1 – iY1)(X2 – iY2) =

(Z1)*(Z2)* ={(X1X2 – Y1Y2) – i(X1Y2 + X2Y1)} = (Z1.Z2)* LCDD.

62.3. Z1.Z22 = Z12Z22.

Z1.Z22 = (X1X2 – Y1Y2)2 + (X1Y2 + X2Y1) 2 2 =

Z12 = X12 + Y1

2 = Z22 = X22 + Y2

2 =

Z12Z22 = (X1X2 )2 – 2 X1X2Y1Y2 + (Y1Y2)2 + X1Y22+ 2 X1X2Y1Y2 + X2Y1

2

Z12Z22 = X12X2

2 + Y12Y2

2 + X12Y2

2 + X22Y1

2 =

Z12Z22 = X12(X2

2 +Y22 ) + Y1

2(X22Y1

2 + X12) =

Z12Z22 = (X12 + Y1

2) + (X22 +Y2

2 ) = Z1.Z22 LCDD.

62.4.

LCDD.

Cap. 1 – 27



9. CONJUNTOS EN EL PLANO Z.

Conjunto de puntos en el Plano Z significa una colección que puede ser finita:

Puntos aislados;

Soluciones de una ecuación;

o infinita:

Puntos de una figura geométrica.

9.1. Curvas y Regiones en el plano complejo.

Cap 1-Ejerc.63. Ejemplos de algunas regiones en el plano complejo:

63.1. Circunferencia Unitaria, con centro en el origen C en (0; 0) y radio r = 1: Z= 1.

63.2. Región exterior a la Circunferencia Unitaria: Z> 1.

63.3. Circunferencia con Centro en a y radio = Z – a = .

63.4. Región exteriorde la circunferencia: Z – a >

63.5. Disco Unitario (circulo) Cerrado Z1.

63.6. Disco (circulo) Unitario Abierto: Z< 1.

63.7. Exterior del Disco unitario cerrado. Z> 1.

63.8. Disco Circular Abierto: Vecindad de a Z – a

63.9. Disco CircularCerrado: Z – a .

63.10. Disco Circular Cerrado con C (3 – i) y r = 4 Z – 3 + i 4.

63.11. Anillo Circular Abierto o Corona Abierta: 1<Z – a < 2

Cap. 1 – 28



Cap 1-Ejerc.64. Hallar el lugar geométrico y trazar las gráficas correspondientes de los

puntos Z:

64.1. Z = 7 Circunferencia Unitaria, centro en el origen C en (0; 0) y radio r = 7.

64.2. Z – i = 5 Circunferencia con Centro en Z = i y radio = 5

64.3. Z + 3 – 2i1 Disco Circular Cerrado con C (– 3 + i2) y r = 1.

64.4. Z + 3 – 2i1 Exterior del Circular Cerrado con C (– 3 + i2).

Cap 1-Ejerc.65. Representar el segmento de recta AB usando Números Complejos.

Z1 = X1 + i Y1 posición de punto A.

Z2 = X2 + i Y2 posición de punto B.

Z = AB = OB – OA = Z2 – Z1.

Z = AB = (X2 – X1) + i(Y2 – Y1)

Z = X + iY = (X2 – X1) + i(Y2 – Y1)

| Z | =| AB | = | (X2 – X1) + i(Y2 – Y1) |

Cap. 1 – 29

X

Y

Z1

Z2

Z2 – Z1

O

A

B



Cap 1-Ejerc.66. Probar que las diagonales de un paralelogramo se dividen en partes iguales.

La diagonal menor (d): d = AC = Z2 – Z1

El segmento AP es una porción de “d”: AP = m(AC) = m(Z2 – Z1) 0 m

1.

La diagonal mayor (D): D = OB = Z1 + Z2

El segmento OP es una porción de “D” OP = n(OB) = n(Z1 + Z2) 0 n 1

AP = OP – Z1 = n(Z1 + Z2) – Z1 = m(Z2 – Z1)

nZ1 + nZ2 – Z1 – mZ2 + mZ1 = 0

Z1(n + m – 1) + Z2(n – m) = 0

Como Z1 y Z2 deben ser diferentes de cero, pues en caso contrario no habría

paralelogramo, para que se cumpla la igualdad los coeficientes deben ser nulos :

(n + m – 1) = 0 (1)

(n – m) = 0 (2) m = n

m = 1/2 = n LCDD.

Cap. 1 – 30

O

Z1

Z2

A

C

P

B



Cap 1-Ejerc.67. Encontrar una Ecuación para la Línea Recta que pasa por A B.

Vector de Posición del

punto A(X1; Y1):

Z1 = X1 + i Y1

Vector de Posición del

punto B(X2; Y2):

Z2 = X2 + i Y2

P Punto genérico de AB: Z = X + i Y AB = Z2 – Z1

AP = Z – Z1 = t (AB) = t(Z2 – Z1) Z = tZ2 – tZ1 + Z1.

Z = (1 – t) Z1 + t Z2 Ec. de la recta en el plano complejo: Z = Z1 + t Z2 – t Z1.

X + i Y = (X1 + i Y1) + t(X2 + i Y2) – t (X1 + i Y1).

X + i Y = X1 + tX2 – tX1 + i (Y1 + t(Y2 – Y1))

Ecuaciones paramétricas de la Línea Recta

X – X1 = t(X2 – X1) (1)

Y – Y1 = t (Y2 – Y1) (2)

(2)/(1): Ecuación cartesiana de la Línea Recta.

Ec. Punto Pendiente de la Línea Recta.

Proporcionalidad de los segmentos: p(AP) = q(PB) p(Z – Z1) = q(Z2 – Z)

Si el punto divide al segmento AB en dos partes iguales: m = n = 1, tenemos las

coordenadas del punto medio.

Cap. 1 – 31

A

B

P

Z1

ZZ2

O



Cap 1-Ejerc.68. Los puntos: A(1; – 2) B(– 3; 4) y C(2; 2) son vértices de un triángulo.

Encontrar la longitud de la Mediana desde el vértice C.

Vectores Posición: A: Z1 = 1 – i 2 B: Z2 = – 3 + i 4 C: Z3 = 2 + i 2

AB = Z2 – Z1 = – 4 + i6

BC = Z3 – Z2 = 5 – i2

AC = Z3 – Z1 = 1 + i 4

D es el punto medio del lado AB: AD = (1/2)AB

AD + DC = AC DC = AC – DC = AC – AB/2 = 1 + i4 + 2 – i3 = 3 + i.

DC |CD | = (10)1/2.

Mediana desde el vértice B:

M es el punto medio del lado AC: AM = AC/2

AM + MB = AB MB = AB – AM = AB – AC/2 = – 4 + i6 – 1/2 – i2 = – 9/2 + i4.

|MB | = 6,02.

Cap. 1 – 32

C

B

Z2

A

Z1

Z3

D



Cap 1-Ejerc.69. Encontrar Ecuación de la Circunferencia de r = 4 con centro en C: (– 2; 1).

Punto del Centro de la CIA: Zc = – 2 + i

Punto Genérico de la CIA: Z = X + i Y

| Z – Zc | = | Z + 2 – i| = 4 Ecuación de la Circunferencia.

|(X + 2) + i(Y – 1)| = 4 Ecuación Cartesiana (X + 2)2 + (Y – 1) 2 = 16

Cap 1-Ejerc.70. Encontrar la ecuación de la ELIPSE con focos en: F( 3; 0) y longitud del

eje mayor EM = 2a = 10.

ZF + ZF’ = 2a = 10

| Z – 3| + |Z + 3 | = 10 Elipse

Cap. 1 – 33

4

Z



9.2. Puntos característicos – Intervalos – Entorno de un conjunto.

Intervalo Rectangular.

Intervalo Rectangular abierto: S = {P(X; Y) / a < X < b c < Y < d }.

Intervalo Rectangular Cerrado: S = {P(X; Y) / a X b c Y d }.

Puntos Característicos de un conjunto dado:

Vecindad () circular, entorno Circular de Z0, alrededor de Z0, incluyendo al mismo.

|Z – Z0 | < S = {P(X; Y) / (X – a)2 + (Y – b)2 < 2 }.

Vecindad Reducida (r), entorno Circular Reducido de Z0, no incluye a Z0,:

0 < | Z – Z0 | < se omite Z0. S = {P(X; Y) / 0 < (X – a)2 + (Y – b)2 < 2 }

1. Punto Aislado: dado un Zi S, podemos encontrar un entorno () que contiene

solamente a dicho punto, el mismo es un punto aislado.

S1: Conjunto de los Números enteros;

S1: {P(X; Y)/X Z ^ Y Z} todos los Zi S1: son PA.

Cap. 1 – 34

a b

c

d



2. Punto Límite o P. de Acumulación: si dado un Zi S, o que S podemos

encontrar una vecindad reducida (r) de Zi que contiene puntos de S estamos en

presencia de un P. Límite o de Acumulación, puede pertenecer o no a S. Toda

vecindad de x contiene un punto de S distinto a x. es un punto x en X que puede ser

"aproximado" por puntos de S distintos a x tanto como queramos

S1: {P(X; Y)/X Z ^ Y Z} no tiene P.L.

S2: {P(X; Y)/X2 + Y2 < }. todos los Zi S2: son PL o de acumulación.

S3: X2 + Y2 = Los puntos de X2 + Y2 = el borde de la circunferencia)

también son P.L. de S2 no pertenecen a S2 pero en todo entorno suyo hay puntos que

pertenecen a S2.

3. Punto Interior de S: si dado un Zi S, podemos encontrar una vecindad () de Zi

cuyos puntos todos S estamos en presencia de un P. Interior de S.

S1: {P(X; Y)/X Z ^ Y Z} No tiene P.I..

S2: {P(X; Y)/X2 + Y2 < }. Todos los Zi S2: son P.I..

S3: X2 + Y2 = No tiene P.I..

S4: X2 + Y2 Los puntos que están en el borde de la circunferencia no son

Punto Interior de S4 ya que para cada Zi del borde se define una vecindad la cual

contendrá puntos que no pertenecen a S4.

4. Punto Frontera: Si podemos encontrar una de Zi tal que la misma contenga

puntos que S y otros que S, tenemos un P.F. (PF puede o S).

S1: {P(X; Y) / X Z ^ Y Z} cada punto es un PF.

S2: {P(X; Y)/X2 + Y2 < }. todos los Zi S3: X2 + Y2 = son PF S2.

S3: X2 + Y2 = todos los Zi S3 son PF.

S4: X2 + Y2 Los puntos que están en el borde de la

circunferencia son PF de S4.

Cap. 1 – 35



5. Punto Exterior de S: (PE S) dado un Zi que S, podemos encontrar una

vecindad () de Zi cuyos puntos ninguno S estamos en presencia de un P. E de S.

Los puntos que están fuera del Lugar geométrico que representa al conjunto son

Punto Exterior del mismo. El P.E. no es Interior ni Frontera.

S1: {P(X; Y) / X Z ^ Y Z} Podemos decir que todos los puntos que no

pertenecen a los Enteros son P.E.

S2: {P(X; Y)/X2 + Y2 < }. todos los Zi S: X2 + Y2 > son P.E. S2.

S3: X2 + Y2 = todos los Zi que están dentro o fuera de la

circunferencia son P.E.

S4: X2 + Y2 todos los Zi S: X2 + Y2 > son P.E. S4.

6. Interior de un Conjunto: conjunto de todos los Puntos Interiores del conjunto.

7. Exterior de un Conjunto: conjunto de todos los Puntos Exteriores del conjunto.

8. Frontera de un conjunto: conjunto formado por todos los Puntos Frontera del

conjunto.

9. Contorno de un conjunto: todos los puntos no exteriores que son puntos de

acumulación de puntos exteriores.

¿Cuál es el contorno para el conjunto S2: {P(X; Y)/X2 + Y2 < }?

Es el conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia: X2 + Y2 =

Cap. 1 – 36



Clasificación de conjuntos:

10. Conjunto Cerrado: si su complemento es abierto. S es cerrado si cada Punto Límite

de S S. S contiene todos sus P. L.

| Z | 2.

| Z – Z0 | R.

(X + iY) (1 + i).

S5: {P(X; Y)/ a X b c Y d }. Intervalo Rectangular Cerrado.

11. Conjunto Acotado: si se puede encontrar M > 0 tal que | Z | < M.

| Z | 2. Si hacemos M = 2 el conjunto está acotado.

S7: {i; i/2; i/3; i/4;....} = {i/n} es acotado (e Infinito) si tomamos M = 2 todos los

Zi están dentro de un círculo de r = 2 y C(0;0)

12. Conjunto Compacto: Si S es cerrado y acotado se dice que el conjunto es compacto.

S5: {P(X; Y)/ a X b c Y d }. Conjunto Compacto.

13. Conjunto no Acotado: Si S no tiene limite, no puede ser acotado.

| Z | > 4. El conjunto no está acotado.

14. Conjunto Abierto: Consta solamente de Puntos Interiores. Si cada punto de S tiene

una vecindad formada enteramente por puntos que S.

| Z | < 2

| Z – Z0 | < R

(X + iY) < (1 + i).

1<Z – a < 2 Anillo Circular Abierto o Corona Abierta.

S6: {P(X; Y) / a < X < b c < Y < d }. Intervalo Rectangular abierto.

15. Conjunto Conexo: dado un Conjunto Abierto S si cualquier par de puntos del

mismo pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de rectas (camino

poligonal) contenidos en S se define que S es Conexo. Si el C. Abierto es Conexo

estamos en presencia de una Región Abierta o Dominio.

Condiciones para tener un C. Conexo:

(I) El Conjunto debe ser abierto.

Cap. 1 – 37



(II) Cualquier par de puntos de S debe poder ser unido por un camino poligonal

contenido en S.

16. Clausura de un Conjunto: Si a S le agregamos todos sus puntos límites tenemos la

Clausura de S y es un C. Cerrado.

17. Clausura de una Región abierta: Región Cerrada: la clausura de una Región

Abierta o Dominio (le agregamos todos sus puntos límites) se llama una Región

Cerrada.

18. Numerabilidad de un Conjunto: si cada Z0 de S puede colocarse en

correspondencia con los Números Naturales.

19. Teorema de Bolzano – Weiertrass: Todo conjunto S acotado e infinito tiene por lo

menos un Punto Límite.

20. Teorema de Heine – Borel: Sea S compacto tal que cada punto está contenido en

uno o más de los Conjuntos Abiertos A1, A2, .. (que forman un recubrimiento de S)

Existe un número finito de los C. Abiertos A1, A2, .. Que cubren a S.

9.3. Arco de curva simple de Jordán.Consideremos las ecuaciones Paramétricas de una curva:

X = X(t) Y = Y(t); donde X(t) e Y(t) son continuas.

Si la curva es abierta, los extremos no coinciden, [X(a); Y(a)] [X(b); Y(b)]. Existe

correspondencia biunivoca entre la curva y los puntos de a < t < b

Un Conjunto Abierto (S) se define como un Conjunto Conexo: Si dos puntos del

mismo se pueden unir por un arco simple de Jordán, cuyos puntos S.

Otra forma de definir el mismo es: Si todo par de Puntos de un conjunto S pueden ser

unidos por un camino formado por segmentos de rectas contenidos en S (camino

poligonal), tenemos un Conjunto Conexo.

Cap. 1 – 38



21. Conjunto Simplemente Conexo: Si para toda curva simple cerrada de Jordán que

S, la Región Interior S. La curva simple de Jordán podemos hacerla tan pequeña

como un punto y sus elementos deben seguir siendo los de S, el conjunto no debe

tener agujeros.

Para que un Conjunto sea Simplemente Conexo debe ser Conexo pero no todo

Conjunto Conexo es Simplemente Conexo.

22. Conjunto múltiplemente conexo o Región Múltiplemente conexa.

El conjunto puede tener agujeros

Cap. 1 – 39



Cap 1-Ejerc.71. Dados Z = {P(X; Y)/X Z ^ Y Z}y S = {P(X; Y)/X2 + Y2 < }

71.1. ¿Son cerrados? Z no es cerrado; S no es cerrado.

71.2. ¿Son acotados? Z no es acotado. S es acotado si hacemos M 1.

71.3. ¿Son compactos? Para que un conjunto sea compacto debe ser cerrado y acotado.

Z no es cerrado ni es acotado. S es acotado pero no es cerrado. Ni Z ni S son

compactos.

71.4. ¿Son abiertos? Z no es abierto. S es abierto.

71.5. ¿Son conexos? Z no es conexo. S es conexo.

Puntos característicos Conjunto Z Conjunto S

Vecindad () Se define Se define

Vecindad reducida (r) Se define Se define

P. Aislado Todos los Z0 son aislados Ningún S0 es aislado

P. Límite o de acumulación o S

No tiene P. Límite Todos los S0 son P. Límite.Los puntos de X2 + Y2 = son P. Límite

P. Interior No tiene P. Interior Todos los S0 son P. Interior

P. Exterior S Todo Z0 Z es P. Exterior Todo S0 S (X2 + Y2 es P. Exterior

P. Frontera puede o S (si no es exterior ni interior)

Todo Z0 Z es P. Frontera Todos los puntos de X2 + Y2 =

Contorno del Conjunto Contorno de Z0 Todos los puntos de X2 + Y2 =

Conjunto Cerrado Z no es cerrado S no es cerrado

Conjunto Acotado Z no es acotado S es acotado. M = 1

Conjunto Compacto(si es cerrado y acotado)

Z no es compacto S no es compacto

Conjunto Abierto Z no es abierto S es abierto

Cap. 1 – 40



Cap 1-Ejerc.72. Para el conjunto S = {i; i/2; i/3; i/4;....} = {i/n}, tenemos:

Vecindad: se puede definir una vecindad | Z – Z0 | < alrededor de cada Z0 .

Vecindad Reducida:se puede definir una vecindad reducida | Z – Z0 | < ralrededor

de cada Z0.

Punto Interior: No existe P.I.

Punto Frontera: cada círculo de r = con Centro en i/n contiene puntos Zn S y

puntos que S. Cada punto de S y Z = 0 son P.F. de S.

Punto Exterior: no existe.

Punto de Acumulación: Toda rde Z = 0 contiene puntos de S. Z = 0 es un P.

Acumulación (único).

C. Cerrado: S no es cerrado. P.L. Z0 = 0 S.

C. Acotado: S Acotado (e Infinito) si tomamos M = 2 | Z | < 2 todos Z n están

dentro de un círculo de r = 2 y C(0;0).

C. Compacto: no es compacto, es acotado pero no es cerrado.

C. Abierto: S no consiste de P. interiores no puede ser Abierto. S1 no es abierto

ni cerrado.

C. Conexo: (S1 no es abierto) Uniendo dos puntos de S1 por un camino poligonal,

dentro tendremos puntos S1. S1 no es conexo.

R. Abierta o Dominio: S1 no es Abierto ni conexo por eso no es una R. Abierta o

Dominio.

Clausura de S1 : La clausura de S es el propio S con el P. de acumulación Z0 = 0

Cs = {0; i; i/2; i/3; i/4;....}.

Complemento de S1:conjunto de Zn S.

Numerabilidad de S1: cada Z0 de S1 corresponde uno a uno con los N. Naturales.

Teorema de Bolzano – Weiertrass: Se cumple. S1 es acotado e infinito y tiene un

P.L.

Es compacta la clausura de S1: La clausura de S1: Cs es acotada y es cerrada por lo

tanto es un conjunto compacto.

Cap 1-Ejerc.73. Analizar el siguiente conjunto:

Cap. 1 – 41i

1



S1 = (X + i Y) < 1 + i (todos los puntos dentro del cuadrado, no incluye el borde del

mismo.

S2 = (X + i Y) 1 + i (todos los puntos dentro y sobre el cuadrado)

a) Es S acotado? S1 y S2 son Acotados

Se puede encontrar un M > 0 tq | Z | < M

b) Cuáles son los puntos límites de S?

S1 Cada P. Dentro o sobre el cuadrado es P. Límite.

S2 Cada P. de S es P. Límite.

c) Es S cerrado? S1 no es Cerrado S2 Si

d) Cuáles son sus Puntos Interiores y Fronteras?

S1 todo P. que está dentro del cuadrado es P.I. Cada punto sobre la frontera es P.F.

S2 todo P. que está dentro es P.I. Cada punto sobre la frontera es P.F.

e) Es S abierto? S1 Es abierto (está formado solamente por P.I.)

S2 Es cerrado. No es abierto (contiene P. I.y P. F.).

f) Es S conexo? S1 abierto y es conexo. S2 no es conexo (no es abierto).

g) Es S una región abierta o Dominio? S1 es abierto y conexo por lo tanto es una R.

Abierta o Dominio. S2 No es abierto ni conexo no es una R. Abierta o Dominio.

h) Cuál es la clausura de S? de S1 C de todos los P. dentro y sobre la F. del

cuadrado.

CS1 : X + iY 1 + i. De S2 el propio S2

Cap. 1 – 42



i) Cuál es el complemento de S?

de S1 C de todos los puntos (a + ib)

Para 0 < a < 1; 0 < b < 1; a y b son racionales de S1 todos los puntos exteriores al

cuadrado sobre su Frontera de S2 todos los puntos exteriores al cuadrado.

j) Es S numerable? S1 y S2 Si

k) Es S compacto? S1 No es compacto (no cerrado). S2 Si es compacto (es cerrado y

acotado)

l) Es la clausura de S compacta? En ambos casos la clausura es cerrada y acotada por

lo tanto es compacta.

Cap. 1 – 43