Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
317
13
13.1 DEFINICIÓN 13.2 DIMENSIÓN 13.3 CLASES DE MATRICES 13.4 IGUALDAD DE MATRICES 13.5 OPERACIONES 13.6 DETERMINANTE 13.7 MATRIZ INVERSA
Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.
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318
OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina arreglo matricial. Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices
simétricas. Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices. Halle determinantes de matrices. Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales. Justifique la existencia de la inversa de una matriz Determine, de existir, la inversa de una matriz.
13.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula.
nglón
R
RRR
aaaa
aaaaaaaaaaaa
A
CCCC
Columna
mmnmmm
n
n
n
n
Re
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
321
→
=
↓
A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en que se encuentra el elemento, es decir:
13.2 DIMENSIÓN La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la cantidad de columnas que posea. Al decir nmA × , se indica que A es una matriz que tiene m filas y n columnas.
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319
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320
Ejemplos
32201
312
×
−
−=A A→ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas.
33321
210321
×
−−−
=B B→ es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas.
Ejercicio Propuesto 13.1
1. Determine la matriz ( )ijaA =×34 para la cual 2−+= jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con
objeto de calcular 21a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 121221 =−+=a ].
13.3 CLASES DE MATRICES
13.3.1 MATRIZ CUADRADA
Una matriz nmA × es cuadrada si y sólo
sí nm = . Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de
columnas y se lo denota como nnA × .
Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal para los elementos ija donde ji = .
Así como también aparecen las siguientes clases de matrices:
13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.
=×
nnnnn
n
n
n
nn
aaaa
aaaaaaaaaaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
Diagonal Principal
=×
nn
n
n
n
nn
a
aaaaaaaaa
A
000
000
333
22322
1131211
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321
13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros.
13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que
están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.
13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la
diagonal principal.
13.3.1.5 MATRIZ CERO Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser
cuadrada como puede no serlo.
=×
nnnnn
nn
aaaa
aaaaa
a
A
321
333231
2221
11
000000
=×
nn
nn
a
aa
a
A
000
000000000
33
22
11
== ××
1000
010000100001
nnnn IA
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322
13.4 IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices nmA × y nmB × son iguales si y
sólo si: ijij ba =
Es decir, sus elementos respectivos son iguales.
Ejercicios propuestos 13.2 1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen:
a)
=
4321
32y
x
b)
−−
+=
−+
−−
150325
172
243
11
3112
43w
v
yux
t
zy
x
2. Dadas las matrices:
+
+−+=
243012
4232
3
2321
k
kkkkA y
=
043012232
B entonces el valor de
321 kkk ++ , tal que BA = , es:
a) 45
− b) 32
− c) 3 d) 21 e)
23
13.5 OPERACIONES
13.5.1 SUMA
Sean BA∧ dos matrices de nm × , entonces:
nmnmnm CBA ××× =+ , donde ijijij bac +=
Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de la matriz B .
Ejemplo Sean las matrices
32321112
×
−=A y
32312101
×
−−
−=B
hallar BAC += . SOLUCIÓN:
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323
32
3232
031211
)3(312)2(11101)1(2
312101
321112
×
××
−
−=
−++−+++−−+
=
−−
−+
−=+=
C
BAC
13.5.1.1 PROPIEDADES
Sean nmA × , nmB × y nmC × , matrices.
Entonces: 1. ABBA +=+ 2. ( ) ( )CBACBA ++=++
3. AA =+ 0 , donde ≡×nm0 Matriz Cero 4. ( ) 0=−+ AA
13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sea IR∈α y la matriz nmA × , entonces: nmnm CA ×× =α , donde
ijij ac α=
Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la constante α a los elementos de la matriz A .
Ejemplo
Si tenemos la matriz
−=
321012
A , entonces:
−=
−=
−==
642024
)2(3)2(2)2(1)2(0)2(1)2(2
321012
22AC
13.5.2.1 PROPIEDADES
Sean nmA × y nmB × matrices; y
IR∈βα, , entonces: 1. ( ) BABA α+α=+α 2. ( ) ( ) ( )AAA αβ=βα=αβ
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324
13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES
Sea A una matriz de nm × y sea B una matriz de qn× ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la
matriz B ) entonces: qmqnnm CBA ××× =
donde njinjijijiij babababac ++++= 332211
Es decir, el elemento ijc se lo obtiene sumando algebraicamente los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B .
Ejemplo Para las matrices
32321112
×
−=A y
33111320
111
×
−−
−=B
Obtengamos la matriz ABC =
Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 3 filas. Entonces:
32232221
131211323332
××××
==
cccccc
CBA
6)1)(1()3)(1()1)(2(5)1)(1()2)(1()1)(2(
1)1)(1()0)(1()1)(2(
13
12
11
=+−−+==+−−+=−=+−+−=
ccc
2)1)(3()3)(2()1)(1(0)1)(3()2)(2()1)(1(2)1)(3()0)(2()1)(1(
23
22
21
−=+−+==+−+==++−=
ccc
Por lo tanto:
−
−=× 202
65132C
13.5.3.1 PROPIEDADES
Sea IR∈α y CBA ,, matrices.
Entonces: 1. ( ) ACABCBA +=+ 2. AAI = 3. ( ) ( )BABAAB α=α=α
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325
4. ( ) ( )BCACAB = Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser
tales que se puedan realizar las operaciones indicadas.
Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ?
Ejercicio Resuelto
Si se tienen las matrices
−−−
−−−
=
232
3201
2kkkA y
−−
−−
−−
=
3213
11025
3
k
kkkB , entonces el valor
de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1
SOLUCIÓN: Al multiplicar la matriz 33×A con la matriz 33×B resulta una matriz 33×C . El asunto es que
33×C sea triangular superior, entonces 000 323121 =∧=∧= ccc . Es decir:
3333
2322
131211
33333300
0
×
×××
==
cccccc
CBA
032)1)(3())(()2)(( 221 =−−=−+−−+−= kkkkkc
045)2)(2())(3()10(
023)1)(2())(3()2(
323232
2231
32
2
=++=−−+−−+−
−=
=++=−−+−−+−
−=
kkkkc
kkkc
kk
k
Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones
1. ( )( )13
0130322
−=∨==+−=−−
kkkk
kk 2. ( )( )
12012
0232
−=∨−==++=++
kkkk
kk 3.
( )( )140
0140)45(
0452
23
−=∨−=∨==++=++
=++
kkkkkkkkk
kkk
Observe que sólo 1−=k satisface las tres condiciones, por tanto RESPUESTA: Opción "a"
Ejercicios Propuestos 13.3
1. Efectuar las operaciones:
a)
−
−+
− 821
210741312
b)
−−
−+
−
301423
2103
654012321
2
c)
−−
321
654321
132
d)
−
−
−
1213
304201
654321
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326
2. Calcule IAA 322 −+ para
=
3221
A
3. Al multiplicar la matriz
=
dcba
A por la matriz
−=
0433
B se obtiene la matriz
−−−−
=6231
C , entonces la SUMA de dcba +++ es:
a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3
4. Considerando las siguientes matrices:
( )304;31
2;
33
2104
;42
3011
=
−=
−−−
=
−= DCBA . Determine
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)
−−
−=+
71
1115
BA b)
−−=9012304
608CD
c) CA + no está definida d)
=
99
AD
e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.
5. Dadas las matrices:
=
4321
A y
−−−
=2312
B encuentre:
a) ( )2BA + b) 22 2 BABA ++
6. Sean las matrices:
−
=1
1qp
A y
−−
=1211
B encuentre " p " y " q " para que
( ) 222 BABA +=+ .
13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA
Sea ( )ijaA = una matriz de nm × . Entonces su matriz transpuesta, denotada como ( )ji
t aA = ,
es de mn× y se obtiene tomando las filas de la matriz A como columnas para la matriz tA y por ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz tA .
Ejemplo
La matriz transpuesta para la matriz 32321
112
×
−=A es
23312112
×
−=tA
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327
13.5.4.1 PROPIEDADES
Sean nmA × y nmB × matrices,
entonces: 1. ( ) AA tt = 2. ( ) ttt BABA +=+ 3. ( ) ttt ABAB =
MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz nnA × es simétrica si y sólo si
AAt = Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiij aa =
Ejemplo
La matriz
−−
−=
213102321
A es simétrica porque AAt =
−−
−=
213102321
Ejercicio Propuesto 13.4
1. Sea la matriz
=
410538642
A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz
( )tAA−24 es:
a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9
13.6 DETERMINANTE
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328
Sea A una matriz de nn× . El DETERMINANTE de A , denotado por A o también Adet , se define de la
siguiente manera:
1. Si [ ] 111111 aAaA =→=×
2. Si 211222112221
121122 aaaaA
aaaa
A −=→
=×
3. Si 1313
1212
1111
333231
232221
131211
33 AaAaAaA
aaa
aaa
aaa
A ++=→
=×
Donde ijA se llama cofactor y se define como:
Entonces
3231
222113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aaaa
aaaaa
aA +−=
NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna.
¿Cómo sería el determinante?
La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden,
44×
Ejemplo
Hallar el determinante de la matriz
−=001153
412A
SOLUCIÓN: Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
329
5312
013
420
1541
1001153
412+
−−
−=−=A
[ ] 21)5)(4()1)(1(1
0015
411
−=−−=
++−
=
A
A
13.6.1. PROPIEDADES
Sean nnA × y nnB × matrices, entonces: 1. BAAB = 2. AAt =
Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta.
13.6.2 OTRAS PROPIEDADES
1. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal entonces su determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo
Para la matriz triangular superior
−
−=
3004105102
A calculando su determinante
por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos:
[ ] 6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(2003041
2 −=−=−−=+−−
=A .
¡Generalícelo!
2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o múltiplos entonces su
determinante es igual a "0".
Ejemplo
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
330
Al hallar el determinante de la matriz
−−
=62
31A cuya segunda fila es 2−
veces la primera, encontramos que:
0
)2)(3()6)(1(
=
−−−=
A
A
Lo mismo ocurre con esta matriz
−−−−
−−−
−
=
190310612113212
2010156321
A , note que la
cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A
¡Generalícelo!
3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz entonces su determinante cambia de signo.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
−
−=
5431
A entonces 7125 −=−=A
Si formamos la matriz
−
−=
3154
B (intercambiamos las filas de la matriz A )
entonces 7512 =−=B . ¡Generalícelo!
4. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A los multiplicamos por una constante 0≠k , entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz A .
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
=
2221
1211
aaaa
A entonces
22122211 aaaaA −=
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
331
Si formamos la matriz
=
2221
1211aakaka
B (multiplicamos por k a todos los elementos de
la primera fila de la matriz A ) entonces AkaaaakakaakaB =−=−= )( 2112221121122211 .
En cambio el AkkA n= ¿POR QUÉ?
5. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A les sumamos respectivamente k veces otra fila o columna,
entonces el determinante no varía.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
=
2221
1211
aaaa
A entonces
22122211 aaaaA −=
Si formamos la matriz
++
=12221121
1211kaakaa
aaB (a los elementos de la segunda
fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila) entonces
Aaaaa
akaaaakaaakaaakaaaB
=−=
−−+=
+−+=
21122211
1112211212112211
112112122211 )()(
Ejercicios Propuestos 13.5
1. Dadas las matrices:
−=
320121
A y
−
=111021
B entonces el valor de:
( )tABdet es: a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25
2. Calcule los siguientes determinantes:
a)
001153
412− b)
1021112030120101
−−
−
3. Sean las matrices:
−=
=
=
−
−=
3223
;111111
;110
001
;501410123
DCBA, entonces el
valor del ( )[ ]DCBA TT −..det es:
a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44
4. Los valores de IRx∈ que satisfacen la ecuación: 60100
99023
=−x
xxx
son:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
332
a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1
5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 31
32001
2 =+−
xxxxx , son:
a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0
6. Al calcular 034201122>
−
x
x, se obtiene:
a) 0=x b) 5>x c) 0>x d) 3>x e) 2<x
7. El valor del determinante de la matriz
−
−−
=
012
123log2
1log18log3
101ln
2
x
xxe
A es:
a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4
13.7 MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz de nn× . Si existe una matriz 1−
×nnA tal que IAAAA == −− 11 , se dice
que A es inversible
En este caso a la matriz 1−×nnA se la llama la matriz inversa de A .
Si 1−A existe se dice que A es una matriz no singular. Caso contrario, es decir que 1−A no exista, se dice que A es una matriz singular.
Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula:
( )tAA
A ˆ11 =− , donde ≡A
Matriz de Cofactores.
Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la
existencia de la matriz inversa)
Teorema. 1−A existe si y sólo si 0≠A
Ejercicio resuelto 1
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
333
De existir, hallar la inversa de la matriz
−
−=
5431
A
SOLUCIÓN: Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz inversa. A continuación hallamos la matriz de cofactores
−−−−
=
−+−
−−+=
=
1345
)1()3()4()5(
2221
1211
AAAAA
Entonces:
( )
=
−−−−
−=
−−−−
−==
−
−
71
74
73
75
1
11435
71
1345
711
A
AA
At
t
Comprobando
=
=
−
−=−
1001
7007
71
1435
71
54311AA
Ejercicio resuelto 2
De existir, hallar la inversa de la matriz
−=
012130201
A
El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 −=−+−=A
Y su matriz de cofactores:
+−−+−−−+−−+−−+
=)3()1()6()1()4()2()6()2()1(
A =
−−−−
−
316142621
Entonces su matriz inversa es:
−−−−
=
−−−−−
−=
−−−−
−
−=−
316142621
111
316142621
111
316142621
1111
t
A
Comprobando
=
=
−−−−
−=−
100010001
110001100011
111
316142621
111
012130201
1AA
13.7.1. Propiedades
Sean nnA × y nnB × matrices inversibles,
entonces: 1. ( ) AA =
−− 11
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
334
2. A
A 11 =−
3. ( ) ( ) 11 −− = tt AA 4. ( ) 111 −−− = ABAB
Ejercicio resuelto 3
Sea X una matriz tal que:
−
=
040321
8432
X . Entonces X es igual a:
a)
− 040
672 b)
− 046702
c)
−−− 341672
d)
−−
3647
12 e)
−−
341672
SOLUCIÓN: Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros
−
=
−−
040321
8432 11 AXA
A
−
=
−
=
−
−
040321
040321
1
1
Ax
AIx
Hallemos la inversa de
=
8432
A , para lo cual
41216 =−=A y
+−−+
=2348
A entonces
−−
=
−
−=−
21
43
11
22348
41
t
A
Por lo tanto
−−−
=
−−−
=
−
−
−=
341672
1216424288
040321
2438
41
41x
Respuesta: Opción "c"
Ejercicio resuelto 4
Dada la matriz
−−
−=
kkkkA
31
43101
los valores de "k" que hacen que la matriz A
no tenga inversa, son: a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2± y 6± d) 2 y -6 e) -2 y -6
Solución: Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
335
( )
( )( )26
0260128
0912
0)9(0121
031
3101
2
2
2
4
−=∨−==++=++
=−++
=+−−−+
=−−
−
kkkk
kk
kkk
kkk
kkk k
RESPUESTA: Opción "e"
Ejercicios Propuestos 13.6
1. Dada la matriz A=
−
112020312
, la matriz inversa de A es igual a:
a)
−
−−
21
21
21
0210
43
21
41
b)
−
−
−
2104
32
12
12
12
1041
c)
−−−−
406444402
d)
−−−
−
222020321
e)
−−−
−
444040642
2. Dadas las matrices:
=
4231
A y
−
−=
1312
B verifique que ( ) 111 −−− = ABAB
3. Dada la matriz
=
654021432
A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) 6−=A b)
=+
12108042864
AA c)
−−
−
−−
=−
61
31
21
32
321
34
312
1A
d)
−−
−−
−
=−
61
32
34
31
32
31
2112
1A e) 48−=+ AA
4. Encuentre la inversa de cada matriz, si existe:
a)
− 11
23 b)
−
−−
213112321
c)
012120001
d)
987654321
e)
−
−−
2103111130322111
5. Dada la matriz
−
−−
=
4221log
131log14log8log
2
2
22A
. Entonces su MATRIZ INVERSA es:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
336
a)
−−−−
−−−=−
93181363110
3111A
b)
−−−−−−
−=−
98331311610
3111A
c)
−−−−
−−=−
93181363110
3111A
d)
−−−−−−
=−
98331311610
3111A
e) A no tiene inversa
6. Sea la matríz
=
021230312
A, entonces su MATRIZ INVERSA, es:
a)
−−
−−=−
633432764
1511A
b)
−−
−=−
647336324
1511A
c)
−−
−−=−
647336324
1511A
d)
−−
−=−
633432764
1511A
e) A no tiene inversa
7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial:
−=
−
1013
06
1011
02A
8. Sea A una matriz tal que
=
3221
A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela:
a)
=
94412A b) 1=A c)
−=−
91
41
41
1 1A
d)
=−+
1612124
322 IAA e)
=−
31
21
21
1 1A
9. Si
−−=
4332
A , y además,
=−
dcba
A 1 , entonces el valor de ( )( )da
cb−− , es:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3
10. Dada la matriz
−β−−
=04120421
A entonces el valor de IR∈β para que la matriz NO TENGA
INVERSA es: a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2
11. Sean las matrices
−
=
−−
=
−
−=
011321
4221
,5432
CyBA , entonces es cierto que:
a)
=−
10211B b)
−−=
6363
CB c)
−−
=2010164
AB
d)
−−
−−=−
12
23
25
1A e)
−
−
=−
511
111A
12. Sea A la matriz:
−
−−
305164021
entonces es verdad que:
a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10 e) det(ATA-1)=1
Misceláneos
1. Sean las matrices
−−
=5124
A y
−−
=k
B2
14 . El valor de " k " para que BA detdet =
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
337
a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1
2. La matriz X que satisface la ecuación
=
301243
2011
X
a)
21
23
21
420
b)
0000
21
21
c)
23
21
21
25
04
d)
110111 e)
−−
004
21
21
25
3. Sea la matriz
−
−=
103010207
A
Entonces su MATRIZ INVERSA es:
a)
=−
703010201
1A b)
−−−
−−=−
703010
2011A
c)
=−
2702
302
10
1021
1A d)
−
−=
103010207
A
e) La matriz A no tiene inversa.
4. Sean las matrices
−
−=
113202
A ,
−
−=
211201
B y
=
054021
C
Entonces el VALOR del ( )( )[ ]TCBADet 2− es: a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100
5. Sean A, B y C matrices tales que,
−=123110
521A ,
=
145026005
B y
=
241300620
C . Entonces
es VERDAD que:
a) 6detdetdet 2
−=−
CBA
b) CAT detdet = c) ( ) 5det =AB
d) TCB detdet = e) A no tiene inversa o B si tiene inversa.
6. Sea la matriz
=
3324
A . Entonces los VALORES de “ λ ” tal que ( ) 0det =λ− IA , son:
a) 1 y 6 b)–1 y –6 c)1 y –6 d)–6 y 1 e) 7 y 6
7. Dada la matriz
−−
−=
304213012
A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de
1−A es: a) 343
90− b) 790− c) 343
90
d) 343180− e) 441
90−
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
338
8. El DETERMINANTE de la matriz
−−=
1021024204731136101152122
A es:
a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5
9. Sea la matriz
=
0112
A ; entonces es VERDAD que:
a)
=
12152A b)
=−
01021A c)
=
255123A
d) [ ]
=−
100121A e)
=⋅
0211
IA
10. La matriz X , tal que:
−=
1312
4311
X es:
a)
−
−=
4352
X b)
−
−=
4355
X c)
=
0112
X
d)
−−
=4251
X e)
−=
2011
X
11. Dadas las matrices:
−=
200121
A y
=
014131
B y ABC = . Entonces La MATRIZ INVERSA
1−C , es:
a)
−−=−
022130152
1C b)
−−=−
011235202
1C
c)
−−=−
041
41
81
830
81
85
41
1C d)
−
−=−
081
81
41
83
85
4104
11C
e) La matriz C no tiene inversa.
12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que: a) La Matriz A tiene inversa. b) La matriz A es una matriz cuadrada. c) La matriz A tiene 2 filas iguales. d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32. e) El determinante de la matriz inversa 1−A es igual a 16
1 .
13. Sea la matriz
−
−=
032120111
A entonces su MATRIZ INVERSA 1−A es:
a)
−−=−
011321201
1A b)
−−−−
−=−
254122133
1A
c)
−−−−−
=−
211523423
1A d)
=−
100010001
1A
e) La matriz A no tiene inversa.
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
339
14. Sean A y B matrices tales que:
−−
−=
212110
211A y
−−=111201
321B , entonces el valor
de ( )ABDet es: a)-35 b)7 c)-7 d)-5 e)35
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