Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
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CAPÍTULO V
DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL
PARA LAS VARIABLES DEL PROCESO DE
COCCIÓN
5.1 INFLUENCIA DE UN SISTEMA DE CONTROL EN LA
OPTIMIZACIÓN DEL HORNO.
Un sistema de control es muy importante para la optimización de un horno, a fin de
proporcionar un producto económico, útil para la sociedad. Los objetivos del sistema de
control son complementarios, ya que para poderlo controlar más efectivamente, el
sistema debe ser entendido y modelado.
El control de un proceso industrial (fabricación, producción y otros) por medios
automáticos en vez de humanos se conoce frecuentemente como automatización. La
aplicación de un sistema de control en nuestra sociedad industrial, se usa para aumentar
la producción del horno por trabajador, a fin de compensar los salarios crecientes y los
costos inflacionarios.
El sistema de control se empleará para conseguir:
1. Un mejor rendimiento del horno.
2. Obtener productos de mejor calidad.
3. Disminuir los costos de producción.
4. Aumentar la producción.
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5.2 DETERMINACIÓN DE LOS SENSORES Y ACTUADORES
5.2.1 Sensores de temperatura.
Primero se describirá como opera cada tipo de transductor de temperatura, se analizaran
las especificaciones técnicas de los mismos (de manera comercial) para determinar
cuales son los factores más importantes a considerar para la elección de los mismos.
Conceptos Básicos Transductores de Temperatura.- Los transductores eléctricos de
temperatura utilizan diversos fenómenos que son influidos por la temperatura y entre los
cuales figuran:
Variación de resistencia en un conductor (sondas de resistencia).
Variación de resistencia de un semiconductor (termistores).
f.e.m. creada en la unión de dos metales distintos (termopares).
Intensidad de la radiación total emitida por el cuerpo (pirómetros de radiación).
Otros fenómenos utilizados en laboratorio (velocidad del sonido en un gas,
frecuencia de resonancia de un cristal, etc.).
Los metales puros tienen un coeficiente de resistencia de temperatura positivo bastante
constante. El coeficiente de resistencia de temperatura, generalmente llamado
coeficiente de temperatura es la razón de cambio de resistencia al cambio de
temperatura. Un coeficiente positivo significa que la resistencia aumenta a medida que
aumenta la temperatura. Si el coeficiente es constante, significa que el factor de
proporcionalidad entre la resistencia y la temperatura es constante y que la resistencia y
la temperatura se graficarán en una línea recta.
Cuando se usa un alambre de metal puro para la medición de temperatura, se le refiere
como detector resistivo de temperatura, o RTD (por las siglas en ingles de resistive
temperature detector).
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Cuando se usan óxidos metálicos para la medición de temperatura, el material de oxido
metálicos conformado en forma que se asemejan a pequeños bulbos o pequeños
capacitores, el dispositivo formado así se llama Termistor. Los mismos que tienen
coeficientes de temperatura negativos grandes que no son constantes. En otras palabras,
el cambio de resistencia por unidad de cambio de temperatura es mucho mayor que para
el metal puro, pero el cambio es en la otra dirección: la resistencia disminuye a medida
que se aumenta la temperatura. El hecho de que el coeficiente no sea constante significa
que el cambio en la resistencia por unidad de cambio de temperatura es diferente.
La linealidad extrema de los termistores los hace poco apropiados para la medición de
temperatura a través de rangos amplios. Sin embargo, para la medición de temperaturas
dentro de bandas angostas, están muy bien dotados, pues dan una gran respuesta a un
cambio de temperatura pequeño. Como regla general, los termistores son preferibles
cuando la banda de temperaturas esperada es angosta, mientras que los RTD son
preferibles cuando la banda de temperatura esperada es amplia.
Ningún transductor es el mejor en todas las situaciones de medida, por lo que se tiene
que saber cuándo debe utilizarse cada uno de ellos. Como se puede ver, en la Tabla 5.1
se comprueba los cuatro tipos de transductores de temperatura más utilizados, y refleja
los factores que deben tenerse en cuenta: las prestaciones, el alcance efectivo, el precio
y la comodidad.
De acuerdo a la tabla 5.1, el sensor que nos conviene utilizar es los termopares, ya que
ofrecen una gama de temperaturas mucho más amplia y una construcción más robusta
que otros tipos. Además, no precisan alimentación de ningún tipo y su reducido precio
los convierte en una opción muy atractiva para grandes sistemas de control. Sin
embargo, para superar algunos de los inconvenientes inherentes a los termopares y
obtener resultados de calidad.
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RTD Termistor Sensor de IC TermoparVentajas Más estable.
Más preciso. Más lineal que Los Termopares
Alto rendimiento RápidoMedida de dos Hilos
El más lineal El de más alto rendimiento Económico
Autoalimentado Robusto Económico Amplia variedad de formas físicas Amplia gama de Temperaturas
Desventajas Caro. Lento.Precisa fuente de Alimentación.Pequeño cambio de resistencia.Medida de 4 hilos Autocalentable
No lineal. Rango de Temperaturas Limitado.Frágil.Precisa fuente de Alimentación.Autocalentable
Limitado a< 250 ºCPrecisa fuente de alimentación Lento Autocalentable Configuraciones Limitadas
No lineal Baja tensiónPrecisa referencia El menos estable El menos sensible
Tabla 5.1 Tipos de transductores. Ventajas y Desventajas
Definición de Termopares.- Se trata de sensores activos analógicos basados en el
efecto Seebeck. Este efecto consiste en la aparición de una tensión eléctrica entre dos
piezas de distintos metales unidas o soldadas por un extremo, cuando éste se calienta
(unión caliente) y se mantiene los otros dos a una misma temperatura inferior (unión
fría). Figura 5.1.
P
Unión N caliente
Unión fría
RL
Amplificador
Figura 5.1 Configuración de un Termopar
Para ciertos materiales existe una relación aceptablemente lineal entre la diferencia de
temperaturas y la fuerza electromotriz generada, por tanto resulta ser buenos
transductores, sin embargo aparecen problemas al añadir el circuito adicional de
recogida de la señal en la unión fría, aparecen nuevas fuerzas electromotrices de
contacto que solamente se verán compensadas si las uniones frías se mantienen
exactamente a la misma temperatura. Por otro lado si los valores de sensibilidad en
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estos sensores son bastante bajos por lo que se requiere amplificadores de gran
resolución y bajo ruido.
El sensor a utilizarse en el proyecto es el termopar tipo K, cuyas características se
presentan en el anexo 5.
5.2.2 Actuadores.
5.2.2.1 Introducción
Los actuadores son los dispositivos que se encargan de efectuar las acciones físicas
ordenadas por el sistema de control. La acción física puede ser un movimiento lineal o
un movimiento circular.
El proceso bajo control, la acción que se tiene que llevar a cabo y la velocidad con que
esta debe realizarse, son factores que influyen en la clase de actuador que se ha de
utilizar para determinada función dentro de un sistema automático. Generalmente los
tipos de actuadores que se encuentra en la industria son de 3 clases: Neumáticos,
hidráulicos y eléctricos.
Los actuadores neumáticos son los más comunes, empleando aire a presión para
producir el movimiento mecánico.
Los actuadores hidráulicos, se usan normalmente en procesos donde se requiere más
fuerza para mover determinado dispositivo. En comparación con los actuadores
neumáticos, los hidráulicos del mismo tamaño son mucho más poderosos. El
movimiento lo produce la fuerza de un líquido a presión.
Los actuadores eléctricos, pueden usarse cuando se requiere mucha o poca fuerza. Una
de las ventajas de los actuadores eléctricos es su facilidad de instalación, ya que todas
las industrias poseen energía eléctrica y es relativamente sencillo hacer las instalaciones.
P
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5.2.2.2 Elección de los actuadores.
En horno KERABEDARF objeto de este estudio, para controlar la temperatura habrá
que actuar en el flujo de combustible de los quemadores, es decir la actuación será sobre
un líquido ya que el combustible es el diesel.
La válvula de control es él elemento más importante elemento dentro de cualquier
sistema de control de fluido porque esta regula el flujo del liquido. Para la correcta
selección de la válvula de control es necesario un conocimiento general del proceso y
los componentes del sistema.
Los siguientes factores deben tomarse en cuenta para una apropiada selección y
dimensionamiento de una válvula de control:
1. Coeficiente de flujo (Cv).
2. Características de flujo de la válvula.
3. Material de la válvula.
1. Coeficiente de flujo (Cv).
Usado para determinar el tamaño de la válvula, este coeficiente depende de sí el flujo a
controlar es un liquido o un gas. De esta manera para líquidos la formula mas usada es:
QCv
donde:
Cv = Coeficiente de flujo.
P = Diferencia de Presión en psi.
Q = Flujo de fluido liquido
(galones/minuto)
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Un valor importante es la presión de goteo (pressure drop), esta debe existir para que
exista el flujo del liquido a través de la válvula. La presión de goteo a través de una
válvula es la diferencia entre la presión de ingreso y la de salida cuando se cumple con
las condiciones de flujo. Si se conoce la presión de goteo la selección de una válvula es
simple, cuando esta presión no es conocida se puede asumir un valor.
En líquidos se recomienda usar un valor de 5psi, para una diferencia de presión menor a
20 psi. Con una diferencia de presión superior a 20psig use una presión de goteo igual al
25% de la presión total de goteo (máximo que puede dar la bomba), pero no exceda el
máximo rango de la válvula.
Presión Inicial Presión de Goteo15psi 5psi50psi 7.5psi
100 psi 10psisobre 100psi 10% de la presión
Tabla 5.2 Valores de la Presión de Goteo
2. Característica de flujo de la válvula.
La forma del tapón de supresión de la válvula es el que determina la característica de
flujo de esta. La curva característica de flujo es determinado por el posicionamiento del
tronco de la válvula (elemento que deja o no pasar el fluido), a presión constante desde
la posición de cerrado de la válvula se incrementa la apertura en pequeñas proporciones
hasta la abertura total. Tres comunes características son apertura rápida (quick opening),
lineal (linear) e igual porcentaje (equal percentage), ver figura 5.1.
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Figura 5.1 Curva característica del flujo de válvula
a) Característica de apertura rápida: Una válvula con un tapón de supresión
para apertura rápida, genera una curva que tiene una pendiente abrupta para el primer
25% de esta curva y una pendiente gradual después. Por eso este tipo de válvula
suministra una amplia porción de la capacidad de flujo con una apertura pequeña de la
válvula. Este tipo de válvula se la utiliza por ejemplo para tener una explosión de vapor
ya que para esto es necesario un flujo amplio y rápido.
b) Característica Lineal: Una válvula con un tapón de supresión lineal, genera
una curva característica con una pendiente constante. Entonces un cambio porcentual en
la apertura de la válvula producirá un igual porcentaje de aumento en el flujo dentro de
cualquier punto de la curva. Una aplicación típica para este tipo de válvula es para un
convertidor de vapor porque el calor de salida del convertidor es aproximadamente
lineal con respecto al flujo de vapor dentro de este.
c) Característica de igual porcentaje: Una válvula con un tapón de supresión de
igual porcentaje, genera una curva tal que para un cambio de paso fijo en la apertura de
la válvula producirá un cambio de paso de igual porcentaje en el flujo sobre el paso
previo. Este tipo de válvula provee un cambio de flujo pequeño para la primera mitad de
la apertura de la válvula y un amplio cambio de flujo en la ultima mitad de apertura de
la válvula. Esta válvula es usada con bobinas calentadoras de agua porque la salida de
la bobina se incrementa rápidamente como empiece a fluir el agua dentro de esta.
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Entonces la válvula de igual porcentaje provee un pequeño flujo de agua al abrirse la
válvula, de esta manera se contrarresta la característica de la bobina, obteniéndose un
sistema cuya salida es casi lineal.
3. Material de la válvula.
Los requerimientos y especificaciones del trabajo determinan la selección del material
de la válvula. Pueden ser usadas siguiendo la siguiente guía:
Arreglo de Bronce con un disco de caucho sintético u otro material equivalente
pueden normalmente ser usados para agua caliente o fría, y aplicaciones con vapor
de baja presión.
Arreglos de acero inoxidable con superficies de cierre de igual material es usado
normalmente para altas presiones sobre los 50psi.
A continuación se procederá a elegir la válvula para el proyecto.
1.- Coeficiente de flujo Cv.
Q = 0.8 gpm
P = 20 psi
Aplicando la fórmula Cv = 0.17
2.- Característica del flujo de la válvula.- La válvula a utilizarse en el proyecto tendrá
una característica lineal.
3.- Material de la válvula.- Se utilizará como material el arreglo de acero.
La válvula que se determino para el proyecto es la que se muestra en el anexo 6.
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CONTROLADOR
COMBUSTIBLE
5.3 MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA
La Figura 5.2 muestra la configuración del control de temperatura del sistema físico del
horno. El recipiente provee de combustible a los quemadores en forma de anillo
cerrado. El detector de temperatura mide la temperatura del horno Ts y la envía para ser
comprobada con la temperatura de referencia Tr. El error de temperatura Se envía al
controlador. La salida del controlador da una señal eléctrica, la misma que controla el
flujo de combustible a través de la válvula.
VALVULA
Voltios
Flujo de Combustible
Temperatura error Te ºC
Quemador + Temperatura de
Cámara de Combustión
- referencia Tr ºC
PARED DE LADRILLO REFRACTARIO
ZONA DE COCCIÓN
Detector de Temperatura
TsºC
Figura. 5.2 Configuración del sistema de control de temperatura
La cámara de combustión y la pared del horno trabajan en conjunto, las cuales entregan
calor a las piezas cerámicas para que se realice la combustión, por lo tanto se trabaja
con este bloque para obtener la función de transferencia del horno. Del sistema
mecánico formado por la cámara de combustión y la pared del horno se determinará un
sistema eléctrico con su respectivo circuito y su función de transferencia.
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Co
La figura 5.3 muestra la determinación del circuito eléctrico, de la cámara de
combustión y de la pared del horno.
Cámara de Combustión
Ladrillo Refractario
Combustible
Ci
Quemador W
Ri Rp
Rc T
Figura. 5.3 Configuración del circuito eléctrico
I Flujo de calor entregado por el quemador.
Ci Capacidad calorífica de la cámara de combustión.
Co Capacidad calorífica de la pared del horno.
Ri Resistencia térmica de la pared.
Rp Resistencia de pérdidas.
Rc Resistencia de consumo.
Para la determinación del circuito eléctrico de la cámara de combustión conjuntamente
con la pared del horno, se lo realiza mediante la analogía eléctrica que se presenta a
continuación.
Analogía Eléctrica.- Se puede establecer una correspondencia entre la Ley de Ohm y la
propagación térmica mediante la siguiente tabla 5.3 de equivalencias:
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Analogía Eléctrica Ley de OhmIntensidad (I) Calor (W)Tensión (V) Temperatura (T)Resistencia (R) Resistencia Térmica (R)
V=I*R T=W*R
Tabla 5.3 Analogía Eléctrica
Siendo las unidades: W [ Kcal/seg ] Kilo calorías / segundos
T [ ºC ] Grados centígrados
R [ ºC / Kcal/seg ] Grados centígrados / Kilo calorías/segundos
Parámetros térmicos.- A continuación se determinará los valores de cada uno de los
parámetros térmicos que forman un circuito eléctrico.
Capacidad calorífica de la cámara de combustión (Ci).- Es la capacidad de calor de la
cámara de combustión, la cual depende de las propiedades de las paredes refractarias
que forman la misma.
Ci m.c
m masa de las paredes del ladrillo refractario
c calor específico del ladrillo refractario igual a 0.239 Kcal/ºC.Kg
m .v
Densidad del ladrillo refractario igual a 2000 Kg/m3
v Volúmen de las paredes de la cámara de combustión
Ci 3.8m3 2000 Kg
m30.239
Kcal
º C.Kg1816.4
Kcal
º C
Capacidad calorífica de la pared del horno (Co).- Como su nombre lo indica es la
capacidad calorífica que tiene la pared del horno para entregar calor a las piezas
cerámicas.
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Co v..c
Co 13.95m3 2000 Kg
m3 0.239Kcal
º C.Kg6668.1
Kcal
º C
Resistencia Térmica de pared del horno.- La resistencia térmica de la pared del horno se
la define como, la resistencia que presenta la misma al paso del calor.
Ri x k. A
x Longitud de la pared del horno
A Area de la pared del horno
k Conductividad térmica del ladrillo refractario igual a 91 Kcal/m.h.ºC
Ri 0.93m
Kcal 6.813 104
º C Kcal
m.h.º C
15m2
h
Ri 6.813 104
º C3600 2.452 Kcal
seg
Resistencia de consumo.- Es la resistencia que se presenta a la perdida de calor que
sufre la capacidad calorífica de la pared del horno por las piezas en cocción.
Re sistencia Temperatura
Flujo de calor
La temperatura a la cual se trabaja en la zona de cocción es de 1200 ºC y el flujo de
calor se calcula a continuación. Para el cálculo se utiliza la ecuación de transmisión de
calor entre dos cuerpos.
Q mb .cb .Tf Ti
Q Transmisión de calor
b b
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mb masa del bizcocho (piezas en cocción)
cb calor específico del bizcocho
Tf Temperatura final del bizcocho
Ti Temperatura inicial del bizcocho
Si a la transmisión de calor se divide por el tiempo se obtinene el flujo de calor H.
Q m .cH
Tf Tit t
Kg Kcal KcalH 833 0.2155 1200º C 800º C71804.6
h Kg.h h
T 1200º C º CRc 0.0167
H Kcal71806.4
h
Kcal
h
º C Rc 0.0167 3600 60.12 Kcal
seg
Resistencia debido a las pérdidas.- Dicha resistencia se presenta debido a las pérdidas
por conducción, convención y radicación. Para el calculo de la resistencia debido a las
pérdidas se hace mediante el rendimiento del horno el cual es del 75%. El flujo de calor
que se pierde es el 25% por lo tanto es 23934.8 Kcal/h.
T 1200º C º CRp 0.0501
H Kcal23934.8
h
Kcal
h
º C
Rp 0.0501 3600 180.36 Kcalseg
En la figura 5.4 se presenta el circuito eléctrico del sistema, el cual es resuelto para
obtener la función de transferencia del horno.
Ri
Ci Co Ro
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V1(t) V2(t)
i(t)
Figura 5.4 Circuito Eléctrico del Sistema
Para resolver el circuito se aplica la ley de Kirchhoff, obteniendo las dos ecuaciones
nodales:
dV 1 t Ci
1 V 1(t ) V 2(t )i(t ) 0
( ) dt Ri
dV 2 t Co
1 V 2(t )
1 V 1(t ) V 2(t )0
( ) dt Ro Ri
La ecuación de estado para el sistema es:
d 2V 2(t) RiCi dV 2(t) 1
Ri.CiCo Ci Co V 2(t) i(t)
dt Ro dt Ro
Para obtener la función de transferencia C(s), entre V2(s) y I(s) del horno, se aplica la
Transformada de Laplace, obteniendo la siguiente ecuación:
V 2(s)C(s)
I (s)1
RiCiCos2
Ci Co RiCi
s 1
Ro Ro
Remplazando los valores de Ci, Co, Ri y Ro se tiene:
C(s) 1
29698469.13s2 8521.54s 0.008316
En la figura 5.5 se presenta el diagrama de bloques del sistema de control de
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temperatura del horno.
R(t)
V +V
ºC
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Y(t)
a Seg
mV SENSOR DE TEMPERATURA
T(s)
Figura 5.5 Diagrama de Bloques del Sistema de Control de Temperatura
Funciones de Transferencia.- Cada uno de los bloques tiene su propia función de
transferencia las cuales se detallan a continuación.
Amplificador K1.- El amplificador K1 es la ganancia que puede soportar el sistema para
seguir siendo estable.
Válvula V(s).- La función de la válvula es controlar la cantidad de combustible que
ingresa al quemador a ser transformado en calor. El funcionamiento de la válvula es
lineal, sus características se presentan en la tabla 5.4.
Voltios Litros/hora5 20
4.75 195.25 214.5 18
Tabla 5.4 Características de la válvula
De los valores de la tabla 5.4 se obtine la función de transferencia de la válvula.
V(s)=4
Quemador D(s).- La función del quemador es transformar el combustible en calor. Para
dicho calculo se utiliza la formula de la energía, la cual se ilustra a continuación:
Energia
segConsumo
c hora
1
3600
AMPLIFICADOR K1
V
VÁLVULA V(s) Litro
QUEMADOR D(s) Kca l
HORNO
ºC
RETARDO P(s)
ºC
- Hor
VAMPLIFICADOR
K2
90
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Donde:
Densidad del diesel igual a 0.843 Kg/lt.
c Poder calorífico del diesel igual a 10877 Kcal/kg
Energia
seg Consumo 2.547Kcal
seg
Por lo tanto la función de transferencia del quemador es:
D(s)=2.547
Horno C(s).- La función de transferencia que se obtuvo del circuito eléctrico es la
correspondiente a la función de transferencia.
C(s) 1
29698469.13s2 8521.54s 0.008316
Retardo P(s).- Para modelar un retardo puro en un sistema térmico se utiliza la siguiente
fórmula:
P(s) eTd s
Donde Td es el tiempo de retardo que sufre la temperatura.
Para obtener una función de transferencia racional que facilite los cálculos matemáticos
se utilizara la aproximación de Padé, la cual esta dada por dos términos.
T s 1 d
T s 2 e d
T s 1 d
2
Los valores del tiempo de retardo Td del sistema térmico se presenta en la tabla 5.5:
91
n n
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
Número de Medición
Segundos
1 82 93 114 135 106 97 108 119 1210 9
Tabla 5.5 Tiempos de Retardo
De los valores de la tabla 5.5 se encuentra la media aritmética M mediante la siguiente
fórmula:
M1 M2 M
M1, M2, Mn Valores medidos
M=10.2
A continuación se calcula la desviación aritmética M, es decir, la media aritmética de
los valores absolutos de las desviaciones de los diferentes resultados de la medida
respecto de su media M.
M M1 M M 2 M Mn M
n
M=0
Td=M+M
Td=10.2
M
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Entonces la función de transferencia para el retardo es la siguiente:
P(s) 2 10.2s2 10.2s
Sensor de Temperatura T(s).- Para la función de transferencia del sensor de temperatura
se realizaron varias mediciones en el horno, los cuales se expresan en la tabla 5.6.
Grados Centígrados ºC
Mili voltios mV
ºC/mV
1100 45.108 24.38591110 45.486 24.40311120 45.863 24.42061130 46.238 24.43881140 46.612 24.45721150 46.985 24.47581160 47.356 24.49531170 47.725 24.51541180 48.095 24.53481190 48.462 24.55531200 48.828 24.5761
Tabla 5.6 Valores medidos del sensor de temperatura
Para obtener la función de transferencia del sensor de temperatura, se tiene que dividir
los grados centígrados para los milivoltios, como se expresa en la tercera columna de la
tabla 5.6. A continuación se encontrará la media aritmética con su respectiva desviación
para obtener un valor que se aproxima al real.
M=24.4817
M=-0.003
El valor de la función de transferencia del sensor de temperatura es:
M+M=24.478
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
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G(s)
H(s)
+-
La función de transferencia para el sensor de temperatura es la siguiente:
T(s) 1
24.478
Amplificador K2.- La función del amplificador K2 es transformar la señal de mili
voltios en voltios, por lo cual su función de transferencia es:
K2=1000.
En la figura 5.6 se expresa el sistema de control simplificado, del sistema de control de
temperatura:
R(s) Y(s)
Figura 5.6 Sistema de control
La función de transferencia directa se escribe como:
G(s) K1 V (s) D(s) C(s) P(s)
G(s) 10.188 K1
296984693.13s2 8521.54s 0.008316 2 10.2s
2 10.2s
G(s) K1s 0.19K1
2915257.29s3 572455.57s2 164s 0.00015
La función de transferencia de la realimentación se transforma en:
H(s) K2 T(s)
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
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1H(s)
1000 24.478
H(s) 40.85
La función de transferencia de lazo es:
L(s) G(s)H(s) 40.85K1s 7.76K1
2915257.29s3 572455.57s2 164s 0.00015
La función de transferencia en lazo cerrado es la siguiente:
M (s) G(s)
1 G(s)H(s)
K1s 0.19K1M (s)
2915257.29s3 572455.57s2 164 40.85K10.00015 7.76K1
Mediante el gráfico del lugar geométrico de las raíces se obtuvo el valor de la ganancia
del amplificador K1 la misma que puede variar desde 0 hasta 2. Para este caso utilizará
una ganancia de K1=1. La figura 5.7 muestra el lugar geométrico de las raíces de la
función de transferencia de lazo L(s). En la figura 5.8 se presenta la respuesta al escalón
unitario de M(s).
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
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0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Real Axis -3x 10
Figura 5.7 Lugar geométrico de las raíces de L(s)
Step Response
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0 1.6 3.2 4.8 6.4 8
Tim e (sec.) 4x 10
Figura 5.8 Respuesta al escalón unitario de M(s)
Imag
A
TEMPERATURA
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
96
En la tabla 5.7 proporciona las características de desempeño en el dominio del tiempo
del sistema de tercer orden.
Sobrepaso máximo
%
Tiempo de retardo td
(seg)
Tiempo de Levantamiento
tr (seg)
Tiempo de asentamiento
ts (seg)105 270 265 43813
Tabla 5.7 Atributos en el tiempo del sistema
5.4 ANÁLISIS DEL MÉTODO ON-OFF
El método de control ON/OFF, es más simple y elemental forma de controlar una
variable, es usada por casi todos los termostatos domésticos. Volviendo al ejemplo del
horno usado en este capítulo, la acción del control consiste en activar el mando del
elemento calefactor cuando la temperatura está por debajo de la temperatura deseada y
luego desactivarlo cuando la temperatura esté por arriba.
Cabe señalar que este método es conocido también como TODO/NADA porque cuando
se activa el elemento calefactor este transfiere toda su potencia para calentar el horno y
a su vez cuando se desactiva no hay transferencia de potencia. En la figura 5.9 se puede
observar el comportamiento de un control ON/OFF.
CONTROL ON/OFF
SP
ON
ELEMENTO CALEFACTOR
OFF
TIEMPO
Figura 5.9 Control ON/OFF
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
97
Debido a la inercia térmica del horno la temperatura estará continuamente fluctuando
alrededor del SP. Es decir el sistema es oscilatorio.
La inercia térmica es consecuencia del retardo en la propagación del calor en el interior
del horno desde el elemento calentador hasta el sensor de temperatura.
Las fluctuaciones u oscilaciones aumentarán cuanto mayor sea la inercia térmica del
horno (retardo).
Este algoritmo de control no es el más adecuado cuando se desea una temperatura
constante u uniforme. Pero ofrece la ventaja de que el desgaste de los elementos usados
para realizar el calentamiento del horno sea el mínimo necesario ya que estos se activan
y desactivan constantemente.
Este sistema puede tener una variación conocida como control ON/OFF con histéresis, y
el funcionamiento es dentro de un rango alrededor del set-point, es decir que el mando
de calentamiento se activa unos pocos grados por arriba del SP y se desactiva unos
grados por debajo del SP, pero se produce una mayor fluctuación de la temperatura a
cambio de un funcionamiento menor de los elementos calefactores.
5.5 ANÁLISIS DEL MÉTODO PID
Un control PID es un controlador proporcional con acción derivativa e integral
simultáneamente superpuestas, es decir un control PID emplea las mejores
características de un control PI (eliminar el error estacionario), y de un control PD
(mejora el amortiguamiento).
A continuación se presenta las características de un control PD:
1. Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo.
2. Reduce el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento.
3. Incrementa el BW.
R1
-+
R
RD
R
CD
Ein-+
R-+
Eo
CI
RI
-+
R
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
98
4. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase y Mr.
5. Puede acentuar el ruido en altas frecuencias.
6. No es efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente
inestables.
7. Puede requerir un capacitor muy grande en la implementación del circuito.
Las características del control PI se muestran a continuación:
1. Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo.
2. Incrementa el tiempo de levantamiento.
3. Disminuye el ancho de banda.
4. Mejora el margen de ganancia.
5. Filtra el ruido de alta frecuencia.
La figura 5.10 muestra la realización del circuito eléctrico del controlador PID.
R2
Figura 5.10 Circuito eléctrico del controlador PID
La función de transferencia del circuito de la figura 5.10 se escribe como:
E0 (s) R2 1J (s) RDCDs
Ein (s) R1 RI CI s
P
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
99
AMPLIFICADOR K2ºC
En donde el primer término es una ganancia proporcional, el segundo es un término
derivativo y el tercero es un término integral. La función de transferencia se puede
transformar en:
J (s) KP KDs 1
KI s
En donde:
RK 2
R1
KD RDCD
1KI RI CI
En la figura 5.11 se presenta el diagrama de bloques del sistema de control de
temperatura, el mismo que esta controlado por medio de un controlador PID.
R(t)
V + V
-
VÁLVULA V(s)
Hora
HORNO C(s) ºC
Seg
Y(t)
V
Figura 5.11 Diagrama de Bloques del Sistema de Control Temperatura
1. Considere que el controlador PID consiste de una parte PI conectada en cascada con
una parte PD. La función de transferencia del controlador PID se escribe como
sigue:
J (s) K K K s I 1 K
sK
K I 2
P D s D1 P 2 s
La constante proporcional de la parte PD se hace unitaria, ya que sólo se necesitan tres
parámetros en el controlador PID. Al igualar ambos miembros de la ecuación se tiene:
CONTROLADOR PID J(S)
V
QUEMADOR D(s) Kca
RETARDO P(s)
ºC
mV SENSOR DE TEMPERATURA
T(s)
100
D
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
KP KP 2 KD1 KI 2
KD KD1 KP2
KI KI 2
2. Considere que solo la parte PD esta operando. Seleccione el valor de KD1 para lograr
una parte de la estabilidad relativa.
3. Luego seleccione los parámetros KI2 y KP2 para que el requisito de la estabilidad sea
satisfecho.
Diseño en el dominio del tiempo.- Se aplica el control PD con la función de trasferencia
(1+KD1).
La función de transferencia de la trayectoria directa se convierte en:
G(s) KD1 s 0.19K D1
1s 0.19
2915257.29s3 572455.57s2 164s 0.00015
H(s) 40.85
La función de transferencia de lazo es L(s)=G(s)H(s) y se escribe como sigue:
L(s) 40.85KD1 s 7.76KD1 40.85s 7.76
2915257.29s3 572455.57s2 164s 0.00015
La función de transferencia de lazo cerrado es M(s)=G(s)/1+G(s)H(s) y es la siguiente:
KD1 s 0.19KD1 1s 0.19
M (s) 2915257.29s3 572455.57 40.85K s2 123.15 7.76K s 7.76015
La ecuación característica del sistema se escribe como:
2915257.29s3 572455.57 40.85K s2 123.15 7.76K s 7.76015 0
El factor de amortiguamiento relativo del sistema es:
572455.57
40.85K
2D1
1436055741.05 90489586.28K
2
2
2
D D
D D
101
3 2
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
Si se desea tener un amortiguamiento crítico, =1 la ecuación da un KD1=3080 y si se
desea tener un =0.707 la ecuación da un KD1=3093.
A continuación en la figura 5.12 se muestra la respuesta al escalón unitario del sistema,
para KD1=3093:
Step Response
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0 50 100 150 200
Time (sec.)
Figura 5.12 Respuesta al escalón unitario
A continuación se añade el controlador PI con la función de transferencia (KP2 + KI2/s),
y la función de transferencia directa se convierte en:
G(s) KD1 KP2 s 0.19KD1 KP2 KP2 KD1 K I 2 s 0.19K P2 0.19KD1 KI 2 KI 2 s 0.19KI 2
2915257.29s4 572455.57s3 164s2 0.00015s
La función de transferencia de lazo se escribe como:
L(s) 40.85KD1KP2s
7.76KD1KP2 40.85KP2 40.85KD1KI
2 s7.76KP2 7.76KD1KI 2 40.85KI 2 s 7.76KI 2
2915257.29s4 572455.57s3 164s2 0.00015s
A
3 2
3
4 3
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
102
KI2= 0.001
KI2= 0.01
KI2= 0.0001
A continuación se muestra la función de transferencia de lazo cerrado:
K D1 K P 2 s 0 . 1 9 K D1 K P 2 K P 2 K D1 K I 2 s 0 . 1 9 K P 2 0 . 1 9 K D1 K I 2 K I 2 s 0 . 1 9 K D1 M (s) 4
3 2
2915257.29s 572455.5740.85KD1KP2 s 1647.76KD1KP2 40.85KP2 40.85KD1KI 2 s 0.000157.76KP2 7.76KD1KI 2 40.85KI 2 s 7.76KI 2
Con el valor de KD1=3093. Se puede tomar el valor de KP2=1 y la ecuación se convierte
en:
3093s3
586.67 3093KI
2
s2 0.19 586.67KI 2 s 0.19KI 2
(s) 2915257.29s 446106.52s 24124.83 126349.05KI 2
s2 7.76 23960.83K s 7.76KI 2
La ecuación característica es la siguiente:
2915257.29s4 446106.52s3 24124.83 126349305K s 7.76 23960.83KI 2
s 7.76KI 2 0
Haciendo el análisis en el dominio del tiempo, con la ayuda del programa matlab, se
llega a determinar la constante KI2. En la figura 5.13 se presenta las respuestas al
escalón unitario para varios valores de KI2:
Step Response
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0 50 100 150 200
Time (sec.)
A
I
I
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
103
Figura 5.13 Respuestas al escalón unitario
3
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
104
En el gráfico se puede ver que el valor que da una mejor respuesta es KI2=0.0001.
Las constantes del controlador PID se muestra a continuación:
KP 1.3093
KD 3093
KI 0.0001
La función de transferencia en lazo cerrado con el controlador PID se escribe de la
siguiente manera:
KDs 0.19KD KP s 0.19KP KI s 0.19KI
M(s) 2915257.29s4 572455.57 40.85K
s3 164 7.76K
40.85K s2 0.00015 7.76K
40.85K s 7.76K
D D P P I I
Remplazando los valores de KP, KD y KI la ecuación se transforma en:
M (s) 3093s3 586.361s2 0.2487s 0.000019
2915257.29s4 446106.5s3 24112.195s2 10.156s 0.000776
En la figura 5.14 se muestra la respuesta al escalón unitario del sistema, aplicado el
controlador PID.
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
105
Step Response
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0 50 100 150
Time (sec.)
Figura 5.14 Respuesta al escalón unitario del sistema con el controlador PID
En al tabla 5.8 se presenta los atributos en el dominio del tiempo del sistema de la figura
5.14
Sobrepaso máximo %
Tiempo de retardo td
(seg)
Tiempo de Levantamiento
tr (seg)
Tiempo de asentamiento
ts (seg)0.77 18 33 43
Tabla 5.8 Valores de la respuesta al escalón unitario
5.6 DETERMINACIÓN DEL MÉTODO ADECUADO
El método de control a usarse deberá ser capaz de responder rápidamente a variaciones
de carga, que en este caso se dan con frecuencia, mantener la temperatura similar a la
prefijada sin demasiadas variaciones para que la curva de temperatura del horno sea
igual a la curva a la cual debe cocer la cerámica.
A
Diseño de un sistema de control para las variables del proceso de cocción
106
El control ON-OFF, solo tiene dos posiciones, o estados de operación, por lo que la
temperatura a controlar se tornaría oscilatoria. Otra desventaja para utilizar el método
ON-OFF es de que el sistema es demasiado lento en estabilizarse y también
inicialmente es inestable. Mientras que el método de control que cumple los
requerimientos mencionados de mejor manera es el PID, como se pudo ver en el análisis
anterior, así como se puede observar las características en el dominio del tiempo sin
controlador, en la tabla 5.7 y aplicado el controlador en la tabla 5.8.
Al usar un controlador del tipo PID la curva teórica de temperatura de cocción de la
cerámica se asemeje mejor y de forma rápida a la curva prefijada, evitándose en primer
lugar que las piezas sufran desperfectos, ya que la cocción de la cerámica necesita de
una curva suave sin alteraciones bruscas.
El diseño del sistema de control se presenta en el anexo 7.
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