CAPITULO 3
Anualidades Ciertas
3.1. Definiciones Basicas
La inversion de un capital en un vehıculo de inversion, por ejemplo, un deposito a termino
fijo a una tasa fija, o un fondo de fiducia, se determina con base en la tasa de rendimiento
que ofrece este y el intervalo de tiempo de la inversion. Si el capital inicial se denota
por F (0) y al final del perıodo [0, t] se denota por F (t), la forma de determinar F (t) a
partir de F (0) depende de la especificacion de la tasa de rendimiento y de la frecuencia
de capitalizacion.
Una primera clasificacion consiste en tasas variables y tasas constantes. Las tasas variables
se definen como sucesiones de variables aleatorias en tiempo discreto, (i(t), t ∈ N), o en
tiempo continuo (i(t), t ∈ (0,∞), y se utilizaran para modelar rendimientos de fondos,
portafolios, etc. En este caso se asume que pueden tomar valores negativos, i(t) ∈ (−1, 1).
El supuesto de tasas constantes se refiere a inversiones en tıtulos de renta fija, y se asimilan
a tasas de interes con valores positivos.
En esta seccion se introducen algunas definiciones basicas con base en esta clasificacion. La
idea es introducir el concepto de flujo de caja, asociado a la frecuencia de capitalizaciones
en un ano. Esta idea da lugar a otra clasificacion, capitalizacion discreta y continua. El
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concepto de flujo de caja es importante porque muestra que la inversion es un contrato
entre dos partes. Una de estas es quien ofrece la tasa de inversion a traves de un vehıculo,
un fondo de inversiones, un tıtulo etc.. Y la otra es el inversionista. Es una manera
conveniente para introducir los riesgos asociados a las inversiones, segun sea el emisor
o el inversionista.
3.2. Tasas Constantes
En el caso de tasas constantes i(t) ≡ i ∈ (0, 1) se habla de tasa de interes. Primero
se aborda el caso de varios perıodos de capitalizacion en el ano. La tasa i se asume
efectiva para cada perıodo de capitalizacion en el ano,[t−1, t]. Entoces se cumple F (t) =
(1 + i)F (t − 1), t = 1, 2, . . . , T , donde [0, T ] es el perıodo de la inversion, con T ≤ ∞en anos. Entonces F (T ) = (1 + i)TF (0) se define como el capital obtenido por interes
compuesto durante T perıodos, a la tasa efectiva i. El calificativo “compuesto” se debe a
que en cada perıodo se reinvierten el capital y los intereses.
Interes compuesto con inversiones
Si se considera una inversion de capital con interes compuesto, incluyendo una inversion
r(t) al final de cada perıodo [t − 1, t], entonces el capital F (t) se denomina el saldo al
final del perıodo, y satisface la ecuacion en diferencias
F (t) = (1 + i)F (t− 1) + r(t), (3.1)
para t = 1, 2, . . . , T , F (0) ≥ 0. Si r(t) > 0 se considera una adicion al capital, un aporte.
Si r(t) < 0 se considera un pago, un retiro.
Por ejemplo, la ecuacion (3.1) puede representar el flujo de pagos mes vencido (t en
meses), de la amortizacion de un credito por valor F (0), cambiando en (3.1) r(t) por
−r(t) con r(t) > 0. Para pagos mes anticipado se coloca F (t) = (1+ i)(F (t−1)− r(t)).
En el caso, por ejemplo, de F (0) = 0 y r(t) ≡ r > 0 la ecuacion (3.1) describe un proceso
de ahorro con cuota y tasa constantes, durante T perıodos. La solucion de la ecuacion
(3.1) es la siguiente.
F (t) = (1 + i)t
(F (0) +
t∑
k=1
(1 + i)−kr(k)
), (3.2)
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para t = 0, 1, . . . , T . Los factores (1 + i) y v = (1 + i)−1 se denominan factores de
capitalizacion y de descuento, respectivamente. Al multiplicar F (t) en (3.2) por vt se
obtiene el valor presente de las inversiones. Entonces
vtF (t) = F (0) +
t∑
k=1
vkr(k), (3.3)
y la interpretacion de este resultado es inmediata: el valor presente es igual al capital
inicial F (0) mas el valor presente de las inversiones realizadas hasta el tiempo t.
Tasas Nominales
La tasa i se asumio efectiva para cada perıodo [t − 1, t]. En este caso el perıodo de la
tasa coincide con el perıodo de capitalizacion. En algunos casos la tasa se da con un
valor independiente del perıodo, pero especificando los perıodos de capitalizacion y se
denomina “tasa nominal” . Los diferentes perıodos se dan con respecto a un ano, y son:
diarios, con un total de m = 360, mensuales con m = 12 en total, semestrales, con m = 2,
trimestrales con m = 4, anuales con m = 1. Entonces la tasa nominal correspondiente a
cada perıodo se define
Definicion 3.2.1. Si hay m = 1, 2, 4, 12, 360 perıodos de capitalizacion al ano y i(m)
denota la tasa nominal de capitalizacion para m perıodos entonces i(m)/m denota la tasa
efectiva para cada uno de los m perıodos, y se cumple (1 + i(m)/m)m = 1 + i, donde i
es la tasa efectiva anual.
Ejemplo 3.2.1. Se hace un deposito de 1 mill en una cuenta de ahorros que reconoce
interes sobre saldos mınimos trimestrales a una tasa nominal de 4.2%. Simultaneamente
se colocan en prestamo 1 mill a la misma tasa nominal pero con capitalizacion anual. Cual
es el capital acumulado al final del primer ano en cada caso?. Entonces en el primer caso
la tasa efectiva trimestral es i(4)/4 = 0.042/4 y el capital final es (1.0e06)(1+0.042/4)4 =
1.227100e06. En el segundo caso la tasa efectiva anual es igual a la nominal, ia = 0.042.
Por tanto, el capital final es 1.0e06(1 + 0.042) = 1.210000e06.
3.2.1. Capitalizacion en tiempo continuo
La capitalizacion en tiempo continuo es una abstraccion. Lo mas parecido serıa algun
sistema que adjudicara intereses por ejemplo, cada hora. Existe el caso de capitalizacion
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diaria y se puede mostrar que el caso continuo se puede aproximar por esta frecuencia
diaria. En todo caso, la capitalizacion en tiempo continuo es muy util porque permite
aplicar herramientas del analisis, como las ecuaciones diferenciales. Ademas, permite
incorporar tasas variables como procesos estocasticos en tiempo continuo, que es una de
las herramientas fundamentales del analisis financiero actual.
La definicion de la tasa i en tiempo continuo se hace mediante un procedimiento de paso al
lımite. Dada la tasa efectiva para un perıodo de duracion 1/m, m = 1/12, 1/360, i(m)/m,
entonces se puede comprobar que el lımite siguiente existe.
lımm→∞
i(m) = lımm→∞
(1 + i)1/m − (1 + i)0
1/m
ya que se cumple
lımh→0
(1 + i)h − 1
h=
d
dx(1 + i)x|x=0
= (1 + i)x ln(1 + i)|x=0
= ln(1 + i).
Luego se define δ = lımm→∞ i(m) = ln(1+ i) como la tasa de capitalizacion continua o la
fuerza de interes.
Si se considera la capitalizacion en un intervalo de tiempo muy pequeno, [t − 1/m, t], de
longitud 1/m para m grande, entonces se tiene la aproximacion (1 + i(m)/m)m ≈ eδ. Por
tanto, (1 + i(m)/m) ≈ eδ/m. Entonces si F (t) es el saldo de una cuenta a la tasa efectiva
i(m)/m se tiene F (t) = (1 + i(m)/m)F (t− 1/m) ≈ (1 + δ/m)F (t− 1/m).
Asumir una tasa de capitalizacion continua δ significa que en un intervalo de tiempo
muy pequeno, [t − 1/m, t], se tiene F (t) ≈ (1 + δ/m)F (t − 1/m). Si F (t) es una
funcion diferenciable entonces F ′(t) ≈ F (t)−F (t−1/m)1/m
≈ δF (t−1/m). Y se puede escribir
F ′(t) = δF (t) en el lımite, cuando m → ∞. Puede definirse la capitalizacion continua a
la tasa δ como un proceso en el cual el capital crece a la tasa F ′(t) = δF (t). Es inmediato
que F (t) = F (0)eδt = F (0)(1 + i)t.
Capitalizacion en tiempo continuo con inversiones
La ecuacion analoga a (3.1) en tiempo continuo, consiste en anadir a la tasa F ′(t) = δF (t)
otra tasa a la cual se hacen inversiones o retiros. Esta tasa se indica por r(t), una funcion
continua por secciones definida en [0,∞).
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Y es tal que su integral definida R(t) =∫ t
0r(s)ds representa el capital invertido o retirado
en el intervalo de tiempo [0, t]. Por tanto, con la interpretacion de t como ano o fraccion
de ano, se tiene, por ejemplo, que R(1) es el total invertido en un ano.
La ecuacion para el flujo de caja de capitalizacion con inversioes es la siguiente ecuacion
diferencial lineal.
F ′(t) = δF (t) + r(t), (3.4)
para t ∈ [0, T ], con F (0) dado. Tambien se puede dejar F (0) indeterminado y especificar
una condicion de cierre (de borde) en t = T sobre F (T ), por ejemplo, F (T ) = 0.
La solucion de (3.4) es inmediata
F (t) = eδt
(F (0) +
∫ t
0
e−δsr(s)ds
). (3.5)
Las expresiones (3.2) y (3.5) permitiran definir las anualidades para diferentes sistemas
de pago r(t), como el valor inicial del fondo F (0).
Ejemplo 3.2.2. Suponga el modelo de flujo con tiempo continuo (3.4), con r(t) ≡ 1,
δ = 0.31, T = 3, F (0) = 0. Entonces, a partir de la solucion (3.5), se obtiene el saldo
final como F (3) = e0.31(3)(1 − e−0.31(3))/0.31 = 4.95.
Para comparar el resultado con capitalizacion diaria se calcula la tasa efectiva diaria
equivalente a δ = 0.31, utilizando m = 360 y i(m)/m = (1 + i)1/m − 1 = eδ/m − 1 =
e0.31/360 − 1 = 0.00086148. Entonces, reemplazando en (3.2) t = 360 × 3 = 1080 dıas,
r(k) ≡ 1/360, i = 0.00086148, se obtiene F (3) = (v−1080 − 1)/(360(i)) = 4.9478.
La diferencia entre los resultados de capitalizacion continua, 4.95, y capitalizacion diaria
4.9478 es 0.0022.
3.3. Anualidades con Tasas Constantes
El objetivo en esta seccion es desarrollar las expresiones para anualidades con base en las
ecuaciones para los flujos de caja (3.1), (3.4).
Definicion 3.3.1. Una anualidad es un contrato en el cual el emisor se compromete a
proveer un vehıculo de inversion el cual proporciona un rendimiento. El contratante com
pra la anualidad por un valor determinado, que se define como el valor de la anualidad,
y recibe a cambio una serie determinada de pagos en fechas especıficas, hasta una fecha
determinada.
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Las anualidades se determinan mediante la formula para los pagos, r(t). Cuando se
coloca −r(t)0 la anualidad se entiende como un credito por el valor F (0), en el cual
los pagos son r(t). Este caso incluye una pension de jubilacion o renta vitalicia, en el
cual la Aseguradora toma el papel de quien toma el credito y el pensionado es el emisor.
En los creditos hipotecarios las variantes para r(t) conforman los distintos sistemas de
amortizacion.
A continuacion se definen varios tipos de anualidades a partir de las ecuaciones de recu
rrencia de los flujos de caja y de formas especıficas para r(t). Se utilizara capitalizacion
discreta y continua.
3.3.1. Anualidades con pagos constantes
En esta seccion se presentan varios casos de anualidades con pagos constantes: pagos
vencidos, anticipados, m pagos en el ano y frecuencia de capitalizacion diferente del
numero de pagos en el ano. Al final se discute la anualidad continua y su relacion con las
anteriores.
Caso 1: pagos anuales vencidos. Suponga que el fondo con el cual se contrata la anualidad
ofrece una tasa fija efectiva anual i, con capitalizacion anual. Se contrata una anualidad
con pagos ano vencido, por valor de una unidad monetaria, durante n anos. Quien compra
la anualidad paga la cantidad F (0). Este es el valor neto, sin incluır los recargos del fondo.
Utilizando la ecuacion (3.2) con r(k) ≡ −1, se tiene que la condicion de cierre debe ser
F (n) = 0 ya que en el ultimo ano el saldo de la cuenta en el fondo se debe agotar. Luego
F (n) = (1 + i)n
(F (0) −
n∑
k=1
(1 + i)−k
)= 0,
de donde F (0) =∑n
k=1 vk. En este caso denotamos el valor de la anualidad por an = F (0).
Es inmediato comprobar lo siguiente.
Proposicion 3.3.1. Con v = (1 + i)−1,
i) an =n∑
k=1
vk =1 − v
v(3.6)
ii)d
dian < 0. (3.7)
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Una consecuencia de la parte ii) de la Proposicion (3.6) es que una anualidad es un activo
similar a un bono con cupones, pero sin valor de rendencion. Su precio decrece cuando
aumenta la tasa de captacion del mercado, que, asumimos, afecta de manera similar las
tasas para anualidades que ofrecen los fondos.
El valor an de la anualidad en la parte i) de la Proposicion (3.6) es una valoracion
denominada actuarial. La valoracion neutral al riesgo de una anualidad se hace de manera
similar a la valoracion de un bono con cupones. Se utiliza una estructura temporal de tasas
de interes y un recargo o prima de riesgo, ver Devolder [1993]. Ademas, las metodologıas
para el calculo de VaR en un portafolio de bonos se pueden aplicar para calcular el VaR de
un portafolio de anualidades. El riesgo de tasa de interes es similar. Vale la pena examinar
el caso de que anualidad serıa similar al caso de bonos de tasa flotante en los cuales se
presenta riesgo mınimo por cuanto esta autoinmunizados.
Caso 2: pagos anuales anticipados. El caso de pagos ano anticipado se modela modifi
cando la ecuacion del flujo de caja (3.1), de manera que cada pago se descuente del saldo
del ano anterior antes de causar los intereses.
F (t) = (1 + i)(F (t− 1) − 1) = (1 + i)F (t− 1) − (1 + i), (3.8)
para t = 1, 2, . . . , n, tal que F (n) = 0. Luego, la solucion se obtiene de la formula (3.2)
reemplazando r(k) = −(1 + i). Se puede comprobar que la solucion es
F (t) = (1 + i)t(F (0) − (1 + i)at ).
Si el valor de la anualidad se indica por an = F (0) entonces de la condicion F (n) = 0 se
obtiene an = (1 + i)an . Utilizando la identidad i = (1 − v)/v se obtiene otra expresion
equivalente an = an + 1 − vn.
Proposicion 3.3.2. Con v = (1 + i)−1,
i) an =n−1∑
k=0
vk =1 − v
v2(3.9)
ii)d
dian < 0. (3.10)
Caso 3: m pagos vencidos en el ano, con m capitalizaciones.
En este caso se asume que el fondo reconoce intereses compuestos al final de cada uno
de m perıodos en el ano, con, por ejemplo, m = 360, 52, 12, 4. Y se hacen m pagos,
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vencidos, en las mismas fechas. Para los pagos se hace el supuesto de que son fracciones
1/m, ver [Lobez Urquia, 1959, cap. XII, Rentas Constantes Fraccionadas]. En este caso
la tasa que se contrata es efectiva para cada perıodo, y es i(m)/m. Por tanto, el flujo de
caja similar a (3.1), para n anos, es, reemplazando im = i(m)/m,
F (t) = (1 + im)F (t− 1) − 1/m, (3.11)
para t = 1, 2, . . . , nm. Con la condicion de cierre F (nm) = 0. Notese que hay nm
perıodos de capitalizacion y de pagos.
F (t) = (1 + im)t(F (0) − (1/m)t∑
k=1
(1 + im)−k), (3.12)
pero, reemplazando (1 + i(m)/m) = (1 + i)1/m = v−1/m, y evaluando en t = nm se
obtiene, por la condicion de cierre, F (0) = (1/m)∑nm
k=1 vk/m. Denotando el valor de la
anualidad por a(m)n = F (0) se tiene
Proposicion 3.3.3. Con v = (1 + i)−1, i(m) = m(v−1/m − 1) se tiene
i) a(m)n =
1
m
nm∑
k=1
vk/m =1 − vn
i(m)(3.13)
ii)d
dia
(m)n < 0. (3.14)
Caso 4: m pagos anticipados en el ano, con m capitalizaciones.
En este caso el fondo reconoce intereses compuestos al final de cada uno de los m
perıodos en el ano pero los pagos de la anualidad, iguales a la fraccion 1/m se hace
perıodo anticipado. La ecuacion del flujo de caja es una modificacion de (3.11), dada por
F (t) = (1 + im)(F (t− 1) − 1/m), (3.15)
con las mismas condiciones que en el caso anterior, se obtiene como solucion
F (t) = (1 + im)t(F (0) − (1/m)(1 + im)
t∑
k=1
(1 + im)−k), (3.16)
con lo cual, a partir de la condicion de cierre F (nm) = 0 se obtiene, con (1+im) = v−1/m,
F (0) = v−1/ma(m)n . Si se denota el valor de la anualidad por a
(m)n = F (0) entonces se
tiene
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Proposicion 3.3.4. Con v = (1 + i)−1, d(m) = m(1 − v1/m) se tiene
i) a(m)n =
1
m
nm−1∑
k=0
vk/m =1 − vn
d(m)(3.17)
ii)d
dia
(m)n < 0. (3.18)
3.3.2. Anualidades con pagos variables
En esta seccion se exponen varios tipos de anualidades con pagos r(k) variables durante
el ano. En particular interesa el caso de anualidades con incrementos geometricos anuales,
que corresponde al caso de incrementos por costos de vida en pensiones.
Caso 1: q pagos anticipados en el ano, con m capitalizaciones, con incrementos
anuales a una tasa dada
Se asume una anualidad pactada a una tasa efectiva anual i, con m capitalizaciones al ano
y q pagos vencidos en el ano, tales que m es divisible por q, con m = rq para r entero.
Tal que el contrato especifica que los pagos se incrementan en un porcentaje i∆ cada m
perıodos, donde i∆ es una tasa efectiva anual.
La aplicacion es para el caso m = 360, capitalizacion diaria, por ejemplo, en un fondo de
inversiones; q = 12, es decir, doce pagos al ano, y r = 30.
La ecuacion recursiva del flujo para este caso tiene la forma
F (k) = (1 + i(m)/m)F (k − 1) − r(k), (3.19)
para k = 1, 2, . . . , nm, tal que F (nm) = 0. La sucesion r(k) se define por
r(k) = P1(1 + i∆)bk−1m
cI(k ≡ 0(mod r)), (3.20)
La funcion indicadora I(A) vale 1 cuando la condicion A es cierta, y 0 cuando no. La
condicion k ≡ 0(mod r) es una manera de expresar que el numero k es multiplo de r, y se
lee “k es equivalente a cero, modulo r”. Significa que k − 0 es divisible por r, es decir, k
es un multiplo de r. Con lo cual los pagos son diferentes de cero en cada tiempo multiplo
de r. La cantidad P1 es el valor del pago durante los primeros m perıodos.
La solucion de la ecuacion (3.19) es, con im = i(m)/m,
F (t) = (1 + im)t[F (0)− P1
t∑
k=1
(1 + im)−k(1 + i∆)bk−1m
cI(k ≡ 0(mod r))], (3.21)
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Aplicando la condicion de cierre se obtiene que el valor de la anualidad es
F (0) = P1
nm∑
k=1
(1 + im)−k(1 + i∆)bk−1m
cI(k ≡ 0(mod r))]
= P1
n∑
s=1
(1 + i∆)s−1
q∑
t=1
vs−1+t/q
= P1
n∑
s=1
(1 + i∆1 + i
)s−1 q∑
t=1
vt/q
= P1
n∑
s=1
vs−1h
q∑
t=1
vtq
= P1an imaq iq .
donde la notacion an i indica que la anualidad se calcular con la tasa i.
Ejemplo 3.3.1. Suponga que se quiere comprar una anualidad por 5 anos, que pague 12
veces al ano, mes vencido, con incrementos anuales de 4.0%, y por valor de 2.5 mill el
primer ano, a un banco que ofrece una tasa de 8.0% efectiva anual. Calcular el costo de
este contrato.
3.3.3. Ejemplo: Sistemas de Amortizacion con Cuotas Crecientes
Geometricamente
El objetivo de esta seccion es desarrollar una expresion general para el saldo de un credito
al final de un mes generico k, k = 1, 2, . . . , 12n, donde n es el numero de anos del mismo.
Las variables utilizadas se describen a continuacion:
F0: Saldo inicial del credito.
Fk: Saldo del credito en el mes k.
i: Tasa efectiva anual del credito.
im: Tasa efectiva mensual del credito im = (1 + i)1/12 − 1
C: Primera cuota de amortizacion del credito.
rk: Cuota de amortizacion en el mes k rk = C(1 + i∆)bk−112 c
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i∆: Tasa de crecimiento anual de la cuota de amortizacion.
vm: Factor de descuento mensual vm = (1 + im)−1.
n: Duracion del credito en anos.
k: mes cualquiera del credito, k = 1, 2, . . . , 12n.
La ecuacion para el flujo de caja de los saldos mensuales Fk, k = 1, 2, . . . , 12n es:
Fk = (1 + im)Fk−1 − rk
F0 = valor del credito
F12n = 0 condicion de cierre
El saldo inicial del credito, F0, es igual a la sumatoria de los valores presentes de todas las
cuotas de amortizacion. Para ver esto, utilizamos la ecuacion del flujo de caja para valores
sucesivos de k, reemplazando en cada caso el valor anterior.
F1 = (1 + im)F0 − r1
F2 = (1 + im)F1 − r2
F2 = (1 + im)2F0 − (1 + im)r1 − r2
...
Fk = (1 + im)kF0 −k∑
j=1
(1 + im)k−jrj
donde rk = C(1 + i∆)bk−112 c, reemplazando en la ecuacion anterior se obtiene la siguiente
expresion general para el saldo del credito al final del mes k:
Fk = (1 + im)kF0 − Ck∑
j=1
(1 + im)k−j(1 + i∆)b j−112 c
El valor de la primera cuota de amortizacion, C, se obtiene reemplazando en la expresion
anterior k por 12n y aplicando la condicion F12n = 0.
F0 = C12n∑
j=1
vjm(1 + i∆)b j−1
12 c
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La expresion anterior puede simplificarse observando que si j ≤ 12n entonces⌊
j−112
⌋=⌊
12n−112
⌋=⌊n − 1
12
⌋= n − 1
Luego se puede expresar F0 de la siguiente manera:
F0 = Cn−1∑
k=0
(1 + i∆)k
12∑
s=1
v12k+sm
Si (1 + i∆) = eδ∆, entonces (1 + im) = (1 + i)1/12 = eδ12 , donde δ es la tasa de interes
continua del credito. Luego
F0 = C
n−1∑
k=0
eδ∆k
12∑
s=1
e−δ12
(12k+s)
= C
n−1∑
k=0
eδ∆k
12∑
s=1
e−δk− δ.s12
= C
n−1∑
k=0
e−(δ−δ∆)k
12∑
s=1
e−δ.s12
Ademas, si se define: eδs = eδ−δ∆ = 1 + is = (1+i)(1+i∆)
, donde is corresponde a la tasa real
del credito, es decir, los puntos adicionales al ipc anual, que usualmente esta entre 8 % y
15 %, aunque sobre el punto no existe una informacion o reglamentacion clara sobre el
valor maximo que pueden usar las corporaciones en los creditos de vivienda, se obtiene:
F0 = C
n−1∑
k=0
e−k(δ−δ∆)
12∑
s=1
e−δ.s12
= C
n−1∑
k=0
e−kδs
12∑
s=1
e−δ.s12
Teniendo en cuenta que: an |i es el valor presente de una anualidad anticipada de pagos
iguales a 1 durante n anos a una tasa de interes i, y que an |i es el valor presente de la
anualidad anterior pero de pagos vencidos, se obtienen las siguientes equivalencias:
an |i = 1 + v + v2 + v3 + ... + vn−1 =n−1∑
k=0
vk =n−1∑
k=0
e−kδi
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ah |i = v + v2 + v3 + ... + vh =h∑
k=1
vk =h∑
k=1
e−kδi
Por lo tanto, F0 = Can |isa12 |im , y el valor de C es:
C =F0
an |isa12 |im
3.4. Anualidades con Tasas Aleatorias
Un tema actual en la Matematica Financiera es el uso de instrumentos que involucran
tasas de interes aleatorias. Algunos ejemplos son:
• Creditos con tasas variables: DTF, IPC
• Bonos con tasas de cupon variables (ej. = DTF+3%).
• Rendimientos variables de Fondos de Inversion: Fondos de Fiducia, Fondos
de Pensiones.
Una caracterıstica de estos instrumentos es que, dado que dependen de una cantidad
aleatoria, sus resultados no pueden predecirse con anticipacion.
Una estrategia comun es considerar tres escenarios: pesimista, normal, optimista,
y con base es una asignacion de un valor especıfico de las tasas para cada uno,
utilizar tecnicas de valoracion con tasas fijas, y comparar los resultados.
Un enfoque alterno consiste en desarrollar modelos probabilısticos para estos ins
trumentos y plantear los resultados en terminos de las distribuciones de probabilidad
de variables aleatorias.
En los dos trabajos de grado que se citan a continuacion se desarrollaron algunos de
los temas de este enfoque.
El interes por el estudio de tasas aleatorias proviene principalmente del area de pensiones,
con relacion al sistema de ahorro individual en la modalidad de retiro programado, en el
cual el actuario tiene que responder la pregunta de si un capital inicial F sera suficiente
para pagar una pension anual de $y a una persona de edad x. Ese capital debe invertirse
actualmente en fondos que solamente ofrecen un rendimiento variable y por tanto no
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hay total seguridad de cuales seran los rendimientos. El valor presente de esos pagos se
denomina una anualidad de vida estocastica y el principal interes ha sido encontrar la
distribucion de esa variable.
El problema se plantea a partir de un modelo para los flujos de caja de los aportes. Las
variables que definen el modelo son:
i(t), t = 1, 2, . . . denota la tasa efectiva de un fondo en el intervalo [t − 1, t], tal que un
capital C se capitaliza a un valor C(1 + i(t)).
Los aportes al fondo conforman una sucesion no aleatoria dada por r(t) > 0, t = 1, 2, . . ..
F (t) es el saldo de los aportes junto con sus rendimientos al tiempo t. El flujo de caja
correspondiente esta dado por F (t) = (1 + i(t))F (t− 1)+ r(t), t = 1, 2, . . ., donde F (0)
es el deposito inicial. La tasa i(t) no es una tasa de interes sino una tasa de rendimiento, con
lo cual se quiere decir que se considera la posibilidad de valores negativos, concretamente
se asume 1 + i(t) > 0.
Definiendo δ(t) = log(1 + i(t)) y ∆(t) =∑t
s=1 δ(s) , entonces el saldo en el tiempo t
esta dado por
F (t) = e∆(t)(F (0) +t∑
s=1
e−∆(s)r(s)). (3.22)
y el valor presente del saldo es
V (t) = e−∆(t)F (t) = F (0) +t∑
s=1
e−∆(s)r(s). (3.23)
Existen varias alternativas para modelar las tasas δ(t) las cuales determinan la distribucion
de e−∆(t) y e−D(t) para un t fijo.
El Modelo basico de un Sistema de Amortizacion puede definirse a traves de la ecuacion
en diferencias finitas, de primer orden, lineal:
Fk = (1 + ik)Fk−1 − rk, k = 1, 2, . . . , 12n (3.24)
donde las variables que intervienen se definen ası:
1. k es un perıodo de tiempo, por ejemplo, un mes.
2. Fk es el saldo de la deuda al final del perıodo [k − 1, k].
27
3. ik es la tasa efectiva en el perıodo [k − 1, k].
4. rk es el pago, vencido, al final del perıodo [k−1, k], hecho para amortizar el credito.
5. F0 es el valor del credito.
6. n es el perıodo del credito en anos.
Notemos que la ecuacion (3.24) puede escribirse tambien de la forma:
Fk = Fk−1 + ikFk−1 − rk (3.25)
de donde
rk = ikFk−1 + (Fk−1 − Fk) (3.26)
en palabras:
Pago = (Abono a interes) + (Abono a Capital)
La ecuacion (3.24) puede resolverse para encontrar Fk. Si se define δk = ln(1 + ik), y
Λk =∑k
r=1 δr, entonces la ecuacion (3.24) queda:
Fk = eδkFk−1 − rk, k = 1, 2, . . .
y su solucion viene dada por:
Fk = eΛk(F0 −k∑
j=1
e−Λj rj) (3.27)
En este caso eΛk es el valor acumulado de $1 en el perıodo [0, k], y por tanto, el valor
presente del saldo al final del mes k es:
e−ΛkFk = F0 −k∑
j=1
e−Λj rj (3.28)
El paso siguiente es definir un modelo para las tasas aleatorias. El supuesto que se
hace es que la tasa efectiva para el perıodo [k − 1, k] es ik, es una variable aleatoria.
Equivalentemente, (ik)k=1,2,... es una sucesion de variables aleatorias o proceso estocastico.
28
Esto permite introducir varios modelos para las tasas y observar el comportamiento del
valor presente del saldo de acuerdo a la evolucion de las mismas.
En la practica comercial, la tasa efectiva mensual es una tasa compuesta de la forma:
1 + ik = (1 + yk)(1 + is), k = 1, 2, . . .
donde
1. yk es el valor de la tasa DTF mensual para el perıodo [k − 1, k]
2. is es una tasa efectiva mensual, correspondiente al "interes real", adicional al DTF.
Por tanto, puede escribirse:
δk = ln(1 + ik) = ln(1 + yk) + ln(1 + is)
= ξk + δs
Las tasas ξk = ln(1 + yk) se consideran variables aleatorias y por tanto, los saldos del
credito, Fk, tambien son variables aleatorias.
Este hecho fuerza a que la condicion de terminacion del credito con tasas fijas:
F12n = 0
se reemplace por:
E(e−Λ12nF12n) = 0 (3.29)
La condicion (3.29) anterior se introdujo en el trabajo como una generalizacion de F12n =
0. Una consecuencia de (3.29) es que si el credito en pesos utiliza tasas variables, no puede
definirse exactamente el momento en el cual se termina de amortizar el mismo. Por
lo tanto, es posible que el credito se demore menos o mas de los 12n meses en un credito
con tasas fijas.
Aplicando la condicion de finalizacion del credito (3.29) a la ecuacion del valor presente
del saldo en el mes k = 12n, se tiene:
E(e−Λ12nF12n) = F0 −12n∑
j=1
E(e−Λj )rj = 0
de donde
F0 =12n∑
j=1
rjE(e−Λj )
29
El valor de E(e−Λj ) dependera del modelo elegido para la evolucion de las tasas.
Reemplazando este valor para F0 en la expresion del valor presente del saldo en el mes k,
se tiene:
e−ΛkFk =12n∑
j=1
rjE(e−Λj ) −k∑
j=1
rje−Λj (3.30)
y en el mes k = 12n
e−Λ12nF12n =
12n∑
j=1
rjE(e−Λj ) −12n∑
j=1
rje−Λj (3.31)
= E(Sn) − Sn
podemos ver entonces que el comportamiento del valor presente del saldo en el mes 12n
depende de la diferencia: E(Sn) − Sn.
Interesaba entonces calcular la probabilidad:
P (e−Λ12nF12n > 0) = P (E(Sn) > Sn) (3.32)
asumiendo distintos modelos para las tasas δk. Es decir, calcular la probabilidad de no
terminacion del credito en el tiempo normal, debido a la evolucion de las tasas.
El objetivo del trabajo puede expresarse entonces en este punto como el de encontrar
como se relaciona la evolucion de las tasas de interes con la probabilidad de exceder el
tiempo 12n.
Para proceder a examinar este probabilidad con mas detalle es necesario definir una
expresion concreta para los pagos rk y especificar el modelo para las tasas δk.
Una formula de uso comun para los pagos es: 12 pagos mensuales vencidos iguales, con
incrementos anuales segun la tasa de IPC.
Si se utiliza una tasa constante efectiva anual para IPC, denotada por i∆ entonces el pago
al final del perıodo [k − 1, k] es:
rk = c(1 + i∆)bk−112
c, k = 1, 2, . . . (3.33)
En esta expresion, bxc es la "parte entera"de x. Se puede comprobar que, en efecto,
rk =
c si k = 1, 2, . . . , 12 (primer ano)
c(1 + i∆) si k = 13, 14, . . . , 24 (segundo ano)
etc.
30
Colocando (1 + i∆) = eδ∆ , el valor presente del saldo en el mes k es de la forma:
e−ΛkFk = F0 − ck∑
j=1
eδ∆b j−112
c−Λj , k = 1, 2, . . . (3.34)
aplicando la condicion de finalizacion del credito (3.29) se tiene:
F0 = c
12n∑
j=1
eδ∆b j−112
cE(e−Λj )
de donde la primera cuota c puede calcularse como:
c =F0∑12n
j=1 eδ∆b j−112
cE(e−Λj )
Reemplazando este valor c en la expresion para el valor presente del saldo en el ultimo
mes k = 12n, se obtiene:
e−Λ12nF12n = F0
(1 −
∑12nj=1 eδ∆b j−1
12c−Λj
∑12nj=1 eδ∆b j−1
12cE(e−Λj)
)
y la probabilidad P (e−Λ12nF12n > 0) es igual a:
P
(1 >
∑12nj=1 eδ∆b j−1
12c−Λj
∑12nj=1 eδ∆b j−1
12cE(e−Λj )
)= P
(1 >
Xn
E(Xn)
)(3.35)
Definiendo entonces el modelo para δk se puede encontrar la distribucion de las variables
Λk =∑k
j=1 δj, y proceder a evaluar la probabilidad anterior.
En el trabajo de grado se utilizo un modelo autorregresivo de orden 1, AR(1) para la tasa
DTF mensual, ξk, definido a partir de una ecuacion en diferencias finitas de la forma:
ξk = ξ + φ(ξk−1 − ξ) + zk, k = 1, 2, . . . (3.36)
donde las variables (zk)k=1,2,... forman una sucesion de variables independientes identica
mente distribuıdas N(0, σ2).
Colocando δk = ξk + δs y θ = ξ + δs, entonces la ecuacion anterior se transforma:
δk = θ + φ(δk−1 − θ) + zk, k = 1, 2, . . . (3.37)
31
El sistema de amortizacion se describe ahora por un sistema de dos ecuaciones:{
Fk = eδkFk−1 − rk
δk = θ + φ(δk−1 − θ) + zk, k = 1, 2, . . .(3.38)
donde: F0, δ0, θ > 0, |φ| < 1, y (rk)k=1,2,... son todas cantidades conocidas.
La condicion de cierre E(e−Λ12nF12n) = 0 se debe cumplir igualmente.
A partir de la definicion del modelo AR(1) para δk se puede probar:
Λj ∼ N(mj , σ2S2
j ), j = 1, 2, . . . (3.39)
donde
mj = jθ + (δ0 − θ)
(φ − φj+1
1 − φ
)
S2j =
j∑
n=1
(1 − φj−n+1
1 − φ
)2
de donde obtenemos inmediatamente, con base en la funcion generadora de momentos de
una normal:
E(e−Λj ) = e−mj+σ2S2j /2
y por tanto, la probabilidad buscada toma la expresion:
P
(1 >
∑12nj=1 eδ∆b j−1
12c−Λj
∑12nj=1 eδ∆b j−1
12c−mj+σ2S2
j /2
)(3.40)
Aunque difıcil de evaluar analıticamente, es facil calcularla mediante simulacion.
El poder describir la evolucion aleatoria del valor presente del saldo e−ΛkFk permite
plantear problemas mas interesantes.
1. Tiempo de Primera Llegada a cero. El caso en el cual se quiere estudiar el mes T en
el que se termina de pagar el credito. Es una variable aleatoria definida por:
T = mın{k : e−ΛkFk < 0}
2. Probabilidad de que el saldo no supere un valor dado S
P (max{Fk : 1 ≤ k ≤ 12n} < S)
32
3.4.1. Modelos para las Tasas
Entre los modelos para δ(t) se pueden mencionar los siguientes:
1. Tasas independientes e identicamente distribuıdas (i.i.d.). Por ejemplo, en Waters
(1978), Dufresne (1990), Papachristou y Waters (1991), Parker (1993, 1994d), entre
otros.
2. Modelos autorregresivos AR(p) , estacionarios y gaussianos, por ejemplo, en Panjer
y Bellhouse (1980)Panjer and Bellhouse [1980], Lai y Frees(1995), Dhaene (1989,
1992), Parker (1993, 1994 a,b,c,d), incluyendo procesos OrnsteinUhlenbeck en
tiempo continuo, Norberg y Moller (1994).
3. Asumir que δ(t) sigue un proceso AR(1) o AR(2). En este caso el valor presente es
una suma de variables dependientes distribuıdas Lognormal. Es posible encontrar
una distribucion aproximada mediante ciertas tecnicas desarrolladas en Mehta et.
al. (2006) para la aproximacion de una suma de variables lognomales dependientes.
4. Asumir modelos para la estructura temporal de tasas de interes, como en Boyle
(1980), Brennan y Schwarz (1979), Beekman y Shiu (1988) y Longstaff y Schwarz
(1992).
5. Modelos Autorregresivos condicionalmente heterocedasticos ARCH, como en Lai
y Frees (1995) y Wikie (1995).
6. Modelos de difusion con saltos, incluyendo la aproximacion en tiempo discreto de
Ball y Torous (1983), como en Das (1998).
7. Modelos AutoRegresivos Condicionalmente Heterocedasticos, ARCH(1).
8. Modelos AR(1) modulados por una Cadena de Markov finita (Markov switching
processes).
Otros modelos recientes, que tienen una estructura analıtica tratable, capaces de cap
turar comportamientos de saltos sorpresivos son los modelos "modulados"mediante
una cadena de Markov finita. Estos modelos permiten que el proceso evolucione
entre K posibles niveles, de manera aleatoria, de tal forma que los saltos de un
nivel a otro estan descritos mediante una cadena de Markov finita, y, mientras el
33
proceso permanece en un nivel dado, se comporta como un AR(1). Introducidos por
Hamilton(1989) (?). Ver Hardy(1999) (?). Un ejemplo es el siguiente:
δk = θk + φ(δk−1 − θk−1) + zk, k = 1, 2, . . . (3.41)
donde (θ)k=1,2,... es un cadena de Markov finita, con espacio de estados E =
{e1, e2, . . . , en}.
Cada estado representa un posible nivel medio de las tasas de interes.
La probabilidad de pasar de un nivel ei en el tiempo k − 1, a otro ej en el tiempo k,
esta dada por la matriz M = [pij ] donde pij = P (θk = ej|θk−1 = ei).
Por ejemplo, los estados son: E = {0.0312, 0.023, 0.0145, 0.0067} y la matriz M
esta dada por:
M =
0.95 0.05 0.01 0.01
0.03 0.82 0.13 0.02
0.01 0.05 0.88 0.06
0.01 0.03 0.11 0.85
El estado e1 = 0.0312 significa que las tasas estan a un nivel e0.0312 − 1 = 0.0316,
efectivo mensual. Pueden cambiar al nivel e3 = 0.0145, que equivale a una tasa
efectiva mensual de 1.4% con una probabilidad de 0.01. Etc.
Es posible repetir los pasos del modelo AR(1) y llegar a una expresion similar para
la probabilidad de no terminar de pagar el credito en el tiempo 12n, utilizando este
modelo.
El supuesto de tasas i.i.d. se justifica basicamente por la facilidad de manejo de los modelos
y obtencion de resultados. Pero resulta cuestionable a la vista de algunos resultados, por
ejemplo, en Panjer y Bellhouse (1980), los autores muestran que modelos AR(1) y AR(2)
proveen buen ajuste a tasas de varios tipos.
Sin embargo, los modelos autoregresivos tambien tienen una crıtica, por ejemplo, en
Ramsay (1986), pag. 268, en donde se afirma que el problema con estos modelos es que
son filtros de ruidos blancos gaussianos i.i.d. y esto no concuerda con el comportamiento
observado de tasas de interes mostrando alta volatilidad y persistencia por encima de su
valor esperado. Ver por ejemplo la Figura (??).
34
Con relacion al problema de determinar la distribucion de una anualidad de vida, y, en
particular, la distribucion del valor presente de un flujo de pagos con tasas aleatorias, la
mayor parte de los artıculos se enfocan hacia el calculo de los momentos de la anualidad
o del valor presente, para utilizarlos en la reconstruccion o en la aproximacion de la
distribucion de los mismos.
3.4.2. Modelo con base en AR(1)
i(t) = tasa de interes efectiva perıodo [t− 1, t], y δ(t) = ln(1 + i(t)). El valor presente en
t = 0 de $1.0 en T es
V (t) =T∏
s=1
exp(δ(s)) = exp(−T∑
s=1
δ(s))
Supuesto (δ(t), t = 1, 2, . . .) es un proceso estocastico gaussiano, estacionario en cova
rianza, con media E(δ(t) = θ y funcion de autocovarianza γ(h) = Cov(δ(t + h), δ(t)).
Entonces D(t) =∑t
s=1 δ(s) es un proceso gaussiano, no necesariamente estacionario en
covarianza.
Interesa el Proceso: Valor Presente Estocastico V (t) = e−D(t): su distribucion de proba
bilidades, esperanza, varianza, autocovarianza.
Distribucion de V (t): P (V (t) ≤ x) = P (D(t) ≥ − ln(x)) ... difıcil de determinar en
general !.
El supuesto de "proceso gaussiano"permite encontrar esta distribucion, pero es restrictivo
(no realista). Una vıa: usar la normalidad de D(t) se obtiene de suponer un proceso
gaussiano...
E(D(t)) = θt.
V ar(D(t)) = tγ(0) + 2∑t−1
s=1(t − s)γ(s).
P (V (t) ≥ x) = P (e−D(t) ≥ x) = P (D(t) ≤ − ln(x)) = φ
(− ln(x)−θt√
V ar(D(t))
)
Interesa P (V (t) ≥ 1) = φ
(−θt√
V ar(D(t))
)
suponemos δ(t) = ln(1 + i(t)) AR(1) con media θ. Es decir, la dinamica de la tasa
esta dada por: δ(t) = θ(1 − φ) + φδ(t − 1) + ε(t), con |φ| < 1, y ε(t) i.i.d.N(0, σ2).
Aquı γ(s) = σ2φs/(1 − φ2), s = 0, 1, . . ..
35
Entonces δ(t) es un proceso gaussiano y
E(D(t)) = θt, V ar(D(t)) = tγ(0) + 2∑t−1
s=1(t− s)γ(s).
P (V (t) ≥ x) = P (e−D(t) ≥ x) = P (D(t) ≤ − ln(x)) = φ
(− ln(x)−θt√
V ar(D(t))
)
El caso AR(2) es similar. Y en general, un modelo ARMA(p,q) con errores normales
o modelos gaussianos en general, conducen a formulas similares.
A continuacion se muestran resultados por simulacion y comparacion del ajuste con datos
reales.
3.5. Anualidades con capitalizacion continua
The Euler Maclaurin formula is a series expansion correcting for the error in approximating
the integral of a suitably differentiable function by the trapezium rule; that is, by the integral
of a piecewise linear approximating function.
3.6. Referencias y Sugerencias de Lectura
El el artıculo de Norberg [2005] se exponen resultados basicos del modelo de inversiones
en tiempo continuo. En el libro de Gomez Ceballos [1985] se exponen los sistemas de
amortizacion vigentes hasta 1985 en el paıs, utilizados por las principales entidades de
credito de vivienda. En los libros de Moore [1945] y Lobez Urquia [1959] se desarrollan
con mucho detalle las formulas de la matematica financiera.
3.7. Ejercicios
1. Si i = 0.08 es la tasa efectiva anual, calcule:
a) a15 |
b) a(4)∞|
c) a(4)
15 |
d) (I (4)a)(12)
15 |
36
e) Encuentre a(4)
15 |a partir de c)
f ) Encuentre (I (4)a)(12)
15 |a partir de d)
2. Los recaudos por concepto de pagos en un reten se colocan al final de cada dıa en
un deposito a la vista que ofrece una tasa efectiva diaria i=0.00042. El recaudo de
un dıa se puede modelar como el producto cN =(valor del peaje)(No de vehıculos
en un dıa). Suponga que N ∼ Poisson(λ), con λ = 800 y el valor del peaje por
vehıculo es c = $ 6000.00. Encuentre una expresion para el valor presente del fondo
despues de 30 dıas.
3. Suponga que N es una variable aleatoria distribuıda Poisson con parametro λ > 0.
Considere una anualidad vencida de duracion aleatoria N , aN |, con tasa de interes
efectiva i.
a) Encuentre el valor esperado y la desviacion estandar de esta anualidad.
b) Encuentre el valor numerico de estas cantidades cuando λ = 15 , i = 0.3.
c) Compruebe que se cumple la desigualdad siguiente: E(aN |) ≤ aE(N) |. Ayuda:
use la desigualdad de Jensen.
4. El saldo de una inversion al final del mes k, F (k), colocada en un fondo que ofrece
una tasa i efectiva mensual satisface la ecuacion:
F (k) = (1 + i)F (k − 1) + r(k), k = 1, 2, . . . , n
donde F (0) es el valor inicial de la inversion. Suponga que (r(k))k=1,2,... son variable
aleatorias que representan consignaciones al final de cada mes k. Ademas suponga
que todas son copias i.i.d. de la variable r que tiene la siguiente distribucion:
w 0 35 50
P (r = w) 2/9 4/9 2/9(3.42)
Tabla 1. Distribucion de probabilidad de las consignaciones.
a) Encuentre la expresion para F (n), el saldo al final del mes n.
b) Encuentre expresiones generales para E(F (n)) y V ar(F (n)).
c) Suponga que i = 0.02, F (0) = 10, n = 120. Evalue E(F (n)) y σF (n)
37
5. Con el mismo enunciado del problema 4, suponga que al final de cada mes se
hace un deposito de c > 0, y un retiro por valor X(k), donde (X(k))k=1,2,... es
una sucesion de variables aleatorias i.i.d. con distribucion dada en la tabla (3.42)
del problema anterior. Luego, las inversiones al final del mes k estan dadas por:
r(k) = c − X(k), k = 1, 2, . . . , n, (ahorrogasto).
a) Encuentre la expresion para el saldo al final del ano n.
b) Encuentre la expresion para E(F (n)), V ar(F (n)), colocando F (0) = b
c) Suponga que c representa el ingreso mensual depositado en la cuenta, y que el
promedio de gastos mensuales representa el 60% del ingreso. Asuma que el
saldo inicial es 2/3 del ingreso mensual. Encuentre c, b, E(F (36)), σF (36).
d) Suponga que F (n) ∼ N(E(F (n)), V ar(F (n))), para n > 30. Encuentre
un intervalo alrededor de la media que contenga el valor de F (36) con una
probabilidad del 90%
6. Suponga una anualidad vencida con m pagos y m capitalizaciones al ano, a la
tasa efectiva im, durante n anos, con pagos vencidos de X(k) ∼ i.i.dN(µ, σ2).
Entonces el saldo de la cuenta al final del perıodo k es F (k) donde F (k) =
(1 + im)F (k − 1) − X(k) para k = 1, 2, . . . , nm. Defina Sn =∑nm
j=1 vj/mX(j).
Entonces vnF (nm) = F (0)− Sn.
a) Encuente E(Sn) y V ar(Sn) . Ayuda: use las propiedades de la esperanza
condicional, ver por ejemplo Giraldo et al. [2010], pag. 9 y ss..
b) Encuentre estos valores cuando µ = 2.5 (millones), σ = 0.8 (mill), i = 0.07,
m = 12.
c) Asuma como condicion de cierre que F (0) = pSn(0.95), donde pSn(0.95) es el
percentil de 95% de Sn tal que P (Sn > pSn(0.95)) = 0.05. Encuentre F (0).
7. Suponga una anualidad vencida con m pagos y m capitalizaciones al ano, a la tasa
efectiva im, durante n anos, con pagos vencidos de 1, pero que ocurren aleatoriamente
con probabilidad p ∈ (0, 1). Es decir, se trata de retiros de una cuenta, que pueden
ocurrir en cada perıodo con una probabilidad p. Entonces el saldo de la cuenta
al final del perıodo k es F (k) donde F (k) = (1 + im)F (k − 1) − X(k) para
k = 1, 2, . . . , nm. Defina Sn =∑nm
j=1 vj/mX(j). Entonces vnF (nm) = F (0)−Sn.
Asuma como condicion de cierre que F (0) = pSn(0.95), donde pSn(0.95) es el
38
percentil de 95% de Sn tal que P (Sn > pSn(0.95)) = 0.05. Compruebe o desarrolle
lo siguiente.
a) Encuentre µn = E(Sn), σ2n = V ar(Sn)
b) Utilizando la aproximacion Normal a Sn, es decir, asumiendo Sn ∼ N(µn, σn),
encuentre pSn (0.95) y justifique por que se tiene que Π = P (F (nm) < 0) =
P (pSn (0.95) < Sn) = 0.05 aproximadamente.
c) Calcule la probabilidad Π mediante simulacion de la variable Sn, utilizando
n = 10, m = 12, δ = 0.02, σ = 0.002. Compare con el valor pSn(0.95).
8. Suponga una anualidad con m pagos vencidos y m capitalizaciones al ano, invertida
en un fondo a la tasa efectiva im. La duracion de la anualidad es a N anos, donde
N es una variable aleatoria distribuıda Poisson con parametro λ > 0. Los pagos
vencidos se asumen variables aleatorias X(k) ∼ i.i.dN(µ, σ2). Las variables X(j)
se asumen independientes de N . El saldo de la cuenta al final del perıodo k es
F (k) donde F (k) = (1 + im)F (k − 1) − X(k) para k = 1, 2, . . . , mN . Defina
SN =∑mN
j=1 vj/mX(j). Entonces el valor presente del saldo en el tiempo de cierre
es vNF (mN) = F (0)−SN . El valor F (0) se define como el valor de esta anualidad.
Este modelo es una primera aproximacion a una pension en la modalidad de retiro
programado, considerado en la Ley 100, en el cual suponemos que los retiros no
son fijos sino que se gastan cantidades variables mensuales.
a) Encuente E(SN ) y V ar(SN ) . Ayuda: use las propiedades de la esperanza
condicional, ver por ejemplo Giraldo et al. [2010], pag. 9 y ss..
b) Encuentre estos valores cuando µ = 2.5 (millones), σ = 0.8 (mill), λ = 12,
i = 0.07, m = 12.
c) Calcule F (0) como el percentil del 95% con base en una Normal con media
E(Sn) y varianza V ar(Sn), utilizando los valores numericos anteriores para
los parametros. Como podrıa validarse que F (0) sı es el capital necesario para
financiar esta anualidad?.
d) Compruebe que se cumple la desigualdad siguiente:
E(SN) ≤mE(N)∑
j=1
vj/mE(X(j)).
Que conclusion podrıa sacarse de esta desigualdad?.
39
9. En el modelo para anualidades temporales con tasa aleatorias im(k), k = 1, 2, . . .
tales que δm(k) = log(1 + ik(k)) ∼ i.i.d.N(δ, σ2) se definieron las variables
Zk = 1/(1 + im(k)) y Xk = Z1...Zk = 1/∏k
j=1(1 + im(j)). Entonces se cumple
que Xk ∼ LogNor(−kδ, kσ2). Compruebe o desarrolle lo siguiente.
a) Xk+1 = Zk+1Xk.
b) Cov(Xn, Xn+1).
c) V ar(Xn).
10. En el modelo para anualidades temporales con tasa aleatorias im(k), k = 1, 2, . . . ,
se definen las variables Zk = 1/(1+ im(k)) y Xk = Z1...Zk = 1/∏k
j=1(1+ im(j))
con el fin de calcular la distribucion de la variable Sn =∑nm
k=1 Xkr(k), donde
r(k) = Ck(1+ i∆)b(k−1)/mc y Ck se definio como 1 en los multiplos de r y 0 en otro
caso, donde m = rq, y se utilizaron los valores r = 30, q = 12, m = 360. Como
modelo se escogio δ(k) = log(1 + im(k)) ∼ MA(1). En este punto desarrolle los
puntos siguientes utilizando el programa R dado a continuacion.
a) Utilice la funcion auto.arima de la librerıa forecast para determinar un modelo
δ(k) ∼ ARIMA(p, d, q) para uno de los fondos de fiducia en el archivo
fondosfiducias.txt. El fondo asignado aparece en la lista de los puntos para
cada grupo. Reporte el modelo arima(p,d,q) que escoje esta funcion.
b) Simule 5000 trayectorias de im(k), k = 1, . . . , nm con este modelo y en cada
una calcule un valor de Sn. Reporte el percentil de 95.0% como el valor de la
anualidad, estimado con esta muestra simulada.
c) Reporte una grafica de la densidad de esta variable y comparela con la que
se obtiene con el modelo MA(1). Comente sobre el resultado. Por ejemplo,
que tanto se sobre o sub estima el valor de la anualidad.
# programa de calculo del valor de una anualidad
# por 2 anos con pagos mensuales vencidos, con
# incrementos anuales, usando simulacion con un
# modelo ARIMA(1,1,1) para los rendimientos del fondo fiducor
Db = read.table("fondosfiducias.txt",header=TRUE,stringsAsFactors=FALSE)
attach(Db)
R = (1+Db[,2:31])ˆ(1/360)1.0
iv = na.omit(R[,"ficudor"])
nm = length(iv); r = 30; q = 12; m = r*q; n = floor(nm/m)
40
iv = iv[1:(n*m)]; liv = log(1+iv)
delta = mean(liv); sigma = sd(liv)
(ia = exp(360*(delta+sigmaˆ2/2))1)
id = 0.04 # asegurar que id < ia !
C1 = 2.5
t = seq(1,n*m,1)
ck = ifelse(t%%r == 0, 1, 0)
ck = C1*ck*(1+id)ˆfloor((t1)/m)
# modelo arima
require(forecast)
mod.arima = auto.arima(liv)
summary(mod.arima)
# calculo del valor de la anualidad por simulacion
Y.arima = double(5000)
for(j in 1:5000){
ir = exp(mean(liv) + arima.sim(n=n*m,
model=list(order=c(1,1,1),ar=mod.arima$coef[1],ma=mod.arima$coef[2]),
sd = sqrt(mod.arima$sigma2)))
Y.arima[j] = sum( ck/cumprod(ir[1]))
}
(vp.arima = quantile(Y.arima,0.99))
d.arima = density(Y.arima)
plot(d.arima$x, d.arima$y,lty=1,lwd=1,type=’l’,col=’blue’)
abline(v = vp.arima,col=’blue’)
abline(h=0)
11. Un modelo de capitalizacion en tiempo continuo con tasas aleatorias δ(t) y con
retiros a una tasa lineal se puede definir ası:
dS(t) = S(t)δ(t)dt− (c + ρbtc)dt, t > 0. (3.43)
donde δ(t)dt esta dada por:
δ(t)dt = δdt + σdW (t), (3.44)
donde δ y σ son constantes positivas y W (t), t ≥ 0 es el proceso Wiener estandar. La
tasa δ(t) es la que ofrece un fondo de inversiones en donde se financian los pagos de
esta anualidad. El supuesto equivale a suponer que el fondo tiene rendimientos segun
un Movimiento Browniano Geometrico. Al reemplazar y simplificar se obtiene la
ecuacion diferencial estocastica para el saldo S(t):
41
dS(t) = (δS(t)− (c + ρbtc))dt + σS(t)dW (t), (3.45)
Con S(0) = S. Esta ecuacion es una ecuacion diferencial estocastica de tipo lineal
no homogenea. Desarrolle y/o compruebe
a) Encuentre la solucion general de la ec (3.45).
b) Coloque como condicion de cierre E(S(T )) = 0. Encuentre S.
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