“Las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas,
y, por regla general, pueden ser expresadas en
un lenguaje comprensible para todos”
Albert Einstein.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO
MATEMATICO DE APRENDIZAJE
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
115
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE
APRENDIZAJE
4. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se realiza la presentación del modelo matemático de
aprendizaje desarrollado para este trabajo de tesis, mostrando las
características de las distintas variables que participan en el proceso de
aprendizaje. Para ello se consideran los conceptos físicos y biológicos
utilizados en cada caso para analizar la aplicabilidad y las limitaciones que
presenta el modelo.
Asimismo, los conceptos matemáticos asociados al proceso de
aprendizaje pueden utilizarse para describir la dinámica de las variables que
determinan el proceso de excitación - inhibición. Como se trata de un
modelado fenomenológico, es posible asociar partes del modelo con diferentes
parámetros, lo que facilita la comprensión del comportamiento específico de
cada parámetro y sus relaciones con los demás. Sin embargo, puesto que
muchos fenómenos que ocurren en el aprendizaje son aún en parte inciertos,
como se menciona en el Capítulo I, el modelo de aprendizaje a desarrollar es
del tipo caja gris. Esto es, que combina descripciones fenomenológicas
detalladas con descripciones aproximadas, que finalmente serán objeto de
ajustes matemáticos basados en conocimientos previos y datos
experimentales.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
116
Por otra parte, en la sección 4.5 se presenta el planteamiento de otro
modelo matemático de aprendizaje con retardo, para describir cómo
evoluciona el alumno en el sistema educativo en las escuelas rurales
presentes en el estudio. Para ello, se planteó un problema de valor inicial que
representa las capacidades adquiridas por los alumnos cursantes, tales
capacidades son proporcionales al número máximo de nuevas capacidades
por adquirir. Esto conlleva a expresiones matemáticas de ecuaciones
diferenciales, para obtener soluciones numéricas de forma rápida y que sean a
la vez estables.
4.1. PLANTEO DEL PROBLEMA
Se asume, desde el sector educativo, la problemática ambiental a través
de la concientización en la comunidad sobre el uso eficiente de los recursos
naturales. Ante las condiciones actuales, la sociedad exige una instrucción en
valores, donde se desarrolle la independencia cognoscitiva de los alumnos,
potenciar la capacidad de organización y representación. Evidenciándose así
el vínculo con el entorno que rodea al alumno, donde vive y como se
desarrolla. [28].
Por tanto, se estudiarán los efectos que se producen en la salud y en el
rendimiento escolar de los estudiantes, como consecuencia del uso no
controlado de agroquímicos en comunidades agrícolas, pertenecientes a la
Provincia de Catamarca. Esta se ubica en la región Noroeste de la Republica
Argentina, entre los 25° 12´ y 30° 04´ de latitud sur y entre los 69° 03´ y 64° 58´
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
117
de longitud oeste, y sus límites son: al norte la provincia de Salta, al este las
provincias de Tucumán y Santiago del Estero, al sur las provincias de Córdoba
y La Rioja y al oeste la Cordillera de los Andes -Republica de Chile. Tiene una
superficie de 102.602 km2 (2,7% del total nacional) y una población de 367.828
habitantes (datos Censo Nacional 2010) de los cuales 159.703 habitantes
viven en la ciudad capital, Figura 4.1.
Figura 4.1: Ubicación Geográfica de la Provincia de Catamarca
[Fuente: Dirección Provincial de Estadísticas y Censos Departamento Cartografía Estadística]
Está integrada por dieciséis Departamentos con sus respectivas
cabeceras departamentales, y a su vez cada uno de ellos está dividido en
distritos. Para desarrollar este estudio, se tomó como referencia a la región
este de la provincia donde se encuentra el Departamento Santa Rosa, ubicada
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
118
a 123 km de la Capital con una extensión de 1.424 km2 y una población de
12.034 habitantes, Figura 4.2.
Figura 4.2.: Ubicación geográfica del Departamento Santa Rosa – Prov.
Catamarca – Argentina
Vías de acceso al Departamento Santa Rosa
Se dividió el área de estudio en dos zonas, considerando las regiones
fitogeográficas o ecológicas y el grado de desarrollo de la actividad agrícola, la
cual esta destinada a la producción de granos y oleaginosas, según datos del
Ministerio y de la Dirección de Fiscalización Agropecuaria (2009 - 2010),
58.000has para soja transgénica, 38.000has para trigo y 9000has para
producciones de menor escala, tales como: poroto negro, maíz pisingallo, maní
y otros cultivos como tabaco, tomate y hortalizas. A los efectos de asegurar la
producción agrícola en la zona, se aplican agroquímicos como herbicidas,
insecticidas y acaricidas, cuyo uso en la Provincia de Catamarca se encuentra
regulado mediante la Ley Provincial 4395/86 (Dcto. Reglam. 3175) “Uso de
Departamento Santa Rosa
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
119
productos químicos”, la que a su vez se encuentra encuadrada dentro de la
Ley Nacional General del Ambiente (2002).
El desarrollo moderno de los grandes monocultivos extensivos como la
soja transgénica, trajo aparejado el incremento de la utilización de
agroquímicos en el Departamento Santa Rosa, ya que su cultivo demanda
alrededor del 46% del total de pesticidas utilizados por los agricultores,
seguido por el maíz con el 10% de pesticidas. Agroquímicos como el glifosato
representa el 37% del total de herbicidas, utilizados en la producción agrícola
argentina. Convirtiéndose con otras sustancias químicas en insumos
estratégicos para poder mantener una economía sustentable, una producción
a gran escala y calidad necesarias para la competencia en el mercado
mundial. Estos son fundamentales hoy en día para luchar contra las plagas,
combatir con éxito los vectores de enfermedades y enriquecer los suelos.
Finalmente son claves para satisfacer las necesidades de alimento y trabajo en
las regiones agrícolas.
Los estudios realizados hasta el presente, sobre los impactos
ambientales y la salud provocados por los agroquímicos, fueron desarrollados
para un determinado nivel de utilización, los que no se corresponden con la
condiciones de uso actual. El cambio de patrón en el manejo de los mismos,
fue provocado por la aparición de malezas o hierbas resistentes a los
principios activos de las mencionadas sustancias. Por lo que, los agricultores
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
120
debieron incrementar los volúmenes, las condiciones y formas de aplicación
que muchas veces evidencian un exceso muy marcado, promoviendo a su vez
el irracional uso de herbicidas, insecticidas y acaricidas. Si bien, el propósito es
lograr una economía sustentable, que permita dar respuesta a la creciente
demanda del mercado nacional como internacional, olvidándose de los
aspectos relativos al impacto ambiental de las diferentes técnicas y modelos
agrarios propuestos. [15], [31], [32]
Por tanto, en la Provincia de Catamarca se encuentra regulado el uso de
agroquímicos por la Ley Provincial 4395/86 (Dcto. Reglam. 3175) “Uso de
productos químicos”, pero no existe una Ley Nacional de agroquímicos que
regule debidamente el uso de los mismos. En el marco de la normativa actual,
los plaguicidas de uso doméstico, son normados por distintos organismos de
acuerdo a su uso específico para no afectar en la salud humana. Existen
químicos prohibidos por algunos organismos y aceptados por otros, en la que
los criterios de toxicidad difieren en ciertas zonas y por los entes reguladores
de distintas dependencias de variadas jurisdicciones. Las áreas del país más
perjudicadas son las que presentan variedad de actividad agrícola
preponderante, como ocurre en las provincias de Salta, Misiones, Santa Fe,
Mendoza y San Juan, y también en provincias de mayor vulnerabilidad
económica, como la de Catamarca. En ella, la agricultura y especialmente el
cultivo de soja transgénica constituyen, en algunos Departamentos, como el de
Santa Rosa, una posibilidad segura de crecimiento económico sustentable
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
121
para la población (Ministerio de Producción y Desarrollo de la Provincia de
Catamarca, 2011). Es por ello que se considera de vital importancia poseer
conocimientos sobre los efectos que provoca la sobreutilización de
agroquímicos, para evitar la contaminación directa o indirecta con este tipo de
sustancias tóxicas.
4.1.1. IMPACTO DE LA EXPOSICIÓN DE AGROQUIMICOS SOB RE LA
SALUD HUMANA
Los agroquímicos producen efectos tóxicos agudos y crónicos. Los
impactos de largo plazo (crónicos) sobre la salud humana pueden resultar
tanto a partir de una única exposición a altas dosis de pesticidas, como
también de exposiciones a lo largo de un extenso período de tiempo, aunque
los niveles de exposición sean bajos. A pesar que las personas no manifiestan
haber estado expuestas, las posibles consecuencias futuras pueden surgir
años más tarde, debido a la constante presencia de pesticidas en el ambiente.
Por otro lado, la calidad y la cantidad de datos sobre el riesgo planteado
a humanos por pesticidas individuales varían considerablemente. Determinar
sus causas es con frecuencia extremadamente difícil. Los trastornos del
aprendizaje, conducta y desarrollo en los niños son el resultado de complejas
interacciones entre factores ambientales y genéticos durante los períodos
vulnerables del desarrollo. [28], [32], [33]
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
122
4.2. METODOLOGIA
Se trabajó con una metodología cualitativo – cuantitativo que permitió
realizar un estudio descriptivo correlacional, de diseño observacional, que
pretende evidenciar y describir la tendencia del coeficiente mental visomotor
de las edades madurativas en la niñez de la muestra. Con este diseño de
investigación, se buscó indagar la relación del test de Bender con la madurez
visomotor y el ajuste emocional vinculados con el aprendizaje. Las muestras
experimentales se tomaron de abril a julio de 2010. [2], [28]
4.2.1. POBLACION DE ESTUDIO
La población está conformada por alumnos comprendidos en una franja
etaria entre 5 a 12 años con 11 meses de edad cronológica, que concurren a
las escuelas rurales de Nivel de Educación Primario del Departamento Santa
Rosa. Se dividió el área de estudio en dos zonas, considerando las regiones
fitogeográficas o ecológicas y el grado de desarrollo de la actividad agrícola.
En ella se sitúan cuatro establecimientos escolares, dos de ellos, las Escuelas
Nº 171 y 378 que poseen un total de trecientos cincuenta alumnos, ubicados
en la región oeste del Departamento que corresponde al Municipio de Los
Altos. Los otros dos establecimientos se hallan en la región este, y son la
Escuela N°8 de Bañado de Ovanta, que tiene ciento cuarenta y cinco alumnos,
y la Escuela N°297 de Lavalle con ciento cincuenta alumnos cursantes.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
123
En nuestro estudio se trabajó con los dos últimos establecimientos que
presentaban diferencias en características relevantes. Así se comparó dos
grupos diferentes de alumnos provenientes de entornos socioculturales
similares, pero con la característica que uno de ellos habita en zonas donde
los agroquímicos se usan frecuentemente en la producción agrícola (Localidad
de Lavalle – Departamento Santa Rosa), mientras que el otro grupo proviene
de una comunidad con sistema de producción agrícola de escaso uso de
agroquímicos (Localidad Bañado de Ovanta - Departamento Santa Rosa). Es
decir, se analiza la posible relación entre la aparición de alteraciones en el
comportamiento de los sujetos, el aprendizaje y la presencia de agroquímicos
en su contexto ambiental. [7], [20], [27]
4.2.2. TECNICA E INSTRUMENTO DE RECOLECCION DE DATO S
Se utilizó el Test Guestáltico Visomotor de Bender - Koppitz tal lo
mencionado en el Capítulo I, el cual constituye una herramienta psicométrica
muy utilizada en la praxis educativa, para determinar si el niño presenta el
comportamiento o las habilidades que a su edad y en sus circunstancias se
espera. Para ello, se hace necesario la realización de evaluaciones; como el
coeficiente mental visomotor (CMVM), la edad madurativa visomotor (EMVM),
los estados patológicos funcional u orgánico inducido y los indicadores
emocionales, entre otros, que son objetos de ésta investigación. Además, el
corto tiempo necesario para su aplicación junto con lo accesible de los
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
124
materiales, su bajo costo y la rapidez de su clasificación, son razones que
justifican su aplicación.
Desde esta perspectiva, es importante aportar elementos científicos al
binomio alumnos – docentes, a fin de tener herramientas para determinar la
existencia de desajustes, causados por la presencia de agroquímicos, entre la
edad madurativa y la edad cronológica, y con ello discriminar entre estos
aspectos: a) problemas de aprendizaje que generan conflictos emocionales y
conductuales; b) problemas emocionales que causarían dificultades de
aprendizaje. [5], [7], [22], [33]
Para ello, se toma en cuenta los siguientes puntos:
� Examinar al niño, que debe realizar una tarea gráfica con modelos a la
vista (reproducir nueve figuras).
� Utilizar como estímulos los nueve patrones geométricos abstractos
empleados por Wertheimer.
� Suponer que la copia de las nueve figuras (Anexo A), está relacionada
con la habilidad para reproducir estructuralmente patrones visuales que
se perciben en forma simultánea, mientras que la imposibilidad de
reproducción es un indicador de disfunción.
� Analizar las figuras utilizando una hoja de protocolo, con un margen
superior que solicita los datos generales sobre el evaluado. En la hoja
de protocolo están contenidos treinta ítems puntuables que evalúan
cuatro características de los dibujos reproducidos por el niño, como son:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
125
distorsión, rotación, perseveración e integración de la figura. En la
misma se consignan los ítems, la presencia con 1 y su ausencia con 0,
existiendo una casilla para colocar la sumatoria de los ítems (Anexo A).
Finalmente, la hoja contiene una tabla con los datos normativos para el
sistema de puntuación de la Escala de Maduración de Bender - Koppitz
(Anexo B).
� Determinar el coeficiente mental visomotor (CMVM): que se define como
la tasa de la edad mental visomotora (EMVM) respecto a la edad
cronológica (EC) del sujeto expresado porcentualmente, tal se muestra
en la ec. (4.1), que permite verificar el diagnóstico madurativo según la
tabla de Terman - Merrill (Anexo C) [38]. Esto muestra la interacción
constantemente activa entre la habilidad heredada y la experiencia del
medio que da como resultado que el sujeto sea capaz de adquirir,
recordar, usar sus capacidades visomotoras y entender conceptos
concretos y abstractos.
100×=EC
EMVMCMVM (4.1)
4.2.3. PROCEDIMIENTO
Seguidamente se detallan las diversas actividades realizadas en el
trabajo de campo de esta investigación, desarrolladas dentro del Proyecto de
Investigación “Alteraciones en el aprendizaje y su relación con la presencia de
agroquímicos en el contexto ambiental de los alumnos del Departamento
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
126
Santa Rosa, Provincia de Catamarca” bajo la dirección de la Dra. Gloria del V.
Quevedo, de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNCa.
La administración del test se aplicó en los cuatro establecimientos ya
mencionados del Departamento Santa Rosa – Provincia de Catamarca, donde
se desarrolló una estandarización de la administración de la prueba, con el
objetivo de garantizar que los investigadores administraran el test
correctamente y de manera análoga. Para nuestro caso particular, se aplicó el
test en los establecimientos ubicados al Este de dicho Departamento.
El trabajo de campo fue desarrollado por los integrantes del proyecto, en
el que cada investigador tomó un grupo de alumnos que conforman un grado
escolar. Ellos se presentaron con el docente a cargo, quien facilitó la lista de
asistencia de cada grado. A continuación, se hizo una presentación de la
investigación y se dio una breve explicación a los alumnos sobre la misma,
diciendo: “Queremos saber cómo dibujan los niños y las niñas de esta aula,
por lo que les voy a pedir a cada uno de ustedes que me hagan unos dibujos”.
A continuación, se procedió a la presentación formal diciendo su nombre el
evaluador, una vez completado se inició la aplicación.
Cada evaluador ubicó las nueve tarjetas a su izquierda con las figuras
sobre la superficie de la mesa de trabajo, a su derecha había hojas A4, un
cronómetro, lápices, goma de borrar y un sacapuntas.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
127
Con todo el material preparado y establecido la información se inició la
aplicación, con esta consigna “Aquí tengo nueve tarjetas con dibujos para que
los copies lo mejor que tú puedas. Aquí está el primero, haz uno igual a este”.
Cuando el examinado terminó, se le pidieron datos como su nombre
completo, fecha de nacimiento, el nombre de la Escuela y la fecha de la
prueba. Cuando este proceso finalizó, el investigador procedió a agradecer al
sujeto su colaboración y en recompensa le entregaba un pequeño presente,
luego, se despidió en la puerta del aula (en cuanto a los datos que no podía
dar el sujeto los proporcionaba el docente).
4.2.4. ANALISIS DE DATOS
A partir de la aplicación del Test Gestáltico Visomotor de Bender a los
grupos de alumnos en estudio, se realiza un análisis mixto (cuantitativo y
cualitativo) para evaluar los errores y/o aciertos obtenidos en la reproducción
de las figuras gestálticas.
• Análisis cuantitativo: se obtiene un puntaje tentativo en relación a
los errores y/o aciertos cometidos en la reproducción de las figuras.
Considerando un Indicador Madurativo siendo algunos de los ítems:
distorsión de la forma, rotación, integración y perseveración.
• Análisis cualitativo: Para analizar el test de Bender [5], se observa la
presencia de otros dos indicadores, como son:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
128
a. Indicador Emocional: existen niños que presentan problemas
visomotores acompañados también de problemas emocionales
relacionables. Los niños sin problemas emocionales, sobrellevan mejor
el aprendizaje y buscan mejorar en sus problemas visoperceptor.
Algunos ítems de indicadores emocionales son:
� Orden confuso: cuando las figuras están desparramadas
arbitrariamente en el papel, sin secuencia ni orden lógico,
indica planeamiento pobre e incapacidad para organizar el
material. Es común en niños de cinco a siete años, pero se
relaciona con confusión mental en niños mayores.
� Repaso del dibujo o de los trazos: todo el dibujo o partes del
mismo es repasado con líneas espesas, se asocia con
impulsividad y agresividad.
b. Indicadores de Disfunción Neurológica: el test de Bender es muy pobre
y puede ser un indicador de problemas a nivel cerebral. Es significativo
cuando el puntaje da muy por debajo de la media. Tener en cuenta que
el Bender no es suficiente para indicar una lesión cerebral. Los ítems
que indican lesión son variados para cada figura (por ejemplo: Figura
A: distorsión, desproporción, rotación, etc. Figura 1: se agrega
perseveración, Figura 2: Integración).
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
129
4.2.4.1. RESULTADOS DE APLICACIÓN DEL TEST GESTALTI CO
VISOMOTOR DE BENDER
A continuación se muestran los resultados obtenidos de la aplicación del
test de Bender que puntúan los “errores” y el diagnóstico madurativo en los
cuatro establecimientos de las zonas de estudio, cuyo ecosistema sufre
alteraciones o desequilibrios producidos por el uso intensivo de agroquímicos,
afectando el estado de salud de los alumnos del Departamento Santa Rosa.
En la Figura 4.3, se muestran los diagnósticos madurativos según la tabla
de Terman-Merrill (Anexo C) de los cuatro establecimientos escolares
correspondientes al jardín de infante hasta tercer grado. El diagnostico
madurativo va desde el indicado con uno, correspondiente a genio, hasta el
indicado con seis, que equivale a debilidad mental leve; siendo estas
situaciones bien diversas en cada establecimiento. En la Escuela N° 8 -
Bañado de Ovanta, dicha distribución de los diagnósticos es homogénea,
debido a la escasa exposición que presentan los alumnos a los sectores de
cultivos que son expuestos a sustancias agroquímicas, mientras que las
Escuelas de Alijilán y Los Altos se hayan ubicados a pocas cercanías de los
cultivos que son tratados con agroquímicos los cuales muestran una
distribución que va creciendo para un diagnóstico madurativo alto. Por otro
lado, los alumnos de la Escuela N° 297- Lavalle son los más afectados en sus
actividades sensoriomotor en la adquisición de capacidades, presentando un
alto porcentaje de debilidad mental posiblemente causado por los efectos
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
130
directos de los contaminantes agroquímicos que reciben por el desarrollo
agrícola de la región.
0
10
20
30
40
50
0
1
23
45
67
01
23
4
Por
cent
aje
de a
lum
nos
Dia
gnós
tico
Mad
urat
ivo
Escuelas
Bañado de OvantaLavalleAlijilánLos Altos
Figura 4.3: Escala de maduración de los alumnos que cursan jardín infante a 3er grado de las escuelas rurales, evaluándose los “errores” obtenidas al aplicar el Test de Bender.
[Datos aportados por la Dra. Quevedo]
En la Figura 4.4, se muestran los diagnósticos madurativos según la tabla
de Terman-Merrill (Anexo C) de los cuatro establecimientos escolares
correspondientes al cuarto grado hasta el séptimo grado. Aquí también se
indica al diagnóstico madurativo de los alumnos que va desde uno, lo cual
corresponde a genio pero no hay evidencia de registro del mismo, hasta el
indicado con seis, que equivale a debilidad mental leve que resulta sumamente
alto. Evidentemente la situación de la Escuela N° 297 - Lavalle es crítica,
porque los alumnos se ven afectados en forma directa por los efectos nocivos
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
131
que provoca la contaminación de las sustancias tóxicas presentes en los
cultivos cercanos a dicha escuela, mientras los restantes establecimientos
muestran un porcentaje variable en relación a la adquisición de capacidades
obtenido a través de los estímulos que recibe facilitando las conductas de
aprendizaje, la retención y consolidación de las tareas aprendidas.
Si bien, éste diagnóstico madurativo está evaluado en relación a los
“errores” obtenidos por los alumnos al efectuar el test, esto implica que los
resultados obtenidos son signos de inmadurez de la función visomotora; es
decir que cuanto más alto sea el puntaje obtenido en la evaluación del
protocolo, es menor la madurez visomotora del alumno que ha realizado la
prueba.
0
20
40
60
80
100
0
1
2
34
56
7
01
23
4
Por
cent
aje
de A
lum
nos
Diagn
óstic
o M
adur
ativo
Escuelas
Bañado de OvantaLavalleAlijilánLos Altos
Figura 4.4: Escala de maduración de los alumnos que cursan el 4to a 7mo grado de las escuelas rurales, evaluándose los “errores” obtenidas al aplicar el Test de Bender.
[Datos aportados por la Dra. Quevedo]
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
132
De este análisis se destaca que para el nivel primario de los cuatro
establecimientos muestran que el nivel cognitivo obtenido por los alumnos es
relativamente bajo. Puesto que el aprendizaje implica alguna forma de
adquisición de información y una modificación en el estado de la memoria del
sujeto, esto lleva a que las entidades mentales resultantes del procesamiento
de la información quedan almacenadas en su memoria, las cuales
proporcionan una respuesta ante los estímulos ambientales incidentes y a las
diferencias fitogeográfica o ecológicas que llevan a que los alumnos se
encuentren afectados de distinta manera, los cuales precondiciona el resultado
de la madurez visomotora evaluada por el test. Por tanto, los procesos
mentales median entre la entrada del estímulo (input) y la expresión de la
respuesta (output). El hecho de desestimar una simple concatenación refleja
entre el estímulo y la respuesta conductual implicó elaborar técnicas y
estrategias para detectar e identificar procesos mentales intermedios,
pretendiendo que los mecanismos cognitivos inherentes a la compleja mente
humana se vuelvan transparentes al entendimiento humano. [14]
4.2.4.2. SELECCIÓN DE DOS ESTABLECIMIENTOS RURALES
Para nuestra investigación se consideró dos de los establecimientos
escolares correspondiente al nivel primario que se hayan ubicados en la región
Este del Departamento Santa Rosa, la Escuela N°8 - Bañado de Ovanta y
Escuela N° 297 - Lavalle. Esta selección se realizó porque dichas regiones
presentan manifiestamente diferencias fitogeográfica o ecológicas,
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
133
caracterizadas por los tipos de cultivos que presentan y que requieren en
forma continua la utilización de sustancias agroquímicas para el control de
malezas, lo cual genera alteraciones en la adquisición de capacidades de los
alumnos.
En ambos casos se aplicó el Test Gestáltico Visomotor de Bender como
instrumento de registro de la madurez visomotor del aprendizaje, y el sistema
de puntaje de Koppitz (Anexo B) para determinar las capacidades adquiridas
por los alumnos cursantes de ambos establecimientos. Por consiguiente, se
discrimina por grado que cursan los alumnos, llamando 0 al nivel inicial hasta
el séptimo grado, y la edad cronológica (EC) que es la edad real en meses que
tiene el alumno que se halla asistiendo alguno de los cursos desde el nivel
inicial hasta el séptimo grado.
En las Figuras 4.5 y 4.6, se muestran la recta de regresión que relaciona
la edad que poseen los alumnos (expresada en meses) y su distribución por
grado, conforme a las actividades de aprendizaje que se conviertan en parte
activa de las capacidades adquiridas.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
134
Grado que cursan. los alumnos0 2 4 6 8
EC
[mes
es]
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Grado vs Edad [meses] Regresión lineal
Figura 4.5.: Recta de regresión de EC de los alumnos según el grado que cursan. Esc.N°8 Bañado de Ovanta.
Grado que cursan los alumnos0 2 4 6 8
EC
de
los
curs
ante
s [m
eses
]
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Grado vs EC [meses]Regresion lineal
Figura 4.6.: Recta de regresión de EC de los alumnos según el grado que cursan. Esc.N° 297 Lavalle.
Conforme a estos datos, se construyeron las rectas de regresión y en
función de las edades mínimas y máximas esperadas medidas en [meses] de
ambos establecimientos, la cual se supone que el alumno ingresa con edad de
cinco años (sesenta meses) como mínimo y seis años (setenta y dos meses)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
135
como máximo y progresa un grado por año la cual se expresan en las ecs.
(4.2) y (4.3). En cuanto a los valores obtenidos de las respuestas del test dada
por los alumnos se muestran en las rectas que contienen a tales datos, donde
las ordenadas al origen muestran una variación mínima cuyas pendientes son
ligeramente superior a 12 meses por grado [meses], y los errores de ambas
recta son del 0.9122% para la Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta y 0.7582%
para la Escuela N° 297 – Lavalle.
29625212 .t.y OvantadeBañado.Escregresión += (4.2)
05669462312 .t.y Lavalle.Escregresion += (4.3)
En la Figura 4.7 muestra la regresión obtenida en la ec. (4.2) y se
observan comportamientos dentro de la recta de edades mínimas de un
alumno que ingresa al jardín de infantes con cinco años (sesenta meses) y
crece a razón de un grado por año y la recta máxima al ingresar con seis años
(setenta y dos meses). Esto muestra que los conceptos ya existentes en la
estructura cognitiva del alumno que aprende permiten realizar conexiones que
facilitan un puente cognitivo, para de algún modo exponer o activar nueva
información que ordinariamente estarán subsumidos dentro de la estructura
cognitiva, [14]. Esto lleva al alumno a avanzar en grado en forma cronológica
dependiendo de la influencia de los estímulos ambientales que condicionan
sus resultados en el desempeño escolar.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
136
Figura 4.7: Recta de regresión inscripta entre las rectas que modelan las edades máximas y mínimas requeridas por el sistema educativo.
Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa.
En la Figura 4.8 se muestra la recta de regresión obtenida en la ec. (4.3),
y se observa también su comportamiento dentro de las rectas de edades
máximas y mínimas de un alumno que inicia el sistema escolar según las
edades requeridas, aunque entre sexto y séptimo grado la recta sale de este
intervalo indicando el retardo cronológico en el alumno, pero en forma leve. Es
decir, la recta estimada se aproxima más a la recta máxima, a punto tal que la
prolongación después del sexto grado la recta de los datos reales atraviesa la
recta de edad máxima. Este aumento de la edad promedio por curso indica
una repitencia de los alumnos. Esta realidad se manifiesta debido a que el
alumno, en ciertas ocasiones, deja la actividad escolar para colaborar con las
tareas familiares vinculadas al sembrado y fumigación de los campos, entre
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
137
otras; y ulteriormente vuelve al grado correspondiente de cursado pero no
coincide con su EC llevándolo a la repitencia, u en otros casos a situación de
abandono de la escolaridad.
Figura 4.8: Recta de regresión inscripta entre las rectas que modelan las edades máximas y mínimas requeridas por el sistema educativo.
Escuela N° 297 Lavalle – Dpto. Santa Rosa
De igual manera se determinó la media aritmética y la desviación
estándar de la edad de los alumnos por grado, observándose que para la
Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta (Figura 4.9), presenta una distribución más
uniforme de los alumnos en relación de su EC con el grado que cursan.
Mientras que la Escuela N° 297 - Lavalle (Figura 4.10), la distribución no es
uniforme, ya que existen alumnos con EC superiores al grado correspondiente.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
138
Grado que cursan los alumnos0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
EC
[mes
es]
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Media y Varianza
Figura 4.9: Distribución de edades por grado de la Población total de alumnos Escuela N° 8 Bañado de Ovanta.
Grado que cursan los alumnos
EC
[mes
es]
0
50
100
150
200
250
Media y Varianza
0 1 2 3 4 5 6 7
Figura 4.10: Distribución de edades por grado de la Población total de alumnos Escuela N° 297 - Lavalle.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
139
4.2.4.3. COEFICIENTE MENTAL VISOMOTOR (CMVM)
Con la aplicación del test, los resultados obtenidos en los alumnos
comprendidos en la franja etaria de 5 a 12 años con 11 meses permitió evaluar
el desarrollo de la función visomotor del niño obteniéndose un total de
veinticinco capacidades adquiridas respecto a la EC y al CMVM, que están
determinados en términos de la edad mental de los alumnos de las dos
regiones testeadas. Para ello, se procedió a calcular las medias aritméticas de
los CMVM de ambos establecimientos, obteniéndose:
• Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta, Dpto. Santa Rosa: en la Figura 4.11,
se muestra que la adquisición de capacidades de los alumnos se inician
con un valor alto al inicio de su escolaridad la cual manifiestan tener
conocimientos previos, y a medida que el alumno avanza en el cursado
de grado este va disminuyendo en forma paulatina debido a la influencia
de la presencia de sustancias agroquímicas en el medio donde se
desarrolla el niño. Asimismo, en quinto grado se observa una abrupta
variación debido a que el alumno deja la actividad escolar para colaborar
con las tareas familiares, lo cual afecta de forma negativa el buen
desempeño del proceso de aprendizaje.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
140
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7
Me
dia
Ari
tme
tic
a
Grado de cursado (Esc. N° 8 - Bañado de Ovanta)
Figura 4.11.: Media aritmética del CMVM (Escuela N°8. Bañado de Ovanta)
• Escuela N° 297 – Lavalle, Dpto. Santa Rosa: en la Figura 4.12, se
observa que los alumnos al iniciar su escolaridad manifiestan poseer
conocimientos previamente adquiridos, y que a medida que avanza en
edad y grado la adquisición de nuevos conocimientos va disminuyendo
en forma gradual, con excepción del quinto grado debido al abandono y/o
repitencia por participación directa en la tareas familiares. Es por ello, que
a causa de este efecto se registran en ciertos grados, alumnos con
edades mayores a lo que corresponde al grado de cursado, siendo esto
un factor decisivo que influye en el desarrollo del proceso de aprendizaje
del alumno. Por lo que, los efectos a largo plazo que provocan la
sobreutilización de sustancias agroquímicas en los cultivos de la zona,
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
141
llevan a que la participación en las tareas educativas del alumno se vean
afectas de manera directa.
Figura 4.12.: Media aritmética del CMVM (Escuela N° 297. Lavalle)
En consecuencia para ambas poblaciones la adquisición de
conocimientos evaluada por este CMVM decrece, cuando se esperaría un
aumento considerando el aspecto formal y sistemático que ofrece el sistema
educativo. Más aún, si se tiene decrecimiento desde 104,5 hasta 67,2 este es
muy marcado, pues baja más de treinta puntos en Bañado de Ovanta, contra
los casi veinte que desciende en Lavalle, donde los valores nunca son
agradables para una adquisición de conocimientos esperado. En ambos casos
la edad de quinto grado estimada, de diez años de edad, es donde el alumno
suele comenzar su participación en las tareas familiares relacionadas a la
fumigación de los cultivos de la zona.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
142
Por lo tanto, se propuso una ecuación que modelará la relación entre el
CMVM y la EC en el cursado por grado de los alumnos de estos
establecimientos escolares, definido como:
BECACMVM = (4.4)
Con A y B constantes. A continuación evaluamos la ec. (4.4) a través
de las Figuras 4.13 y 4.14, donde se tomaron los valores de cada una de los
grados para obtener la ecuación que responda a éste modelo. Por tanto, se
obtiene que con B negativo, se expresa una disminución en el CMVM, lo cual
ocurre casi en todo momento salvo en el quinto grado de la Escuela de Lavalle
como veremos más tarde, en donde siendo positivo expresa un incremento del
coeficiente. De hecho que la proximidad a cero indica una regularidad de la
población que se considera. En cuanto al coeficiente A expresa la ordenada al
origen de la curva potencial modelada, y por lo tanto muestra el rango inicial de
tal coeficiente que posteriormente veremos cómo en la Escuela de Bañado de
Ovanta se parte de coeficientes mayores.
En la Figura 4.13, se muestra que en el jardín de infante se comienza
con un decrecimiento muy grande del CMVM y salta muy rápidamente durante
el primero y segundo grado con un decrecimiento mínimo, mientras que en el
quinto grado se observa un decrecimiento menor pero con valores bajo de éste
coeficiente, o sea una regularidad entre los alumnos de ese grado. En los
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
143
restantes grados terceros, cuarto y sexto se vuelve a observar un
decrecimiento del CMVM, siendo el más notorio este último; mientras que en el
séptimo grado disminuye un poco este decrecimiento del CMVM. Puede
observarse que en el séptimo grado hay una gran variedad de edades que van
desde los ciento treinta dos meses hasta cerca de los ciento noventa y dos
meses siendo la población más numerosa, de manera que la disminución del
CMVM es consecuencia de los cuatro alumnos que presentan edad avanzada
y manifiestan un CMVM próximo a 60, situación que no se da en los otros
grados.
Por tanto, se observa que la ubicación de los puntos por edad en los
distintos grados, presentan una buena organización desde el jardín de infantes
a sexto grado respectivamente. Esto es el resultado de un cambio potencial en
la conducta a nivel intelectual o psicomotor del alumno, que depende de los
estímulos externos que recibe, para generar conexiones a nivel de estructura
cognitiva que le facilitan la incorporan de nuevos conocimientos que estimulan
su propio aprendizaje.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
144
Figura 4.13 : Modelo potencial del CMVM en función de la EC por grado correspondiente a la. Esc.N° 8 - Bañado de Ovanta
En la Figura 4.14, se observa que se inicia con el jardín de infantes que
muestra un decrecimiento mínimo, luego se incrementa en primer grado y
disminuye entre segundo y tercer grado tomando el mismo valor del CMVM,
mientras que en cuarto grado vuelve a decrecer dicho coeficiente. En sexto y
séptimo grado nuevamente se reduce aún más este decrecimiento del CMVM.
Un caso muy particular ocurre en el quinto grado en donde por única vez se
presenta un crecimiento de éste coeficiente.
En cuanto a las edades, la gráfica manifiesta un desorden muy notorio
como ser en segundo grado y tercer grado, donde existen alumnos con una
variedad muy grande en cuanto a la edad consecuencia de repitencia en el
sistema educativo. Mientras que los alumnos de séptimo grado también
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
145
presentan mayoría de edad para el grado correspondiente, lo cual al haber un
curso muy numeroso para la región el problema parece estandarizarse con
estos decrecimientos para los casi ocho alumnos con edad avanzada.
Figura 4.14 : Modelo potencial del CMVM en función de la EC por grado correspondiente a la. Esc.N° 279– Lavalle
De acuerdo a lo que evidencia cada gráfica muestra que algunos
alumnos presentan una madurez visomotora que les permite desarrollar
favorablemente las tareas escolares y que con el tiempo puede superar y/o
compensar sus deficiencias específicas. En consecuencia, la dependencia del
CMVM con la edad tienden a variar, obteniéndose un promedio mayor en la
Escuela N° 8- Bañado de Ovanta que en la Escuela N° 279- Lavalle, debido a
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
146
que el grupo de alumnos presentan un rango de edades demasiado amplio y la
influencia de factores ambientales afectan de manera directa en su desarrollo
físico e intelectual yuxtaponiéndose con el proceso de aprendizaje. Como
observación inmediata, se tiene que los alumnos con bajo CMVM repiten
grados, como consecuencia de abandonar el cursado para realizar tareas
familiares vinculadas al sembrado y fumigación de los campos con el empleo
de sustancias agroquímicas.
Asimismo en la Figura 4.15, se muestra la evolución global de todos los
alumnos de ambos establecimientos, donde las curvas de ajustes muestran las
mismas tendencias aunque en la Escuela N°8 - Bañado de Ovanta con valores
iniciales mayores al comienzo de la EC, pero con un decrecimiento a una
misma intensidad respecto de la Escuela N° 297 - Lavalle, donde en éste la
curva ajustada muestra una tendencia con valores iniciales bastante bajos
respecto a la EC.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
147
Figura 4.15 : Comparación de las regresiones potenciales del CMVM en función EC correspondientes a las Esc.N° 8 Bañado de Ovanta y Esc.N° 297- Lavalle
4.2.5. RESULTADOS
De los resultados obtenidos al aplicar dicho test en los alumnos
comprendidos en la franja etaria de 5 a 12 años con 11 meses, se evaluó el
desarrollo de la función visomotor del niño en función de la edad que poseen y
su distribución por grado que cursan. En los dibujos de las formas gestálticas
obtenidas en los distintos niveles de edad, puede apreciarse con facilidad que
el niño las acepta no como verdades o patrones absolutos de las formas
exhibidas, sino como representación de constelaciones de estímulos, ante las
cuales los diferentes organismos reaccionan y experimentan de distinto modo,
y que la respuesta o experiencia de cada niño es completa y satisfactoria.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
148
Por otro lado, coinciden estas apreciaciones con estudios que sostienen
que los trastornos de conducta son alteraciones variadas y estables de la
esfera emocional que resultan de la interrelación de factores negativos internos
y externos, como por ejemplo la presencia de sustancias agroquímicas en el
ambiente, que originan dificultades en el aprendizaje y en las relaciones
interpersonales del sujeto. [1], [2]
4.3. FORMULACION DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZA JE
El aprendizaje es un proceso de naturaleza considerablemente
compleja, cuyo atributo es la adquisición de un nuevo conocimiento, habilidad
o capacidad. Para que dicho proceso pueda considerarse realmente como
aprendizaje, en lugar de una retención pasajera, debe poder manifestarse en
un tiempo posterior y contribuir además a la solución de problemas concretos,
incluso diferentes en su esencia a los que motivaron inicialmente el desarrollo
del conocimiento, tal lo mencionado en el Capítulo II.
Basándonos en el clásico modelo matemático de aprendizaje planteado
por Bassanezi R.C. [3], se establece las relaciones entre las diversas variables
involucradas. Esto hace posible evaluar la capacidad de aprendizaje que
resulta como consecuencia de la asociación mecánica entre estímulo –
respuesta que llegan al niño con un cierto orden y constancia facilitando las
conductas de aprendizaje, la retención y consolidación de la tarea aprendida.
[8], [13], [29], [33].
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
149
De acuerdo a este concepto, se propone el presente modelo
matemático de aprendizaje, con el objeto de entender cuantitativamente que el
aprendizaje es una consecuencia biofísica de la acción conjunta de
mecanismos que el organismo pone en movimiento, para adaptarse al entorno
donde existe y que evoluciona constantemente. El niño primero asimila, y
luego acomoda lo asimilado. Es como si el organismo explora el ambiente,
toma algunas de sus partes, las transforma y termina luego incorporándolas
sobre la base de la existencia de esquemas mentales de asimilación
previamente realizadas, tal como se verificará en la simulación de Tiempo de
aprendizaje vs Neuronas ocultas ( )mN (ver Capítulo V). Es decir, que el
organismo cambia su propia estructura a nivel del SNC, para adaptarse
adecuadamente a la naturaleza de los nuevos procesos que conllevan a la
realidad objetiva del que aprende. El modelo propuesto es:
( ) ( ) ( )00** ttkeAAAtA −−−−= , (4.5)
Donde ( )tA es el aprendizaje alcanzado para un tiempo t, a partir de un cierto
conocimiento adquirido, *A es la cantidad de aprendizaje máximo estimado
que puede alcanzar el alumno, 0A el aprendizaje con el que inicia el proceso
en el tiempo denominado 0t o sea el conocimiento ya adquirido o conocimiento
previo, y k la tasa de aprendizaje. En consecuencia, este modelo resulta
significante en relación a la actividad cognitiva que se requiere para una
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
150
efectiva asimilación de conceptos, que implica relacionar en forma integrada
los conocimientos alcanzados en un determinado tiempo, y que lleva a que la
tasa de aprendizaje tienda a aproximarse a cero cuando la cantidad de
capacidad adquirida se hace cada vez más lento, debido a la transposición que
se produce internamente en el cerebro cuando el sujeto se haya expuesto a un
contexto ambiental que afecta su nivel intelectual. [16]
Schilder sostuvo que la gestalt se autoconstruye en el SN y que hay no
sólo “forma” sino “formación”. Existe un constante remodelamiento, un
movimiento de producción, no sólo gestalt sino gestaltung (reconstrucción).
Sostiene, además, que “las guestalten están influenciadas en todos los niveles
por las actitudes y experiencias, así como también por la afectividad y los
complejos específicos”. Siempre en esa línea superadora de lo estático de la
gestalt, formula la idea de que “la organización adquiere su significación final
sólo en relación con situaciones concretas de la vida que adaptan los patrones
a las acciones y a la experimentación de los individuos”. Por eso, ver y
reproducir diseños geométricos no es una tarea simple de aprendizaje; existen
numerosos factores involucrados en este procedimiento. La manera en que
cada individuo maneja cualquier experiencia depende no sólo del desarrollo
biológico alcanzado en el área visomotora, sino de todos los patrones de
conducta que desarrolla. [20, p.14-15]
Dice L. Bender que el objeto externo –en este caso las figuras del test–
no son el único factor de percepción. Las situaciones externas e internas
desempeñan un papel preponderante. La situación externa incluye otros
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
151
objetos del campo, tanto en el tiempo como en el espacio. Muchas veces la
forma precedente modifica la respuesta en la copia que sigue. Este factor
temporal es tan importante como el espacial en la percepción óptica. La
respuesta no es la que da el organismo al estímulo, sino que es la resultante
de la propia reestructuración del estímulo y esta reestructuración ocurre a
través del factor temporal. El tiempo es fundamental en la organización
perceptiva. [20, p.15]
Para nuestro modelo matemático propuesto, se consideró el tercer tipo
de indicador llamado de ajuste emocional, que se diferencia completamente de
los indicadores madurativo y neurológico. Este ajuste emocional presenta
características o singularidades emocionales permanentes o transitorias que
aparecen en el tamaño de los dibujos, la organización de las figuras, etc. Tales
apariciones fueron de veinticinco tipos diferentes, siendo los indicadores
válidos de lo que hemos denominado “aciertos”.
La evolución de los “aciertos” obtenidos por los alumnos cursantes
respecto a sus EC tomado desde el nivel inicial al séptimo grado, nos permitió
realizar un ajuste a la curva de aprendizaje por el método de mínimos
cuadrados, respecto a los datos obtenidos de las muestras con 25=*A y
250 0 << A entonces desarrollando la ecuación (4.5), se obtiene:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
152
( )( ) ( ) tktkA*AlntA*Aln +−−=− 00 Con 0<k (4.6)
Haciendo ( )( )tA*AlnY −= Para ( ) t,tA*A ∀>
( ) 00 tkA*Alnb −−= Para 0A*A > (4.7)
ka =
Se obtiene btaY += , con lo cual el ajuste a aplicar es lineal. Es decir, el
sistema de ecuaciones ha resolver estará formado por dos ecuaciones con dos
incógnitas; siendo las incógnitas a la tasa de aprendizaje, b la diferencia
indicada en la ec. (4.7) y N el total de alumnos testeados.
=+
=+
∑∑
∑∑∑
==
===n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
YNbta
Yttbta
00
000
2
(4.8)
Aplicamos el método de mínimos cuadrados (Anexo D), y resolviendo el
sistema de ecuaciones para ambos establecimientos obtenemos:
• Escuela N° 297 de Lavalle: donde se muestrearon ciento cincuenta
alumnos:
=+=+
124932315017414
1335801174142190536
.ba
.ba
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
153
La recta ajustada es: t..Y 4010134112303306688823 −=
Ahora buscaremos 0A a partir de mesest 580 =
( )( )
( )( ) 468215747974289036622558
401013411230330668882325
401013411230253306688823
25
00
00
00
00
..expAt
t..expA
t.Aln.
taAlnb
=−=⇒=−−=+−=
−−=
Obteniéndose 468215747.90 =A como el número inicial de
capacidades con el que inicia dicho proceso correspondiente al tiempo
mesest 580 = , a los meses76.10 tiene 0 capacidades, a los meses240 se
obtiene 22.58 capacidades, y con una tasa de aprendizaje de 01013411230.k=
lo cual indica que el niño aprende en forma paulatina a medida que avanza en
EC, tal lo definido en la ec. (4.6), el modelo encontrado se representa en la Fig.
4.16:
( ) ( ) ( )[ ]5801013411230531784251525 −−= t.exp.tA (4.9)
330668882.3
40101341123.0
=−=
b
a
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
154
Edad cronológica [meses]
0 50 100 150 200 250
Núm
ero
de a
cier
tos
0
5
10
15
20
25
30
Edad Cronologica vs Numero de aciertos A(t)=25 - (15.53178425) exp [0,0101341123 (t - 58)]
Figura 4.16: Regresión lineal del modelo exponencial inhibido EC vs Números de aciertos. Esc.N° 297 Lavalle
• Escuela N° 8 Bañado de Ovanta : correspondientes a la región Este del
Departamento Santa Rosa, donde se muestrearon ciento cuarenta y
cinco alumnos obteniéndose:
=+=+
435221714516363
5623204163631967787
.ba
.ba
739832582.2
90109906816.0
=−=
b
a
La recta ajustada es: t..Y 9010990681607398325822 −=
Ahora buscaremos 0A a partir de mesest 590 =
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
155
( )( )
( )( ) 903912211609138236222559
010990690739832582225
901099068160257398325822
25
00
00
00
00
..expAt
t..expA
t.Aln.
taAlnb
=−=⇒=−−=
+−=−−=
Por tanto, se determinó 90391221160 .A = como el número inicial de
capacidades con el que inicia dicho proceso en el tiempo mesest 590 = ,
mientras que los meses0 se tiene 9.5 capacidades, a los meses193 posee 23.6
capacidades, y cuya tasa de aprendizaje de 0109906816.0=k tal lo definido en
la ec. (4.6), entonces el modelo obtenido se muestra en la Figura 4.17:
( ) ( ) ( )[ ]5990109906816009608779825 −−= t.exp.tA (4.10)
40 60 80 100 120 140 160 180 2006
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Edad Cronologica vs Numero de aciertos A(t) = 25 - (8.09608779) exp [0.01099068 (t-59)]
Num
ero
de A
cier
tos
Edad Cronologica [meses]
Figura 4.17 : Regresión lineal del modelo exponencial inhibido EC vs Números de aciertos. Esc.N° 8 Bañado de Ovanta.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
156
Finalmente graficando los datos y las regresiones obtenidas Figuras 4.16
y 4.17 mediante la aplicación del Sigmaplot versión 7, se ajustaron los valores
de ( )tA . Mientras que la tasa de aprendizaje k son idénticas en ambos
escuelas, el tiempo 0t presenta una muy pequeña diferencia para cada grupo
que inicia el proceso de aprendizaje, y también se observa diferencias en 0A
de cada población que determina la cantidad inicial de capacidades conocidas.
Por tanto, si comparamos la pendiente a la curva de la intensidad de
crecimiento se observa que en ambos establecimientos presentan un
crecimiento inhibido en la adquisición de capacidades necesario para el
proceso de aprendizaje, la cual yuxtapone la experiencia sensorial que está
representada por los hechos derivados de los estímulos previos. Esto es
evidente ya que las capacidades adquiridas al tiempo de meses58 es mucho
mayor en un caso que en el otro, es decir solo cambia el punto de partida, tal
como se muestra en la Figura 4.18. Por otro lado, la evolución del aprendizaje
en ambas escuelas es muy similar, siendo el desarrollo intelectual de los
alumnos de uno y otro escuela dependiente de la estimulación que se le aporta
a los mismos, tratando que los efectos adversos de las sustancias
agroquímicas no influyan de manera directa. Sin embargo, se evidencia que
los alumnos que asisten a la Escuela N° 297 - Lavalle comienzan muy atrás, lo
que implica que no hay estimulación intelectual en estos alumnos, o que hay
un daño neuronal innato producido quizás en la gestación o los primeros años
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
157
de vida. Por lo que considero que la primera opción es relevante, pero el hecho
de que la escuela no los equipare a los alumnos puede ser una prueba de lo
segundo.
Figura 4.18: Comparación de los modelos de aprendizaje respecto al tiempo inicial y final estimado de ambos establecimientos
A partir del modelo de aprendizaje ya definido por las ecs. (4.9) y (4.10),
se reformula el modelo como un problema de valor inicial (en adelante PVI)
donde la variable independiente t representa la EC del alumno cursante. Es
decir, el aprendizaje es el desarrollo de la actividad mental requerida para una
efectiva asimilación de conceptos, que implica relacionar y diferenciar en forma
58 59 60 155
9,46821576
16,90391221
19,18826224
22,18130077
25
Núm
ero
de c
apac
idad
es
Tiempo [meses]
Esc. N° 297 (Lavalle)
Esc. N°8 (Bañado de Ovanta)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
158
integrada los conocimientos previos tal lo propuesto por Bassanezi [3],
quedando definido dicho PVI por:
( ) ( )( )( )
=
−=
00
*
AtA
tAAkdt
tdA (4.11)
Donde *A es la cantidad de aprendizaje máximo estimado que puede
alcanzar, 0A es el aprendizaje con el que inicia el proceso en el tiempo 0t , o
sea, el conocimiento ya adquirido; y tal PVI tiene como solución a la expresión
dada en (4.5). A medida que la tasa de aprendizaje k se aproxima a la
máxima capacidad de aprendizaje, éste tiende a hacerse cada vez más lento
por efecto de los estímulos externos ya mencionados. Entonces se pueden
definir los modelos matemáticos de ambos establecimientos mediante los
siguientes PVI:
Escuela N° 295 Lavalle.
Dpto. Santa Rosa ( )( )
( )
=
−=
468215747.958
2543010134112.0
A
tAdt
dA
(4.11a)
Escuela N° 8 Bañado de Ovanta Dpto. Santa Rosa
( )( )( )
=
−=
90391221.1659
2590109906816.0
A
tAdt
dA
(4.11b)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
159
4.4. MODELO MATRICIAL MEDIANTE PROCESO DE MARKOV DE LA
CAPACIDAD DE APRENDIZAJE
Otro modo cualitativo-cuantitativo de estudiar la evolución del
aprendizaje, que consideramos conveniente aplicar, es el Proceso de Markov,
que permite predecir el comportamiento de un sistema para un periodo futuro,
en base al conocimiento en un estado previo. Por ello es oportuno realizar una
breve presentación de los Procesos de Markov a fin de observar luego las
condiciones y supuestos sobre las que se realizará la aplicación del mismo, el
cual combina elementos de la teoría de probabilidades con el álgebra matricial,
y que en nuestro caso será apropiada en el tratamiento discreto y dinámico.
[6], [39]
Supongamos el caso de una serie de experimentos, cada uno con un
número finito de resultados. En algunos de ellos, las probabilidades de los
resultados son independientes de los que se obtengan en los experimentos
precedentes. En otros, las probabilidades de algunos resultados pueden
depender en alguna forma de los que se consignan en los anteriores. Así, la
probabilidad de un resultado puede depender de todos los experimentos
anteriores en sucesión. En éste caso, la serie de experimentos recibe el
nombre de proceso de Markov. Formalmente se dice:
Definición: Un proceso de Markov es una serie de experimentos en que
cada uno tiene m posibles resultados y la probabilidad de cada
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
160
resultado depende exclusivamente del que se haya obtenido en el experimento
previo.
La matriz de transición es una representación eficaz que describe el
comportamiento de un proceso de Markov. Supóngase que el proceso tiene m
resultados mutuamente excluyentes , posibles para cada
experimento. El sistema que va a ser modelado puede estar en uno de los m
posibles estados actuales. Un estado corresponde al resultado de un
experimento. Al finalizar un experimento, el sistema se hallará en uno de los m
estados posibles, no necesariamente distinto del que estaba antes del
experimento. La matriz de transición se compone de elementos , los cuales
representan la probabilidad condicional de que el sistema pase de un estado
actual i al siguiente estado j . Es decir que con , obtenemos la
probabilidad de que el experimento se conserva en ese estado.
A continuación se muestra la forma general de una matriz de transición
para este conjunto de experimentos:
=
mmmm
m
m
ppp
ppp
ppp
A
....
................
....
....
21
22221
11211
Los elementos de la matriz de transición satisfacen dos propiedades:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
161
1) los elementos deben ser tales que sus probabilidades estén
comprendidas entre cero y uno.
2) la suma de todos los elementos de cada fila debe ser igual a uno.
Analicemos un proceso de Markov donde el sistema puede encontrarse
en cualquier tiempo t en alguno de los mestados posibles. Las probabilidades
de que el sistema esté en alguno de ellos, por ejemplo en un tiempo t pueden
escribirse por medio del vector fila:
),...,,( 21 mt xxxX =
Donde el j-ésimo elemento representa la probabilidad de que el sistema se
halle en el estado j . A este vector se le llama vector de estado.
En los estados actuales de un proceso de Markov , los estados
revisados después del siguiente experimento pueden calcularse mediante la
multiplicación de matrices . Expresión que se conoce como
Proyección de estados futuros, y corresponde a una ecuación recurrente
también conocida como ecuación en diferencias matricial.
De la expresión anterior se puede formar las ecuaciones matriciales
siguientes, a fin de expresar cualquier estado en términos del inicial:
AXX 01 =
2
012 AXAXX ==
..........................
n
n AXX 0=
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
162
Esta última expresión indica que el vector de estado, describe al sistema
después de n transiciones, y se obtiene como el producto del vector de estado
inicial y la potencia n-ésima de la matriz de transición A.
4.4.1. SUPUESTOS DE LA APLICACIÓN DE PROCESOS DE MA RKOV
De acuerdo a lo presentado, se utilizó tal proceso para desarrollar el
modelo matemático a nuestro problema previamente planteado en la ec. (4.5),
pues permite describir la evolución del sistema a lo largo de cierto tiempo, a
partir de comportamientos transitorios que pueden variar con el tiempo en
forma probabilística. Considerando que los comportamientos que manifiestan
los integrantes del sistema en cada año, a los que se denomina estado, y que
ese estado puede variar a lo largo del tiempo t , reconocemos a esta
información del estado en cada momento mediante un vector denominado
vector de estado.
Por lo tanto, el proceso de Markov se compone de las probabilidades de
que cada individuo, que se halla en un cierto estado en un dado tiempo, pase
al tiempo siguiente a otro estado o permanezca en el mismo. Esta información
se la coloca en forma ordenada en una matriz denominada matriz de
transición, la cual es cuadrada. El orden de la matriz está dado por este
número de estados el cual se expresa en términos de las puntuaciones
obtenidos de la aplicación del test de Bender en los alumnos de las escuelas
rurales de la Provincia de Catamarca. Por tanto, en nuestro estudio se
considera los protocolos del test de Bender que registran los “aciertos”
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
163
reflejados en la copia de los dibujos, siendo veinticinco los ítems que fueron
con 1 la presencia y 0 la ausencia de aciertos. Una vez obtenido la sumatoria
de los ítems (aciertos) se establece la EMVM de acuerdo a la Escala de
Maduración del Bender (Anexo B), y con esta información se aplica la ec.
(4.1). Con los valores calculados del CMVM se usa la tabla de diagnóstico
madurativo de Terman-Merrill (Anexo C) para verificar cual es el diagnóstico
madurativo correspondiente, siendo estos los que se consideran estados en el
proceso de Markov: genio, superior al término medio, inteligencia normal,
inferior al término medio, limítrofe, debilidad mental leve, debilidad mental
moderada y debilidad mental profunda. Ellos miden los niveles aproximados de
capacidad visomotor del sujeto, que para nuestro modelo serán considerados
como estados, tal como se muestran en las Figuras 4.19 y 4.20.
Vector de estado (grado)
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
Dia
gnós
tico
mad
urat
ivo
(%)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFE DEBILIDAD LEVE DEBILIDAD MODERADA DEBILIDAD PROF
Figura 4.19: Escala de maduración de los alumnos de la Escuela N° 297- Localidad Lavalle, evaluarse los “aciertos” obtenidos al aplicar el test de Bender.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
164
Vector de estado (grado)
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
Dia
gnós
tico
mad
urat
ivo
(%)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFE DEBILIDAD LEVE DEBILIDAD MODERADA DEBILIDAD PROF
Figura 4.20 : Escala de maduración de los alumnos de la Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta, evaluarse los “aciertos” obtenidos al aplicar el test de Bender
Es decir que para nuestro estudio, el pasaje de un grado al siguiente se
considera una matriz de transición que expresa el posible cambio de un estado
a otro, según la puntuación mencionada. De esta manera, realizamos la
siguiente suposición:
“Que el grupo de estudio evoluciona de una etapa a otra como si fuera
dinámico, cuando en realidad nuestra información es estática”.
Esta suposición la realizamos: a) por carecer de un seguimiento de
registro de datos de varios años consecutivos del mismo grupo de alumnos, b)
el número de alumnos en cada grado es representativo, donde los diferentes
tamaños de poblaciones son tratados en forma porcentual resultando
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
165
equivalentes, y c) siendo nuestro estudio desde jardín de infantes hasta
séptimo grado con menos de diez años de duración, según el sistema
educativo se lo considera apropiado para nuestra problemática tratada.
Para ello, necesitamos que cada dos vectores de estado consecutivos
para cada escuela, se identifique una matriz de transición de Tipo Markov. Esto
nos lleva a que definimos un proceso por cada arribo a un nuevo grado, es asi
que debemos determinar siete matrices de Transición, o bien siete procesos de
Markov por cada escuela. Pero tal vez lo más importante es interpretar que la
determinación de cada una de estas matrices se realizara a partir de
información escasa, por lo que se incorporan técnicas y métodos provenientes
de otras áreas de la matemática aplicada; tal como el método de la esquina del
noroeste usado en el problema de transporte de la programación lineal [6]. Es
decir, que a falta de información de una misma población durante los ocho
años se utiliza las ochos poblaciones considerando que cada una evoluciona
en la siguiente. Por ejemplo, los alumnos que están en cuarto grado
evolucionan mediante una matriz de transición al quinto grado. Para ello, se
toman poblaciones porcentuales a fin de igualar los tamaños de poblaciones
de todos los grados, y consideramos a esta población como la misma que ha
evolucionado durante los ocho años, cada una con una matriz de paso o sea
estamos superponiendo siete procesos de Markov. Por ello el presente análisis
se realiza bajo los siguientes pasos y supuestos:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
166
i. Se considera como proceso al paso de un grado al siguiente, para
lo cual se cuenta con una matriz de transición de un grado al
siguiente, y con ello de siete matrices por escuela.
ii. En la matriz de transición los elementos señalan el paso de un
estado al siguiente en donde cada estado es una puntuación según
la escala del Test de Bender.
iii. La determinación de la matriz de transición se construirá a partir de
los dos vectores de estados, y no con valores de transición
observados, por carecer de los mismos. Para ello su usará el
recurso de ubicar valores siguiendo el método de la esquina del
noroeste (Anexo E). Obteniéndose una primera matriz que cumple
con la condición operativa de ser de transición, pero sin cumplir
sus elementos con los requisitos que la definen.
iv. En este proceso de construcción de cada matriz de transición
intervienen matrices auxiliares que permitirán expresar cada
elemento de esta matriz en término de los elementos de los
vectores de estado; por lo que en un primer paso los números no
estarán comprendidos entre cero y uno. Posteriormente se
convertirá cada matriz en otra, correspondiente a una población
semejante de tamaño cien, es decir proporcional a las dadas,
considerando que las poblaciones de grados consecutivos no son
de igual tamaño.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
167
v. Finalmente a fin de dar cumplimiento a las propiedades de una
matriz de Markov, se asignarán unos en filas nulas, ubicándolos en
la diagonal principal a los efectos de dar neutralidad en el producto
de tal matriz.
vi. Con las matrices de cada proceso de Markov obtenida, que
representan el paso de un grado al siguiente, se estudiará la
estabilidad del proceso.
vii. Finalmente, se obtendrá de las matrices de transición de cada
escuela una única matriz, resultado de la multiplicación de las
matrices anteriores, que represente el paso desde el primer al
último año de vida escolar, y se estudiara la estabilidad de este
único proceso.
Debe observarse que a los diagnósticos madurativos se los considera
bajo el proceso de Markov, y por tanto, contando con la información del grupo
de nivel preprimario como estado inicial y las informaciones de los grupos de
cada grado, a los que representaremos a través de un vector de estado. Estos
se obtienen a partir de los datos representados en las siguientes dos tablas,
correspondientes a las Escuelas N°297 de Lavalle y N°8 de Bañado de
Ovanta, y que en forma porcentual se muestran en las Tablas 4.1b y 4.2b.
Asimismo recordemos que estos dos establecimientos presentan una marcada
diferencia fitogeográfica, en la que los alumnos se hayan influenciados por
contaminantes ambientales. Las suposiciones consideradas son a partir de los
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
168
datos que registran la distribución de alumnos por cursado clasificados por
nivel de diagnóstico madurativo.
4.4.2. DETERMINACIÓN DE LOS VECTORES DE ESTADOS
Se cuenta con la población de alumnos en cada año, donde se supone
que es global la información que representa a la evolución de un grupo a lo
largo de sus años de escolaridad, desde el nivel inicial hasta séptimo grado.
De esta manera con la información de las Tablas 4.1a y 4.2a se hallan los
vectores auxiliares donde los elementos ijw representan a la
cantidad de alumnos clasificados según el j -ésimo diagnóstico madurativo al
aplicar el test de Bender, en el i -ésimo grado de esta población real.
Partiendo de los datos conocidos y su clasificación según los ocho
diagnósticos madurativos tenemos la Tabla 4.1a, correspondiente a la Escuela
N° 297 - Lavalle:
GRADO GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD
DEBILDEBILIDAD MODERADA
DEBILIDAD PROFUNDA
0 0 0 2 5 4 0 0
0 0 1 1 8 9 0 0
0 0 1 0 9 7 5 0
0 0 1 0 4 20 0 0
0 0 0 0 1 13 2 0
0 0 0 0 0 12 0 0
0 0 0 0 0 5 5 0
0 0 0 0 0 25 10 0
Tabla 4.1a: Escala de maduración por grado de cursado de los alumnos. Esc.N° 297- Lavalle
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
169
En forma análoga se muestra en la Tabla 4.2a correspondiente a la
Escuela N°8 - Bañado de Ovanta:
GRADO GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD
DEBILDEBILIDAD MODERADA
DEBILIDAD PROFUNDA
3 2 2 1 3 2 0 0
1 8 4 2 3 0 0 0
4 3 3 4 5 0 0 0
0 2 4 5 3 1 0 0
0 2 7 6 8 3 0 0
0 0 0 0 3 13 0 0
1 0 0 0 9 12 0 0
0 0 0 0 6 20 2 0
Tabla 4.2a: Escala de maduración por grado de cursado de los alumnos. Esc.N° 8- Bañado de Ovanta
A continuación se muestran a dichos vectores, que representan a cada
población de un determinado grado mediante un vector fila de dimensión ocho,
siendo ellos:
♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa:
( )( )( )( )( )( )( )( )0102500000
05500000
001200000
021310000
002040100
05790100
00981100
00452000
7
6
5
4
3
2
1
0
========
w
w
w
w
w
w
w
w
(4.12)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
170
♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa:
( )( )( )( )( )( )( )( )022060000
001290001
001330000
00386720
00135420
00054334
00032481
00231223
7
6
5
4
3
2
1
0
========
w
w
w
w
w
w
w
w
(4.13)
Dijimos ya que al ser los tamaños poblacionales diferentes, para
compararlos, planteamos una población proporcional en todos los casos de
tamaño cien. Las Tablas 4.1b y 4.2b relativas a estas poblaciones de cien
alumnos por grado son las siguientes:
VECTOR GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD
DEBILDEBILIDAD MODERADA
DEBILIDAD PROFUNDA
0 0 0 18 46 36 0 0
0 0 5 5 42 48 0 0
0 0 4 0 41 32 23 0
0 0 4 0 16 80 0 0
0 0 0 0 6 81 13 0
0 0 0 0 0 100 0 0
0 0 0 0 0 50 50 0
0 0 0 0 0 71 29 0
Tabla 4.1.b: Población semejante de tamaño 100 de alumnos de la Escuela N° 297 - Lavalle según la escala de maduración de Bender por grado.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
171
VECTOR GENIO SUPERIOR NORMAL INFERIOR LIMITROFEDEBILIDAD
DEBILDEBILIDAD MODERADA
DEBILIDAD PROFUNDA
23 15 15 9 23 15 0 0
6 44 22 11 17 0 0 0
21 16 16 21 26 0 0 0
0 13 27 33 20 7 0 0
0 8 27 23 31 11 0 0
0 0 0 0 19 81 0 0
4 0 0 0 41 55 0 0
0 0 0 0 21 72 0 0
Tabla 4.2.b: Población semejante de tamaño 100 de alumnos de la Escuela N° 8-Bañado de Ovanta según escala de maduración de Bender por grado
La población en cada escuela y en cada grado es distinta, se tomó una
población proporcional a cada una de ellas de tamaño cien, resultando los
vectores iv tal que los elementos se obtienen de la forma:
1008
1∑
=
=
jij
iji
w
wv (4.14)
A continuación, se definen los vectores de estados iv de la siguiente manera:
♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa:
( )( )( )( )( )( )( )( )0297100000
0500500000
0010000000
0138160000
0080160400
02332410400
0048425500
00364618000
7
6
5
4
3
2
1
0
========
v
v
v
v
v
v
v
v
(4.15)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
172
♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa:
( )( )( )( )( )( )( )( )0772210000
0055410004
0081190000
001131232780
007203327130
0002621161621
000171122446
0015239151523
7
6
5
4
3
2
1
0
========
v
v
v
v
v
v
v
v
(4.16)
4.4.3. CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN
Recordemos que un Proceso de Markov requiere de una matriz de
transición cuadrada con elementos comprendidos entre cero y uno, ambos
incluidos, y que la suma de los elementos de cada fila es igual a uno. Por
tanto, procuraremos construir las matrices de transición con estas propiedades
a partir de los vectores dados. Tal asignación suele hacerse en forma
determinística a partir de los datos del experimento que desea modelarse; para
lo cual, como se dijo antes, debió contarse con la información de cada alumno
en su progreso luego de dos experimentos consecutivos. Por ello se realiza
una asignación a partir de los vectores de estado, reconociendo que esta no es
única. Por lo tanto, se usó la técnica de llenado de la matriz mediante el
método de la esquina del noroeste. El mismo consiste el llenar desde arriba
hacia abajo y desde la izquierda hacia la derecha, partiendo del punto superior
de la izquierda, y asignando valores según los requerimientos, para este caso
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
173
de la matriz de transición, y de la disponibilidad, en este caso de los vectores
de estado.
Con los vectores se define las matrices kA cuadradas de dimensión
ocho (que corresponden a los 8 diagnósticos madurativos de la escala de
maduración del test de Bender) que expresen la transición del estado ( )1−k al
estado k , es decir del vector de estado 1−kv al kv . Con esta asignación de
valores en estas matrices realizada siguiendo el método de la esquina del
noroeste (Anexo D), se obtienen las siguientes matrices auxiliares, tal como se
detallan a continuación, que si bien son de transición pero no satisfacen la
definición de matrices de Markov:
♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa, ec (4.17):
=
00000000
00000000
003600000
0012340000
00085500
00000000
00000000
00000000
1A
=
00000000
00000000
0232500000
007350000
00050000
00010400
00000000
00000000
2A
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
174
=
00000000
002300000
003200000
0025160000
00000000
00000400
00000000
00000000
3A
=
00000000
00000000
0136700000
001420000
00000000
00040000
00000000
00000000
4A
=
00000000
001300000
008100000
00600000
00000000
00000000
00000000
00000000
5A
=
00000000
00000000
0505000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
6A
=
00000000
0292100000
005000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
7A
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
175
♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa, ec.(4.18):
=
00000000
00000000
000150000
0002111000
00000900
000003120
000000150
000000176
1A
=
00000000
00000000
00000000
000170000
00092000
000019300
00000131615
00000006
2A
=
00000000
00000000
00000000
007190000
000120000
000013300
000001600
000008130
3A
=
00000000
00000000
00700000
004160000
0001518000
000052200
00000580
00000000
4A
=
00000000
00000000
001100000
003100000
002300000
0016110000
00080000
00000000
5A
=
00000000
00000000
0055260000
000150004
00000000
00000000
00000000
00000000
6A
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
176
=
00000000
00000000
074800000
0024170000
00000000
00000000
00000000
00040000
7A
Es inmediato ver que no son matrices de transición de Markov porque
en varias filas no suman uno, y existen elementos mayores que uno.
4.4.4. CONVERSIÓN A MATRIZ DE TRANSICIÓN DE MARKOV
Con estas matrices kA definiremos matrices de transición de tipo
Markov kT , haciendo que cada elemento sea proporcional a la cantidad total
de su fila, esto es:
∑
=
=8
1jij
ijij
a
at (4.19)
De este modo, las matrices de transición definen el proceso evolutivo del
aprendizaje respecto a la cantidad de alumnos desde el nivel inicial hasta el
séptimo grado. Es decir, son aproximadas matrices de tipo Markov pues
contienen filas con todos los elementos nulos, aunque ya todos los elementos
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
177
están entre cero y uno, tal como se detallan, habiendo dejado sin simplificar las
fracciones para que sea más fácil al lector para identificar la procedencia del
cálculo:
♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa, ec.(4.20):
=
00000000
00000000
00100000
0046
12
46
340000
00018
8
18
5
18
500
00000000
00000000
00000000
1T
=
00000000
00000000
048
23
48
2500000
0042
7
42
350000
00010000
0005
10
5
400
00000000
00000000
2T
=
00000000
00100000
00100000
0041
25
41
160000
00000000
00000100
00000000
00000000
3T
=
00000000
00000000
080
13
80
6700000
0016
14
16
20000
00000000
00010000
00000000
00000000
4T
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
178
=
00000000
00100000
00100000
00100000
00000000
00000000
00000000
00000000
5T
=
00000000
00000000
02
1
2
100000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
6T
=
00000000
050
29
50
2100000
00100000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
7T
♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa, ec. (4.21) :
=
00000000
00000000
00100000
00023
2
23
11
23
1000
00000100
0000015
3
15
120
00000010
00000023
17
23
6
1T
=
00000000
00000000
00000000
00010000
00011
9
11
2000
000022
19
22
300
0000044
13
44
16
44
1500000001
2T
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
179
=
00000000
00000000
00000000
0026
7
26
190000
00021
1
21
20000
000016
13
16
300
00000100
0000021
8
21
130
3T
=
00000000
00000000
00100000
0020
4
20
160000
00033
15
33
18000
000027
5
27
2200
0000013
5
13
80
00000000
4T
=
00000000
00000000
00100000
00100000
00100000
0027
16
27
110000
00010000
00000000
5T
=
00000000
00000000
0081
55
81
260000
00019
15000
19
400000000
00000000
00000000
00000000
6T
=
00000000
00000000
055
7
55
4800000
0041
24
41
170000
00000000
00000000
00000000
00010000
7T
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
180
Finalmente se redefinen a las matrices de manera que las filas no sean
nulas, y que además entre los elementos sumen uno. Para ello, la propuesta
es colocar en las filas nulas un uno en el lugar de la diagonal principal,
asegurando no modificar los resultados de los productos antes obtenidos. Con
este cambio resultan las siguientes matrices, definidas como iT~
, las cuales son
matrices de transición de Markov:
♦ Escuela N° 297 - Localidad de Lavalle – Dpto. Santa Rosa, ec. (4.22):
=
10000000
01000000
00100000
0046
12
46
340000
00018
8
18
5
18
500
00000100
00000010
00000001
~1T
=
10000000
01000000
048
23
48
2500000
0042
7
42
350000
00010000
0005
10
5
400
00000010
00000001
~2T
=
10000000
00100000
00100000
0041
25
41
160000
00001000
00000100
00000010
00000001
~3T
=
10000000
01000000
080
13
80
6700000
0016
14
16
20000
00001000
00010000
00000010
00000001
~4T
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
181
=
10000000
00100000
00100000
00100000
00001000
00000100
00000010
00000001
~5T
=
10000000
01000000
02
1
2
100000
00010000
00001000
00000100
00000010
00000001
~6T
=
10000000
050
29
50
2100000
00100000
00010000
00001000
00000100
00000010
00000001
~7T
♦ Escuela N° 8 Bañado de Ovanta – Dpto. Santa Rosa, ec. (4.23):
=
10000000
01000000
00100000
00023
2
23
11
23
1000
00000100
0000015
3
15
120
00000010
00000023
17
23
6
~1T
=
10000000
01000000
00100000
00010000
00011
9
11
2000
000022
19
22
300
0000044
13
44
16
44
1500000001
~2T
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
182
=
10000000
01000000
00100000
0026
7
26
190000
00021
1
21
20000
000016
13
16
300
00000100
0000021
8
21
130
~3T
=
10000000
01000000
00100000
0020
4
20
160000
00033
15
33
18000
000027
5
27
2200
0000013
5
13
80
00000001
~4T
=
10000000
01000000
00100000
00100000
00100000
0027
16
27
110000
00010000
00000001
~5T
=
10000000
01000000
0081
55
81
260000
00019
15000
19
400001000
00000100
00000010
00000001
~6T
=
10000000
01000000
055
7
55
4800000
0041
24
41
170000
00001000
00000100
00000010
00010000
~7T
Las matrices definidas en las ec. (4.22) y (4.23) presentan las mismas
características anteriores, es decir la recurrencia kkk Tvv~
1−= , por lo que
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
183
asumen la condición de ser matriz de transición para los vectores de estado y,
más importante aún, son matrices del tipo Markov, en las que se observa que
las dos poblaciones estudiantiles con distintas realidades basadas en las
proximidades de cultivos con contaminantes agroquímicos, tal como se
muestran en las Figuras 4.19 y 4.20, satisfacen el Proceso de Markov con las
matrices finalmente definidas.
4.4.5. CONVERSIÓN A UN ÚNICO PROCESO DE MARKOV
Para determinar si estos procesos de Markov son estables, debemos
ver si sus autovalores son menores a uno. Consideramos que más importante
puede resultar si todo el sistema educativo que se evaluó satisface tales
condiciones, y para ello buscaremos agrupar todos los procesos de una
escuela en un solo proceso a fin de hallar la transformación final de un niño
desde que ingresa hasta que egresa a los siete años. Para ello acoplando las
ecuaciones anteriores podemos expresar la situación del estado final de los
alumnos que egresan del ciclo escolar expresado en términos del que ingresa,
asi se obtienen:
76543210
7654
765
767
~~~~~~~....
~~~
~~
~
TTTTTTTv
TTTv
TTv
Tvv
=
=
=
=
(4.24)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
184
De esta manera se agrupa todas las matrices de cada escuela en una
sola a fin de tener un proceso de Markov directo, pues determinaría la
evolución del ciclo como un único proceso. Esto es equivalente a ver la matriz
producto de las siete matrices de transición.
En efecto, tomando las matrices correspondientes a la
Escuela N° 297 - Lavalle resulta:
(4.25)
Donde los autovalores son cero y uno, por lo que la matriz es
neutralmente estable [37, pp 268], y al realizar el producto de esta matriz de
proceso único de Markov consigo misma vemos que es ídempotente (igual a
su cuadrado) por lo que no es necesario estudiar potencias de máximo
exponente para determinar su comportamiento a largo plazo para hallar que es
un sistema en equilibrio. Esto sirve, para realizar un producto con tal matriz de
transición con el vector de estado inicial, resultando un nuevo vector, que nos
da la información que mediante el proceso escolar tendremos la triste realidad
de que la población estudiantil se equilibra en un 71% en debilidad leve y un
29% en debilidad moderada. Esto dado por:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
185
(4.26)
Mientras que, para la Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta se aplicó el
criterio de estabilidad dado por los valores propios, en este caso son cuatro
distintos, que son:
[ ]320014472071.0,9136267806.0,1,0 (4.27)
Por lo tanto, nuevamente se tiene una estabilidad en el sistema. Tales
valores indica la existencia de una estabilidad que se observa en la potencia
setenta de la matriz única del proceso educativo de Bañado de Ovanta, dada
por:
(4.28)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
186
Realizando el producto del vector de estado inicial del proceso
educativo de Bañado de Ovanta por esta matriz que muestra ya el equilibrio,
resulta ( )0,81738192.99,1559716456.0,40266464254.0,0,0,0,0 que representa
el estado estable.
Tales estabilidades indican que en ambas escuelas las situaciones son
críticas, siendo menos notorio el problema en la Escuela N° 297- Lavalle
porque solo se registran dos valores propios correspondientes a las
debilidades mentales, mientras que al menos en la Escuela N° 8 - Bañado de
Ovanta existen algunos en condición del 0,026% de limítrofes y 0,16% de
debilidad mental leve, pero existe un valor muy grande del 99,8% de debilidad
mental moderada, debido a que los alumnos presentan muchos aciertos en la
reproducción de las figuras gestálticas llevando a que el CMVM sea
relativamente bajo. Como consecuencia de esto la predicción que resulta de
aplicar la teoría de las cadenas de Markov para el estudio de un estado estable
según sus valores y vectores propios, nos lleva a que el análisis realizado para
esta escuela no sirvió según la suposición realizada.
4.5. MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE CON RETARDO
La aplicación de la teoría de las ecuaciones diferenciales con retardo [18],
se ocupa de los modelos matemáticos donde la evolución de la variable, en
este caso el aprendizaje A en términos del tiempo, depende en cada instante
t no sólo de ( )tA sino también de los valores de A en instantes anteriores
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
187
)( τ−t . Así la ecuación diferencial con retardo con 0>τ como parámetro de
retardo, se define como sigue:
( ))(),()´( τ−= tAtAftA (4.29)
A partir del modelo de aprendizaje con crecimiento exponencial inhibido
dado en el PVI continuo, definido en la ec. (4.11), se considera que en los
datos obtenidos existen alumnos encuestados que concurren a grados con
distintas edades, y que están afectados por la influencia de los efectos
ambientales que conlleva a los alumnos a condicionar sus resultados en el
desempeño escolar a medida que avanzan en el grado, lo cual causa retardos
respecto al sistema educativo.
Por lo tanto, el total de la población encuestada fue discriminada según si
carece o no de retardo en el sistema educativo, considerándose como óptimo
el ingreso al nivel inicial en cinco años (sesenta meses), y de allí el avance de
un grado por año de edad; y dentro de los que lo poseen, solo se consideró en
nuestro estudio a los que tienen un año de retardo. De esta manera, se
modelará a cada grupo según un PVI con y sin retardo, realizando
simulaciones para comparar sus comportamientos.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
188
4.5.1. PLANTEO DEL MODELO MATEMÁTICO DE APRENDIZAJE CON
RETARDO
Del modelo matemático de aprendizaje propuesto en la ec. (4.5), se
evidencia que existe una relación entre la capacidad sensoriomotriz y las
funciones asociadas al aprendizaje en función del tiempo. Debido a que ambas
escuelas son de carácter rural que llevan a que sus características
fitogeográficas o ecológicas, y el uso de sustancias agroquímicas utilizadas en
la producción agrícola sean diferentes, lleva a que los alumnos presenten un
cierto retardo en el nivel educativo respecto de la edad. Se considera como
óptimo el ingreso al nivel inicial en cinco años (sesenta meses), y de allí el
avance de un grado por año de edad (es decir, la relación según el grado que
cursan y la EC por año). De esta manera, se discriminó a la población
estudiantil en los que no poseían retardo y los que sí presentan esta situación.
[17], [31]
Observación: Se definen los conceptos que utilizaremos a continuación:
Retardo
Vamos a denominar al modelo matemático diferencial con retardo
cuando la función aprendizaje se expresa en términos de la
variable τ , siendo esta última el retardo que presenta la variable
tiempo ( t ).
Retraso Mientras que, el término retraso lo utilizaremos para expresar a la
presencia de alumnos que poseen más edad de la que
corresponde de acuerdo al grado que cursan.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
189
A continuación, se detallan para las dos escuelas el análisis del proceso
con retardo en la adquisición de capacidades al ir avanzando en grado por EC:
� MUESTRA 1 (Escuela N° 297- Lavalle):
Dicha escuela posee una muestra de ciento cincuenta alumnos que
fueron modelados mediante la curva de aprendizaje según el modelo
matemático de crecimiento exponencial inhibido, tal como se muestra en la
Figura 4.16.
Por lo tanto, de éste total de alumnos inscriptos se seleccionó a los
ciento seis alumnos que no presentan retraso en el sistema educativo. El
ajuste correspondiente a esta población incluye a un alumno que inicio el
sistema educativo con cincuenta y ocho meses, de manera que la curva de
aprendizaje se define como:
( ) ( ) ( )[ ]5870108062980.0exp503335259.92525 −−−= ttA (4.30)
Asimismo tomando el PVI definido en la ec. (4.11), se determina para la
ec. (4.30) el PVI sin retardo en el sistema educativo, obteniéndose:
( )( )
( )
=
−=
503335259.958
25
A
tAkdt
dA (4.31)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
190
Por tanto, en la Figura 4.21 se representa la curva ajustada de
aprendizaje de los alumnos que no tienen retraso en el sistema educativo,
entendiendo por esto, a aquellos alumnos que ingresan al nivel inicial en cinco
años (sesenta meses) y cumplen con la edad programada por grado que
cursan, aunque se considera al alumno que ingreso con cincuenta y ocho
meses (cuatro años y diez meses).
Figura 4.21: Curva de aprendizaje de los alumnos de toda la población en el sistema educativo Escuela N°297 – Lavalle
Consideramos ahora, el análisis de aquellos veintiséis alumnos que
presentan un retraso de solo un año en el sistema educativo, debido a que
recursaron algún grado o bien que iniciaron tardío el ingreso al mismo.
El análisis de estos veintiséis alumnos que presentan un retraso de solo
un año al sistema, puede visualizarse en la Figura 4.22 el esquema donde se
identifica a cada uno de los alumnos en términos de la EC que poseen y el
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
191
grado que cursan con respecto a lo que correspondería según el sistema
educativo. Por lo tanto, los meses89 del primer alumno que cursa el primer
grado, donde debería tener entre 72 y 84 meses nos muestra un atraso en el
sistema educativo entre el rango de 17 y 5 meses, por lo que el modelo
matemático tendría un retardo de meses17=τ .
Figura 4.22: Esquema descriptivo de la EC de los alumnos en relación al grado de cursado según el sistema educativo. Escuela N°297 – Lavalle
A continuación, haremos una observación respecto a la expresión
( )89−t usada en la ec. (4.32), tal que:
( ) ( ) ( ) 0~7217177289 ttttt −−=−−=+−=− τ
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
192
Donde meses17=τ es el retardo del modelo matemático propuesto, mientras
que mesest 72~0 = representa la edad legal del alumno de primer grado al iniciar
el ciclo lectivo. De aquí que los meses89 es la edad de nuestro alumno con
menor edad dentro de los que tienen un retraso de un año y que se halla
cursando el primer grado, obteniéndose:
( ) ( ) ( )[ ]89130094321288.0exp14625894.132525 −−−= ttA (4.32)
En la Figura 4.23, se muestra que existen alumnos recursantes o con
ingreso tardío al sistema educativo de un año. Esto es debido a que el niño
colabora en tareas rurales en su comunidad, pero a pesar de estas
contingencias, el niño que asiste a la escuela puede adquirir cierta cantidad de
capacidades luego de un tiempo, dependiendo del estímulo que se le genere
para que pueda incorporar nuevas capacidades, y así lograr equilibrarse con el
resto de sus compañeros que no presentan retardo dentro del sistema
educativo. De esta manera se puede observar en la Figura 4.24, donde se
comparan las tasas de aprendizaje k en el sistema educativo sin y con retardo
en relación a la EC de los alumnos, pues allí ambas curvas presentan una
misma tendencia, es decir que con diferencia de algunos meses, los alumnos
que tienen retardo alcanzan valores de aquellos alumnos que no presentan
retardo. Esto se logra en dicha gráfica si trazamos una paralela al eje X,
observando aproximadamente los doces meses de retardo para una misma
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
193
capacidad dada. Por ello, decimos que nuestro sistema educativo excede en
su formación enciclopedista, en virtud de un test que es más liberal en su
forma de observar la adquisición de capacidades de aprendizaje.
Figura 4.23: Curva de aprendizaje de los alumnos con retado en el sistema educativo Escuela N°297 – Lavalle
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
194
Figura 4.24: Comparación de las curvas de ajuste de aprendizaje con retardo en el sistema educativo y de toda la población. Escuela N°297 – Lavalle
Usando el modelo definido en la ec. (4.31), de manera que la ec. (4.32)
se aproxime a un PVI con retardo de meses12=τ , de la forma:
( ) ( )( )
( )
=
−−=
14625894.1389
25
A
tAkdt
tdA τ (4.33)
En los resultados obtenidos en las ecs. (4.31) y (4.33), se observa que
hay una diferencia entre ambos PVI. En la ec. (4.31) responde a que los
alumnos cumplen con la edad programada por grado que cursan. Mientras en
la ec. (4.33) el alumno que posee ochenta y nueve meses en la curva con
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
195
retardo (Figura 4.24) según el PVI tiene 13,14625894 capacidades, mientras
que para ese misma edad el ajuste de la curva de toda la población (Figura
4.24) es de 13,65; en tanto que el último alumno que posee retraso de un año
cuenta con ciento sesenta y siete meses que en el ajuste total tiene 19,81
capacidades y 19,34 capacidades para el ajuste con retardo.
Esto refleja, que en el proceso enseñanza – aprendizaje se procura lograr
que el alumno consiga alcanzar objetivos específicos de aprendizaje; para ello
se requiere de una planificación que tenga en cuenta las corrientes
psicológicas contemporáneas (conductuales, cognitivas y constructivistas) que
determinan las peculiaridades que mejor se adapten al proceso instruccional
en la situación de aprendizaje y verifican su aplicabilidad. [33]
� MUESTRA 2 (Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta)
Dicha escuela posee una muestra de ciento cuarenta y cinco alumnos
que fueron modelados mediante la curva de aprendizaje según el modelo
matemático de crecimiento exponencial inhibido, tal como se muestro en la
Figura 4.17.
Por lo tanto, de éste total de alumnos inscriptos se seleccionó a los ciento
treinta alumnos que no presentan retraso en el sistema educativo. El ajuste
correspondiente a esta población incluye a un alumno que inicio el sistema
educativo con cincuenta y nueve meses, de manera que la curva de
aprendizaje se define como:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
196
( ) ( ) ( )[ ]5900140161336.0exp77756314.152525 −−−= ttA (4.34)
Entonces el PVI definido en la ec. (4.11), se determina para la ec. (4.34)
el PVI sin retardo en el sistema educativo, obteniéndose:
( )( )
( )
=
−=
77757314.1559
25
A
tAkdt
dA (4.35)
En la Figura 4.24, muestra la curva de aprendizaje que modela el
comportamiento de los alumnos que no tienen retraso en el sistema educativo,
es decir, la de aquellos alumnos que ingresan al nivel inicial en cinco años
(sesenta meses) y cumplen con la edad programada por grado que cursan,
aunque se considera al alumno que ingreso con cincuenta y nueve meses
(cuatro años y once meses).
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
197
Figura 4.25: Curva de aprendizaje de los alumnos de toda la población en el sistema educativo. Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta
Ahora, analizamos a los nueve alumnos que presentan un retraso de solo
un año en el sistema educativo, debido a la repitencia de grado en el sistema.
De manera análoga a lo realizado anteriormente, se muestra en la Figura
4.26 el esquema de la situación de estos alumnos donde se identifica a cada
uno de ellos en términos de la EC que poseen y el grado que cursan con
respecto a lo que correspondería según el sistema educativo. Dentro de los
alumnos que tienen un retraso de un año, el alumno que posee menor edad
tiene meses100 y cursa el segundo grado, el cual se haya entre el rango de 84
a 96 meses, por lo que su retraso iría de 16 a 4 meses, en el cual el modelo
matemático tendría un retardo de meses16=τ .
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
198
Figura 4.26: Esquema descriptivo de la EC de los alumnos en relación al grado de cursado según el sistema educativo. Escuela N° 8 – Bañado de Ovanta
Por lo tanto, se considera la observación respecto a la expresión
( )100−t usada en la ec. (4.36), tal que:
( ) ( ) ( ) 0~84161684100 ttttt −−=−−=+−=− τ
Donde meses16=τ es el retardo del modelo matemático propuesto, mientras
que mesest 84~0 = representa la edad del alumno de debería tener para estar en
segundo grado del sistema educativo. De aquí que los meses100 es la edad
que posee el alumno con menor edad dentro del grupo de alumnos que tienen
un retraso de un año y cursan el segundo grado, obteniéndose:
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
199
( ) ( ) ( )[ ]100290018907440.0exp5409188649.212525 −−−= ttA (4.36)
En la Figura 4.27, se muestra que la información obtenida es muy variada
debido a los pocos datos con que se cuenta. Por lo que la curva de ajuste dista
mucho de la obtenida para toda la población, pues al ser casi paralela al eje de
los tiempos daría una capacidad constante en relación a todos los datos,
cuando en realidad a excepción de los dos alumnos que tienen menos
capacidades adquiridas, mostraría un decrecimiento en el número de
capacidades a medida que aumenta su EC; es decir que los alumnos
recursantes o que ingresan tardío al sistema educativo pierden capacidades a
medida que transcurren los últimos años en la escuela.
Figura 4.27: Curva de aprendizaje de los alumnos con retado en el sistema educativo Escuela N°8 – Bañado de Ovanta
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
200
Mientras en la Figura 4.28, se comparan las tasas de aprendizaje k en el
sistema educativo de todos los alumnos y de los que presentan retraso en
relación a la EC de los alumnos. Allí, cada una de las curvas presenta distintos
comportamientos, cuya tasa de aprendizaje va de menor a mayor dependiendo
del caso. Es decir, la curva que modela la situación de todos los alumnos
muestra un crecimiento paulatino, mientras que la curva correspondiente a los
nueve alumnos que tienen un retraso de un año, presentan un comportamiento
similar durante todo momento. Más alarmante, es que dicha tasa es mayor a la
totalidad de los alumnos cuando ellos comienza alrededor de los cien meses,
pero cincuenta meses más tarde al permanecer igual la tasa de aprendizaje se
ve superada por la tasa de aprendizaje de la totalidad de los alumnos. Por ello
decimos, que para esta realidad los alumnos que tienen un año más de edad
poseen más capacidad al iniciar su actividad escolar, pero que no evoluciona
por lo que se ve superado por el resto de los alumnos.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
201
Figura 4.28: Comparación de las curvas de ajuste de aprendizaje con retardo en el sistema educativo y de toda la población. Escuela N°8 – Bañado de Ovanta
Al igual que antes, usando el modelo definido en la ec. (4.35), de modo
que la ec. (4.36) se aproxime a un PVI con retardo de meses12=τ , donde el
valor de cien meses en la condición inicial del PVI se debe a que el alumno
con ocho años y cuatro meses se halla en segundo grado, lo cual presenta un
retraso de un año, obteniéndose:
( )( )( )
=
−−=
5409188649,21100
25
A
tAkdt
dA τ (4.37)
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
202
De (4.35) y (4.37) se observa que ambos PVI presentan una marcada
diferencia. En la ec. (4.35) los alumnos cumplen con la edad programada por
grado que cursan. Mientras en la ec. (4.37) el alumno que tiene cien meses en
la curva con retraso (Figura 4.28) según el PVI alcanzan un valor de
21,5409188649 capacidades lo cual implica que no es que sean mejores en su
aprendizaje, sino que estamos comparado alumnos de distintas edades, que
ya han cursado y están repitiendo dicho grado, y por lo tanto algo aprendieron.
Esto lleva a que a medida que avanzan en el cursado, se espera que el
alumno se vaya adaptando en forma paulatina a nuevas capacidades dentro
del proceso de aprendizaje. Pero sin embargo, la curva de la Figura 4.28,
muestra que se detiene ese crecimiento para estos alumnos y posteriormente
se ve superado a lo largo de los años por aquellos alumnos que llevan la edad
correcta dentro del sistema educativo.
4.5.2. MODELO DE APRENDIZAJE MEDIANTE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL ORDINARIA CON RETARDO
Hasta el momento se trabajó con el modelo de aprendizaje exponencial
inhibido propuesto por Bassanezi [3], en donde se aplicó en toda la población
de cada escuela, observándose que existen en cada caso alumnos que
presentan un retraso en el sistema, esto es, que tienen edad superior a la que
se requiere. Esto llevó a que se separa para su estudio en ambas escuelas a
los que tienen hasta un año o sea doce meses de atraso, mostrándose allí los
resultados.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
203
Si bien en la Escuela N° 297 - Lavalle se observaba inmediatamente este
retraso con una gráfica que implicaba un desplazamiento hacia la derecha, con
lo cual se muestra que la capacidad de conocimiento de estos alumnos, la
alcanzan luego de cierto tiempo, resultó llamativo la situación en los alumnos
de la Escuela N° 8 - Bañado de Ovanta, pues los que tienen este retraso de un
año, en ningún momento adquieren nuevos conocimientos, manteniéndose
casi constante con la capacidad que tenían al momento de ingresar a la
escuela.
De este análisis surgió la propuesta de utilizar las ecuaciones
diferenciales ordinarias con retardo (en adelante EDOR) [18], las cuales
evalúan el comportamiento de un fenómeno en un tiempo dado expresándolo
con respecto de un tiempo anterior al tiempo que transcurre. Este retraso o
DELAY, como se usa el término en inglés, implica que existe un tiempo τ que
se denomina retardo. La modelización fue efectuada en Dinámica de Sistema,
y por ello usando el modelo de aprendizaje citado arriba, se planteó otros
retardos relacionados a las otras variables, como se indica a continuación.
Se partió de la curva de datos y se trató de ajustar a una función, la cual
debía ser escrita finalmente como una EDOR. Esto significa, construir una
ecuación diferencial que forme un PVI con nuevas variables y distintos
retardos en el tiempo τ , un retardo β en la tasa de adquisición de
capacidades k , y un retardo α en la capacidad inicial 0A desde donde
manifiesta tener conocimientos. Estos dos últimos son retardos adicionales que
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
204
hacen a una EDOR, donde α y β son retardos que se ajustaron a los datos, y
por lo que deducimos como solución de este PVI con retardo, obteniéndose:
( ) ( ) ( )( )βατ −−−= kAtAtAftA ,,,´ 0 (4.38)
Asi podemos establecer la comparación entre ambas escuelas, donde el
aprendizaje de los alumnos en relación a su EC por grado que cursan es
relativamente lento. Se evidencia que las tasas de aprendizaje k de ambas
escuelas varían de menor a mayor dependiendo de las condiciones que
presenta el alumno en cada caso. Los valores de 0A son muy elevados como
resultado de que el alumno ingresa tardío al sistema educativo, éste debe
adaptarse al mismo para lograr equipararse con el resto de sus compañeros.
Es decir, el alumno aprende de otros y con los otros, y esa interacción le
permite desarrollar su conocimiento práctico y reflexivo, construyendo e
interiorizando nuevos conocimientos. Este modelo se describe con su
simulación en el Capítulo V.
4.6. FORMULACION DEL MODELO DE RED NEURONAL
Tal lo definido en el Capítulo I sobre el Sistema Funcional Cerebral, esto
nos permite considerar una red neuronal tal como se muestra en la Figura
4.29, donde i representan las entradas, s las salidas y m la capa intermedia
de neuronas. [10], [11], [13], [30]
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
205
Chialvo y Bak (1999) [10] consideran que las señales de entrada son muy
simples, los datos ingresan por medio de la capa de entrada la cual podría
representar un estímulo visual, luego pasan a través de la capa intermedia y
salen por la capa de salida donde éstas podrían representar una respuesta
motora. Cabe destacar que la capa intermedia puede estar constituida por
varias capas; este modelo está basado en dos principios simples y
biofísicamente admisibles:
a) La actividad: es el disparo de la neurona que se propaga a través de
la mayor conectividad. Así la actividad global se guarda bajo la
dinámica “el ganador toma todo” (winner-takes-it-all).
b) La plasticidad: se produce por los cambios en la fuerza sináptica.
Figura 4.29 : Ejemplo de red neuronal totalmente conectada. Los pesos de las interacciones representas por matrices V, W. [Fuente: Esquema realizado por la autora de esta tesis]
Cada neurona de entrada está conectada con otras de la capa intermedia
mediante una interacción de peso )m,i(V , que representa la fuerza sináptica.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
206
Asimismo, las neuronas de la capa intermedia se conectan con las de salida
mediante interacciones de peso )s,m(W . La red debe aprender a conectar
cada entrada con una salida apropiada para una situación arbitrariamente
establecida. Mediante este mecanismo, invocamos la dinámica “el ganador
toma todo”, donde solamente una neurona i con )s,m(W más fuerte responde
en cada paso.
La dinámica del proceso completo es el siguiente:
� Una neurona i es elegida para ser activada.
� La neurona m de la capa intermedia con )m,i(V de más fuerte
interacción dispara. Luego, una neurona de salida con )s,m(W de
interacción más grande recibe este estímulo y dispara.
� Si la neurona de salida s es la correcta para un dado patrón, el sistema
aprendió y se pasa a otro patrón de entrada - salida.
� Y si la neurona de salida s no es correcta, entonces se produce una
redistribución de información hacia las otras neuronas conectadas y
produce que las conexiones sinápticas se refuercen.
� Este proceso continúa hasta que no existen más neuronas receptoras,
sino que las neuronas están conectadas a una terminal nerviosa la cual
activa la secuencia de acción correspondiente.
La ejecución de éste proceso se lo presenta en el Capítulo V, sección
5.2.3, donde la dinámica que se utiliza asegura que las sinapsis están activas
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
207
en el proceso, es decir, la existencia de capas de neuronas que tienen como
función la potenciación (asegura que la actividad se propague a través de la
conexión más fuerte) o depresión (las neuronas no intervienen en la conexión,
pero podrían llegar a ofrecer una respuesta en al próximo estímulo). Esto está
vinculado con lo que se produce en la fisiología cerebral que concuerda en la
existencia de diferentes zonas del cerebro que responden a funciones
determinadas. Ahora, si este procedimiento se lo enfoca a la memoria, este
consiste en la suma de pesos de las ponderaciones o conexiones de capa de
neuronas relacionadas; donde la activación de las neuronas de entrada por
impulsos nerviosos es obtenido como resultado que la última capa de
neuronas interneuronales u ocultas ofrecen una salida a través de las
neuronas de salidas que provocan la sensación de un recuerdo. [9]
4.7. CONCLUSION
De esta manera, el aprendizaje, por su naturaleza, se lo considera un
proceso de asociación mecánica entre los estímulos aplicados y las respuestas
provocadas por ellos en relación a las condiciones externas existentes, donde
no se toma en cuenta todas aquellas intervenciones mediadoras y
moduladoras de las numerosas variables propias a la estructura interna,
principalmente del SNC del sujeto cognoscente, que aprende. Mientras la
memoria forma parte principal de todo proceso de aprendizaje, definida como
la capacidad de retener y de evocar eventos del pasado, mediante procesos
neurobiológicos de almacenamiento y de recuperación de la información
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
208
básica en el aprendizaje, siendo éste un fenómeno de carácter biofísico con
profundas implicaciones en lo cultural.
En consecuencia, el uso de herbicidas aplicados por vía aérea causa
graves problemas en la salud de los niños de estas comunidades rurales
influyendo en su potencial humano. Cuando un organismo se expone a
sustancias agroquímicas se desencadena una serie de procesos
extremadamente complejos de metabolización y eliminación cuyas velocidades
son muy difíciles de calcular; provocando intoxicaciones en los niños que lo
llevan a una inmadurez en su desarrollo intelectual. Esto se refleja en los datos
aportados por el Test Gestáltico Visomotor de Bender y la valuación de
Koppitz, que se aplicaron a los alumnos que van desde los cinco a los doce
años del nivel educativo, donde se evalúa tanto su nivel de maduración en la
percepción visomotriz para predecir el nivel intelectual, como los problemas en
el rendimiento escolar cuando éste presenta un retraso en el ritmo de su
marcha en el sistema educativo, es decir la relación grado‐edad, y que se pone
de manifiesto en aquellos que repiten algún grado o bien que se incorporan al
sistema educativo con edad avanzada.
Por otro lado, se aplicó en los procesos de Markov el criterio de
estabilidad dado por los valores propios en ambos establecimientos, el cual
llevó a evaluar el sistema educativo en las condiciones del desempeño del
alumno que ingresa desde el nivel inicial hasta que egresa a los siete años.
Cuyas estabilidades indican que en ambas escuelas las situaciones son
críticas, evidenciándose que los alumnos muestran debilidades mentales
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
209
debido al bajo CMVM, como consecuencia de la repitencia de grados por
abandonar el cursado para realizar tareas familiares vinculadas al sembrado y
fumigación de los campos con el empleo de sustancias agroquímicas.
Mientras que, es menos notorio el problema en la Escuela N° 297- Lavalle
porque solo se registran dos valores propios correspondientes a las
debilidades mentales, mientras que al menos en la Escuela N° 8 - Bañado de
Ovanta existen algunos en condición del 0,026% de limítrofes y 0,156% de
debilidad mental débil, pero existe un valor muy grande del 99,817% de
debilidad mental moderada, debido a que el alumno presenta muchos aciertos
al representar las figuras gestálticas. Como consecuencia de esto, la
predicción que resulta de aplicar la teoría de las cadenas de Markov para el
estudio de un estado estable según sus valores y vectores propios, nos lleva a
que el análisis realizado para esta escuela no sirvió según la suposición
realizada.
4.8. REFERENCIAS
[1] Aguilar Valdés (1986) Medio ambiente familiar, Hábitos de vida y rendimento académico en niños de primaria. Revista Cubana Hig. Epidemiol.24(2): 157-163.
[2] Avaria M.A. (2005) Aspectos biológicos del desarrollo psicomotor. Revista Pediatría Electrónica. Universidad de Chile. Vol 2, N° 1. ISSN 0718-0918
[3] Bassanezi R.C. (2002), Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. Editoria Contexto São Paulo – ISBN 85-7244-207-3.
[4] Ballesteros Domingo J.J. (2011) How the Terman Scale Measures Intelligence. General Psychometric Model. Revised Rules and Updated Results Psicología Educativa Vol. 17, N°2: 179-193. First online http://dx.doi.org/10.5093/ed2011v17n2a5
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
210
[5] Bender L. (2008). Test Guestáltico Visomotor (B.G.). Usos y Aplicaciones Clínicas. Buenos Aires: Editorial Paidós (20° edición)
[6] Budnick F. S. (1993) Matemáticas Aplicadas para Administración y Ciencias Sociales. 3ra. Edición. Editorial McGraw-Hill
[7] Casullo M. (1988) El Test de Bender Infantil. Buenos Aires: Guadalupe [8]
Cousino L, Wilder H. (1978) La función visomotora en niños de Santiago de Chile. Revista Latinoamericana de Psicología, vol. 10, N°3: 363 - 375, Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Colombia http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=80510305
[9]
Chadwick C y Antoniejevic N. (1982). Estrategias cognitivas y metacognición. Revista Tecnología Educativa, 7(4): 307- 321.
[10]
Chialvo D.R., Bak P. (1999) Learning from Mistakes Neuroscience. Vol. 90, No. 4: 1137–1148. Elsevier Science Ltd.
[11]
Engel A. B. (1978) Elementos de Biomatemática. Universidad Estadual de Campinas. Brasil
[12]
Forrester J. W. (1992) – La Dinámica de Sistemas y el Aprendizaje del Alumno en la educación escolar. D-4337: 1–22. Traducido por Grupo de Dinámica de Sistemas ITESM, Monterrey-México – Revisión (2000) Barcelona, España
[13]
Gazzaniga M.S. (2009) The Cognitive Neurosciences. Fourth Edition. Massachusetts Institute of Technology.
[14] Galagovsky L.R. (1996) Redes Conceptuales. Aprendizaje, Comunicación y Memoria. Buenos Aires: Lugar Editorial (2da. Edición)
[15]
Hammann A., Segura H. Quevedo G. (2010). Efecto de Glifosato por Contacto Directo en Amynthas hawayanus. V Congreso Iberoamericano de Ambiente y Calidad de Vida, 6° Congreso de Ambiente y Calidad de Vida (Línea Científica) – p: 160. FACEN - UNCa.
[16]
Jernigan T. L., Gamst A.C. (2005) Changes in volume with age—consistency and interpretation of observed effects. Neurobiology of Aging 26:1271–1274. Elsevier Inc.
[17]
Juarez G.A., Navarro S.I. (2005). Ecuaciones en Diferencias con Aplicaciones a Modelos en Sistemas Dinámicos. Editorial Sarquís - ISBN 987-9170-35-0. Catamarca.
[18]
Liz E. (2006) Sobre ecuaciones diferenciales con retraso, dinámica de poblaciones y números primos“. Materials Matemátics. Vol.2006, Treball N° 17: 24. ISSN: 1887-1097 – Universitat Autónoma de Barcelona. www.mat.uab.cat/matmat
[19]
López, H. J. (1990) Temas de Psicología Pedagógica. N°T3: 118‐23. La Habana: Editorial Pueblo y Educación.
[20]
Kacero E. (2007) Test Gestáltico Visomotor de Bender: Una “puesta en espacio de figuras”. Buenos Aires. Editorial Lugar Editorial
[21]
Kandel E.R., Schwartz J.H., Jessell T.H. (1999). Neurociencia y conducta. España. Editorial Prentice Hall.
[22]
Koppitz E.M, (1981). El Test Guestáltico visomotor de Bender. España. Editorial Oikos-tau. Barcelona.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
211
[23]
Koppitz E.M. (2008). El Test Guestáltico Visomotor para Niños. Editorial Guadalupe (15° edición).
[24]
Kovacs Z. L. (1997) O cérebro e a sua mente: uma introdução à neurociência computacional. São Paulo: Acadêmica
[25]
Kuno M (1995). Synapse: function, plasticity and neurotrophism. New York. Oxford University.
[26] Luria A. R. (1966) Higher cortical functions in man. Londres. Tavistock
[27]
Navarro S. I., Juárez F., Contreras C., Juarez G. A., Quevedo G. (2010). Modelos Matemático Dinámico de Ingesta por Agrotóxicos V Congreso Iberoamericano de Ambiente y Calidad de Vida, 6° Congreso de Ambiente y Calidad de Vida (Línea Científica) - pp. 321. FACEN - UNCa
[28]
Navarro S. I., Juárez G. A. (2012) Agrotóxicos y aprendizaje. Análisis de los resultados del proceso de aprendizaje mediante un modelo matemático. España Editorial Académica Española ISBN: 978-3-8484-7074-7.
[29]
Navarro S. I., Juárez G.A., Quevedo G.V. (2010). Modelado Matemático del Test de Bender – Koppitz. Revista Electrónica Aportes Científicos desde Humanidades 8: 734 - 743. Editorial Científica Universitaria. UNCa. ISSN: 1851-4464. www.editorial.unca.edu.ar
[30]
Navarro S. I., Juárez G. A., Quevedo G. V. (2010) Sistema Dinámico de un Modelo Neuronal. Revista Electrónica Iberoamericana Educación en Ciencias y Tecnología. Vol.2: 91-105. ISSN 1852-852X. www.exactas.unca.edu.ar
[31]
Navarro S.I. Juarez G.A., Sibona G. J., Quevedo G.V. (2012) Simulación Dinámica con retardo del proceso de adquisición de capacidades sensoriomotriz. Revista Electrónica Iberoamericana Educación en Ciencias y Tecnología. Vol.3 N° 1:177 – 191. ISSN 1852-852X. www.exactas.unca.edu.ar
[32]
Nivia E. (2003) Efectos sobre la salud y el ambiente de herbicidas que contienen glifosato. Ambiente Ecológico. Edición 87. ISSN: 1668-3358. www.ambiente.org.ar
[33]
Ortega García J.A. y col. (2005). Neurotóxicos medioambientales (I). Pesticidas: efectos adversos en el sistema nervioso fetal y postnatal. Acta Pediátrica. España, N° 63; 140-149.
[34]
Rojas Velásquez F. (2001) Enfoques sobre el aprendizaje humano. Dpto. Ciencia y Tecnología del Comportamiento – Universidad Simón Bolívar.
[35]
Salett Biembengut M., Hein N. (2008). Modelo, Modelación y Montaje: Métodos de enseñanza-aprendizaje de matemáticas. Brasil. Dpto. Matemática. CCEN.URB.
[36]
Schuman, L. (1996) Perspectives on instruction. [On-line]. Available: http://edweb.sdsu.edu/courses/edtec540/Perspectives/Perspectives.html
[37] Strang G. (1988) Linear Algebra and its Applications (Third Edition). Harcourt College Publishers.
CAPITULO IV: DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DE APRENDIZAJE
212
[38]
Terman, L. M. y Merrill, M. A. (1975). Medida de la Inteligencia. Método para el empleo de las pruebas del Stanford-Binet. Tercera revisión Formas L y M reunidas. Traducción y adaptación de Germain, J. Espasa-Calpe S.A. Madrid.
[39]
Torregrosa Sánchez J.R., Jordan Lluch C. (1987) Algebra Lineal y sus aplicaciones. Teorías y Problemas. México: Mc Graw Hill.
[40]
Zapata Ros, M. (2013) Teorías y modelos sobre el aprendizaje en entornos conectados y ubicuos. Bases para un nuevo modelo teórico a partir de una visión crítica del “conectivismo”. Universidad de Alcalá. España.
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