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Esfuerzos en un punto
Mecnica Estructural
Captulo N2
Jos Acero Martinez
San Miguel, Agosto 201
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Cuerpo sometido a fuerzas externas Fuerza transmitida a travs de un rea incremental deun cuerpo cortado
Esfuerzos en un punto
Sea un cuerpo sometido a fuerzas externas. Un plano Q que
corta al cuerpo hace que aparezcan en la seccin cortada fuerzasinternas. En un rea pequea A de dicha seccin transversal lafuerza actuante es F (vector.
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La fuerza !puede ser descompuesta en dos componentes,
una normal y otra paralela a la superficie del plano Q: !n,
!s . Las magnitudes de las fuerzas por unidad de rea son:
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F / A = esfuerzo promedio
Fn / A = esfuerzo normal promedio
Fs / A = esfuerzo cortante promedio
La fuerza !puede tambin ser descompuesta en tres
componentes por eemplo para un sistema de coordenadas
como el mostrado en la figura.
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( )12A
F(vector)
0A"li#
=
( )22A
Fnn
0A"li#
=
A
Fss
0A= li#
El concepto de esfuerzo en un punto se lo!ra cuando A sevuelve infinitesimal. "a relacin de F# A, a medida que A se
acerca a 0, define el vector esfuerzo:
$e modo similar% las relaciones Fn/A & Fs/A definen el'vector esfuerzo normal n,& el 'vector esfuerzo cortante
s.
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Sea un elemento diferencial en forma de paralelep)pedo
rectan!ular% orientado se!*n tres e+es cartesianos x,&,z% & de
lados dx% d&% dz
Notaci$n %e esfuerzos
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-aras 'positivas son aquellas cu&a normal es la direccin
positiva del e+e cartesiano. a& / caras positivas% en c#u ha& /
componentes denominados i% los cuales act*an similarmente en
las tres caras ne!ativas en sentidos opuestos (/era
le& de0e1ton.
!e denomina "#$!%& '# #!F(#&)%! al arreglo de las *
componentes, de la manera indicada.
[ ]
=
zzzyzx
yzyyyxxzxyxx
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Si#etra %e las co#ponentes %e esfuerzo
Estas 2componentes se pueden reducir a seis% haciendo el equili3rio de
momentos alrededor de los e+es cartesianos.4or e+emplo% momentos respecto al e+e z% las fuerzas cu&o momento no es
nulo% son5
x& d& dz% con 3razo de palanca dx&x dx dz% con 3razo de palanca d&
6z 7 85 (x& d& dz dx 9 (&x dx dz d& 7 8x& 7 &x (2.4a)
6x 7 8: &z 7 z& (2.4b)6& 7 8: xz 7 zx (2.4c)
Las componentes se reducen a s!lo seis. "l #"$%&' " "%F"'*&% se puedeescribir como:
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Si#etra %e las co#ponentes %e esfuerzo
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x+ (xx, xy, xz) (2.6a)
Esfuerzos en una %irecci$n ar&itraria
El vector esfuerzo correspondiente al plano :% cu&a normal es el e+e x% se
representa mediante el vector5
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$e modo similar% los vectores esfuerzo correspondiente a los
planos ;% < cu&as normales son los e+es &% z son5
y+ (
xy, yy, yz) (2.6b)
z+ (xz, yz, zz) (2.6c)
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Esfuerzos en una %irecci$n ar&itraria
"l esfuerzo P correspondiente a un plano , cual-uiera
(direcci!n arbitraria) se puede allar aplicando las ecuacionesde e-uilibrio a un tetraedro definido por los planos ne/ativos
del paralelep0pedo 1 el plano ,
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A+ es la trazadel plano - con los planos , ), ). !ea N el
0ector unitario normal al plano -1 en el sistema 23y3z, las
componentes de Nson:
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La ecuaci8n 9.*, puede obser0arse 0ectorialmente en la figura
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Se conoce adems los cosenos directores que definen
la direccin de los e+es :,;,
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-ropiedades de los 0ectores unitarios nue0os ees;
-ropiedades de ortogonalidad de un
0ector unitario
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E)presiones para los esfuerzos nor#ales
El esfuerzo normal en la direccin :: es un esfuerzo en un plano
inclinado% como el 40& se halla con la ec. B.C8. $el mismo modose o3tienen los esfuerzos normales correspondientes a los e+es;; &
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@epresentacin !rfica de las ecuaciones B.CB% donde5
:: (mdulo de &&)7 &'#;; (mdulo de (()7 ('$
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E)presiones para los esfuerzos cortantes
El esfuerzo cortante :S en un plano perpendicular al e+e : sedescompone en las direcciones ; & < % o3tenindose5
56+ X. N2 1 5*+ X. N3
e modo similar7 se obtiene:
65+ Y. N1 1 6*+ Y. N3para el plano cu1a normal es 6
*5+ Z. N1 1 *6+ Z. N2para el plano cu1a normal es *
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[ ]
++ ++
++
=949494
949494
949494
4222
nzzmzylzxnyzmyylyx
nxzmxylxx
nml+*
+*l2lxx3l2mxy3l2nxz3m2lyx3m2myy3
m2nyz3n2lzx3n2mzy3n2nzz
gru4ando se tiene"
+*l2lxx3m2myy3n2nzz3(l2m3lm2)xy3(l
2n
3l
n
2)
xz3(m
2n
3m
n
2)
yz
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El desarrollo de este determinante conduce a una ecuacin
c*3ica en funcin de % es decir% ha& tres ra)ces o tres valores deque pueden ser el 'valor mximo 3uscado.
/ ;