Capítulo 2: FILTROS ADAPTATIVOS
FILTROS ADAPTATIVOS FILTROS DE WIENER
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2.1. FILTROS DE WIENER
Los filtros de Wiener son los mejores filtros lineales de mínimos cuadrados que pueden ser usan
para predicción, estimación, interpolación, filtrado de señal y ruido, etc. Para diseñarlos se
necesita tener un conocimiento previo apropiado de las propiedades estadísticas de la señal de
entrada. El problema reside en que este conocimiento generalmente no se puede obtener. En su
lugar se usan filtros adaptativos, que hacen uso de los datos de entrada para aprender los datos
estadísticos requeridos. En cualquier caso, la teoría de Wiener es importante para el presente
estudio porque los filtros adaptativos que serán empleados convergen asintóticamente (en
media) en las soluciones de Wiener.
Obsérvese el esquema de la Figura 6:
Entrada fk h*k = ?
Filtro digital
Salida gk
+
-Error ek
Respuesta deseada dk
Figura 6: Filtro de Wiener digital
El filtro digital tiene una señal de entrada y produce una señal de salida. El filtro será un filtro de
Wiener si su respuesta impulsiva se elige para minimizar el error cuadrático medio. El error se
define como la diferencia entre la salida del filtro y la respuesta deseada:
kkk gde
Cuando se trabaja con filtros de Wiener, generalmente la respuesta deseada existe sólo de
forma conceptual. Las propiedades estadísticas de la respuesta deseada y sus relaciones
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estadísticas con la señal de entrada al filtro se asume que son conocidas por el diseñador. La
situación es bastante diferente cuando se trata con filtros adaptativos. En éstos, la respuesta
deseada existe como una señal que puede ser obtenida como entrada en tiempo real al
algoritmo adaptativo, para conseguir aprender y adaptarse. Los filtros de Wiener no aprenden.
Su diseño es fijo, basado en un primer conocimiento estadístico.
La respuesta impulsiva del filtro de Wiener se obtiene encontrando una expresión para el error
cuadrático medio y minimizándola con respecto a la respuesta impulsiva. Elevando al cuadrado
en ambas partes, se obtiene:
kkkkk gdgde 2222
Sabiendo que:
0lllkk hfg
se puede sustituir:
l m lklklklklkk dfhffhhde 222
Si tomamos valor medio en ambos lados, encontramos una expresión para el error cuadrático
medio (MSE, ):
l m lklklklklkk dfEhffEhhdEeE 222
l m lfdlffldd lhlhh )(2)()0(
siendo la autocorrelación y la correlación cruzada de dos señales y . Si derivamos
respecto a , que es la respuesta impulsiva del filtro, e igualamos a cero para minimizar el error:
lfdffl jljh )()(*
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Esta es la ecuación de Wiener-Hopf, que en forma de convolución queda:
)()(** kkh fdffl
Tomando transformada en ambas partes:
)()(
)()()()( **
zz
zHózzzHff
fdfdff
Con la solución de Wiener se puede encontrar la función de transferencia del filtro a partir
de la transformada de la función de autocorrelación de la señal de entrada, de la correlación
cruzada de la señal de entrada, y de la respuesta deseada. Si se sustituye esta ecuación en la
expresión del error se obtiene el valor del mínimo MSE:
)()0( *2 lheE fdl
lddmínk
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2.2. FILTROS LMS ADAPTATIVOS
La teoría de filtrado adaptativo es fundamental para el control inverso adaptativo. Los filtros
adaptativos se usan para modelado de plantas, modelado inverso de plantas, y para hacer
cancelaciones de ruido de la planta. Se va a tratar de presentar el filtro adaptativo como un
bloque, que tiene una señal de entrada, una de salida, y una señal de entrada especial llamada
‘el error’, que se usa en el proceso de aprendizaje. El propósito de este apartado es ofrecer una
introducción a la teoría de filtrado digital adaptativo.
El filtro adaptativo que aquí se va a considerar tiene la siguiente forma:
Filtro adaptativo
Sistema dinámico desconocidoque va a ser modelado
-1Z -1Z -1Z
-
+
coeficientes ajustables
Salida del filtroadaptativo yk
Error ek
Respuestadeseada dk
Señal de entrada f(t) Señal de salida d(t)
Figura 7: Modelando un sistema desconocido mediante un filtro discreto adaptativo
La Figura 7 ilustra el filtro adaptativo como sería usado en el modelado de una planta
desconocida. Este filtro es causal y tiene una respuesta impulsiva finita (FIR).
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Además de las señales ya comentadas, hay que utilizar una más: la señal deseada, para poder
generar la señal de error. La salida de la planta desconocida nos da el valor de la señal deseada.
El filtro adaptativo de la Figura 7 es un filtro digital. El sistema desconocido que va a ser
modelado es un filtro analógico. Las entradas al filtro adaptativo son, por tanto, versiones
muestreadas de las señales de entrada y salida del sistema desconocido. Los coeficientes del
filtro adaptativo se ajustan automáticamente mediante un algoritmo que minimiza el error
cuadrático medio. Cuando los coeficientes convergen y el error se hace pequeño, la respuesta
impulsiva del filtro adaptativo es muy parecida a la del sistema desconocido.
El análisis del filtro adaptativo puede ser desarrollado considerando primero el combinador lineal
adaptativo de la Figura 8, un subsistema de la Figura 7.
-
+
señaldeseada dk
Error ek = dk - yk
Señal desalida yk
Coeficientes W
Señal deentrada xk
x1k
x1k
x1k
x1k
w1
w4
w3
w2
Figura 8: Combinador adaptativo lineal
Se tienen las siguientes señales:
La señal de entrada, que es un conjunto de n señales. La k-ésima señal de entrada es:
Tnklkkkk xxxxX ,...,,...,, 21
El conjunto de coeficientes o pesos se designan con el vector:
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nlT wwwwW ,...,,...,, 21
La señal de salida k-ésima será:
n
lk
Tlklk XWxwy
1
Si se denota la señal deseada como , el error en el instante k-ésimo es:
kT
kkkk XWdyde
El error cuadrático medio es el valor esperado de :
RVWWPdEWXXEWWXdEdEeEMSE TTk
Tkk
TTkkkk 22 222
siendo la correlación cruzada entre la señal de entrada y la señal deseada , y la
autocorrelación de la señal de entrada . Se puede observar que el MSE es una función
cuadrática de los coeficientes, con lo que tendrá la forma de una parábola. El proceso adaptativo
estará continuamente ajustando los coeficientes, buscando la parte más baja de la parábola.
Para obtener los coeficientes óptimos, habrá que derivar el MSE e igualarlo a cero.
El algoritmo LMS utiliza el método del para la actualización de los coeficientes
del vector de pesos. Este algoritmo realiza los cambios de forma proporcional al gradiente, tal
como se puede ver en la siguiente ecuación:
kkk WW 1
siendo la estimación del gradiente:
kk N
y Nk el ruido del gradiente.
El gradiente se define como la derivada del cuadrado del error respecto a cada uno de los
coeficientes. Si se hace esa derivada, se obtiene como conclusión que el gradiente tiene el valor:
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kkk Xe2
Sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene la ecuación que rige al algoritmo LMS:
kkkk XeWW 21
FILTROS ADAPTATIVOS APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
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2.3. APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
Existen muchas aplicaciones prácticas para el modelo de filtros FIR adaptativos descritos en este
capítulo. Uno de los más interesantes es la cancelación de ruido adaptativa. La idea es sustraer el
ruido de una señal ruidosa. Cuando se hace empleando técnicas de filtrado adaptativo se puede
obtener una mejora sustancial de la tasa de señal a ruido.
La separación de una señal de un ruido aditivo, incluso cuando sus respectivos espectros de
potencia se solapan, es un problema común en proceso de señal. La Figura 9 (a) muestra un
esquema típico para solucionar este problema usando filtros de Wiener o Kalman. El propósito
del filtro óptimo es pasar la señal sin distorsión. En general esto no se puede hacer
perfectamente; incluso con el mejor de los filtros se distorsiona la señal, y parte del ruido pasa a
la señal de salida.
La Figura 9 (b) muestra otro desarrollo para este problema, usando cancelación de ruido
adaptativa. La señal primaria contiene la señal de interés, , y un ruido aditivo. Se asume que se
puede obtener un ruido de entrada de referencia, , que está correlado con el ruido original .
En la Figura 9 (b), el filtro adaptativo recibe la referencia de ruido, la filtra y sustrae el resultado
de la señal primaria. Desde el punto de vista del filtrado adaptativo, la señal primaria actúa como
señal deseada y la salida del sistema como error. La salida del sistema se obtiene sustrayendo el
ruido de referencia filtrado de la señal primaria.
FILTROS ADAPTATIVOS APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
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-+
salida delsistema
Filtroóptimo salidas + no
entrada
(a)
Filtroadaptativo
Fuentede ruido
Fuentede señal
error e
entrada dereferencia
entradaprimaria
s + n0
n1
cancelador de ruido adaptativo
(b)
Figura 9: Separación de señal y ruido: (a) clásica; (b) con filtro adaptativo
Para hacer la cancelación de ruido adaptativa se podría esperar que el filtro necesitara algún
conocimiento sobre la señal o sobre los ruidos , , antes de que pudiera adaptarse para
producir la señal . Pero no hace falta. Tan sólo hay que saber que está correlada con , y
que está incorrelada con ambas.
Asumiendo ésto, y que las señales son estadísticamente estacionarias y de media 0, se tiene:
ynse 0
Elevando al cuadrado se obtiene:
ynsynse 02
022 2
Tomando el valor esperado y haciendo uso de que la señal está incorrelada con y con , se
obtiene que el valor mínimo del error es:
FILTROS ADAPTATIVOS APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
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mínmín ynEsEeE 20
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Cuando el filtro es ajustado de forma que es minimizado, es también
minimizado. En ese momento, es la mejor estimación del ruido primario . Además, cuando
es minimizada, es también minimizada, ya que
ynse 0
Ajustar o adaptar el filtro para minimizar la potencia total de salida es hacer que sea la mejor
estimación de la señal .
La cancelación de ruido adaptativa es una técnica muy potente en proceso de señal. La primera
aplicación que tuvo fue la cancelación de la interferencia de 60 Hz (o 50 Hz) en
electrocardiogramas. Las causas de la interferencia son las inducciones magnéticas y las
corrientes desplazadas de la potencia de línea y los lazos de tierra. El filtrado convencional se ha
usado para combatir dicha interferencia, pero la mejor solución parece ser la cancelación de
ruido adaptativa.
La Figura 10 muestra la aplicación de esta cancelación a los electrocardiogramas. La señal
primaria se toma de un preamplificador de electro (ECG); la entrada de referencia de los 60 Hz
se toma de una salida de la pared. El filtro adaptativo contiene dos coeficientes variables, uno
aplicado a la entrada de referencia directamente y el otro a una versión de ésta desfasada 90º.
La salida del filtro se sustrae de la entrada primaria. Un resultado típico del experimento se
muestra en la Figura 11. La Figura 11 (a) muestra la señal primaria, un electro con una cantidad
excesiva de interferencia de 60 Hz, y la Figura 11 (b) muestra la señal de referencia de la salida
de la pared. La Figura 11 (c) es la salida del cancelador de ruido. Se llama la atención del lector
sobre la ausencia de interferencia y la claridad de los detalles una vez que el proceso adaptativo
converge.
FILTROS ADAPTATIVOS APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
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Figura 10: Cancelación de la interferencia de 60 Hz en electrocardiogramas
Figura 11: Resultados de la cancelación de ruido en el experimento: (a) entrada primaria, (b) entrada de
referencia, (c) salida de la cancelación de ruido
Otra aplicación útil de la cancelación de ruido adaptativa es la eliminación de interferencia del
corazón de una madre cuando se quiere hacer un electrocardiograma a un feto. La Figura 12
muestra la localización de los corazones del feto y de la madre, y el lugar de los cables de
FILTROS ADAPTATIVOS APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
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entrada. El cable abdominal nos da la señal de entrada (conteniendo el electro del feto con la
interferencia de la madre), y el cable del pecho nos da el electro de la madre puro.
Figura 12: Cancelación del latido de la madre en el electrocardiograma del feto
La configuración del cancelador de ruido adaptativo está basada en el esquema mostrado en la
Figura 8, en el cual la señal deseada será la tomada por el electrodo del abdomen, y la señal de
entrada la tomada por el electrodo del pecho. Esta configuración constituye un cancelador de
ruido de referencia múltiple, que trabaja como un cancelador de un sólo canal. La Figura 13
muestra los resultados. El electro maternal del cable del pecho es filtrado adaptativamente y
sustraído de la señal abdominal, dejando el electro del feto totalmente puro. Esto es un
problema interesante ya que los electros del feto y de la madre tienen espectros superpuestos.
Los dos corazones son eléctricamente aislados y trabajados independientemente. La frecuencia
del segundo armónico del electro materno está cerca del armónico fundamental del ECG del
feto, por lo que las técnicas de filtrado ordinarias tendrían mucha dificultad con este problema.
Figura 13: Resultados del electrocardiograma del feto: (a) entrada de referencia (cable del pecho), (b)
entrada primaria (cable del abdomen), (c) salida del cancelador de ruido.
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