CARACTERIZACIÓN DE PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO DE
TRANSFORMADORES DE DISTRIBUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
RAFAEL ENRIQUE KERGUELEN RESTREPO
CÓDIGO: 222873
SANDRO RAFAEL ZÁRATE RINCÓN
CÓDIGO: 222950
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
BOGOTÁ D.C.,2012
CARACTERIZACIÓN DE PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO DE
TRANSFORMADORES DE DISTRIBUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
RAFAEL ENRIQUE KERGUELEN RESTREPO
CÓDIGO: 222873
SANDRO RAFAEL ZÁRATE RINCÓN
CÓDIGO: 222950
Trabajo de grado presentado para optar al título de:
Ingeniero Electricista
DIRIGIDO POR:
JAVIER ALVEIRO ROSERO GARCÍA.
PHD, INGENIERO ELECTRICISTA.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
BOGOTÁ D.C.,2012
TÍTULO EN ESPAÑOL:
Caracterización de pérdidas en el núcleo de transformadores de distribución
en el dominio de la frecuencia.
TÍTULO EN INGLÉS:
Characterization of core losses in distribution transformers on the frequency
domain.
RESUMEN EN ESPAÑOL:
En el presente documento se muestra la caracterización de pérdidas en
núcleos magnéticos de transformadores de distribución, donde se determina
por medio de simulaciones en software de elementos finitos las pérdidas en
los núcleos de los transformadores de distribución para el análisis de
respuesta en frecuencia. (FRA). Se evalúan las pérdidas en el rango de
frecuencia establecido (de 60Hz a 2Mhz) dependiendo de la geometría y de las
características del material.
TRADUCCIÓN DEL RESUMEN AL INGLÉS:
The present text show the characterization of magnetic core losses in
distribution transformers, using software of finite element method, losses in
core of the transformer is determined for frequency response analysis (FRA)
condition. Losses are evaluated in the range of frequency (60 Hz to 2 MHz) as
a function of the geometry and material properties.
DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN ESPAÑOL:
Corrientes de Eddy, Método de elementos finitos (FEM), Análisis de respuesta
en respuesta (FRA), Profundidad de penetración, Permeabilidad compleja.
DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN INGLÉS:
Eddy currents, Finite Element Method (FEM), Frequency Analysis Response
(FRA), skin depth, complex permeability.
FIRMA DEL DIRECTOR:_________________________________
Rafael Enrique Kerguelen Restrepo, 10 de septiembre de 1989
Sandro Rafael Zárate Rincón, 8 Febrero de 1991
A la Universidad mi primer amor, a mis
padres y familia que apoyaron este amor, a
mis amigos y a un León que habita mi
corazón.
Rafael Enrique Kerguelen Restrepo
A Dios, a mis Padres, hermanas, mis tías
María Elena y Carmen, mi tío Jorge,
familiares y amigos que me apoyaron en esta
etapa de mi vida.
Sandro Rafael Zárate Rincón
Agradecimientos
Los autores agradecen a todos los profesores, quienes con su experiencia y
acompañamiento han contribuido a nuestra formación personal y profesional.
De igual forma queremos agradecer a nuestros amigos y compañeros dentro del
transcurso de la universidad quienes también han aportado en la construcción de nuestra
personalidad.
Finalmente agradecer a los Ingenieros: Javier Rosero, David Álvarez, Sandra Téllez,
William Mejía, Camilo Cortés y Herbert Rojas, por su especial colaboración en la
realización de este trabajo de grado.
Resumen
En el presente documento se muestra la caracterización de pérdidas en núcleos
magnéticos de transformadores de distribución, donde se determina por medio de
simulaciones en software de elementos finitos las pérdidas en los núcleos de los
transformadores de distribución para el análisis de respuesta en frecuencia. (FRA). Se
evalúan las pérdidas en el rango de frecuencia establecido (de 60Hz a 2Mhz)
dependiendo de la geometría y de las características del material.
Palabras Clave: Corrientes de Eddy, Histéresis, Pérdidas por exceso, Método de
elementos finitos (FEM), Análisis de respuesta en respuesta (FRA), Profundidad de
penetración, Permeabilidad compleja.
Abstract
The present text show the characterization of magnetic core losses in distribution
transformers, using software of finite element method, losses in core of the transformer is
determined for frequency response analysis (FRA) condition. Losses are evaluated in the
range of frequency (60 Hz to 2 MHz) as a function of the geometry and material
properties.
Keywords: Eddy currents, Hysteresis, Excess Loss, Finite Element Method (FEM),
Frequency Analysis Response (FRA), skin depth, complex permeability.
Contenido
Resumen...………………………………………………………………………………………...7
Glosario…………………………………………………………………………………………..14
Introducción…..………………………………………………………………………………...15
1. Teoría de pérdidas en medios materiales ............................................................. 17 1.1 Ecuaciones generales de pérdidas en un medio sencillo ................................. 17 1.2 Pérdidas en núcleos magnéticos. ..................................................................... 19
1.2.1 Pérdidas por histéresis. ................................................................................. 21 1.2.2 Pérdidas por corrientes de Eddy .................................................................... 23
1.3 Pérdidas en el núcleo. Modelo dinámico de materiales magnéticos ................. 26 1.3.1 Proceso de magnetización y el efecto Barkhausen ........................................ 26 1.3.2 Fenómeno Dependiente del Tiempo .............................................................. 29 1.3.3 Corrientes de Eddy y pérdidas magnéticas. ................................................... 30 1.3.4 Separación de pérdidas ................................................................................. 33
2. Modelos de núcleos en el dominio de la frecuencia. ........................................... 37
3. Consideraciones y parámetros de simulación. .................................................... 39 3.2 Dimensiones y geometría del núcleo ................................................................ 40 3.3 Propiedades del material .................................................................................. 41
3.3.1 Permeabilidad y conductividad ...................................................................... 41 3.3.2 Anisotropía .................................................................................................... 43
3.4 Fuente de alimentación .................................................................................... 44 3.5 Definición de la malla ....................................................................................... 44
4. Análisis y Resultados ............................................................................................ 47 4.1 Efecto de la anisotropía del material en las pérdidas. ....................................... 47 4.2 Resultados geometría tres dimensiones ........................................................... 48 4.3 Resultados dos dimensiones (eje simétrico) ..................................................... 49 4.4 Efecto cambios en el espesor de la lámina....................................................... 50 4.5 Efecto cambios en la permeabilidad inicial. ...................................................... 50 4.6 Estimación analítica cálculo de pérdidas. ......................................................... 52
5. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 55 5.1 Conclusiones .................................................................................................... 55 5.2 Recomendaciones ............................................................................................ 56
A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM)………….……………...…………………57
B. Anexo: Análisis de respuesta en frecuencia (FRA)….………….……………………66
Bibliografía…………………………………………………………………..…………………..69
10 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Lista de figuras
pág.
Figura 1-1: Ciclo de histéresis material magnético [1]……………………..……………….22
Figura 1-2: Corrientes de Eddy. Aproximación a una dimensión [10]…………………….25
Figura 1-3: Saltos Barkhausen [2]……..……………………………………………………...28
Figura 1-4: Lazos de histéresis para distintas frecuencias de magnetización [2]……….30
Figura 1-5: Pérdidas en función de la frecuencia [2]..……………………………………...32
Figura 3-1: Dimensiones del núcleo [mm]……………………………………………………40
Figura 3.2: Curva de permeabilidad (real e imaginaria)...…………………………………..43
Figura 3-3: Circuito de excitación y propiedades de la bobina…………………………….44
Figura 3-4: Malla del núcleo en tres dimensiones.………………………………………….45
Figura 4-1: Densidad de flujo magnético a 60 Hz………………….…………………….….47
Figura A-1: Elemento triangular típico …………..………………….…………………….….59
Figura A-2: Unión de dos elementos………………………………………………………….62
Figura B-1: Circuito de medida [14]......…………………………….…………………….…..68
Contenido 11
Lista de gráficas
pág.
Gráfica 4-1: Pérdidas material anisotrópico……………………………………………….…47
Gráfica 4.2: Pérdidas caso tres dimensiones…………………………………………….….49
Gráfica 4-3: Pérdidas caso dos dimensiones eje simétrico……………………………......49
Gráfica 4-4: Pérdidas para distintos ancho de lámina……………………………………....50
Gráfica 4-5: Pérdidas para distintas permeabilidades relativas……………………….…...51
Gráfica 4-6: Permeabilidad real en función de la frecuencia…………………….…………51
Gráfica 4-7: Permeabilidad imaginaria en función de la frecuencia…………….………....51
Gráfica 4-8: Pérdidas por corrientes de Eddy. Simuladas y analíticas (4.1)…..………....52
Gráfica 4-9: Profundidad de penetración para una lámina metálica………………...…….53
Gráfica 4-10: Comparación pérdidas simuladas y pérdidas analíticas……………….…..54
12 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Lista de tablas
pág.
Tabla 4-1: Coeficientes de correlación pérdidas……………………………………………..54
Contenido 13
Lista de Símbolos y abreviaturas
En el presente documento se utilizaran los siguientes símbolos, con el fin de facilitar la
lectura y aprendizaje del lector.
Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI
B Densidad de campo magnético T b Espesor de lámina
D Densidad de campo eléctrico
E Intensidad de campo eléctrico
f Frecuencia
H Intensidad de campo magnético
I Corriente
J Densidad de corriente
P Potencia R Resistencia t Tiempo s V Tensión W Energía
Símbolos con letras griegas Símbolo Término Unidad SI
ε Permitividad
σ Conductividad eléctrica
ρ Resistividad eléctrica Ωm ω Frecuencia angular s-1 δ Profundidad de penetración m μ’ Permeabilidad real 1 μ’’ Permeabilidad imaginaria 1
μ Permeabilidad magnética
Flujo magnético Wb
14 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Glosario
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA: técnica de diagnóstico no invasiva para
transformadores. Esta consiste en la medición de la impedancia de un devanado del
transformador sobre un rango de frecuencia para luego comparar los resultados con una
referencia. Las diferencias pueden indicar daños en el transformador, que se puede
investigar más a fondo con el uso de otras técnicas o por una inspección interna.
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS: método numérico que permite obtener de manera
aproximada la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
PERMEABILIDAD COMPLEJA: representación de la permeabilidad efectiva de un
material vista como dos componentes (real e imaginaria) en la cual describe los efectos
magnéticos en función de la frecuencia. La relación entre permeabilidad imaginaria y
permeabilidad real brinda una medida de cuanta es la energía de pérdidas en
comparación de la energía almacenada por el material.
PERMEABILIDAD INICIAL: es la pendiente de la curva B(H) en la parte inicial del ciclo de
magnetización.
PROFUNDIDAD DE PENETRACIÓN: describe la longitud desde la superficie hacia el
interior del material, a la cual será penetrado por una onda electromagnética para una
determinada frecuencia de excitación.
Introducción
En la actualidad los transformadores son considerados uno de los elementos
fundamentales dentro de cualquier sistema de energía. Los transformadores se
encuentran expuestos a condiciones no deseadas de fallas como sobretensiones (tipo
rayo, tipo maniobra, ferro-resonancia), sobrecarga, envejecimiento, que disminuyen la
vida útil del transformador y afectan al correcto funcionamiento de éste. Es por esto que
adquiere importancia el desarrollo de técnicas de diagnóstico que permitan evaluar el
estado de sus componentes y propiedades, con el fin de hacer mantenimiento
preventivo y predictivo.
Una de las técnicas que dado a su potencial y características ha tomado relevancia en la
actualidad, es el análisis de respuesta en frecuencia (FRA por sus siglas en inglés). Es
una técnica que permite detectar cambios físicos como deformaciones y cambios en las
propiedades de los materiales del transformador; puede desarrollarse en campo ya que
no requiere equipos de grandes dimensiones. El diagnóstico FRA es una técnica que
actualmente está en desarrollo, pues se conoce muy poco de ella y no se encuentra
normalizada, por lo que sus resultados no son fácilmente interpretables y depende de la
experiencia de la persona que los analice.
Una adecuada representación del modelo del transformador en frecuencia ayudaría
significativamente en la interpretación de los resultados arrojados por la prueba. Por tal
razón este proyecto se enfoca en caracterizar las pérdidas en el núcleo de un
transformador de distribución en un rango de frecuencia de 60 Hz a 2 MHz, por medio de
simulación en un software de elementos finitos.
16 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
El modelo representa el comportamiento del transformador en el dominio de la frecuencia
hasta 2 MHz, aplicado para transformadores nuevos de los cuales se conozca sus
materiales y las características constructivas de la parte activa.
La refrigeración del transformador para la cual aplicara el modelo es aceite mineral. El
modelo describirá el comportamiento en estado estable, no se tendrá en cuenta el estado
transitorio.
El trabajo de grado está integrado a la realización de tesis de maestría titulada “Modelo
de transformador de distribución para análisis de respuesta en frecuencia” que está
realizando actualmente el Ingeniero David Álvarez. Este proyecto de tesis al igual que el
proyecto de trabajo de grado se realizó con el apoyo técnico de la empresa SIEMENS.
1. Teoría de pérdidas en medios materiales
A continuación se hará un breve repaso de la teoría existente sobre pérdidas en
materiales magnéticos, el capítulo comienza con la obtención de pérdidas para cualquier
medio material inmerso en un campo electromagnético, para luego enfocarse
específicamente en materiales magnéticos utilizados en el diseño de transformadores de
distribución.
1.1 Ecuaciones generales de pérdidas en un medio sencillo
Las ecuaciones de Maxwell que relacionan el campo eléctrico y magnético en cualquier
punto para un medio dado son escritas de la forma más general como [4]:
En ciertas aplicaciones por utilidad se pueden desarrollar estas ecuaciones utilizando el
dominio de la frecuencia, reemplazando la derivada temporal por jω y reescribiendo las
relaciones de campo de la siguiente forma,
18 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Donde ε, σ, y μ representan la permitividad, conductividad eléctrica, y permeabilidad
magnética respectivamente. Para materiales magnéticos, estas constantes son
generalmente función de la frecuencia y temperatura como también de la amplitud del
campo y/o dirección.
Utilizando el teorema de Poynting se puede calcular la energía almacenada y disipada en
una región cualquiera, para un flujo de potencia a través de una superficie cerrada, S,
que encierra un volumen, V, como se muestra en (1.9).
∮ ∫ (
)
Si bien (1.9) se puede aplicar a cualquier medio, puede ser reescrita para materiales
lineales invariantes con el tiempo como,
∮ ∫ [
]
El lado izquierdo de la ecuación representa la potencia compleja que sale del
volumen limitado por S, mientras que los tres integrandos del otro lado de la ecuación
representan las pérdidas resistivas del medio, las tasa de cambio de la energía
almacenada en el campo eléctrico, y la tasa de cambio de la energía almacenada en
forma de campo magnético respectivamente. Esta es simplemente una expresión de la
conservación de energía. Cuando utilizamos fuentes de excitación sinusoidales se puede
obtener una expresión similar con las cantidades de campo representadas por sus
magnitudes fasoriales de las ecuaciones de Maxwell,
∮
∫ | |
∫ [
| |
| | ]
En (1.11), las constantes del material, μ y ε pueden ser números complejos que permiten
el uso de permeabilidad y permitividad compleja para obtener las pérdidas magnéticas y
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 19
las pérdidas eléctricas. Sustituyendo la parte real e imaginaria de las constantes del
material en (1.11) y luego de hacer las respectivas simplificaciones se obtiene,
∮
∫( | | | | | | )
∫ [
| |
| | ]
Se puede reescribir la ecuación anterior en términos de la potencia compleja que sale del
volumen, Pe, el promedio de energía disipada, <Pd>, la densidad de energía magnética
promedio, <Wm>, y la densidad de energía eléctrica promedio, <We>, como,
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Donde
∮
⟨ ⟩
∫ | | | | | |
⟨ ⟩ ∫ [
| | ]
⟨ ⟩ ∫ [
| | ]
1.2 Pérdidas en núcleos magnéticos.
No es nuestro objetivo en este trabajo aclararlo, pero existen muchas razones por las
cuales los materiales ferromagnéticos son utilizados en la construcción tanto de muchos
aparatos de corriente continua como de corriente alterna (como los transformadores).
20 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Una de las tantas es la facilidad que poseen para imanarse, conservan su imanación aun
así se suprima el campo, tienden a oponerse a la inversión del sentido de a imanación
una vez imanados, etc. Y en el caso de los transformadores, el núcleo de hierro
intensifica y mantiene un camino para el flujo magnético, que es o que se desea (y no lo
proporciona un núcleo de aire). En los dispositivos que trabajan con flujo magnético
constante, no se producen calentamiento alguno en los materiales del núcleo, por ende
no tienen casi pérdidas en su circuito magnético a menos que se energice o se
desenergice muy frecuentemente. Mientras que existen otros dispositivos que funcionan
con flujo magnéticos variables en el tiempo en sus circuitos magnéticos y estos flujos dan
lugar a corrientes que calientan el hierro o acero, caso del núcleo del transformador.
Dentro del campo siempre se ha comentado que las pérdidas que existen en el metal, y
específicamente en el núcleo magnético del transformador se deben a dos causas: la
tendencia del material a conservar su imanación o a oponerse a una variación de a
imanación que ocasiona las llamadas pérdidas por histéresis y el calentamiento por
efecto Joule que aparece en el material a consecuencia de las corrientes de Foucault que
se inducen en el al ser variable el flujo en el tiempo; esto constituye las pérdidas por
corrientes de Foucault. Las pérdidas por histéresis se deben a la tendencia de la curva
característica B(H) del material un lazo cerrado cuando se aplica a dicho material un
campo magnético cíclico. Es importante distinguir entre histéresis y pérdidas por
histéresis. El fenómeno conocido como histéresis es el resultado de la propiedad del
material de conservar su imanación u oponerse a una variación de su estado magnético.
Mientras que la pérdida por histéresis es la energía convertida en calor a causa del
fenómeno de la histéresis y, según suele interpretarse, está asociada sólo a una
variación cíclica de fuerza magnetomotriz. Las pérdidas por corrientes de Foucault están
originadas por corrientes en el material magnético, y estas corrientes están producidas
por fuerzas electromotrices inducidas por flujos variables.
Como se alcanza a observar en lo expresado anteriormente, se entiende los dos tipos de
pérdidas de como fenómenos casi aislados en los que sí son generados por la existencia
de un flujo variable dentro de un material magnético, la incidencia o existencia de uno
poco afecta al otro. En pocas palabras las pérdidas por histéresis son producto de
dinámicas magnetomotrices así como las pérdidas por corrientes de Foucault o también
llamadas pérdidas por corrientes de Eddy son debido a fuerzas electromotrices; puede
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 21
que ambas se vean afectadas proporcionalmente por otras variables como lo sería la
frecuencia, pero hasta ahí parecería su relación.
Tal vez esto es cierto para algunos parámetros específicos como la frecuencia, pero sólo
es la interpretación conceptual del resultado de la amplia utilización técnica de material y
de la relativamente gran importancia de los datos de pérdidas representativos de esta
forma de utilización. Sumado a la gran complejidad del fenómeno físico, el tiempo en el
que se realizaron los estudios y la dificultad en la corroboración con ayuda de pruebas
para distintas frecuencias; que aún y en estos tiempos siguen siendo casi imposibles de
realizar.
En nuevos trabajos e investigaciones más que haberse encontrado, se han generado
nuevos conceptos que pueden explicar mejor ese bache entre resultados esperados y
resultados obtenidos con respecto a la experimentación realizada en la variación de la
frecuencia. En donde se empieza a ver de una nueva forma a la histéresis, ya no como
algo estático sino algo más como un fenómeno dinámico; y así surge a aparición de otro
tipo de pérdidas que más adelante tendremos la oportunidad de explicar. Sin embargo es
necesario entender muy bien los primeros estudios y los conceptos allí planteados
(pérdidas por histéresis y pérdidas por corrientes de Eddy), por lo que vamos a tratar de
mostrarlos a continuación de la mejor manera.
1.2.1 Pérdidas por histéresis.
La aparición de pérdidas por histéresis está estrechamente ligada al fenómeno por el
cual una región atravesada por campo magnético, absorbe energía. Si la región no es el
vacío, tan sólo una parte de la energía que se toma del circuito eléctrico se almacena y
recupera totalmente de la región, al suprimir el campo magnético. El resto de la energía
se convierte en calor a causa del trabajo realizado sobre el material en el medio cuando
responde a la imanación.
Según la teoría que se sabe que cuando la inducción magnética de una región crece de
un punto B1 a otro punto B2, a región absorbe energía y la fórmula que representa la
cantidad o magnitud de energía absorbida por unidad de volumen es
22 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
∫
Esta integral es proporcional al área limitada que la curva B(H) de dicha región, el eje B y
las rectas paralelas al eje al eje H que representan las constantes B1 y B2,
respectivamente. Luego su valor dependerá de los valores B1 y B2 y de la forma de la
curva entre los valores B1 y B2. Si se disminuye la inducción magnética desde un valor
dado cualquiera a otro valor menor, el signo algebraico de w es negativo y la energía
será cedida por el material.
Figura 1-1: Ciclo de histéresis material magnético [1]
Como se puede observar en la imagen, la curva de histéresis es un lazo cerrado que es
formado por dos curvas, una en la cual los valores de inducción magnética B son
mayores para un H dado, cuando H disminuye que cuando H crece, si bien para una
variación cíclica de H, los valores extremos de B son los mismos una vez el material haya
alcanzado el estado estacionario. Esto indica y como se ve en la figura y siguiendo el
rastro a la región sombreada que la energía absorbida por el material cuando crece la
inducción magnética de B1 a B2 es mayor que la devuelta cuando la inducción magnética
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 23
disminuye de B2 a B1. La diferencia entre estas energías es la magnitud de la pérdida
por histéresis.
Esta energía se disipa en forma de calor durante cada ciclo. Estas pérdidas tienen gran
influencia en el rendimiento, la elevación de temperatura y finalmente los valores del
transformador.
Si un volumen Vol. de material magnético que tiene su flujo distribuido uniformemente en
todos sus puntos y de cual se conoce su lazo de histéresis se somete a una variación
cíclica de frecuencia f hertz, la disipación de energía en unidad de tiempo debida a la
histéresis (pérdida de potencia por histéresis) será:
1.2.2 Pérdidas por corrientes de Eddy
Estas se presentan debido a la variación del flujo magnético dentro del núcleo, que de
acuerdo a la ley de inducción de Faraday induce una tensión (1.20), y en caso de que el
material tenga alguna conductividad, por este circulará una corriente (corriente de
Foucault).
∮
∫
La presencia de estas corrientes en el material dan como consecuencia una pérdida de
energía por efecto joule (I2R). Como la inducción magnética en los materiales
ferromagnéticos suele ser relativamente elevada, y como la resistividad de los materiales
suele ser demasiado grande, estas pérdidas pueden ser significativas si no se toman las
medidas necesarias para disminuir este fenómeno.
Observando la figura 1-2. Donde se encuentra una lámina de material ferromagnético
donde se induce una tensión debido al flujo magnético variable en el tiempo, se puede
afirmar que la corriente de conducción que hay en el núcleo tiene una dirección tal que
crea un flujo que tiende a oponerse a aquel que lo está atravesando. El efecto de estas
24 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
corrientes es apantallar o blindar el material del flujo, dando como resultado una
inducción magnética menor en la región central del bloque que en su superficie. Otra
manera de describir este efecto es decir que el flujo total tiende a concentrarse hacia la
superficie del bloque. Este fenómeno se conoce con el nombre de efecto cortical o efecto
pelicular. [1]
Las pérdidas por corrientes de Foucault que ignora el efecto pelicular de acuerdo a [1]
son:
Donde Vol. es el volumen del material, f la frecuencia del flujo magnético, b es el espesor
de la lámina. En este caso se supone una distribución uniforme del campo magnético en
el núcleo laminado.
El problema de pérdidas es fuertemente dependiente de la geometría, por lo que las
corrientes de Eddy no están determinadas únicamente por la propiedades locales del
material, sino también por las condiciones de frontera de las ecuaciones de Maxwell,
mediante el cual la forma geométrica del elemento juega un rol decisivo. [2]
1.2.3 Pérdidas por corrientes de Eddy. Permeabilidad Compleja
Considerando el blindaje del núcleo cuando existe un flujo variante en el tiempo, se
puede utilizar la fórmula de permeabilidad compleja desarrollada en [10].
La laminación tiene un ancho de b. Los efectos del borde son despreciados (debido a
que el ancho es mucho menor que el espesor). Usando las ecuaciones de Maxwell en el
dominio de la frecuencia (1.5) y (1.6) la ecuación general de onda es encontrada por:
Donde
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 25
Figura 1-2: Corrientes de Eddy. Aproximación a una dimensión [10].
El campo magnético es aplicado en la dirección z, por lo tanto la única componente del
campo magnético es Hz. Hz varia solo en la dirección x: = Hz (x). La corriente inducida
fluye solo en la dirección y, con su variación a lo largo del eje x: = Jy (x) como se
muestra en la figura 1-2. Si σ>>ωε, k se reduce a
En una dimensión la ecuación (1.22) se reduce a:
Para el caso armónico donde ω es la frecuencia angular con condiciones de frontera
Hz(±b,t)=H0ejωt, la solución de 1.25 puede ser representada como
( )
Donde γ s la constate de propagación definida como √ , la cual está
directamente relacionada con la profundidad de penetración √ por medio de
. es la permeabilidad relativa local de la muestra de la laminación en la
26 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
dirección del eje z y σ se refiere a la conductividad de la lámina de acero al silicio. El
promedio de la densidad de flujo magnético en la dirección del eje z ⟨ ⟩ se puede
evaluar en términos del flujo magnético total Φ(t) a través de la sección transversal
como
⟨ ⟩
∫
⟨ ⟩
Así, la permeabilidad efectiva relativa compleja en la dirección y puede ser derivada
como
1.3 Pérdidas en el núcleo. Modelo dinámico de materiales magnéticos
1.3.1 Proceso de magnetización y el efecto Barkhausen
Si se considera la magnetización M, como se ha definido anteriormente ( donde x
es la susceptibilidad del material) es un promedio sobre un volumen que contiene
muchos dominios. Mucha información se pierde en este proceso; por lo que el campo y la
magnetización brindan una descripción incompleta del estado magnético de un cuerpo
ferromagnético. En la escala de los dominios magnéticos, un estado del cuerpo es
definido por su estructura de dominio, y muchas estructuras de dominio pueden existir
para los mismos valores de campo y promedio de magnetización. La razón por la cual
esto puede ser entendido es si consideramos que, en un sistema magnético
macroscópico, existe siempre una cantidad substancial de desorden estructural:
presencia de granos en poli-cristales, dislocaciones y deformaciones de celosía,
fluctuaciones de composición, presencia de inclusiones, rugosidades y variaciones
aleatorias o rugosidades en la superficie de una lámina delgada, etc. Estas fuentes de
desorden se acoplan con la magnetización a través de intercambio, anisotropía, e
interacciones magnetostáticas. El resultado es que el panorama de la energía en donde
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 27
el sistema evoluciona muestra una estructura extremadamente complicada, con un gran
número de mínimos locales y puntos de silla que reflejan la presencia de desorden
estructural. Sin embargo, esta conclusión deja de ser válida sí el campo externo cambia
en el tiempo.
La magnetización está acoplada al campo externo por la energía – , donde
continuamente altera el balance de la energía del sistema cuando es variante en el
tiempo. La estabilidad de una configuración de dominios dados es tarde o temprano
destruida por la variación de campo aplicado. El mínimo local de energía, es
transformado en un punto de silla, la estructura de dominio se vuelve inestable y
espontáneamente evoluciona hacia alguna nueva configuración. Este re-arreglo puede
estar localizado en el espacio, con una pared de segmentos de dominios pequeños
saltando a una posición vecina estable, o puede envolver toda la estructura de dominio
en partes substanciales del cuerpo, como puede ocurrir por instancias cuando nuevos
dominios de magnetización invertida son nucleados. Este mecanismo fundamental es
conocido también por el término de Efecto Barkhausen, luego que en 1919 H.
Barkhausen diera la primera evidencia experimental de estas inestabilidades magnéticas.
El efecto Barkhausen es inmediatamente evidente cuando uno mira la estructura
detallada del voltaje inducido en la bobina secundaria. Cuando el campo aplicado es
variado en el tiempo a una tasa lenta, el voltaje inducido tiene la apariencia mostrada la
figura 1-3.
Vemos una secuencia aleatoria de espinas o picos, comúnmente llamados saltos
Barkhausen. El carácter estocástico de la señal refleja la complejidad que subyace de las
estructuras de dominios y desorden estructural. Aparte de los factores de escala poco
esenciales, el voltaje inducido da el comportamiento en el tiempo de .
Supongamos que la medición es realizada bajo una tasa de campo constante .
Luego el salto Barkhausen será proporcional al diferencial de susceptibilidad a
través de la rama de magnetización donde la señal es detectada. La integral en el tiempo
de la señal Barkhausen nos dará la estructura fina de la curva de magnetización .
28 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Figura 1-3: Saltos Barkhausen [2]
Vemos una secuencia aleatoria de espinas o picos, comúnmente llamados saltos
Barkhausen. El carácter estocástico de la señal refleja la complejidad que subyace de las
estructuras de dominios y desorden estructural. Aparte de los factores de escala poco
esenciales, el voltaje inducido da el comportamiento en el tiempo de .
Supongamos que la medición es realizada bajo una tasa de campo constante .
Luego el salto Barkhausen será proporcional al diferencial de susceptibilidad a
través de la rama de magnetización donde la señal es detectada. La integral en el tiempo
de la señal Barkhausen nos dará la estructura fina de la curva de magnetización .
El carácter intermitente del voltaje Barkhausen resulta en la estructura fina de una
escalera mostrada en la figura anterior (imagen de abajo). Las porciones cercanamente
horizontales de la curva corresponden a intervalos del campo donde la estructura de
dominio mantiene suave, las distorsiones primaverales bajo la presión del campo
aplicado. Y las partes más verticales, por el contrario, representan los puntos donde la
configuración de los dominios se vuelven inestable y de repentinamente saltan a un
nuevo estado. Notamos que esta separación sirve para dar una idea intuitiva del proceso
pero no es muy claro en la señal observada, donde toda una jerarquía de inestabilidades
sobre muchas escalas parece ocurrir.
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 29
La presencia de características aleatorias en el efecto Barkhausen refleja la necesidad
general de métodos y conceptos estadísticos para tratar los procesos de magnetización y
las estructuras de dominio. El punto no es sólo que existen muchos estados asociados
diferentes con los mismos valores de campo y magnetización. Sino también que a lo que
llamamos un caso singular en general corresponde a cierto número de estructuras de
dominio
1.3.2 Fenómeno Dependiente del Tiempo
En la descripción hecha en capítulos pasados, la tasa con la cual el campo externo
variaba no tenía ninguna influencia. El rol del campo externo era meramente llevar al
sistema al umbral de inestabilidad en donde los tiene lugar el salto Barkhausen. Se decía
que cuando el sistema espontáneamente salta a una nueva configuración estable, la
suposición que se realiza es que la evolución del sistema mientras el salto tiene lugar es
de un tiempo tan pequeño que no afecta de ningún modo la tasa a la cual el campo
externo cambia durante el salto. Bajo estas circunstancias, la evolución del sistema es
comprimida o expandida en proporción de la tasa de cambio del campo aplicado en el
tiempo, pero sigue siendo la misma cuando la magnetización es considerada como una
función del campo. El término histéresis independiente de la tasa de cambio es utilizado
para referirse a las curvas de magnetización independientes de la tasa de cambio del
campo.
La histéresis independiente de la tasa de cambio es, sin embargo una aproximación. Los
procesos reales son dependientes de la tasa de cambio en dos aspectos importantes.
Primero, los saltos Barkhausen son siempre controlados por constantes de tiempo
características, que está determinado por el mecanismo mediante el cual la energía
liberada durante el espontáneo reordenamiento es irreversiblemente transformada en
calor. En sistemas metálicos, por ejemplo, este mecanismo es fundamentalmente la
fuente de producción de corrientes de Eddy alrededor de las paredes de domino
movedizas. Cuando la tasa de cambio del campo es lo suficientemente grande para dar
una variación de campo apreciable durante un salto Barkhausen individual, la evolución
de la estructura de dominio cesa para ser una secuencia espontánea de re-arreglos de
dominios, y se acerca a un régimen dinámico forzado impulsado por el campo externo.
30 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Cuando este régimen es alcanzado la curva de magnetización empieza a mostrar cierta
dependencia de la tasa de cambio del campo. El segundo a pesar de mostrar la
dependencia es algo que se sale de materia en este estudio, pues son campos
termodinámicos que no se lograría demostrar nada más la hipótesis inicial y no brindaría
mayor información ni profundidad al estudio concerniente de las pérdidas en el núcleo.
1.3.3 Corrientes de Eddy y pérdidas magnéticas.
Un ejemplo particularmente importante de mecanismo de disipación dado a efectos de la
dependencia de la tasa de cambio son las corrientes de Eddy en sistemas metálicos.
Vamos a considerar los lazos de histéresis de la figura de abajo.
Figura 1-4: Lazos de histéresis para distintas frecuencias de magnetización [2]
Esta figura representa los lazos son de histéresis dinámicos bajo inducción sinusoidal en
aleación de Si-Fe no orientada. Inducción pico es 1T para todos los lazos. Las
frecuencias de magnetización son 1, 50, 200, 400, 1000, 1600 Hz.
Estos lazos fueron medidos en el mismo espécimen de aleación de Si-Fe para diferentes
frecuencias f de oscilación del campo aplicado. Las características más evidentes son el
incremento del área y de la forma de la curva a medida que se aumenta las frecuencias
de magnetización. El área del lazo tiene un significado físico importante ya que
representa la cantidad de energía que se transforma de manera irreversible en calor
durante un ciclo de magnetización. Esto se deriva del hecho discutido más adelante, que
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 31
HadB representa la energía infinitesimal por unidad de volumen inyectada en un
espécimen magnético en el curso del proceso de magnetización. La integral
∮
por lo tanto representa la cantidad de trabajo por unidad de volumen producido por
fuentes externas e irreversiblemente transferido como calor a el baño térmico en un ciclo
de magnetización. La cantidad P es conocida como pérdida de potencia, y P/f como
pérdida por ciclo.
Cuando las corrientes de Eddy representa el mecanismo de disipación dominante, uno
concluye que, sí uno supiese la distribución espacio-tiempo de la densidad de corrientes
de Eddy j(r,t) dentro del cuerpo, entonces se podría calcular inmediatamente la pérdida
como
∫
∫| |
donde es la conductividad eléctrica y V es el volumen del cuerpo. Con el incremento de
las frecuencias, la intensidad de las corrientes de Eddy inducidas se incremente
acordemente, y esto da lugar al incremento en la disipación y lazos más grandes como
se ve en la figura anterior. Como este estamento cualitativo se puede volver cuantitativo
es un problema físico interesante por sí mismo, y tiene consecuencias prácticas
importantes en muchas aplicaciones. La densidad de corrientes de Eddy es tan compleja
como lo son las estructuras de los dominios magnéticos. Verificar el promedio de
espacio-tiempo inmerso dentro de la ecuación (1.31) requiere un análisis detallado del
proceso de magnetización, discutido más adelante. Sin embargo algunas conclusiones
generales se podrán obtener sin necesidad de inmiscuirnos en detalles cuantitativos.
El primer punto a considerar es que la histéresis dependiente de la tasa de cambio
introduce complicaciones adicionales en la descripción de los lazos de histéresis. Para
identificar un lazo de histéresis dinámico no basto con especificar el valor del pico de
32 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
magnetización (Imáx), también es necesario la frecuencia de magnetización así como la
forma de onda de la alimentación; pues no es lo mismo magnetización sinusoidal que
magnetización triangular. Pero en general siempre se especifican estos datos y la forma
de onda es normalmente sinusoidal. Un ejemplo de cómo cambia las pérdidas en la
frecuencia bajo estas condiciones es mostrado en la siguiente figura. Y uno observa que
el comportamiento de las pérdidas no está lejos de la ley
√
donde los coeficientes deben ser funciones el pico de magnetización Imáx.
Figura 1-5: Pérdidas en función de la frecuencia [2]
Es notable que leyes así puedan existir del todo. De hecho, la pérdida, siendo el área del
lazo de histéresis, se puede esperar que dependa de muchos detalles del proceso de
magnetización tomando lugar a lo largo del lazo. Sin embargo, muchos de estos detalles
eventualmente terminan siendo irrelevantes, y sólo pequeñas características dominantes,
descritas por la ley de pérdidas sobreviven. Esto es aún más remarcable cuando uno
considera que la ecuación (1.32) aplica para una gran variedad de materiales magnéticos
con estructuras de dominios diferentes entre sí. Un aspecto de esta generalidad es
representada por la separación de pérdidas. Con esto uno indica que finalmente se
puede descomponer las pérdidas totales a frecuencias y pico de magnetización dados en
la suma de tres contribuciones, conocidas o llamadas pérdida por histéresis, pérdida
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 33
clásica, pérdida exceso. La separación de las pérdidas se puede observar en la misma
estructura de la ecuación (1.32) y así mismo como más adelante se discutirá, la
existencia de tres escalas en el proceso de magnetización.
El avance más importante en el entendimiento de las pérdidas en materiales
ferromagnéticos data de los años de 1940. Durante este periodo, fue reconocido en
general que los dominios existían en materiales no magnetizados, sin embargo, la forma
de los dominios, la manera en los cuales la forma y movimiento de las fronteras con el
campo y stress fue primeramente establecido experimentalmente en [2].
1.3.4 Separación de pérdidas
La escala asociada a la pérdida por histéresis (el término C0 de la ecuación (1.32)) la
escala del efecto Barkhausen, donde las pequeñas paredes de segmentos de dominios
realizan saltos localizados entre mínimos locales de la energía libre del sistema, dando
lugar a corrientes de Eddy localizadas alrededor de los muros de salto. La segunda
contribución es la llamada pérdida clásica (C1f en la ecuación (1.32)). La escala asociada
a este término es la escala asociada a la geometría del espécimen. La pérdida clásica es
la pérdida calculada por las ecuaciones de Maxwell para un material perfectamente
homogéneo con ninguna estructura de dominio. Por lo que en este caso las condiciones
de frontera del problema, por ejemplo, la geometría del espécimen determinará el
resultado. Finalmente la escala asociada a la pérdida por exceso ( √ en la ecuación
(1.32)) es la escala de los dominios magnéticos. La pérdida por exceso surge de las
corrientes de Eddy circulantes alrededor de las paredes de los dominios activos que
están en movimiento debido a la acción del campo externo.
Las tres escalas que se acaban de mencionar están activas al mismo tiempo, y no es
nada obvio por qué la existencia de estas escalas debe resultar en el hecho en que el
promedio espacio-tiempo de la ecuación (1.31) se descompone en la suma de estos tres
términos. Efectivamente, el hecho por lo que resulta ser realidad el caso es la razón
principal por lo cual es posible resolver leyes generales para la descripción de las
pérdidas. [2]
34 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
El concepto de separación de pérdidas describe la potencia de pérdidas totales para una
frecuencia de magnetización dada como se muestra en (1.33), donde las pérdidas totales
son divididas en tres partes Phys, Pcls, yPexc. Phys es las pérdidas por histéresis y Pcls es
conocida como las pérdidas clásicas por corrientes de Eddy y son calculadas asumiendo
una magnetización uniforme. Cuando los valores calculados de histéresis y corrientes de
Eddy clásicas se suman, este resultado es significativamente menor que las pérdidas
medidas. Esta diferencia es conocida como pérdidas de exceso o anormales (Pexc).
Las pérdidas de exceso se producen debido al hecho que cualquier material
ferromagnético está compuesto de dominios auto saturados, y, por lo tanto, el patrón de
flujo magnético microscópico en el material no es uniforme ni continua como se asume
en el cálculo de las pérdidas por corrientes de Eddy clásicas. Los beneficios de
magnetización por el movimientos de las fronteras de los dominios y, si los dominios son
relativamente grandes, las corrientes de Eddy inducidas en las vecindades de los
movimientos de las fronteras serán diferentes del patrón clásico simple. La intensidad de
flujo magnético total Htot puede ser expresado como en (1.34).
La potencia de pérdidas por unidad de volumen debido a la clásica corrientes de Eddy es
proporcional a la tasa de cambio de la magnetización. Este puede ser expresado como
en (1.35), donde Wcls es la energía perdida por ciclo y por unidad de volumen, B es la
densidad de flujo, D es el ancho de las laminaciones, ρ es la resistividad, y β es una
constante. La energía perdida debido a las corrientes de Eddy clásicas por ciclo y por
unidad de volumen puede ser representada en el modelo con un campo magnético
equivalente proporcional a dB/dt. Así Hcls representa una intensidad de campo magnético
equivalente a las pérdidas por corrientes de Eddy clásicas. Entonces, Hcls en (1.34)
puede ser expresada como Hcls=k1(dB/dt), donde k1 es una constante.
(
)
1. Teoría de pérdidas en medios materiales 35
La potencia de pérdidas de exceso puede ser expresada como en (1.36), donde G es
una constante, A es el área de la sección transversal, y H0 es un parámetro que
representa el potencial interno que se establece en los muros de los dominios. Esta
pérdida de energía puede ser representada por un campo magnético equivalente
proporcional a (dB/dt)1/2. Así, Hexc en (1.34) puede ser expresado como Hexc=k2(dB/dt)1/2,
donde k2 es una constante.
(
)
(
)
2. Modelos de núcleos en el dominio de la frecuencia.
Este capítulo repasa los estudios hechos previamente en cuanto a la caracterización de
pérdidas en núcleos magnéticos, se hace una revisión de las metodologías expuestas
por diversos autores y los distintos enfoques.
La literatura concerniente a la aplicación de materiales ferromagnéticos incluye tanto en
el modelado teórico del material como los actuales métodos de medida usados para
validar estos modelos. Estos esfuerzos pueden ser divididos a grandes rasgos en la
caracterización de [7]:
Características magnéticas (permeabilidad).
Comportamiento de las pérdidas (modelos de histéresis, conductividad, modelos
de corrientes de Eddy).
Comportamiento eléctrico (constante dieléctrica, modelo de capacitancia).
Los primeros modelos circuitales del núcleo del transformador no tenían en cuenta la
variación de la resistencia en función de la frecuencia como también de la distribución de
campo. En el trabajo de Mombello [9] se analiza la influencia del núcleo de hierro durante
fenómenos transitorios y de resonancia, en especial en lo que se refiere a las pérdidas.
Por medio de pruebas sobre una bobina con núcleo de aire y núcleo de hierro se observa
que el equivalente medido de resistencia es diferente, por lo tanto concluye que el núcleo
tiene influencia sobre el modelo y no se debe despreciar a frecuencias mayores a 10
kHz, como antes se pensaba. Sin embargo el valor de resistencia es obtenido por medio
de mediciones.
38 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
La investigación de Berglung [8] se centra en cómo se comportarían las pérdidas en los
transformadores de potencia cuando la cantidad de carga que inyecta armónicos a la red
genere ondas de tensión y corriente de frecuencia distinta a la frecuencia nominal.
Modelando el núcleo con ecuaciones a partir de la reluctancia y resistencia, las pérdidas
calculadas se hacen a partir de una aproximación de la curva de histéresis, utilizando la
metodología descrita por Staff. El modelo desarrollado por Berglung tiene un
comportamiento adecuado para bajas frecuencias.
Otro estudio ésta vez basado en el método de elementos finitos es el realizado por
Wilcox, quien con el objetivo de observar el comportamiento de la densidad de flujo
magnético dentro del núcleo del transformador en función de la frecuencia, reduce la
geometría del transformador real de tres dimensiones (3D) a un problema en dos
dimensiones (2D) con eje de simetría. Esto con el fin de reducir recursos
computacionales, asegurando el mismo flujo magnético en el interior del núcleo,
conservando en ambos modelos el mismo valor de reluctancia total. [10]
Posteriormente, Bjerkan [10] modela el núcleo para condiciones de operación de la
prueba FRA. No toma en cuenta las pérdidas por histéresis, ya que trabaja a valores
bajos de campo magnético, donde el material está en la zona lineal de la curva B(H). El
núcleo se modela en un software de FEM con conductividad cero (0), calculando las
pérdidas por corrientes de Eddy analíticamente, por falta de recursos computacionales.
No se consideran las corrientes interlaminares debido a que estas adquieren importancia
a muy altas frecuencias 250 MHz.
Por último Ribbenfjard [11], basado en los estudios realizados por Bertotti, realiza un
modelo del transformador en el dominio del tiempo, teniendo en cuenta los tres tipos de
pérdidas (estáticas por histéresis, clásicas por corrientes de Eddy y por exceso) y para
condiciones nominales de operación, utilizando circuitos de Cauer.
3. Consideraciones y parámetros de simulación 39
3. Consideraciones y parámetros de simulación.
La caracterización se realizó utilizando el análisis de elementos finitos. Este método
numérico ha tomado gran importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales
parciales sobre geometrías complejas.
Se escogió porque es capaz de obtener como resultado aproximaciones de gran
precisión, facilitando el proceso de cálculo cuando la solución analítica de las ecuaciones
del problema se convierte en proceso muy complejo. Además, una buena simulación
ahorra dinero y tiempo en la implementación de pruebas porque permite modificar los
diferentes parámetros que componen un modelo con facilidad, haciendo más sencilla la
evaluación y análisis de distintos modelos.
El método consiste en dividir la geometría en pequeñas secciones triangulares, en donde
los vértices de aquellos triángulos se llaman nodos, y como resultado se obtiene una
malla. El sistema de ecuaciones diferenciales que rige el medio continuo ahora pasa a
ser un conjunto de ecuaciones algebraicas que pueden ser o no lineales.
3.1 Características transformador de distribución
La simulación se realizó sobre un transformador de distribución típico cuyas
características se muestran a continuación:
Potencia: 2500 kVA
Tipo de conexión: Dyn5
Tensión primaria: 34.5 kV
Tensión secundaria: 4335 / 2502 V
40 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Frecuencia: 60Hz
Corriente primaria: 41.8 A
Corriente secundaria: 333 A
Tipo de refrigeración: ONAN
3.2 Dimensiones y geometría del núcleo
Las dimensiones del núcleo fueron proporcionadas por el fabricante (figura 3-1). Tiene
1,420 m de largo y 1,338 m de alto; la bobina es de baja tensión y está separada 16 mm
de la pierna central.
El núcleo de un transformador de distribución de éste tamaño está construido por un
conjunto de láminas delgadas (por lo general entre 0.23-0.30 mm de grosor [13])
apiladas, aisladas eléctricamente entre ellas con el objetivo de disminuir las corrientes de
Foucault.
Debido a la complejidad del enmallado (por lo delgadas que llegan a ser las láminas) y la
gran cantidad de recursos necesarios para la simulación del núcleo con estas
características, se optó por utilizar un núcleo macizo.
Figura 3-1: Dimensiones del núcleo [mm]
3. Consideraciones y parámetros de simulación 41
En el modelo de núcleo de Bjerkan [10] se hace un análisis matemático y se determina el
modelo con los efectos de la laminación mediante la formulación de la ecuación de
permeabilidad efectiva en función de la frecuencia (3.1).
En donde y √ representa la profundidad superficial del material y
b es el grosor de la lámina. La ecuación (3.1) es obtenida a partir de la solución de las
ecuaciones de Maxwell, incluyendo únicamente el efecto de las corrientes de Eddy.
3.3 Propiedades del material
3.3.1 Permeabilidad y conductividad
En un material magnético existen tres tipos de pérdidas debido a la acción de un flujo
magnético variante en el tiempo: Estáticas, clásicas y por exceso [2]. Estas pérdidas
existen a distintas escalas de espacio-tiempo dentro del material.
Las pérdidas por histéresis son causadas principalmente por la rotación irreversible de la
magnetización y depende únicamente de la composición química del material, de su
estructura microscópica y de las tensiones mecánicas internas del material del núcleo [2].
Las pérdidas por corrientes de Eddy se producen por la corriente inducida en el núcleo
bajo la influencia de un flujo magnético variante en el tiempo. Se pueden determinar por
la conductividad del material del núcleo y por la geometría de la sección transversal a
través del cual fluyen las corrientes [2].
Finalmente, las pérdidas por exceso están en la escala de los dominios magnéticos, y
surgen de las corrientes de Eddy circulantes alrededor de las paredes de los dominios
activos que están en movimiento debido a la acción del campo externo [2].
El conjunto de pérdidas son debidas al fenómeno intrínseco de interdependencia entre la
histéresis y las corrientes de Eddy generadas en cada ciclo de magnetización [1]. La
energía que se transforma en calor debido a las pérdidas en un ciclo se podría obtener
resolviendo la siguiente ecuación [2]:
42 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
∫
∫| |
En donde es la densidad de las corrientes de Eddy, f es la frecuencia de
magnetización, y σ es la conductividad del material. Debido a la complejidad del proceso
de resolución de esta ecuación no se utilizó en este análisis.
Para este caso, la contribución al lazo de histéresis debido a la intensidad de campo
magnético causada por las corrientes de Eddy de tipo estático y de exceso, no se
observarán dado que al nivel de tensión al que se trabajan las pruebas de análisis FRA,
la inducción de flujo magnético es muy baja, encontrando el punto de operación en la
parte inicial de la curva B(H), y a este nivel predominan las corrientes de Eddy clásicas,
además estas son mayores cuando aumenta la frecuencia [2].
En consecuencia con el planteamiento anterior, dentro de las propiedades del material se
utilizó la permeabilidad compleja descrita en la ecuación (3.1), que se refiere
exclusivamente al efecto de las corrientes de Eddy clásicas
De la ecuación (3.1) se obtienen las dos funciones de permeabilidades en función de la
frecuencia, real y compleja:
( (
) (
)
( ) (
))
( (
) (
)
( ) (
))
Esto se realiza con el objetivo de poder introducirlas dentro del software de elementos
finitos, así como para ver su comportamiento de manera individual en la frecuencia
(figura 3.2).
3. Consideraciones y parámetros de simulación 43
El valor de permeabilidad relativa es el que se presenta al inicio de la curva de
magnetización. Este valor es muy difícil de obtener ya que ningún fabricante lo
proporciona, pero se conoce que oscila entre 50 y 1000 [12]. Para este trabajo se
simularon tres valores de permeabilidad inicial 100, 500 y 1000.
Figura 3.2: Curva de permeabilidad (real e imaginaria).
3.3.2 Anisotropía
El núcleo de los transformadores de distribución es de grano orientado; en el software de
elementos finitos existe la posibilidad de ingresar la permeabilidad relativa en dirección x,
y y z.
Esta opción se implementó para el modelo en 2 dimensiones con el fin de observar las
diferencias entre un núcleo homogéneo y uno anisotrópico.
La anisotropía se ingresa como una matriz de permeabilidad.
[
]
44 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Obtener cualquier valor de permeabilidad inicial es complicado, entonces se ingresaron
valores recomendados en [12]. es el coeficiente de apilamiento y , y
[ ( ) ].
3.4 Fuente de alimentación
Se escogió el estudio electromagnético acoplado a un circuito eléctrico, de esta manera
el simulador resuelve las ecuaciones de Maxwell en la geometría indicada, la excitación
se realizó aplicando tensión a la bobina por medio de una fuente sinusoidal de 10 Vpico
con impedancia de 50 Ω, conectada a los terminales de la bobina como se muestra en la
figura 3-3.
Figura 3-3: Circuito de excitación y propiedades de la bobina.
3.5 Definición de la malla
El enmallado se hizo con la precaución de no exceder 2.000.000 de grados de libertad,
por recursos computacionales. La sección de aire y el bobinado se hizo con un nivel de
malla menor que la del núcleo, para agilizar los tiempos de cálculo, la malla para el
núcleo se construyó de tal manera que garantiza exactitud en los resultados.
3. Consideraciones y parámetros de simulación 45
Figura 3-4: Malla del núcleo en tres dimensiones.
4. Análisis y Resultados
En primer lugar se revisó la importancia de la anisotropía del material para incluirla en las
siguientes simulaciones. Luego, se trabajaron geometrías en tres dimensiones y una
representación del transformador en dos dimensiones con eje simétrico, de tal forma que
tuviera la misma reluctancia del primer caso. En la figura 4.1 se puede observar la
distribución de densidad de campo magnético y las líneas de flujo para 60 Hz. La
concentración de campo en la pierna donde se encuentra la bobina es mayor.
Figura 4.1: Densidad de flujo magnético a 60 Hz
4.1 Efecto de la anisotropía del material en las pérdidas.
Debido a que los núcleos magnéticos de los transformadores de distribución son de
grano orientado, la permeabilidad no es la misma en las tres componentes espaciales.
Considerando el material no homogéneo, se simuló permeabilidad anisotrópica, y las
pérdidas variaron únicamente a bajas frecuencias (con un error máximo es de 0.382%);
48 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
la anisotropía del material no cambia considerablemente el valor de las pérdidas y no se
tomó en cuenta esta propiedad para simular los demás casos.
Gráfica 4-1: Pérdidas material anisotrópico
La diferencia en las pérdidas se observa únicamente a baja frecuencia, el error máximo
obtenido es 0.382%, por lo que se desprecia la no homogeneidad del material para las
demás simulaciones.
4.2 Resultados geometría tres dimensiones
En la gráfica 3-2 se muestran el comportamiento de las pérdidas obtenidas para el
transformador simulado; se observa que estas son crecientes a bajas frecuencias, luego
toman un valor casi constante para un rango intermedio de frecuencia y comienzan a
decaer para la frecuencia en la que la profundidad de penetración es menor que el ancho
de la lámina del núcleo.
4. Análisis y Resultados 49
Gráfica 4-2: Pérdidas caso tres dimensiones
4.3 Resultados dos dimensiones (eje simétrico)
Para reducir los costos computacionales se optó por simular el núcleo en dos
dimensiones con eje de simetría, la simplificación de geometría de tres dimensiones a
dos dimensiones se realiza de tal forma que la reluctancia para ambos casos sea la
misma.
En la gráfica 3-3 se muestra las pérdidas el caso de eje simétrico. Se observa que tienen
la misma forma del caso en tres dimensiones.
Gráfica 4-3: Pérdidas caso dos dimensiones eje simétrico
50 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Cabe anotar que las pérdidas calculadas son por unidad de longitud, por lo tanto si se
quisiera conocer la totalidad de las pérdidas se tiene que multiplicar por la longitud. (2πr)
4.4 Efecto cambios en el espesor de la lámina.
En la gráfica 3-4 se muestran las pérdidas para distintos anchos de lámina con una
permeabilidad relativa inicial de 100; se observa que las pérdidas aumentan a medida
que se incrementa el ancho de la lámina. Este resultado se espera ya que a menores
longitudes de la lámina son menores las corrientes de Eddy.
Gráfica 4-4: Pérdidas para distintos ancho de lámina
4.5 Efecto cambios en la permeabilidad inicial.
En la gráfica 4-5 se muestran las pérdidas para distintas permeabilidades del material; a
frecuencias bajas la magnitud de las pérdidas es mayor para permeabilidades altas y
para altas frecuencias el comportamiento cambia, siendo mayores las pérdidas para
permeabilidades bajas. Este comportamiento se atribuye al ancho de banda de la
permeabilidad real, que es mayor para menores permeabilidades, (gráfica 4-6), como
también a la frecuencia en los cuales alcanza su máximo valor la permeabilidad
imaginaria, (gráfica 4-7).
4. Análisis y Resultados 51
Gráfica 4-5: Pérdidas para distintas permeabilidades relativas
Gráfica 4-6: Permeabilidad real en función de la frecuencia
Gráfica 4-7: Permeabilidad imaginaria en función de la frecuencia
52 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
4.6 Estimación analítica cálculo de pérdidas.
De acuerdo a la fórmula de pérdidas por corrientes de Eddy expuesta en [1], estas se
calculan como:
Donde C es una constante que depende de la resistividad (ρ) y el volumen del material, f
la frecuencia y b el ancho de la lámina. Al aplicar esta fórmula a los resultados obtenidos
por las simulaciones, se observa que estos responden muy bien a bajas frecuencias,
aproximadamente hasta la frecuencia en la cual la profundidad de penetración es igual al
ancho de la lámina (línea roja gráfica 4-8). En este caso la permeabilidad inicial es de
1000, y el ancho de la lámina de 0.27mm.
Gráfica 4-8: Pérdidas por corrientes de Eddy. Simuladas y analíticas (4.1).
Curiosamente, se encuentra que la ecuación (4.1) y las fórmulas de otros autores que
intentan describir el comportamiento de estas pérdidas, no tienen en consideración el
efecto de la profundidad de penetración mostrada en la gráfica 4-9, donde la línea azul
representa la longitud de penetración y la línea roja el ancho de la lámina.
4. Análisis y Resultados 53
Gráfica 4-9: Profundidad de penetración para una lámina metálica.
Se observó que la pendiente con la cual decaen las pérdidas a altas frecuencias es muy
similar a la pendiente de la profundidad de penetración (aproximación logarítmica con
magnitud de pendiente de -0.023). Teniendo en cuenta que la ecuación (4.1) no
representa adecuadamente las pérdidas para el rango de frecuencia analizada, se optó
introducir dentro de la fórmula el δ. Luego se divide el intervalo de frecuencias en dos
zonas y para cada una obtener una ecuación que represente con la suficiente exactitud
las pérdidas obtenidas por medio de simulaciones. La primera franja está entre 60 Hz y la
frecuencia para la cual la profundidad de penetración es 3/4 partes del ancho de la
lámina. La segunda y última zona está definida desde el límite superior de la primera
zona hasta los 2 MHz.
Por ende el resultado sería una función definida a trozos definida de la siguiente manera:
→
→
En la gráfica 4-10 se muestra el resultado de utilizar esta función a trozos para el caso en
el que la permeabilidad inicial μr es de 500, y el ancho de la lámina b es de 0.27mm.
54 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Gráfica 4-10: Comparación pérdidas simuladas y pérdidas calculadas analíticamente
(4.2) y (4.3)
Se calcularon las pérdidas para tres laminaciones y tres permeabilidades relativas, los
coeficientes de correlación de las curvas obtenidas analíticamente y las obtenidas por las
simulaciones se muestran en la tabla 1.
Tabla 4-1: Coeficientes de correlación pérdidas obtenidas por la simulación y pérdidas
utilizando las fórmulas (4.2) y (4.3)
μr=100 μr=500 μr=1000
0.23 mm 0.9887 0.9915 0.9867
0.27 mm 0.9980 0.9687 0.9964
0.30 mm 0.9986 0.9983 0.9825
Los valores obtenidos de correlación son muy cercanos a 1, luego las ecuaciones (4.2) y
(4.3) describen adecuadamente el comportamiento de las pérdidas en la frecuencia.
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
En este trabajo de grado se determinó el comportamiento de las pérdidas del núcleo de
un transformador de distribución para análisis FRA, en función de la geometría y
propiedades del material.
Se estableció una ecuación que describe el comportamiento de las pérdidas en función
de la frecuencia, con un alto nivel de correlación entre la formulación analítica y las
simulaciones realizadas.
Las pérdidas en el núcleo a niveles de pequeña señal tienen gran dependencia de
características físicas como son la permeabilidad y el espesor de las láminas.
La determinación de pérdidas en el núcleo depende del valor de la permeabilidad inicial y
de la resistividad de las láminas.
La simulación por medio del método elementos finitos (FEM) es una potente herramienta
para el análisis de problemas electromagnéticos en función de la frecuencia.
La simulaciones en FEM 2D es adecuada para el análisis del comportamiento de las
pérdidas en el núcleo, debido a que las simulaciones en 3D requiere altos recursos
computacionales.
56 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
5.2 Recomendaciones
Dentro del marco del desarrollo del proyecto de técnicas de diagnóstico en
transformadores de distribución, los proyectos futuros a realizar son:
Modelamiento del transformador de distribución para el análisis de respuesta en
frecuencia.
Para el correcto desarrollo del trabajo anterior es necesario hacer un adecuado
modelamiento de la bobina, es por esto que se propone la realización del siguiente
proyecto.
Caracterización de pérdidas en los devanados del núcleo del transformador de
distribución
A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM)
Este método nos permite modelar los campos eléctricos y magnéticos de las láminas del
transformador en estado estacionario. Para determinar el campo eléctrico dentro del
núcleo del transformador es necesario encontrar la distribución de potencial dentro de la
región correspondiente. Este potencial u está gobernado por la ecuación de Laplace,
De la misma forma podemos utilizar el método para poder resolver la ecuación de
Poisson, con el cual podemos modelar campos magnéticos:
El análisis de elementos finitos de cualquier problema requiere básicamente cuatro
pasos1,2:
Discretizar la región solución en un número finito de subregiones o elementos.
Derivar las ecuaciones que rigen un elemento típico.
Montaje de todos los elementos en la región solución.
Solucionar el sistema de ecuaciones obtenido.
1 S.J. Amodeo., “Modelado de Sistemas Electromagnéticos por el método de elementos
finitos”, Revista Argentina de trabajos Estudiantiles” Vol. I –N° 1- Febrero 2006.
2 Sadiku, Matthew N.O., “A Simple Introduction to Finite Element Analysis of
Electromagnetic Problems”, IEEE TRANSACTIONS ON EDUCATION, Vol. 32 (2), (1989).
58 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
A continuación se explican brevemente cada uno de los pasos anteriores:
DISCRETIZAR LA REGIÓN SOLUCIÓN EN UN NÚMERO FINITO DE SUBREGIONES
O ELEMENTOS.
Se divide la región solución en un número finito de elementos como se muestra en la
figura 1, es necesario que los elementos no se superpongan.
La forma más común de aproximación para Ve dentro de un elemento está dada por
Para elementos triangulares y
Para elementos cuadrilaterales. El potencial Ve en general es diferente de cero dentro del
elemento e y cero fuera del elemento e. Se prefiere el utilizar elementos triangulares. Hay
que tener en cuenta que asumimos una variación lineal de potencial dentro del elemento
triangular como en (A.3) es la misma como asumir que el campo eléctrico es uniforme
dentro del elemento.
ECUACIONES QUE RIGEN A LOS ELEMENTOS
Considere un elemento triangular típico como se muestra en la figura A-1
El potencial Ve1, Ve2 y Ve3 en los nodos 1,2 y 3 respectivamente, son obtenidos usando
(A.2)
[
] [
] [ ]
A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM) 59
Figura A-1: elemento triangular típico, la numeración local de los nodos 1-2-3 debe estar
en el sentido anti horario como se indica3
Los coeficientes a, b, y c son determinados de la ecuación (A.5) como:
[ ] [
]
[
]
Solucionando (A.6) y sustituyendo su resultado en (A.2) se obtiene,
[ ]
[
] [
] ( 7)
La expresión (A.7) es de gran importancia porque nos permite encontrar el valor de
potencial V en cualquier punto (x,y). Además este valor sólo depende de los potenciales
conocidos Ve1, Ve2 y Ve3, y de las coordenadas de los vértices del triángulo. Otra forma de
expresar la ecuación (A.7) es de la siguiente manera:
∑
Donde
[ ]
[ ]
60 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
[ ]
Y A es el área del elemento e. Las expresiones dadas en (A.9) cumplen con las
siguientes propiedades:
( ) [
∑
La energía asociada por unidad de longitud asociada con el elemento e está dada por
∫ | |
∫ | |
Donde se asume una región solución de dos dimensiones libre de carga (ρs = 0),
sustituyendo (A.8) en (A.11) obtenemos
∑∑ [∫ ]
Se define la matriz de rigidez,
[ ]
[
]
Donde los elementos Cij(e) se calculan como,
∫
Con esto se puede escribir (A.12) en forma matricial
A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM) 61
[ ]
[ ][ ]
Donde [ ] denota la transpuesta de la matriz de potenciales
[ ] [
]
MONTAJE DE TODOS LOS ELEMENTOS EN LA REGIÓN SOLUCIÓN
Al tener las ecuaciones que rigen cada elemento se procede a unir todos los elementos
de la región solución, de esta forma la energía total es calculada como la suma de las
energías de cada elemento.
∑
[ ] [ ][ ]
Donde
[ ] [
]
n es el número de nodos, N es el número de elementos, y [C] se llama la matriz global de
coeficientes, para entender como se obtiene [C] a partir de la matriz de rigidez dada en
(A.13) se procede a hacer el montaje de dos elementos.
Al unir dos elementos triangulares mostrados en la figura A-2(a) se obtiene una
estructura compuesta como se muestra en la figura A-2(b) debido a que cada triángulo
desconectado tiene tres potenciales de nodo, los dos elementos separados tienen seis
potenciales de nodo asociado. Estos pueden describirse por un vector columna:
62 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
[
]
Donde el subíndice des indica que los elementos son considerados desconectados
eléctricamente.
Figura A-2: Unión de dos elementos: (a) Par de elementos eléctricamente
desconectados. (b) Los mismos elementos desconectados y reenumerados.
La energía total de estos dos elementos es
[ ]
[ ][ ]
Donde
[
]
Es la matriz Dirichlet del par de elementos desconectados. Para obtener una expresión
que me permita hallar la energía almacenada cuando los elementos están
A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM) 63
desconectados partimos de que se debe cumplir la condición de continuidad del potencial
en los vértices donde se unen los dos elementos, de esta forma en la unión de los dos
elementos mostados en la figura A-2(b) se parte de que los nodos 1 y 6 de la figura A-
2(a) deben tener el mismo potencial, igualmente se debe cumplir este requerimeinto para
los nodos 2 y 4. Ahora se procede por medio de una matriz [D] a determinar una
expresión que permita obtener una relación entre los potenciales de los elementos
desconectados y conectados
[ ] [ ][ ]
Para este caso en particular (A.22) queda de la siguiente manera
[
]
[
]
[
]
Sustituyendo (A.22) en (A.20), la energía para el caso conectado queda
[ ]
[ ][ ]
Donde
[ ] [ ] [ ][ ]
Representa la matriz del problema conectado. Para el caso expuesto [Ccon] equivale a
[ ]
[
]
64 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
De (A.26) se puede observar que para construir la matriz [Ccon] no es necesario crear la
matriz [D], sino que se deben sumar los elementos correspondientes.
SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES OBTENIDO
Teniendo en cuenta el principio de mínima energía el cual satisface las ecuaciones de
Laplace (o Poisson), se requiere que las derivadas parciales de W con respecto a cada
nodo de potencial sean cero
Donde n es el número de nodos de la región solución. Para dar solución al problema se
parte del hecho que se conoce el potencial en algunos nodos de la malla, por lo tanto se
fracciona el vector de potenciales entre aquellos libres de variar y los que son
preestablecidos. La ecuación (A.17) queda
[ ] [
] [
]
Donde los subíndices f y p, se refiere a los nodos de potenciales libres y fijos. Dado que
los valores de Vp son conocidos, sólo es necesario derivar con respecto a Vf , de esta
manera al aplicar la expresión de (A.27) a (A.29)
[ ] [
]
O
[ ][ ] [ ][ ]
Esta ecuación puede ser escrita como
[ ][ ] [ ]
O
A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM) 65
[ ] [ ] [ ]
Donde [V] = [Vf], [A]= [Cff], [B]= -[Cfp][ [Vp]. De esta manera podemos calcular los
potenciales por medio de la técnica de eliminación gaussiana.
B. Anexo: Análisis de respuesta en Frecuencia (FRA)
El análisis de respuesta en frecuencia (FRA por sus siglas en inglés) es una técnica muy
útil para el diagnóstico de fallas en los transformadores. Esta consiste en la medición de
la impedancia de un devanado del transformador sobre un rango de frecuencia para
luego comparar los resultados con una referencia. Las diferencias pueden indicar daños
en el transformador, que se puede investigar más a fondo con el uso de otras técnicas o
por una inspección interna.
Hay dos formas de implementar la amplia gama de frecuencias necesarias, ya sea
inyectando un impulso en el devanado o por medio de una señal sinusoidal con barrido
en frecuencia. Entre las ventajas que presenta el método por inyección de impulso es
que los tiempos de medición son más cortos. Mientras que el método de barrido en
frecuencia presenta las siguientes ventajas:
Mejor relación de señal a ruido.
Igual, o casi igual, la exactitud y precisión en todo el rango de medida.
Menor equipo de medición para hacer las pruebas.
Inyección de una amplia gama de frecuencias.
MÉTODO DE MEDIDA
El método de barrido en frecuencias requiere de un analizador de redes para generar la
señal, tomar las medidas, y manipular los resultados. El circuito de medida básico se
muestra en la figura B-1.
68 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
Figura B.1: Circuito de medida [14]
La impedancia de prueba, en este caso ZT, la impedancia de prueba estandarizad, en
este caso la impedancia de los cables de medida Zs. La señal inyectada S, le medida de
referencia es R y la medición de prueba es T.
Existen diferentes métodos para presentar los resultados, en este caso se usa la forma
módulo-argumento.
El módulo es definido como:
(
)
O su equivalente,
(
)
El argumento es definido como
(
)
Las curvas se verán modificadas a bajas frecuencias (menores a 5 kHz) cuando se
presenta un problema en el núcleo.
Cambios menores a 3 dB comparados con la línea de base se pueden considerar
normales y dentro de la tolerancia.
De 5 Hz a kHz cambios de +/- 3 dB pueden indicar un bobinado abierto o cortocircuitado,
magnetismo residual o movimientos en el núcleo.
B. Anexo: Análisis de respuesta en frecuencia (FRA) 69
De 50 Hz a 20 kHz cambios de +/- 3 dB puede indicar deformaciones dentro de un
bobinado3.
MÉTODOS DE COMPARACIÓN
La comparación se hace superponiendo las gráficas de respuesta en frecuencia y mirar
las diferencias como por ejemplo:
Cambios en la forma de la curva.
Creación de nuevas frecuencias de resonancia o eliminación de las existentes.
Grandes cambios en las frecuencias de resonancia existentes.
3 CHEDID, Sergio Alejandro. Análisis de Respuesta en Frecuencia (FRA) para
Evaluación de desplazamientos y Deformaciones de devanados en Transformadores de
Potencia. 5to Congreso Uruguayo de Mantenimiento, Gestión de Activos y Confiabilidad
URUMAN 2008 - Montevideo – Uruguay
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72 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución
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