SEP SEIT DGIT
~ ~
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO
TECNOL~GICO
cenidet “ANÁLISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN
APARATO PARA DETERMINAR LA CONDUCTIVIDAD
TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES”
T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
EN INGENIERÍA MECÁNICA P R E S E N T A:
ING. JESÚS PERFECTO XAMÁN VILLASEÑOR
DIRECTORES: M.F. LEONEL LIRA CORTÉS (cenidet)
M.C. YVONNE CHÁVEZ CHENA (cenidet)
CUERNAVACA, MORELOS.
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
ACADEMIA DE LA MAESTRiA EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECÁNICA
Cuernavaca, Mor., 30 de agosto de 1999
DR JUAN MANUEL RlCANO CASTILLO DIRECTOR DEL CENIDET P R E S E N T E
AT" DR DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK JEFE DEL DEPTO DE ING MECANICA
P R E S E N T E
Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, despues de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:
i 6 ~ ~ Á ~ ~ ~ ~ ~ DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN APARATO PARA DETERMINAR LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES"
Desarrollado por el Ing. Jesús Perfecto Xaman Villaseñor, y habiendo r,i.iniplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.
Sin otro particular, quedamos de usted.
*
A t e n t a m e n t e COMlSlON REVISORA -
DR. GUSTAVO URQUIZA BELTRAN
M.C. L O EL LIRA CORTÉS
INTERIOR INTERNADO PALMIRA S/N, CUERNAVACA. MClh'. MEXICO APARTADO POSTAL 4-224 CP 62450. CUERNAVACA. TELS. (7311276 13. 122314.187741. FAX (73) 1 2 2 4 3 4 ~ I: 76 13 EMAIL cenide12~inforel.nel.mx
M.C.kVONNE CHAVEZ CHENA .. .
cenidef
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
SUBDIRECCI~N ACADÉMICA
Cuernavaca, Mor. a 6 de septiembre de 1999.
ING. JESUS PERFECTO XAMAN VILLASEÑOR Candidato al Grado de Maestro En Ciencias en Ingeniería Mecánica P R E S E N TE.
Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulado:
ANALISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN APARATO PARA DETERMINAR LA CONDUCTIVIDAD TERMICA DE MATERIALES AISLANTES"
Y habiendo cumplido las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorización para que proceda la impresión de la misma, como requisito para la obtención del grado.
Sin otro particular, quedo de usted
A t e n t a m e n t e .
DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASlK JEFE DEL DEPTO. DE ING. MECANICA
DEL CENIDET
C.C.P.: Serv. Escolares Expediente.
INTERIOR IMERN*DO PUMiRh W. CUERNAVACA. MOR sitSK0 APARTADO POSTAL 1-164 CP 61010. CUERNAVACA. E L F . Y FAX O 1 1731 12 16 I1 cenidet
DEDICATORIAS
Dedico este trabajo:
A mis padres: Nereyda y Perfecto, por haberme dado lo mas preciado, la vida.
A mi esposa: Mónica Mérida Pedroza, por haberme comprendido y aceptado desde el momento de conocemos.
A mis hermanos: Lucina, Mireya, Layday Ernesto, por el apoyo brindado en la continuación de mis estudios.
A mis amigos: Leone1 Lira, José Medina, Manuel Sánchez, Rubén Villaseñor, Edgar Santos, J. Manuel Morales, Jorge Ovidio y Jorge Bedolla, por todos los buenos y malos momentos que compartimos.
AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer:
A Dios por ayudarme a alcanzar este sueño.
De manera muy especial a mis asesores: M. F. Leone1 Lira Cortés M.C. Yvonne Chávez Chena
Por valiosa ayuda e incondiconal apoyo.
Al jurado revisor de este estudio por sus comentarios y sugerencias.
A mis familiares y amigos por su cariño y conjianza.
A Mónica, por su gran amor y paciencia aún en los momentos más dtfíciles.
Al Cenidet, por brindarme la oportunidad de lograr una meta más en mi vida profesional.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo jinanciero recibido.
CONTENIDO
Lista de Figuras Lista de Tablas Lista de Símbolos Reanmen
CAP~TULO 1 INTRODUCCIÓN
1.1 .-Introducción c
1,2.-Justificación
1,3.-Objetivo y alcance
1.4.-Estado del arte
1.4.1 .-Historia del APCG en el NlST
1.4.2.-APCG con una fuenie de calor lineal
1.4.3 .-Antecedentes
CAPÍTULO 2 MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
2. I .-Introducción
2.2.-Modelo fisico y matemático para la placa caliente del APCG
2.3.- Modelo fisico y matemático para la guarda del APCG
CAPITULO 3 ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG
3.1 .-Introducción
3.2.-Casos experimentales en el APCG
Pág
I I1
I11
VI
1
2
3
3
3
5 I
13
14
20
25
25
Pág
3.2.1.-Caso 1
3.2.2.-Caso 2
3.2.3.-Caso 3
3.2.4.-Caso 4
3.2.5.-Caso 5
3.3.-Descripción del dispositivo esperimental
3.3.1 .-Descripción del APCG
3.3.2.-Placa fria
3.3.3.-Arreglo de la placa caliente y guarda
3.3.4.-Guarda
3.3.5 .-Placa caliente
3.3.6.-Elementos calefactores
3.3.7.-Potencia eléctrica
3.3.8 .-Termopares
-
3.4.-Resultados de los casos experimentales en el APCG
3.-i.-ConcIusiones de los resultados experimentales en el APCG
CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
4.1 .-Introducción
4,2.-Validación del modelo matemático para la placa caliente en el APCG
4.2.1 .-Resultados del modelo matemático para la placa caliente
4.3.- Validación del modelo matemático para la guarda en el APCG 4.3.l.-Resultados del modelo matemático para la guarda
4.4.-Conclusiones de la validación del modelo matemático
25
26
26
26
26
28
28
28 29
29
29
29
29
30
30
33
35
35
37
41 43
47
CAPITULO 5 ANÁLISJS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG
5.1 .-Introducción 48
Pág
5.2.-Ec. de Fourier para la determinación de la conductividad térmica en el APCG 49
5.3.-Modelo estadístico para el cálculo de la incertidumbre estándar combinada
relativa de una prueba 50
conductividad térmica 52
54
60
5.4.-Modelo estadístico para la determinación de la incertidumbre de la
5,5.-Resultados de la incertidumbre para el APCG
5.6.-Conclusiones de la incertidumbre para el APCG
CAPITULO 6 DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES
6.1 .-Introducción
6,2.-Procedimiento para realizar la prueba
6.2.1 .-Selección de la muestra
6.2.2.-Preparación de la muestra
6.2.3.-Establecimiento del estado permanente térmico
6.2.4.-Adquisición de datos
6.2.5.-análisis de resultados
6.3 .-Reporte de la medición de niateriales aislantes
6.3.1 .-Resultados para la prueba de conductividad térmica ASTM C-177-97
6.4.-Conclusiones de las pruebas realizadas
CAPITULO 7 CONCLUSIONES GENERALES
7.1 .-Conclusiones
7.2.-Recomendaciones y trabajos futuros
62
63
63
64
64
66
67
68
71
72
73
74
Pág
Bibliografía
Apéndice A. Desarrollo matemático para obtener la expresión de temperatura T2 por
El método de separación de variables
Apéndice B. Desarrollo matemático para obtener las expresiones de la ec. (2.17)
Apéndice C.. Evaluación de las integrales para la ecuación (2.1 7)
Apéndice D. Desarrollo matemático para obtener las expresiones de la ec. (2.22)
Apéndice E. Evaluación de las integrales para la ecuación (2.22)
Apéndice E: Análisis dimensional de las ecs. del modelo matemático en el APCG
Apéndice G. Programas de cómputo para las ecs. del modelo matemático en el APCG
.~. ~. . . . . . L~.... . . , .
75
79
87
93
98
104
110
115
LISTA DE FIGURAS
FIGURA
1.1 Aparato para medir la conductividad térmica de materiales sólidos aislantes 9
1.2 Componentes principales del instrumento para medir conducfividad
térmica de materiales sólidos aislantes 10
14
21
27
27 27
2 7 '
28
31
32
32
39
40 41
46
46 65
67 70 71
2.1 Modelo físico de la placa caliente
2.2 Modelo físico de la guarda
3.1 Modelo físico del caso I
3.2 Modelofísico del caso 2
3.3 Modelofísico del caso 3
3.4 Modelo físico del caso 4
3.5 Modelo físico del caso 5
3.6 Comportamiento de la temperatura para el caso 1
3 .I Comportamiento de al temperatura para el caso 4
3.8 Comportamienfo de la temperafurapara el caso 5 4.1 Distribución de temperatura, para r=O.0381m
4.2 Disfribución de femperatura experimental y analítica para la placa
4.3 Disfribución de femperatura en la placa, para t=100000s 4.4 Distribución de temperatura experimental y analítica para la guarda
4.5 Disfribución de femperatura en la guarda, para t=I 00000s 6.1 Distribución de temperatura para alcanzar el esfado permanente
6.2 ConJiguración del sistema experimental 6.3 Diagrama esquemático para la prueba 6.4 Distribución de temperatura de la prueba del acrílico
I
LISTA DE TABLAS
TABLA Pág
3.1 Resultados experimentales para el caso 1
3.2 Resultados experimentales para el caso 2
3.3 Resultados experimentales para el caso 3
3.4 Resultados experimentales para el caso 4
3.5 Resultados experimentales para el caso 5
4.1 Raíces de la ecuación (4.2)
4.2 Resultados de la temperalura pura t=O.OOls
4.3 Resultados de la temperatura para r=O. 0381m 4.4 Raíces de la ecuación (4.4)
4.5 Resultados de la temperatura para r=O. 0983m
5.1 Incertidumbre para el APCG usando valores representativos de las variables
5.2 Incertidumbre usando un gradiente de lemperatura de 10 “c
5.3 Incertidumbre usando una mejora en un factor de IO para las mediciones
de voltu& e intensidad de corriente
5.4 Incertidumbre usando una mejora en un factor de 5para la medicibn de la
temperatura
5.5 Clase de exactitudpara el APCG usando un factor de cobertura de uno
6.1 Reporte de lapruebapara la mueslra # I
6.2 Reporte de la prueba para la muesira # 2
30
31
31
31
32
38
38
39
44
45
54
55
57
58 59
68
69
6.3 Resultados de la conductividad iérmica para la muestra # I ypara la muestra # 2 71
NOMENCLATURA
NOMENCLATURA
LATINAS
A
A,
A, b
cos
d
e
f
g
gs G
H h
I
J o
J i
k
k. I:
N
n
Q, Qo
qi -
Área de medición
Área de la placa caliente
Área de separación entre el área de medición y la guarda
Radio exterior de la placa, radio interior de la guarda
Función coseno
Radio exterior de la guarda
Función exponencial
Función auxiliar
Generación de c.alor en placa o guarda
Fuente de calor superficial
Función de Green
Relación (Wk) Coeficiente convectivo del aire
Intensidad de corriente
Función de Bessel de primera clase y de orden cero
Función de Bessel de primera clase y de orden uno
Conductividad térmica de la placa o guarda
Conductividad térmica aparente
Espesor de la placa o guarda Norma
Número de mediciones experimentales
Flujo de calor generado en la placa o guarda
i.
Media aritmética
Magnitud medida
NOMENCLATURA
LATINAS
Resistencia térmica
Función propia
Coordenada radial en sistema coordenado cilíndrico
Incertidumbre del tipo A
Desviación estándar
Relación auxiliar
Función seno
Temperatura de la placa o guarda
Temperatura ambiente
Temperatura de la placa caliente
Temperatura de la placa fría
Temperatura de la guarda
Temperatura inicial de la placa o guarda
Temperatura para Iiomogenizar la condición de frontera
Temperatura de la versión homogénea
Tiempo
Incertidumbre estándar
Incertidumbre estándar combinada
Relación auxiliar
Relación auxiliar
Relación auxiliar
Mensurando: \iariable a medir
Función de Bessel de segunda clase de orden cero
Función de Bessel de segunda clase de orden uno
Coordenada axial en el sistema coordenado cilíndrico
,
,-
-- : , ,.? . : - I>
i - ,
GRIEGAS
n
a T
P m
V
&k
Constante pi
Difusividad térmica de la placa o guarda
Tiempo
Raiz de la ecuación de valores propios
Orden de la función propia
Incertidumbre total en la determinación de la condui
4 Coordenada angular en el sistema coordenado cilindrico
ividad
r al AT
Función supuesta para la solución por separación de variables
Función supuesta para la solución por separación de variables
Incremento de temperatura
mica
V
RESUMEN
La conductividad térmica es una propiedad de los materiales que permite estimar la
velocidad de propagación del flujo de calor, debido a la diferencia de temperaturas en el
cuerpo. El equipo para medir la conductividad térmica es un instrumento absoluto y
primario, y se le conoce como Aparato de Placa Caliente con Guarda.
En esta tesis se presenta un modelo de transferencia de calor para obtener la distribución de
temperatura en la placa caliente y un modelo matemático de transferencia de calor para
obtener el perfil de temperatura en la guarda de un aparato de placa caliente con guarda. Se
realizan cinco pruebas experimentales con el instrumento, para validar el modelo
matemático obtenido y se muestra que los resultados analíticos obtenidos se ajustan a las
fluctuaciones que se tienen en los resultados experimentales. Se realiza un análisis para el
cálculo de la incertidumbre en la determinación de la conductividad térmica y se obtiene
una clase de exactitud del 4% para el aparato. Se realiza una prueba utilizando un material
caracterizado para la evaluación del aparato y se obtiene una desviación menor a la clase de
exactitud del instrumento.
VI
CAPÍTULO 1
La Loaductividad térmica de un material es una medida de su tendencia a disipar energía,
cuando se perturba desde un estado de equilibrio, al imponerle un gradiente de temperatura.
Para optimizar o m e j m el diseño de.diversos co-mponentgs, se r e q u i n una evaluación - _ _ precisa de esta popiedad de transporte, en particular del equipo que involucra la
transferencia de calor [I].
Para medir la conductividad térmica de materiales aislantes se usa principalmente un
Aparato de Placa Caliente con Guarda .(~uarded~ot-elate_Apparatus)._S.u_principio.de
- operación y-e'procedimiento de prueba se describen en la norma ASTM C177 [2].
En el trabajo de Salazar 131, se reporta que principalmente los laboratorios del National
Institute of Standards and Technology (NIST), antes National Bureau of Standards (NBS)
de los Estados Unidos, en Gaithersburg, Maryland (NIST-G) y en Boulder, Colorado
(NIST-B), han representado un papel activo en el desarrollo y mejoramiento de este tipo de
instrumentos [4].
Lira [ 5 ] , escribe que al principio de los ~ O ' S , cuando el ahorro y conservación de energía
recibieron gran atención, la coiiductividad térmica de los materiales aislantes se medía en
muchos lugares. La crisis energética de 1973 trajo nuevo interés en la producción y prueba
de materiales aislantes, y esto condujo a nuevos problemas de medición y falta de
información sobre estos nuevos materiales.
1
INTROOUCCION CAPiTULO 1
AI realizar estudios de ahorro de energía, tanto a nivel teórico como experimental, así como
en la simulación de sistemas térmicos, los valores de las propiedades termofísicas se
consideran constantes y cuando es necesario asignarles un valor, se realiza una búsqueda en
la literatura, éstos valores, por lo general corresponden a materiales fabricados en el
extranjero y son medidos en condiciones de operación diferentes a las que se utilizan; así, el
uso de estos valores trae como consecuencia u ia sobreestimación o una subestimación de
los procesos que se están estudiando. En general al diseñar siempre se sobrestima y esto
puede conducir a grandes costos en la operación y construcción de sistemas y plantas que
requieren energía térmica.
Para cubrir la necesidad que se tiene de conocer los valores de las propiedades termofísicas
de los materiales que se emplean en México, principalmente aislantes en edificaciones y
sistemas térmicos, y para poder simular y estudiar de manera óptima estos sistemas con
fines de ahorro y uso eficiente de la energía, en el Centro Nacional de Investigación y
Desarrollo Tecnológico (Cenidet) se desarrolló un instrumento primario para determinar la
conductividad térmica de materiales aislantes de construcción, llamado aparato de placa
caliente con guarda APCG-CENIDET que se utiliza para determinar la conductividad
térmica de materiales aislantes que se fabrican o comercializan comúnmente en el país.
1.2 JUSTIFICACI~N
Recientemente, la demanda de datos exactos de las propiedades termofísicas de materiales
se ha incrementado como resultado de las necesidades industriales para un mejor diseño de
las componentes de las plantaso así como para el manejo eficiente de la energía que se
requiere en sus procesos. La mayoría de estos datos se utilizan para determinar las
cualidades técnicas y la factibilidad económica de los materiales, caracterizar nuevos
materiales y realizar modificaciones para responder a las condiciones actuales de eficiencia,
optimización y ahorro de energía en la operación de plantas y sistemas, así como el diseño
y construcción de edificaciones.
2
Así, poder conocer con gran exactitud las propiedades termofísicas es una demanda tanto
de diseñadores, simuladores, operadores y constructores de plantas y edificaciones.
Con el propósito de determinar con mayor exactitud la conductividad térmica de materiales
aislantes se propone realizar un estudio de los procesos de transferencia de calor que
ocurren en un aparato de placa caliente con guarda.
1.3 OBJETIVO Y ALCANCE
El objetivo de esta tesis es determinar con mayor exactitud la conductividad térmica de
materiales aislantes, mediante un análisis de transferencia de calor de un aparato de placa
caliente con guarda (APCG). Para lograr este objetivo se desarrolla un modelo matemático
de transferencia de calor en el cual solo se incluye la transferencia de calor por conducción
y por convección. El intervalo eii el cual trabaja el APCG, permite que la transferencia de
calor por radiación se desprecie.
El alcance incluye obtener un modelo matemático de transferencia de calor, el cual permita
conocer mejor los procesos de transferencia de calor en el instrumento; y realizar una
metodología para determinar la conductividad térmica, así como también realizar un
análisis de incertidumbre del aparato.
1.4 EL ESTADO DEL ARTE
1.4.1 Historia del APCG en el NIST
Durante más de ochenta años el NIST ha realizado literalmente miles de pruebas de
conductividad térmica en una variedad de materiales de aislamiento, que se han puesto a
disponibilidad de la ingeniería y a las profesiones científicas y se han incorporado en tablas
de diferentes manuales. La historia de esta actividad se ha descrito recientemente en la
3
iNTROoLlCCl6N CAPITULO I
publicación, "Building Research at the National Bureau of Standards", preparado por
Achenbach y Powell [6], que incluye los'inicios del aparato de placa caliente con guarda
del NIST. La historia moderna empezó esencialmente en 1964 cuando Robinson miembro
del NIST presentó sus nuevas ideas sobre fuentes de calor lineal para platos calientes con
guarda que se formalizaron después en la publicación, "Robinson Line-Heat-Source
Guarded-Hot-Plate Apparatus", por Hahn, Robinson y Flynn [7].
Los primeros trabajos del NIST en la transferencia de calor a través de los materiales de
aislamiento térmico empezaron aproximadamente en 191 O, cubriendo una demanda de la
American Society of Refrigerating Engineers para proporcionar los datos ordenados y útiles
pertenecientes a la transmisión de calor en aislantes que eran necesarios para propósitos de
diseño. Sin embargo, en ese momento, no estaba disponible un método preciso para medir
la transferencia de calor a través de materiales aislantes. En 1912, Dickinson 181, concibió y
construyó el primer aparato del plato caliente con guarda del NIST para este propósito.
Después, mientras que viajaba por Europa, él investigó, que en Alemania se había estado
usando un plato caliente con guarda para las medidas de conductividad térmica desde 1910.
Antes del desarrollo del plato caliente con guarda, la transferencia de calor a través de
materiales aislantes había sido determináda por métodos en los que el calor era transferido a
través de paneles aislantes con aire caliente en un lado y en el otro lado aire fresco. Los
resultados de las pruebas de este tipo estaban en muchos casos expresados como
conductividad térmica, pero ahora se define como valores de la transmitancia térmica.
En la primera publicación importante en este campo realizada por Dickinson y Van Dusen
en 1916 [SI, se describe cómo determinar exactamente el flujo de calor a través de los
espacios de aire y a través de 30 materiales aislantes. Esta publicación también promovió el
uso de la terminología estándar para medidas de la transferencia térmica obtenidas por
medio del método del plato caliente. Las medidas subsecuentes de materiales aislantes
fueron reportadas por Van Dusen en 1920 [9], y Van Dusen y Finck en 1928 [lo], usando
un aparato similar. Durante estos años, el NIST continuó mejorando y regularizando el
método del plato caliente. Aproximadamente en 1929, Van Dusen construyó lo que sería la
versión final de este tipo de aparato de plato caliente con guarda. Este aparato en particular
4
INTRODUCCION CAPITULO I
operó de forma consistente para el NIST p6Fmás decincuenta años hasta 1983. En 1987. el
aparato se colocó oficialmente bajo la protección del Museo del NIST para su conservación
y muestra.
En 1945, la American Society for Testing And Materials formalmente adoptó el método del
plato caliente con guarda como un método de prueba estándar, basado en parte, en el diseño
del NIST. En 1947, Robinson y Watson extendieron el intervalo de temperatura del aparato
de plato caliente con guarda y en los años siguientes hicieron la primera comparación
interlaboratorios de pruebas para la determinación de la conductividad térmica de
materiales aislantes entre los laboratorios, patrocinado en conjunto por la American Society
of Heating and Ventilating Engineers del NIST. Esta serie de pruebas claramente
demostraron la necesidad de una calibración adecuada del aparato para la industria y otros
laboratorios. Brevemente después de esto; se inventó un programa para proporcionar a la
industria muestras de materiales aislantes con propósitos de calibración. En 1977, más de
300 laboratorios se habían beneficiado- y se habían producido mejoras considerables en la
calidad de datos de conductividad térmica en materiales aislantes y de construcción, estos
datos fueron reportados en revistas técnicas y manuales.
1.4.2 APCG con una Fuente de Calor Lineal
EnJ.9-6~.,.Robinson. ['I], . presentó-prime~o-e!Ji$eño básico-&l-plato caliente con guarda
~oriluia~nte_de_calorlineal-en-~a~confer~ncia.de-c.ond~uc~i~idad-térmica.p.atr~.cinad~a-p~~ I el National Physicai Laboratorydnglaterra. El diseño fue reportado en Nature (1964)
como sigue:
H.E. Robinson (U.S. National Bureau of Standards) discutió formas de fientes de calor lineal que podrían usarse como calefactores en aparatos para las medidas de
materiales aislantes a bajas temperaturas en forma disco y forma de placa. Estas
nuevas configuraciones se prestan más fácilmeníe para el análisis matemático,
ellas son más simples parri el uso y parecerían poder rendir resultados mas
exactos.
5
INTRODUCCION CAP~TULO I
El diseño era nuevo. En contraste con un (convencional) plato caliente con guarda que usó
calentadores uniformemente distribuidos; el plato caliente con guarda con una fuente de
calor lineal utiliza una fuente de calor lineal circular en una posición específica. Para una
posición apropiada de la fuente de calor lineal, puede hacerse que la temperatura de borde
del plato sea igual a la temperatura promedio del plato y de ese modo puede facilitarse la
medición de la temperatura. Losb.eneficios_ofrecidos_por_un.plato_caliente-con guarda-con.
~na-~@en:e.de-calor-lineal-incluyen: ~ ~ ~ método __ ~ más . .~ -~ simple __ _--. de construcción, mejora. de .la, exactitud; simplificación del análisis matemático para calcular la temperaturagromedio en
-1a.s.uperf~e del plato; así como la determinación de los errores resultantes de las ganancias
de calor o pérdidas por los bordes de las muestras; y, uso bajo condiciones de vacío,
En 1971, Hahn [22], realizó un análisis riguroso del concepto de la fuente de calor lineal e
investigó algunas opciones de diseño, En 1973, Hahn, Robinson, y Flynn [7], publicaron el
diseño, análisis matemático, y análisis de incertidumbre para un prototipo de da to caliente
con guarda con una fuente de calor lineal. La construcción del aparato prototipo se
completó en 1978 y es descrita por Powell y Siu [13]. En 1981, Siu y Bulik [14],
publicaron la evaluación y el análisis de incertidambre. Debido a los resultados
prometedores del prototipo, el NlST inició planes para un segundo aparato, el APCG con
una fuente de calor lineal más grande. La construcción de este aparato se aceleró
dramáticamente debido a una decisión por la U.S. Federal Trade Commision en 1980 con
respecto ai etiquetado y publicidad de los materiales aislantes.
Ai final de 1980, el segundo APCG con una Fuente de Calor Lineal fue terminado bajo los
esfuerzos de Hahn y Peavy del NIST y Ober, un obrero invitado de la industria
privada[] 5,161. Casi inmediatamente, los servicios de mediciones para el público empezaron a principios de 1981 con el laboratorio que proporciona los primeros materiales
de referencia de espesores comprimidos, hechos de fibra de vidrio, un aislante térmico de
baja densidad. Desde 1981 a 1996 más de 75 medidas han sido realizadas. Este aparato
reemplazó el aparato del plato caliente con guarda que se construyó anteriormente en 1929
y todavía está en servicio hoy en día. _EnJ.~9_6,_la_American~S.o.ciety_for~T.esting~and~
MaterialsLGTM) .formaimente.adoptó_ei ConceptoPe. 1a~uente.de.cloli.n~Icorno-una
6
INTRODUCCI~N CAPITULO I
práctica standard, basada en parte. en el diseño del NIST. El estándar del ASTM incluye los
principales puntos del prototipo del NIST y del segundo APCG construido con una fuente
de calor lineal.
Además de los servicios' de mediciones para el público, el APCG se ha usado para
desarrollar el Standard Reference Materials (SRMs) para resistencias térmicas. El Standard
Reference Materials Program del NIST mantiene un valioso servicio logrando calidad de
las medidas y trazabilidad en las normas nacionales e internacionales distribuyendo más de
1300 materiales de referencia normalizados (SRMs) incluyendo varios aislantes térmicos
SRMs. La motivación para el aislaniiento térmico SRMs empezó en los 1970's cuando la
American Society for Testing and Materials Committee C-I6 de aislantes térmicos publicó
un plan recomendado que defiende el establecimiento de un programa de SRM como
aislamiento térmico. En respuesta, desde 1979 a 1987 el NIST, en un esfuerzo coordinado
con el U S . Department of Energy, realizó mediciones para caracterizar tres aislantes
térmicos SRMs incluyendo una placa de fibra de vidrio, una manta del fibra vidrio, y una
placa de sílice ahumada (fumed-silica). Más recientemente, en 1996, el NIST ha
establecido una placa de poliestireno expandido como SRM. Estos aislamientos térmicos
como los SRMs se establecieron basados en datos obtenidos del aparato del plato caliente
con guarda descrito anteriormente.
1.4.3 Antecedentes
En la investigación hecha por Salazar [3], se reporta que los aparatos de placa caliente con
guarda se han construido usando elementos de calentamiento distribuidos uniformemente
sobre una placa cuadrada o rectangular. Un aparato referido como NBS-CHP-I actualmente
en operación en el NIST para propósitos de calibración, se construyó usando elementos de
calentamiento distribuidos uniformemente sobre una placa cuadrada de 200 mm de lado. En
1964, Robinson de la NBS [7] sugirió que un aparato de placa caliente con guarda que
usara fuentes de calor lineal circular, sería más simple de construir y capaz de mejorar
exactitud. El diseño de ese aparato y las ventajas sobre un sistema de fuente de calor
distribuida se discutieron por Hahn y otros posteriormente [12]. Hace varios años la NBS
7
INTRODUCCI~N CAP~TULO I
emprendió la construcción de tal aparato y la evaluación de su funcionamiento, el cual se
encuentra en el NIST y se denomina aparato de placa caliente con guarda de fuente de calor
lineal (LHS-GHP) circular de 305 mm de diámetro [14].
El aparato 305 rnm LHS-GHP es básicamente similar en construcción al NBS-GHP-I,
excepto que en el diseño de la placa caliente, se usan fuentes de calor lineal en lugar de
elementos de calentamiento distribuidos uniformemente. Este aparato se hizo para
determinar la conductividad térmica efectiva de materiales aislantes en el intervalo de
temperatura de -23'C a 127°C. Una breve descripción del aparato 305 mm LHS-GHP,
resultados de mediciones y comparaciones con el NBS-GHP-1 está dado por Siu [14].
Por la obtención de datos prometedores y la operación general del 305 mm LHS-GHP, la
NBS emprendió el diseño y construcción de un segundo aparato de placa caliente con
guarda con una fuente de calor lineal circular. Este dispositivo de 1016 mm de diámetro ya
se construyó y se usa para medir la resistencia térmica de materiales aislantes de espesores
mayores de 150 rnm [15]. Un resumen del análisis de error para el aparato NBS 1016 mm
GHP se puede encontrar en [17].
En el Cenidet, se construyó un aparato de placa caliente con guarda (APCG) por el M.C.
Rubén Salazar Mendoza bajo la dirección del M.C. Leone1 Lira Cortés y el Dr. Alfonso
Garcia Gutiérrez. Este trabajo es el resultado del interés en el desarrollo de instrumentos de
medición de las propiedades térmicas y físicas de los materiales, por parte del Cenidet. La
descripción detallada del aparato esta dada por Salazar [3], y por Lira [18,19].
El APCG cumple con las características de un aparato absoluto y primario, además es el
primero en su clase en México y con él se tiene la capacidad de medir la conductividad
térmica de materiales sólidos, aislantes y de construcción [2,20].
.E1AP_CG_se_diseñó_con_basea_un_esiudio~~del-efe.ct~-de-b.o.r~e-pa~a-una~ge~met~ía~cir.c.ular,
con dicho estudio se obtuvo: c1) un tamaño ap-piado del APCG; (2) los espesores
8
INRODUCCI6N CAPtnrUJ 1
máximos de la muestra >- (3) - -. el orden - de I magnitud - . del error al utilizar el APCG (el orden de
magnitud del error de borde delap-gato-como función del espesor de la muestra) [21,22]
El principal beneficio del análisis que se realizó es la obtención de criterios para el diseño y
evaluación de aparatos de placa caliente con guarda, considerando los parámetros de prueba
esenciales.
El objetivo en la construcción del APCG, fue obtener un instrumento de una clase de
exactitud del 5%, cuyo costo no fuera muy alto.
Los resultados obtenidos de las pruebas indican que con el desarrollo del instrumento y un
procedimiento de evaluación adecuado se pueden efectuar mediciones confiables de la
conductividad térmica de aislantes en intervalos amplios.
En la figura 1.1 se muestra el aparato de placa caliente con guarda que se construyó en el
Cenidet.
Fig. 1.1 Aparato para medir la conductividad térmica de materiales sólidos aislantes.
En la figura 1.2 se muestran las principales características de un APCG. El plato caliente y el plato frío mantienen las condiciones de frontera de temperatura constante en las
9
CAP~TULO I INTRODUCCIÓN
superficies superior e inferior de la muestra. En el caso ideal, el flujo de calor es
unidimensional a través de la muestra, del plato caliente al plato frío en la dirección z
(normal a la superficie de los platos). Bajo estas condiciones, el cálculo de la conductividad
térmica aparente K,, o la resistencia térmica, R,,=L/K,, se'puede determinar a partir del
calor que se genera en el área de medición del plato caliente Qo, las temperaturas de los
platos calientes y frío, T, y Tf, el espesor de la muestra L, y el área A [2].
En el APCG todas las placas son de aluminio, las superficies de las placas en contacto
tienen una planicidad de 3 X I O -3 mm [5] . La placa fría contiene un intercambiador de
tubo de cobre de 6.4 mm de diámetro por el cual circula un líquido refrigerante. La
temperatura de la placa fría se mantiene a una temperatura uniforme por la circulación de
un fluido de un baño termostáiico, el cual tiene una estabilidad mejor que k 0.02 "C. El
flujo de fluido circula de forma paralela a través de la placa fría. La temperatura de la placa
fría se determina por medio de dos termopares.
"
I I I
W
I
3 : '0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Á R E A D E M X i C i Ó N
I L c . * c ab
E S P É C I M E N z I I Q e I < w 4 c
I 2 P L A C A F R i A + W
'I Fig. 1.2 Componentes principales del instrumento para medir la conductividad térmica de materiales sólido-s aislantes.
La placa caliente consiste de un arreglo entre el área de medición y la guarda, los cuales se
mantienen unidos mediante pernos de acero inoxidable, b a r a c i ó n entre el área de
I medición-yAguarda es de 1.2 mm. La guarda se calienta con un elemento calefactor que se
encuentra a 98.3 mm del centro del área de medición, este elemento se construyó de un
filamento delgado de cinta de nicromel aislado eléctricamente con mica y tiene un espesor
10
INTROOUCCION CAP~TULO I
de 0.8 mm y un ancho de 11 inm con una resistencia eléctrica de 20 ohm a temperatura
ambiente. En esta sección se encuentran alojados cuatro termopares.
!I El área'de medición de la placa caliente se calienta usando un elemento'calefactor que se
localiza a 53.88 mm del centro, esto permite lograr que la temperatura superficial promedio
en el área de medición se aproxime a la temperatura del borde. El elemento calefactor es un
filamento delgado de cinta de nicroiiiel aislado eléctricamente con mica y tiene un espesor
de'0.8 mm y un ancho de 11 mm y una resistencia a temperatura ambiente, de 17 ohm. Esta
sección contiene tres termopares separados 1 11 grados y se consideran las posiciones más
apropiadas para proporcionar el promedio de la temperatura del área de medición [ 5 ] .
i
La potencia eléctrica se suministra mediante dos fuentes de corriente directa regulada y
regulable tanto al calefactor como a la guarda, y la potencia se determina con base en las
mediciones de corriente y voltaje a través de los calefactores con dos multímetros. I!
La geometría completa de la placa caliente es circular de 305 mm de diámetro y un área de
medición de 152.4 mm de diámetro.
La medición de temperatura se realiza por medio de termopares tipo T que se calibraron
conforme a la norma ASTM E-230-93. Los termopares se fijan a las superficies de los
pianos insertándolos en cavidades de 0.2 mm maquinadas en la superficie de los platos. En
total se colocaron nueve termopares en la superficie de trabajo; tres en el &ea de medición,
cuatro en el área de la guarda y dos en la placa fría. Los sensores de temperatura se
conectan a una tarjeta multiplexora PCLD-789 que a su vez se conecta a una tarjeta
adquisitora de datos PCL-812PG, la cual se encuentra alojada en una computadora y el
sistema de adquisición de datos PCLS-920 GENIE para control de experimentos, permite monitorear el estado de los termopares en distintos intervalos de tiempo.
i
.[I
El área de medición y el espesor de la muestra se determinan con un vernier.
i
~~~ ~ ~ . .. . . . ~ ~~ - .
. .
INTRODUCCI~N CAPITULO I
De lo expuesto se concluye que el desarrollo y mejoramiento de equipos para la medición
de la conductividad térmica de materiales aislantes tiene gran interés por la amplia variedad
de diseños de aparatos y exactitudes de diseño que se pueden obtener para satisfacer los
requerimientos de problemas de medición específicos.
12
MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG CAPiTULO 2
CAPÍTULO 2 I)
MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
2.1 INTRODUCCI~N
En este capítulo se presenta la solución analítica para la ecuación diferencial de conducción
de calor no-homogénea en el sistema coordenado cilíndrico (en dos dimensiones: r,+) con
propiedades constantes y condiciones de frontera convectivas, esto se lleva a cabo haciendo
uso de la función de Green desarrollada en [23], para evaluar los términos no-homogéneos
de la ecuación a resolver, también se utiliza el método de separación de variables para la
versión homogénea de la ecuación correspondiente.
En el punto 2.2 se desarrolla un inodelo matemático para el análisis de la placa caliente del
APCG.
En el punto 2.3 se desarrolla un modelo matemático para el análisis de la guarda del APCG.
El objetivo de tener una guarda en APCG es el evitar las pérdidas de calor que pueda tener
la placa caliente por el borde [ 3 ] , por lo tanto para evitar estas pérdidas se necesita que la
guarda tenga la misma temperatura que la placa caliente.
Este análisis se realiza con el objetivo de mejorar la exactitud en la determinación de la
conductividad térmica, por lo que los procesos de transferencia de calor que ocurren en la
placa y en la guarda son estudiados.
13
CAPiTULo 2 MODELO MATEMÁTTCO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
2.2 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO PARA LA PLACA
CALIENTE DEL APCG
En la figura 2.1 se muestra el modelo fisico para el análisis de la placa caliente en el APCG.
El análisis se realiza para el sistema coordenado cilíndrico en dos dimensiones (r,$), no se
considera la coordenada en la dirección “2’ debido a que la placa es muy delgada y se
considera que el flujo de calor generado en la superficie de la placa es el mismo en
cualquier punto de la placa en la dirección ‘Y’. La placa caliente se encuentra a una
temperatura inicial To para un tiempo t=O y para un tiempo t>O la frontefa de la superficie
de la placa caliente en r-b se disipa calor por convección a un medio a temperatura T. . I/
t ” Para t = O
T=T, Fuente de calor
/
FIGURA 2.1 Modelo fisico de la placa caliente
La formulación matemática de la ecuación a resolver, para el análisis del campo de
temperatura de la placa caliente del APCG es la siguiente: ‘I
d 2 T 1 dT 1 d2T 1 1 dT -+--+-- + - g ( r , @ , t ) = -__ d r 2 r dr r 2 d 4 2 k a at
en O < r < b , O < $ < Z n , para t>O
1 14
~~ . . .~ ~~ ~-
CAP~TULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
¡I
Condición de frontera: . .
aT -+ HT = HT, dv en r = b , H = h / k para t > O
Condición inicial:
(2.3) T = To en O s r l b , 0 < 4 5 2 n , para t=0
Los dos primeros términos de la ecuación (2.1) representan la variación de la temperatura
de manera radial en La placa caliente, el tercer término de la ecuación (2.1) representa la
variación de la temperatura de manera angular en la placa caliente (los tres primeros
términos de la ecuación (2.1) se llaman términos espaciales de dicha ecuación), el cuarto
término de la ecuación (2.1) representa la generación de calor en la placa caliente y el
último término de la ecuación (2.1 ) se llama término temporal de la ecuación y representa
la variación de la temperatura con el tiempo.
I
La condición de frontera se hace homogénea, sí:
T, = T - T, (2.4)
Por lo tanto, si se sustituye la ecuación (2.4) en las ecuaciones (2,1), (2.2) y (2.3) se tiene:
1 a’T, 1 1 aT, (2.5) + g ( r , # , t ) = --- a’T, 1 aT,
ar Y ar r 2 ab2 k a at __ + - __ + - ...-
en O l r < b , 0 1 $ < 2 n , para t > O
15
MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFEKENCIA DE CALOK EN EL APCG CAPITULO 2
Condición de frontera:
en r = b , H = h / k para t > O -+HT, ar , = o dr
Condición inicial:
La solución de la ecuación (2.5) se expresa en términos de la función de Green desarrollada
en [ 151 como:
Los pasos a seguir para determinar el campo de temperatura T (Y, 4, t ) son:
I .- Determinar la función de Green apropiada, para esto se considera la versión homogénea
del problema (no se incluye el termino de generación de calor) como sigue: i
Formulación matemática: i!
1 d2T2 - 1 dT2 a2T, 1 dT, dr r dr r 2 a d t
- __ + + - (2.9)
16
. . . . ~ ~ ~~~ ~
CAPITULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
I1 t >O en O 5 r < b, O 5 4 5 2n, para
Condición de frontera:
Condición inicial:
en r = b , H = h / k para t > O (2.10)
en O á r < b , 0541271, para t=0 (2.1 I )
La solución de la ecuación (2.9) se obtiene por el método de separación de variables, el
desarrollo matemático para obtenerla se muestra en el apéndice A. L a solución es la
siguiente: 'i
Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar z por 27c para I/ = O en la ecuación (2.12).
2.- Se obtiene la solución T, (Y, 4, t ) de la versión homogénea del problema (ecuación
(2.9)) en términos de la función de Green, se aplica la ecuación (2.8).
. .
MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR E N EL APCG CAPITULO 2
I1
1 3.- Se compara la expresión que se tiene del paso 1 (ecuación (2.12)) con la expresión del
paso 3 (ecuación(2.13)), y se obtiene de esta manera la función de Green. Por lo tanto se
tiene:
* r ' R v ( p m ,r ' )Cos v(4 - 4 ' ) 1 (2.14)
La función de Green que se necesita se obtiene al reemplazar ' t ecuación (2.14), por lo tanto se obtiene:
por ( t - z) [23], en la
* r ' R , ( p , , r')Cos v(4 - 4 ' ) (2.15)
4.- La función de Green que se obtiene en el paso 3 (ecuaciones (2.14) y (2,lS)) se sustituye
en la ecuación (2.8) para obtener el campo de temperatura r, (Y, 4, t )
18
~ .~ . ~~. ~
CAPITULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
b 2z
(2.16) * f fr'Rv(flm,r')Cos V($J - qY)g(r' ,@',r)d@dr'
r ' d ) &=O
Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar rr por 2n para v = O en la ecuación (2.16)
5 . - h último, se aplica el cambio de variable (ecuación (2.4)) a la solución que se obtiene
en el paso 4 (ecuación (2.16)) para obtener el campo de temperatura T ( r , 4, t ) .
Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar rr por 2n para v = O en la ecuación (2.17). ii
19
CAP~TULO 2 MODELOMATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
El primer término en la ecuación (2.17) representa la contribución de la condición de
frontera, el segundo término en la ecuación (2.17) representa la contribución de la
condición inicial y el último término en la ecuación (2.17) representa la contribución de la
generación de calor.
La ecuación (2.17) nos da el campo de temperatura T ( r , $ , i ) para el análisis de la placa
caliente del APCG para obtener la posición optima de los termopares en dicha placa. ’1
El término R , (pn , , Y ) en la ecuación (2.17), es la función propia en dicha ecuación y está
dada por las funciones de Bessel de Ira y 2da clase de orden v , y su valor se determina en
el apéndice B. El término N ( p n , ) en la ecuación (2.17), es la norma en dicha ecuación y
su valor se determina en el apéndice B. El término p,, en la ecuación (2.17), son las
raíces de la ecuación de valores propios que se determina en el apéndice B. Para encontrar
las raíces p,,) de la ecuación de valores propios para la ecuación (2.17) se realizó un
programa de computo en lenguaje Fortran-77, este programa se encuentra en el apéndice G,
como el programa # 1.
II
En el apéndice B, se realiza un análisis matemático para encontrar los valores que pueda
tener v para la ecuación (2.17). I
La evaluación de las integrales para la ecuación (2.17) se muestra en el apéndice C.
En el apéndice F, se realiza un análisis dimensional de las unidades para la ecuación (2.17).
I1
2.3 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO PARA LA GUARDA DEL APCG
En la figura 2.2 se muestra el modelo físico para el análisis de la guarda en el AF’CG. El
análisis se realiza para el sistema coordenado cilíndrico en dos dimensiones (r,+), no se
20 I1
MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCO CAPiTULo 2
considera la coordenada en la dirección “z” debido a que la guarda es muy delgada y se
considera que el flujo de calor generado en la superficie de la guarda es el mismo en
cualquier punto de la guarda en la dirección ‘Y. La guarda se encuentra a una temperatura
inicial To para un tiempo t=O y para un tiempo t>O la frontera de la superficie interior de la guarda en r=b se disipa calor por convección a un medio a temperatura T, y en la frontera
de la superficie exterior de la guarda en mi se disipa calor por convección a un medio a temperatura T,. 11
Para t = O t Z T=T, En r=b, para
t > O
Fuente de calor
I I u1
FIGURA 2.2 Modelo fisico de la guarda
+ HT
Para O = HT,
La formulación matemática para la ecuación a resolver, para el análisis del campo de
temperatura de la gurda del APCG es la siguiente: ’! I.
aZT 1 dT 1 a Z T 1 1 dT dr r dr r a4= k a at -+--+y-- + - g ( r , 4 , t ) = -__
en b i r < d , O 1 4 < 2 x , para t>O
(2.18)
CAPITULO 2 MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
\
Condiciones de frontera:
Condición inicial:
T = T o
para t > O
para t >O
(2.19)
(2.20)
en b < r 3 d , 0341271, para t = O (2.21)
Los dos primeros términos de la ecuación (2.18) representan la variación de la temperatura
de manera radial en la guarda, el tercer término de la ecuación (2.1i8) representa la
variación de la temperatura de manera angular en la guarda (los tres primeros términos de
la ecuación (2.18) se llaman términos espaciales), el cuarto término de la ecuación (2.18)
representa la generación de calor en la guarda y el último término de la ecuación (2.18) se
llama término temporal de la ecuación y representa la variación de la temperatura con el
tiempo.
It
La solución de la ecuación (2.1 8), se obtiene de manera similar, a la solución de la placa
caliente. La solución de la ecuación (2.18), es igual a la solución de la placa caliente, con
excepción, que la ecuación de valores propi0s.y la función propia van a cambiar, debido a
las dos condiciones de frontera que se tienen en la guarda.
1 1
La solución para obtener el campo de temperatura T ( Y , 4 , t ) , en la guarda es:
22
CAPiTULO2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN EL APCG
Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar ?r por 27r para v = O en la ecuación (2.22).
El primer término en la ecuación (2.22) representa la contribución de la condición de
frontera, el segundo término en la ecuación (2.22) representa la contribución de la
condición inicial y el último término en la ecuación (2.22) representa la contribución de la
generación de calor.
La ecuación (2.22) nos da el campo de temperatura T(y74,t) para el análisis de la guarda 1
del APCG para obtener la posición optima de los termopares en dicha placa.
El término R, (p, , r ) en la ecuación (2.22), es la función propia en dicha ecuación y su
valor se determina en el apéndice D. El término N(P,,) en la ecuación (2.22), es la norma
en dicha ecuación y su valor se determina en el apéndice D. El término p , en la
ecuación (2.22), son las raíces de la ecuación de valores propios que se determina en el
apéndice D. Para encontrar las raíces de la ecuación de valores propios para la
ecuación (2.22) se realizó un programa de computo en lenguaje Fortran-77. este programa
se muestra en el apéndice G, como el programa # 4.
,I i
p,
23
~ ~~~ .~ ~~~~. . ~~ . .
CAP~TULO 2 MODELO MATEMATICO DE TRANSFERENCIA DI-: CALOR EN EL APCG
En el apéndice D, se realiza un análisis matemático para encontrar los valores que pueda
tener v para la ecuación (2.22). I\
La evaluación de las integrales para la ecuación (2.22) se muestra en el apéndice E.
En el apéndice F, se realiza un análisis dimensional para las unidades de la ecuación (2.22).
Los resultados que se obtienen del programa, para los valores propios y el campo de
temperatura para los distintos casos estudiados se muestran en el capitulo 4, donde se
realiza una comparación donde es posible con los casos medidos experimentalmente
(capitulo 3), lo cual permite validar el modelo matemático. I(
24
. ~ . .
CAP~TULO 3 ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG
CAPÍTULO 3 1
ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG
3.1 INTRODUCCI~N
En este capitulo se presentan los cinco casos experimentales que se pueden estudiar con la
placa caliente y la guarda del aparato de placa caliente con guarda. / j
En el punto 3.2 se describen cada uno de los casos experimentales con sus diferentes
condiciones de frontera, tanto para la placa caliente como para la guarda. En el punto 3.3 se realiza una descripción del dispositivo experimental. En el punto 3.4 se presentan los
resultados de los diferentes casos experimentales y en el punto 3.5 se presentan algunas
conclusiones con respecto a los resultados obtenidos.
3.2 CASOS EXPERIMENTALES EN EL APCG 1
3.2.1 Caso 1
Este experimento es el caso en donde la placa caliente se alimenta por un voltaje y una
intensidad de corriente y tiene una frontera de aluminio, es decir esta en contacto con la
guarda, pero la fuente de calor de la guarda esta desactivada; la frontera exterior de la
guarda esta disipando calor por convección al medio ambiente. En la figura 3.1 se muestra
el modelo fisico de este experimento.
25
ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG CAPITULO 3
3.2.2 Caso 2
/I Este experimento es el caso en donde la guarda se alimenta por un voltaje y una intensidad
de corriente y tiene en su radio exterior la frontera al medio ambiente y en su radio interior
la frontera de aluminio, es decir esta en contacto con la placa caliente, pero la fuente de
calor de la placa caliente esta desactivada. En la figura 3.2 se muestra el modelo físico para
este caso.
3.2.3 Caso 3
Este experimento es el caso en donde el disco caliente o plato superior del APCG (placa
caliente y guarda) se alimenta por un voltaje y una intensidad de corriente tanto para la
placa caliente como para la guarda y tiene una frontera al medio ambiente, En la figura 3.3
se muestra el modelo físico de este experimento. I1
3.2.4 Caso 4
Este experimento es el caso en donde la guarda se alimenta por un voltaje y una intensidad
de corriente y tiene tanto en su radio exterior como en su radio interior, fronteras al medio
ambiente. Es decir en su radio interior no esta en contacto con la placa caliente. En la figura
3.4 se presenta el modelo físico para este caso experimental.
3.2.5 Caso 5
I1 Este experimento es el caso en donde la placa caliente se alimenta por p voltaje y una
intensidad de corriente y tiene una frontera al medio ambiente, es decir no esta en contacto
con guarda. En la figura 3.5 se presenta el modelo físico para este experimento.
En los todos casos experimentales donde se tenía una frontera convectiva, la transferencia
de calor por convección se daba por convección natural.
26
ANÁLISIS EXPERiMF,iVAL EN EL APCG cAPmm3
Fuente de calor activada
Fuente de calor Fuente de calor desactivada Fuente de calor desactivada activada I Placa caliente placa caliente 1
arda
Fig. 3.1 Modelo fisico del caso 1 Fig. 3.2 Modelo fisico del caso 2
Fuente de calor activada Fuente de calor activada Frontera al
Fuente de calor
Placa caiiente I activada Medio ambiente I medio ambiente
Fig. 3.3 Modelo fisico del caso 3 Fig. 3.4 Modelo fisico del caso 4
27
ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL AFCG cllpinm 3
Fuente de calor activada Frontera al medio 11
Placa caliente I ambientk
Fig. 3.5 Modelo físico del caso 5
L 3.3 DESCRIPCIÓN DEL DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
3.3.1 Descripción del APCG
El dispositivo experimental descrito en [3] consiste en una placa caliente, una placa
denominada guarda, una placa fría, un intercambiador en espiral, dos resistencias y un
soporte para el montaje de las piezas. Todas las placas son de aluminio y el intercambiador
de cobre.
3.3.2 Placa fría II
La placa fría se construyo en aluminio, con una ranura en espiral para alojar el
intercambiador de calor. La temperatura de la placa 6ía se mantiene por la circulación del
fluido de un baño termostático. El baño termostático tiene una estabilidad de 5 0.02'C. La
temperatura del baño se puede seleccionar entre -15°C a 100°C. El flujo del fluido es
paralelo a la placa fiía a través del intercambiador.
28
CAPiTULO 3 ANÁLISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG
3.3.3 Arreglo de la placa caliente y guarda i:
La placa caliente y la guarda se mantienen unidas mediante tres pernos de acero inoxidable.
La separación que existe entre la placa caliente y la guarda es de 1.2 mm.
3.3.4 Guarda
La guarda se calienta con un elemento calefactor que se localiza a una distancia de 98.3
mm del centro de la placa caliente. El borde interior de la guarda tiene forma en V. Los termopares se localizan en ángulos azimutales de 31°, 133', 227', y 335' relativos a los
alambres conductores del calefactor de la guarda. I .;
3.3.5 Placa caliente
La placa caliente se calienta por un elemento calefactor que se localiza a una distancia de
53.88 mm del centro de la placa caliente. El borde exterior de la placa caliente tiene forma
de V, los agujeros para alojar los termopares se sitúan azimutalmente a 69', 180°, 291'
relativos a los alambres conductores del calentador de la placa caliente.
3.3.6 Elementos calefactores
Ambos elementos calefactores. el de la guarda y el de la placa caliente! son filamentos
delgados de cinta de nicromel aislados eléctricamente con mica y tienen espesor de 0.8 nun
y ancho de 11 mrn, con resistencia a temperatura ambiente de 20 y 17 L2 respectivamente.
. 3.3.7 Potencia eléctrica
La potencia eléctrica que se suministra al calefactor del área de medición y al calefactor de
la guarda se regula mediante una fuente de regulada de corriente directa y se determina en
base a mediciones de voltaje y la corriente a través del elemento calefactor. 1,
CAPiTULO 3 ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG
3.3.8 Termopares
Nombre de la variable
Flujo de calor Q=EI, W
Temperatura en la placa caliente Tc , "C
Temperatura en la guarda TG , "C
Temperatura ambiente TA , 'C
Todos los termopares que se emplean son tipo T (cobre-constantan de 0.2 mm de diámetro).
Estos se calibraron en el Laboratorio de Térmica del Cenidet, con la ayuda de un baño de
líquido de temperatura controlada y un adquisitor de datos.
Valor promedio en estado permanente
11.8
53.35
39.52
26.41
3.4 RESULTADOS DE
APCG
LOS CASOS EXPERIMENTALES EN EL
En todos los casos se midieron 5 series de 10 datos cada una, una vez que se alcanzó el
estado permanente, los resultados que se muestran corresponden al promedio de las 5 series
para cada variable. En el caso de la temperatura de la placa caliente se'ipromedian los 3
valores que se midieron y para la guarda caliente se promedian los 4 valores que se
midieron;asi la temperatura de la placa caliente o guarda corresponde al promedio final.
Los resultados experimentales para cada uno de los casos se muestran en las tablas 3.1, 3.2,
3.3,3.4 y 3.5.
En la figura 3.6 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la' placa caliente y
para la guarda del APCG (caso I ) , las lecturas corresponden a uno de los termopares
colocados en la placa y a uno de los termopares colocados en la guarda.
h
ANÁLISIS EXPERIMENTALEN EL APCG CAPITULO 3
Nombre de la variable
Flujo de calor Q=EI, W
Temperatura en la placa caliente Tc , "C
Temperatura en la guarda TG , "C
Temperatura ambiente TA , OC
60, d
Valor promedio en estado permanente
9.89
34.30
37.77
24.50
50. 40 .
30.
Nombre de la variable
Flujo de calor Q=EI, W
Temperatura en la placa caliente TC , "C
Temperatura en la guarda TG , "C
Temperatura ambiente TA , OC
O 1 36 7 1 106 141 176 211 246 281
T i e m p o (minutos)
Figura 3.6. Comportamiento de la Temperatura para el Caso 1
Valor promedio estado permanente
22.11
64.12
52.04
32.29 -
Nombre de la variable
En la figura 3.7 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la guarda del APCG
(caso 4), las lecturas corresponden a uno de los termopares colocados en la guarda.
Valor promedio en estado permanente
Flujo de calor Q=EI, W
Temperatura en la placa caliente Tc , "C
3.0 -
31
ANÁLISIS EXPENMENTAL EN EL APCG CAPiTULO 3
Temperatura en la guarda TG , "C 40.54
Temperatura ambiente TA , "C
30 2030 4030 6030 8030 10030
Tiempo (segundos)
27.24
Figura 3.7. Comportamiento de la Temperatura para el Caso 4
40 . 0-
!? a
a,
CI
2 20.
E 10.
io! o,
En la figura 3.8 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la placa caliente del
APCG (caso 5), las lecturas corresponden a uno de los termopares colocados en la placa.
30./
- Guarda
Nombre de la variable
Flujo de calor Q=EI, W
Temperatura en la placa caliente TC , "C
Temperatura en la guarda TG , OC
Temperatura ambiente TA , "C
I " ,
60. 2 50. a
40. 30.
- - a, 20. j_ ñaca Caliente/
I- 10,
Valor promedio en estado permanente
5.0
65.21
29.38
1 101 201 301 401 501 601 Tiempo (minutos)
Figura 3.8. Comportamiento de la Temperatura para el Caso 5 32
ANALISIS EXPERIMENTAL EN EL APCG CAPfTULO 3
En las figuras 3.6, 3.7, y 3.8, se puede observar como se alcanza el estado permanente para
cada uno de los casos correspondiente, tanto para la placa caliente como para la guarda
Las oscilaciones de temperatura que se tienen en la placa y en la guarda son debidas a la
interacción con el medio ambiente, durante las pruebas experimentales no se aisló el
sistema.
3.5 CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES
EN EL APCG
El análisis de estos casos nos permite por una parte validar el código para cada una de las
partes que integran la solución analítica del problema bajo estudio.
Para el caso 1, donde se tiene la placa caliente alimentada y se coloca la guarda a
temperatura ambiente, corresponde a una frontera de aluminio para la placa, la temperatura
que alcanza la placa es de 53.4 OC y la frontera o sea la guarda alcanza una temperatura de
39.5 OC. Estos resultados se pueden comparar con los resultados que se obtienen en el caso
5, en el cual, la diferencia es que el experimento para el caso 5 tiene una frontera al medio
ambiente, en este caso la temperatura que alcanza la placa es de 65.2 "C, lo cual se explica
por la menor disipación de calor.
Del mismo modo los casos 2 y 4 son comparables, ya que en el caso 2, se tiene a la guarda
alimentada y en la frontera interior se encuentra colocado aluminio y la frontera exterior es aire a temperatura ambiente. para este caso la temperatura de la guarda es de 37.8 "C y para
la placa de aluminio o frontera interior es de 34.3 OC, similarmente en el caso 4, se tiene a la
guarda con fronteras de aire a temperatura ambiente, y la temperatura que alcanza la guarda
es de 40.5 "C, este resultado confirma el mismo efecto observado en la placa caliente
(comparación de los casos 1 y 5), es decir, la influencia del tipo de material que posee la
frontera.
33
ANÁLISIS EXPENMENTAL EN EL APCG CAPiTULO 3
Finalmente, el caso 3 muestra los resultados que se obtienen para el sistema placa y guarda
y la frontera exterior en contacto con el medio ambiente, aquí los resultados que se tienen
para la placa es de 64.1 OC y para la guarda es de 52.0 "C. Lo cual explica que el flujo de
calor se dirige de la placa calienlc hacia la guarda y luego hacia el medio ambiente como se
esperaba.
En todos estos casos sólo se esta considerando que los flujos de calor son radiales ya que no
se realiza un análisis en la coordenada axial, debido a que, cuando el instrumento está
funcionando, la placa caliente en la parte superior esta aislada y en la parte inferior se
encuentra en contacto con la muestra, a la cual se desea medir su conductividad.
Con estos resultados se validará el código que se desarrolló y permitirá analizar mejor el
comportamiento de la placa caliente que forma al instrumento.
34
RESULTADOS Y DISCUSION CAPiTULo 4
CAPÍTULO 4
RESULTADOS Y DISCUSI~N
4.1 INTRODUCCI~N
En este capitulo se presentan los dos casos experimentales que se pueden comparar con el
modelo matemático de transferencia de calor en el APCG. Esta comparación se realiza con
el fin de poder validar las ecuaciones obtenidas como modelo matemático del APCG.
En el punto 4.2 se describe la ecuación (capitulo 2) que se utilizó para comparar el caso
experimental # 5 (capitulo 3) y se escriben los resultados del programa implementado para
el modelo matemático para esta comparación, En el punto..4.3 se describe la ecuación
(capítulo 2) que se utilizó para comparar el caso experimental ,# 4 (capitulo 3) y se escriben
los resultados del programa implementado para el modelo matemático para esta
comparación y en el punto 4.4 se describen algunas conclusiones de la validación del
modelo matemático del APCG.
4.2 VALIDACI~N DEL MODELO MATEMÁTICO PARA LA PLACA
CALIENTE EN EL APCG
La ecuación para obtener el campo de temperatura de la placa caliente en el APCG, es la
ecuación 2.17. Esta ecuación representa el caso experimental # 5, descrito en el capítulo 3.
La ecuación 2.17 que se programa es la siguiente:
35
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DiSCUSi6N
b 271
* fi'Rv(Bm,rl)Cos v(@ - @')d@'dr'+
Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar ?r por 2n para v = O en la ecuación (4.1).
La ecuación (4.1) nos da el campo de temperatura T ( r . 4 , O para el análisis de la placa
caliente del aparato de placa caliente con guarda.
La expresión para la función propia R , (p, , Y ) , la norma
valores propios Pm , se determina en el apéndice B.
N ( p n z 1 , y la ecuación de
Las expresiones del resultado de la evaluación de las integrales de la ecuación (4.1) se da
en el apéndice C. Como resultado de la integral de la función trigonométrica, se tiene que la
ecuación (4.1) solo es valida para v=O , para cualquier otro 'valor de v el resultado de la
ecuación es cero.
36
RESULTADOS Y DiSCUSi6N CAP~TULO 4
Para encontrar las raíces om de la ecuación de valores propios se realizó un programa de
cómputo en lenguaje Fortran-77 para v=O (programa #1, apéndice G), la ecuación que se
programa esta dada en el apéndice B (ecuación (B.9)) y es la siguiente:
I ,
El término de la ecuación (4.1) representa la generación de calor generada por
una fuente de calor local e instantánea localizada en la placa caliente y es igual a un valor
constante.
/$
4.2.1 Resultados del Modelo Matemático para la Placa Caliente
Para probar que el programa de cómputo da resultados congruentes, se realizó una corrida
utilizando las siguientes dimensiones y valores, según las condiciones del aparato
experimental. Así se consideró que el radio exterior de la placa caliente fue, b=0.0762 m; el
radio en un punto específico de la placa caliente fue, ~ 0 . 0 3 8 1 m; la temperatura ambiente
como, Ta=288 K; la temperatura inicial de la placa caliente, To=338 K; el coeficiente de
difusividad térmica para la placa caliente (aluminio), a=0.000084 m2/s; el coeficiente
convectivo (convección libre) para el aire, h=14 W/m2 K; la conductividad térmica para la
placa caliente, k=204 W/m K; la relación, H=b/k=0.0686 / m; la generación de calor,
g=5.74 W/m3; y el tiempo especifico de, t=0.001 s.
Utilizando el programa de cómputo desarrollado que implementa las funciones de Bessel
(Jo, .I[), se calculan: los valores propios Pin o las raíces de la ecuación (4.2), en la tabla 4.1
se muestran las primeras 5 raices de la ecuación (4.2).
Los datos que se obtienen para el campo de temperaturas (ec. (4.1)), en la cual primero se
considera solamente la primera raíz y posteriormente se tomará en cuenta la segunda raíz.
En la tabla 4.2 se encuentran tabuladas las temperaturas para diferentes radios (r) y para un
tiempo fijo t=0.001 s.
37
CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
P"ii
Pm2
Pm3
P"i4
P" i5
1.349999
50.299998
92.079997
133.5 19997
174.859996
Tabla 4.2 Resultados de temperatura para t=0.001 s.
En la Tabla 4.3 se muestran los resultados en el tiempo de las temperaturas para el radio,
~ 0 . 0 3 8 1 m, se utiliza primero la primera raíz y luego se incluye la segunda raíz, sus
gráficas correspondientes se muestran en la figura 4.1.
En la tabla 4.2 y en la tabla 4.3 se puede notar que al incluir la segunda raíz Prn2 para el
cálculo de la distribución de temperatura, no tiene un cambio significativo para efectos
prácticos. Por lo tanto se puede tomar como resultado el campo de temperatura calculado
para la primera raíz, Pmi, ya que los pequeños incrementos de temperaturas debido a las
otras raíces se pueden despreciar.
38
RESULTADOS Y DISCUSIÓN c A P m 4
Tiempo, t
0.001
0.01
o. 1
1
La figura 4.1 muestra el comportamiento en el tiempo del campo de temperaturas, para un
radio fijo r=O.O381m, para T(r,Bmi) y T(r,p,,,l+!3&. Los resultados no muestran cambios
apreciables en el tiempo que se realizo la corrida con respecto a las raíces. Las soluciones
de temperatura se modificará, según los valores que se midieron del experimento (caso 5).
T(r, Bmd T(r, Brni+Bm~) AT 338.0388 338.0185 0.0203
338.0388 338.0185 0.0203
338.0381 338.0182 0.0199
338.03 12 338.0147 0.0165
10
1 O0
337.9623 337.9599 0.0024
337.2788 337.2788 O
1000
10000
100000
O 20000 4 m 6 W 80000 100000 1 m o Tiempo (segundos)
Figura 4.1 Distribución de temperatura para ~ 0 . 0 3 8 1 m
330.9377 330.9377 O
298.8452 298.8452 O
228.2014 288.20 14 O
En la validación del modelo matemático se utilizaron las siguientes dimensiones y valores
de las constantes, así como los valores medidos de la temperatura. Por lo tanto los valores
39
considerados fueron, el radio exterior de la'placa caliente, b=0.0762 m; la posición donde
se encuentran los termopares de la placa caliente, ~ 0 . 0 7 6 2 m; la posición en donde se
encuentra colocada la fuente de calor de la placa caliente, r1=0.0538 m; la temperatura
ambiente, Ta=302.378 K; la temperatura inicial de la placa caliente, To=302.378 K; el
coeficiente de difusividad térmica para la placa caliente (aluminio), a=0.000084 m2/s; el
coeficiente convectivo (convección libre) para el aire, h=14 W/m2 K; la conductividad
térmica para la placa caliente, k 2 0 4 W/m K; la relación, H=h/k=0.0686 / m; la generación
de calor, g=5.0 W. Las corridas para el tiempo se hicieron cada minuto, t=1.0 min.
Las raíces de la ecuación (4.2) están mostradas en la tabla 4.1.
En la figura 4.2 se muestra la distribución de temperatura obtenida experimental (caso # 5)
y la distribución de temperatura obtenida analíticamente (incluyendo solamente las dos
primeras raíces, programa #2 (apéndice G))
-- I
I-- I I
1 im 23l Jn 4% 53 en 701
nenPomnib353 Figura 4.2 Distribución de temperatura experimental y analítico
Se realizó una corrida del programa de cómputo (programa#3, apéndice G), para la
ecuación (4.1), con un tiempo fijo (t=lOOOOOs) y para diferentes radios de la placa caliente,
40
RESULTADOS Y DISCUSIÓN CAPITULO 4
desde el centro hasta el radio exterior de la misma (0.0762m). En la figura 4.3 se muestra el
perfil de temperatura en función del radio de la placa caliente. Este resultado se promedio y
se obtuvo el valor de temperatufa promedio. El valor de temperatura promedio se compara
341.010000
341.000000
340.990000
0 - 340.980000 E 5 340.970000 2
340.960000
i- 340.950000
340.940000
340.930000
$
0.000E 1 .OOOE- 2.OOOE- 3.000E- 4.000E- 5.000E- 6.000E- 7.000E- 8.000E- 9.OOOE- +o0 o2 o2 o2 o2 o2 o2 02 o2 02
Radio de la placa (m)
Figura 4.3 Distribución de temperatura en la placa, para t=lOOOOOs
contra los obtenidos para cada radio de la placa, y el valor similar de la temperatura en
función del radio corresponde a un radio de r=0.0487m.
4.3 VALIDACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO PARA LA
GUARDA EN EL APCG
Usando la ecuación 2.22 se obtiene el campo de temperaturas de la guarda en el APCG.
Esta ecuación representa el caso experimental # 4, descrito en el capítulo 3 . Con la
ecuación 2.22 se realizó un programa de cómputo. Esta ecuación es la siguiente:
41
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DiSCUSiON
Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar z por 2z para v = O en la ecuación (4.3),
La ecuación (4.3) nos da el campo de temperatura T(r,+,t) para el análisis de la guarda del
aparato de placa caliente con guarda.
La expresión para la función propia Ri.(pm.r) , la norma N(Pm) , y la ecuación de valores
propios pm , se detepina en el apéndice D.
Las expresiones del resultado de la evaluación de las integrales de la ecuación (4.3) se da
en el apéndice E. Como resultado de la integral de la función trigonométrica, se tiene que la
ecuación (4.3) solo es valida para v=O , para cualquier otro valor de v el resultado de la
ecuación es cero.
Para encontrar las raíces p,,, de la ecuación de valores propios se realizó un programa de
cómputo en lenguaje Fortran-77 considerando V = o (programa #4, apéndice G), la ecuación
que se utiliza es la ecuación (D.25) del apéndice D, que es:
souo - vowo = o (4.4)
42
EP
(sud> O m - (sud> [r "d- = OR
:apuoa
P OlllL!dV3 NQiSfl3SIU h SOUVLlflSDJ
RESULTADOS Y OISCUSION CAPITULO4
Pm I
I31112
Pili3
Pm4
Pm5
la conductividad térmica para la guarda, k=204 W/m K la relación, H=h/k=0.0686 / m; la
generación de calor, g=5.74 W. La variación del tiempo fue en segundos.
1.349999
41.98999
82.85999
123.95999
165.1 1999
Los datos obtenidos del campo de temperaturas (ec. (4.3)), en la cual primero se considera
solamente la primera raíz y posteriormente se tomara en cuenta la segunda raíz, se
encuentran tabulados en la tabla 4.5. En esta tabla se muestran los resultados de la
temperatura para el radio, r=0.0983 m.
En la tabla 4.5 se puede notar que al incluir la segunda raíz bin* para el cálculo de la
distribución de temperatura, no hay un cambio significativo. Por lo tanto, se puede tomar
como resultado el campo de temperaturas calculado para la primera raíz, p,,,~, ya que los
pequeños incrementos de temperatura debido a las otras raíces se pueden despreciar.
La solución de la prueba preliminar anterior, se modificará para cumplir las condiciones
reales del aparato para encontrar su campo de temperaturas, y así de esta forma compararla
con el caso ## 4 para poder validar el modelo matemático de la guarda.
En la validación del modelo matemático se utilizaron las siguientes dimensiones y valores
de las constantes, así como los valores medidos de la temperatura. Por lo tanto los valores
fueron el radio exterior de la guarda, d=0.1524 m; el radio interior de la guarda, b=0.0762;
la posición donde se encuentran los termopares de la guarda, r=0.0853 m; la posición en
donde se encuentra colocada la fuente de calor de la guarda, ri=0.0983 m; la temperatura ambiente, Ta=300.273 K; la temperatura inicial de la guarda, To=300.273 K; el coeficiente
44
RESULTADOS Y DiSCUSi6N CAPiTULO 4
de difusividad térmica para la guarda (aluminio), a=0.000084 m2/s; el coeficiente
convectivo (convección libre) para el aire, h=14 W/m2 K; la conductividad térmica para la
guarda, k=204 W/m K; la relación, H=M<=0.0686 / m; la generación de calor, g=3.0 W.
Las corridas para el tiempo se realizaron cada 30 segundos.
Tabla 4.5 Resultados de temperatura para r=0.0983 m.
I I I I I
Las raíces de la ecuación (4.3) se muestran en la tabla 4.4
En la figura 4.4 se muestra la distribución de temperaturas obtenida experimentalmente
(caso # 4) y la distribución de temperaturas obtenidas analíticamente (incluyendo solamente
las dos primeras raíces, programa #5 (apéndice G)).
Se realizó una corrida del programa de cómputo (programa #6, apéndice G), para la
ecuación (4.3), con im tiempo fijo (t=l00000s) y para diferentes radios de la guarda, desde
el radio interior (0.0762111) hasta el radio exterior de la misma (0.1524m). En la figura 4.5
se muestra el perfil de temperatura en función del radio de la guarda. Este resultado se
promedio y se obtuvo el valor de temperatura promedio. El valor de temperatura promedio
45
c m i m 4 RESULTADOS Y DISCUSI~N
se compara contra los obtenidos para cada radio de la guarda, y el valor similar de la
temperatura en función del radio corresponde a un radio de FO. 1 192m
45 40 35 - E 30
$ I O
_. Experimental -Analüico
3 25 E 20
+ 5
e: 15
O 30 2030 4030 6030 8030 10030
Tiempo (segundos)
Figura 4.4 Distribución de temperatura experimental y analítico
319.1 10000
31 9.1 O0000 u 319.090000.
$ 319.080000~ - 4-
2 319.070000~
E 319.060000~
319.050000.
e: 2
o1
319.04oooO
319.030000 0.000E 2.OOOE 4.000E 6.000E- 8.000E 1.OOOE- 1.2OOE- 1.400E 1.600E- 1.8OOE
Radio de la guarda (m) +o0 M o2 o2 o2 o1 o1 o1 o1
Figura 4.5 Distribución de temperatura en la guarda, para t=100000s
46
4.4 CONCLUSIONES DE LA VALIDACI~N DEL MODELO MATEMÁTICO
Para la validación del modelo matemático para la placa caliente, se observa en la figura 4.2,
que los resultados analíticos se ajustan a las fluctuaciones que se tienen en los resultados
experimentales.
El orden de magnitud de error, de la temperatura ,de la placa caliente en la posición donde
se tienen los termopares (1=0.0762m), es del 0.02% con respecto a la temperatura de la
posición obtenida del programa (r=0.0487m).
Para la validación del modelo matemático para la guarda, se observa en la figura 4.3, que
los resultados analíticos se ajustan a las fluctuaciones que se tienen en los resultados
experimentales.
El orden de magnitud de error, de la temperatura de la guarda en la posición donde se
tienen los termopares (r=0.0853m), es del 0.01% con respecto a la temperatura de la
posición obtenida del programa (r=O.l192rn).
De las comparaciones entre la placa y la guarda se concluye, que el modelo matemático de
la placa, y de la guarda representan las distribuciones de temperatura satisfactoriamente
dentro de las suposiciones que se utilizaron para el modelo. De los resultados que se
obtienen, se observa que es necesario incluir el término de generación de calor angular en la
solución del modelo, para romper la simetria azimutal y obtener las dependencias angulares
para la distribución de temperatura.
47
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG
5.1 INTRODUCCI~N
En este capítulo se presenta el-análisis-de-incebidumbre para la determinación de la
conductividad térmica de materiales sólidos aislantes usando el APCG. Para el análisis se
siguen los criterios de expresión y cálculo de incertidumbres de la guía BIPWSO [24]. Este~~álisis-es-necesario.para. determinar~a_clase_de_exactitud_del_ins~.~ento-y~.o.der
expresar correctammte los resultados de las pruebas q z s e realicen con el aparato-de-piaca
caliente con guarda.
.El~objeti~o~de~una~medición~es4eterminar~el~~al~r~del~mens,ur.and~ (magnitud particular
' sujeta a medición), esto es, el valor de la cantidad particular a ser medida. Una medición.
.entonc.es-c.o.mienza con una especificación apropiada - del mensurando, - el método de
medición yelprocedimiento de medición. En general, el resultado de una medición solo es una aproximación o estimación del valor del rnensurando y entonces es completa solo
cuando va acompañado por una declaración de la incertidumbre de esa estimación.
La incertidumbre del resultado de una medición refleja la falta de conocimiento exacto del
valor del mensurando. Lainc.er~idurnbre_de_a-p~e~a-s~e. determina .al -aplic-arJakyde
- propagacicjn ,de .incertidugbr.es.a-un. m o d e ~ ~ d ~ ~ n i d ~ . ~ a r - a - c a d ~ c - ~ ~ o del m e n s u r - w d g a
incertidumbres-involucradas pueden ser,deI-Tipo-\ y del Tipo_ R. /~
Las incertidumbres del tipo A se considera que son debidas a la repetibilidad de la variable
y las del tipo B son las debidas al instrumento y se pueden obtener de certificados de
48
ANALISIS DE ~CERTIOUMBRE EN EL APCG CAP~TULO 5
calibración, errores de diseño, incertidumbre de resolución de los instrumentos, estabilidad
de la variables a medir, etc.
En el arte de la medición, un experimento bien diseñado puede facilitar en gran medida
evaluaciones confiables de la incertidumbre. Así en este capítulo se presenta la evaluación
de las incertidumbres del aparato de placa caliente con guarda.
Para obtener resultados confiables en las pruebas que se realicen en el APCG es necesario
realizar un análisis de incertidumbre, por lo cual permitirá determinar la clase de exactitud
del instrumento así como mostrar cual de los elementos que lo forman se pueden mejorar
para alcanzar un nivel de exactitud adecuado.
En el punto 5.2 se presenta la. ecuación de Fourier para la determinación de la
conductividad térmica en APCG. En el punto 5.3 se presenta un modelo estadístico para el
cálculo de la incertidumbre estándar combinada relativa de una prueba. En el punto 5.4 se presenta un modelo estadístico para la determinación de la incertidumbre de la
conductividad térmica. En el punto 5.5 se presentan los resultados obtenidos de
incertidumbre para diferentes condiciones de operación del APCG. En el punto 5.6 se
presentan algunas conclusiones con respecto a los resultados obtenidos para la incertidumbre del APCG.
5.2 EC. DE FOURIER PARA LA DETERMINACI~N DE LA
CONDUCTIVIDAD TÉRMICA EN EL APCG
El aparato de placa caliente con guarda (APCG) es un aparato primario que se usa para
medir la resistencia y la conductividad térmica aparente de materiales aislantes. En la figura
1.2 se muestran las principales características de un APCG.
La ecuación para determinar la conductividad térmica esta dada por la relación:
49
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPITULO 5
k=QL/(AAT) (5.1)
Donde ‘Q’ es la rapidez del flujo de calor a través de la muestra en W, ‘k’ es la
conductividad térmica de la muestra en W/m K, ‘AT’ es la diferencia de temperatura a
través de la muestra en K o OC, ‘L‘ es et espesor de la muestra en m, y ‘A’ es el área de la
sección transversal en m2. El material que forma la muestra es en general una mezcla de un
compuesto laminar y puede contener porosidades o celdas vacías en las que el calor se
puede transmitir por convección y radiación, así como por conducción a través del material;
en estos casos el parámetro k de la ecuación (5.1) es la conductividad térmica aparente de la
muestra.
La cantidad de calor se determina por medio de la intensidad de corriente que circula por la
resistencia calefactora y la caída de voltaje en la misma y la ecuación (5.1) se expresa
como:
VIL A A T
k =
5.3 MODELO ESTADISTÍCO PARA EL CÁLCULO DE LA
INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA RELATIVA DE UNA
PRUEBA
La incertidumbre estándar combinada relativa de una prueba [U,(Y)/Y]2 (Y=mensurando)
se determina al aplicar la ley de propagación de incertidumbres a un modelo definido para
cada caso del mensurando, donde las incertidumbres involucradas pueden ser de ambos
tipos A y B, y esta dada en [24], siendo la siguiente expresión:
(5.3)
50
Donde ‘y’ es la estimación del mensurando ‘Y’, ‘f es la función que relaciona las
variables involucradas en el mensurando, las derivadas parciales ‘ % ’ se les denomina
coeficientes de sensibilidad, ‘U,(y)’ se define como la incertidumbre estándar combinada
de la prueba ‘y’, u(xJ es la incertidumbre estándar de xi.
ax ,
Pira cada una de las u(xi) las fuentes de incertidumbre son de dos tipos: Incertidumbre de
Tipo “A”, debido a la repetibilidad de la variable e Incertidumbre de Tipo “B”, como es la
incertidumbre de los instrumentos para lo cual se requiere consultar los certificados de
calibración, incertidumbre por resolución de los instrumentos, incertidumbre por la
estabilidad de la variable.
La incertidumbre del Tipo A se calcula de acuerdo a la siguiente relación:
Donde ‘ S(g)’ es la desviación estándar experimental de la media de las lecturas del
instrumento, ‘n’ es el número de mediciones, ‘ S 2 ( q i ) ’ es la desviación estándar
experimental. La desviación estándar de las lecturas se calcula por la ecuación:
Donde ‘qi’ es la magnitud medida.}? de la cual se han obtenido n observaciones bajo las
mismas condiciones de medición, ‘ q’ es la media aritmética o promedio de las n
observaciones. La media aritmética se calcula por la siguiente relación:
51
ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CG CAP~TULO 5
- 1 ” 4 = -c 4 ;
n
La incertidumbre del Tipo B se toma de fuentes externas, tales como magnitudes asociadas
con patrones de medición calibrados, materiales de referencia certificados y datos de
referencia obtenidos de manuales. Este tipo de incertidumbre se determina por el
certificado de calibración.
5.4 MODELO ESTADISTÍCO PARA LA DETERMINACI~N DE LA
INCERTIDUMBRE DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA
Aplicando la ecuación (5.3) nuestra expresión para la incertidumbre de la conductividad
térmica está dada por:
(5.7)
Donde la conductividad térmica “k” está definida por la ecuación (5.2). AI desarrollar la
ecuación (5.7) para las cinco variables de la ecuación (5.2) se obtiene:
1 ak 1 ak k av k dl k dL
2 1 dk k a A k dAT
donde las derivadas parciales están dadas por:
52
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CG CAP~TULO 5
VL - d k a i A A T
VIL - - - d k dA A ’ A T
VIL a A T A A T
- - a k
(5.10)
(5.12)
(5.13)
Que representan los coeficientes de sensibilidad del modelo para la determinación de la
conductividad térmica. Si se sustituyen las ecuaciones’(5.9), (5.10), (5.1 l), (5.12) y (5.13)
en la ecuación (5.8) se tiene:
2 VIL 1 VIL ----) d A T 2
k A ( q - T , Y
Finalmente si se sustituye en la ecuación (5.14), la ecuación (5.2) se obtiene:
(5.14)
53
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAP~TULO 5
2
+ -- dA + -__ ( a)' [ ( T c : T f ) ) dAT2 (5.15)
La ecuación (5.15) nos da el valor de la incertidumbre buscada para el modelo de
determinación de la conductividad térmica.
5.5 RESULTADOS DE LA INCERTIDUMBRE PARA EL APCG
Para evaluar el resultado de la ecuación (5.15), es necesario especificar la incertidumbre del
mensurando de cada una de las variables del modelo. Las variables que estan contenidas en
el modelo son el flujo de calor el cual se determina por mediciones de intensidad de
corriente y voltaje a través de la resistencia por medio de multimetros digitales de 4 %
dígitos, la longitud o espesor de la muestra se determina por un vernier, el área que se
calcula a partir de la medición del diámetro del plato con un vernier, y las temperaturas de
las placas fría y caliente que se determinan usando sensores de temperatura (termopares) y
tomando un promedio de 4 mediciones (con una serie de 10 mediciones para cada una de
las 4 mediciones) en la placa caliente y tomando un promedio de 2 mediciones (con una
serie de 1 O mediciones para cada una de las 2 mediciones) en la placa fría.
Los resultados de evaluar las incertidumbres del tipo A y B para cada una de las variables
se muestra en la siguiente tabla 5.1 :
Tabla 5.1 Incertidumbre para el APCG usando valores representativos de las variables.
54
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CCi CAPiTULO 5
[I(( l/k*~kl~i)L(d~i))’]”L*lOO Unidad
Incertidumbre
Para obtener este resultado se utilizan los valores medidos de las siguientes variables del
experimento:
k3.79118 Yo
Voltaje, V=1.5V
Intensidad de Corriente, I=0.6A Espesor, L=25.4 mm Área, A=18531 mm2
Temperatura Caliente, T,=50 OC
Temperatura Fría, T ~ 2 0 OC
Y los valores de la incertidumbre estándar de las variables son los siguientes:
Voltaje, dV=O.OlV Intensidad de Corriente, dI=O.OlA
Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=l O mm2
Temperatura Caliente, dT,=0.5 OC Temperatura Fría, d T ~ 0 . 5 OC
En la tabla 5.2 se presentan las incertidumbres, para el caso de tener una diferencia de
temperaturas entre la placa caliente y fría de 10°C.
Tabla 5.2 Incertidumbre usando un gradiente de temperatura de 10°C.
55
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL AI’CG CAPiTULO 5
xi
T,-T~
(1ik*8kl&)~ Valor Unidad (dx,)‘ Unidad (l/k*8k/&i)2(dxi)2 Unidad
( I / (T~-T~) )~ I .O* IO-^ “-’ 1 .o OC‘ 1.0*10‘ Adim
Para este cálculo se utilizaron las siguientes variables medidas del experimento:
Incertidumbre
Voltaje, V=I.SV
Intensidad de Corriente, I=0.6A
Espesor, L=25.4 mm
Área, A=18531 mm2
Temperatura Caliente, T,=30 OC
Temperatura Fría, Tf20 OC
[I(( 1 lk*W&i)’(d~i))~]”~* 1 O0 Unidad
Ii0.16184 %
Y los valores de la incertidumbre estándar de las variables son los siguientes:
Voltaje, dV=O.OlV
Intensidad de Corriente, dI=0.01 A Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=l O mm2
Temperatura Caliente, dT,=0.5 OC
Temperatura Fría, dTp0.5 OC
Comparando los resultados de la tabla 5.1 y la tabla 5.2, se observa que mantener un
gradiente más pequeño incrementa la incertidumbre en un factor de 3 aproximadamente.
En el caso que se sustituya el instrumento que se utiliza para la medición de voltaje e
intensidad de corriente, por uno de mejor clase de exactitud y se mantenga la estabilidad
mostrada por las variables, entonces se puede mejorar la incertidumbre de los resultados, tal y como lo muestra la tabla 5.3 .
56
ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAP~TULO 5
Tabla 5.3 Incertidumbre usando una mejora en un factor de 10 para las mediciones de
voltaje e intensidad de corriente.
Para lo cual se emplearon las siguientes variables medidas:
Voltaje, v=1.5v
Intensidad de Corriente, I = O . ~ A Espesor, L=25.4 mm
Área, A=18531 mm2
Temperatura Caliente, T,=30 "C
Temperatura Fria, T ~ 2 0 "C
Y los valores de la incertidumbre estándar de las variables son los siguientes:
Voltaje, dV=O.OOlV Intensidad de Corriente, dI=0.001 A Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=lO mm2
Temperatura Caliente, dT,=0.5 "C
Temperatura Fría, dTrO.5 OC
En el caso que se sustituya el instruniento de medición que se utiliza para la medición de la
temperatura, por uno de mejor clase de exactitud y se mantenga la estabilidad mostrada por
las variables, entonces se puede mejorar los resultados, tal y como io muestra la tabla 5.4.
57
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN E L APCG CAPiTULO 5
Tabla 5.4 Incertidumbre usando una mejora en un factor de 5 para la medición de
temperatura.
Para este cálculo se utilizaron las siguientes variables medidas del experimento:
Voltaje, V=I.SV Intensidad de Corriente, I=0.6A Espesor, L=25.4 nun Área, A=18531 mm2 Temperatura Caliente, T,=30 "C
Temperatura Fría, T r 2 0 "C
Y los valores de la incertidumbre estándar de las variables son los siguientes:
Voltaje, dV=O.OlV
Intensidad de Corriente, dI=O.OlA Espesor, dL=0.05 mm Área, dA=l O mm2
Temperatura Caliente, dT,=O. 1 'C Temperatura Fría, dTpO.1 'C
En la tabla 5.5 se muestra el resultado de la incertidumbre, para el caso que se sustituyan
los instrumentos de medición que se utilizan para la medición de voltaje, intensidad de
ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPITULO s
corriente y temperatura, por unos de mejor clase de exactitud y se mantenga la estabilidad
mostrada por las variables
Tabla 5.5 Clase de exactitud para el APCG usando un'factor de cobertura uno.
Para lo cual se emplearon las siguientes variables medidas:
Voltaje, V=l.5V Intensidad de Corriente, I=0.6A
Espesor, L=25.4 mm Área, A=18531 mm2 Temperatura Caliente, T,=30 "C Temperatura Fría, T r 2 0 "C
Y los valores de la incertidumbre estándar de las variables son los siguientes:
Voltaje, dV=O.OOlV Intensidad de Corriente, dI=O.OO 1A Espesor, dL=0.05 mm Área, dA= 1 O mm2 Temperatura Caliente, dT,=O.l OC Temperatura Fría, dTyO.1 "C
59
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPITULO 5 I
De donde se observa que las principales fuentes de incertidumbre son los valores medidos
de voltaje, intensidad de corriente y temperatura, los cuales se mejoran en un factor de 10
para los dos primeros y 5 para el último. Este análisis nos permitirá mejorar la calidad de
los instrumentos que se utilizan en la medición de las variables, de tal manera que la
incertidumbre se pueda reducir ai 2%, tal y como se indica en la tabla 5.5.
5.6 CONCLUSIONES DE LA INCERTIDUMBRE PARA EL APCG
En este capítulo se ha presentado el análisis de incertidumbre para determinar la
conductividad térmica de materiales, utilizando el modelo de la sección 5.4 que se propone.
En dicho análisis se utilizan los datos de las variables medidas del experimento, esto
permite sugerir modificaciones a la clase de exactitud de los instrumentos que se emplean.
Se ha observado que medir de forma más precisa el área y el espesor de la muestra no
contribuye de manera significativa a reducir la incertidumbre, pero si se utilizan mejores
instrumentos de medición para determinar el voltaje y la intensidad de corriente se puede
reducir la incertidumbre hasta IO%, tal y como se observa en la tabla 5.3. Esto se consigue
si se mantiene la estabilidad de las variables y se utilizan multímetros de 5 % dígitos.
La medida que más contribuye a la incertidumbre, es la diferencia de temperaturas. Para
reducir esta incertidumbre se pueden aplicar dos alternativas: la primera es mejorar la
exactitud de los instrumentos de medición que se utilizan para su determinación, en este
caso corresponde a termopares, para los cuales tener una incertidumbre estándar menor o
igual a O. 1 OC no es muy factible, por lo cual se requiere otro tipo de sensores, tales como
los sensores de platino calibrados y caracterizados. Estos pueden alcanzar una exactitud de
0.1OC. El usar este tipo de sensores representa un costo adicional muy alto ya que se
requieren 10 sensores de platino cuyo costo es 200 YO superior que los termopares, además
se requiere utilizar un multímetros de mucho mejor clase de exactitud o puentes de
resistencia cuyo costo es mayor que el sistema que se esta utilizando. La segunda
alternativa corresponde a un arreglo de termopares diferenciales que permitan la
60
ANALISIS DE INCERTIDUMBRE EN EL APCG CAPiTULO 5
determinación de la diferencia de manera directa lo cual requiere de un arreglo muy
complejo para el sistema ya que las placas están separadas por el espesor de la muestra.
Por lo que se concluye que utilizar solamente termopares es adecuado si se requiere una
clase de exactitud en las mediciones de 4 YO. A este valor es necesario adicionar el error de
calibración con una muestra patrón yio el error estimado de diseño. Con estos resultados y
después de calibraciones con materiales de referencia, se concluye que el limite establecido
en el diseño del instrumento corresponde al límite que se fija en las mediciones, ya sea por
la clase de instrumentos yio estabilidad del sistema.
I
61
DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTlVlDAD TERMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPiTULO 6
CAP~TULO 6
DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES
6.1 INTRODUCCI~N
El Aparato de Placa Caliente con Guarda mide la conductividad térmica de un material
aislante para una condición de frontera de temperatura particular. Como se mencionó en el capitulo 1, hay un elemento calefactor en el área de medición A de la placa caliente. La
potencia Q que produce este elemento calefactor se determina con base en las mediciones
de voltaje y corriente en el calefactor. C.on_el.fin.de.as~egurarmejor_exactitud_y_repetitividad
~nla~car.acterización4e_la_muest~a,~es~~e~e~ario~que~e~uj.o~de~calor sea e-n-una dimensión.-
Para ello, la guarda de placa caliente se mantiene a la misma temperatura que él área de
medición. Así la conductividad térmica de la muestra en estado permanente, se determina
con la siguiente ecuación:
Donde Ek es la incertidumbre total en la determinación de la conductividad térmica y se
calcula en el capítulo 5.
Se debe notar que cada paránietro de la ecuación (6.1) representa un promedio. El
procedimiento de prueba consiste en colocar la muestra en el aparato y monitorear las
temperaturas de los platos y la potencia eléctrica, Q, para establecer cuando estos no
cambian con el tiempo (dentro de los limites de la instrumentación de control). La prueba
asi, se considera que es en estado permanente cuando los valores monitoreados varían
aleatoriamente cercanos a un valor promedio. El criterio utilizado para considerar que el
62
OETEWINACION DE LA CONDUCTIVIOAO TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPITUUJ 6
sistema alcanzo el estado permanente, .- fue que - los valores - . .~ de temperatura . estuvieran ~ dentro .- - del 0.5% del valor promediojara cada valor respectivamente.
La incertidumbre individual de cada parámetro al realizar una prueba contribuye a la
incertidumbre total en la determinación de la conductividad térmica.
Los principales parámetros a medir al realizar la prueba son: el área de medición A, El
espesor de la muestra L, el flujo de calor Q, y la diferencia de temperatura de las placas (Tc
- TF).
En el punto 6.2 se describe el procedimiento para realizar una prueba en el APCG. En el
punto 6.3 se muestra el reporte de la medición de. un material caracterizado (Owens
Corning) y el reporte de un material aislante (Acrilico) y en el punto 6.4 se presentan las
conclusiones con respecto a los resultados de las pruebas.
6.2 PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA
El procedimiento para realizar la prueba, para determinar la conductividad térmica, se)
puede resumir en las siguientes etapas:
1. Selección de la muestra
2. Preparación de la muestra y su instalación en el aparato
3. Establecer el estado permanente térmico
4. Adquisición de datos
I\
6.2.1 Selección de la muestra
Los factores más importantes en la selección de la muestra es el tamaño; diámetro y
espesor, homogeneidad, especificaciones del fabricante, restricciones para realizar la
prueba (control de humedad). El tamaño es importante para mantener el error dentro del
63
DETERMINACI~N DE I.A CONDUCTIVIDAO TERMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPiTULO 6
máximo permitido. El diámetro de la muestra se debe elegir de tal manera que se cubra
completamente el área de medición es decir 152.4 mm, pero se recomienda que el material
A t m c A $ < , % .A- I- cubra el área de medición y la guarda, es decir 305 mm o mayor. P,Gd .--A 11 I L \ ,rjrlv , i e\ e < 7 3 r
Con respecto a la homogeneidad de la muestra se presentan dos problemas potenciales en la
determinación del flujo de calor; uno es de interpretación y el otro se refiere a la
degradación del funcionamiento del aparato. El primero se puede resolver ai interpretar los resultados como una conductividad térmica aparente y hacer las aclaraciones para este caso,
el segundo se refiere a que el sistema puede no alcanzar un estado permanente ai existir
trayectorias de conducción y convección muy definidas que no permitan alcanzar tal
estado. Por lo tanto se debe considerar la parte más homogénea de la muestra y se
interpretan los resultados de acuerdo a los ajustes que se realicen.
6.2.2 Preparación de la muestra
La preparación y acondicionamiento de la muestra se realiza de acuerdo a las indicaciones
del fabricante. En general es necesario preparar las superficies de la muestra para asegurar
un buen contacto térmico entre ésta y las placas del medidor. Si la muestra es rígida puede
ser necesario colocar termopares en la superficie de contacto con las placas y termalizar la
muestra a una temperatura cercana al valor de la prueba.
6.2.3 Establecimiento del estado permanente térmico
Esta etapa se inicia después de la instalación de la muestra en el área de medición y en caso necesario también la instalación del material de la guarda y el aislante para evitar la acción
de las condiciones ambientales. Las placas caliente y fria se ponen en operación para
alcanzar las condiciones de temperatura a la que se realizará la prueba.
El tiempo requerido para alcanzar el estado permanente varía de acuerdo a la muestra que
se desea medir y las condiciones de la prueba. Sin embargo, el tiempo para alcanzar el
estado permanente de una muestra de 25.4 mm de espesor y aparentemente homogénea fue
64
CAPfTULo 6 DETERMINACION DE LA CONDUC~VIDAD TÉRMICA DE MATENALES N S L ~ S
de aproximadamente 5 horas. Este periodo de tiempo se incrementa ligeramente con el espesor. En el caso de algunas muestras visiblemente no homogéneas y de 50.8 mm de
espesor el tiempo fue de 8 horas que fue el tiempo máximo que ha sido empleado en las
muestras que se han medido.
En la figura 6.1 se muestra la distribución de temperatura hasta que alcanza el estado
permanente para la prueba del material caracterizado Owens Coming, las lecturas de
temperatura corresponden a un termopar colocado en la placa caliente y a un termopar
colocado en la guarda. En esta figura se puede observar que la temperatura de la guarda fue
similar a la de la placa caliente.
70 -, 1
1 a5 169 253 337 421 505 Tiempo (minutos)
Figura 6.1 Distribución de temperatura para alcanzar el estado permanente
Después de que se alcanza el estado permanente se realizan cinco corridas de registro de
datos para cada intervalo de 30 minutos y por lo tanto cada comda contiene 10 puntos de cada una de las variables medidas para cada intervalo de 1 minuto.
Si los datos cambian de manera monótona con el tiempo la prueba se considera sospechosa
y por tanto se realizan otras pruebas hasta que se cumpla el criterio de estado permanente.
Si no se cumple el criterio de estado permanente, entonces se concluye que las
características de la muestra cambian o que el sistema no alcanza un estado permanente
dentro de las limitaciones de la prueba.
65
DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIOAO TeKMiCA DE MATERIALES AlSLANTES CAPITULO 6
Una vez terminadas las pruebas, se desmonta la muestra y los componentes del sistema,
para examinar sus condiciones finales, se verifican su apariencia, el espesor y se observa si
existen cambios significativos al desarrollar la prueba.
6.2.4 Adquisición de datos
Los datos que son requeridos para el procedimiento de la prueba son los siguientes:
potencia eléctrica, las temperaturas superficiales, el área de medición y el espesor de la
muestra. De estas variables sólo el espesor fue medido directamente y las otras variables
fueron calculadas de Las mediciones que fueron realizadas.
La cantidad de flujo de calor fue calculada, midiendo la intensidad de corriente que circula / por la resistencia calefactora y la caída de voltaje en la misma, utilizhdo la relación:
FLp, Ac m ( a 4
Q=VI (6.2) -
R.04 4, m.-Jic'-n El área de medición se obtiene del promedio del área de la placa caliente y el área de
separación entre el área de medición y la guarda y se calcula por la formula:
w a t u r a es medida por la fuerza electromotriz de cada uno de los termopares.
datos se convierten a lecturas de temperatura por la relación que resulta de la
los termopares. Esta relación se programa en la tarjeta adquisitora, para tener como
resultado el valor de la temperatura directamente.
La configuración del sistema experimental de prueba se muestra en la figura 6.2.
66
DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPITULO 6
Fig.6.2 Configuración del sistema experimental
6.2.5 Análisis de Resultados
Con los valores que se obtuvieron de las mediciones, se calculan los valores de las variables
necesarias, como es el flujo de calor, la temperatura de la placa fria, la temperatura de la
placa caliente, la temperatura media o de la muestra, la diferencia de temperaturas a través ,/ de la muestra, el área de medición y el espesor de la muestra. Estos valores se promedian y
se obtienen los valores promedio de las pruebas. La incertidumbre que se reporta consiste
en el valor promedio y su error o incertidumbre.
J En el reporte de la prueba se incluye una identificación de la muestra, las condiciones
ambientales de la prueba, las características más importantes de la prueba y los resultados
que se miden u obtienen, así como su incertidumbre. Cualquier observación adicional que
se presentó durante la prueba o al desmontarla del equipo también se reporta.
67
DETERMINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAL) .TÉRMICA DE MATERIALES AISLANTES CAPITULO 6
Cenidei Laboratorio de Térmica
Nombre del Operador:'
JESÚS PERFECTO XAMÁN VILLASEÑOR
6.3 REPORTE DE LA MEDICI~N DE MATERIALES AISLANTES
Número de Prueba: uno
Duración de la Prueba: 8.5 horas
En el laboratorio del Cenidet fueron evaluadas dos muestras de materiales aislantes: la
primera es una muestra de aislante térmico comercial Owens Corning, en forma cuadrada
de 30 cm por lado y la segunda es una muestra de acrílico transparente comercial de 12 mm de espesor, de forma cuadrada de 20 cm por lado. La muestra de aislante Owens Corning
consiste de una placa rígida cuadrada de 25.4 mm de espesor y longitud del lado de 300
mm, el reporte individual de esta prueba se muestra en tabla 6.1. La muestra de acrílico
consiste de una placa cuadrada de 20 x 20 cm de longitud y 12 mm de espesor el reporte
individual de esta prueba se muestra en tabla 6.2.
Nombre de la variable:
Flujo de calor
Temperatura en la placa fria
Temperatura en la placa
caliente
Valor Promedio:
0.60 W
28.23 "C
54.14 OC
68
DETERMINACION DE LA CONDUCTIVIDAD ‘TÉRMICA DE MATERIALES AISLANrES CAPITULO 6
-Temperatura media o de la prueba
Area de medición
Espesor de la muestra
41.53 “C
18531 mm’
25.4 mm
Conductividad térmica
aparente
Resistencia t&rmica
Tabla 6.2. Reporte de la prueba para la muestra I# 2
0.03 17 WIK m
0.801 K m‘/W
Cenidei Laboratorio de Térmica
Nombre del Operador:
JESÚS PERFECTO
XAMAN VILLASEÑOR
69
Número de Prueba: dos
Duración de la Prueba: 6 horas
Nombre de la variable: Flujo de calor
Temperatura en la placa
fría
Temperatura en la placa
caliente Temperatura media o de
la prueba
Valor Promedio:
6.48 W
26.66 “C
37.83 “C
32.25 “C
Área de medición
Conduciividad térmica 1 0.376 W K m
18531 nun’ Espesor de la muesira
I Observaciones: I
12 m.
Para las dos pruebas se utilizo un instrumento Cenidet-305 mm Modelo AFCG-001-96 de
fuente de calor lineal circular. Un diagrama esquemático para la prueba se muestra en la
figura 6.3. La muestra (A) se coloca entre la placa caliente (B) y la placa fría (C). El flujo de calor que se produce eléctricamente en la placa caliente fluye a la placa ftía a través de
la muestra. La guarda tiene la función de evitar pérdidas por transferencia de calor radial en el área de medición.
Resistencia térmica
- B
A
- C
0.032 K m2/W
Fig.6.3 Diagrama esquemático para la prueba
En la figura 6.4 se muestra el comportamiento de la temperatura, para la placa caliente y la
placa fría durante la prueba del material aislante (acnlico). En esta figura se observa como
70
DETERh4lNACl6N DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MATEñlALES.AlSLANTES CAPiTULO 6
40.
L 30. 0 35
5 20.
E 10. 15.
5. O.
+
se alcanza el estado permanente en la placa caliente y como la temperatura de la placa fria
no varia en 1e.tiempo.
T a c a Caliente
. .--.+--- . --- - *
25.- - y Fiaca Fría
t
Muestra
1
2
J
Espesor Teiiiperatura media . Conductividad térmica aparente
ímm) ("C) ( Wim K) 25.4 41.53 0.0317
12 32.25 0.376 ~
1 53 105 157 209 261 Tiempo (minutos)
Figura 6.4 Distribución de temperatura de la prueba del Acrílico
6.3.1.Resultados para la prueba de conductividad térmica ASTM C-177-
97
En la tabla 6.3 se muestran los resultados que se obtuvieron para la conductividad térmica
de la muestra del material caracterizado (muestra # I ) y para la muestra de acrílico
transparente (muestra # 2). La prueba de los materiales se realiza de acuerdo con la norma
ASTM C-177-97. /
71
OETERMMACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA DE MATERIALES AlSLANTES CAPiTULO 6
6.4 CONCLUSIONES DE LAS PRUEBAS REALIZADAS
El resultado de la prueba # 1 sirvió para caracterizar el instrumento, ya que es un material
de referencia y tiene un valor de conductividad térmica proporcionado por el fabricante, el
cual se midió en un laboratorio (Holometrix) de Estados Unidos, el valor proporcionado fue
de 0.0308. Este valor representa una desviación menor al 3 % con respecto al que se
* obtiene en nuestro laboratorio (el valor que se midió en el laboratorio de Cenidet fue de
0.0317). El porcentaje de diferencia se encuentra dentro de la clase de exactitud del
instrumento.
El material de acrílico se evaluó por una necesidad departamental y se comparó con
respecto al reportado en tablas para materiales similares. El valor que se midió de la
muestra de acrílico (prueba # 2) fue de 0.376, en la literatura se encontraron materiales
similares, como Acrílico Nitrilo y Acrílico vaciado y el valor de conductividad está entre
0.2 y 0.4 por lo que el valor es razonable y con algunas otras especificaciones se podría
comparar mejor.
72
CAPÍTULO 7
CONCLUSIONES GENERALES
7.1 CONCLUSIONES
Se planteó un modelo analítico bidimensional transitorio, para la’transferencia de calor para
la placa y uno para la guarda. Se resolvió la ecuación de conducción de calor, en
coordenadas cilíndricas con condiciones de frontera convectivas, para la placa caliente y para la guarda del APCG. Se obtuvo la solución analítica para el problema y se realizó un
código para obtener los campos de temperatura tanto para la placa como para la guarda bajo diversas condiciones de frontera, se encontró que utilizar mas de dos raíces en los dos casos * no fue necesario y la mayoría de las veces con una raíz se obtuvieron resultados confiables.
De los resultados obtenidos en el modelo, se encontró que es necesario incluir el término de
generación de calor angular, para romper la simetría azimutal y obteneLlas dependencias
angulares para la distribución de iciiiperatura. Esto permitiría encontrar la posición optima
de los tennopares en ‘Y’ y “41’‘. También fue posible evaluar las distribuciones de
temperaturas en la placa caliente y en la guarda como función de las condiciones
ambientales.
Se realizaron cinco pruebas experimentales con distintas combinaciones de condiciones a la frontera para observar si existía algún caso que se pudiera comparar con los resultados
analíticos. De estas pruebas se determinó que existieron dos casos en los que pudieron
comparar los resultados analíticos. Dicha comparación sirvió para validar el código y
mostró que los modelos con las consideraciones que se supusieron reproducen
confiablemente los resultados experimentales.
73
CONCLUSIONES GENERAI.ES CAPiTULO 7
Se desarrolló el cálculo de las incertidumbres, para esto se utilizó la ecuación de Fourier
para la determinació.n de la conductividad térmica en APCG siguiendo los criterios de la
guía BIPM/ISO para la expresión y cálculo de incertidumbres. S e n c o - n t r a r q n l o s
coeficientes de sensibilidad dgJa-m~edición Y mos tdque el.,.p~~á-melo_qriecontribuye_a_
incrementar la incertidumbre fue la diferencia ciitgmperaturas. Por lo que se sugiere que se
mejore la calidad de los instrumentos de medición que se utilizan para medir temperatura.
Esto reduciría la incertidumbre hasta en un 2 %.
Finalmente, se realizó una prueba con un .material ya caracterizado para evaluar el
funcionamiento del APCG y se encontró que hay una desviación del 3%. Esta desviación es
menor que la clase de exactitud del instrumento que fue de 4%, por lo que se concluye, que
las pruebas realizadas con el APCG son aceptables.
El contar con el modelo desarrollado en este trabajo, más el modelo desarrollado por
Salazar [3], pudiera permitir un mejor diseño del APCG, ya que se han podido determinar
de mejor manera los procesos de eansferencia de calor que ocurren en el APCG.
7.2 RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS
Automatizar el APCG para las pruebas que se realicen para la determinación de la
conductividad térmica.
Involucrar un término de generación de calor al modelo matemático, que rompa con la
simetría angular, tanto como en la placa caliente, como en la guarda del APCG.
Incorporar el APCG al CENAM, para que sea el instrumento patrón.
Realizar un segundo aparato con un área de medición más grande.
74
BlBLlOGRAFlA
B I B L I O G R A F Í A
[I] Morales Cuevas F; “Diseño de un Aparato para Medir la Conductividad Térmica de
Fluidos”; Tesis de Maestría, CENIDET; Cuernavaca, Morelos; Abril, 1998.
[2] ASTM; “Standard Test Method for Steady-State Heat Flux Measurements and Thermal
Transmission Properties by Means of the Guarded-Hot-Plate Apparatus”; American Society
for Testing and Materials, 1985 Annual Book of ASTM Standard; Vol. 04. 06, Standard
ASTM C 177-85; Philadelphia; pp. 1-16; 1985.
[3] Salazar Mendoza R “Disefio, Construcción y Caracterización de un Equipo para Medir
Conductividad Térmica de Materiales Aislantes en el Intervalo de Temperatura de -75°C a
25Oo0Oc”; Tesis de Maestría, CENIDET; Cuernavaca, Morelos, Julio, 1997.
[4] Hust J . G; “Glass Fiberboard SRM for Thermal Resistance, National Bureau of Standards”; U. S. Department of Commerce, NBS/SP-260/98; pp. 1-31; 1985.
[5] Lira L., Chávez Y., Morales J. M; “Determinación de la Conductividad Térmica de
Materiales Aislantes”; Memorias del V Congreso Técnico de la Asociación Geotérmica
Mexicana; Guanajuato, Gto; pp. 103-108; 26-29 Noviembre, 1997.
[6] Achenbach P. R., Powell F. J; “Building Research at the National Bureau of Standards”;
Building Science Series O, Government Printing Office; Washington, D. C; 1970.
[7] Hahn M. H., Robinson H. E., Flynn D. R; “Robinson Line-Heat-Source Guarded-Hot-
Plate Apparatus”; Heat Transmission Measurements in Thermal Insulations; ASTM STP
544, R. P. Type, Editor; Philadelphia; pp. 167-i92; 1973.
[8] Dickinson H., Van Dusen M; “The Testing of Thermal Insulations”; The American
Society of Refrigeration Engineers; Vol. 3, pp. 5-25, Septiembre 1916.
75
[9] Van Dusen M; “The Thermal Conductivity of Heat Insulators”; The American Society
of Heating and Ventilating Engineers; Vol. 26, pp. 385-414, Octubre 1920.
[lo] Van Dusen M., Finck J. L; “Heat Transfer Through Insulating Materials”; American
Institute of Refrigeration; pp. 137-149, Mayo 1928.
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Summarized in Nature, Vol. 204, p. 636: 1964.
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[26] Abramowitz M., Stegun I; “Handbook of Mathematical Functions”; Dover
Publications, Inc; 1972.
78
APÉNDICE A
DESARROLLO MATEMÁTICO PARA OBTENER LA EXPRESIÓN DE TEMPERATURA T2 POR EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES (ECUACIÓN (2.12))
El. problema consiste en obtener una expresión para la distribución de temperatura
T , ( r , 4 , t ) de un sólido cilíndrico O < r I b, O 2 4 2 27c, el cual esta inicialmente a una
temperatura ambiente To . Para un tiempo t >O en la frontera de la superficie del cilindro
en r = b se disipa calor por convección a un medio a temperatura To, es como sigue:
Formulación matemática:
1 d T , 2 - - .__ - 1 d 2 T + --, z+ -~ ay r d r Y a 4 2 a a t d 2T, 1 a T ,
en O < r < b , 0 < 1 $ $ 2 x , para t > O
Condición de frontera:
% + H T , = O en r = b, H = h / k para t > O a r
Condición inicial:
('4.2)
19
Suponiendo una separación de variables de la forma:
Y se sustituye (A.4) en (A.l) se tiene:
r a r r ' a d L a a t
Entonces:
AI dividir la ecuación (AS) entre R ( i ) @ ( 4 ) r ( t ) se obtiene:
AI igualar la ecuación (A.6) a una constante arbitraria se tiene:
= - p 2 1 1. d 2 @ 1 1 d T r 2 O d d 2 a r at
- -___ - 1 d 2 R 1 dR R dr r dr
+ --) + ... -(1 ('4.7)
La única forma que la ecuación (A.7) se satisfaga es que cada grupo de funciones en esta ecuación (ec. (A.7)) sea igual a una constante de separación arbitraria de la forma:
80
APÉNDICE A
Entonces las ecuaciones separadas y su solución son:
+ v 2 @ = o d 2 @ d d '
La solución general para ei campo temperatura T2 ( Y , 4, t ) se construye en términos de
estas soluciones ((A.8),(A.9) y (A. 1 O), por lo tanto se tiene:
(A.12)
81
APÉNDICE A
h
AI multiplicar toda la ecuación (A. 12) por el operador I Y R ( B , Y ) dr se tiene: o
(A.13)
AI utilizar la propiedad de ortogonalidad de la función R, (pm 3 en (A. 13) se tiene:
Donde se define una función f ( 4 ) y la norma N(P,) como:
(A. 15)
(A. 16)
Para la determinación de A",,. , se multib..ca la ecuación (A.14) por el operador
2 n I Sen "4 ' d 4 ' y utilizando la propiedad de ortogonalidad de la función Sen v4 # ' = o
se obtiene:
82
APÉNDICE A
277
= J r $'=O
4 ) S e n vq5 ' d 4 '
Entonces:
(A.17)
Para la determinación de B,,,,, ~ se multiplica la ecuación (A.14) por el operador
2r I Cos v4 ' d 4'' y utilizando la propiedad de ortogonalidad de la función C O S @ 4 ' = 0
se obtiene:
m 277
I ( A n t v S e n v4 + B,,,"Cos v4 )Cos v4 ' d 4 ' N ( p m ) =
Entonces:
(A.19)
para v = 1,2,3 ... (A.20) 1 1 2 = i)
E , , , " = 1 - - -~ 5 f ( 4 ' ) C ü s v4 I d @ ' " = I N ( P , , , 1 72 = o
83
para v = O (A.21)
Al sustituir las ecuaciones (A.18)> (A.20) y (A.21) en la ecuación (A.14), se obtiene:
Entonces se tiene:
2 ñ 1 " + -E I f ( 4 ' ) ( Sen v4 Sen v4 ' + Cos v4 Cos vb ' ) d @ ' (A.22) = " = I # I = "
Ai utilizar una identidad trigonométrica del ángulo duplo en la ecuación anterior se obtiene:
La ecuación (A.23) escrita de manera más compacta es:
84
Con v = 0,1,2,3 ... y reemplazar ír por 2ír para v = O en la ecuación (A.24)
AI sustituir la ecuación (A.24) en la ecuación (A.14) se obtiene:
Entonces se tiene:
Con v = 0 , 1 , 2 , 3 _., y reemplazar. . x por 2 IT para v = O , en la ecuación anterior.
Si se sustituye la ecuación (A.25) en la ecuación (A.11) para obtener T , ( y , 4 , t ) , se tiene:
Al sustituir la ecuación (A. 15) en la ecuación (A.26), se tiene:
(A.26)
b 2a
* 5 5r'R"(Bm,r')f(I.',+')Cos v ( + - + ' ) d + ' d r ' (A.27) r ' = O # ' = O
85
Con v = O,1,2,3 ... y reemplazar 7~ por 277 para v = O en la ecuación (A.27).
La ecuación (A.27) es la solución homogénea T, ( r , 4, t ) del problema (ecuación (2.9))
por el método de separación de variables.
86
APÉNDICE B
DESARROLLO MATEMÁTICO PARA OBTENER LAS EXPRESIONES DE LA EC. (2.17) (FUNCIÓN PROPIA, EC. DE EIGENVALORES, NORMA, Y ANÁLISIS PARA OBTENER LOS VALORES DE v )
Primero se va encontrar la función propia , para ello se hará uso de la
ecuación (A.lO), la solución de esta ecuación ((ec. A.lO)) se toma de [23], por lo tanto se
tiene:
R ( p , , I )
d 2 R , 1 d R , V 2
dr r dr I ? _____ + -- ~ + ( p 2 - ) R , = O
La solución de la ecuación (B. 1) esta dada por:
La condición para determinar es: se tiene que en r=O la temperatura
T ( r , 4, t ) debe ser finita y la unica forma que esto sea posible, es que el coeficiente B
de la ecuación (B.2) sea igual a cero (B=O), por que la función Y , ( p, r ) es divergente
en el origen y como consecuencia se concluye que la función propia es:
R , (p,,, , I )
87
Como segundo punto de este apéndice se va determinar la ecuación de valores propios para
encontrar las raíces p,2, , para ello se hará uso de la condición de frontera (ec. (A.2)) dada
como:
Condición de frontera:
E+, = o en r = - , H = h / k para 8 r
Utilizando la ecuación (A.4) supuesta en el apéndice A, dada por:
T ( r , 4 , t ) = R ( r ) @ ( $ ) r ( t )
Sustituyendo la ecuación (B.5) en la ecuación (B.4), se obtiene:
% + H R . = o e n r = b , H = h / k para t > O a r
(B.4)
(B.7)
Se realiza la derivada de la ecuación (8.3) obteniéndose como resultado:
R,: ( P , 3 7 ) = B , J,: ( P , , , y )
Sustituyendo las ecuaciones (B.2) y (B.7) en la ecuación (B.6) se tiene:
P,,, J I (P,,, r ) + HJ ,I (P, , , r ) = 0 en r = b , H = h / k para t > O (B.8)
Evaluando la ecuación (B.8) en r=b, se tiene que. la expresión para la ecuación de
eigenvalores es:
88
APÉNDICE B
Como tercer punto de este apéndice se va determinar la norma N ( p ) para ello se hará
uso de la ecuación (A. 16) dada como:
(B.lO)
Sustituyendo la ecuación (B.3) en la ecuación (B.lO) se tiene:
Para realizar la integral de la ecuación (B.l l), se utiliza la solución dada en [16], siendo la
expresión de la solución la siguiente:
Evaluando los límites se tiene:
Sustituyendo la ecuación (B.14) en la ecuación (B.13) se obtiene:
(B. 13)
(B.14)
(B.15)
89
APENDICE B
Realizando la resta de fracciones y factorizando en la ecuación anterior se tiene:
Realizando la suma de fracciones y factorizando en la ecuación anterior se tiene:
Eliminando b2 en la ecuación (B. 17) se obtiene la siguiente expresión para la norma:
La norma también se puede expresar de la siguiente manera:
(B.16)
(B.17)
(B.19)
Por último en este apéndice solo falta determinar los valores que pueda tomar v , para ello
se hará uso de la ecuación (A.9), la solución de esta ecuación ((ec. A.9)) se toma de [23],
por lo tanto se tiene:
La solución de la ecuación (B.20) está dada por:
a > ( v , b ) = Asen vb + BCos v@
(B.20)
(B.21)
90
Para la ecuación (B.20) no tenemos ninguna condición, lo único que se sabe, es que debe
ser periódica cada 2x, por lo tanto la solución de la ecuación (B.20) (ecuación (B.21)) se
puede expresar de la siguiente manera:
Si se desarrolla la ecuación (B.21) para que sea periódica o cumpla la condición (B.22) se
tiene:
Asen v@ + BCos v@ = Asen v(@ + 2n) + BCos v(@ + 2x) (B.23)
Utilizando una identidad trigonométrica (para la suma de dos ángulos) para la ecuación
anterior, entonces se puede expresar como:
Asen v# + BCos v@ = A[&n v4Cos 2nv + Sen 2nvCos v 4 ] +
B[Cos vqíCos2nv - Sen vqíSen2nvI
De la ecuación (B.24) se puede observar que:
cos 2nv = 1
Sen 2zv = O
De la ecuación (B.25) o de la ecuación (B.26) se tiene:
2xv = 2 m para n=0,1,2,3 .,..
(B.24)
(B.25)
(B.26)
(B.27)
91
, ~ , . - ~.
APÉNDICE B
Por lo tanto se concluye de la ecuación (B.27) que los valores que puede tener v son:
v = 0,1,2,3 .... (B.28)
92
-
APÉNDICE c
APÉNDICE c
EVALUACIÓN DE LAS INTEGRALES PARA ECUACIÓN (2.17)
Primero se va a realizar la integral de la función trigonométrica coseno, dada por
De acuerdo al apéndice B (ecuación (B.28)), se divide la integral de la ecuación (C.1) en
dos integrales, una integral que es valida para v=O y la segunda integral que es valida para
v=1,2_3 ...., por lo tanto la ecuación (C.1) se puede expresar como:
AI realizar las integrales de la ecuación (C.2) se obtiene:
Utilizando una identidad trigonométrica (para la resta de dos ángulos) para la ecuación
anterior, entonces se puede expresar como:
93
Evaluando los límites de la ecuación (C.4) se tiene:
1 277 COS v(+ - & ' ) d + ' = 2z - [(Sen v+Cos 2av - Sen 2nvCos v+) - V # ' = O
(Sen v+ COS O - Sen ocos v4 I] (C .5)
Debido a que Sen2nv=SenO=O y Cos2nv=CosO=l, se tiene que el segundo termino del
lado derecho de la ecuación (C.5) es cero, por lo tanto el resultado de la integral de la
ecuación (C. I ) es el siguiente:
Como resultado de la integral anterior se puede concluir que la ecuación (2.17) solo es
valida para el valor de v=O , ya que para cualquier otro valor de v la ecuación (2.17)
tendrá un valor de cero y esto es como consecuencia del resultado de la integral para la
ecuación (C.1).
Como segundo punto de este apéndice se va realizar la integral de la función propia, dada
por:
Utilizando la ecuación (B.3) dada por:
R , ( P n 3 i r ) = J , ( P , , , r )
Al sustituir la ecuación (C.8) en la ecuación (C.7) se tiene:
94
I '= o I = o
Si se usa el valor de v=O para el cual es valida.la ecuación (2.17), y se sustituye este valor
de v=O en la ecuación (C.9) se tiene:
(C.10)
La solución de la integral de la ecuación anterior se toma L- [23], donde se tiene como
resultado la siguiente expresión:
(C.11)
Evaluando los limites de la ecuación (C. 1 l), se tiene como resultado de la integral para la
ecuación ((2.7) la siguiente expresión:
! r ' R , , ( p * , r ' ) d r ' = b .I I ( P "J b ) (C.12) h
,'=O P "l
Como tercer punto de este apéndice se va realizar la integral de la exponencial dada por:
Realizando la integral de la ecuación (C. 13) se tiene:
(C.13)
(C.14)
95
Evaluando los limites de la ecuación (C.14), se tiene como resultado de la integral para la
ecuación (C.13) la siguiente expresión:
(C.15)
Por último para este apéndice solo falta realizar la integral que involucra el termino de
generación de calor, como la fuente de calor solo depende de '' r ", entonces la integral está
dada por:
(C.16)
Expresando el término de generación de calor con la función Delta en la ecuación (C.16) se
tiene:
Donde, g, representa una fuente de calor superficial (ya que en el APCG se tiene una
fuente de calor superficial como elemento calefactor), 6(.) es la función Delta Dirac y rl
es la posición en donde se encuentre la fuente.
Sustituyendo la función propia (e.c. (B.3)) enla ecuación (C.17) se tiene:
Si se usa el valor de v=O para el cual es valida la ecuación (2.17), y se sustituye este valor
de v=O en la ecuación (C.18) se obtiene:
96
APÉNDICE c
Para realizar la integral anterior se utiliza una de las propiedades de función Delta, dada en
[25] , por lo tanto se tiene:
91
APÉNDICE D
DESARROLLO MATEMÁTICO PARA OBTENER LAS EXPRESIONES DE LA EC. (2.22) (FUNCIÓN PROPIA, EC. DE EIGENVALORES, NORMA, Y ANÁLISIS PARA OBTENER LOS VALORES DE v )
Primero se va a encontrar la función propia R ( p , Y ) , para ello se hará uso de la
ecuación (A.10), la solución de esta ecuación ((ec. A.lO)) se toma de [23], por lo tanto se
tiene:
1 dR v z + -- .L + ( p ' - ) R v = o dr r dr l.?
d 2 R , .~
La solución de la ecuación (D. 1 ) esta dada por:
La condición para determinar R, (pn,, r ) esta dada.por la condición de frontera en r=d,
por lo tanto se tiene:
Condición de frontera:
en r = d , H = h / k para t > O a T a r - -+ HT . = O
Utilizando la ecuación (A.4) supuesta en el apéndice A, dada por:
Sustituyendo la ecuación (D.4) en la ecuación (D.3),'se obtiene:
% + H R . = o . e n r = d , H = h / k para t > O a r
Se realiza la derivada de la ecuación (D.2) obteniéndose como resultado:
R , ( P , , r ) = A P , J , : ( P , , , r ) f B P , , Y , ' ( P , r )
Sustituyendo las ecuaciones (D.2) y (D.6) en la ecuación (D.5) se tiene:
A P " , J V ( P " , V ) + B P ! , , Y l ! ' ( P , , 2 r ) + "4J " ( P , r ) + HBY " ( P , r ) = 0
en r = d , H = h / k para t > O (D.7)
Evaluando la ecuación (D.7) en r=d' se tiene:
Para que la ecuación (D.9) sea valida se tiene que los valores de las constantes A y B deben
de ser:
99
APENDICE D
Sustituyendo las ecuaciones (D. 10) y (D.l¡). en'la.ecuación (D.2) para obtener la función
propia, por lo tanto se obtiene:
Si se hace:
Entonces la ecuación (D.12) o función propia se puede expresar como:
Como segundo punto de este apéndice se va determinar la ecuación de eigenvalores para
encontrar las raíces p,, , para ello se hará uso de la condición de frontera en r=b, dada
como:
Condición de frontera:
- _ _ _ a T + ~ ~ = o en r = b , H = h / k para t > O a r
Sustituyendo la ecuación (D.4) en la ecuación (D.16), se obtiene:
- a R " + HR = O en r = b, H = h / k para t > O a r
(D.16)
(D.17)
1 O0
. ~~~
APÉNDICE D
Se realiza la derivada de la ecuación (D.15) obteniéndose como resultado:
R , ( P , > Y ) = S , > P " , J , : ( P , , , r ) - v " P , Y " ' ( P " , r )
Sustituyendo las ecuaciones (D. 15) y (D. 18) en la ecuación (D. 17) se tiene:
(D. 18)
Evaluando la ecuación (D. 19) en F b , se tiene:
(D.23)
Entonces la ecuación (D.22) o ecuación de valores propios se puede expresar como
101
APÉNDICE D
s,u, -v ,w , = o (D.25)
Como tercer punto de este apéndice se dará la expresión para la norma N (b, ) expresión para la norma se toma de [23], y está dada como:
~ la
Donde:
B , = H + pn: [1 - 2 ]
B (D.26)
(D.27)
(D.28)
Por último en este apéndice solo falta determinar los valores que pueda tomar v , para ello
se hará uso de la ecuación (A.9), la solución de esta ecuación ((ec. A.9)) se toma de [23],
por lo tanto se tiene:
(D.29)
La solución de la ecuación (E.29) está dada por:
CJ ( V , b ) = Asen vb + BCos v@ (D.30)
Para la ecuación (D.29) no se tiene ninguna condición, ¡o Único que se sabe, es que debe ser
periódica cada 2n, por lo tanto la solución de la ecuación (D.29) (ecuación (D.30)) se puede
expresar de la siguiente manera:
102
APÉNDICE D I
Si se desarrolla la ecuación (D.3C) para que sea periódica o cumpla la condición (D.3 1) se
tiene:
Asen v# + BCos v# = Asen v(# + 2 n ) + BCos v(# + 2 n ) (D.32)
Utilizando una identidad trigonométrica (para la suma de dos ángulos) para la ecuación
anterior, entonces se puede expresar como:
Asen v# + BCos v# = A [ S e n v# Cos 2xv + Sen 2 n v Cos v(5 ] +
B [ Cos v4 Cos 2nv - Sen v n Sen 2 n v J
De la ecuación (D.33) se puede observar que:
cos 27Tv = 1
Sen 2 n v = O
De la ecuación (D.34) o de la ecuación (D.35) se tiene:
2nv = 2nn para n=0,1,2,3 _ _ _ _
Por lo tanto se concluye de la ecuación (D.36) que los valor
v = 0,1,2,3 ....
que puede
(D.33)
(D.34)
(D.35)
(D.36)
ner v son:
(D.37)
103
APÉNDICE E
EVALUACIÓN DE LAS INTEGRALES PARA ECUACIÓN (2.22)
Primero se a va realizar la integral de la función trigonométrica coseno, dada por
De acuerdo ai apéndice D (ecuación (D.37)), se divide la integral de la ecuación (F.1) en
dos integrales, una integral que es valida para v=O y la segunda integral que es valida para
v=1,2,3 ...., por lo tanto la ecuación (E.l) se puede expresar como:
Al realizar las integrales de la ecuación (E.2) se obtiene:
Utilizando una identidad trigonoinétrica (para la resta de dos ángulos) para la ecuación
anterior, entonces se puede expresar como:
104
APENDICE E
Evaluando los limites de la ecuación (E.4) se tiene:
(Sen V ~ C O S O - Sen ocas v4 >] (E.5)
Debido a que Sen2nv=SenO=O y Cos2nv=CosO=l, se tiene que el segundo termino del
lado derecho de la ecuación (E.5) es cero, por lo tanto el resultado de la integral de la
ecuación (E. I ) es el siguiente:
Como resultado de la integral anterior se puede concluir que la ecuación (2.22) solo es
valida para el valor de v=O , ya que para cualquier otro valor de v la ecuación (2.22)
tendrá un valor de cero y esto es como consecuencia de1,resultado de la integral para la
ecuación (E. 1).
Como segundo punto de este apéndice se va realizar la integral de la función propia, dada
por:
Utilizando la ecuación (D. 15) dada por:
105
Sustituyendo la ecuación (E.8) en la ecuación (E.7) se tiene:
Tomando en cuenta que la ecuación (2.22) solo es valida para v=O , sustituyendo este
valor de v=O en la ecuación (E.9) se tiene:
La solución de la integral de la ecuación anterior se toma de [23], donde se tiene como
resultado la siguiente expresión:
Evaluando los limites de la ecuación (E.ll), se tiene como resultado de la integral para la
ecuación (E.7) la siguiente expresión:
Como tercer punto de este apéndice se va realizar la integral de la exponencial dada por:
106
(E. 13) r . 0
Realizando la integral de la ecuación (E. 13) se tiene:
(E.14)
Evaluando los limites de la ecuación (E. 14), se tiene como resultado de la integral para la
ecuación (E. 13) la siguiente expresión:
(E. 15)
Por último para este apéndice solo falta realizar la integral que 'involucra el termino de generación de calor, como la'fuente de calor solo depende de " r ", entonces la integral esta
dada por:
(E.16)
Expresando el termino de generación de calor con la función Delta en la ecuación (E. 16) se tiene:
(E.17)
107
Donde, g, representa una fuente de calor superficial (ya que en el APCG se tiene una
fuente de calor superficial como eleinento calefactor), 6(.) es la función Delta Dirac y rl
es la posición en donde se encuentre la fiiente.
Sustituyendo la función propia (ec. (D.15)) en la ecuación (E.17) se tiene:
Si se usa el valor de v=0 para el cual es valida la ecuación (2.22), y se sustituye este valor
de v=O en la ecuación (E.18) se obtiene:
Separando la integral de la ecuación (E1 9) en dos integrales, se tiene:
(E.20)
Para realizar las integrales de la ecuación (E.20) se utiliza una de las propiedades de
función Delta, dada en [25], por io tanto se tiene:
108
g , s O Y I J o ( P I,, T I 1 - g ~ V O ~ I Y O ( P I,, Y I ) (E.21)
Factorizando en la ecuación anterior. se obtiene:
(E.22)
109
APÉNDICE F
ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DEL MODELO MATEMÁTICO EN EL APCG
Las ecuacionec que se analizan son. primero la ecuación para el modelo matemático de la
placa caliente (ec. (2.17) y segundo la ecuación para el modelo matemático de la guarda
(ec. (2.22)).
La ecuacióii para el modelo matemático de la placa caliente es:
Con v = 0,1>2.3 ... y reemplazar T por 2z para Y = O en laecuación (F.l),
Se defineti las unidades de los siguienles términos, válidos tanto para la placa como para la
guarda:
110
. . Coeficiente Coiivectivo del Aire. h=W/m2K
Conductividad Térniica: k= WImK
Difusividad Térmica, a=m Is 2
Tiempo, t=s
Relación, H=li/k=l /m
Temperatura. T= K
Fuente de calor superficial. g,=W/m
Constante, .n=rad
2
Se analiza ~priiiiero las unidadcs pard Pll, liara ello se utiliza la ecuación de valores
propios dada en el apéndice B conio la ecuacióii (B.9), debido a que las funciones de Bessel
son adimeiisioiiales, se coiicluye de la ecuacióii (B.9) que Pm tiene las mismas unidades
que H (1 lm).
La función propia Rv(P,,,r) esti dada en el apéndice 13 como la ecuación (B.3), de esta
ecuación se obtiene que la fuiicióii propia tiene las mismas unidades que las funciones de
Bessel, es decir la función propia es adiinensional.
La norma N(P,,,r) esta dada en el apéndice B como la ecuación (B.18). de'esta ecuación se
obtiene que la norma tiene las unidades de metro cuadrado (m').
El resultado de la integral de la función trigonoiiiétrica: esta dado en el apéndice C como la
ecuación (C.6). de este resultado, la inlegral tiene las unidades de radianes (rad).
El resultado de la integral de la función propiai esta dado en el apéndice C como la
ecuación (C.12); de este resultado. la integral tiene las unidades de metro cuadrado (m2),
El resultado de la integral de la función espoiiencial, esta dado en el apéndice C como la
ecuación (C.l5)> de este resultado, la integral tiene las unidades de segundos (s).
111
APÉNDICE F
El resultado de la integral que involucra el.terniino de generación de calor, esta dado en el
apéndice C como la ecuación (C.70). de este resultado. la integral tiene las unidades de watt
sobre metro (Wiin).
Aplicando todas estas unidades anteriores: para los términos de la ecuación (F.l) se tiene
como resultado la unidad de:
* ( r u d ) ( m 2 ) +
W * ( r a d )( ) = K
111
Del resultado de la ecuación (17.2). se tiene que las unidades son congruentes para la
temperatura, obteniendo la unidad de grado kelvin (K) para la temperatura. '
La ecuación para el niodelo inateinático de la guai-da es:
112
APÉNDICE F
Con v = 0,1.2,3 ... y reemplazar n por 2?r para v = O en la ecuación (F.3)
Se analiza priniero las unidades para ~ para ello se utiliza la ecuación de valores
propios dada en el apéndice U como la ecuación (D.l3), debido a que las funciones de
Bessel son adiiiieiisionales, se concluye de la ecuación (D.13) que Pm tiene las mismas
unidades que 1-1 (1 /ni].
p.
La función propia R,,(p,,,r) esta dada en el apéndice D como la ecuación (D.15), de esta
ecuación se obtiene que la funcióii propia tiene las unidades de uno sobre metro (l/m).
La norma N(P,,,r) esta dada en el apéndice D como la ecuación (D.26), de esta ecuación se
obtiene que la noi'iiia es adiiiieiisioiial.
El resultado de la integral de la función trigo no métrica^ esta dado en el apéndice E como la
ecuación (E.6); de este resultado. la integral tieiie las unidades de radianes (rad).
El resultado de la integral de la IiiiiciOii propia. esta dado en el apéndice E como la
ecuación (E. 12). de este restiltado. la integral tieiie las unidades de metro (m).
El resultado de la integral de la .función expoiieiicial: esta dado en el apéndice E como la
ecuación (E.15): de este resultado. la integral tiene las unidades de segundos (s).
113
El resultado de la integral que iiivolucra el iermiiio de generación de calor, esta dado en el
apéndice E como la ecuación (E.22): de este resultado, la integral tiene las unidades de watt
sobre metro cuadrado (W/ni2),
w' * ( r a d )( ) = K
111
Aplicando rodas estas unidades anteriores. para los términos de la ecuación (F.3) se tiene
como resultado la unidad de:
(F.4)
*( rad )( 171 ) +
114
~.
APENDICE G
resultado experiiiiental e11 la placa caliente
de teniperatiira coiiio luncióii del radio de
obtiene la posicióii opiima de los tcriiiopares
APÉNblCE G
y 13 1prograiiia # 3 se utilizo para hallar el perfil
la ~plac:i. col i los resultados de este programa se
en la iplaca caliente.
PROGRAMAS DE COMI'U O PARA LAS ECUACIONES DEL MODELO MATEMÁTI c 0 EN EL APCG
En todos los programas se tiiilizaron las aproximaciones dadas por [26] , para las aproximaciones de las kinciones de Uesscl.
115
PROGRAMA # 1
Program Intervalo Declaración de variables Real.8 Dx,Jo(SOOOO),J I (5OOOO),X(SOOOO).Fx.Bm(5OOOO) Real*8 Fo,TETAo,FI ,TETA1 Parameter (Rb=0.0762.H=0.0686) Integer i
Character'20 Archivo ' Pide por pantalla el archivo de resultados Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,SO) Archivo
Apertura del archivo de resultados Open(Unit=9,File=Archivo,Status='Unknown') Write(9,')
Incremento determinado para las aproximaciones (Se pueden considerar incrementos mayores para tener menos archivo de resultados) Dx=O.Ol
Ciclo reoetitivo Dara evaluar la funci6n (Se recomienda un número grande de iteraciones para la obtención del intervalo) Do i= I .3937
Bm( i)=i*Dx C La funci6n a ser evaluada es Fx
C Calculo de "X"
C Calculo de "Jo" y " J I" para "0.000762<=X>=3.0" X(i)=Bm(i)*Rb
Xi=X(i)/3 x2=x1 'X I x4=x2*x2 X6=X4*X2 X8=X6*X2 x 1 O=X8'X2 XI2=XIO*X2
A=2.2499997*X2 B=1.26562*X4 C=0:3 163866*X6 D=0.0444479*X8 E=O.O039444*X 1 O F=O.O0021OO*X12
AA=OS6249985*X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=0.0003 I761 'XI0 FF=0.00001 l09*X 12
lo(¡)= 1 -A+B-C+D-E+F
C
C
J 1 (i)=X(i)*(O.5-AA+BB-CC+DD-EE+FF) End Do
116
APkNNDICE G
C Do i=3938,20000 Bm(i)=i*Dx X(i)=Bm(i)*Rb
. .
C Calculode "Jo"y "JI"para "3.01<=X>=15.24" XI=3B((i) xz=x 1 *x 1 X3=XI'X2 x4=x1*x3 X5=XI *x4 X6=XS*xl
A1=0.00000077*X1 B 1=0.O055274O1X2 C1=0.0000951Z*X3 Dl=O.O0137237*X4 EI=O.O0072805*X5 F I =O.OOO 14476*X6
C
AAI=O.O4166397*X 1 BB 1 =O.O0003954*X2 CC 1 =0.00262573*X3 DDI=O.O0054125*X4 EEl=O.O0029333*X5 FFI=O.O0013558*X6
C Fo=0.79788456-AI-BI-CI+DI-EI+FI TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BB 1 +CC 1 -DD I -EE I +FF I
C AZ=0.00000 I56*X 1 BZ=O.O1659667*XZ cz=0.000171051x3 D2=0.002495 I I 'X4 E2=0.00113653tX5 F2=0.00020033*X6
AAZ=O. I24996 I2*X I BB2=0.00005650*X2 CCZ=O.O0637879*X3 DD2=0.00074348*X4 EE2=0.00079824*XS 7
FFZ=O.O0029166*X6 C
F 1 =0.79788456+A2+BZ+C2-D2+.E2-F2 TETAI=X(i)-2.35619449+AA2+BB2-CC2+DD2+EE2-FF2
C Jo(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) J I(i)=(Fl *Cos(TETA 1 ))l(SQRT(X(i)))
C End Do
C Calculo de la igualdad de expresiones Do i=1,20000
n L
Fx=(Bm(i)*J l(i))-(H* Jo(i))
C Impresión de resultados Write(9,*)X(i),Bm(i),Fx
117
APÉNDICE G
End Do C Formatos de escritura 50 Format (A20)
stop End
PROGRAMA # 2
Program Intervalo C Declaración de variables
Real'4 T(SOOOO,iO),Jor(5OOOO. IO),Bm( 10) Real*4 JIRb( IO),JoRb( IO),Jorl ( I O),G.Z( I O),L,Q.Norma,M( I O),MM( I O) Real*4 X(lO),Y( 1O),Suma(50000.1O).Resta(50000. I O).SumBet Real*4 Fo,TETAo,FI ,TETA 1 ,Tiempo(623),Gs real*4 S(623,lO),V(623,IO),VV,U,CT Parameter (To=302.378,Pi=3.14 I6.Alfa=0.000084,rl=O.O538,r=O.O762) Parameter (Ta=302.378,Rb=0.0762.k=204,H=O.O686,Gv= 14350.82345)
c Integer ij,n C
C Pide por pantalla el archivo de resultados Character'20 Archivo
Write(*,*) 'Teclea el archivo de resiiltados' Read(*,SO) Archivo
Open(Unit=9,File=Archivo,Status='Unknown') Write(9;)
C Apertura del archivo de resultados
C C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(Rb/Bm)*li(Bm*Rb)"
Doj=1,2
Bm(l)=l.349999 Bm(2)=50.299998
X( I)=Bm( I)*Rb X(2)=Bm(2)*Rb Xl=X(I)/3 X2=XI *XI X4=X2*X2 X6=X4*X2 XB=X6*X2 X IO=X8*X2 x I2=X 1 o*xz
AA=O.S624998S*X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=O.O0031761*XIO FF=O.OOOOI 109*X12
C
C JlRb( l)=X( I)*(O.S-AA+BB-CC+DD-EE+FF)
118
APENDICE G
XI 1 =3/X(2) X22=XI 1 *XI 1 x 3 3 = x I I 'X22 X44=XI I*X33 XSS=XI l'X44 X66=Xll*X55
A2=0.00000156*X1 I B2=0.0 1659667Ví22 c2=0.00017105*x33 D2=0.002495 I I *X44 E2=0.00113653*X55 ' F2=0.00020033*X66
C
AA2=0. I24996 I2*X I I BB2=0.00005650*X22 CC2=0.00637879*X33 DDZ=O.O0074348*X44 EE2=0.00079824*X55 FF2=0.00029 166*X66
C F1=0.79788456+A2+B2+C2.D2+E2-F2 TETA I=X(2)-2.356 19449+AA2+BB2-CCZ+DDZ+EE2-FF2
C
C
c Write(*,*)G C C Calculo de "2*Pi"
c Write(*,*)L C C Calculo de"rI'Jo(Bm*rl)"
Y(i)=Bm(i)*rl . ,
J I Rb(2)=(FI *Cos(TETA I))I(SQRT(X(2)))
G=(Rb/Bm(j))*J I Rbc)
L=2*Pi
Do i= I ,2
If(Y(i).LE.3) Then Y I=Y(i)/3 Y2=Y I *Y I Y4=Y2'Y2 Y6=Y4'Y2 Y8=Y6*Y2 YIO=Y8*Y2 Y 12=Y IO*Y2
A=2.24999911Y2 B=1.26562*Y4 C=0.3 163866*Y6 D=O.O444479*YE E=O.O039444*Y IO F=0.0002100*Y 12
Jorl(i)= I-A+B-C+D-E+F C
Else YII=3N(i) Y22=YI I*Y I I Y33=Yll'Y22
.
C
119
APÉNDICE G
Y44=Yll*Y33 Y55=Y 1 I *Y44 Y66=Y 1 1 *Y55
AI=O.O0000077*Y I I B 1 =O.O055274O*Y22 C I =0.000095 I2*Y33 DI =O.OO 137237.~44 E 1=0.00072805*V55 F1=0.000 14476*Y66
C
AAI'=O.O4166397*Y I I BBI=O.O0003954'V22 CC 1=0.00262573 'Y33 DD I =0.00054 I25 * Y44 EEI=O.O0029333*YS5 FF1=0.000 I3558*Y66
C Fo=0.79788456-A I -B I -C I +DI -El +FI TETAo=Y(i)-0.785398 16-AA I -BB I +CC 1 -DD I -EE I +FFI
C lor i(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y(i))) Endif
Z(i)=rl * Jor I ( i) c Write(*,*)Z( I),Z(2)
C C Calculo de la función propia "Ro(Bni.r)=Jo(Bm*r)"
End Do
Y(i)=Bm(i)*r If (Y(j).LE.3) Then
Y l=Y(i)/3 Y2=YI*Y1 Y4=Y2*Y2 Y6=Y4*Y2 Y8=V6*Y2 YIO=Y8*V2
, Yl2=YIO'Y2
A=2.2499997*Y2 B=I .26562*Y4 C=0.3 163866*Y6 D=0.0444479*Y8 E=O.O039444*Y IO F=O.O002IOO*V12
Jor(538 j)=I-A+B-C+D-E+F C
Else Y I1=3N(i) V22=Y I I 'Y I I Y33=Vll'Y22 Y44=Y I I 'Y33 Y S = Y I l*Y44 Y66=Y I I'Y55
.
AI=O.O0000077*Y I I
120
APÉNDICE G
B I =O.OOS5274O*Y 22 C I =0.000095 I2*Y33 D 1=0.00 137237*Y44 E I =0.00072805 *Y 55 Fl=O.O0014476*Y66
AAI=O.O4166397*Y I I BB I =O.O0003954'Y22 CCI =O.O0262S73*Y 33 DDI=O.O0054125'Y44 EE I =O.O0029333'Y 5 5 FFI~O.O0013558*Y66
FO4.79788456-A 1 -B I -C I +D I -El +FI TETAo=Y(i)-0.785398 16-AA 1-881 +CC I -DDI -EE I +FF I
Jor(538j)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y(j))) Endif Write(*,*)r,Jor(S38 j)
C Calculo de la norma "N(BmY
C M(i)=((Rb**2)*((H**2)+(Bm(j)* *2)))-0
A=2,2499997*X2 B=1.26562*X4 C=0.3 163866*X6 D=0.0444479*X8 E=O.O039444*X IO F=0.0002 IOO'X 12
C MM( l )= l -A+B-C+D-E+F
JoRb( I)=MM( I)**2
AI=O.O0000077*X11 B 1=0.00552740*X22 C1=0).000095 12*X33 D 1 =O.OO 137237*X44 EI=O.O0072805*X55 FI =0.00014476* X66
C
AA l=0.04 l66397*X I I BBI=O.O0003954*X22 CCl =O.O0262573*X33 DD 1=0.00054 125*X44 EE 1 =0.00029333 * X55 FFI=0.00013558*X66
C Fo-0.79788456-A I-81-C I+D I -E I +F I TETAo=X(2)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EE I +FFI
C MM(2)=(Fo*Cos(TETAo))/( SQRT(X(2)))
JoRb(2)=MM(2)* *2
Q=2*(Bm(i)**2) C
Norma=(JoRb(i)*M(i))/Q
121
c Write(*,*)Norma C
C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Bm"2)*Tiempo)" CT=60
Do i=1,623 Tiempo(i)=CT*i S(ij)=Exp(-Alfa*(Bm()**Z)*Tieinpo( i))
c wiite(*>)s(ij) C C Calculo de "( I/Alfa*(Bm**Z))*(( 1 -Exp(-Alfa*(Bm**2)*Tiempo)- I)"
VV=i/(Alfa*(Bm(i)**Z)) V(i j)=VV*( 1 -S(ij))
End Do c Write(9,*)Tiempo(i),S(i j),V(i j)
C C Calculo de "(Alfak)"
U=Alfak C Write(*,')U C C Calculo de la constante "I/Z*Pi"
P=I/(Z*Pi) c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gv*(Rb'*2))/(2*rl)"
c Write(*,*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r,o,t)"
Gs=(Gv*(Rb**2))/(2*rI)
Do i= 1,623 Suma(ij)=((To-Ta)*((P*S(iJ)*Jor(538 j)*G*L)Moma)) Resta(ij)=(U*((P*Jor(538 j)*Gs* V( ij)*Z(i)* L)íNorma))
End Do End Do Do i=1,623 SumBet=Suma(i,l)+Suma(i,Z)+Resta(i. I )+Resta(i,Z) T(i, I )=Ta+Suma(i, I )+Resta(¡, I ) T(i,Z)=Ta+SumBet End Do
c Write(9,*)' ',Tiempo(¡),' ',Resta(¡ j )
C C Impresión de resultados
c Write(9,*)Jor(578,I),T(i,I),Jor(578,2).T(i,Z) c Write(9,')' ',Tiempo(¡),' ',T(i. I),' '.T(i,2) c Write(9,*)T(i,I)
Do i= 1,623
Write(9,*)T(i,2) End Do
C C Formatos de escritura
50 Format (A20) stop End
122
A P ~ N D I C E G
PROGRAMA # 3
Program Intervalo C Declaración de variables
Real*4 T(SOOOO,iO),Jor(SOOOO, IO),Bm( I O ) Real'4 JI Rb( IO),JoRb( IO),Jorl( I O).G,Z( I O),L,Q,Nonna,M( I O),MM( I O) Real*4 X( lO),Y( IO),Suma(50000. I O),Resta(50000,1 O),SumBet Reall4 Fo,TETAo,F I ,TETA I ,r(50000),Gs real'4 S,V,VV,U Parameter (Pi=3.1416,Alfa=O.O00084,r I =O.OS38,Tiempo=l00000) Parameter (Rb=0.0762,k=204.H=O.O686,Gv= 14350,82345) Parameter (Ta=302.378,To=302.3 78)
c Integer iJ,n C
C Pide por pantalla el archivo de resultados Character*ZO Archivo
Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,50) Archivo
Open(Un¡t=9,File=Archivo,Status='Unknown') Write(9,')
C Apertura del archivo de resultados
C C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(Rb¡Bm)*Jl(Bm*Rb)"
Do j=i ,2
Bm(l)=l.349999 Bm(2)=50.299998
X(I)=Bm( I)*Rb X(2)=Bm(2)*Rb Xi=X( 1)/3 x 2 = x I * x I x4=x2*x2 X6=X4'X2 X8=X6*X2 XIO=X8*X2 XI 2 = x I o*x2
AA=OS6249985*XZ BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=0.00031761 'XI0 FF=0.00001109*X12
C
C J I Rb( l)=X( I)*(0.5-AA+BB-CC+DD-EE+FF)
XI 1=3B((2) X22=Xll*Xll X33=XI I*X22 X44=XI I'X33 X55=Xll*X44 X66=Xll*X55
, t
123
A2=0.00000156*XI I 82=0.01659667*X22 c2=0.000 17 1058x33 D2=0.0024951 I'X44 E2=0.00113653*X55 F2=0.00020033 *X66
AAZ=O.I2499612'XI I BB2=0.00005650'X22 CC2=0.00637879*X33 DD2=0,00074348*X44 EE2=0.00079824*X55 FF2=0.00029 166*X66
C F1=0.79788456+A2tB2+C2-D2+E2-F2 TETA I =X(2)-2.356 19449+AA2+BBZ-CC2+DD2+EE2-FF2
C
C
c Write(*,*)G C
JI Rb(2)=(FI *Cos(TETA I))/(SQRT(X(2)))
G=(Rb/Bm(j))'JI RbG)
- C Calculo de "2*Pi"
L=2*Pi c Write(*,*)L C C Calculo de "rl*Jo(Bm*rl)"
Y (i)=Bm( i)* r I Do i= 1,2
If (Y(i).LE.3) Then Y I =Y(i)/3 Y2=Y I 'Y 1 Y4=Y2'Y2 Y6=Y4*Y2 Y8=Y6*Y2 YIO=Y8*Y2 Y 12=Y IO'Y2
C A=2.2499997'Y2 B=I .26562*Y4 C=0.3 163866'Y6 D=0.0444479'Y 8 E=O.O039444*Y IO F=0.0002 IOO*Y I2
Jorl (¡)=I -A+B-C+D-EtF C
Else Y I I=3N(i) Y22=Y I I *Y I I Y33=Y I I *Y22 Y44=YI I'Y33 Y55=YI l*Y44 Y66=Yll*Y5j
AI=O.O0000077*Y I I B l=0.00552740* Y 22
124
C
cI=0.000095 1 2 1 ~ 3 3 DI =O.O0137237*Y44 El=O.O0072805*Y55 FI =O.OOO l4476*Y66
AAI=O.O4166397*Yl I BB I =O.O0003954*Y22 CC I =O.O0262573*Y33 DDI =0.00054 I25*Y44 EEl=O.O0029333*Y5S FFI =O.OOO I3558*Y66
Fo4.79788456-A I -B I -C 1 +DI -El +FI TETAo=Y(i)-0.785398 16-AA 1 -BBI+CCI -DDI-EE I +FF1
C Jorl (i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y(i))) Endif
Z( i)=r I * Jor 1 (i) c Write(*,*)Z( 1),Z(2)
C
C Calculo de la función propia "Ro(Bm,r)=Jo(Bm*r)"
End Do
n=763
Do i= 1 ,n r(i+ 1)=i'0.000 I
C i
Y(i)=Bm(i)*r(i+ I ) If (Y(j).LE.3) Then
YI=Y(j)/3 Y2=Y I 'Y I Y4=Y2'Y2 Y6=Y4'Y2 Y8=Y6*Y2 Y 1 O=Y 8*Y2 Y 12=Y IO'Y2
A=2.2499097*Y2 B=I .26562'Y4 C=0.3 163866*Y6 D=0.0444479* Y 8 E=0,0039444*Y IO F=0.0002100*Y 12
Jor(i+l j)=I-A+B-C+D-E+F C
Else Y I 1 =3N(j) Y22=Y 1 I 'Y I I Y33=Y I I'Y22 Y44=Y I I'Y33 Y55=YI l ey44 Y66=Y I I *Y55
.
A1=0.00000077*Y I I B l=O.O055274O*Y22 C1=0.000095 12*Y33 DI=0.00 137237*Y44
125
E I =0.0007280S *Y 55 FI=O.O0014476*Y66
AAI=O.O4166397*YI 1 BB 1=0.00003954*Y22 CC I=O.O0262573*Y33 DD1=0.00054 I25'Y44 EE I =O.O0029333*Y55 FFI=0.000 13558*Y66
Fo=0.79788456-A I -B I -C I t D I -El +F I TETAo=Y(j$0.785398 16-AA I-BBI+CCI-DDI-EEI tFFI
Jor(i+l j)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(Y O)) )
Jor(l,l)=l Jor(l,2)=l
Endif
End Do
i(i)=O
Write(*,*)r(i),Jor(i, l),Jor(i,2)
C Calculo de la norma "N(Bm)"
C M(i)=((Rb"2)*((H**z)+(Bm(j)' '2)))-O
A=2.2499997* X2 B=I .26562*X4 C=0.3 163866*X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444*X 1 O F=0.0002 IOO*X 12
MM( I)=I-A+B-C+D-E+F C
JoRb( I)=MM( 1)**2
A1=0.00000077*XI 1 B 1 =O.O055274O*X22 C11).000095 12*X33 Dl=O.O0137237*X44 E 1=0.00072805*XSS F I =O.OOO I4476'XfX
C
AAI=O.O4166397*XI I BB 1 =0.00003954* X22 CCI =O.O0262573*X33 DDI =0.00054 I25*X44 EE I =0.00029333 'X55 FFI=O.O0013558*X66
C Fo=0.79788456-A I-B I-C I +D I -E I +F I TETAo=X(2)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EEI +FFI
C MM(2)=(Fo8Cos(TETAo))/(SQRT(X(2)))
JoRb(2)=MM(2)* '2 C
.
126
Q=2*(Bm(i)**2)
c Write(*,*)Norma C C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Btn'*Z)*T¡empo)"
c Write(*,*)S C C Calculo de "( I/Alfa*(Bm**2))*( I-E~p(AIfa*(Bm**2)'Tiempo)-I)"
Norma=(JoRb(i)*M(j))/Q
S=Exp(-Alfa*(Bm(i)**2)*Tiempo)
VV=i/(Alfa*(Bm(i)**2)) V=VV'( I-S)
c Write(*,*)V C C Calculo de "(Alfaik)"
U=Alfak c Write(*,*)U C C Calculo de la constante "IR'Pi"
P= i/(2*Pi) c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gvr(Rb**2))/(2*ri)"
c Write(*,*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r,o,t)''
Gs=(Gv*(Rb**2))/(2*rI)
Do ¡=1,763 Suma(¡ j)=((To-Ta)*((P*S*Jor(i j)'G* L)/Norma)) Resta(¡ j)=(U*((P*Jor(i j)*Gs'V*Z(j)'L)iNorrna)) End Do End Do Do i=l,763 ' . SumBet=Suma(i, l)+Suma(i,2)+Resta( i, I )+Resta(i,2) T(i,l)=Ta+Suma(i, I)+Resta(i. I ) T(i2)=Ta+SumBet End Do
C Impresi6n de resultados
c Write(9,*)Jor(i,I),T(i,I),Jor(¡,2),T(i.2) c Write(9,;)' ',r(i),' ',T(i,l),' '.T(i,2) c Write(9,*)r(i),T(¡,l)
Do i=1,163
Write(9,*)r(i).T(¡,2)
End Do C C Formatos de escritura
50 Format (A20) stop End
.
127
PROGRAMA # 4
Program Intervalo C Declaraci6n de variables
Real's Dx,Jo(50000),J I (SOOOO),X(SOOOO).Fx.Bm(50000) Real'8 Yo(SOOOO),Y i(5OOOO).Y I i(SOOo0) Reall8 Fo,TETAo,FI .TETA1 Real'8 So(5OOOO),Uo(5OOOO),Vo(5OOOO),Wo(SOooo) Parameter (Rb=O.O762,Rd=O. I524,H=O.O686,Pi=3. I4 1592654) Integer i
Character.20 Archivo
Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,50) Archivo
Open(Unit=9,File=Archivo,Status='ünknown') Write(9,*)
C
C Pide por pantalla el archivo de resultados
C Apertura del archivo de resultados
C Incremento determinado para las aproxiinaciones (Se pueden considera! C incrementos mayores para tener menos archivo de resultados)
C Ciclo repetitivo para evaluar la funci6n C (Se recomienda un'número grande de iteraciones para la obtenci6n del intervalo)
C Se evaluan las func'iones de Bessel para el radio interior " R b de la Guarda
Dx=O.Ol
Do i=1,3937 Bm(i)=i*Dx
C Calculo de "X"
C Calculo de "Jo" y "JI" para "0.000762<=X>=3.0" X(i)=Bm(i)*Rb
XI=X(i)/3 x 2 = x I * x 1 x4=x2*x2 X6=X4*X2 X8=X6'X2 XIO=XB*X2 x12=x IO'X2
C A=2.2499997* X2 B=i .26562*X4 C=O .3 163866*X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444*X I O F=O.O002100*X12
A3=0,60559366*X2 83=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.04261214*X8 E3=0.00427916*X I O F3=0.00024846*X 12
C
128
C
C
AA=0.56249985* X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=O.O0031761*X I O FF=0.00001109'XI?
AA3=0.2212091 'X2 883=2.1682709*X4 CC3=1,3164827*X6 DD3=0.3123951*X8 EE3=0.0400976'X IO FF3=0,0027873*Xl 2
Jo(i)=l -A+B-C+D-E+F Yo(i)~(2/Pi)*(LOC(X(¡)~))*Jo(i))+O.3674669 I +A3-B3+C3-D3+E3-F3
YII(i)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/2))*JI(i)
End Do
Jl(i)=X(¡)*(O.5-AA+BB-CC+DD-EE+FF)
Y l(i)=(Y 1 1(¡)-0.6366 I~~+AA~+BB~-CC~+DD~-EE~+FF~)/X(¡)
Do i=3938,20000: Bm(i)=i*Dx X(i)=Bm(i)*Rb
C Calculode "lo" y " JI" para "3.01<=X>=15.24" XI =3/X(i) x2=x1 *x I X3=XI*X2 x4=x1 *x3 XS=XI*X4 X6=X5*xI '
C A1=0.00000077*X I €3 1=0.00552740*X2 cI=0.000095 12'X3 D 1=0.00137237*x4 EI=O.O0072805*X5 F I =O.OOO 144761x6
AA 1=0.04 166397'X I BB I=O.O0003954*X2 CC 1 =0.00262573 *X3 DDI =0.00054 I25*X4 EEI=O.O0029333*XS FF I =O.OOO I3558*X6
C F0=0.79788456-A 1-61 -C I+D I -E I +Fl TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BE I +CC I -DDI -EE I +FF I
C A2=0.00000156*XI B2=0.01659667*X2 c2=0.00017 105*x3 D2=0.0024951 l*X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033*X6
AA2=O. 12499612'X I . 129
BB2=0.00005650* X2 CC2=0.00637879* X3 DD2=0.00074348* X4 EE2=0.00079824* XS FF2=0.00029 I66*X6
C FI=0.79788456+A2+B2+C2-D2+E2-F2 TETA l=X(i)-2.35619449+AA2+BB2-CC2+DD2+EE2-FF2
C Jo(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) Y o(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X( i))) J I(i)=(FI *Cos(TETA I ))l(SQRT(X( i))) Y 1 (i)=(F 1 *Sin(TETA I ))/(SQRT( X( i)))
C
C Calculo de "Uo" y "Wo" End Do
Do i= 1,20000 Uo( i)=-(Bm(i)*J 1 (i))-(H*Jo( i)) Wo(i)=-(Bm(i)*Y l(i))-(H*Yo(i))
End Do C C Se evaluan las funciones de Bessel para el radio exterior "Rd" de la Guarda
Do j-1,1969 BmíJ)=j*Dx
C Calculo de "X"
C Calculo de "Jo" y "JI" para "0.001 524<=X>=3.0" XíJ)=Brnfi)*Rd
x I =X6)/3 Xz=XI *x I X4=X2*X2' X6=X4*X2 X8=X6*X2 XIO=X8*X2 x I2=X 1 O*X2
C A=2.2499997*X2 B= I .26562*X4 C=0.3 163866*X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444'XIO F=0.00021 OO'X 12
C
C
A3=0.60559366*X2 B3=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.0426 I2 I4*X8 E3=0.00427916*X10 F3=0.00024846*X 12
AA=0.5624998SiX2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=0.0003176i*XIO
130
C
C
C
C
C
C
C
C
FF=0.0000 I I09*X I2
AA3=0.22 12091 *X2 BB3=2.1682709*X4 CC3=1.3164827*X6 DD3=0,312395I*X8 EE3=0.0400976*X IO FF3=0.0027873*X I2
Jo(j)=l -A+B-C+D-E+F
JI(i)=X(i)*(OS-AA+BB-CC+DD-EE+FF) Y I i(j)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/2))*J I (i) Y i(i)=(Y 1 I(j)-0.6366 198+AA3+BB3-CC3+DD3-EE3tFF3)/X(j) End Do
Do j=1970,20000 Bmíj)=j*Dx X(i)=Bm(i)*Rd
XI=3MJ) x 2 = x I 'XI X3=XI'X2 x 4 = x I * x 3 ' x 5 = x I * x 4 X6=X5*xI :
Yo(i)=((2/pi)*(LOC(X(i)/2))*J0(j))+0.3674669l +A3-B3+C3-D3+E3-F3
Calculo de "Jo" y "JI" para "3.01 <=X>=30.48"
AI=0.00000077*X 1 B 1=0.00552740*X2 CI =0.000095 1 2*x3 DI=O.QOI 37237*X4 E1=0.00072805'X5 FI =O.OOO I4476*X6
AAI=0.04 l66397.X I BB I =O.O0003954*X2 CC I =O.O0262573*X3 DDI=0.00054 125*X4 .EE I=0.00029333 * X5 FFI=0.000 I3558*X6
Fo=0.79788456-Ai-B I-C I +DI -E I +Fi TETAo=X(i)-0.785398 16-AA 1-88 I +CC I -DDI -EEI +FFI
A2=0.00000156*X 1 B2=0.01659667*X2 C2=0.000I 7105*X3 D2=0.0024951 l*X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033 'X6
AA2=0.12499612*X I BB2=0.00005650* X2 CC2=0.00637879*X3 DD2=0.00074348*X4 EE2=0.000798?4* X5 FF2=0.00029 I66*X6
131
APÉNDICE G
F1=0.79788456+A2+B2+CZ-D2+E2-F2 TETA I=X(i)-2.356 I9449+AA2+RB2-CC2+DD2+EEZ~FF2
C Joci)=(Fo*Cos(TETAo))i( SQRT( XQ))) Yo(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X(i))) J I(j)=(FI *Cos(TETAI))I(SQRT(X(i))) Y I(j)=(FI *Sin(TETAI))/(SQRT(X(i)))
C
C Calculo de "So" y "Vo" End Do
Do j=1,20000 So(i)=-(Bm(i)*Y 1 a))+( H * YoG)) Voíj)=-(Bm(i)*J I O))+(H*Jo(j))
End Do C C Calculo de la igualdad de expresiones
Do i=1,20000
Fx=(So(i)*Uo(i))-(Vo(i)* Wo(i))
C Impresi6n de resultados c Write(9,*)X(i),Jo(i),Ji(i) c Write(9,*)X(i),Yo(i),Y I ( i)
Write(9,*)i,Bm(i),Fx End Do
C Formatos de escritura 50 Format (A20)
stop End
PROGRAMA # 5
Program Intervalo C Declaraci6n de variables
Real*4 T(50000,10),Jor( IO),Yor( IO),Ror( I O).Bm( I O) Reai*4 Ji(SOOOO),Jo(5OOOO),Yo(5OOOO).Y I I (SOOOO),Y I(50000) Real'4 L,Q(lO),Norma(lO),MI(IO),M2(IO),MM( I O ) Real.4 X(S0000),Suma(S0000, I O).Resta(S0000, I O),SumBet Real'4 Fo,TETAo,FI ,TETA I ,Tiempo(366).Gs,CT Real'4 0 0 6 6 , I0),00(366, iO),OOO.OOOO Real'4 So(iO),Uo(lO),Vo(lO),Wo(lO) Real'4 G I ( IO),G2( IO).G( iO),ZI( I O).Z2( 10) Parameter (Pi=3. I4 I592654.Alfa=0.000084.r I =0.0983.r=O.I524) Parameter (Rb=O.O762,Rd=O. lS24.k=204.H=O.O686,Gv=S 174.054264) Parameter (To=300.273,Ta=300.273 1 Integer i j ,n
Character'20 Archivo Pide por pantalla el archivo de resultados Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*,50) Archivo
Apenura del archivo de resultados Open(Unit=9,FiIe=Archivo,Status='U nkiiowii') Write(9,*)
132
C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(So[Rd/Bin*JI(Bm*Rd)-Rb/Bm*JI(Bm'Rb)]~-(Vo[RdlBm*Yl(Bm*Rd)- Rb/Bm*Y IíBin*Rb)l~" ..,
Do j=1,2
Bm( l)=l.349999 Bm(2)=41.989999
Do n=1,2 Do i=762,1524
X(i)=Bm(n)* i*O.dOO I If(X(i).LE.3) Then
Xl=X(i)/3 X2=XI 'XI X4=X2'X2 X6=X4*X2 X8=X6'X2 XIO=X8'X2 XI2=XIO'X2
C
C
C
C
C
C
A=2.2499997 * X2 B=I .26562*X4 C=0.3 163866'X6 D=0.0444479* X8 E=O.O039444*X 10 F=0.0002 lOO*X 12
A3=0.60559366*X2 B3=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.042612 14*X8 E3=0.004279 16*X I O F3=0.@024846*X 12
AA=OS6249985*XZ BB=0.2 1093573*X4 CCL0.03954289*X6 DD=0.004433 19*X8 EE=O.O0031761*XIO FF=0.00001109*XI2
AA3=0.2212091 'X2 BB3=2.1682709*X4 CC3=I .3 164827.X6 DD3=0.3 12395 I *X8 EE3=0.0400976*X 10 FF3=0.0027873*X 12
MiPl -A+B-C+D-E+F Yo(i)=((2/pi)*(LOG(X(i)/2))*Jo(i))+0.3674669 I +A3-B3+C3-D3+E3-F3 Jlíi)=X(i)*(O.S-AA+BB-CC+DD-EE+FF) Y ¡í(i)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/2))*JI(i) ' Y \(¡)=(Y 11(¡)-0.6366198+AA3+B~3-CC3+DD3-EE3+FF3)/X(i)
133
Else XI=3/X(i) x 2 = x I 'X I X3=Xl*X2 x 4 = x I 'X3 x 5 = x I 'X4 X6=X5*xI
C AI=O.O0000077*X I B I =0.00552740* X2 c1=0.000095 12*x3 DI =0.0013723'7*X4 El =0.00072805*X5 F I =O.OOO 14476*X6
AA I =0.04 166397'X I BB I =O.O0003!)54*X2 CC I =O.O0262S73 * X3 DD I =0.00054 I2S*X4 EEI =0.00029333*XS FFI =O.OOO I3558*X6
C F0=0.79788456-A I-B I-C I +DI -E I -+F I TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EEI +FF I
C A2=0.00000156*X I B2=0.01659667*X2 CZ=O.O0017105*X3 DZ=0.002495 I I *X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033 * X6
AA2=0.12499612*XI BBZ=0.00005650* X 2 CC2=0.00637879*X3 DD2=0.00074348* X4 EE2=0.00079824*X5 'FF2=0.00029 I66*X6
C Fl=0.79788456+A2+B2+C2-D2+E?-F2 TETA I=X(i)-2.356 19449+AA2+BB2-CCZ+DD2+EE2-FF2
C Jo(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) Yo(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X(i))) J 1 (i)=(F I *Cos(TETA i))/(SQRT(X(i))) Y I(i)=(FI *Sin(TETA l))/(SQRT(X(i)))
C Endif End Do
So(n)=(-Bm(n)*Y 1(1524))+(H*Yo( 1524)) Uo(n)=(-Bm(n)*J I (762))-(H*Jo(762)) Vo(n)=(-Bm(n)'JI( I524))+(H*Jo( 1524)) Wo(n)=(-Bm(n)*Y I (762))-(H *Y o( 762))
G 1 (n)=So(n)*((Rd/Bm(n)* J 1 ( I524))-( R b/Bin(n)* J I(762))) G2(n)=Vo(n)*((Rd/Bm(n)*Y 1 ( I S24))-(Rb/üni(n)*Y i(762)))
134
APÉNDICE G
G(n)=G 1 (n)-G2(n) c Write(*,*)G(n) C C Calculo de "So*rl*Jo(Bm*rl)" y "Vo*rl*Yo(Bin'rl)"
Zl(n)=So(n)*r I *Jo(r l/O.OOO I ) ZZ(n)=Vo(n)*rl *Yo(rl /O.OOO I )
c Write(*,*)Z I (n),Z2(n) C C Calculo de la fuiici6n propia "Ro(Biii.r)=So*Jo(Bni*r)-Vo*Yo(Bni*r)"
Jor(n)=Jo(r/0.000 I) Yor(n)=Y o(r/O.OOO I ) Ror(n)=(So(n)*ior(n)>(V'o(n)'Y or(n))
c write(*,*)r,Ror(n) C C Calculo de la n o m a "N(Bm)"
MI (n)=(Ht*2)+(Bm(n)**2) M2(n)=MI (n) MM(n)=(M2(n)*(Uo(n)'*2))-(M I(n)*(Vo(n)**Z)) Q(n)=(Bm(n)**2)*(Uo(n)**2) Norma(n)=(2*MM(n))/((Pi* *2)*Q(n))
End Do c Write(*,*)Nonna(n)
C C Calculo de "2*Pi"
L=2*Pi c Write(*,*)L C
C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Biii**2)*liempo)" CT=30
Do i=1,366 Tiempo(i)=CT* i O(i j)=Exp(-Alfa*(BmQ)* *2)*Tiempo( i j)
c Write(*,*)S(ij) C C Calculo de "(I/Alfa*(Bm**2))*(( I .Esp(Alfa*(Bni**2)*Tiempo)-l)"
c Write(9,*)Tiempo(i),S(ij),V(iJ)
C C Calculo de "(Alfak)"
c Write(*,*)U C C Calculo de la constante "1/2*Pi"
P=I/(Z.Pi) c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gv*(Rb**?))/(2*rI)"
c Write(*,*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r,o,t)"
OOO= I /(Alfa*(Bmu)* '2)) OO(ij)=OOO*(i-O(ij))
End Do
0000=Alfa/k
Gs=(Gv'(Rd**2))/(2*rl)
Do i=1,366 Suma(¡ j)=((To-Ta)'((P*O(i j)* RorU)* Cíj)*L)/NorniaQ))) Resta(¡ j)=(OOOO*((P*Ror~)*Gs*OO(i.j)*(Z I ti)~Z~ti))*l,)./Normati)))
APÉNDICE G
End Do End Do Do i=1,366 SumBet=Suma(i, I)+Suma(i,2)+Resta( i, I )+Resta( i,2) T(i,I)=Ta+Suma(i,l)+Resta(i. I ) T(i,2)=Ta+SumBet End Do
C C Impresión de resultados
c Write(9,*)Jor(lOO,I),T(i, I),Jor(l00.2).T(i.2) c Write(9,')' ',Tiempo(¡).' ',T(¡, I ) , ' ',T(i,2) c Write(9,*)T(i, I )
Do i=1,366
Write(9,*)T(i,2)
End Do C C Formatos de escritura
50 Format (AZO) Stop End
PROGRAMA # 6
Program Intervalo C Declaración de variables
Reall4 T(SOOO0, IO),Jor(50000, I O),Yor(50000, IO).Ror(50000, IO) Real*4 Jl(5OOOO),Jo(SOOOO),Yo(5OOOO).Y I 1(50000),Y l(5OOOO).Bm( I O ) Real'4 L,Q( IO),Norma( iO),MI( 10).MZ( IO),MM( I O ) Real'4 X(50000),Suma(50000. I O).Resta(50000. I O),SumBet Real'4 Fo,TETAO,FI,TETA I .r(50000).Gs Reall4 O,OO,OOO,OOOO Real.4 So(iO),Uo(iO),Vo(iO),Wo(iO) Real*4 GI(IO),G2(IO),G(IO),ZI(IO),ZZ( I O ) Parameter (Pi=3. I4 I592654.Alfa=O.O00084,r I =0.0983,Tiempo= 100000) . Parameter (Rb=O.O762,Rd=O. I524.k=204.H=O.O686,Gv=5 174.054264) Parameter (To=300.273,Ta=300.273) Integer ij,n
Character'20 Archivo
Write(*,*) 'Teclea el archivo de resultados' Read(*.50) Archivo
Open(Unit=9,File=Archivo,Status='Unknow t i ' )
Write(9,')
,
C
C Pide por pantalla el archivo de resultados
C Apertura del archivo de resultados
C C Evaluación de las integrales C C Calculo de "(So[Rd~Bm*JI(Bm*Rd)-Rb/Bm*J1(Bm*Rb)])-(Vo[Rd/Bm*Y1(Bm*Rd)- Rb/Bm*Y I(Bm*Rb)]}"
Do j=1,2
Bm( l)=l.349999
136
C
Bm(2)=4 1.989999
Don=1,2 Do i=762,1524
X(i)=Bm(n)*i*0.000 I If(X(i).LE.3) Then
x I =X( ¡)/3 X2=XI*XI x4=x2*x2 X6=X4'X2 XS=X6'X2 X!O=X8*X2 x 12=x I o*x2
C A=2.2499997*X2 B=1.26562*X4 C=0.3163866.X6 D=O.O444479*X8 E=O.O039444*X IO F=O.O002100*X 12
A3=0,60559366*XZ B3=0.74350384*X4 C3=0.25300117*X6 D3=0.042612 l4*X8 E3=0.00427916*X IO F3=0.00024846*X I2
C
C AA=0.56249985'X2 BB=0.2 1093573*X4 CC=O.O3954289*X6 DD=0.004433 19'XB EE=0.0003 I76 I *X I O FF=0.00001 I09*X I3
AA3=0.2212091 'X2 BB3=2,1682709*X4 CC3=1.3 164827*X6 DD3=0,3123951*XS EE3=0.0400976*X I O FF3=0.0027873*X I7
C JO(i)=I -A+B-C+D-E+F Yo(i)=((2/Pi)*(LOG(X(i)/Z))'J0(i))+O.3674669 I +A3-83*C3-D3+E3-F3 J I (i)=X(i)'(O.5-AA+Bü-CC+DD-EE+FF) Y I i(i)=(2*X(i)/Pi)*(LOG(X(i)/Z))*J i ( i ) Y I(i)=(Y I l(i)-O.6366198+AA3+BB3-CC3+DD3-EE3+FF3)/X(i)
C Else Xi=3/X(i) XZ=XI'XI x3=x I 'X2 X4=XI 'X3 x5=x I 'X4 X6=X5*xI
137
APÉNDICE G
C A 1 =O.O0000077*X I B 1 =0.00552740* X2 CI =0.000095 12*X3 Dl=O.O0137237*X4 E I =0.0007280S*X5 FI=O.O0014476*X6
AA I =O.O4166397*X I BBI =O.O0003954'X2 CC I =O.O0262573*X3 DD I =0.00054 I25*X4 EE1'0.00029333'X5 FFI=O.O0013558'X6
C Fo=0.79788456-A1 -BI -C 1 +DI -E I +F 1 TETAo=X(i)-0.785398 16-AA I -BB I +CC I -DD I -EEI +FF I
C A2=0.00000156*X 1 B2=0.0 1659667*X2 c2=0.00017 105*x3 D2=0.002495 I I *X4 E2=0.00113653*X5 F2=0.00020033*X6
AA2=O. 124996 12*X I BB2=0.00005650*X2 CC2=0.00637879*X3 DD2=0,00074348*X4 EE2=0.00079824* XS FF2=0.00029166*X6
C FI =0.79788456+A2+82+C2-D2+EZ-F2 TETA I=X(i)22.35619449+AA2+BB2-CC2+DD2+EE2-FF2
C Io(i)=(Fo*Cos(TETAo))/(SQRT(X(i))) Yo(i)=(Fo*Sin(TETAo))/(SQRT(X( i))) J I(i)=(FI *Cos(TETA i))/(SQRT(X( i))) Y 1 (i)=(F 1 *Sin(TETA I ))/(SQRT(X( i)))
C Endif End Do
So(n)=(-Bm(n)*Y'I(1524))+(H*Yo( 1524)) Uo(n)=(-Bm(n)*J 1(762))-(H*Jo(762)) Vo(n)=(-Bm(n)*J I ( I 524))+(H*Jo( 1524)) Wo(n)=(-Bm(n)*Y I (762))-(H*Yo(762))
G l(n)=So(n)*((Rd/Bm(n)*J 1 ( I524))-(Rb/Bm(n)*J l(762))) G2(n)=Vo(n)*((Rd/Bm(n)*Y 1 ( I524))-(Rb/Bni(n)*Y l(762)))
G(n)=G I (n)-G2(n) c Write(*,*)G(n) C C Calculode "So*rl*Jo(Bm*rl)" y "Vo*rl*Yo(Bm'rl)"
Zl(n)=So(n)*r I *Jo(r1/0.000 I ) Z2(n)=Vo(n)*rl *Yo(r1/0.000 I )
c Write(*,*)Z I (n),Z2(n)
138
C
C Calculo de la función propia "Ro(Biii.r)=So*Jo(Bm*r)-Vo*Yo(Bm*r)" nn= I524
Do i=762,nn r(i)=i*0.000 1
Jor(i,n)=Jo(r(i)/O.OOO I) Yor(i,n)=Yo(r(i)/O.OOOI) Ror(i,n)=(So(n)*Jor(i,n))-(Vo(n)'Y or( ¡ , t i ) )
C c write(*,*)r(i),Jor( i. I),Jor(i,Z),Y or( i, I ),Y or( ¡,2), Ror( i, I ),Ror( i.2)
End Do
C Calculo de la norma "N(Bm)" M 1 (n)=(H**Z)+(Bm(n)*'2) MZ(n)=Ml(n) MM(n)=(MZ(n)*(Uo(n)**2))-(M l(n)*(Vo(n)**2)) Q(n)=(Brn(n)**2)*(Uo(n)**2) Norma(n)=(2*MM(n))/((Pi**2)*Q(n))
End Do c Write(*,*)Norma(n)
C C Calculo de "Z*Pi"
L=2*Pi c Write(*.*)L C C Calculo del exponencial "Exp(-Alfa*(Bm**2)'Tiempo)"
c Write(*.*)O C C Calculo de "(l/Alfa*(Bm**2))*(( I-Exp(Alfa*(Bm**2)*Tiempo))"
O=Exp(-Alfa*(Bm(i)* *2)*Tiempo)
OOO=l/(Alfa*(Bm(i)**2)) oo=ooo*( 1-0)
c Write(9;)OO C C Calculo de "(Alfak)" -
c Write(*,*)U C C Calculo de la constante "1/2*Pi"
c Write(*,*)P C C Calculo de la fuente de calor superficial "(Gv*(Rb**2))/(2*rI)"
c Write(',*)Gs C C Calculo de la temperatura "T(r.o,t)"
0 0 0 0 = A l f a k
P= 1 /(2*Pi)
Gs=(Gv*(Rd"2))/(2*r I)
Do i=762,1524 Suma(ij)=((To-Ta)*((P*O* Ror(i,i)*GU )* L)Norma(i))) Resta(¡ j)=(OOOO*((P*Ror(i j)*Gs'OO*(Z I (j)-Z2(j))*L)íNorma~))) End Do End Do Do i=762, I525 SumBet=Suma(i, I)+Suma(i,2)+Resta( i. I )+Resta( i.2) T(i, I)=Ta+Suma(i, ¡)+Resta(¡, I )
.
139
T( i,2)=Ta+SumBet End Do
C Impresión de resultados
c Write(9,*)Jor(i,l),T(i,I),Jor(i,2),T(i,2) c Write(9,')' ',r(i): ',T(¡, I ) , ' ',T(i,2) c Write(9,*)r(i),T(i,i)
Do i=762, I524
Write(9,*)r(i),T(i,2)
End Do C C Formatos de escritura
50 Format (A20) stop End
.
SEP CENIDET DGIT CENTRO DE INFORMACION
140
9 $ - 047.1
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