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CICLO ACADÉMICO 2020
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DIVISION DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Es la operación que consiste en hallar una
expresión llamada cociente [q(x)] conociendo
otras llamadas dividiendo [D(x)] y divisor
[d(x)].
D(x) = d(x) . q(x) División exacta
D(x) = d(x) . q(x) + r(x) División inexacta
Elementos de la división:
D = dividendo
d = divisor
Q = cociente
R = residuo
ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA
DIVISIÓN:
1. Q° = D° – d°
2. R° d°
3. R°max = d° – 1 4. #T(R) = d°
Si los polinomios tienen dos variables, se
cumple: G.A. (R) = G.A.(D)
NOTA: Si en una división inexacta, el Residuo
se resta del Dividendo, la división se vuelve
exacta. Es decir:
D R Dq
PROPIEDADES
1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor
Ósea oQ(x) = oD(x) - od(x)
2. El grado máximo del resto es el grado del
divisor disminuido en uno
Ósea o RMAX = o d(x) –1
3. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.
Ósea R 0
4. Si una expresión es divisible por otra al
residuo de la división de ambos será nulo.
CASOS QUE SE PRESENTAN
1. División de Monomios: En este caso
primero se dividen los coeficientes
teniendo en cuenta la ley de signos y a
continuación la parte literal de acuerdo con
la ley de exponentes.
Ejemplo: Dividir −81 𝑥10𝑌15𝑍6
3𝑥9𝑦12𝑧
1. División de un Polinomio entre un
monomio Se divide cada uno de los
términos del polinomio entre el monomio
𝑀 =42𝑎8𝑏5 − 35𝑎10𝑏9 + 56𝑎5𝑏6
7𝑎4𝑏3
2. División de polinomios
Se desarrolla por cualquier método
ordenando los polinomios en forma
descendentes y completando con ceros en
caso de faltar un término.
I. Método de Horner
Para este método sólo se utilizan los
coeficientes.
En la línea horizontal escribir los coeficientes del dividendo con su propio signo
En la columna escribir los coeficientes del
divisor con signos cambiados excepto el
primero, que conserva su signo.
Separar de derecha a izquierda, tanto
coeficientes como unidades tenga el
grado del divisor: Ejemplo:
(15x7 + 17x6 – x5 – 30x4 – 8x3 + 12x2 + 18x + 4) (5x3 + 4x2 – 2)
5 15 17 –1 –30 –8 12 18 4
–4 -12 0 6
0 –4 0 2
4 0 -2
8 16 0
-8 0 4
3 1 - 1 -4 2 2 10
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Q R
MÉTODOS DE DIVISIÓN
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Luego:
Q = 3x4 + x3 – x2 – 4x + 2 R = 2x2 + 10x + 8
MÉTODO DE RUFFINI:
(PARA DIVISORES BINOMIOS)
Se aplica para divisores de la forma (x+a), y
consiste en escribir en una fila los coeficientes
del dividendo con sus propios signos, en el
margen izquierdo se escribe sólo el término
independiente del divisor, con signo cambiado.
Luego se efectúa la división de los coeficientes
Nota: El coeficiente del margen izquierdo se
puede hallar igualando a cero el divisor.
Ejemplo: (2x4 + 3x3 – 4x + 5) (x+2)
Igualando a cero: x+2 = 0 → x = -2
Luego:
2 3 0 -4 5
-2 -4 2 -4 16
2 -1 2 -8 21
Q R
Q° = D° – d° = 4 – 1 = 3
R° = d° – 1 = 1 -1 = 0
Q = 2x3 – x2 + 2x – 8
R = 21
TEOREMA DEL RESIDUO
El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un
divisor de la forma (x+a), está dado por el
valor numérico de P(x), para x = -a.
Es decir:
Nota: El valor de “x” se puede hallar igualando
a cero el divisor.
Ejemplo: (2x4 + 3x3 – 4x + 5) (x+2)
0
R = P (-2)
= 2(–2)4 + 3(–2)3 – 4(–2) + 5
= 32 – 24 + 8 + 5
= 21
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Se dice que un polinomio es divisible entre
otro, si el residuo de la división es igual a cero
PROPIEDADES:
1. Un polinomio A es divisible entre B y C por
separado, sí y sólo si es divisible entre el
producto AB.
2. Si A es divisible entre B, entonces An es
divisible entre B
3. Si A es divisible entre Bn, entonces A es
divisible entre B
4. Si se multiplica o divide al dividendo y
divisor de una división por una misma
cantidad, el cociente no varía, pero el
residuo queda multiplicado o dividido por
dicha cantidad.
COCIENTES NOTABLES
FORMA GENERAL:
Ejemplos:
𝑥5 + 𝑎5
𝑥 + 𝑎;
𝑥8 − 𝑎8
𝑥 + 𝑎;𝑥9 − 𝑎9
𝑥 − 𝑎 ;
𝑥10 − 𝑎10
𝑥 − 𝑎
TRANSFORMACIÓN A SU FORMA GNERAL:
(Condición necesaria y suficiente)
Sea la expresión:
Para que sea un cociente notable debe cumplir
la siguiente condición:
P(x) (x+a) R = P(-a)
xn a
n
xa
n N , n 2
R 0
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Dónde: n = # términos
Haciendo:𝑝
𝑟= 𝑛 → 𝑝 = 𝑟𝑛,
𝑞
𝑠= 𝑛 𝑞 = 𝑠𝑛
𝐴𝑝 ± 𝐵𝑄
𝐴𝑟 ± 𝐵𝑠=
𝐴𝑟𝑚 ± 𝐵𝑠𝑛
𝐴𝑟 ± 𝐵𝑠=
(𝐴𝑟) 𝑛 ± (𝐵𝑠) 𝑛
(𝐴𝑟) ± (𝐵𝑠)=
𝑥𝑛 ± 𝑎𝑛
𝑥 ± 𝑎
Luego:
Ejemplo:
𝒙𝟏𝟓 + 𝒚𝟏𝟎
𝒙𝟑 + 𝒚𝟐=
(𝒙𝟑)𝟓 + (𝒚𝟐)𝟓
(𝒙𝟑) + (𝒚𝟐)=
𝒎𝟓 + 𝒏𝟓
𝒎 + 𝒏
DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE
1er caso:
𝒙𝒏 + 𝒂𝒏
𝒙 + 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂−. . . … . +𝒂𝒏−𝟏
(División exacta, sólo si n es impar)
2do caso:
𝒙𝒏 − 𝒂𝒏
𝒙 + 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂−. . . … . −𝒂𝒏−𝟏
(División exacta, sólo si n es par)
3er caso:
𝒙𝒏 − 𝒂𝒏
𝒙 − 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂+. . . … . +𝒂𝒏−𝟏
(División exacta, si n es para o impar)
4to caso:
𝒙𝒏 + 𝒂𝒏
𝒙 − 𝒂= 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒙𝒏−𝟐𝒂+. . . … . +𝒂𝒏−𝟏 +
𝟐𝒂𝒏
𝒙 − 𝒂
Donde R = 2an (residuo)
(División inexacta para n par o impar)
Ejemplos:
TÉRMINO GENERAL
𝒕(𝒌) = ±𝑿𝒏−𝒌 𝒂𝒌−𝟏 Regla práctica para determinar el signo:
1. 𝒙𝒏±𝒂𝒏
𝒙−𝒂
2. 𝒙𝒏±𝒂𝒏
𝒙+𝒂
TÉRMINO “k” CONTADO AL REVÉS
𝒕(𝒌) = ±𝑿𝐾1 𝒂𝑛−𝑘
LUGAR QUE OCUPA:
𝒕(𝒌) = 𝑡(𝑛 − 𝑘 + 1)
TÉRMINO CENTRAL
(n = impar)
𝒕(𝑐) = ±𝑥𝑛−1
2
𝑎𝑛−1
2
LUGAR QUE OCUPA:
𝒕(𝑐) = 𝑇 (𝑛 + 1
2)
TÉRMINOS CENTRALES (n = par)
𝒕(𝑐) = ±𝑥𝑛2
𝑎𝑛2−1
LUGAR QUE OCUPA:
𝒕(𝑐) = 𝑇 (𝑛
2)
𝒕(𝑐) = ±𝑥𝑛2
𝑎𝑛2
LUGAR QUE OCUPA:
𝒕(𝑐) = 𝑇 (𝑛
2+ 1)
Ap B
q
Ar B
s
xn a
n
x a
Los términos son positivos (+)
+,si n es impar -, si n es par
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CAP: .04 División Algebraica y Cocientes Notables Practica N°01
01. Luego de dividir :
1x2x4
4x6x15x14x12
2
234
el cociente es :
a) 3x2 – 2x + 2 b) x2 - x + 6 c) x2 + 5x – 2 d) x2 + 4x – 3 e) 3x2 – x + 1
02. Calcula (m + n) para que la división :
nx2x3
mx10x5x4x6
2
234
sea exacta :
a) –20 b) 20 c) 15
d) –15 e) 25
03. Luego de dividir :
baxx
baxx)1b(x)ba(x)1a(x
2
2345
el cociente es :
a) x3 + ax2 + bx + a b) ax3 + bx2 + bx + a c) x3 + x2 + 1 d) x3 – x2 + 1 e) x3 + 3x2 + ax + b
04. Si q(x) es el cociente de :
4x3
12x7x6x5x3 234
Calcula: q(1)
a) 31 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
05. Calcula el resto en:
5x5x
13)4x)(3x)(2x)(1x(2
a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15
06. Calcular el cociente de la siguiente división:
5𝑎𝑥+5 − 11𝑎𝑥+4 + 18𝑎𝑥+3 − 5𝑎𝑥+2 + 3𝑎𝑥+1
5𝑎𝑥+3 − 𝑎𝑥+2 + 𝑎𝑥+1
a) 𝑎2 + 2𝑎 + 3
b) 𝑎2 − 2𝑎 + 3
c) 𝑎2 + 2𝑎 − 3
d) 𝑎2 + 3𝑎 + 3
e) 𝑎2 + 2𝑎 + 5
07. Si al dividir el polinomio 𝑛𝑥5 − (𝑛2 − 2𝑛)𝑥4 +3𝑥3 + 6𝑥2 − (3𝑛2 − 5𝑛)𝑥 + 𝑛2 − 13 entre 𝑥 − 𝑛 + 2, se obtiene un cociente 𝑄(𝑥) y un
resto R. sabiendo que 𝑄(1) + 𝑅 = 0. Calcular
R. a) 2 b) 3 c) 17 d) -9 e) 9
08. La diferencia entre el mayor y menor
coeficiente del cociente 12𝑥4−8𝑥3+15𝑥2−𝑥−6
3𝑥−2 es:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
09. Si el polinomio 3𝑥3 − 9𝑥2 + 𝑘𝑥 − 12 es
divisibles por 𝑥 − 3 entonces, también es
divisible por: a) 3𝑥 + 4 b) 3𝑥 − 4 c) 3𝑥2 − 𝑥 + 4
d) 3𝑥2 − 4 e) 3𝑥2 + 4
10. Si el residuo de dividir: (𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 4𝑥 +2𝑎) entre: (𝑥2 − 𝑏𝑥 + 2) es 2𝑥. Determinar la
suma de coeficientes del cociente. a) -6 b) -4 c) 0 d) 2 e) 3
11. Determine el valor de 𝑀 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐; si la
siguiente división: (𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 28𝑥2 +21𝑥 + 8) ÷ (4𝑥3 + 3𝑥 + 1) deja como residuo
𝑥2 + 2𝑥 + 3. a) 8 b) 6 c) 10 d) 11 e) 12
12. Si el residuo de la división 𝑃(𝑥)
𝑥+1 es 3. Calcular
el residuo de [𝑃(𝑥)]4
𝑥+1
a) 81 b) x c) 1 d) 1 e) 12
13. Si n es un número natural impar y múltiplo
de 3. Determinar el resto en la siguiente
división:
(𝑥2𝑛 + 𝑥𝑛 + 2) ÷ (𝑥2 − 𝑥 + 1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Determinar el residuo de dividir: (𝑥320 +
𝑥5 − 2)entre (𝑥4 − 𝑥2 + 1).
a) 𝑥3 + 𝑥 + 1
b) 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 2
c) 𝑥2 − 2𝑥 + 1
d) 𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 − 1
e) 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2
15. Si la división: (𝑥3−2𝑥+1)
2(𝑥2−𝑥+2)
𝑥3+𝑥+1 tiene
como resto 𝑅(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, determine
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). a) 12 b) 15 c) 18 d) 24
e) 30
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16. Calcular:5
4mnS
p , si la expresión
4 2(mx px n) Es divisible por
2(x 1)(x 1)
a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 6
17. Calcular: ab + j + n + g
h j f
12 L
i k 20
n e -28a
b c 2 p d g
La división ha sido efectuada por Ruffini:
a) 5 b) 6 c) 7 d) – 5 e) – 6
18. Hallar el cociente de: 68 266 64
34 33 32
x x x ...... x 1
x x x ...... x 1
a) 34 33 32 31
x x x x ... 1
b) 34 33 32 31
x x x x ... 1
c) 34 32 30 28
x x x x ... 1
d) 34 32 30 28
x x x x ... 1
e) 34 17
x x 1
19. Simplificar:
p (2n 1)p2p 3pnp 2np
p (n 1)p2p 3p
1 x x x ...... x(1 x ) x
1 x x x ...... x
a) 3np
x 1 b) 3np
x 1 c) 2p
x 1
d) 1 e) px 1
20. Al dividir un polinomio P(x) entre (x – 1) (x
– 2) el resto es 3x + 2. Hallar el término
independiente del resto que resulta al dividir
P(x) entre: (x + 2) (x – 1) sabiendo que Q(x)
es el cociente de ésta división y que:
Q(2) = Q(-1) a) 22 b) 13 c) 14 d) 5 e) 2
21. 3 2
(x)P a x (a b)x b x 2 t ;
(x)P tiene dos
factores que son: (x – 1) y (x – 2), hallar a
y b
a) a = 2 ; b = – 5
b) a = 3 ; b = 34
c) a = 1 ; b = 23
d) a = 23
; b = 53
e) N. A.
22. Para que valor de “m” la expresión: 5 5 5
(x 2y) x my será divisible entre (x +
y)
a) 0 b) – 1 c) 1
d) – 2 e) 2
23. Cuál es el menor coeficiente del polinomio
de cuarto grado que es divisible por (x + 1),
(x + 2), (x – 1) y (x – 2) pero al dividirlo
por “x” su resto es 12
a) – 14 b) – 15 c) 13
d) – 13 e) 14
24. Al dividir un trinomio de segundo grado
entre (x – 1), (x +1) , (3x – 2) se obtuvo
respectivamente como residuos 5, 9 y 4 .
Calcular el producto de los coeficientes del
trinomio.
a) 22 b) 13 c) – 24
d) 25 e) 27
25. Indicar el valor de “m” en el polinomio:
3 3 3 3 3 3 2 2 2x y x z y z mx y z Para que sea
divisible por: xy + xz + yz
a) 3 b) 2 c) 1
d) 0 e) N.A.
26. Si el polinomio:
4 2 2x px qx a es divisible por
2x 1 , Hallar el
resto de dicho polinomio en: 2 2
x a
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
27. Que valores deben tomar “a” y “b” para que
el polinomio 5
x a x b sea divisible entre4
(x 4) . Dar el valor de a + b.
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
28. Que relación debe guardar los coeficientes
del polinomio: 4 3
(a x bx c x d) para que
sea divisible entre: 2
(x 2x 1)
a) b + 4c + 5 = 0 b) b + 4x + 6 = 0 c) b + 3c + 4 = 0 d) b + 3c + 14 = 0 e) c + 4b + 2 = 0
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