CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
CENTRO DE EDUCACIÓN DE ADULTOS
MIGUEL DE CERVANTES
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
MATEMÁTICAS
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
1
SISTEMAS CON DOS INCÓGNITAS
1. 2. 3. 1=y-2x
2=y+x
1-=y+x-
3=2y+3x
3-=y+x-
3=y+2x
4. 5. 6. 2=2y+2x
5=y-x
1-=y-2x
1=y+x
1-=3y+x-
3=y-x
7. 8. 9. 1=5y+2x-
5=3y-4x
0=2y+3x
1=y+x
2-=2y-2x
3=y-5x
10. 11. 12. 8=y+7x
5=2y+3x
23=y-2x
7=y+x
17=2y-7x
3=6y-5x
13. 14. 15. 3=y-x
9=y+2x
7-=3y-2x
6=y+3x
0=y+2x
5-=y-3x
16. 17. 18. 7-=5y+3x
1-=3y+5x
21=3y-15x
3=7y-12x
6=y-5x
8-=12y+4x
19. 20. 21. 4=3y+5x
12=5y+3x
9=y+5x
5-=3y-7x
5=y - 2x
2y=3)-2(x
22. 23. 24. 3=y + 2x
y=2)+5(x
2y=1)+2(x
5=y +x 3
15=2y) - 3(x
5-=y + 2x
25. 26. 27. y) - 2x ( 2=2
1) -y ( 3=3x
12=3y) + 2x ( 3
5y-=2) - 3x ( 2
5 - x=3 -y
)y - 4 ( 2=x
28. 29. 30. 2x +2y =1 - x
6 - x=3y + x
3 +3y + 2x =5y + x
3y- = ) 1 +2y - x ( 3
2y + 3x- =5y + 3x
y)+3-3(x =y - 4x
Sistemas con dos incógnitas
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2
31. 3=
3y+
2x
8=y+x
32.
2=4y-3x
9=2y+x
33. 2=
2y+
3x
3=y+x
34. 5=2y+
3x
6=3y-x
35.
2=2y-x
2-=y-2x
36. 1=
43y+
32x
0=2y+
3x
37. 1-=
32y+
2x
0=2y+3x
38.
1 - 23y=
2x
6y=3x
39. 1=
5y-
32x
1=y-2x
40. 1=
43y-2x
1=3
y+x+2
y-x
41.
1514=
6y-
102x
1=4y+
63x
42. 3 +
57y=
32x
3y=x
43.
1-x=6-y
4=72y-3x
44.
1=1 +y
x
2=y
1 + x
45. 2x-=15y - 4x
1 + 2x=y) - x ( 3
46. 1=
3y + 33x
5=y - xy + x
47.
4=3y + 2x
4=x
y - 2x
48.
2- x=2y - 3x
2=y + x
5x
49.
3=3y + 2x
51 - 2=
y + 2x3x
50.
29=3y-
23x
2x=5y+x
Sistemas con dos incógnitas
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3
Soluciones:
1. x=1, y=1 2. x=1, y=0 3. x=2, y=-1 4. x=3, y=-2
5. x=0, y=1 6. x=4, y=1 7. x=2, y=1 8. x=-2, y=3
9. x=1, y=2 10. x=1, y=1 11. x=10, y=-3 12. x=3, y=2
13. x=4, y=1 14. x=1, y=3 15. x=-1, y=2 16. x=1, y=-2
17. x=2, y=3 18. x=1, y=-1 19. x=-1, y=3 20. x=1, y=4
21. x=2, y=-1 22. x=-1, y=5 23. x=1, y=2 24. x=-1, y=-3
25. x=2, y=3 26. x=-1, y=2 27. x=4, y=2 28. x=3, y=-2
29. x=1, y=2 30. x=-1, y=2 31. x=2, y=6 32. x=1, y=4
33. x=-3, y=6 34. x=9, y=1 35. x=4, y=4 36. x=6, y=-4
37. x=2, y=-3 38. x=4, y=2 39. x=3, y=5 40. x=2, y=4
41. x=3, y=-2 42. x=15, y=5 43. x=2, y=7 44. x=3, y=2
45. x=-5, y=-2 46. x=3, y=2 47. x=-1, y=2 48. x=2, y=3
49. x=3, y=-1 50. x=5, y=1
Sistemas con dos incógnitas
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4
T
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de 1er grado por el método de sustitución, y comprobar
mentalmente:
1) x y 12
x y 2
+ = − =
(Sol: x=7, y=5)
2) x 3y 2
2x y 3
+ = − − =
(Sol: x=1, y=-1)
3) 3x 4y 6
x 2y 8
− = − + =
(Sol: x=2, y=3)
4) x 3y 6
2x y 2
+ = − = −
(Sol: x=0, y=2)
5) x 3y 4
2x y 1
+ = − =
(Sol: x=1, y=1)
6) x 2y 0
2x y 5
+ = − =
(Sol: x=2, y=-1)
7) x y 7
10x 3y 14
+ = + =
(Sol: x=-1, y=8)
8) 2x 3y 1
3x 2y 5
− = − + =
(Sol: x=1, y=1)
9) 2x 8y 0
3x 2y 10
− = − = −
(Sol: x=-4, y=-1)
10) 6x 5y 23
4x y 11
+ = − + = −
(Sol: x=3, y=1)
11) 3x 2y 2
3x 4y 3
− = − + = −
(Sol: x=1/3, y=-1/2)
12) x 2y 5
2x y 7
+ = + =
(Sol: x=3, y=1)
13) x 3y 1
2x y 2
+ = − =
(Sol: x=1, y=0)
14) 2x y 2
4x y 5
− = − + =
(Sol: x=1/2, y=3)
15) x y 9
20x 3y 4
+ = − = −
(Sol: x=1, y=8)
� Ejercicios libro: pág. 99: 11 y 12; pág. 108: 58
2. APRENDER A DESPEJAR : Despejar en cada caso la incógnita que se indica, sin omitir ningún paso:
1) y en y 9x x 1− = − ( )−Sol : y =10x 1
2) x en la anterior Sol : x
y+1=10
3) x en x 3y 10x 60+ = + − Sol : x =
y 203
4) y en la anterior ( )Sol : y =3x+20
5) x en 9x 2y− =
6) y en la anterior
7) a en 2a 3bd
4c−=
Sol : a =
3b+4cd2
8) b en la anterior − Sol : b =
2a 4cd3
9) c en la anterior − Sol : c =
2a 3b4d
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5
10) y en 9x 60y
3+=
11) x en la anterior − Sol : x =
y 203
3. Resolver los siguientes sistemas por el método de igualación, y comprobar (mentalmente):
1) 3x y 10
2x y 10
− = + =
(Sol: x=4, y=2)
2) x 2y 8
x 3y 10
− = − − + =
(Sol: x=-4, y=2)
3) 3x y 17
2x y 8
− = + =
(Sol: x=5, y=-2)
4) x 2y 5
3x y 6
− = − + =
(Sol: x=1, y=3)
5) x y 18
10x 2y 12
− = − − = −
(Sol: x=3, y=21)
6) 3y 2x 12
2x 3y 0
− = − + =
(Sol: x=3, y=-2)
7) y 3x 3
5x y 3
− = − = +
(Sol: x=0, y=-3)
8) 3y 10x 3
5x 6y 0
+ = − − − =
(Sol: x=-2/5, y=1/3)
9) 2x 2y 2
3x 2y 1
− = − + = −
(Sol: x=-1, y=-2)
10) x 3y 4
x 6y 2
+ = − = −
(Sol: x=2, y=2/3)
11) x 3y 3
5x y 15
+ = − =
(Sol: x=3, y=0)
12) x 3y 25
y 9x 27
+ = − =
(Sol: x=-2, y=9)
13) 3x 2y 12
x 5y 38
− = + =
(Sol: x=8, y=6)
14) 5x y 23
5y 9x 13
− = − =
(Sol: x=8, y=17)
� Ejercicios libro: pág. 100: 14; pág. 108 y ss.: 59 y 64
4. Resolver los siguientes sistemas por el método de reducción, y comprobar mentalmente:
1) x y 2
x y 6
+ = − =
(Sol: x=4, y=-2)
2) x 2y 5
x y 3
− + = − − =
(Sol: x=1, y=-2)
3) 2x y 1
x 2y 7
+ = − + =
(Sol: x=-1, y=3)
4) 3x 4y 1
x 3y 7
− = − − = −
(Sol: x=5, y=4)
5) 3x 4y 6
2x 4y 16
− = − + =
(Sol: x=2, y=3)
6) 3x 2y 6
9x 4y 108
− = + =
(Sol: x=8, y=9)
7) 4x y 3
3x y 11
+ = − − + =
(Sol: x=-2, y=5)
8) 2x 3y 4
4x 6y 8
+ = − =
(Sol: x=2, y=0)
9) 8x 9y 60
10x 3y 18
+ = − =
(Sol: x=3, y=4)
10) 8x 7y 15
6x 11y 5
+ = + =
(Sol: x=65/23, y=-25/23)
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6
E
11) 3x 2y 2
6x 8y 6
− = − =
(Sol: x=1/3, y=-1/2)
12) 2x 3y 8
x 2y
+ = =
(Sol: x=16/7, y=8/7)
13) 2x 3y 7
3x 5y 11
+ = − − = −
(Sol: x=2, y=1)
14) 4x y 3
3x y 11
+ = − − = −
(Sol: x=-2, y=5)
15) 3x 2y 11
5x 7y 8
+ = − =
(Sol: x=3, y=1)
16) 3x 2y 6
9x 4y 108
− = + =
(Sol: x=8, y=9)
17) 2x 3y 5
3x 4y 11
+ = + =
(Sol: x=13, y=-7)
18) 4x y 0
8x 3y 1
+ = + =
(Sol: x=-1/4, y=1)
� Ejercicios libro: pág. 101: 17 ; pág. 109: 65
5. Resolver los siguientes sistemas por el método que se indica en cada caso, y comprobar:
1) x 2y 3
2x 2y 0
− = − − + =
por sustitución (Sol: x=3, y=3)
2) x 3y 8
3x y 6
+ = − = −
por igualación (Sol: x=-1, y=3)
3) 2x 3y 2
4x 2y 20
− = + =
por reducción (Sol: x=4, y=2)
4) 2x 4y 9
4x 2y 2
+ = − = −
por sustitución (Sol: x=1/2, y=2)
5) 2x y 2
3x 3y 21
− = + =
por igualación (Sol: x=3, y=4)
6) x 5y 7
2x 3y 7
− + = − − =
por reducción (Sol: x=2, y=-1)
7) 2x 4y 12
3x 2y 6
− = − + =
por sustitución (Sol: x=0, y=3)
8) 3x 2y 13
2x 6y 6
− = + = −
por igualación (Sol: x=3, y=-2)
9) 2x y 1
x 3y 4
+ = − − + =
por reducción (Sol: x=-1, y=1)
10) 2x 3y 8
x 4y 7
− = − = −
por sustitución (Sol: x=53/5, y=22/5)
11) 3x y 9
2x y 1
− = − + = −
por igualación (Sol: x=-2, y=3)
12) 3x 2y 4
2x y 2
− = − + =
por reducción (Sol: x=0, y=2)
13) 3x 4y 14
9x 2y
− = − =
por sustitución (Sol: x=2/3, y=-3)
14) y 3x 8
3y 5x y 3
− = − − = −
por igualación (Sol: x=13, y=31)
15) x 3y 10x 60
y 9x x 1
+ = + − = −
por reducción (Sol: x=3, y=29)
16) 3x 5y 4
6x y 2
− = + =
por sustitución (Sol: x=14/33, y=-6/11)
17) x 3y 75
5x 41y x 336
+ = − = −
igualación (Sol: x=39, y=12)
18) 3y 2x 6
2x y 10
− = + =
por reducción (Sol: x=3, y=4)
� Ejercicios libro: pág. 102: 20; pág. 108 y ss.: 60 , 62, 63y 66
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7
6. Resolver los siguientes sistemas por el método más indicado en cada caso, y comprobar:
1) x y 3
4x y 7
+ = − =
(Sol: x=2, y=1)
2)
=+=−
7y3x
123y2x(Sol: x=3, y=-2)
3)
−=+=−
135y2x
9y2x3(Sol: x=1, y=-3)
4)
=−
=+
6y3 x
01y22x
(Sol: x=12 y=2)
5) 3 y2 x
= 13 2
x + y = 4
− (Sol: x=42/13, y=10/13)
6)
2(x 4)4y 2
33(y 1)
3x 62
− + = − + =
(Sol: x=23/11, y=9/11)
7)
3(x 2) 2(y 3) 24 5 5
2(y 4) 3(x 1) 33 2 2
− − + = − − + =
(Sol: x=2, y=4)
8)
x y7
3 5x y
13 4
+ = − = −
(Sol: x=31/3 y=160/9)
9)
2(x 3) y 15 4 2
3(y 2) x 15 9 3
− + = − + =
(Sol: x=3, y=2)
10)
=++
=−−+
21
21y
3x
31
32y
21x
(Sol: x=-15/13, y=10/13)
11)
3(x 1) 2(y 2) 132 3 6
3(x 1) 2(y 2) 52 5 2
− − + = + + − =
(Sol: x=2, y=3)
12)
2(x 5) y 3 17 2 3
3(y 1) x 3-1
5 3
− − + = − − − − =
(Sol: x=474/71, y=293/213)
13)
2(x 1) 1 y 13 2 3
x+1 2(y 2) 192 5 10
− − − = − + + =
(Sol: x=2, y=-1)
14)
4(x 1) 2y+1 33 2 22x 2(y 1) 125 3 5
− − = − − =
(Sol: x=1, y=-2)
15) x y z 6
2x y 3z 9
x 2y z 2
− + = + − = − − + + = −
(Sol: x=1, y=-2; z=3)
16)
=++−=+−=−+
9z4yx
13z3y2x
0zyx2(Sol: x=2, y=-1; z=3)
17)
=+−−=−
=++−
7z2y5x
7zx3
6zyx2(Sol: x=-1, y=0; z=4)
18) 4x 4y 4z 20
6y 2x 2z 20
7z x y 20
− − = − − = − − =
(Sol: x=32,5, y=17,5; z=10)
� Ejercicios libro: pág. 81: 21; pág. 83: 26; pág. 90: 63 ,64 y 65
NOTA: En el tema de rectas veremos el método gráfico para resolver sistemas.
7. TEORÍA: Encontrar, sin resolver previamente, cuál de los siguientes pares:
(3,-4) (6, -2) (-6,2) (6,2)
es solución del sistema 2x 3y 18
x 4y 14
− = − =
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8
FICHA 2: 215 ecuaciones de 2 o grado
RECORDAR: Forma general de la ecuación de 2º grado: 2222ax +bx+c=0ax +bx+c=0ax +bx+c=0ax +bx+c=0
Resolución: − −2222b± b 4acb± b 4acb± b 4acb± b 4acx=x=x=x=
2a2a2a2a (Añadir esta fórmula al formulario)
1. Resolver las siguientes ecuaciones de 2 0 grado incompletas aplicando el método más conveniente en cada
caso –no vale utilizar la fórmula general-, y comprobar en cada caso las soluciones obtenidas:
1) x2-5x=0 (Sol: x1=0, x2=5)
2) x2-16=0 (Sol: x=±4)
3) x2+8x=0 (Sol: x1=0, x2=-8)
4) x2-49=0 (Sol: x=±7)
5) x2+49=0 (Sol: ∃/ soluc.)
6) 3x2-9x=0 (Sol: x1=0, x2=3)
7) 2x2-18=0 (Sol: x=±3)
8) 5x2+x=0 (Sol: x1=0, x2=-1/5)
9) x2-3=0 (Sol: x=±√3)
10) x2=x (Sol: x1=0, x2=1)
11) x2+x=0 (Sol: x1=0, x2=-1)
12) 4x2-1=0 (Sol: x=±1/2)
13) -x2+12x=0 (Sol: x1=0, x2=12)
14) x2=10x (Sol: x1=0, x2=10)
15) 9x2-4=0 (Sol: x=±2/3)
16) 3x2-11x=0 (Sol: x1=0, x2=11/3)
17) x(x+2)=0 (Sol: x1=0, x2=-2)
18) x2+16=0 (Sol: ∃/ soluc.)
19) 25x2-9=0 (Sol: x=±3/5)
20) x2-8=0 (Sol: x=±2√2)
21) 4-25x2=0 (Sol: x=±2/5)
22) 2x2-8=0 (Sol: x=±2)
23) -x2-x=0 (Sol: x1=0, x2=-1)
24) 16x+4x2=0 (Sol: x1=0, x2=-4)
25) (x+1)(x-1)=2(x2-13) (Sol: x=±5)
26) 2x x(x 1)x
+22
= − − (Sol: x1=0, x2=1/6)
27) x(x-1)-2x=-6x (Sol: x1=0, x2=-3)
� Ejercicios libro: pág. 81: 21; pág. 83: 26; pág. 90: 63 ,64 y 65
2. Resolver las siguientes ecuaciones de 2 0 grado , teniendo en cuenta que:
− Las ecuaciones com pletas se resolverán mediante la conocida fórmula general.
− Las incompletas deberán ser resueltas como en el ejercicio anterior, no mediante la fórmula general.
− Las ecuaciones factorizadas no deben ser pasadas a la forma general, sino resueltas directamente.
− En ambos casos, y siempre que sea posible, se simplificarán los coeficientes antes de resolver.
− Comprobar las soluciones obtenidas en los apartados impares.
1) x2-6x+8=0 (Sol: x1=2, x2=4)
2) x2-4x+4=0 (Sol: x=2)
3) x2-4x+21=0 (Sol: ∃/ soluc.)
4) x2-2x-3=0 (Sol: x1=-1, x2=3)
5) x2-5x+6=0 (Sol: x1=2, x2=3)
6) x2-3x-10=0 (Sol: x1=-2, x2=5)
7) x2+6x+9=0 (Sol: x=-3)
8) 3x2-10x+7=0 (Sol: x1=1, x2=7/3)
9) 04x2x2
1=−− (Sol: x1=4, x2=-2)
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
9
T
10) 2x2-16x+24=0 (Sol: x1=2, x2=6)
11) 02x3
82x3
2=+− (Sol: x1=1, x2=3)
12) 6x2-5x-6=0 (Sol: x1=-2/3, x2=3/2)
13) x2-2x-1=0 (Sol: x=1±√2)
14) x2-3x=0 (Sol: x1=0, x2=3)
15) x2+x-1=0 (Sol: x=-1± 5
2)
16) 52x x 1 02
− + = (Sol: x1=1/2, x2=2)
17) x2-2x+1=0 (Sol: x=1)
18) x2-4x+7=0 (Sol: ∃/ soluc.)
19) 2x
x 2 09
− + = (Sol: x1=3, x2=6)
20) (x+2)(x-5)=0 (Sol: x1=-2, x2=5)
21) 2x2+8x+6=0 (Sol: x1=-3, x2=-1)
22) x2=4 (Sol: x=±2)
23) -2x2+5x+3=0 (Sol: x1=-1/2, x2=3)
24) (x-3)(x-1)=0 (Sol: x1=1, x2=3)
25) 6x2-13x+6=0 (Sol: x1=3/2, x2=2/3)
26) 2x2+10x+12=0 (Sol: x1=-3, x2=-2)
27) -x2+5x-4=0 (Sol: x1=1, x2=4)
28) (4x-8)(x+1)=0 (Sol: x1=-1, x2=2)
29) x2-2x+6=0 (Sol: ∃/ soluc.)
30) (2x-4)3x=0 (Sol: x1=0, x2=2)
31) x2=9 (Sol: x=±3)
32) 9x2-16=0 (Sol: x=±4/3)
33) x2-9x+20=0 (Sol: x1=5, x2=4)
34) x2-4x+3=0 (Sol: x1=1, x2=3)
35) x2-x-6=0 (Sol: x1=3, x2=-2)
36) x2+2x+5=0 (Sol: ∃/ soluc.)
37) x2-6x+9=0 (Sol: x=3)
38) -2x2+2x+15=0 (Sol: x=1± 31
2)
39) x2-5x+4=0 (Sol: x1=1, x2=4)
40) 3x2-4x=0 (Sol: x1=0, x2=4/3)
41) 2x2-8=0 (Sol: x=±2)
42) -4x2+12x-9=0 (Sol: x=3/2)
43) x2+2x-24=0 (Sol: x1=4, x2=-6)
44) x2+8x+15=0 (Sol: x1=-3, x2=-5)
45) x2+5x-14=0 (Sol: x1=2, x2=-7)
46) 7x2-47x-14=0 (Sol: x1=-2/7, x2=7)
47) x2+7x-144=0 (Sol: x1=-16, x2=9)
48) 20x2-7x-6=0 (Sol: x1=3/4, x2=-2/5)
49) x2-6x+9=0 (Sol: x=3)
50) 8x2+33x+4=0 (Sol: x1=-4, x2=-1/8)
51) x2+16=0 (Sol: ∃/ soluc.)
52) x2-2=0 (Sol: x=±√2)
53) 2x 4x 04
55
− + = (Sol: x=2/5)
54) x2-4x+1=0 (Sol: x=2±√3)
55) x2+7x-60=0 (Sol: x1=5, x2=-12)
56) 10x2+37x-12=0 (Sol: x1=3/10, x2=-4)
57) x2-2x-8=0 (Sol: x1=4, x2=-2)
58) x2+2x+3=0 (Sol: ∃/ soluc.)
59) 2x2-7x-4=0 (Sol: x1=4, x2=-1/2)
60) x2+6x-8=0 (Sol: 173x ±−= )
61) 4x2+11x-3=0 (Sol: x1=1/4, x2=-3)
62) x2+2x+1=0 (Sol: x=-1)
63) x2-13x+42=0 (Sol: x1=7, x2=6)
64) x2+13x+42=0 (Sol: x1=-7, x2=-6)
65) x2+5x+25=0 (Sol: ∃/ soluc.)
66) 3x2-6x-6=0 (Sol: 31x ±= )
67) 2x2-7x-15=0 (Sol: x1=5, x2=-3/2)
68) 6x2-x-1=0 (Sol: x1=1/2, x2=-1/3)
69) 3x2-6x-4=0 (Sol: /3211x ±= )
70) x2-19x+18=0 (Sol: x1=18, x2=1)
71) 12x2-17x-5=0 (Sol: x1=5/3, x2=-1/4)
72) 3x2+15x+21=0 (Sol: ∃/ soluc.)
73) 2x2-5x-3=0 (Sol: x1=3, x2=-1/2)
74) 5x2+16x+3=0 (Sol: x1=-1/5, x2=-3)
75) x2+9x-22=0 (Sol: x1=2, x2=-11)
76) x2-169x+3600=0 (Sol: x1=25, x2=144)
77) x2+2x-3=0 (Sol: x1=1, x2=-3)
78) 2x2+ax-3a2=0 (Sol: x1=a, x2=-3a/2)
79) x2+x+1=0 (Sol: ∃/ soluc.)
80) 4x2+8x+3=0 (Sol: x1=-3/2, x2=-1/2)
81) 3x2+4x+1=0 (Sol: x1=-1/3, x2=-1)
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
10
82) x2+4x+3=0 (Sol: x1=-1, x2=-3)
83) x2+2x-35=0 (Sol: x1=5, x2=-7)
84) x2+13x+40=0 (Sol: x1=-5, x2=-8)
85) x2-4x-60=0 (Sol: x1=10, x2=-6)
86) x2+7x-78=0 (Sol: x1=6, x2=-13)
87) x2-10x+25=1 (Sol: x1=4, x2=6)
88) 2x2-11x+5=0 (Sol: x1=5, x2=1/2)
89) x2+10x-24=0 (Sol: x1=2, x2=-12)
90) 2x2-3x+1=0 (Sol: x1=1, x2=1/2)
91) 3x2-19x+20=0 (Sol: x1=5, x2=4/3)
92) 48x2-38,4x-268,8=0 (Sol: x1=2,8; x2=-2)
93) 02 x222x =−− (Sol: 2/; 222
x1
x −== )
94) 3x2-ax-2a2=0 (Sol: x1=a, x2=-2a/3)
95) 0,1x2-0,4x-48=0 (Sol: x1=24, x2=-20)
96) 2 45012x 6x
4− =+ (Sol: x1=3/4, x2=-5/4)
� Ejercicios libro: pág. 81: 19 y 20; pág. 90: 60
3. TEORÍA: Hallar el discriminante de cada ecuación y, sin resolverlas, indicar su número de soluciones:
a) 5x2-3x+1=0 (Sol: ∃/ soluc)
b) x2-4x+4=0 (Sol: 1 soluc)
c) 3x2-6x-1=0 (Sol: 2 soluc)
d) 5x2+3x+1=0 (Sol: ∃/ soluc)
� Ejercicios libro: pág. 82: 22, 23 y 24; pág. 90: 61
4. TEORÍA: Calcular el valor del coeficiente b en la ecuación 5x2+bx+6=0 sabiendo que una de sus soluciones
es 1 ¿Cuál es la otra solución? (Sol: b=-11; x=6/5)
5. TEORÍA:
a) Determinar para qué valores de m la ecuación 2x2-5x+m=0 tiene una solución. (Sol: m=25/8)
b) ¿Para qué valores de a la ecuación x2-6x+3+a=0 tiene solución única? (Sol: a=-6)
c) Determinar para qué valores de b la ecuación x2-bx+25=0 tiene una sola solución. (Sol: b=±10)
6. TEORÍA:
a) ¿Qué es el discriminante de una ecuación de 2º grado? ¿Qué indica? Sin llegar a resolverla, ¿cómo
podemos saber de antemano que la ecuación x2+x+1 carece de soluciones?
b) Inventar una ecuación de 2º grado completa que carezca de solución.
c) Calcular el valor del coeficiente b en la ecuación x2+bx+6=0 sabiendo que una de las soluciones es 1. Sin
necesidad de resolver, ¿cuál es la otra solución?
d) Razonar, sin resolver, por qué la ecuación ax2+bx=0 presenta siempre la solución x=0
7. Resolver las siguientes ecuaci ones de 2 o grado , operando convenientemente en cada caso –para así
pasarlas a la forma general-, y comprobar el resultado en los impares:
1) 2x2+5x=5+3x-x2 (Sol: x1=1, x2=-5/3)
2) 4x(x+1)=15 (Sol: x1=3/2, x2=-5/2) 3) -x(x+2)+3=0 (Sol: x1=1, x2=-3)
4) x(x+3)-2x=4x+4 (Sol: x1=4, x2=-1)
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
11
5) x(x2+x)-(x+1)(x2-2)=-4 (Sol: x=-3)
6) (2x-3)2=1 (Sol: x1=1, x2=2)
7) (5x-1)2=16 (Sol: x1=1, x2=-3/5)
8) (4-3x)2-64=0 (Sol: x1=4, x2=-4/3)
9) 2(x+1)2=8-3x (Sol: 4
977x
±−= )
10) (2x+1)(x+1)=(x+2)(x-2)+3 (Sol: x1=-2, x2=-1)
11) (x-1)2- (x+2)2+3x2=-7x+1 (Sol: x1=-4/3, x2=1)
12) 4x(x+39)+9=0 (Sol: − 39x = ±3 42
2)
13) (3x-2)2+5x2=(3x+2)(3x-2) (Sol: ∃/ soluc.)
14) 4x(x+3)+(x+2)(x-2)=(2x+3)2+x-1
(Sol: x1=4, x2=-3)
15) (2x+3)(2x-3)+5x=2(x+1) -1 (Sol: x1=-2, x2=5/4)
16) (2x+2)(2x-2)=(x+1)2+2(x+1)(x-1)
(Sol: x1=-1, x2=3)
17) (2x+3)(2x-3)=(2x-3)2+30x (Sol: x=-1)
18) (2x-3)2+x2=(3x+1)(3x-1)-6 (Sol: x1=-4, x2=1)
19) (x+3)(x-3)-(x-2)2=6+x(x-5) (Sol: x=9± 5
2)
20) (2x-4)2-2x(x-2)=48 (Sol: x1=8, x2=-2)
21) (2x-3)2+x2+6=(3x+1)(3x-1) (Sol: x1=1,x2=-4)
22) (3x-2)2=(2x+3)(2x-3)+3(x+1) (Sol: x1=1,x2=2)
23) (x-1)(x-2)=0 (Sol: x1=1, x2=2)
24) (x-1)(x-2)=6 (Sol: x1=-1, x2=4)
25) (2x-3)(1-x)=0 (Sol: x1=3/2, x2=1)
26) x (x-2)=3 (Sol: x1=3, x2=-1)
27) (x2-4)(2x-6)(x+3)=0 (Sol: x=±2; x=±3)
28) x (x+2)=3 (x+2) (Sol: x1=3, x2=-2)
29) (x+2)(x-2)=12 (Sol: x=±4)
30) (x+3)(x-3)=3x-11 (Sol: x1=1, x2=2)
31) (2x-4)2=0 (Sol: x=2)
32) x4-16=0 (Soluc: x=±2)
33) x4+16=0 (Sol: ∃/ soluc.)
34) x6-64=0 (Soluc: x=±2)
35) (x+3)7=0 (Sol: x=-3)
36) 2x 4x 4 1+ + = (Sol: x1=-1, x2=-3)
37) (3x-2)2=(2x+1)(2x-1)-2 (Sol: x1=1, x2=7/5)
38) x(2x-3)-(x-2)2=2 (Sol: x1=2, x2=-3)
� Ejercicios libro: pág. 83: 27; pág. 89 y ss.: 59 a, 68 y71
8. Resolver las siguientes ecuaci ones de 2 o grado con denominadores , operando convenientemente en cada
caso –para así pasarlas a la forma general-, y comprobar el resultado en los impares:
1) 2x 4
12x 3
− = −+
(Sol: x1=-8, x2=-4)
2) 03x4x2
=+−
(Sol: x=±2)
3) x x 13x 3x 1
−=− −
(Soluc: x=1/3)
4) 035xx23x
2
2
=−
+ (Sol: x1=0, x2=-2/3)
5) 03x
4x3x2
=−
−+ (Sol: x1=1, x2=-4)
6) x1x
3x6x2
−=−
++ (Sol: x1=-3/2, x2=-1)
7) 1213
1x1x
2
2
=−+ (Sol: x=±5)
8) 1 2x xx 7 x 1− =+ −
(x1=-1; x2=-1/3)
9) 4x
)3x( 2 =− (Sol: x1=4, x2=9/4)
10) 8x3
42x6 =++ (Sol: x1=1, x2=-3)
11) x2
1)6(x41064 ⋅−+= (Sol: x1=19, x2=-56/3)
12)2 2x 2 x 7 x 1
13 12 4+ + ++ = + (Sol: x1=0, x2=-1)
13)2x 1 x 1 x
23 6 9− −− = + (Sol: x1=3, x2=-13/6)
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
12
IGUALDADES NOTABLES EJERCICIOS
22
222
222
BAB)B)(A(A
B2ABAB)(A
B2ABAB)(A
−=−++−=−++=+
� Desarrollar las siguientes expresiones utilizando la identidad notable correspondiente, y simplificar.Obsérvense los primeros ejemplos:
1. 25x10x55x2x)5x( 2222 ++=++=+ ········
2. 36x12x66x2x)6x( 2222 +−=+−=− ········
3. 4x2x)2x()2x( 222 −=−=−+
4. =+ 2)2x( (Soluc: 2x +4x+4)
5. =− 2)3x( (Soluc: 2x - 6x+9)
6. =−+ )4x()4x( (Soluc: 2x -16)
7. =+ 2)3x( (Soluc: 2x +6x+9 )
8. =− 2)4x( (Soluc: 2x - 8x+16 )
9. =−+ )5x()5x( (Soluc: 2x - 25)
10. =+ 2)4a( (Soluc: 2a +8a+16 )
11. =− 2)2a( (Soluc: 2a - 4a+4)
12. =−+ )3a()3a( (Soluc: 2a - 9)
13. =+ 2)3x2( (Soluc: 24x +12x + 9 )
14. =− 2)2x3( (Soluc: 29x - 12x + 4 )
15. =−+ )1x2()1x2( (Soluc: 24x -1)
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
13
16. =+ 2)2x3( (Soluc: 29x +12x + 4 )
17. =− 2)5x2( (Soluc: 24x - 20x+25)
18. =−+ )2x3()2x3( (Soluc: 29x - 4 )
19. =+ 2)2b4( (Soluc: 216b + 16b + 4 )
20. =− 2)3b5( (Soluc: 225b - 30b + 9 )
21. =−+ )1b()1b( (Soluc: 2b -1)
22. =+ 2)5a4( (Soluc: 216a + 40a + 25 )
23. =− 2)2a5( (Soluc: 225a - 20a + 4 )
24. =−+ )2a5()2a5( (Soluc: 225a - 4 )
25. =+ 2)1y4( (Soluc: 216y + 8y + 1 )
26. =− 2)3y2( (Soluc: 24y - 12y + 9 )
27. =−+ )3y2()3y2( (Soluc: 24y - 9 )
28. =+ 2)4x3( (Soluc: 29x +24x+16 )
29. =− 2)1x3( (Soluc: 29x -6x+1)
30. =−+ )4x3()4x3( (Soluc: 29x - 16 )
31. =+ 2)1b5( (Soluc: 225b +10b +1)
32. =− 2)4x2( (Soluc: 24x -16x+16)
33. =−+ )3x4()3x4( (Soluc: 216x - 9 )
34. Carlos, un alumno de 3º de ESO, indica lo siguiente en un examen:
4x)2x( 22 +=+
Razonar que se trata de un grave error. ¿Cuál sería la expresión correcta?
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
14
ECUACIONES DE 2º GRADO
Resolver las siguientes ecuaciones:
01.- 02.- 03.- 24 8 3x x+ + =0 02 4 3 0x x+ + = 22 5 3x x− − =
04.- 05.- 06.- 23 4 1x x+ + =0 02 2 0x x− − = 22 7 4x x− − =
07.- 08.- 09.- 2 5x x− =0 2 25 0x − = 2 2 8 0x x− − =
10.- 11.- 12.- 2 6 15 0x x+ + = 2 6 9 0x x− + = 24 11 3x x 0+ − =
13.- 14.- 15.- 22 3 1x x− + =0 02 3x x+ = 2 49 0x − =
16.- 17.- 18.- 2 13 42 0x x− + = 2 4 8 0x x+ + = 22 7 15x x 0− − =
19.- 20.- 21.- 2 4 4x x+ + =0 0 022 11 5x x− + = 26 1x x− − =
22.- 23.- ( )(23 2x x x= + + )42
53x 3x x− = 24.- ( )( ) ( )( )3 1 1 2 3 2x x x x− − = − −
25.- 2 422 3 3x xx + − = +
13x 26.- 2 1 22 3 3x xx − = −
27.- 28.- ( )( ) ( )(5 5 1 2 1 1x x x x− − = + + )2 25 3 3
3 2 4x x x
= −
29.- 30.- ( )( ) (4 2 2 2x x x x− − + = − )222 1 1 12 3 6
x x x− − −− =
31.- 2 1 5 22 6 3
x x x− − +− =
2
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
15
SOLUCIONES
01.- 1 23 ,2 2
x x=− =−1 02.- 1 21 , 3x x=− =− 03.- 1 2
13 ,2
x x= =−
04.- 1 211 ,3
x x=− =− 05.- 1 22 , 1x x= =− 06.- 1 214 ,2
x x= =−
07.- 08.- 1 20 , 5x x= = 1 25 , 5x x= =− 09.- 1 24 , 2x x= =−
10.- 11.- 3,No tiene x doble= 12.- 1 21 , 34
x x= =−
13.- 1 211 ,2
x x= = 14.- 1 20 , 3x x= =− 15.- 1 27 , 7x x= =−
16.- 17.- No tie 18.- 1 26 , 7x x= = ne 1 235 ,2
x x= =−
19.- 2,x doble=− 20.- 1 215 ,2
x x= = 21.- 1 21 1,2 3
x x= = −
22.- 23.- 1 24 , 1x x= =− 1 20 , 2x x= = 24.- 1 21 , 1x x= =−
25.- 1 212 ,
12x x= = − 26.- 1 2
1 ,2 3
x x 2= =− 27.- 1 2
14 ,3
x x= =
28.- 1 290 ,2
x x= =− 29.- 1 22 , 4x x=− = 30.- 1 21 2,2 3
x x=− =
31.- 1 212 ,3
x x= = −
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
16
ECUACIONES DE 2º GRADO
1. x -7x+12=0 2
Sol: x=3; x=4 2. x -9x+18=0 2
Sol: x=3; x=6
3. x -5x+6=0 2
Sol: x=2; x=3 4. x +8x+15=0 2
Sol: x=-5; x=-3
5. x -6x-27=0 2
Sol: x=-3; x=9 6. x -6x+9=0 2
Sol: x=3
7. x +6x=-9 2
Sol: x=-3 8. 4x +4x=32
Sol:x=1/2;x=-3/2
9. x -9x+14=0 2
Sol: x=2; x=7 10. x -6x+8=0 2
Sol: x=4; x=2
11. 2x +10x-48=0 2
Sol: x=3; x=-8 12. x -x=20 2
Sol: x=-4; x=5
13. x =5x+62
Sol: x=6; x=-1 14. 2x -5x+3=0 2
Sol: x=1; x=3/2
15. x +10x+25=02
Sol: x=-5 16. x +9=10x2
Sol: x=1; x=9
17. 3x -39x+108=02
Sol: x=4; x=9 18. 2x -9x+9=0 2
Sol: x=3; x=3/2
19. 3x +2x=82
Sol: x=-2; x=4/3 20. 4x +12x+9=0 Sol: x=-3/22
21. 5x +1=6x2
Sol: x=1; x=1/5 22. 6x +1=5x2
Sol:x=1/2; x=1/3
23. 6x -6=5x2
Sol: x=-2/3; x=3/2 24. 2x +7x+6=02
Sol: x=-2; x=-3/2
25. x =2x+32
Sol: x=-1; x=3 26. 4x +3=8x2
Sol:x=1/2; x=3/2
27. x -x+1/4=0 2
Sol: x=1/2 28. 3x -16x+5=0 2
Sol: x=5; x=1/3
29 . 1 = 3
2 + 3x -
3
x -
2
1 3 0. 2) - (x - x = x + x - 2
) 3 - (x 2
2
31. x 3 + 1 - x
3 = 2 - x 3 + 3x +
1 - x
1 2 2 3 2 . 2x =
3
1 - x - ) 3
2 - (x
33. 3x = 1 - x
1 -
3
3 - x 3 4. 5 + 5x =
2x
1 +
x
2 - x
35. 3 - x
3 - 2x =
x
5 - 3x +
x
3 - x 3 6. 5) - (x - 2) - 3(x = ) 1 - (x +
x
8 -
2 3x
37. ) 2 - (x = 2
3) - (x x + 2) - (x 3) -
2 (x
38. 4 - ) 2 - (x = 2
2) + (x 2) - (x -
3
2 + x - x 2) -
2 (x
39 . ) 2 - (x = 1) - (x x) - (3 + 3
2 - x - ) 3 -
2 2 (x
40. 2 = x
x + 3 -
1 + x
1 - x 4 1. 2 =
1 - x
x + 3 -
1 + x
1 - x
Ecuaciones de 2º grado
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
17
42 . 4 = 2 - x
1 + x 4 3.
3
2x -
9
2 = x - 2
x
44. 3
5x = 2 +
3
x 2
4 5. 3 = x
2 + x
46. x
8 - 4x = 2 - x 4 7.
x
9 + 2x =
x
3 +
2
x
48. 5 - 1 - x
6x = 2 - 2x 4 9. 0 =
2
x + x - 1) + (x x
50. 4
3x + 1 =
x
3 - 1 + 3x 51.
3 - x
x - 2 +
3
4 + 4x =
3
4 + x + 2
52. 3x
6 =
x
1 + x 5 3.
x
3 - 2x = 2 - x
54. 3x
10 + 3x =
x
2 +
3
x 5 5.
1 - x
1 + 2x = 3 + x
56. x
1 =
2 - x
1 + x + 2
1 + x
3 57.
x
1 - =
1 + x
1 - x - 1
1 - x
4
3 - x -
3 - x
2
Soluciones:
29. x=-2, x=-1; 30. x=1, x=5/3; 31. x=5/3, x=0; 32. x=4/3, x=7;
33. x=5/8, x=0; 34. x=-3/4, x=-1/2; 35. x=-5, x=1; 36. x=-2, x=2;
37. x=1, x=4; 38. x=-2/3, x=4; 39. x=-1, x=8/3; 40.x=-3, x=-1/2;
41. x=-3, x=0; 42. x=3; 43. x=-1/3, x=2/3; 44. x=2, x=3;
45. x=1, x=2; 46. x=4, x=2; 47. x=-2, x=6; 48. x=-1/2, x=3;
49. x=0, x=1/2; 50. x=1, x=-4/3; 51. x=2, x=4; 52. x=1, x=-1;
53. x=3, x=1; 54. x=-1, x=4; 55. x=-2, x=2; 56. x=1/2, x=2/3;
57. x=-1; x=2
Ecuaciones de 2º grado
Departamento de Matemáticas l
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
18
1 Completa las tablas, representa los puntos y traza las rectas que determinan.
a) y = x 8 b) y = x 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
c) y = –3x 8 d) y = – x 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –6 –3 0 3 6
y23
x –2 –1 0 1 2
y
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –4 –2 0 2 4
y32
x –4 –2 0 4 6
y12
UNIDAD 8 Funciones lineales
2. Refuerza: función de proporcionalidad y = mx
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
19
UNIDAD 8 Funciones lineales
2. Refuerza: función de proporcionalidad y = mx
2 Observa cada recta y escribe su pendiente (simplificada todo lo posible) y su ecuación.
a) b)
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ecuación: y = x Ecuación: =
c) d)
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ecuación: = Ecuación: =
X
Y
2
2X
Y
2
2
X
Y
2
2X
Y
2
2
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
20
UNIDAD 8 Funciones lineales
3. Refuerza: función y = mx + n
1 Representa las siguientes rectas completando previamente las tablas. Determina sus pendientes y sus ordena-das en el origen.
a) y = 3x + 2 8 b) y = x – 1 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =
c) y = 2 – 2x 8 d) y = 1 – x 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –8 –4 0 4 8
y14
x –2 –1 0 1 2
y
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –4 –2 0 2 4
y12
x –2 –1 0 1 2
y
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
21
UNIDAD 8 Funciones lineales
3. Refuerza: función y = mx + n
2 Escribe la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de cada una de estas rectas.
a) b)
m = ; n = m = ; n =
y = x + y = x + ( )
c) d)
m = ; n = m = ; n =
y = x + ( ) y = x +
X
Y
2
2X
Y
2
2
X
Y
2
2X
Y
2
2
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
22
FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
23
FUNCION LINEAL Y AFÍN
Halla la pendiente y la ecuación de la recta:
Escribe la ecuación que le corresponde a cada recta
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24
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Recuerda: cbxaxy 2 ++= es la función cuadrática.
La gráfica es una parábola. La orientación de la parábola depende del signo de a:
⎩⎨⎧
→<→>
convexafunciónabajo hacia ramas0acóncavafunciónarriba hacia ramas0a
El eje de simetría viene dado por la recta a2bx −
=
El vértice de la parábola tiene por abscisa a2bx0
−= .
La ordenada la determinaremos sustituyendo este valor de x0 en la función. Los puntos de corte con el eje de abscisas vienen dados por las dos soluciones
de la ecuación de segundo grado a2
ac4bbx,a2
ac4bbx2
2
2
1−−−
=−+−
=
Son: (x1, 0) y (x2, 0). El punto de corte con el eje de ordenadas viene dado por el punto (0, c).
Ejercicios de autoaprendizaje:
1. Sea la función : 5x6xy 2 +−= . Estúdiala y dibújala.SOLUCIÓ: Es una parábola con las ramas hacia arriba, porque 01a >= .
El eje de simetría es la recta 312
)6(x =⋅−−
= .
El vértice tiene por abscisa: 3x0 = y por ordenada: 45363y 2 −=+⋅−=Entonces el vértice es el punto (3, −4) Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos: 05x6x2 =+− . Resolvemos y obtenemos:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
===
−±=
122
52
10
220366x .
Entonces los puntos de corte son: (5, 0) y (1, 0) El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, 5).
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25
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
26
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
27
ESTADÍSTICALa ESTADÍSTICA es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto estudiar
fenómenos físicos, biológicos, económicos, sociales, etc. , a partir de datos recogidos
de numerosas experiencias u observaciones.
1. INFORMACIÓN ESTADÍSTICA. CONCEPTOS BÁSICOS.
El conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica y
sobre el que se desea obtener información se denomina población. La población viene
representada usualmente por la letra N.
Cada uno de los elementos que forman la población es un individuo.
Para recoger información acerca de la población se realiza una encuesta. Esta
recogida de información se hace bien por observación o mediante preguntas.
Por razones de economía, tiempo o necesidad, en Estadística no se trabaja con el total
de la población, sino con una parte de la misma.
Una muestra es cualquier subconjunto o parte de la población. Esta muestra tiene
que ser representativa de toda la población objeto de estudio. Uno de los procesos para
elegir de manera adecuada una muestra es el muestreo aleatorio; en él, todos los
elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra.
El tamaño de la muestra se representa mediante la letra n.
Ejemplos :
a) Población: Socios de un club de tenis ( 500 personas (300 hombres y 200
mujeres) ). N = 500.
Muestra: 10 % de los socios ( 50 personas (30 hombres y 20 mujeres) ). n = 50.
b) Población: Ciudadanos con derecho a voto ( 4 millones (2’5 millones hombres
y 1’5 millones mujeres) ). N = 4.000.000.
Muestra: 1 ‰ de la población ( 4.000 personas (2.500 hombres y 1.500
mujeres) ). n = 4.000.
2. VARIABLES ESTADÍSTICAS.
Cada uno de los aspectos que se desea conocer acerca de la población se denomina
variable estadística. Las variables estadísticas pueden ser:
Cualitativas: si se pueden observar o leer, pero no se pueden contar o medir. Por
ejemplo: color de pelo, lugar de nacimiento, profesión.
Cuantitativas: si se pueden contar o medir. Por ejemplo: número de hermanos,
peso, número de discos vendidos, talla.
Las variables estadísticas cuantitativas pueden ser discretas o continuas:
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28
Una variable estadística cuantitativa es discreta cuando sólo toma un
número finito de valores aislados (es decir, se puede contar). Por ejemplo:
número de hermanos, número de discos vendidos, número de pulsaciones.
Una variable estadística cuantitativa es continua cuando puede tomar todos
los valores posibles de un intervalo (es decir, se puede medir). Por ejemplo:
peso, talla, medida del salto de longitud.
Los valores de una variable estadística se representan por
x x x xk1 2 3, , , ,
Observación:
En algunos textos se habla de caracteres estadísticos cualitativos y cuantitativos, y
sólo se consideran variables estadísticas las cuantitativas, es decir las que se pueden
medir.
3. FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS. TABLAS ESTADÍSTICAS.
Con los datos desordenados obtenidos en la encuesta, se construyen unas tablas
ordenadas. Estas tablas recogen el número de individuos que toma los diferentes valores
de la variable, son las frecuencias.
Frecuencia absoluta de un valor de la variable es el número de veces que se
repite dicho valor.
La frecuencia absoluta del valor xi se representa por f i .
La correspondencia que asocia a cada valor de la variable su frecuencia absoluta
se llama distribución estadística.
Frecuencia relativa de un valor de la variable es el cociente entre la frecuencia
absoluta del valor y el número total de datos.
La frecuencia relativa del valor xi se representa por hi , por tanto
hf
ni
i
Frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, xi , es la suma de las
frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi .
La frecuencia absoluta acumulada del valor xi se representa por Fi , así
tenemos que
F f f fi i1 2
Frecuencia relativa acumulada de un valor de la variable, xi , es el cociente
entre la frecuencia absoluta acumulada del valor xi y el número total de datos.
La frecuencia relativa acumulada del valor xi se representa por H i , así
tenemos que
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29
HF
n
f f f
n
f
n
f
n
f
nh h hi
i i ii
1 2 1 21 2
Para construir las tablas estadísticas formaremos varias columnas: una en la que
figuren los valores de la variable, otra de frecuencias absolutas, otra de frecuencias
relativas, otra de frecuencias absolutas acumuladas, otra de frecuencias relativas
acumuladas y otra de porcentajes.
Si la variable estadística es discreta con un número grande de datos (por ejemplo,
número de discos vendidos) o es continua, se realiza un agrupamiento de los datos en
intervalos, que en Estadística se denominan clases.
Para realizar un buen agrupamiento debemos tener en cuenta los siguientes puntos:
- Es aconsejable escoger los extremos inferior y superior de cada intervalo de
modo que se sitúen en números “redondos”; por ejemplo, múltiplos de 5, de 10,
etc.
- Todas las clases deben tener la misma amplitud.
- Los puntos medios de cada clase se llaman marcas de clase.
- El número de clases que debemos formar es de libre elección, pero existe un
criterio general que aconseja formar tantas clases como la raíz cuadrada del
número total de datos.
Ejemplos :
1) En un centro de enseñanza secundaria hay ocho clases de tercero de E.S.O. y se
quiere tener una información sobre el número de hermanos de los alumnos.
Variable: Número de hermanos del alumno (var. estad. cuantitativa discreta).
Población: Curso de 3º de E.S.O.
Muestra: 30 alumnos seleccionados al azar de las ocho clases. n = 30.
xi (nº de
hermanos)
f i (nº de alumnos) Fi hi H i %
0 3 3 3/30 3/30 10
1 9 12 9/30 12/30 30
2 13 25 13/30 25/30 43’33
3 2 27 2/30 27/30 6’66
4 1 28 1/30 28/30 3’33
5 1 29 1/30 29/30 3’33
8 1 30 1/30 30/30 = 1 3’33
n 30 1 99’98
2) En un centro de enseñanza secundaria hay ocho clases de tercero de E.S.O. y se
quiere tener una información sobre el peso de los alumnos.
Variable: Peso de los alumnos (var. estad. cuantitativa continua).
Población: Curso de 3º de E.S.O.
Muestra: 30 alumnos seleccionados al azar de las ocho clases. n = 30.
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30
Datos recogidos: 42, 48, 51, 55, 57, 52, 50, 58, 62, 70, 49, 52, 51, 73, 67, 61,
56, 56, 54, 46, 63, 54, 59, 61, 53, 52, 52, 57, 59, 55.
Clases
(peso del
alumno)
xi
(marca de
clase)
f i
(nº de
alumnos)
Fi hi H i %
[ 40 , 45 ) 42’5 1 1 1/30 1/30 3’33
[ 45 , 50 ) 47’5 3 4 3/30 4/30 10
[ 50 , 55 ) 52’5 10 14 10/30 14/30 33’33
[ 55 , 60 ) 57’5 9 23 9/30 23/30 30
[ 60 , 65 ) 62’5 4 27 4/30 27/30 13’33
[ 65 , 70 ) 67’5 2 29 2/30 29/30 6’66
[ 70 , 75 ) 72’5 1 30 1/30 30/30 =
1
3’33
n 30 1 99’98
3. REPRESENTACIONES GRÁFICAS.
La forma más inmediata de hacer comprensible la información estadística es a través
de las gráficas estadísticas. La elección de determinada gráfica estadística estará en
función del tipo de datos que se manejen en el estudio que se realiza. Los principales
tipos de gráficas son los siguientes:
Diagrama de barras y polígono de frecuencias.
Se utiliza para representar variables cualitativas o cuantitativas discretos sin
agrupar en clases. Para construir el diagrama de barras se representan sobre el
eje de abscisas los datos y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas.
Sobre cada valor de la variable se levanta una barra de longitud igual a la
frecuencia absoluta.
Si unimos los extremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencias.
Ejemplo: Vamos a representar al diagrama de barras asociado a la
distribución que clasifica a los alumnos según el número de hermanos
( ejemplo 1) ).
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de hermanos
Nú
mero
de a
lum
no
s
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31
Histograma y polígono de frecuencias.
Se utiliza para representar variables cuantitativas discretas agrupadas en clases
o variables cuantitativas continuas. Para construir el histograma se representan
sobre el eje de abscisas los extremos de las clases y sobre el eje de ordenadas las
frecuencias absolutas. Se construyen unos rectángulos de base la amplitud de
cada clase y de altura la frecuencia absoluta de cada clase.
Si unimos los puntos medios de los lados superiores de cada rectángulo
obtenemos el polígono de frecuencias.
Ejemplo: Vamos a representar el histograma asociado a la distribución
que clasifica a los alumnos según su peso en kilogramos ( ejemplo 2) ).
Diagrama de sectores.
Se utiliza para representar fundamentalmente variables cualitativas. Consiste en
un círculo dividido en tantos sectores circulares como modalidades tiene la
variable. El ángulo central de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia
absoluta correspondiente.
Para calcular la medida del ángulo se hace la siguiente operación: hi 360º
Ejemplo: Se realiza sobre la población y muestra de los ejemplos 1) y 2)
el estudio de la variable cualitativa “Autonomía de nacimiento del alumno”.
Vamos a representar mediante un diagrama de sectores la distribución
estadística que clasifica a los alumnos según la autonomía de nacimiento.
Para el cálculo del ángulo central procedemos así:
0
2
4
6
8
10
12
40 45 50 55 60 65 70 75
Peso en Kg.
Número de
alumnos
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32
Autonomía Número de
alumnos
Medida
del ángulo central
Andalucía 19 19
30360 228º º
Castilla-La Mancha 7 7
30360 84º º
Cataluña 2 2
30360 24º º
Galicia 1 1
30360 12º º
País Vasco 1 1
30360 12º º
El diagrama de sectores asociado sería el siguiente:
4. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS.
Observación:
El cálculo de parámetros estadísticos se restringe a las variables estadísticas
cuantitativas. No podemos calcular parámetros de variables cualitativas, aunque si
podemos hacer sus tablas de frecuencias y representarlas gráficamente.
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.
Andalucía
Castilla-La Mancha
Cataluña
Galicia
País Vasco
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
33
Se llaman medidas de centralización a los parámetros que tienden a situarse hacia el
centro del conjunto de datos ordenados. Las medidas de centralización son valores que
representan el conjunto de los datos.
Las medidas de centralización más importantes son: la media aritmética, la
mediana y la moda.
Media aritmética.
La media aritmética de una variable estadística es el cociente entre la suma de
todos los valores de la variable y el número de éstos (tamaño muestral). Se
representa por x .
Si la variable toma los valores xi con frecuencias absolutas f i , la media
aritmética es:
xx f x f x f
n
x f
n
k k
i i
i
k
1 1 2 2 1
Si los datos están agrupados en clases, se toma para xi las marcas de clase.
Ejemplos :
1)
x0 3 1 9 2 13 3 2 4 1 5 1 8 1
30193'
2)
x42 5 1 47 5 3 52 5 10 57 5 9 62 5 4 67 5 2 72 5 1
305616
' ' ' ' ' ' ''
Mediana.
La mediana de una variable estadística es el valor de la variable que ocupa el
lugar central de los datos. Se representa por Me.
Si el número de datos es impar se toma como valor de la mediana el valor
central.
Si el número de datos es par se toma como valor de la mediana la media
aritmética de los dos valores centrales.
Ejemplos :
1) Me = 2 ( los valores 15º y 16º son 2 )
2) Me = 57’5 ( los valores 15º y 16º están en la clase [55,60) )
Moda.
La moda de una variable estadística es el valor de la variable que tiene mayor
frecuencia absoluta. Se representa por Mo.
Si los datos están agrupados en clases se toma como valor de la moda la marca
de la clase que tiene mayor frecuencia absoluta. Esta clase se llama clase modal.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
34
Ejemplos :
1) Mo = 2 . 2) Mo = [50,55) .
MEDIDAS DE DISPERSIÓN.
Se llaman medidas de dispersión a los parámetros que miden las desviaciones
respecto de la media. Las medidas de dispersión amplían la información sobre la
distribución de los datos, estableciendo si están más o menos próximos unos de otros.
Las medidas de dispersión más importantes son : el rango o recorrido, la varianza y
la desviación típica.
Rango o recorrido.
El rango o recorrido de una variable estadística es la diferencia entre el mayor
y el menor valor de la variable.
Esta medida tiene el inconveniente de que sólo depende de los valores extremos
de la variable.
Ejemplos :
1) Rango = 8 – 0 = 8 . 2) Rango = 72’5 – 42’5 = 30 .
Varianza.
La varianza de una variable estadística es la media aritmética de los cuadrados
de las desviaciones respecto a la media. Se representa por 2
.
n
xxf
n
xxfxxfxxf
k
i
ii
kk 1
2
22
22
2
112
Ejemplos :
1)
2 2 395'
. 2) 2 415'
.
Desviación típica.
La desviación típica de una variable estadística es la raíz cuadrada positiva de
la varianza. Se representa por .
Ejemplos :
1) 1547' . 2) 6 446' .
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35
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA
1) El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente:
0 1 0 0 3 2 1 4 0 0 1 1 2 0 1
1 2 0 1 1 2 1 3 0 0 2 1 2 3 5
a) Efectúa el recuento.
b) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia
absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada.
c) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y
un polígono de frecuencias absolutas.
d) ¿Qué porcentaje de alumnos son hijos únicos?
e) ¿Cuántos alumnos tienen más de un hermano?
2) El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente:
0 1 0 2 3 2 1 3 0 0 1 0 3 0 1
1 0 0 1 1 2 1 2 0 1 2 1 5 3 5
a) Elabora una tabla con las cuatro frecuencias y el porcentaje.
b) Calcula la moda, la media de goles por partido.
c) ¿Qué porcentaje de partidos han metido al menos un gol?
d) ¿Cuántos partidos han jugado?
e) Haz una representación gráfica.
3) En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas
viven en la casa, obteniéndose las siguientes respuestas:
4 4 8 1 3 2 1 3 4 2 2 7 0 3 8 0 1 5 6 4
3 3 4 5 6 8 6 2 5 3 3 5 4 6 2 0 4 3 6 1
a) Elabora una tabla en la que se recojan las cuatro frecuencias.
b) ¿Cuántas viviendas fueron objeto de estudio? ¿En cuántas de ellas no
vive nadie?
c) ¿Qué porcentaje de viviendas está ocupado por más de cinco personas?
d) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y
un polígono de frecuencias absolutas.
4) En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una
determinada marca se obtuvieron los siguientes datos:
10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9
a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias y porcentajes.
b) Representar los datos en un diagrama de barras y en un diagrama de
sectores.
5) Se ha lanzado un dado 20 veces y se han obtenido los siguientes resultados:
3, 4, 5, 2, 1, 4, 6, 1, 3, 2,
5, 5, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 5, 6
a) Construir la tabla de frecuencias.
b) Representar los datos con un diagrama de barras y un diagrama de
sectores.
c) ¿Cuál a sido la puntuación media obtenida?.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
36
6) Estos son los datos sobre ocupación de la población por sectores económicos:
a) ¿Cuántos trabajadores hay en total?
b) Calcula la frecuencia relativa en porcentaje de cada sector económico
c) Representa estos datos en un diagrama de barras
7) La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de
Matemáticas:
nota 2 4 5 6 7 8 9 10
Nº alumnos 2 5 8 7 2 3 2 1
a. ¿Cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo
un 7?¿Cuántos sacaron como mínimo un 6?
b. Calcular la nota media, la moda y la mediana
8) Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3º de ESO en
una prueba de Matemáticas vienen dadas por la siguiente tabla:
Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Alumnos 1 2 4 5 4 6 5 4 1
a) Elabora la tabla de frecuencias completa.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba la materia?
c) ¿Qué porcentaje obtiene más de 8 puntos?
d) Dibuja un diagrama de barras de frecuencias relativas.
e) Dibuja un polígono de frecuencias acumuladas.
9) En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de
un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año.
a) ¿Cuántas personas han ido el médico 7
veces en el último año?¿Cuántas han ido 4
veces?
b) ¿Qué porcentaje de personas ha ido al
médico más de 6 veces?
c) Calcular la moda y el número medio de
visitas al médico en el ambulatorio.
d) Dibujar un diagrama de barras.
Nº de
visitas al
médico
Nº de
personas
1 10
3 25
5 43
7 31
10 12
12 4
Agricultura 1.870.000 Industria 2.587.000 Construcción 789.000
Servicios 5.394.500
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
37
10) Las temperaturas recogidas en un determinada ciudad durante el mes de Enero
se muestran en la siguiente tabla:
Temperatura en ºC 19 20 21 22 23 24
Número de días 7 9 6 4 3 2
a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21ºC? ¿Cuántos por debajo de
23ºC?¿Cuántos días hizo la temperatura máxima?
b. Calcula la media, la moda y la mediana.
11) Se realizó una encuesta a un grupo de personas para comprobar si habían visto la
película que obtuvo más premios Goya ese año. Los resultados se reflejan en la
gráfica:
125
175
0
50
100
150
200
SI NO
OPINIÓN
Nº
de r
esp
uesta
s
a) ¿Cuántas personas contestaron a la encuesta?
b) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.
12) A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos:
0
1
2
3
4
5
6
atletismo ciclismo baloncesto natación
a) Calcular la tabla de frecuencias.
b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo?
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
38
13) La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas
en una tienda a lo largo del día:
0
5
10
15
20
25
30
35
36 37 38 39 40
Nº de zapato
Nº
de p
are
s v
en
did
os
a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido?
b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas.
c) ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado?
d) ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40?
e) Dibuja un polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
14) En una encuesta a 35 personas se les preguntaba sobre sus preferencias a la hora
de leer novelas. Los resultados se recogieron en la siguiente gráfica:
Preferencias de tipos de novelas
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
aventuras amor misterio ciencia-
ficción
humor
a) Construye la tabla de frecuencias.
b) Dibuja sobre el gráfico un diagrama de barras.
c) ¿A qué porcentaje de las personas encuestadas les gustan las novelas de
amor?¿Y las de ciencia-ficción?
d) ¿Cuál es la moda?
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
39
15) En el siguiente estudio se analizan los sueldos que ganan las mujeres en la
industria en diversos países del mundo, en porcentaje sobre lo que gana los
hombres:
43
5460
64 65 67 68 6873 74 77 79 79 84 89
Japón
Core
a d
el S
ur
Luxem
burg
o
Austr
alia
Esta
dos U
nid
os
España
Suiz
a
Rein
o U
nid
o
Ale
mania
Bélg
ica
Hola
nda
Fra
ncia
Gre
cia
Din
am
arc
a
Suecia
a) Si una mujer en Suiza gana 1300 francos, ¿cuánto gana un hombre en el
mismo puesto y con la misma categoría profesional?
b) Un hombre, por término medio, gana en España un sueldo mensual de
1102 euros netos. ¿Cuánto ganaría si fuese mujer?
%
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
40
Ejercicios de Estadística
1 . Las notas de los 20 alumnos de una clase son:
4, 3, 3, 5,5,7,9, 7, 9, 0, 5, 4, 9, 2, 7, 2, 2, 5, 5, 0
Haz una tabla de frecuencias.
Solución
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
estadística x i puntuales n i acumuladas N i puntuales f i acumuladas F i 0
2
3
4
5
7
9
2
3
2
2
5
3
3
2
5
7
9
14
17
20
1/10
3/20
1/10
1/10
1/4
3/20
3/20
1/10
5/20=1/4
7/20
9/20
14/20=7/10
17/20
20/20=1
2. . Del alumbramiento de un conjunto de ratas se ha observado el número de crías, obteniéndose los siguientes valores
numéricos:
5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7 y 3.
Haz una tabla de frecuencias.
3 . En un Instituto hay matriculados 2200 alumnos que se distribuyen por edades en la forma siguiente: 215 de 14 años,
43 7 de 15, 421 de 16, 396 de 17, 512 de 18, 124 de 19 y 95 de 20. Formar la tabla de distribución y de frecuencias, que
incluya frecuencias acumuladas.
4. . En una Caja de Reclutamiento se toma una muestra de tamaño 30 de los pesos de los mozos correspondientes a un
cierto reemplazo, obteniéndose los siguientes datos medidos en kg:
71.9, 63.9, 62.3, 72.5, 78.0, 70.7, 71.4, 60.5, 60.9, 68.2, 88.5, 76.1, 82.1, 63.7, 79.8, 67.5, 50.1, 69.5, 66.1, 47.3, 72.1,
59.8, 93.7, 80.7, 61.2, 64.3, 53.7, 74.7, 96.3, 73.2.
Construir una tabla de frecuencias agrupando los datos en clases de la misma amplitud.
Solución
A continuación se presenta la misma muestra ordenada:
47.3, 50.1, 53.7, 59.8, 60.5, 60.9, 61.2, 62.3, 63.7, 63.9, 64.3, 66.1, 67.5, 68.2, 69.5, 70.7, 71.4, 71.9, 72.1, 72.5, 73.2,
74.7, 76.1, 78.0, 79.8, 80.7, 82.1, 88.5, 93.7, 96.3.
Tomaremos 6 intervalos de amplitud 10, la tabla queda estructurada de la siguiente manera:
clases Marcas de frecuencias absolutas
clase de clase acumuladas
Frecuencias relativas
de clase acumuladas
45 -55
55 -65
65 -75
75 -85
85 -95
95 -105
50
60
70
80
90
10 0
3
8
11
5
2
1
3
11
22
27
29
30
0. 1
0. 266
0. 366
0. 166
0. 066
0. 033
0. 1
0. 36 6
0. 73 3
0. 90 0
0. 96 6
1
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
41
5. El número de personas que viven en cada uno de los portales de una gran barriada es:: 63, 58, 70, 47, 120, 76, 80, 59,
80 , 70, 63, 77, 104, 97, 78, 90, 112, 88, 67, 58, 87, 94, 100, 74, 55, 80, 75, 49, 98, 67, 84, 73, 95, 121, 58, 71, 66, 87,
7 6 , 56, 77, 82, 93, 102, 56, 46, 78, 67, 65, 95, 69, 90, 58, 76, 54, 76, 98, 49, 87, 69, 80, 64, 65, 56, 69, 68, 99, 106.
Construye una tabla de frecuencias . 1
6. La producción editorial española de libros de sociología y Estadística, en los años que se indica es:
Años 1 991 1 992 1 993 1 994 1 995 1 996 1 997
nº 34 5 487 589 376 479 652 741
Hacer una tabla de frecuencias absolutas y relativas puntuales. Expresar la relativa en porcentajes.
7. El censo, en miles de cabezas, del ganado en el territorio español, en 1994 fue:
Ganado Número de cabezas
Bovino
Ovino
Caprino
Porcino
Caballar
Mular
Asnar
5 300
18 0 47
2 601
12 3 08
264
153
164
Dibujar un diagrama de sectores y otro de rectángulos.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
42
8 . Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por altura, según la tabla siguiente:
Altura 1,70-175 1,75-1,80 1,80-185 185-190 1,90-1,95 1,95-2,00
Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2
Dibujar el polígono de frecuencias absolutas acumulativo.
9. Hallar la media y la varianza de la variable cuyos valores y frecuencias absolutas vienen dadas en la tabla adjunta
Valores de la variable 3 5 4 2 0 8 7
frecuencias 1 3 4 1 3 1 2
b) Representar gráficamente los datos en un diagrama de barras.
i x i n i i n x 2
i x i i n x 2
0
2
3
4
5
7
8
3
1
1
4
3
2
1
0
2
3
16
15
14
8
0
4
9
16
25
49
64
0
4
9
64
75
98
64
15 58 314
b)
10 .a) Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde f, F y f representan, respectivamente, la r
frecuencia absoluta, acumulada y relativa:
x f F f r
1 4 0,08
2 4
3 16 0,16
4 7 0,14
5 5 28
6 38
7 7 45
8
b) Calcula la media, mediana y moda de esta distri-
bución
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
43
11 . Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en
la siguiente tabla:
intervalos m i f. abs. puntual f. abs. acumulada f. rel. puntual f. rel. acumulado
[0, 10)
[10, 20)
[20. 30)
[30, 40)
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
5
15
25
35
45
55
65
75
40
60
75
90
105
85
80
65
40
100
175
265
370
455
535
600
1/15
1/10
1/8
3/20
7/40
17/120
2/15
13/120
1/15
1/6
7/24
53/120
37/60
91/120
10 7/120
1
600 1
a) Dibuja un histograma y un polígono de frecuencias acumuladas.
b) Calcula la media, el intervalo mediano, la desviación típica.(utiliza la tabla II)
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
44
CEPA MIGUEL DE CERVANTES.EJERCICIOSESTADÍSTICA.
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
1. Estos son los platos elegidos por los comensales de un restaurante. Realiza la tabla de frecuencias.
2. Construye las tablas de frecuencias que corresponden a los siguientes gráficos estadísticos.
3. En una población de 25 familias se ha observado la variable X = “número de
coches que tiene la familia” .Construye la tabla de frecuencias y calcula los parámetros centrales
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
45
4. De una muestra de 75 pilas eléctricas, se han obtenido estos datos sobre su
duración: Realiza la tabla de frecuencias correspondiente y calcula la media aritmética
5. Aunque las medias de A y de B están muy próximas, estas dos distribuciones son, sin
embargo, distintas. Calcula la media aritmética y la mediana de cada distribución.
6. Realiza la tabla de frecuencias de este diagrama-
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
46
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA
1. Realiza una tabla de frecuencias del siguiente diagrama de barras
en el que se indica las preferencias deportivas de un grupo de alumnos.
2. Calcula los parámetros centrales y la desviación típica de los
siguientes datos obtenidos en un grupo de niños que asisten a las
consultas de un dentista.
3. Juan ha representado en el diagrama de barras el número de personas que hanparticipado en las actividades de la "Semana Cultural”.
Realiza una tabla de frecuencias .
¿Cuántos participantes hubo en los tres primeros días? ¿Y en toda la semana?
¿Qué día es la moda?
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
47
4. El frutero ha representado sus ventas en un diagrama de barras los kilos de fruta que ha vendidohavendido.
.Realiza una tabla de frecuencias e indica el % de la fruta menos vendida.
¿Cual es la moda¿
5. Calcula la media aritmética y la mediana de la siguiente distribución estadística
6. Realiza una tabla de frecuencias y los parámetros centrales del siguiente diagrama de barras
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48
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
QUÍMICA
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
49
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS 1
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS
Un modelo científico es una representación aproximada de la realidad que es capaz de explicar to-das las observaciones realizadas hasta el momento sobre un fenómeno determinado y que permite hacerpredicciones que podrán ser comprobadas con nuevas observaciones. Cuando se realizan descubrimientos que
no pueden ser explicados el modelo debe ser revisado, modificado o incluso sustituido por un nuevo modelo capaz
de explicar todas las observaciones.
1. Introducción
] El primero en utilizar el término átomo, que en griego significa “indivisible”, fue el filósofo griego Demó-crito, en el siglo V antes de nuestra era.
] Los avances en el conocimiento de las propiedades de la materia han dado lugar a sucesivos modelos atómicos cada uno de los cuales ha conseguido explicar, en su momento, los datos expe-
rimentales conocidos.
2. Modelo atómico de Dalton
] En 1808 el científico inglés John Dalton enunció su teoría atómica para explicar las leyes químicas
desarrolladas durante el siglo XVIII. Según el modelo de Dalton:
La materia está formada por pequeñas partículas indivisibles,
denominadas átomos, inalterables en cualquier proceso químicoo físico.
Un elemento tiene todos sus átomos iguales.
Los átomos de distintos elementos, tienen distintas propiedades y
distinta masa.
La unión de átomos de diferentes elementos en una relación cons-
tante da lugar a átomos compuestos (que más adelante fuerondenominados moléculas por el químico italiano Amadeo Avoga-dro, 1776 – 1856).
John Dalton (1766 - 1844)
] El modelo atómico de Dalton no logra explicar los fenómenos eléctricos.
3. Modelo atómico de Thomson
J.J. Thomson (1856-1940)
] Thomson descubrió la existencia de partículas con carga negativa en la materia.
] Su modelo supone que los átomos están formados por partículas negativas (posteriormente se deno-
minaron electrones) inmersos en un fluido con carga positiva, resultando un átomo neutro.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
50
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS 2
4. Modelo atómico de Rutherford
] Rutherford bombardeó con partículas α (núcleos de Helio) una lámina delgada de oro y estudió las
desviaciones de estas partículas, llegando a las siguientes conclusiones:
El átomo está constituido por un núcleo y una corteza. En el núcleo se encuentra toda la masa y
la carga positiva del átomo. Y en la corteza se encuentra toda la carga negativa.
El núcleo está rodeado a gran distancia por la corteza en la que se encuentran los electrones orbi-tando.
El radio del núcleo es mucho menor que el radio del átomo, por lo que la mayor parte del áto-mo es prácticamente espacio vacío.
Ernest Rutherford (1871-1937)
Aunque Rutherford intuyó la existencia de neutrones en el núcleo, fue Chadwick (1891–1974) elque demostró su existencia años más tarde.
5. Modelo atómico de Bohr
Niels Henrik David Bohr (1885-1962)
] Supone que los electrones de la corteza se sitúan en capas con diferente energía, mayor cuanto
más alejada del núcleo esté. En cada una de estas capas puede haber un número dado de electrones,con una energía determinada en cada caso y las posiciones intermedias no son posibles.
6. Modelo atómico actual
] El descubrimiento de una nueva partícula fundamental, el neutrón, cuya masa es semejante a la del
protón y no tiene carga eléctrica, completó la descripción del modelo atómico.
] Los trabajos de otros científicos, entre los que podemos destacar a Plank, De Broglie, Heisemberg ySchrödinger, estableció el modelo atómico actual.
] En el modelo actual no existen órbitas bien definidas por las que se mueven los electrones, sino que
existen regiones del espacio, denominadas orbitales, en las que es muy probable encontrarlos.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
51
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS 3
El átomo está formado por un núcleo, constituido por protones y neutrones, en el que se concentra la masa y lacarga positiva del átomo, y de una corteza en la que se disponen los electrones (cargas negativas) en niveles dedistinta energía. El volumen que ocupa el átomo es aproximadamente 10
5 veces mayor que el volumen del núcleo,
por lo que podemos considerar que el átomo está esencialmente vacío.
PARTÍCULA SITUACIÓN MASA CARGA
Protón Núcleo 1,67·10-27 kg 1,6·10-19 C
Electrón Corteza 9,1·10-31 kg -1,6·10-19 C
Neutrón Núcleo 1,67·10-27 kg Sin carga
7. Número atómico y número másico
] El número atómico (Z) es el número de protones que hay en el núcleo. Es característico de cada
elemento. En los átomos neutros coincide con el número de electrones.En el sistema periódico actual los elementos están dispuestos en orden creciente de su número atómi-
co.
] El número másico (A) o masa atómica es el número de protones más el número de neutrones de un átomo.
A = Z + número de neutrones
] El número de neutrones de un átomo puede variar, por lo que el número másico es variable.
Número másico ? ASímbolo ?
Número atómico ? ZX] Los átomos que tienen el mismo número atómico (son del mismo elemento) pero que difieren en
su número másico se denominan isótopos. Los isótopos, por lo tanto, tienen el mismo número de
protones, pero difieren en el número de neutrones.La masa atómica de un elemento es la media ponderada de la de los isótopos estables del mismo quese encuentran en la naturaleza.
La unidad de masa atómica (u) se define como la doceava parte de la masa de un átomo de car-
bono 12 y equivale aproximadamente a la masa de un protón o un neutrón.
] Los iones son átomos que tienen carga porque han perdido o ganado electrones:
Los cationes son iones positivos que provienen de un átomo neutro que ha perdido elec-trones.
Los aniones son iones negativos que provienen de un átomo neutro que ha captado elec-trones.
8. Configuración electrónica
] En el modelo atómico de Bohr, y en los posteriores, se considera que los electrones de la corteza se si-túan en niveles de distinta energía. Estos niveles de energía se numeran del 1 al 7 por orden cre-
ciente de la energía que tienen los electrones en el orbital.
Cada uno de estos niveles puede contener a su vez subniveles energéticos que se designan con
las letras s, p, d y f.
] La distribución de los electrones de un átomo en estos niveles y subniveles es lo que se conoce
como configuración electrónica.
] Para escribir la configuración electrónica de un elemento conocido el número de electrones que poseesólo es necesario tener en cuenta unas reglas básicas:
Los subniveles que contiene cada nivel energético: el primer nivel consta únicamente de un
subnivel s, el segundo uno s y otro p, el tercero s, p y d y a partir del cuarto se puede conside-rar que contiene cuatro (s, p d y f).
El número máximo de electrones de cada subnivel, que es el siguiente: en el subnivel spuede haber un máximo de 2 electrones, 6 en el p, 10 en el d y 14 en el f. Esto se debe a que
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
52
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS 4
en cada orbital cabe un máximo de dos electrones y los subniveles s, p, d y f contienen 1, 3, 5 y7 orbitales respectivamente.
El orden de llenado de los subniveles (de menor a mayor energía), que puede determinarse
mediante el siguiente diagrama:
Para escribir la configuración electrónica de un elemento, por lo tanto, sólo hay que ir rellenando
cada subnivel con el número correspondiente de electrones y siguiendo el orden indicado en eldiagrama hasta alcanzar el número total que corresponda.
] Las propiedades químicas de un elemento dependen en gran medida de su configuración electró-
nica. En particular dependen del número de electrones de valencia, que es el número de elec-
trones que hay en el último nivel ocupado (capa de valencia).
9. Reacciones nucleares y radiactividad
Henri Antoine Becquerel (1852-1908) Maria Sklodowska(Marie Curie; 1876-1934)
] En 1896 el científico francés Henri Becquerel, al estudiar un mineral de uranio denominado pechblen-da, descubrió que emite espontáneamente radiación de alta energía. A sugerencia de Becquerel, MarieCurie y su esposo Pierre iniciaron los famosos experimentos que condujeron al descubrimiento del ra-
dio.La radiactividad es la propiedad que tienen los núcleos de ciertos átomos de emitir radiaciones al
desintegrarse (transformarse en otros núcleos). Cuando este proceso ocurre espontáneamente en unmaterial hablamos de radiactividad natural. Cuando es provocado al bombardear un núcleo con distin-
tas partículas se denomina radiactividad artificial.Las reacciones químicas normales implican únicamente a los electrones de los átomos que intervienen.En cambio, los procesos que estudiamos ahora tienen su origen en el núcleo de los átomos por lo quese conocen como reacciones nucleares.
] Estudios posteriores, realizados fundamentalmente por Rutherford, revelaron la existencia de tres ti-pos de radiación:
Radiaciones α (alfa): consisten en núcleos de helio (dos protones y dos neutrones). Tiene carga
positiva (2+) por lo que son atraídas por una placa con carga negativa. Su capacidad de pene-tración es escasa y pueden ser detenidas por una hoja de papel o por la piel.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
53
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS 5
Radiaciones β (beta): son electrones de alta velocidad. Tiene carga negativa (1-) por lo que son
atraídas por una placa con carga positiva. Su capacidad de penetración es mayor que la de las
partículas α y es necesaria una lámina de aluminio o una plancha de madera para detenerlas.
Radiaciones γ (gamma): se trata de fotones (radiaciones electromagnéticas) de gran energía.
No tienen carga, por lo que no se ven afectadas por los campos eléctricos. Su capacidad depenetración es muy alta y es necesaria una gruesa capa de plomo o un muro de hormigón paradetenerlas.
] La inmensa mayoría de los elementos que encontramos en la naturaleza aparecen en forma de isóto-pos estables y permanecen inalterados indefinidamente. Sin embargo, algunos isótopos son inesta-
bles y emiten radiaciones espontáneamente para transformarse en otros núcleos más estables. Losisótopos que se comportan así reciben el nombre de radioisótopos y el proceso de descomposición
espontánea que sufren se conoce como desintegración radiactiva.
En la desintegración α , un núcleo emite una partícula alfa y se transforma en otro con dos protones
menos (Z - 2) y un número másico cuatro unidades inferior (A - 4).
En la desintegración β, el número atómico se incrementa en una unidad (Z + 1) debido a la trans-
formación de un neutrón en un protón por la emisión de una partícula β.
La radiación γ no modifica el número atómico ni el número másico del núcleo. Suele acompañar a
otras emisiones radiactivas y representa la energía que se pierde al transformarse un núcleo en otro más estable.
] La fisión nuclear consiste en la ruptura de un núcleo grande en dos más pequeños, mientras que
la fusión es la unión de dos núcleos ligeros para dar uno de mayor masa. Ambos procesos libe-
ran gran cantidad de energía.La fisión nuclear ocurre en la corteza terrestre y es responsable de una parte importante del calor inter-no de la Tierra; es también el proceso que se aprovecha para producir energía en las centrales nuclea-
res.La fusión de núcleos de hidrógeno para formar helio es responsable de la gran cantidad de energíaemitida por el Sol.
] En las reacciones nucleares en cadena los neutrones emitidos en la fisión de un núcleo provocan
la fisión de otros núcleos obteniéndose una reacción nuclear automantenida. En los reactores de lascentrales nucleares estas reacciones se producen de forma controlada, mientras cheque en las bom-bas atómicas suceden de forma descontrolada, liberando repentinamente gran cantidad de energía.
] Entre las múltiples aplicaciones de la radiactividad podemos destacar las siguientes:
Se usa ampliamente en medicina como herramienta de diagnóstico y como medio de tratamien-
to, en especial para el cáncer (radioterapia).Tiene múltiples aplicaciones en la investigación. Por ejemplo, sirve para ayudar a determinar el
mecanismo de reacciones químicas y para rastrear el movimiento de los átomos en los siste-
mas biológicos.Los métodos radiométricos de datación permiten determinar la edad de rocas, fósiles o restos
arqueológicos.Se utiliza para generar electricidad en las centrales nucleares.
Por desgracia, los usos bélicos también son abundantes. Podemos destacar la fabricación de
bombas atómicas o la munición fabricada con uranio empobrecido.
10. Agrupaciones de átomos
] A excepción de los gases nobles, por su gran estabilidad, en la naturaleza los átomos no suelen pre-
sentarse aislados sino que se agrupan formando moléculas o redes cristalinas para buscar una mayor estabilidad. Tanto las moléculas como las redes cristalinas pueden estar formadas por un só-
lo tipo de átomos (elementos químicos) o por más de uno (compuestos químicos).
] Las moléculas están formadas por un número determinado de átomos. Las moléculas tienen entidad
química propia, es decir, constituyen la mínima cantidad de una sustancia que mantiene todas sus pro-piedades.
] Las redes cristalinas están formadas por un número indeterminado de átomos que se disponen
constituyendo una estructura geométrica ordenada. En los compuestos químicos que forman redescristalinas la proporción en la que se encuentran los distintos átomos se mantiene constante.
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54
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS 6
Regla del octeto Los átomos tienden a ganar, perder o compartir electrones de forma que adquieran una configuración igual a la de
los gases nobles. Excepto el helio, que tiene dos, los gases nobles tienen ocho electrones en su capa de valencia.
] Teniendo en cuenta la regla del octeto, podemos generalizar diciendo que los átomos que tienen pocos
electrones en su última capa tienden a perderlos, quedando la capa anterior completa. Por el contrario,los átomos que tienen la capa de valencia casi llena tienden a captar electrones para completarla.
11. El enlace químico
] Un enlace químico es una unión entre dos átomos de forma que se origina una estructura más estable que cuando los átomos están separados.
Recuerda que los átomos son más estables cuando consiguen tener su última capa de electrones completa
] Existen tres tipos básicos de enlace: el enlace iónico, el covalente y el metálico
] El enlace iónico se origina entre un metal y un no metal.
El metal pierde electrones y forma un ion positivo (catión).El no metal capta electrones y forma un ion negativo (anión).
La atracción entre estos iones de distinta carga es lo que se conoce como enlace iónico.
Los compuestos iónicos son sólidos formados por una red cristalina de iones.
En un cristal iónico los iones positivos se rodean de iones negativos y viceversa, pero mantenien-
do siempre el número de cargas positivas y negativas compensado.
] El enlace covalente se origina entre dos átomos no metálicos.
Para alcanzar la estabilidad los dos átomos comparten parejas de electrones (uno de cada
átomo) consiguiendo completar sus capas de valencia.Los enlaces covalentes pueden ser sencillos o múltiples (dobles, triples, ...) según se compar-
tan una o más parejas de electrones entre dos átomos.
Los compuestos covalentes pueden ser de dos tipos: sustancias moleculares, que son gases
o líquidos a temperatura ambiente, y los cristales covalentes, que son sólidos.
Para representar los enlaces covalentes se suele emplear la notación de Lewis, en la que cada átomo se re-
presenta por su símbolo rodeado por los electrones de valencia agrupados en cuatro parejas. Cada electrón sinpareja se comparte con otro átomo hasta que se consigue que todos los átomos tengan configuración de gas no-ble.
] El enlace metálico se origina entre átomos metálicos.
Los cristales metálicos están constituidos por una red tridimensional de iones positivos.
Los electrones desprendidos por todos estos iones forman una nube electrónica que rodea a
los iones y los mantiene unidos.
] Las Propiedades de una sustancia están condicionadas en gran medida por el tipo de enlace.
SUSTANCIAS IÓNICAS Propiedades Interpretación
Son sólidos a temperatura ambiente, con altospuntos de fusión y ebullición.
Existe fuerte atracción entre los iones de distinto signo y se necesita mucha energía para romper lared cristalina.
Se fracturan al golpearlos, formando cristales demenor tamaño.
Al golpear el cristal se desplazan los iones y quedanenfrentados los de igual carga, repeliéndose.
En general, se disuelven en agua. Las moléculas de agua pueden atraer y separar losiones deshaciendo la red iónica.
No conducen la corriente eléctrica en estado sólido,
pero son conductores en estado líquido y en disolu-ción.
Los iones están localizados en la red, pero al
pasar al estado líquido adquieren movilidad, lo queposibilita el paso de la corriente eléctrica.
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55
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS 7
SUSTANCIAS COVALENTES Sustancias moleculares
Propiedades Interpretación Tienen bajos puntos de fusión y ebullición, por loque son gases o líquidos a temperatura ambiente.
La fuerza del enlace entre átomos es grande, perola fuerza que mantiene unidas las moléculas es
débil.
No se disuelven (o se disuelven muy poco) en agua. En su estructura no hay iones capaces de ser atraí-dos por las moléculas de agua.
No conducen la corriente eléctrica (algunas lo hacendébilmente).
No existen cargas eléctricas en su estructura (algu-nas veces se forman cargas al reaccionar con elagua).
Cristales covalentes A temperatura ambiente son sólidos muy duros con altos puntos de fusión.
El enlace entre los átomos es muy fuerte, por lo quese necesita mucha energía para romper la red cris-talina.
No se disuelven en agua. En su estructura no hay iones capaces de ser atraí-dos por las moléculas de agua.
No conducen la corriente eléctrica (salvo el grafito). No existen cargas eléctricas en su estructura.
SUSTANCIAS METÁLICAS Propiedades Interpretación
Son sólidos a temperatura ambiente. Se necesita bastante energía para romper la redcristalina metálica.
Conducen la corriente eléctrica como sólidos y comolíquidos.
Los electrones de la capa exterior se desplazan enel interior del metal.
Son deformables. Al deformarlos no hay repulsión entre cargas y no se fracturan.
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56
CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA
1. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA POR SU ASPECTO
���� La materia hom ogénea es la que presenta un aspectounifo rme , en la cual no se pueden distinguir a simplevista sus componentes.
���� La materia heterogénea es aquella en la que los com-ponen tes se distinguen unos de otros.
���� Una sustancia que parece homogénea a simple vista pue-de parecer heterogénea si se utilizan instrumentos de ob-servación.
2. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA POR SU COMPOSICIÓN
���� Una sustancia es cualquier variedad de materia de com-posición y características definidas y reconocibles.
���� Una sustancia pura no se puede separar en otras sus-tancias por procedimientos físicos.
Las sustancias puras son homogéneas cuando se encuentran en un estado dado.
Las sustancias puras pueden ser simples o com-puest as; en el primer caso constituyen un ele-mento químico , y en el segundo, un compues-to .
Los elementos químicos son sustancias de com-posic ión simple (están formadas por un solo tipo de átomos) y que no pueden descomponerse en otras más sencillas por los medios químicos or-dinarios.
Los compuestos químicos están formados por más de un tipo de átomo y pueden descom-pone rse en distintas sustancias por procedimien-tos químicos.
���� Una mezcla está compuesta por dos o más sustan-cias , cada una de las cuales conserva su identidad y pro-piedades específicas.
En una mezcla se pueden separar los compo-nente s por procedimientos físicos sencillos.
Las mezclas pueden ser homogéneas o heterogé-neas .
3. MÉTODOS DE SEPARACIÓN DE MEZCLAS HETEROGÉNEAS
���� Los diversos métodos se basan en las diferentes pro-pieda des físicas de cada uno de los componentes de lamezcla. Entre ellos podemos destacar:
Tamizado o cribado Para separar mezclas de sólidos de distintos tama-
ños. Se utiliza un tamiz o criba que solo deje pasar los de
menor tamaño.
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57
Decantación Para separar líquidos no miscibles de distinta
densidad. Mediante un embudo de decantación (que pre-
senta una llave para controlar la salida de líqui-do) se deja pasar el líquido más denso.
Filtr ación Para separar un sólido no disuelto en un líquido. Se utiliza un filtro que el sólido no pueda atrave-
sar.
Centr ifugación Para separar un sólido no disuelto en un líquido
cuando un filtro no es útil. Se utiliza una centrifugadora que al girar a gran
velocidad provoca el desplazamiento del sólido hacia el fondo de un tubo.
Disol ución selectiva Para separar dos sólidos cuando uno es soluble y
el otro no. Se emplea un vaso de precipitados y un embudo
con u n filtro en el que se deposita la mezcla.
Separación magnética Para separar dos sólidos cuando uno tiene pro-
piedades magnéticas. Se emplea un imán que atrae al sólido magnético.
���� Ninguno de estos procesos altera las propiedades delos componentes separados, por ello se consideranprocesos físicos (no químicos).
4. MÉTODOS DE SEPARACIÓN DE MEZCLAS HOMOGÉNEAS
���� En las mezclas homogéneas los componentes no sedistinguen a simple vista. Los procesos empleados para separarlos también son físicos y se basan en las pro-pieda des físicas diferentes de las sustancias que se quiere separar. Los métodos son:
Cristalización Para separar un sólido disuelto en un líquido. Se basa en las diferentes temperaturas de evapo-
ración del sólido y del líquido. El tamaño de los cristales formados depende de la
velocidad de cristalización: cuanto más lenta sea, más grandes serán los cristales.
Desti lación Para separar líquidos disueltos . Se basa en la diferencia en la temperatura de ebu-
llición de los componentes. Un destilador consiste básicamente en un matraz
en el que se calienta la mezcla y un refrigerante en el que se condensa el vapor formado.
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58
5. MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓN DE SUSTANCIAS PURAS
���� Las mezclas homogéneas frecuentemente son difícilesde distinguir de las sustancias puras. Para hacerlo sepuede recurrir a ciertas propiedades característicasde las sustancias puras . Podemos citar como ejem-plos:
En las sustancias puras la densidad es siempre la misma, mientras que en las mezclas la densidad depende de la composición (que es variable).
En las sustancias puras la temperatura de ebu-llici ón no varía; en una mezcla varía al ir cam-biando su composición, ya que unos componen-tes se evaporan antes que otros.
6. MEZCLAS HOMOGÉNEAS : DISOLUCIONES
���� Una disolución es una mezcla homogénea y esta-ble de dos o más sustancias.
Las disoluciones verdaderas son homogéneas tanto en una observación macroscópica como micros-cópica.
���� En una disolución podemos distinguir dos com ponen-tes :
Suele llamarse disolvente (fase dispersante) al componente cuyo estado físico inicial es el mis-mo que el estado físico de la disolución, y se en-cuentra en mayor proporción .
El soluto (fase dispersa) es el componente o com-ponentes que se encuentran en menor pro-porci ón en la disolución.
���� Las disoluciones se pueden clasificar en función de lacantidad relativa (o proporción) de soluto que con-tengan, es decir, en función de su concentración .
Disolución concentrada es la que tienen gran cantidad relativa de soluto.
Disolución diluida es la que contiene poca canti-dad relativa de soluto.
7. EXPRESIÓN CUANTITATIVA DE LA CONCENTRACIÓN DE UNA DI-SOLUCIÓN
���� La concentración es una expresión de la pro porciónde so luto en la disolución. Se puede expresar de di-versas maneras, entre ellas:
���� Tanto por ciento en masa
masa de soluto % en masa =
masa de disolución x 100
Las masas de soluto y de disolución deben ir ex-presadas en la misma unidad .
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59
���� Tanto por ciento en volumen
volumen de soluto % en volumen =
volumen de disolución x 100
Los volúmenes de soluto y de disolución deben ir expresados en la misma unidad.
���� Gramos por litro
masa de soluto (g) Concentración (g/l) =
volumen de disolución (l)
8. OTRA FORMA DE EXPRESAR LA CONCENTRACIÓN: LA MOLARI-DAD
� Como hemos visto la forma de expresar cuantitativa-mente la concentración de una disolución es determi-nando la cantidad de soluto que hay en una determina-da cantidad de disolución.
� Una forma muy habitual de expresar cantidades enquímica es el mol* y, por lo tanto, una forma frecuente de expresar la concentración es indicando el número de mo les que hay en cada litro de disolución , que es lo que se conoce como molaridad.
*Un mol es la cantidad de materia que contiene6,02·1023 partículas (átomos, iones, moléculas, …).
Este número, 6,02·1023, es una importante constantequímica conocida como número de Avogadro .
La masa de un mol de cualquier sustancia expresada en gramos coincide numéricamente con la masa molec ular de dicha sustancia.
La masa molecular es la suma de las masas atómi cas de los átomos que forman la molécula. No hay que olvidar que los subíndices que aparecen en las fórmulas junto a los símbolos de los elementos nos indi-can el número de átomos de ese elemento que hay en la molécula. La ausencia de subíndice indica que sólo hay un átomo de dicho elemento. Un subíndice detrás de un paréntesis señala que todo lo contenido dentro del paréntesis está repetido tantas veces como indica el número.
La masa molecular, al igual que las masas atómicas, se expresa en u (unidades de masa atómica)
Para calcular el número de moles (n) que hay en una determinada masa de una sustancia dividimos esa ma-sa entre la masa de un mol.
masa (g) n =
Masa de un mol (g/mol)
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60
� Molaridad
nº de moles de soluto Molaridad (M) = volumen de disolución (l)
Las unidades de la molaridad son moles/litro, sin embargo se expresa con la letra mayúscula M. Una concentra-ción 2 M indica que hay 2 moles de soluto en cada litro de disolución.
9. SOLUBILIDAD: DEPENDENCIA DE LA TEMPERATURA Y LA PRE-SIÓN
���� Una disolución está saturada cuando no admite mássoluto. Esto puede ocurrir tanto en disoluciones diluidascomo concentradas.
���� La solubilidad es la cantidad máxima de soluto que sepuede disolver en una cantidad de disolvente a unatemperatura determinada. Se suele expresar en gramosde soluto por cada 10 cm3 de disolvente.
���� Las curvas de solubilidad representan la solubilidadde una sustancia (eje de ordenadas) en función de latemperatura (eje de abcisas). Estas curvas son caracte-rísticas de cada sustancia.
(gráfica pág. 50)
���� En la mayoría de los casos, la solubilidad de un sólidoaumenta al aumentar la temperatura.
���� Al contrario que en los sólidos, la solubilidad de un gasen un líquido disminuye al aumentar la temperatura. Lapresión también influye, pero en sentido inverso, cuantomayor es la presión, mayor es la solubilidad del gas.
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61
La-Lu57-71
Ac-Lr
89-103
Tc
Lr
Pm
Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No
BhRf Db Sg Hs Mt
1
2
3
4
5
6
7
1.00791 4.00262
20.1801014.0077
39.9481835.45317
18.998915.9998
83.79836
131.2954
(222)86
12.0116
C
10.811
B
5
26.982
Al
13 28.086
Si
14 30.974
P
15 32.065
S
16
6.941
Li
3 9.0122
Be
4
22.990
Na
11 24.305
Mg
12
39.098
K
19 40.078
Ca
20 44.956
Sc
21 47.867
Ti
22 50.942
V
23 51.996
Cr
24 54.938
Mn
25 55.845
Fe
26 58.933
Co
27 58.693
Ni
28 63.546
Cu
29 65.38
Zn
30 69.723
Ga
31 72.64
Ge
32 74.922
As
33 78.96
Se
34 79.90435
85.468
Rb
37 87.62
Sr
38 88.906
Y
39 91.224
Zr
40 92.906
Nb
41 95.96
Mo
42
132.91
Cs
55 137.33
Ba
56
138.91
La
57
178.49
Hf
72 180.95
Ta
73 183.84
W
74
(223)
Fr
87 (226)
Ra
88
(227)
Ac
89
(98)43 126.90
I
53101.07
Ru
44 102.91
Rh
45 106.42
Pd
46 107.87
Ag
47 112.41
Cd
48
186.21
Re
75 190.23
Os
76 192.22
Ir
77 195.08
Pt
78 196.97
Au
79 200.59
Hg
80 204.38
Tl
81 207.2
Pb
82 208.98
Bi
83 (209)
Po
84 (210)
At
85
114.82
In
49 118.71
Sn
50 121.76
Sb
51 127.60
Te
52
H He
NeN
ArCl
FO
Kr
Xe
Rn
Br
IA
IIA
IIIB IVB VB VIB VIIB IB IIB
IVA VA VIA VIIA
VIIIB
VIIIA1
54
2
3
13 14 15 16 17
18
6 7 8 9 10 11 12
IIIA
174.97
Lu
71140.12
Ce
58
232.04
Th
90 231.04
Pa
91 238.03
U
92
140.91
Pr
59 144.24
Nd
60
(262)103
(145)61
(237)93 (244)94 (243)95 (247)96 (247)97 (251)98 (252)99 (257)100 (258)101 (259)102
150.36
Sm
62 151.96
Eu
63 157.25
Gd
64 158.93
Tb
65 162.50
Dy
66 164.93
Ho
67 167.26
Er
68 168.93
Tm
69 173.05
Yb
70
(2 )72107(26 )7104 (26 )8105 (2 )71106 (277)108 (2 )76109 (2 1)8
Ds
110 (2 )80
Rg
111
Copyright Eni G© 2010 eneralić
10.811
B
5
13 IIIA
HIDRÓGENO HELIO
NEÓNNITRÓGENO
ARGÓNCLORO
FLÚOROXÍGENO
KRIPTÓN
XENÓN
RADÓN
CARBONOBORO
ALUMINIO SILICIO FÓSFORO AZUFRE
LITIO BERILIO
SODIO MAGNESIO
POTASIO CALCIO ESCANDIO TITANIO VANADIO CROMO MANGANESO COBALTO NIQUEL COBRE CINC GALIO GERMANIO ARSÉNICO SELENIO BROMO
RUBIDIO ESTRONCIO YTRIO CIRCONIO NIOBIO MOLIBDENO
CESIO BARIO
LANTANO
HAFNIO TÁNTALO WOLFRAMIO
FRANCIO RADIO
ACTINIO
TECNECIO YODORUTENIO RODIO PALADIO PLATA CADMIO
RENIO OSMIO IRIDIO PLATINO ORO TALIO PLOMO BISMUTO POLONIO ASTATO
INDIO ESTA OÑ ANTIMONIO TELURO
HIERRO
MERCURIO
LANTÁNIDOS
ACTÍNIDOS
LUTECIOCERIO
TORIO PROTACTINIO URANIO
PRASEODIMIO NEODIMIO
LAWRENCIO
PROMETIO
NEPTUNIO PLUTONIO AMERICIO CURIO BERKELIO CALIFORNIO EINSTEINIO FERMIO MENDELEVIO NOBELIO
SAMARIO EUROPIO GADOLINIO TERBIO DISPROSIO HOLMIO ERBIO TULIO YTERBIO
BOHRIORUTHERFORDIO DUBNIO SEABORGIO HASSIO MEITNERIO
http://www.periodni /e /.com s
Lantánidos
Actínidos
TABLA PERIÓDICA DE LOS ELEMENTOS
ROENTGENIODARMSTADTIO
Las masas atómicas relativas se expresada concinco cifras significativas. El elemento notiene núcleos estables. El valor encerrado enparéntesis, por ejemplo [209], indica elnúmero de masa de más larga vida delelemento. Sin embargo tres de tales elementos(Th, Pa y U) tienen un composición isotópicaterrestre característica, y para estos es tabuladoun peso atómico.
PE
RIO
DO
GRUPO
NÚMERO DE GRUPOCHEMICAL ABSTRACT SERVICE
(1986)
NÚMERO DE GRUPORECOMENDAÇÃO DA IUPAC
(1985)
NÚMERO ATÓMICO
S MBOLOÍ
BORO NOMBRE DEL ELEMENTO
MASA ATÓMICA RELATIVA (1)
(1) Pure Appl. Chem., , No. , (200 )81 11 2131-2156 9
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62
ESTRUCTURA ATÓMICA
1. Completa la tabla siguiente: ()
F- Ca2+ S N
Grupo- Periodo
Metal-no metal
Catión-anión-neutro
Z 9 20
A 19 32
Nº de neutrones 20 7
Nº de electrones 16
Nº de protones 7
1. Completa los siguiente datos para lo átomos o iones siguientes: ()
Símbolo Z A N Nº de
electrones Carga neta
Átomo neutro / Catión / Anión
14 15 0
233
16 S
38 87 0
2. Completa la tabla siguiente:
Z N A Nº de
electrones Carga neta
¿Átomo neutro, catión,
anión?
¿Metal o no-metal?
Grupo y periodo
199F -1
2412Mg 10
Escribe un isótopo de cada uno de ellos:
3. Completa la siguiente tabla: ()
Sodio Bromo Carbono Argón Flúor Rubidio Bario Hierro
Símbolo del átomo o ión
F- Ba+2 Fe+3
Grupo/periodo
Nº atómico 35
Nº másico 23 12 19 137 79
Nº de neutrones
45 48 45
Nº de electrones
6
Carga neta 0 0 0 0 0
Neutro/ catión/ anión
Metal/ No metal
4. ¿Cuáles son las partículas elementales? Recuerda qué partícula atómica se dice que tiene: Carga positiva unidad
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63
Carga negativa unidad Carece de carga ¿Cuál de ellas apenas tiene masa?
5. Un átomo de cesio tiene 55 protones y un número másico de 133. ¿Cuántos neutrones tiene y cuál es sunúmero atómico?
6. Dibuja un átomo de nitrógeno con 7 protones, 7 neutrones y 7 electrones.
7. Al átomo A tiene un nº másico de 239 y de nº atómico 93. El átomo B tiene de nº másico 239 y de nºatómico 94.
¿Cuántos protones tiene cada uno?
¿Cuántos neutrones tiene cada uno?
¿son A y B isótopos del mismo elemento? Justifica tu respuesta.
8. El cloro tiene dos isótopos de masa isotópica relativa 35 y 37. además los científicos, gracias alespectrómetro de masas, saben que tres de cada cuatro átomos de cloro son de masa 35 y sólo uno tienemasa 37. Calcula la masa atómica del elemento cloro.
9. Si al frotar un cuerpo éste se queda cargado con carga negativa, ¿qué carga adquirirá el cuerpo con elque se frotó?. Justifica tu respuesta.
10. La masa del protón es ...
Mayor o menor que la de un electrón
Mayor 7 menor / igual que la de un neutrón.
11. Si la materia es neutra, qué relación ha de haber entre el nº de electrones y el nº de protones de losátomos que la constituyen?.
12. Copia y completa la frase:“ Los isótopos de un elemento tienen siempre el mismo nº de ________ y de ______, pero distinto nº de ____________”
13. Un átomo cuyo nº atómico es 17, ¿puede tener como isótopo a otro átomo que tenga 18 protones?.Justifica.
14. Completa la tabla siguiente
Isótopo Elemento Z A Nº de
protones Nº de
neutrones Nº de
electrones
O-16
O-18
C-12
C-13
Mg-25
Mg-26
15. ¿Qué podemos afirmar sobre el comportamiento químico de los átomos que tiene el mismo númeroatómico? ¿Cómo serán sus propiedades físicas?
16. ¿Es infinitamente divisible la materia?. Para responder a esta pregunta, lee detenidamente el fragmentodel Nuevo sistema de filosofía química, publicado en 1808 por J. Daltona. ¿Es infinitamente divisible la materia?b. ¿Cómo es el átomo de Dalton, divisible o indivisible?
18. Contesta verdadero o falso:a. Un cuerpo se carga positivamente porque ha ganado protonesb. Un cuerpo se carga negativamente porque ha ganado electrones
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64
c. Los cuerpos neutro no tiene carga y por lo tanto no tienen ni electrones ni protones, aunque si tienenneutrones.
SISTEMA PERIÓDICO
1. Indica para cada elemento indicado, su símbolo, grupo al que pertenece, carácter metálico o no-metálico,y sus valencias:
Fósforo ( ) Potasio ( ) Hierro ( ) Bromo ( ) Arsénico ( )
Grupo
Metal / No-metal
Valencias
2. A la vista de la tabla periódica: ()
1
2 C
3 Li Mg Al P Cl Ar
4 Ca Fe Co Ni Zn Br
5
6 Hg
7
a. Indica tres elementos químicos (nombre y símbolo):SÓLIDOS:___________ LÍQUIDOS:___________ GASEOSOS:__________
b. De los elementos que aparecen distingue aquellos que seanMetales_________ No metales___________
c. Indica entre los elementos que se indican aquellos que tengan facilidad para formar aniones.d. Completa los elementos (símbolo y nombre) del grupo 6-A, e indica el nombre del grupo.e. Ordena de mayor a menor tamaño atómico: Al, Si y Pf. Ordena de mayor a menor reactividad química: Be, Mg, y Cag. Sitúa 5 metales y 5 no metales que no aparezcan en la tabla.
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65
1. Calcula las masas moleculares de los siguientes compuestos e indica la masa de un mol de cadauno de ellos.
MASA MOLECULAR MASA DE UN MOL
Na Cl
N H3
S O3
Pt (OH)4
H2CO3
H3PO4
Ca SO4
Pb (NO3)4
2. Calcula el número de moles que hay en:
117 g de cloruro de sodio (NaCl) _________________
51 g de amoniaco (NH3) _________________
180 g de trióxido de azufre (SO3) _________________
47,75 g de hidróxido de platino (IV) (Pt(OH)4) _________________
1.240 g de ácido carbónico (H2CO3) _________________
147 g de ácido tetraoxofosfórico (V) (H3PO4) _________________
13,6 g de sulfato cálcico (Ca SO4) _________________
1 kg de nitrato plúmbico (Pb (NO3)4) _________________
3. En un mol de H2O:
¿Cuántas moléculas hay? _________________
¿Cuántos átomos de H? _________________
¿Cuántos átomos de O? _________________
¿Cuántos protones? _________________
¿Cuántos electrones? _________________
¿Cuántos neutrones? _________________
4. Calcula cuántos átomos de O hay en 100 g de sulfato férrico.
5. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre el modelo atómico de Dalton y los modelos de Thomson yRutherford.
6. ¿Qué diferencia existe entre el modelo atómico de Thomson y el de Rutherford?
7. Rellena la siguiente tabla con las propiedades de las partículas subatómicas:
PARTÍCULA MASA CARGA SITUACIÓN
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
66
8. Completa la siguiente tabla y calcula la masa atómica media del Fe.
ISÓTOPO % Z A Nº PROTONES Nº NEUTRONES Nº ELECTRONES 56Fe 6 26
54Fe 92
57Fe 2
9. Completa la siguiente tabla y calcula la masa atómica media del Mg.
ISÓTOPO % Z A Nº PROTONES Nº NEUTRONES Nº ELECTRONES 24Mg 79 12
25 Mg 10
26 Mg 11
10. En un átomo de potasio Z=19 y A=39. Determina su estructura atómica y su configuraciónelectrónica.
11. En un átomo de bromo Z=35 y A=80. Determina su estructura atómica y su configuraciónelectrónica.
12. En un átomo de selenio Z=34 y A=79. Determina su estructura atómica y su configuraciónelectrónica.
13. En un átomo de azufre Z=16 y A=32. Determina su estructura atómica y su configuraciónelectrónica.
14. Completa la siguiente tabla considerando que se trata de átomos neutros:
ELEMENTO Z A PROTONES NEUTRONES ELECTRONES CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA
H11
N 14 1s22s2p3
Mg26 12
S16 18
Cu63 29
15. Utiliza los datos de la tabla anterior y describe la estructura de un átomo de 63Cu según el modeloatómico de Bohr.
16. Calcula la masa atómica media del cloro (Z=17) sabiendo que se conocen dos isótopos de númerosmásicos 35 y 37 que aparecen en una proporción 75% y 25% respectivamente.
17. Calcula la masa atómica media del litio (Z=3) sabiendo que se conocen dos isótopos de númerosmásicos 6 y 7 que aparecen en una proporción 7,6 % y 92,4 % respectivamente.
18. ¿Qué son el deuterio y el tritio? (investígalo)
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
67
4º ESO IV) Ecología
EL ECOSISTEMA
(LOS PROCESOS BIOLÓGICOS)
J. L. Sánchez Guillén51
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
68
4º ESO IV) Ecología
1. CONCEPTOS BÁSICOS
1) ¿Qué es la ecología?La ecología es la ciencia que estudia los ecosistemas.
Esto es, estudia las relaciones entre los seres vivos y el
medio ambiente en el que estos habitan.
2) ¿Qué es un ecosistema?Es un sistema formado por un conjunto de seres vivos
que se relacionan entre sí y con el medio en que viven.
Existen grandes y pequeños ecosistemas y a su vez un
ecosistema puede tener en su seno otros ecosistemas
menores. Por ejemplo: el bosque mediterráneo es un
ecosistema; también una charca o un río del bosque lo
son.
3) ¿De qué se compone un ecosistema?Todo ecosistema se compone de dos partes: la
biocenosis y el biotopo.
La biocenosis, también llamada comunidad, son los
seres vivos. El biotopo es el medio físico/químico con
sus características (relieve, suelo, clima, etc.)
4) ¿Qué es una población?La biocenosis de un ecosistema está formada por
diferentes poblaciones de seres vivos.
Una población es el conjunto de seres vivos de una
misma especie que viven en un determinado
ecosistema. Así, por ejemplo, las ardillas de un bosque,
las ranas de una charca, las truchas de un río, etc.
5) ¿Qué relaciones establecen entre sí losintegrantes de un ecosistema?Las relaciones que pueden establecer entre sí las
diferentes poblaciones de un ecosistema pueden ser
muy variadas pero las principales son las relaciones
tróficas o de alimentación. Esto es así porque todos los
seres vivos necesitan alimentarse, esto es, obtener
materiales y energía para realizar sus funciones vitales.
6) ¿Qué es una cadena trófica?Las cebras se alimentan de hierba, los leones se comen
a las cebras y estos al morir son comidos por los buitres
o descompuestos por hongos y bacterias. Los seres
vivos de un ecosistema se alimentan unos de otros y
forman cadenas de alimentación o cadenas tróficas.
En realidad en los ecosistemas no existen cadenas sino
redes tróficas pues los seres vivos se suelen alimentar
de varias especies.
7) ¿Cómo están organizados los seres vivos de un ecosistema en función de sus relaciones tróficas?En todo ecosistema distinguiremos los siguientes niveles tróficos:1. Los productores: Son los vegetales, organismos autótrofos capaces de alimentarse a partir de sustanciasinorgánicas y de luz solar. Se les llama productores porque producen materia orgánica.2. Los consumidores. Se alimentan de vegetales o de otros animales. En el primer caso se les llamaconsumidores primarios o herbívoros y en el segundo se les denomina consumidores secundarios (carnívoros odepredadores) si se alimentan de consumidores primarios y consumidores terciarios (superdepredadores) si sealimentan de consumidores secundarios, y así sucesivamente.3. Los descomponedores: los hongos y las bacterias que transforman la materia orgánica de los excrementos,restos y cadáveres y la devuelven al medio como materia inorgánica.
J. L. Sánchez Guillén
ECOSISTEMA
BIOTOPO
+
BIOCENOSIS
Productores Consumidores primarios
Consum. secundarios Consum. terciario
Descomponedor
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
69
4º ESO IV) Ecología
Fig. 1 Cadena trófica. Fig. 2 Red trófica.
ACTIVIDAD: Tacha los que no sean productores:
ACTIVIDAD: Tacha los que no sean consumidores primarios:
ACTIVIDAD: Tacha los que no sean consumidores secundarios:
J. L. Sánchez Guillén
Roble
Ardilla
Zorro
Buitre
Libélula(Consumidor 1º)
Vegetales(productores)
Rana(consumidor
2º)
Ave rapaz(consumidor 3º)
superdepredador
Ser humano(consumidor 4º)
superdepredador
Ave rapaz(consumidor 3º)
superdepredador
Fitoplancton(productor)
zooplancton(consumidor 1º)
Peces pequeños(consumidor 2º)
Pez grande(consumidor 3º)
depredador
4) Construye una cadena trófica con los siguientes organismos: ratón, maíz,serpiente.
SerpienteRatónMaíz SerpienteRatónMaíz
5) Construye una cadena trófica con los siguientes organismos e indica en la partesuperior el nivel trófico al que pertenecen: león, cebra, hierba, bacterias, buitre.
Bacteriasbuitreleóncebra Hierba
DescomponedorC. Terciariosuperdepredador
C. secundarioDepredadorcarnívoro
C. Primarioherbívoro
Productor
5) Construye una cadena trófica con los siguientes organismos e indica en la partesuperior el nivel trófico al que pertenecen: león, cebra, hierba, bacterias, buitre.
Bacteriasbuitreleóncebra Hierba
DescomponedorC. Terciariosuperdepredador
C. secundarioDepredadorcarnívoro
C. Primarioherbívoro
Productor
6) Construye una cadena trófica con los siguientes organismos e indica en la partesuperior el nivel trófico al que pertenecen: buitre, jabalí, lobo, castaño, hongos.
hongosBuitreLoboJabalícastaño
DescomponedorC. Terciario
superdepredadorC. secundarioDepredadorcarnívoro
C. Primarioherbívoro
Productor
6) Construye una cadena trófica con los siguientes organismos e indica en la partesuperior el nivel trófico al que pertenecen: buitre, jabalí, lobo, castaño, hongos.
hongosBuitreLoboJabalícastaño
DescomponedorC. Terciario
superdepredadorC. secundarioDepredadorcarnívoro
C. Primarioherbívoro
Productor
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
70
4º ESO IV) Ecología
ACTIVIDAD:
LOS MORADORES DE LA LAGUNA
A Luis, Sara, Alí y María, su profesora, les haencargado, como trabajo de investigación,hacer un estudio de las relaciones tróficas deuna pequeña laguna que hay próxima alcentro escolar. Después de varios fines desemana de observaciones han hecho para laclase un mural como el de la figura.
El esquema muestra la red trófica de lalaguna. En ella muestran las relaciones dealimentación entre diferentes seres vivos quehabitan en este ecosistema. Hanrepresentado sólo algunos de los seres vivospresentes en la laguna, hacerlo con todossería demasiado complejo.
Fig. 3 Red trófica de la laguna.
ACTIVIDAD: Resuelve las siguientes cuestiones.
1) ¿Qué es lo que han estado estudiando Luis, María, Alí y Sara?..............................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
2) ¿Qué papel cumple el cangrejo de río en el ecosistema de la figura 3?...................................................................
3) Basándote en el ecosistema de la figura 3, indica una cadena trófica de cinco elementos.
4) ¿Qué come la gambusia?........................................................................................................................................
5) Según la red trófica representada, ¿qué consumidores son los menos dependientes de una presa concreta?
.....................................................................................................................................................................................
6)En esta red trófica, ¿cuáles son los productores?.....................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
7) Completa esta cadena trófica indicando el organismo que iría en el recuadro:
J. L. Sánchez Guillén 54
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
71
4º ESO IV) Ecología
2. LA ENERGÍA EN LAS CADENAS TRÓFICAS
ACTIVIDAD: Comenta lo que se observa en la
figura 4 ............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
La fotosíntesis
Las plantas son organismos autótrofosfotosintéticos. Durante el día absorben agua ysales minerales por las raíces (savia bruta) ydióxido de carbono por las hojas.
En los cloroplastos, por medio de la fotosíntesis,transforman estas sustancias, usando comofuente de energía la luz solar, y fabricancompuestos orgánicos que se distribuyen por elresto de la planta como savia elaborada. Comosubproducto se genera oxígeno.
De esta manera se fabrican compuestosorgánicos y la energía solar queda almacenada enforma de energía química.
Fig. 5 Actividad: Completa el esquema de la figura.
La respiración celular: En las mitocondrias de las células de los seres vivos se realiza un proceso denominado respiración celular. En él,los compuestos orgánicos son transformados, empleando oxígeno (O2) en CO2 y en H2O. De esta manera seextrae la energía química que contienen.
Fig. 6 Actividad: Completa el esquema de la figura.
J. L. Sánchez Guillén
Fig. 4 .
Compuestosorgánicos:GlúcidosLípidos.
y H2 O
Funciones
vitales
Energía
MovimientoMetabolismoRegeneraciónCrecimientoDesarrolloReproducción
Calor
DesechosCadáveres
Respiración celularRespiración celular
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
72
4º ESO IV) Ecología
3. LA ENERGÍA EN LOS NIVELES TRÓFICOS
Uso de la energía por los productores. EL MAÍZ
De toda la energía solar que recibe el maíz un ...........
es reflejada y vuelve al medio como luz o calor.
Un 49% es .......................... inicialmente en sustancias
orgánicas, pero se extrae después por medio de
la .............................. y se emplea para realizar
funciones vitales, sobre todo por la noche cuando no
hay luz solar. Esta energía termina en la atmósfera
como ........................
Sólo un 1% es .............................. y almacenada como
energía química en las sustancias orgánicas que
constituyen el cuerpo de la planta. Es este 1% el que
queda para el .............................. siguiente. Fig. 7
Uso de la energía por los consumidores primarios.Ejemplo: EL RATÓN
De toda la energía que contienen los vegetales de los
que se alimenta un ratón, un ............. se pierde en sus
excrementos y no puede ser utilizada.
Un 33% se extrae por medio de la ....................... y se
emplea sobre todo en energía de movimiento. Esta
energía termina en la atmósfera como calor.
Un ............. es asimilada y almacenada como energía
química en las ...................................... que constituyen
su organismo. Este 7% queda para el nivel trófico
siguiente. Fig. 8
Uso de la energía por los consumidoressecundarios (EL ZORRO).
El zorro, cuando se come un ratón, pierde un........... de
la energía que contiene en sus excrementos y no
puede utilizarla.
Un ...........la extrae de la materia orgánica del ratón y
por medio de la respiración la emplea sobre todo en
moverse. Esta energía termina en el medio como calor.
El ........... restante es asimilada y almacenada como
energía química en las sustancias orgánicas que
forman su organismo. Este .......... queda para el nivel
trófico siguiente. Fig. 9
Respiración49%
Reflejada
50%
Luz
100%
Asimilada 1%
Maíz
Respiración33%
ExcrementoS60%
Asimilada 7%
Ratón
Productores100%
Respiración50%
ExcrementoS30%
Asimilada 20%Zorro
Consumidores 1º100%
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
73
4º ESO IV) Ecología
Fig. 10 Actividad: Completa el esquema de la figura.
CONCLUSIÓN: La principal razón de que las cadenas tróficas no tengan más de 4 ó 5 niveles tróficos esque la energía que queda para que pueda ser empleada por el siguiente nivel va disminuyendo cada vezmás, aunque cada nivel trófico sea más eficaz que el anterior.
El flujo de energía en los ecosistemas:
La energía entra en los ecosistemas como
energía ............................. y es transformada en
energía química por los vegetales. Los consumidores
primarios, al comer vegetales emplean parte de esta
energía química en sus procesos vitales y otra parte la
asimilan y queda incorporada en su ...............................
De aquí pasa a los consumidores secundarios. Los
descomponedores devuelven de nuevo al medio la
energía contenida en los excrementos, restos y
cadáveres en forma de ...............................
Fig. 11 Actividad: Completa el esquema de la figura.
ACTIVIDAD: Comenta lo que se observa en la figura y completa el esquema.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
LuzLuz
LUZ
100%Maíz
1%
Ratón
7%
Zorro
20%
Productores
Consumidoresprimarios
Consumidoressecundarios
Descomponedores
ECOSISTEMA
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
74
4º ESO IV) Ecología
7. LA PRODUCTIVIDAD EN LOS ECOSISTEMAS
1) ¿Qué es la biomasa en un ecosistema?
Es la masa de todos los organismos que constituyen la
biocenosis de un ecosistema o de alguno de sus
niveles tróficos.
La biomasa se mide en unidades de masa por unidad
de superficie en los ecosistemas terrestres o en
unidades de masa por unidad de volumen en los
ecosistemas acuáticos.
2) ¿Cómo se mide o se estima la biomasa de unecosistema?Se puede hacer de manera directa, recolectando ypesando los ejemplares de una determinada superficieo de manera indirecta, por medio de procesos derespiración o fotosíntesis.
3) ¿Qué es la producción?
Es el aumento de biomasa por unidad de tiempo.
Δ Biomasa
Producción =————————
Tiempo
Se puede medir, por ejemplo, en g/m2/día o en
Kg/km2/año
4) ¿Qué es la productividad?Es la relación entre la producción y la biomasa.
Producción Productividad = ————————
Biomasa
Mide lo que produce una unidad de biomasa.
5) ¿Qué es una pirámide ecológica?
Se trata de una representación gráfica de la biomasa de
los diferentes niveles tróficos de un ecosistema.
Pueden ser de biomasa o de energía.
Se construyen mediante rectángulos por cada nivel
trófico proporcionales a su biomasa o a la energía
almacenada en cada nivel.
ACTIVIDAD: Basándose en los datos siguientes, construye una pirámide de biomasa:
Productores:…………………………...5000 kg/ha
Consumidores primarios:…………….2000 kg/ha
Consumidores secundarios:…………1000 kg/ha
Consumidores terciarios:………………200 kg/ha
J. L. Sánchez Guillén Página IV-11
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
75
4º ESO IV) Ecología
8. FACTORES QUE INFLUYEN EN LA DISTRIBUCIÓN DE ESPECIES EN UN ECOSISTEMA
¿POR QUÉ NO HAY LOS MISMOS SERES VIVOS EN TODAS PARTES?En un desierto no hay los mismos seres vivos que en un bosque tropical. Esto es debido a que en la distribuciónde los seres vivos influyen diferentes factores (temperatura, humedad, luz, presencia o ausencia de depredadores,de parásitos, etc.) que van a condicionar que haya unas u otras especies.
Fig. 19 .Desierto Fig. 20 Bosque atlántico Fig. 21 Taiga Fig. 22 Tundra
¿Qué factores condicionan la distribución deespecies en un ecosistema?
- Topográficos: el relieve. -Climáticos. -Químicos. -Edáficos: suelos.
¿Cuáles son los principales factores?
- Temperatura.- Humedad.- Luminosidad o insolación.- Salinidad de la aguas.- Componentes minerales del suelo.
Variabilidad de los factores.En todo ecosistema distinguiremos: factores constantes, factores variables.- Constantes: los que no cambian. Por ejemplo:..............................................................................................................- Variables: los que cambian con el tiempo. Estos pueden ser:
- Regulares o periódicos:...................:...............................................................................................- Irregulares:.......................................................................................................................................
9. ESTUDIO DE LOS FACTORES EN CONDICIONES EXPERIMENTALES
1) Influencia de la humedad, experimento de
laboratorio.
Se ha construido una caja de madera alargada en la
que la humedad variaba de un extremo al otro entre el
0 y el 100% y se han estudiado los desplazamientos de
dos invertebrados por la caja en función de la
humedad. Analiza los resultados obtenidos y saca una
conclusión.
Fig. 23
Conclusión: .....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
Humedad relativa del aire
Can
tidad
de
anim
ales A
B
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
76
4º ESO IV) Ecología
2) Influencia de la temperatura, experimento de
laboratorio.
Se ha construido una caja alargada. En ella se puso un
dispositivo para que la temperatura variase
continuamente de un extremo al otro entre los 28 y los
40ºC. Se introdujeron dos especies de invertebrados y
se estudió la cantidad de animales de cada especie que
se situaban en cada zona de la caja. Los resultados se
han representado en la gráfica. Analízalos y saca una
conclusión.
Fig. 24
Conclusión: .....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
3) Distribución de los pingüinos en el
hemisferio sur: Interpretación de
datos.
En el esquema se representa la
distribución de diferentes especies de
pingüinos del hemisferio sur. Para cada
pingüino se indican además su talla en
centímetros y su peso en kilogramos.
Analízalo y saca las conclusiones
oportunas
Fig. 25
Análisis y conclusión: .....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
40ºC 36ºC 28ºC
Can
tidad
de
anim
ales
Temperatura de la caja
A B
Can
tidad
de
anim
ales
Temperatura de la caja
A B
114cm 30kg
95cm15kg
5kg
71cm
4,5kg
2kg
65cm
53cm80
60
40
20
2
3
4
5
1
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
77
4º ESO IV) Ecología
4) Interpretación de gráficas
En el esquema se representa, en varias
gráficas, la temperatura, en grados
centígrados, a la que se pueden
encontrar diferentes organismos: el maíz
(Zea mays), un procariota que habita en
fuentes termales, un hongo parásito del
maíz, un alga que vive en zonas árticas y
de alta montaña y un microorganismo
patógeno causante de enfermedades en
la especie humana. Indica qué gráfica
corresponde a cada uno de ellos, razona
la respuesta. Fig. 26
Interpretación y razonamiento: .....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
5) Interpretación de gráficas:
En la gráfica del documento se ha representado en
ordenadas la masa corporal, a 19ºC, de diferentes
caracoles marinos: 1, 2 y 3 en función del tiempo (en
horas) que estén fuera del agua. Así, 1/6 significa que
estos caracoles tienen en ese momento 1/6 de su masa
corporal original, habiendo perdido los 5/6 restantes por
desecación. Estos caracoles marinos ocupan distintas
zonas del litoral que quedan más o menos tiempo al
descubierto cuando baja la marea (ver fig. 28).
Analiza la gráfica y extrae las conclusiones oportunas.
Fig. 27
Análisis y conclusión: .....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
1
2
3
4
5
-20 0 +20 +40 +60 +80
Chlamydomonas nivales
Ustilago zeae
Zea mays (maíz)
Salmonella paratyphi
Cyanobacteria
Tiempo en horas
Mas
a co
rpor
al (1
en
orig
en) 1/8
1/6
1/4
1/2
0 100 200 300
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
78
4º ESO IV) Ecología
6) Interpretación de datos:
En la figura 28 se han representado unas roca del litoral
donde viven los caracoles 1, 2 y 3 de la gráfica anterior.
Las rocas de la parte A sólo están sumergidas en raras
ocasiones o durante los temporales. Las rocas C están
siempre bajo el agua y las rocas B están al descubierto
durante la bajamar y cubiertas durante la pleamar. ¿En
cuál de estas zonas vivirá cada una de las especies de
caracol 1, 2 y 3 del experimento anterior? Razona la
respuesta. Fig. 28
Análisis y razonamiento: .....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
10. LAS POBLACIONES CAMBIAN
1) ¿Qué es una población?
La biocenosis de un ecosistema está formada pordiferentes poblaciones de seres vivos.Una población es el conjunto de seres vivos de unamisma especie que viven en un determinadoecosistema. Por ejemplo, las ardillas de un bosque, lasranas de una charca, las truchas de un río, etc.
2) ¿Qué datos se necesitan para saber cómo varíanlas poblaciones?
Para saber cómo varia una población se necesitaconocer los siguientes datos:
- El número de individuos de la población. - La tasa de natalidad. - La tasa de mortalidad
3) ¿Qué es la tasa de natalidad y la de mortalidad?
* La tasa de natalidad es el número de individuos que nacen por unidad de tiempo.* La tasa de mortalidad es el número de individuos que mueren por unidad de tiempo.
4) ¿Qué es una curva de crecimiento?
Es una representación del crecimiento de una población. Para ello se representa en ordenadas el número deindividuos y en abcisas el tiempo.
Límite de la marea alta
Límite de la marea baja
A B C
Límite de la marea alta
Límite de la marea baja
A B C
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
79
4º ESO IV) Ecología
5) Construyendo una curva de crecimiento:
Para estudiar el desarrollo de una población nos basaremos en el siguiente ejemplo. En un experimento se soltó
una pareja de conejos, macho y hembra, en una isla. Cada pareja puede tener por término medio en condiciones
ideales 6 crías al año de las que sobreviven 4 y mueren 2. Todos los animales están maduros sexualmente y
pueden criar al año. Calcula los datos que faltan en la tabla y representa la curva de crecimiento.
Fig. 29 Completa la tabla de datos. Fig. 30 Construye la curva de crecimiento.
6) Tipos de curvas de crecimiento
Una curva de crecimiento en forma de J, también
llamada curva exponencial o logarítmica, como la
vista en el caso anterior, indica que la población no se
encuentra aún sometida a factores limitantes y no se
da en la realidad, excepto en las etapas previas de
colonización de un hábitat por una nueva especie.
Lo más normal es que las poblaciones se encuentren
sometidas a factores limitantes y alcancen una
población máxima, población límite. Estas curvas
tienen forma de S y reciben el nombre de curvas
logisticas.
7) Ejemplos de curvas de crecimiento: En la
gráfica se representa la curva de crecimiento de la
población humana mundial desde el siglo XVII.
Coméntala:
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
4865º año
4º año
3er año
2º año
26121er año
TotalMuerenNacenNº de parejas
Nº de individuos
Años
4865º año
4º año
3er año
2º año
26121er año
TotalMuerenNacenNº de parejas
Nº de individuos
Años
Fig. 32
1700 1800 1900 2000
6
5
4
3
2
1
0
Pobl
ació
n m
undi
al e
n m
iles
de m
illon
es
Tiempo en años
Fig. 31 Tiempo
Núm
ero
de in
divi
duos
Población límite
Curva logística
Curva exponencial o logarítmica
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
80
4º ESO IV) Ecología
8) Ejemplos de curvas de crecimiento: El número
de aberturas de un hormiguero está en relación
directa con el número de hormigas que tiene. En un
experimento se contaron las aberturas que hicieron
las hormigas de un hormiguero desde que se fundó,
en el verano de 1938, hasta 1941. Los datos se han
representado en la gráfica. Coméntala.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
9) Ejemplos de curvas de crecimiento: Los primeros
colonos de Australia llevaron consigo algunas ovejas que se
soltaron en la gran isla continente. En la gráfica se ha
representado la población de ovejas en Australia durante un
periodo de tiempo de 100 años (1840 y 1940). Los
descensos de población entre 1900 y 1930 se deben a
prolongados periodos de sequía. Comenta la gráfica y saca
las conclusiones oportunas.
Comentario y conclusiones:
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
10) Ejemplos de curvas de crecimiento: En los
ejemplos anteriores hemos visto que, teóricamente, las
poblaciones crecen siguiendo dos modelos: la curva en S o
la curva en J, según estén o no sometidas a factores que
puedan limitar su crecimiento. Ahora bien, en la naturaleza la
cosa no siempre es tan sencilla.
Veamos el siguiente ejemplo. En 1911 se introdujeron renos
en dos de las islas Pribilof en el mar de Bering cerca de
Alaska. En la isla de San Pablo (106 km2) fueron liberados 4
machos y 21 hembras y 3 machos y 12 hembras en la isla
San Jorge (90 km2). Estas dos islas eran entornos sin alterar
y los renos no tenían depredadores. La evolución de ambos
rebaños se da en la gráfica. Coméntala y saca las
conclusiones que consideres oportunas.
Fig. 33
Núm
ero
de a
bertu
ras
del h
orm
igue
ro
1939 1940 1941
1000
800
600
400
200
0
Tiempo1939 1940 1941
1000
800
600
400
200
0
Tiempo
Población límite
Fig. 34
Mill
ones
de
ovej
as
1840 1870 1900 1930
6
5
4
3
2
1
0
Tiempo
* * * * ** *
*
**
***
*
*
***
*
* ** * *
*
* ** *
**
*
**
**
* **
* * *
* *
Población límite
Fluctuaciones
*
Fig. 35
Núm
ero
de re
nos
tiempo
Núm
ero
de re
nos
tiempo
San Pablo
San Jorge
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
81
4º ESO IV) Ecología
Comentario y conclusiones.......................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
10) ¿Qué es una pirámide de edades?
Es una representación gráfica en forma de pirámide escalonada dividida en dos partes: una para machos y otra
para hembras. En ordenadas se representan las edades y en abcisas el número de individuos de cada intervalo de
edad o el porcentaje.
11) ¿Qué tipos de pirámides de edades hay y qué significado tienen?
No todas las poblaciones tienen las mismas pirámides de edades. Por su forma distinguiremos tres tipos de
pirámides de edades:
De base ancha y cúspide delgada:Con gran número de individuosjóvenes. Indica una población encrecimiento.
De base estrecha: Que creceregularmente hacia la cúspide.Indica una población estable y decrecimiento no muy significativo.
De base estrecha y centro ancho:Pocos individuos jóvenes. Indica unapoblación en declive.
% de machos % de hembras
E
D
A
D
E
S
E
D
A
D
E
S
E
D
A
D
E
S
% de machos % de hembras
E
D
A
D
E
S
% de machos % de hembras
0 10 20 3030 20 10 0
Pirámide de edades
% de machos % de hembras
30-34
25-29
20-24
15-19
10-14
5-9
0-4
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
82
4º ESO IV) Ecología
12) Las curvas de supervivencia:
La supervivencia es un dato que mide el número de
individuos (medido en tantos por ciento o por mil) de
una población que sobrepasan una edad
determinada.
En la gráfica se observa la curva de supervivencia de
una población humana. Analízala.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
13) Tipos de curvas de supervivencia: En las
especies de seres vivos se pueden dar tres tipos de
curvas de supervivencia.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
14) ¿Qué tipos de curvas de supervivencia hay y qué significado tienen?
Curva de tipo I: La supervivencia esgrande en edades tempranas y disminuyebruscamente hacia el final. Ejemplo: el serhumano y los grandes mamíferos engeneral.
Curva de tipo II: La supervivenciadisminuye de manera constante con laedad. La mortalidad se produce tanto aedades tempranas como mayores.Ejemplo: La hidra de agua dulce.
Curva de tipo III: La supervivencia esbaja en edades tempranas, debido a unamortalidad elevada. Se da en especiescon alto índice de reproducción. Ejemplo:peces, insectos.
15) Autorregulación de una población:
La mayoría de las poblaciones naturalesregulan el número de individuos de maneraque estos no sobrepasen un valor dado queentrañe un peligro de superpoblación o que nodescienda por debajo de un cierto nivel, conriesgo de extinción Para ello se valen de dosestrategias, fundamentalmente.
Tipo ITipo I
Tipo IITipo II
Tipo IIITipo III
Fig. 36
Núm
ero
de s
uper
vivi
ente
s po
r cad
a 10
00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
años
Fig. 37
Núm
ero
de s
uper
vivi
ente
s po
r cad
a 10
00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
u.a.
Tipo I (ser humano)
Tipo II (hidra)
Tipo III (invertebrados)
Núm
ero
de s
uper
vivi
ente
s po
r cad
a 10
00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
u.a.
Tipo I (ser humano)
Tipo II (hidra)
Tipo III (invertebrados)
Fig. 38 Estrategias de regulación de las poblaciones.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
83
4º ESO IV) Ecología
11. LOS ECOSISTEMAS EN EL TIEMPO
1) ¿Los ecosistemas cambian con el tiempo?
Los ecosistemas no son inmutables sino que cambian
con el tiempo.
Estos cambios pueden deberse a múltiples factores,
físicos, químicos o biológicos.
En la actualidad se está dando una importante
modificación de los ecosistemas naturales debido a la
actividad humana: agricultura, ganadería, industria, etc.
2) Las sucesiones ecológicas.
Cuando se producen cambios en un ecosistema, unas
comunidades son sustituídas por otras produciéndose
una sucesión ecológica.
Estas sucesiones pueden ser: primarias o secundarias.
- Primarias cuando los seres vivos colonizan un hábitat
nuevo, sin otros seres vivos.
- Secundarias, cuando se produce un reemplazo de
comunidades existentes.
3) Ejemplo de sucesión ecológica: Un tipo de sucesión ecológica característico de la península ibérica es el que
lleva a la formación del bosque mediterráneo.
Comentario:................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
4) ¿Qué es el clímax?
Se dice que una comunidad ha llegado al clímax
cuando alcanza una composición estable y ya no sufre
modificaciones de importancia. Un ejemplo de
comunidades estables son la selva tropical, la taiga, el
bosque atlántico, etc.
En el clímax una comunidad sólo es desplazada si se
producen cambios radicales: deforestación,
contaminación del aire o del agua, cambios drásticos
en el clima, procesos geológicos de importancia, etc.
J. L. Sánchez Guillén Página IV-20
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
84
4º ESO IV) Ecología
Ejemplo de sucesión ecológica: Formación de un bosque tropical en una isla oceánica del Pacífico.
Fig. 39 La gran selva tropical amazónica es unecosistema natural estable que ha alcanzado el clímaxy que lleva así desde hace millones de años. La acciónhumana, al deforestarlo, lo está destruyendo
Fig. 40 La acción humana, cuando es respetuosa,permite ecosistemas humanizados, como esta praderíade montaña, compatible con un ecosistema natural.
Fig. 41 No obstante, lo que predominan, sonecosistemas humanizados (agrícolas) entremezcladoscon ecosistemas relativamente naturales.
Fig. 42 Llanuras cerealistas de la meseta castellana.Un ejemplo de ecosistema humanizado.
Una isla oceánica emerge.
En principio es colonizada por vegetación herbácea.
Poco a poco se instala una comunidad en la que predominan los arbustos.
Con el tiempo se instalan grandes árboles y la comunidad alcanza el clímax al formarse un bosque tropical.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
85
4º ESO IV) Ecología
12. LA RUPTURA DEL EQUILIBRIO ECOLÓGICO
1) ¿Los ecosistemas se mantienen en equilibrio?
Como hemos visto, los ecosistemas tienden a
mantenerse en equilibrio y sus poblaciones a
mantenerse constantes evitando la superpoblación o la
extinción mediante diferentes estrategias. Ahora bien,
existen una serie de factores que pueden alterar este
equilibrio.
2)¿Qué factores tienden a alterar el equilibrioecológico?
- Cambios climáticos. - Cambios edáficos (suelos). - La competencia. - La depredación. - Movimientos migratorios:
* inmigración.* emigración.
3) ¿Qué son las fluctuaciones?
Son las variaciones que se producen en el número de
individuos de una población como consecuencia de
diferentes factores que la alteran. Existen dos clases de
fluctuaciones:
- Regulares o cíclicas: Aquellas que se repiten
periódicamente. Son debidas a causas periódicas.
- Irregulares: Son aquellas que se producen
esporádicamente.
4) ¿Cuáles son las causas de las fluctuaciones?
-Climáticas: migraciones estacionales de las aves,periodos de sequía, etc.
-Densidad de población: aumentos de densidad depoblación desmesurados que provocan caídas bruscaspor exceso de explotación de los recursos.
-Depredadores: Aumento excesivo de losdepredadores que provoca una caída en el número depresas.
Ejemplo de fluctuación por competencia:
Los paramecios son organismos unicelulares que viven en las aguas dulces: ríos, lagos, charcos, etc. Paraestudiar la influencia entre diferentes especies de paramecios se introdujeron 20 ejemplares de cada especie entubos de ensayo con 5 ml de disolución en las condiciones que se indican y se midió cada día la cantidad deparamecios de cada especie por mililitro.
Experimento I. Paramecium aurelia y Paramecium caudatum, en tubos separados.Experimento II. Paramecium aurelia y Paramecium caudatum, juntos en el mismo tubo.Experimento III. Paramecium aurelia y Paramecium bursaria, juntos.
100
50
0
Indi
vidu
os p
or m
l
0 10 20
Parameciumaurelia (solo)
Parameciumcaudatum (solo)
Experimento I
0 10 20
Parameciumaurelia
(juntos)
Parameciumcaudatum
100
50
0
Experimento II
100
50
0
0 10 20
Parameciumbursaria
(juntos)
Experimento III
Parameciumaurelia.
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
86
4º ESO IV) Ecología
16. LOS GRANDES BIOMAS
1) Subsistemas ecológicosDentro de la Tierra se distinguen dos grandessubsistemas ecológicos:
-El de los ecosistemas terrestres.-El de los ecosistemas acuáticos.
Dentro de estos dos subsistemas existen grandesunidades ecológicas que se denominan biomas
2) ¿Qué caracteriza los biomas terrestres?Los biomas terrestres se caracterizan sobre todo por:
- El Clima.- La vegetación (flora).- Los animales (fauna).
3) ¿Cuáles son los principales biomas terrestres?Los principales biomas terrestres son:-El bosque tropical.-La sabana.-El desierto. -El bosque mediterráneo.-La estepa.-El bosque templado.-La taiga.-La tundra.
4) ¿Cuáles son los principales biomas acuáticos?
Los principales biomas acuáticos son:
- El medio marino: bentos, plancton y necton.-El medio continental de aguas tranquilas (lagos ypantanos).- El medio continental de aguas en movimiento (ríos).
Fig. 49 Grandes biomas terrestres.
Comentario: .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Fig. 50 Variación de los grandes biomas con la latitudy la altitud.
Zona
polar
Zona
alpina
Zona templada
(bosque de coníferas)
Zona templada
(bosque de caducifolios)
Zona tropical
(selvas y sabanas)
Variación con la latitud
Variación con la altura
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
87
4º ESO IV) Ecología
17. LOS GRANDES BIOMAS TERRESTRES
El bosque tropical:
-Clima: Lluvias abundantes y temperaturas altas y
constantes durante todo el año.
-Vegetación abundante. Grandes árboles de hoja
perenne.
-Animales adaptados al medio arbóreo: aves,
primates, etc.
Fig. 51
La sabana:
-Clima: Lluvias escasas y temperaturas altas.
-Vegetación herbácea con algunos árboles y
arbustos dispersos.
-Animales: Gran abundancia de grandes
herbívoros y de depredadores (ñus, jirafas, leones,
hienas, elefantes, cebras).
Fig. 52
El desierto:
-Clima: Lluvias muy escasas y temperaturas
extremas.
-Vegetación muy escasa y dispersa con ausencia
de árboles.
-Animales: reptiles e insectos. Escasez de
animales.
Fig. 53
El bosque mediterráneo:
-Clima: Lluvias escasas e irregulares. Cuatro
estaciones con veranos calurosos y secos e
inviernos suaves.
-Vegetación: árboles y arbustos de hoja perenne
(encina, pino, alcornoque…).
-Animales: Gran diversidad de animales (conejos,
perdices, lagartos, etc.). Fig. 54
76
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
88
4º ESO IV) Ecología
Las estepas y praderías:
-Clima: Lluvias escasas y temperaturas extremas.
-Vegetación formada por hierbas y pequeños
arbustos.
- Animales: Gran abundancia de herbívoros.
Fig. 55
El bosque templado o caducifolio:
-Clima: Lluvias todo el año y dos estaciones
(cálida y fría).
-Vegetación: árboles de hoja caduca (hayas,
robles, castaños).
-Animales: Gran diversidad de animales (osos,
urogallos, ardillas, zorros, ciervos).
Es el bioma característico de Asturias junto con
las pradería y pastizales de origen humanoFig. 56
La taiga:
-Clima: Temperaturas bajas, nieves abundantes
durante una gran parte del año.
-Vegetación formada por coníferas (abetos, pinos,
etc.).
-Animales: lobos, linces, alces.
Fig. 57
La tundra:
-Clima: Temperaturas muy bajas todo el año,
deshielo sólo durante el corto verano. Suelo
permanentemente helado.
-Vegetación: Musgos y líquenes.
-Animales: Caribú, reno, oso polar, zorro ártico.
Fig. 58
J. L. Sánchez Guillén 77
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
89
4º ESO IV) Ecología
ACTIVIDAD
1) Colorea con los siguientes colores las áreas ocupadas por los siguientes ecosistemas:– Verde: Bosque templado o atlántico.– Marrón: Bosque mediterráneo.
2) Sitúa en el mapa los siguientes animales: Caribú, lince, ciervos, primates, león.
J. L. Sánchez Guillén 78
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
90
4º ESO IV) Ecología
18. LOS GRANDES BIOMAS ACUÁTICOS
1) El medio marino: En él se distinguen las siguientes regiones:
-Zona litoral: Área de costa hasta la plataforma continental.-Zona nerítica: Es la zona de aguas poco profundas que ocupa la plataforma continental.-Zona abisal: Comprende los fondos oceánicos situados a gran profundidad.-Zona pelágica: Zona de alta mar lejos de la plataforma continental.
2) Clasificación de los organismos marinos:
-Bentónicos: Viven en los fondos marinos.-Planctónicos: Se desplazan por el agua arrastrados por las corrientes.-Nectónicos: Son los organismos acuáticos que nadan activamente.
3) Aguas continentales tranquilas:
Están constituidas por los lagos, pantanos, charcas yestanques.
4) Aguas en movimiento:
Son los ríos y torrentes.
Fig. 59 Las principales zonas marinas. Fig. 60 Organismos marinos.
Las principales zonas marinas en función de la luzque les llega.
Las cuencas oceánicas tienen profundidades medias
de unos 5000m. La luz sólo es capaz de atravesar los
primeros 100 m. Esta zona iluminada, en la que es
posible la fotosíntesis, se denomina zona fótica. El
resto de la masa de agua permanece
permanentemente a oscuras, es la zona afótica o sin
luz. En ella no hay algas ni otros organismos
fotosintéticos, y los organismos que habitan esta zona
son siempre heterótrofos que se nutren de la materia
orgánica que les llega de la zona iluminada (restos,
cadáveres, etc.). Fig. 61
J. L. Sánchez Guillén 79
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
91
4º ESO IV) Ecología
20. FLORA Y FAUNA DE ASTURIAS
ACTIVIDAD: Indica el nombre de las especies más representativas de la flora y de la fauna de Asturias.
Fig. 70 Fig. 71 Fig. 72
Fig. 73 Fig. 74 Fig. 75
Fig. 76 Fig. 77 Fig. 78
Fig. 79 Fig. 80 Fig. 81
J. L. Sánchez Guillén 81
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
92
4º ESO IV) Ecología
CUESTIONES
1)¿Qué es una población?..........................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
2)¿Qué es un ecosistema?.........................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
3)¿Cómo entra la energía en un ecosistema? ...........................................................................................................
4)¿Cómo se llama el proceso mediante el cual los productores almacenan la energía? ..........................................
.....................................................................................................................................................................................
5)¿Qué organismos son capaces de utilizar los compuestos inorgánicos de nitrógeno para fabricar compuestos
orgánicos? ..................................................................................................................................................................
6)¿Cuál es el proceso celular mediante el cual el carbono contenido en los compuestos orgánicos vuelve a la
atmósfera como dióxido de carbono?.........................................................................................................................
7)¿Cómo se puede estimar de una manera indirecta la biomasa de un ecosistema?...............................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
8)¿Qué es la producción de un ecosistema?..............................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
9)¿Qué datos se necesitan para saber cómo varían las poblaciones? .....................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
10)¿Cómo se llaman las gráficas en las que se representa el número de individuos (medido en tantos por ciento
o por mil) de una población que sobrepasan una edad determinada?
.....................................................................................................................................................................................
11)Indica tres características que presentan los organismo que se regulan mediante la estrategia de la r.
1......................................................................................................................................................
2......................................................................................................................................................
3......................................................................................................................................................
J. L. Sánchez Guillén 82
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
93
4º ESO IV) Ecología
EJERCICIOS
12)¿Completa el ciclo del nitrógeno representado en la Fig. 82 indicando qué es lo que falta en A, B, C y D.
A......................................................................................................................................................
B......................................................................................................................................................
C......................................................................................................................................................
D......................................................................................................................................................
13)Completa el ciclo del carbono representado en la Fig. 83 indicando qué es lo que falta en A, B y C.
A........................................................
B........................................................
C.......................................................
Fig. 82 Fig. 83
14)Se ha construido una caja de madera alargada en
la que la humedad variaba de un extremo al otro
entre el 0 y el 100% y se han estudiado los
desplazamientos de dos invertebrados por la caja en
función de la humedad. Los resultados se observan
en la gráfica de la figura 84 ¿Cuál de los dos
invertebrados puedes encontrar en un bosque
tropical? Razona la respuesta.......................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
15)En un experimento se soltó una pareja de conejos,
macho y hembra, en una isla. Cada pareja puede
tener por término medio en condiciones ideales 6
crías al año de las que sobreviven 4 y mueren 2.
Todos los animales están maduros sexualmente y
pueden criar al año. ¿Cuáles son los datos que faltan
(a, b, c y d) en la tabla de la figura 85?
a) ....................................................................
b) ....................................................................
c) ....................................................................
d) ....................................................................
D
Bacterias fijadoras de nitrógeno de los suelos
Bacterias fijadoras de nitrógeno de los suelos
Vegetales Algas
Animales
Sustancias nitrogenadas orgánicas:
Suelos
A B
C
Fig. 84
Humedad relativa del aire
Cantidad d
e a
nim
ale
s
A
B
Fig. 85
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
94
4º ESO IV) Ecología
16)En la gráfica de la Fig. 86 se ha representado el
crecimiento de una población de bacterias que se
están desarrollando en un tanque de agua. ¿Qué
indica una gráfica de este tipo?.....................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
17) En la gráfica de la Fig. 87 se ha representado el
crecimiento de una población de conejos en una isla
entre 1985 y 2005 ¿Qué indica una gráfica de este
tipo?...............................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
18)La gráfca de la figura 88 representa la pirámide de edades de los elefantes de una reserva africana ¿Qué
indica una pirámide de edades de base ancha como la de la figura 88?.................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
19)La gráfica de la figura 89 representa la pirámide de edades de las ballena capturadas. ¿A la vista de este
dato, recomendarías seguir cazando ballenas? Razona la respuesta.......................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
20) En la gráfica de la figura 90 se ha representado la supervivencia de la hidra de agua dulce. ¿Qué indica una
gráfica de este tipo?....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
Fig. 88 Fig. 89 Fig. 90
Fig. 86
% de machos % de hembras
E
D
A
D
E
S
E
D
A
D
E
S
% de machos % de hembras
Fig. 87
Tipo IITipo II
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
95
EJERCICIOS ECOLOGÍA
1. La ciencia que estudia las relaciones entre los seres vivos y el medio ambiente en el que estos
habitan. Se denomina:
A. Biotopo
B. Biocenosis
C. Ecología
D. Ecosistema
2. El sistema formado por un conjunto de seres vivos que se relacionan entre sí y con el medio en que
viven:
A. Biotopo
B. Biocenosis
C. Ecología
D. Ecosistema
3. ¿De qué se compone un ecosistema?
A. Comunidad y especies
B. Biotopo y Biocenosis
C. Biomasa y población
D. Bosques y selvas
4. El conjunto de seres vivos de una misma especie que viven en un determinado ecosistema se
denomina:
A. Comunidad
B. Población
C. Especie
D. Familia
5. En un ecosistema el medio físico/químico con sus características se denomina?
A. Biocenosis
B. Biotopo
C. Comunidad
D. Población
6. ¿ Los seres vivos que forman parte del ecosistema se denomina?
A. Biocenosis
B. Biotopo
C. Población
7. ¿Las relaciones que establecen entre sí los integrantes de un ecosistema se denomina?
A. Biocenosis
B. Biotopo
C. Población
D. Cadena trófica
8. Son productores:
A. Los vegetales
B. Los herbívoros
C. Los carnívoros
D. Los depredadores
9. Son consumidores primarios:
A. Los vegetales
B. Los herbívoros
C. Los carnívoros
D. Descomponedores
10. Los que transforman la materia orgánica de los excrementos, restos y cadáveres y la devuelven al
medio como materia inorgánica.
Los vegetales
A. Los herbívoros
CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 4º ESPAD
96
B. Los carnívoros
C. Descomponedores
D. Vegetales
11. Si se alimentan de consumidores primarios y consumidores terciarios
A. Los herbívoros
B. Los depredadores
C. Descomponedores
D. Superdepredadores
12. ¿Son organismos autótrofos?
A. Los herbívoros
B. Los carnívoros
C. Descomponedores
D. Vegetales
13. Qué ecosistema se caracteriza por tener entre sus grandes árboles las hayas, los robles y loscastaños?
a) La tundra;
b) el bosque mediterráneo;
c) la taiga;
d) el bosque templado o caducifolio.
14. ¿Qué ecosistemas predominan en España?
a) La tundra y la taiga;
b) el bosque mediterráneo y el bosque templado o caducifolio;
c) la taiga y la sabana;
d) los desiertos y la tundra.
15. ¿Qué ecosistema es el ecosistema típico que se ve en los documentales de naturaleza en elque predominan los grandes herbívoros: cebras, jirafas, etc... y los grandes depredadores:leones, guepardos, etc.?
a) La tundra;
b) el bosque tropical;
c) la sabana;
d) la taiga.
16. Los grandes bosque de coníferas de Siberia y del norte de Canadá constituyen el ecosistemallamado:
a) La tundra;
b) el bosque tropical;
c) la sabana;
d) la taiga.
17. ¿Qué ecosistema se caracteriza por tener temperaturas muy bajas todo el año y deshielosólo durante el corto verano?
a) La tundra;
b) el bosque tropical;
c) la sabana;
d) la taiga.
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18. ¿Qué ecosistema se caracteriza por tener entre sus grandes árboles la encina, el pino y elalcornoque?
a) La tundra;
b) el bosque mediterráneo;
c) la taiga;
d) el bosque templado o caducifolio.
19. Las sucesiones ecológicas que parten de un terreno virgen se llaman
a) Secundarias
b) Primarias
c) Regresiones
20. Las sucesiones ecológicas que parten de un terreno donde se ha producido un desastre
ecológico se llaman
a) Secundarias
b) Primarias
c) Regresiones
21. Realiza 2 cadenas tróficas de la red trófica siguiente:
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