CIRCUITOS RLC[ ] Unidad 8
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Respuestas de los elementos R, L y C Básicos a la corriente y a la Tensión
Senoidales
Mediante la ley de ohm y las ecuaciones básicas para el capacitor y el inductor,
podemos aplicar las corrientes o las tensiones Senoidales a los elementos R, L y
C básicos.
Resistores
Para las frecuencias de líneas de potencia y frecuencias de unos cuantos KHz, el
resistor para todos los fines prácticos, no se ve afectado por la frecuencia de la
corriente o la tensión senoidal que se aplique.
Figura 1. : e R RR v i están en fase
Para esta región de frecuencias, el resistor R de la figura 1 se puede tratar como
una constante y una aplicación de la Ley de Ohm, lo cual dará como resultado:
m m
m
V sen wtv Vi sen wt I sen wt
R R R
Donde
mm
VI
R
Además, para una i dada:
m m mv iR I sen wt R I Rsen wt V sen wt
Donde
m mV I R
mv V sen t
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Figura 2. R Rv e Ri están en fase
Una gráfica de v e i , en la figura 2, revela que para un elemento puramente
resistivo, la tensión y la corriente que pasan por el elemento están en fase.
Inductores
Figura 3. Inductor alimentada por una tensión senoidal
Para la configuración en serie de la figura 3, la tensión que aparece en el elemento
encuadrado se opone a la fuente de tensión y en esa forma se reduce la magnitud
de la corriente i . La magnitud de la tensión en este elemento tiene relación
directa con la oposición del elemento al flujo de la carga o la corriente i .
Figura 4. Configuración en serie
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Para los inductores se observa, que la tensión que existe en un inductor es
directamente proporcional al índice de cambio de la corriente que pasa por la
bobina.
En consecuencia, cuanta más alta sea la frecuencia, tanto mayor será el índice de
cambio de la corriente a través de la bobina y tanto mayor será la magnitud del
voltaje.
Por ende, la tensión se relaciona directamente con la frecuencia (o más
específicamente, la velocidad angular de la corriente senoidal en la bobina) y la
inductancia de la bobina.
En la figura 4, la tensión senoidal se representa por medio de Lv y la corriente a
través de la bobina por Li . Para una w y una L incrementadas habrá un valor
mayor de Lv y por lo tanto Li será menor.
Figura 5. Oposición de la bobina a la fuente de tensión senoidal
A continuación verificaremos algunas de las conclusiones anteriores utilizando un
método más matemático, para definir luego algunas cantidades importantes que
se emplearan mas adelante:
De la figura 3 del inductor se sabe que:
LL
diV L
dt
Aplicando diferenciación (el calculo)
cos
cos cos
Lm m
LL m m
di dI senwt wI wt
dt dt
diV L L wI wt wLI wt
dt
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O bien
90L mV V sen wt
donde
m mV wLI
Obsérvese que el valor pico de Lv es directamente proporcional a w y L .
Una gráfica de Lv e Li en la figura 6 revela que Lv se adelanta a Li en 90° o que
Li se retrasa sobre Lv en 90°
:L Lv se adelanta a Li por 90°
Por lo tanto para:
90
L m
L m
i I sen wt
v wLI sen wt
La oposición a la corriente desarrollada por un inductor en una red senoidal ca se
puede obtener aplicando la siguiente ecuación:
causaEfecto
oposición
Que, para nuestros fines, se puede escribir como
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causaOposición
efecto
Al sustituir los valores, se tiene:
m m
m m
V LIOposición L
I I
La cantidad L , llamada reactancia (de la palabra reacción) de un inductor, se
representa simbólicamente mediante LX y se mide en ohms o sea:
LX L
La reactancia inductiva es la oposición al flujo de la corriente, que da como
resultado el continuo intercambio de energía entre la fuente y el campo magnético
del inductor. En otras palabras, la reactancia, a diferencia de la resistencia (que
disipa energía en la forma de calor), no disipa energía eléctrica.
Capacitores
La ecuación fundamental que relaciona la tensión en un capacitor con la corriente
que pasa por él es:
dvi C
dt
E indica que para una capacitancia dada, cuanto mayor sea el índice de cambio
de la tensión en el capacitor, tanto mayor será la corriente capacitiva. Desde
luego, un aumento de la frecuencia corresponde a un incremento del índice de
cambio en el capacitor y un aumento de la corriente del capacitor.
Por ende, la corriente en un capacitor es directamente proporcional a la frecuencia
(o, de modo más específico, a la velocidad angular) y a la capacitancia del
elemento.
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Figura 6. Inductor alimentada por una tensión senoidal
Sin embargo para la configuración de la figura 8, nos interesa determinar la
oposición del capacitor, tal como se relaciona con la resistencia para un resistor y
L para el inductor. Puesto que un aumento de la corriente corresponde a un
disminución de la oposición e Ci es proporcional a y C , la oposición de un
capacitor tiene relación directa con la reciproca de C ó 1
C, como se muestra
en la figura 8.
Con palabras cuanto mayor sea la velocidad angular (o la frecuencia) y la
capacitancia, tanto menor será la oposición de corriente Ci .
Figura 7. Configuración del capacitor
A continuación verificaremos algunas de las conclusiones anteriores utilizando un
método más matemático, para definir luego algunas cantidades importantes que
se emplearan mas adelante:
De la figura 7 del inductor se sabe que:
CC
dvI C
dt
Aplicando diferenciación (el calculo)
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cos
cos cos
Lm m
CC m m
dv dV senwt wV wt
dt dt
dvi C C wV wt wCV wt
dt
O bien
90C mi I sen wt
donde
m mI wCV
Obsérvese que el valor pico de Ci es directamente proporcional a w y C .
Una gráfica de Cv e Ci en la figura 6 revela que Ci se adelanta a Cv en 90° o que
Cv se retrasa sobre Ci en 90°
Figura 8. C : Ci se adelanta a Cv , por 90°
Por lo tanto para:
90
C m
C m
v V sen wt
i wCV sen wt
Al aplicar:
causaOposición
efecto
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Al sustituir los valores, se tiene:
1m m
m m
V VOposición
I CV C
La cantidad 1
C, llamada reactancia (de la palabra reacción) de un capacitor, se
representa simbólicamente mediante CX y se mide en ohms o sea:
1LX
C
La reactancia capacitiva es la oposición al flujo de la carga, que da como resultado
el continuo intercambio de energía entre la fuente y el campo eléctrico de un
capacitor. Como el inductor, el capacitor no disipa energía en forma alguna
(pasando por alto los efectos de la resistencia de fuga). En los circuitos que
acabamos de ver, se dio la corriente en el circuito inductivo y la tensión en el
capacitivo. Esto se dice con el fin de evitar el empleo de la integración para
determinar las cantidades incógnitas.
En el circuito inductivo:
1
LL
L L
div L
dt
i v dtL
Y en el circuito capacitivo
CC
dvi C
dt
Sin embargo
1C Cv i dt
C
En resumen debemos considerar un método para el análisis de circuitos de ca que
nos permita resolver para determinar una cantidad desconocida con entrada
senoidal, sin tener que utilizar la derivación o la integración directa.
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Es fácil determinar si un circuito con uno o mas elementos es predominante
capacitivo o inductivo tomando nota de las relaciones de fase entre la corriente y
la tensión de entrada. Si la corriente se adelanta a la tensión, el circuito será
primordialmente capacitivo y si la tensión se adelanta a la corriente será inductivo.
Puesto que ya tenemos una ecuación para la reactancia de un inductor o un
capacitor, no necesitaremos utilizar derivadas o integrales en los ejemplos que se
van a considerar. Para completar los ejemplos, bastara una simple aplicación de la
ley de Ohm,
mm
L C
EI
X ó X , teniendo en cuenta la relación de fase entre la
tensión y corriente para cada elemento.
Problema 1
Se da la tensión en un resistor. Encuéntrese la expresión senoidal para la
corriente si el resistor es de 10 . Bosquéjese las curvas v e i con el ángulo
( )t como abscisa.
a. 100 377v sen t
b. 25 377 60v sen t
Solución
Figura 10. Gráfica de Voltaje e corriente
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Inciso a
100377
10
10 377
vi sen t
R
y
i sen t
Las curvas se muestran en la figura 10
Inciso b
25377 60
10
2.5 377 60
vi sen t
R
y
i sen t
Las curvas se presentan en la figura 11
Figura 11. Curvas de voltaje e corriente
Problema 2
Se da la corriente que pasa por una bobina de 0.1H. Encuéntrese la expresión
senoidal para la tensión que existe en la bobina. Bosquéjese las curvas v e i .
a. 10 377i sen t
b. 7 377 70i sen t
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Soluciones
Inciso a
37.7
10 37.7 377
L
m m L
X L
V I X V
Y sabemos que para una bobina, v se adelanta a i en 90°:
377 377 90v sen t
Las curvas se muestran en la figura 12
Figura 12. Curva de corriente e voltaje
Inciso b
37.7
7 37.7 263.9
L
m m L
X
V I X V
Y se sabe que, para una bobina, v se adelanta a i en 90°:
263.9 377 70 90
263.9 377 20
v sen t
y
v sen t
Las curvas se indican en la figura 13
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Figura 13. Curvas de corriente e voltaje
Problema 3
Se da la tensión que existe en un capacitor de 1uF . ¿Cuál es la expresión
senoidal para la corriente? Trácese las curvas v e i .
30 400v sen t
Solución
6
6
1 1 102500
400400 1 10
300.0120 12.0
2500
C
mm
C
XC
II A mA
X
Y sabemos que para un capacitor, i se adelanta a v en 90°:
312 10 400 90i sen t
Las curvas se dan en la figura 14
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Figura 14. Curva de voltaje e corriente
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