ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Calcular An,
IDEMPOTENTE
Una matriz A es idempotente si:
Nota: La identidad no es la única idempotente
INVOLUTIVA
Es una matriz cuadrada ( tiene igual
número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I
A2 = I
NILPOTENTE
Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que , ( r es el menor entero positivo )
A es nilpotente de orden 3,
El método de demostración conocido como inducción matemática, se puede utilizar para demostrar que una cierta proposición p(n), que se refiere a los números naturales, es cierta para cada n. El método nos dice:
1.
Demuestra que P(1) existe
2.
Demuestra que P(n) es cierta, entonces P(n+1) es cierta
Así queda claro que P(n) es cierta
Para la matriz A empezamos calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A:
A estas potencias las escribimos de otro modo:
Esto nos lleva a proponer la siguiente ecuación general:
Demostramos por inducción que es verdad:
1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo. 2. Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver que también es cierta
para n+1
Por lo tanto queda demostrado por inducción que:
Ejemplo:
Sea: , encontrar Bn
Primero encontramos sus primeras potencias tales como:
HI)
TI)
Demostración: B(k+1)=Bk*B1
BINOMIO DE NEWTON Deducción de la fórmula del binomio de newton
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)
Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
Que también se puede escribir de forma abreviada así:
Tenemos:
PASOS PARA CALCULAR An
1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
0 0 0
3. Simplificar:
4. Sustituir matrices y operar:
Ejemplo:
Encontrar con el binomio de newton A n
1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma
A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
3. Simplificar:
Tenemos:
4. Sustituir matrices y operar:
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