Sistemas Lineales Para Automatizacin: U3: Ecuaciones diferenciales

Sistemas Lineales Para Automatizacin: U3: Ecuaciones diferenciales24 de octubre de 2011

Unidad 3: Ecuaciones diferenciales y modelado de sistemasObjetivo: resolver ecuaciones diferenciales mediante software matemtico para modelar sistemas mecatrnicos.Objetivo de aprendizaje: Elaborar un modelo de un sistema fsico mediante ecuaciones diferenciales encontrando su solucin con el empleo de software matemtico.Definicin de ecuacin diferencial (ED):Una ecuacin que contiene las derivadas o diferenciales de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes se llamaecuacin diferencial.Se llama ecuacin diferencial a aquella ecuacin que contiene derivadas.Clasificacin de las ED:las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar segn tres caractersticas:tipo,ordenylinealidad. Segn el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que slo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones deuna sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones dedos o ms variables independientes). El orden de una ecuacin diferencial lo determina el orden de la ms alta derivada presente en ella.La derivada de mayor orden que aparece en una ecuacin diferencial puede ser afectada de exponentes. El mayor exponente indica el grado de la ecuacin diferencial.

Solucin de una ED:una funcin f, definida en algn intervaloI, es solucin de una ecuacin diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden serexplcitasoimplcitas. Una ED tiene, generalmente, un nmero infinito de soluciones o ms bien unafamilia n-paramtricade soluciones. El nmero de parmetros,n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores especficos a los parmetros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numricos a los parmetros, se obtiene unasolucin particularde la ED. En algunas ocasiones se tiene una solucin que no pertenece a la familia n-paramtrica, a tales soluciones se les llamasingulares.En ocasiones, la solucin de las ED pueden basarse en procesos simples de integracin, alternativamente se puede recurrir a procesos de derivacin, en otras circunstancias se pueden utilizar artificios matemticos que dependern de la forma general de las ecuaciones, y en otras ocasiones se utilizaran propiedades especiales de las ED.Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ED, puede resultar conveniente la utilizacin de mtodos numricos que nos permitan entender su comportamiento.Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuacin diferencial encuentre su funcin primitiva.

Para encontrar la solucin, se integra en ambos lados de la ecuacin:

= 2 ; se aplican las integrales y se obtiene:2 () x + C =

Ejercicio 1: Dada la siguiente ED, encuentre su funcin.

Aplicando formulas integracin, se obtiene:

, reduciendo trminos, obtenemos

Ejemplo 2: Verificar si la funcin detallada a continuacin, es solucin de la ED planteada.

+ 1; funcin solucin; = ; ecuacin diferencial

Solucion:Calculamos la derivada de la funcin solucin: ; se aplica la formula de derivacin 5 Reemplazando la funcin solucin y su derivada en la ED: = + 1) 3 ; y simplificando, se tiene:

Ejercicios prcticos: Verificar si las soluciones detalladas a continuacin son las soluciones de las siguientes ED.a). ; b). ; c). Ecuaciones de primer ordenPara emprender la tarea de hallar la solucin de una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden: , debemos conocer diversos mtodos. El mtodo que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuacin. Los mtodos que vamos a estudiar son: Integracin directa, Separacin de variables, Factor de integracin, Sustitucin apropiada. Pero, antes de entrar de lleno a solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a tratar algunos conceptos importantes.Integracin directaLa ecuacin diferencial de primer orden y' = f (x, y)toma una forma particularmente simple si en la funcin fno aparecen trminos con y: , En este caso, para hallar la solucin general basta con integrar ambos miembros de la igualdad, obtenindose: o tambin, Ejemplos: Encuentre una funcin, y = f(x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.1). Solucion:

2). ; Solucion:

3). Solucion:

Resolver los siguientes ejercicios encontrando una funcin, y = f(x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.a). b). c). d).e).f). g).

Ejercicios de Aplicacin (Miscelnea)1. Una pelota se deja caer desde lo alto de un edificio de 400 pies de altura, Cunto tardara en llegar al suelo?, Con que velocidad golpeara el piso?Solucion: t = 5s ; v = - 160 pies/s

2. Los frenos de un carro son aplicados cuando este se mueve a 100 km/hr y proporcionan una desaceleracin constante de 10 metros por segundo en cada segundo (m/s2). Cunto avanzara el carro antes de detenerse?

3. Una pelota es arrojada hacia arriba desde el nivel del suelo. Su velocidad inicial es de 160 pies/s. Cul es la altura mxima que alcanza la pelota?, Cunto tiempo permanece en el aire?

Separacin de variablesEcuacin separableUna ecuacin diferencial de primer orden que puede ser llevada a la forma: ; se dice que es separable; esto es, tiene variables separables.Como se puede observar, en este tipo de ecuaciones cada miembro de la igualdad involucra solo una de las variables. Para resolver ecuaciones separables se integra en ambos miembros de la igualdad. La solucin, por lo general, es una funcin implcita.Ejercicios resueltosEjercicio 1: Encuentre la solucin general de , y determine la solucin particular para la cual y = 4 cuando x = -3.Solucion: Separando las variables podemos escribir la ecuacin dada en la forma:

Sustituyendo los valores iniciales y resolviendo, se tiene que:

Ejercicio 2: Resolver Solucion: Podemos escribir la ecuacin multiplicando por dx y nos queda:

Dividiendo por x y y , esto es por xy nos da lo siguiente:

As que: Nota: Esto tambin puede escribirse en una forma de logaritmos, escribiendo:

Ejercicio 3: Resolver la siguiente ecuacin diferencial Solucion: Despejamos la derivada y nos queda: Separamos las diferenciales del miembro izquierdo:

Integramos ambos miembros de la ecuacin:

Ejecutamos las integrales y obtenemos:

Ejemplo 4: Resolver la siguiente ecuacin diferencial: Solucion:Despejamos la primera derivada de y

La derivada se puede expresar como:

Separamos las diferenciales del miembro izquierdo:

Integramos ambos miembros de la ecuacin:

Ejecutando las integrales:

Ejemplo 5: Encontrar la solucin de la siguiente ecuacin diferencial: Solucion:Despejamos la primera derivada:

La derivada se puede expresar como:

Separamos las variables del miembro izquierdo:

Aplicamos integrales en ambos lados:

Ejecutando las integrales, se obtiene:

Expresado en otras formas:

Ejercicios prcticos: encontrar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales.1. 2. 3. 4. 5.

Modelado de ecuaciones de primer orden (Sistemas elctricos)ConceptosDiferencia de potencial: Es el trabajo necesario para desplazar la unidad de carga elctrica positiva de un punto a otro en contra o a favor de las fuerzas del campo.

Corriente elctrica i: Cuando de un punto a otro de un conductor se desplaza una o ms cargas elctricas se dice que circula por l una corriente elctrica i

Potencia p : Se define por el producto de la diferencia de potencial o tensin aplicada v y la intensidad de corriente i a que da lugar. La unidad de potencia es el vatio (w), de manera que En el caso de que la potencia p sea una funcin peridica del tiempo t, del periodo T, se define el valor medio por:

Energa w: Como la potencia p es la variacin de energa transferida en la unidad de tiempo, , siendo w la energa total suministrada durante un intervalo de tiempo dado, la unidad de energa es: Elemento resistivo, bobina y condensador (capacitor)Al suministrar energa elctrica a un elemento pasivo de un circuito, este se comporta o responde de una, o ms, de estas tres formas. Si la energa la disipa el elemento, es resistivo puro; si la almacena en un campo magntico, es una bobina pura, y si la acumula en un campo elctrico, es un condensador puro.Resistencia R: La diferencia de potencial v(t) en bornes o terminales de un elemento resistivo puro es directamente proporcional a la intensidad de corriente i(t) que circula por l. La constante de proporcionalidad R se llama resistencia elctrica del elemento, y su unidad es el ohm (). Matemticamente se expresa de la forma:

Induccin L: Al variar con respecto al tiempo la corriente que circula por u8n circuito, el flujo magntico que lo atraviesa experimenta los mismos cambios. Toda variacin de flujo magntico se opone a dicha variacin. En estas condiciones, si por una bobina circula una corriente de intensidad variable, se origina en ella una fem inducida v que es directamente proporcional, siempre que la permeabilidad magntica sea constante, a la variacin con respecto al tiempo de dicha intensidad. Matemticamente se expresa:

El coeficiente de proporcionalidad L se llama coeficiente de autoinduccin o simplemente autoinduccin de la bobina.Si la tensin v se expresa en voltios (V), y en amperios/segundo (A/s),el coeficiente de autoinduccin L se mide en voltios x segundo/amperios y se llama henrio (H).Capacidad C:La diferencia de potencial v en bornes de un condensador es proporcional a la carga que en el almacena. La constante de proporcionalidad C se llama capacidad del condensador, matemticamente se expresa en la forma:

La unidad de capacidad se llama faradio (F). La capacidad de un condensador es de un faradio cuando almacena 1 coulomb de carga al aplicarle una diferencia de potencial de 1 volt.

Respuesta de los elementos pasivos de un circuito:

Ejemplo 1: en el siguiente circuito, la tensin del generador viene dada por Hallar la intensidad i(t), la potencia instantnea p(t) y la potencia media P.

Ejemplo 2: La funcin de intensidad de corriente de la siguiente figura, es un diente de sierra peridico que se aplica a una resistencia pura de 5 ohm. Hallar los valores instantneos v(t) , p(t) y la potencia media P.Solucion:ComoPara

Ejemplo 3: En bornes de una bobina pura de autoinduccin L = 0.02 henrios, se aplica la tensin v(t) = 150sen1000t. Hallar la corriente i(t) y la la potencia instantnea p(t).Solucion:

Nota:

Ejercicio practicoHallar la potencia media disipada en una resistencia de 10 ohmios por la que circula una corriente i(t) = 14.14 coswt amperios.

Circuitos en serie: Cuando un circuito en serie solo contiene un resistor y un inductor (circuito LR), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las cadas de voltaje a travs del inductor y del resistor es igual al voltaje aplicado, , al circuito.

Con lo anterior se tiene la ecuacin diferencial lineal que describe la corriente ,

En que L y R son las constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. La corriente , se llama, tambin, respuesta del sistema.La cada de voltaje a travs de un capacitor de capacitancia C es , donde q es la carga del capacitor; por lo tanto, para el circuito en serie de la siguiente figura, la segunda ley de Kirchhoff, establece:

Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante , as, la ecuacin se transforma en la ecuacin diferencial lineal.

Ejercicio 1. Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de y una resistencia de 10 ohm. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero.Solucion:Segn la ecuacin, y sustituyendo, tenemos que:

Como i(0) = 0 . Primero multiplicamos la ecuacin por 2,

y vemos que el factor integrante es , a continuacin se sustituye, quedando.

Al integrar cada lado de esta ecuacin y despejar i obtenemos

Por consiguiente, la respuesta es:

Ejercicio 2: Si halle la corriente i en cualquier instante t.Solucion: La ED (A) es una ecuacin lineal de la forma: De tal manera que el factor integrante es: Multiplicando la ec. (A) por , se obtiene:

Integramos en cada miembro:

Pero: De tal manera que (C) queda:

Las condiciones iniciales son: Sustituyendo los valores correspondientes en (D):

Ahora sustituimos (F), se obtiene:

Ejemplo 3: Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios, si el interruptor k se cierra en tiempo t = 0, establezca una ecuacin diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t.Solucion: Voltaje suministrado = 100 vCada de voltaje a travs de la resistencia es Ri = 10iCada de voltaje en el inductor

Aplicando ley de kirchhoff, tenemos:

Puesto que el interruptor se cierra en t = 0, debemos tener i = 0 en t = 0La ecuacin diferencial obtenida, es una ED de primer orden lineal con facto integrante:, multiplicado por este factor, obtenemos:

Puesto que Ejercicio prctico 2:Establezca y resuelva una ecuacin diferencial para el circuito elctrico de la siguiente figura, si el generador de 100 voltios se remplaza por otro con una fem de 20cos 5t voltios.Solucion:

Ejercicio prctico 3:Una fem decayente se conecta en serie con una resistencia de 20 ohmios y un capacitor de 0.01 faradios, asumiendo Q = 0 en t = 0, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo.Solucion:

Transformada de LaplaceLa Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia y cambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la funcin en la variable independiente que aparece en la ED es una funcin seccionada. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen til en el anlisis de sistemas lineales. Una de las ventajas ms significativas radica en que la integracin y derivacin se convierten en multiplicacin y divisin. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinmicas, mucho ms fciles de resolver. Otra aplicacin importante en los sistemas lineales es el clculo de la seal de salida. sta se puede calcular mediante la convolucin de la respuesta impulsiva del sistema con la seal de entrada. La realizacin de este clculo en el espacio de Laplace convierte la convolucin en una multiplicacin, habitualmente ms sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simn Laplace. La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto.Cuando se resuelven ED usando la tcnica de la transformada, se cambia una ecuacin diferencial en un problema algebraico. La metodologa consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una funcin en la variable independiente tenga una cierta expresin como transformada.

Definicin y nomenclatura de la transformada de LaplaceSea f una funcin definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como:

cuando tal integral converge, o tambin:

Por tanto, La transformada de Laplace, es una transformacin integral de una funcin f(t) del dominio temporal al dominio de la frecuencia complejo, lo que por resultado F(s).La transformada es unilateral ya que solo se consideran los valores de tiempo entre 0 y +, y no en el intervalo completo de tiempo de a +.En el dominio de s, una funcin se denota por F(s), debido a que es una funcin de s. En general se usa F mayscula para la transformada de Laplace y f minscula para la funcin del tiempo f(t).Notas:1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracin se considera constante. 2. La transformada de Laplace convierte una funcin en t en una funcin en la variable s. 3. Condiciones para la existencia de la transformada de una funcin: 1. De orden exponencial 2. Continua a trozos

Definicin de la Transformada Inversa La Transformada inversa de una funcin en s, digamos F(s) es una funcin de t cuyaTransformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso:

Esta definicin obliga a que se cumpla:

y

O tambin expresada como:

Se puede representar la actividad de la transformada de Laplace mediante el siguiente esquema:

Ejercicio 1: Determinar la transformada de Laplace de la funcin Solucion: Para determinar la transformada unilateral de Laplace de f(t), se debe evaluar la integral:

Ejercicio 2: Realizar la transformacin del dominio del tiempo al dominio de s, considerando: , es decir:

Debido a que t = , el valor de es 0 y con t = 0 el valor de es -1, entonces:

Ejercicio 3: Determinar la transformada de Laplace de la funcin , donde a es una constante.Solucion:

Cuando t = , el trmino en los corchetes se hace 0 y cuando t = 0, este se hace 1, entonces:

Ejercicio 4: Determinar la transformada de Laplace de la siguiente funcin exponencial:; Solucin:

Cuando t = , el trmino en los corchetes se hace 0 y cuando t = 0, este se hace 1, como se puede demostrar:

Ejercicio 5: Evaluar :Solucion: Sustituyendo los valores iniciales de 0 e , obtenemos:

Ejercicio 6: Determine la transformada de Laplace Solucion: Opcin 1

Opcin 2:

Propiedades y pares de la Transformada de Laplace

Ejercicio prctico 1: Evalu a travs de transformada de Laplace: Aplicacin de las propiedades y parejas de la Transformada de LaplaceEjercicio 1: Evaluar Solucion: Utilizando la propiedad de linealidad, tenemos:

Ejercicio 2: Obtenga las transformada de de Laplace de: Solucion: Utilizando la propiedad de linealidad, tenemos que:

Ejercicio prctico 2: Obtenga la transformada de Laplace de: , utilice la propiedad de linealidad.

Transformada inversa de Laplace

Pasos para encontrar la transformada inversa de Laplace1. Descomponer F(s) en trmino simples usando una expresin en fracciones parciales.2. Se encuentra el inverso de cada trmino contrastndola con las entradas de la tabla de transformadas de Laplace.Miscelnea de Ejercicios

Ejercicio 1: Evaluar

Solucion: Aplicamos inciso b del teorema 7.3, vemos que n = 4, por lo que multiplicamos y dividimos entre 4!:

Ejercicio 2: Obtener la transformada inversa de Laplace de la siguiente expresin

Solucion: Como k2 = 64, arreglamos la expresin, multiplicndola y dividindola entre 8, segn la expresin del inciso d, tenemos:

Ejercicio 3: Evaluar Solucion: k2 = 7, k = 7, se arregla la expresin y se multiplica y divide por 7.

Ejercicio 4: Encontrar Solucion: Primero, se representa la funcin dada de s como 2 expresiones, dividiendo cada uno de los trminos del numerador entre el denominador.

Segundo, se utiliza la transformada inversa de linealidad, arreglando constantes numricas.

Tercero, Solucionamos el arreglo establecido, aplicando las formulas de las , en este caso utilizamos e) e d).

Ejercicios prcticos 3 Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

a)

b)

c)

Aplicaciones de la Transformada de LaplaceCon la transformada de Laplace se cuenta con una de las herramientas matemticas ms poderosas para el anlisis, sntesis y diseo. Poder ver los circuitos y sistemas en el dominio de s puede ayudar a comprender como funcionan en realidad los circuitos y sistemas.Un sistema es un modelo matemtico de un proceso fsico que relaciona su entrada con la salida.Pasos en la aplicacin de la Transformada de Laplace1. Transformar el circuito del dominio temporal al dominio de s (complejo).2. Resolver el circuito usando el anlisis nodal, el anlisis de mallas, la transformacin de fuentes, la superposicin o cualquier otra tcnica del anlisis de circuitos con que se est familiarizado.3. Calcular la transformada inversa de la solucin y, obtener as la solucin en el dominio temporal.Solo el primer paso es nuevo y se analizara aqu. Como se hizo con el anlisis fasorial, se transforma un circuito en el dominio temporal al dominio de la frecuencia o dominio s, mediante la transformacin de Laplace de cada trmino en el circuito.

Para una resistencia, la relacin tensin-corriente en el dominio temporal, es:

Calculando la transformada de Laplace, se obtiene:

Para un inductor:

Calculando la transformada de Laplace en ambos lados, obtenemos:

Los equivalentes en el dominio de s, donde la condicin inicial se modela como una fuente de tensin o de corriente.

Para un capacitor.

El cual se transforma en el dominio de s como:

O sea:

Si se supone las condiciones iniciales nulas para el inductor y el capacitor, las ecuaciones anteriores se reducen a:

Los equivalentes en el dominio s, se muestran en las siguientes figuras:

La impedancia en el dominio de s se define como el cociente de la transformada de la tensin a la transformada de la corriente, en las condiciones iniciales nulas; es decir:

Por lo tanto, las impedancias de los tres elementos del circuito son:

La siguiente tabla resume esto, considerando las condiciones iniciales nulas.

La admitancia en el dominio s es el reciproco de la impedancia, o sea:

El uso de transformadas de Laplace en el anlisis de circuitos facilita el uso de varias fuentes de seales, como el impulso, el escaln, la rampa, exponencial y senoidal.

Ejercicios aplicadosEjercicio 1: Encuentre el en el siguiente circuito mostrado, suponiendo las condiciones iniciales nulas.

Solucion:Primero. Se transforma del dominio temporal al dominio de s.

El circuito en el dominio s resultante es el siguiente:

Segundo. Aplicamos anlisis de mallas.Malla 1:

Malla 2:

Tercero. Se sustituye ecuacin M2 en ecuacin M1:

Cuarto. Se calcula la transformada inversa y obtenemos:

28Mtro. Jorge Adalberto Barreras Garca