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Concepto de Función
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos , tal que relaciona, a
cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B.
Para indicar que se ha establecido una función f de A en B se usa la siguiente
notación:
Conceptos Básicos.
Variable independiente y Variable dependiente:
En la expresión , tenemos que representa a la variable
independiente en la función, mientras que representa a la variable dependiente
de .
Dominio:
El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, y el conjunto donde se
encuentran las preimágenes de la función y representadas en la mayoría de los
casos con la letra .
Codominio:
El conjunto B se llama conjunto llegada o codominio, el codominio es el
conjunto al cual pertenecen las posibles imágenes de la función.
Ámbito:
El ámbito o rango es el conjunto de las imágenes, conocidas también como
variables dependientes y representadas en la mayoría de los casos con la letra
, el ámbito es subconjunto del codominio.
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72
Diagrama sagital
A B
Par ordenado:
Son elementos de la forma , donde el valor de representa a una
preimagen del dominio y representa una imagen del ámbito.
De otro modo, los pares ordenados son elementos de la forma
(preimagen, imagen), los cuales se conocen como coordenadas de un punto
en el plano.
Gráfico:
Es el conjunto cuyos elementos son todos los pares de ordenados que
pertenecen a una función dada.
Plano Cartesiano:
Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares (una vertical y otra
horizontal), cuyo punto de intersección se llama el origen .
El eje horizontal representa el dominio de una función, por ello las
preimágenes se ubican en este eje (horizontal).
El eje vertical representa el codominio y el ámbito de la función, de tal
madera que las imágenes se encuentran en este eje (vertical).
5
4
5
6
Dominio:
Preimágenes:
Codominio:
Imágenes:
Ámbito:
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Criterio de una función.
Es la formula o estructura algebraica que nos permite realizar el calculo de
imágenes, pre imágenes, ámbito, dominio.
Ejemplos:
Práctica
Concepto
1. Analice las siguientes proposiciones:
I. II.
III.
De ellas son verdaderas
A. Todas
B. Solamente II y III
C. Solamente I y III
D. Solamente I
Codominio, Ámbito
Dominio
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74
2. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una
función.
A. B. C. D.
3. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una
función.
A. B. C. D.
4. Si es el gráfico de la función f, entonces
el dominio de esa función es
A.
B.
C.
D.
5. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una
función:
A.
B.
C.
D.
6. Para toda función se cumple que:
A. El ámbito es un subconjunto del dominio
B. El dominio es un subconjunto del ámbito
C. El ámbito es un subconjunto del codominio
D. El codominio es un subconjunto del ámbito
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75
7. De las siguientes gráficas
I. II. III.
¿Cuales representan una función real?
A. Solo I y II
B. Solo I
C. Solo II y III
D. Solo II
8. Si el gráfico de una función es , entonces el ámbito de es
A.
B.
C.
D.
9. Sea una función. Considere las siguientes proposiciones.
I. es un elemento del dominio de
II. es un elemento del codominio de
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo la I
D. Solo la II
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76
10. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una
función.
A. B. C. D.
11. En una función definida de A en B no s e permite que dos elementos distintos
de B sean imagen de un
A. Único elemento de A
B. Par de elementos de A
C. Único elemento de
D. Único elemento de
Cálculo de imágenes.
Para calcular imágenes se sustituye la preimagen dada por la variable, en el criterio
de la función.
Ejemplo:
Si , encuentre la imagen de
Procedimiento:
Cálculo de Preimágenes
Para calcular preimágenes se iguala el criterio de la función a la imagen dada y se
despeja la variable.
Ejemplo:
Calcule la preimagen de – , si la función esta definida por .
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77
Práctica
Cálculo de Imágenes y Preimágenes
12. Si con , entonces el grafico de corresponde
a:
A.
B.
C.
D.
13. Si “g” es una función y , es la imagen de
A.
B.
C.
D.
14. Para la función dada por , la imagen de es
A.
B.
C.
D.
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78
15. Para la función dada por , la preimagen de es
A.
B.
C.
D.
16. Para la función dada por , un valor para el cual 2 es
A.
B.
C.
D.
17. Si , entonces es igual a
A.
B.
C.
D.
18. Para la función dada por , es la preimagen de
A.
B.
C.
D.
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79
19. Para la función dada por , la imagen de es
A.
B.
C.
D.
20. Para la función dada por , la preimagen de es
A.
B.
C.
D.
21. Para la función dada por , la imagen de es
A.
B.
C.
D.
22. Sea la función dada por , la preimagen de es
A.
B.
C.
D.
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80
23. Para la función dada por , es la preimagen de
A.
B.
C.
D.
24. La imagen de en la función corresponde a
A.
B.
C.
D.
25. Si es una función y , entonces la imagen de es
A.
B.
C.
D.
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81
26. Para la función dada por , es la preimagen de
A.
B.
C.
D.
27. Para la función dada por dada por , considere las
siguientes proposiciones
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo la I
D. Solo la II
28. Para la función dada por , ¿cual es el valor numérico de la
expresión ?
A. 18
B. 54
C. -18
D. -54
29. Si es una función con , entonces la imagen de es:
A.
B.
C.
D.
I. El ámbito de f es
II. es un elemento del ámbito de
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82
30. Si , entonces es igual a:
A.
B.
C.
D.
31. Analice las siguientes proposiciones con respecto a la función .
I. es la preimagen de
II. es la preimagen de .
De ellas con certeza, ¿Cuáles son las verdaderas?
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo la I
D. Solo la II
32. Si Z con , entonces el grafico de corresponde a:
A.
B.
C.
D.
33. Dada la función , la preimagen de 1 es:
A.
B.
C.
D.
34. Si es una función dada por , entonces es
A.
B.
C.
D.
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83
35. Si es una función dada por , entonces es preimagen de
A.
B.
C.
D.
36. Si f es una función dada por , entonces la preimagen de es
A.
B.
C.
D.
37. Para la función dada por , si es una constante, entonces la
imagen de es
A.
B.
C.
D.
38. Sea f una función dada por , Considere las siguientes
proposiciones.
I.
II.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo la I
D. Solo la II
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84
39. Para las funciones f y g cuyos criterios son y
respectivamente, se cumple que
A.
B.
C.
D.
40. Para la función f dada por , la imagen de es
A.
B.
C.
D.
41. Para la función con entonces ¿cual es el valor
numérico de la expresión ?
A.
B.
C.
D.
42. Para la función cuyo criterio es , ¿Cuál es la imagen de ?
A.
B. -
C. D.
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85
43. Si entonces la preimagen de es igual a:
A.
B.
C.
D.
Calculo de Dominios y Ámbitos
44. Si , tal que , entonces el ámbito de la función
corresponde a
A.
B.
C.
D.
45. Para la función con , si el ámbito es entonces
el dominio es
A.
B.
C.
D.
46. Sea con dominio entonces el ámbito de es
A.
B.
C.
D.
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86
47. Si el ámbito de la función es entonces su dominio es
A.
B.
C.
D.
48. Si el ámbito de la función es entonces el dominio
es
A.
B.
C.
D.
49. Si y entonces el ámbito de es
A.
B.
C.
D.
50. Si el dominio de la función es entonces el ámbito de es
A.
B.
C.
D.
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87
51. Si el ámbito de la función es entonces su dominio es
A.
B.
C.
D.
52. Si , entonces el ámbito de es
A.
B.
C.
D.
53. Si , entonces el ámbito de es igual a:
A.
B.
C.
D.
Dominio máximo de una función
El domino máximo de una función, es el conjunto de todos los números reales para
los cuales la función se encuentra definida.
Para determinar el dominio máximo, debemos tener en cuenta dos restricciones que
se presentan en el conjunto de los números reales:
1. La división entre cero, o bien, una fracción que tenga como
denominador al número cero, no esta definida en el conjunto de los
números reales.
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88
2. En una expresión radical de índice par, el subradical nunca podrá
tomar un valor negativo, ya que este tipo de expresión no esta
definida en el conjunto de los números reales.
Para realizar el cálculo del dominio máximo de una función, dividiremos su estudio
en casos para facilitar la compresión del mismo.
Cálculo del dominio máximo
Caso 1: Función polinomial.
En este caso el domino máximo de una función polinomial es el conjunto de los
numero reales ya que un polinomio nunca se indefine.
Ejemplos.
Caso 2: Función racional (fraccionaria).
En este caso debemos igualar el denominador a cero, y resolver la ecuación que
quede indicada, ya sea lineal, cuadrática y cúbica.
El dominio máximo se planteará de la siguiente forma ,
donde son las soluciones que tenga la ecuación.
Nota: si la función en el denominador no tiene variables, entonces decimos que el
dominio máximo son los números reales.
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89
Ejemplos
Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones fraccionarias:
1.
Tomamos el denominador de la expresión y lo igualamos a cero
Resolvemos la ecuación que queda indicada.
Planteamos la respuesta.
2.
Tomamos el denominador de la expresión y lo igualamos a cero
Resolvemos la ecuación que queda indicada.
y
Planteamos la respuesta.
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90
3.
Tomamos el denominador de la expresión y lo igualamos a cero
Resolvemos la ecuación que queda indicada.
, y
Planteamos la respuesta.
Caso 3: Función radical.
a. Función con raíz impar.
Si el criterio de la función es solamente una raíz impar, su dominio máximo es
siempre los números reales, ya que la raíz impar de un número negativo si existe.
Ejemplos.
Si la función tiene como ecuación una raíz impar en el denominador, debemos
igualar a cero, el subradical de la expresión y resolver la ecuación que quede
indicada.
El dominio máximo se escribe , en donde son
las soluciones de la ecuación.
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91
Ejemplos.
Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales:
1.
Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión y lo
igualamos a cero
Resolvemos la ecuación que queda indicada.
y
Planteamos la respuesta.
2.
Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión y lo
igualamos a cero
Resolvemos la ecuación que queda indicada.
Planteamos la respuesta.
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92
b. Función con raíz par.
Si el criterio de la función es un radical cuyo índice es par, entonces debemos tomar
el subradical, plantear y resolver una inecuación con la expresión de mayor e igual
cero , esto si el radical se encuentra el numerador de la expresión.
Si el radical se encuentra en el denominador se plantea la inecuación con la
expresión de mayor a cero , y resolvemos la inecuación.
Es de suma importancia recordar que la solución de una inecuación es un conjunto
numérico conocido como intervalo.
Ejemplos.
Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales:
1.
Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.
Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.
De esto tenemos que:
2.
Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.
Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.
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93
De esto tenemos que:
3.
Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.
Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.
De esto tenemos que:
Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.
Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.
De esto tenemos que:
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94
Práctica
Calculo de Dominio Máximo
54. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
55 ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
56 ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
57. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
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95
58. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
59. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
60. El dominio máximo de la función dada por es
A.
B.
C.
D.
61. Si es una función, ¿Cuál es el dominio máximo de ?
A.
B.
C.
D.
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96
62. La función cuyo criterio es tiene por dominio máximo a
A.
B.
C.
D.
63. El dominio máximo de la función dada por es
A.
B.
C.
D.
64. El dominio máximo de la función dada por es
A.
B.
C.
D.
65. Para la función dada por el dominio máximo de es
A.
B.
C.
D.
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97
66. La función dada por tiene por dominio máximo a
A.
B.
C.
D.
67. En la función f cuyo criterio es el dominio máximo es
A.
B.
C.
D.
68. El dominio máximo de la función dada por es
A.
B.
C.
D.
69. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
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98
70. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
71. El dominio máximo de la función dada por es
A.
B.
C.
D.
72. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
73. Si “a” es una constante, entonces el dominio máximo de la función f dada por
es
A.
B.
C.
D.
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99
74. ¿Cuál es el dominio máximo de ?
A.
B.
C.
D.
75. Analice el dominio máximo de las siguientes funciones:
El pertenece al dominio máximo de:
A.
B.
C.
D.
76. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
77. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
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100
78. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
79. De las siguientes proposiciones:
I.
II.
De estas, ¿Cuáles con certeza son verdaderas?
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo I
D. Solo II
80. El dominio, máximo de es el conjunto:
A.
B.
C.
D.
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101
81. De las siguientes funciones de variable real:
I.
II.
III.
¿Cuáles de ellas tienen el mismo dominio máximo?
A. Todas
B. Ninguna
C. Solo I y III
D. Solo I y II
82. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
83. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?
A.
B.
C.
D.
84. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
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102
85. Analice el dominio máximo de las tres funciones siguientes:
; ;
¿Cuál es el número entero que indefine a las tres funciones?
A. B. C. D.
86. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
87. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
88. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
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103
89. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
90. Si f es una función con , entonces el máximo dominio de es
A.
B.
C.
D.
91. Si f es una función con , entonces el dominio máximo de f es
A.
B.
C.
D.
92. El dominio máximo de la función f dada por es
A.
B.
C.
D.
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104
93. Si f es una función con , entonces el máximo dominio de es
A.
B.
C.
D.
Análisis de Gráficas
El realizar el análisis de la gráfica de una función consiste en determinar las
características que hacen particular a cada función, por ejemplo conocer su dominio
y su ámbito, o su monotonía, es decir donde la función es creciente, decreciente,
constante, también los intervalos donde la función es positiva o negativa, además de
su intersección o intersecciones con el eje y su intersección con el eje .
Para realizar el estudio de la grafica de una función esta debe leerse de izquierda a
derecha con respecto al eje de las , con respecto a este eje podemos conocer el
dominio, la monotonía, la o las intersecciones con , donde la función es positiva
o negativa, además de conocer las preimágenes. Los intervalos de monotonía se
dejaran abiertos.
Por otra parte si se realiza en el eje , el estudio debe hacerse de abajo hacia
arriba, y de este podemos obtener el ámbito, las imágenes y la intersección con el
eje.
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105
Ejemplo.
1.
La imagen de es .
La preimagen es .
La imagen es .
La preimagen es .
x
y
-2
-2 -1
1
2
21-1
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106
Práctica
Análisis de Gráficas
94. De acuerdo con la gráfica, la preimagen de 1 de acuerdo con la gráfica:
A.
B.
C.
D.
95. De acuerdo con los datos de la gráfica, 1 es la imagen de:
A.
B.
C.
D.
96. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que:
A. es la preimagen de
B. es la imagen de
C. es la preimagen de
D. es la imagen de
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107
97. En la gráfica de la función anterior es la preimagen de:
A.
B.
C. 0
D.
De acuerdo con los datos de la gráfica de la función , conteste los ítems 98, 99.
98. El ámbito de es el conjunto:
A.
B.
C.
D.
99. La función es creciente en el intervalo:
A.
B.
C.
D.
100. De acuerdo con los datos de la gráfica, 3 es la preimagen de
A.
B.
C.
D.
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108
2
y
-1 -2 1 2 3
-3 -1 -2 3
-2
-3
1 2
2
101. El dominio de la función representada en la gráfica corresponde a
A.
B.
C.
D.
102. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función
corresponde a
A.
B.
C.
D.
103. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es
A.
B.
C.
D.
-4
-8
-6 5 -2 1 3
2
y
x
7
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109
104. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es
A.
B.
C.
D.
105. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función corresponde
a
A.
B.
C.
D.
106. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de es
A.
B.
C.
D.
8
-1
-5
6 4
2
y
x
f
2
-2
y
x
4 f
3
-2
y
x
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110
107. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de “f” es
A.
B.
C.
D.
108. ¿Cuál grafica puede representar el gráfico de una función con dominio ?
109. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es
A.
B.
C.
D.
-5
2
2
6
f
-3 -2
y
x
y y
y y
x
I.
x x
x
II.
III. IV.
-4
f
3
y
x
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111
2
110. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito o rango de la función “f” es
A.
B.
C.
D.
111. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es
A.
B.
C.
D.
112. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es
A.
B.
C.
D.
-2 2 -1 x
3 1
-1
f
y
-1
-3 3
4
3
y
-2 -1 x
1
f
-3 3 2
2
y
-2 -1 x 1
f
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112
113. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” corresponde
a
A.
B.
C.
D.
114. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es
creciente es
A.
B.
C.
D.
115. De acuerdo con los datos de la figura, un intervalo en que la función “f” es
creciente es
A.
B.
C.
D.
-2
2
3
y
3 4 -1
x
2
1 -1 2 -2
3 f
y
x
-2
-2
2
y
1
-1
x 2
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113
116. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica de la
función dada, ¿Cuál es el dominio de la función?
A.
B.
C.
D.
117. De acuerdo con datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es
estrictamente decreciente es
A.
B.
C.
D.
118. De acuerdo con datos de la gráfica, el dominio de la función “f” es
A.
B.
C.
D.
4
1
1 3
y
-1 x 2
-2 -1
2 1
f -1
6
2
y
x
-2 -1 3 1
f
2
y
x
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114
1
-1
119. De acuerdo con los datos de la grafica, un intervalo en que la función “f” es
estrictamente creciente es
A.
B.
C.
D.
120. Considere las siguiente gráfica de una función
De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es
A.
B.
C.
D.
121. La gráfica representa la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica, un
intervalo en que la función “f” es creciente corresponde a
A.
B.
C.
D.
4
-3
f
y
x
-2
2
3
f
y
x 2 1
f
3
2
3 4
4
y
x
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115
122. La gráfica representa de la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica,
se cumple que
A.
B.
C.
D.
123. La gráfica representa de la función De acuerdo con los datos de la gráfica,
considere las siguientes proposiciones.
I. El cero tiene dos preimágenes
II. El uno es un elemento del ámbito de “f”.
De ellas ¿Cuáles son Verdaderas?
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo la I
D. Solo la II
124. La gráfica representa de la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica,
el ámbito de la función “f” es
A.
B.
C.
D.
2 -2 -1 -3
f
x
2
1
1
3
1
y
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116
125. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, el dominio de la función
“ corresponde a
A.
B.
C.
D.
126. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la imagen de en “
corresponde a
A.
B.
C.
D.
127. De acuerdo con los datos de la grafica.
El dominio de la función corresponde a:
A.
B.
C.
D.
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117
128. De acuerdo con los datos de la grafica.
La función es estrictamente decreciente en el intervalo:
A.
B.
C.
D.
129.De acuerdo con los datos de la gráfica de la función.
-2
La función es creciente en el intervalo dado por:
A.
B.
C.
D.
Colegio Universitario Boston Funciones
118
130. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la función “ es
decreciente en el siguiente intervalo:
A.
B.
C.
D.
131. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función, en el siguiente
intervalo:
A.
B.
C. 4
D.
132. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, un intervalo donde
corresponde a:
A.
B.
C.
D.
Colegio Universitario Boston Funciones
119
De acuerdo con los datos de la grafica de la función , conteste los ítems 124,
125,126, 127.
124. El dominio de la función es:
A.
B.
C.
D.
125. La función tiene su parte constante en:
A.
B.
C.
D.
126. La preimagen de -1 es:
A.
B.
C.
D.
Colegio Universitario Boston Funciones
120
127. La imagen de es la siguiente:
A. 3
B. -1
C. 4
D. -2
De acuerdo con los datos de la grafica de la función , conteste los ítems 128, 129,
130.
128. El dominio de es el conjunto:
A.
B.
C.
D.
129. Para la función dada se cumple que que pertenece a:
A.
B.
C.
D.
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