P-1
Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2011
Quinto Grado de Secundaria
1. Se cumple que
p q =
V : si =F
F: si =V
p
p
además, el esquema molecular (∼ p → q) ∨ (∼ q ↔ r) re-
sultó falso. Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
I. (p c q) c r
II. r c q
III. [(r c q) c p] c (r c q)
A) VFFB) VFVC) FFVD) FFF
2. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias
li xi fi hi Hi
[ 2 - ⟩ a
[ - ⟩ 7
[ - ⟩ 4a 0,25
[ - ⟩ 16 7 0,75
[ - ] 4a
calcule la varianza.
A) 21,75B) 13,44C) 13,52D) 24,75
3. El número de toneladas de arroz que produce en una semana una empresa arrocera es una variable aleatoria discreta (x) cuya distribución de probabilidad es como sigue.
x P(x)
1 0,1 – k
2 2k – 0,02
3 2k+0,04
4 k
5 k – 0,02
6 3k
7 2k+0,02
8 k
La empresa arrocera recibe S/.400 por producir a lo más 2 toneladas y S/.500 por producir de 3 a 5 toneladas; S/.800 si produce más de 5 toneladas pero tiene un gas-tosemanalfijoencomprasdeherramientasdeS/.134.Calculelautilidadsemanalesperadadedichaempresa.
A) S/.500 B) S/.482C) S/.620 D) S/.605
4. Se quiere organizar un puente aéreo entre 2 ciudades conplazassuficientesdepasajeycargaparatransportara1600personasy96toneladasdeequipaje.Losavionesdisponibles son de 2 tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de uno del tipo A, que puede transportar a200personasy6toneladasdeequipaje,cuesta50000dólares; la contratación de uno del tipo B, que transporta a100personasy15toneladasdeequipaje,cuesta30000dólares. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?
A) 4 de A y 8 de BB) 11 de A y 2 de BC) 11 de A y 8 de BD) 6 de A y 4 de B
Tema
P
Prueba Final - Quinto Grado de Secundaria
P-2
5. Sea f una función
f xxx x x
( ) = −−
+− +
31
1
2 12
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. Posee inversa cuando x ∈ ⟨1; 2⟩ II. La función es creciente ∀ x ∈R–{1}
III. La función es impar.
A) VVV B) VVF
C) FFV D) VFF
6. Sea f una función f xax a
x( ) = + −
+1 22
; x ∈R – {2} además
f*=f; donde f*: la función inversa. Halle f*(4).
A) 1/4 B) 1/2
C) –1/2 D) –1/4
7. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda
I. La ecuación x – y4=4 ; x; y ∈Z , x:primotieneinfinitas
soluciones.
II. La ecuación x4+y4+z4=2002w; x ; y ; z ; w son enteros,
tiene una solución.
III. La ecuación x2+6xy+8y2+3x+6y=2; x; y ∈ Z tiene
cuatro soluciones.
A) VVF B) VVV
C) FFV D) FVF
8. Sea f(x) un polinomio de coeficientes enteros tal que
satisfacen f(0)=20. Además
f(x1)= f(x2)= f(x3)= . . . = f(xn)=2011 donde x1; x2, . . . xn son
enteros diferentes. Encuentre el máximo valor de n.
A) 3 B) 5
C) 8 D) 4
9. Sean (a1; a2; a3; . . . ;an) ∈⟨0; 1⟩ y además
tn a a a
a a ann
n=
+ + +· · . . .
. . .1 2
1 2 con log ( ) .a
i
n
itn n n M− −
=∑ 11
≥ ;
n ≥ 3.
Halle el máximo valor de M.
A) 1 B) 0
C) 2 D) –1
10. Si el sistema lineal
ax y z
x ay z a
x y az a
+ + =
+ + =
+ + =
1
2
2
3
no tiene solución, determine a2+a.
A) 1 B) 2
C) 4 D) 3
11. Dos regiones pentagonales convexas se intersecan y de-
terminan regiones poligonales como las sombreadas en
elgráfico.
Calcule el número de diagonales del polígono que limita
la región poligonal del máximo número de lados que se
formaalintersecardichasregiones.
A) 20 B) 27
C) 35 D) 44
12. Enunhexaedroregular(cubo)ABCD-EFGH, con centros en
A y G, se trazan los arcos de radios AE y GH, respectivamen-
te, que se intersecan en P. Calcule la m APG.
A) 90° B) 120°C) 135° D) 108°
13. Calcule la razón de volúmenes del cilindro de revolu-
ción y el octaedro regular P-ABCD-Q , inscrito en el cilin-
dro, de manera que PAB y QCD estén contenidos en las
bases.
A) 1π
B) 2
π
C) 3π
D) 2π
P-3
Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2011
14. Sea ABCD un tetraedro regular, tal que DH es la altura
relativa a la cara ABC y M es punto medio de DH. Calcule
la distancia de C al plano determinado por A, B y M, si la
arista del tetraedro tiene como longitud .
A) 2
B) 3
C) 23
D) 2
2
15.EnunprismahexagonalregularABCDEF-GHIJKL de vo-
lumen V calcule el volumen del tetraedro ADHK.
A) V9
B) 29V
C) V3
D) V6
16.Apartir del gráficoobtenga el valor deAC si CD=1 y
BC=2. Considere mDCB=θ.
45ºD
C
B
A
A) 52
+ senθ B) 52
2+ senθ
C) 52
− senθ D) 52
2− senθ
17. Calcule el valor de
csc10°+csc50°–csc70°.
A) 4 B) 6
C) 7 D) 8
18. Si x1 y x2 representan las dos menores soluciones po-
sitivas de la ecuación
5senx – 12cosx=–13sen3x
donde 1 < x2, calcule 2x1+x2.
A) π/2 B) 3π/4
C) π/3 D) π
19. Calcule el valor de
sen sen sen senπ π π π
10210
310
410
A) 516
B) 58
C) 5 18−
D) 5 14−
20. Un valor para x que cumple con la condición
52
3 3 552
0cos cosπ π+
+ −
=x x es
A) π
223
− arccos
B) π
212
23
− arccos
C) π
212
13
− arccos
D) π
213
− arccos
21. A partir de la ecuación
sen (sen cos )2 2 2 5x x x− + = calcule el valor de
cos (sen cos )2 2 2x x x+ +
A) –4 B) 4
C) 2 D) 2 2
Prueba Final - Quinto Grado de Secundaria
P-4
22. Si ABCD es un rectángulo con BC=12 y AB=5, determi-
ne el mínimo perímetro del paralelogramo MNPQ.
A) 13 2
B) 13
C) 26
D) 17
A
M
Q D
CNB
P
23. Calcule la suma de soluciones de la siguiente ecuación
2cos22x+cos2xsen3x+3sen22x=3
si x ∈ ⟨0; π⟩
A) 5π/2 B) 8π/5
C) 2π D) 3π
24. Si x; y representan números reales no nulos, determine el
máximo valor de la expresión
x x y
x y
2 2
2 24
4
− −+( )
A) 2 B) 2 2 1−( )C) 1 D) 2 1−
25. En un triángulo ABC se cumple
m m ABC ACB− = 23π
yelcircunradioesochoveces
el inradio. Entonces, senA2
será igual a
A) 1/3 B) 1/4
C) 1/6 D) 1/8
26. Las soluciones de una ecuación de quinto grado son
cos ,cos ,cos ,cos cos
π π π π π
10310
510
710
910
y
entoncesdichaecuaciónes
A) 8x5 – 20x3 – 5x=0 B) 16x5 – 20x3+5x=0
C) 16x5 – 20x3 – 5x=0 D) 16x5 – 8x3 – 5x=0
27. Determine el rango de la función f, si
f(x)=sen4x+cos4x – cos2x+14
sen22x
A) [0; 1] B) [0; 2]
C) [–2; 2] D) [1: 2]
28.Enelgráficosemuestraunacircunferenciaconcentro
en O y radio unitario, además el punto Q es tangente
con la semicircunferencia de diámetro BA. Si OD=2 y
DP= 3 , entonces la medida del ángulo APB es
O
P
Q
BD A
A) arctan2 3 B) arctan 3
C) arctan32
D) arctan 33
29. Encuentre el número de soluciones de la ecuación
senx+sen2x+sen3x+sen4x=cosx+cos2x+cos3x+cos4x
si x ∈ ⟨0; 2π⟩.
A) 3 B) 4
C) 5 D) 6
30. Si A, B y C son las medidas de los ángulos de un triángu-
lo, además se cumple
2tanB=tanA+tanC,
calcule el máximo valor de
cosA+cosC.
A) 3 29
B) 2
2
C) 3 24
D) 3 28
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