Congruencias y semejanzas de figuras planas
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
2
Son ideacutenticas
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura
A
EFACDFBCEDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
2
Son ideacutenticas
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura
A
EFACDFBCEDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura
A
EFACDFBCEDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Congruencia Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura
A
EFACDFBCEDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura
A
EFACDFBCEDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Triaacutengulos congruentes
Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura
A
EFACDFBCEDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura
A
EFACDFBCEDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno
son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Postulado AAL
Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Postulado LAL
Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Ejemplos
Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo
ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Ejemplos
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Ejemplos
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
TEOREMA DE THALES
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
21
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
FIGURAS SEMEJANTES
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionalesSon semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma
aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
SEMEJANZA
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
MLML
es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c ka b c
se llama razoacuten de semejanza
SEMEJANZA
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
28
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute
de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
ccacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =35
7 510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
ccacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y
halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
1278
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8 = 65
10 = 7812 = 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =Y
4Z5 = 3
1 =3
Escala de ampliacioacuten
X3 = 3
Y4 =3
Z5 =3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
5030
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten