Formulario De Cónicas
Cristobal López Silla - Licenciado En Matemáticas
Cónicas
Una cónica o sección cónica es un lugar geométrico que se obtiene al intersec-tar un plano con un cono.
Si el plano no pasa por el vértice se obtienen las cónicas no degeneradas: circunferencia, elipse,parábola e hipérbola.
Si el plano corta el vértice se obtienen las cónicas degeneradas: un punto, una recta generatriz delcono, dos rectas que se cortan en el vértice del cono.
Figura 1: Diferentes Cortes de un plano con un cono(1) Parábola (2) Elipse (arriba) y Circunferencia (abajo) (3) Hipérbola
Fuente Wikipedia1
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Circunferencia
Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijoy coplanario llamado Centro en una cantidad constante llamada Radio.
..diá
met
ro
.
Long. Arco
.radio.secante
.cu
erda
.tangente
Figura 2: Principales Elementos De La Circunferencia
Longitud Circunferencia: L = 2 · π · r
Longitud Arco Circunferencia: L =2 · π · r · α
360◦/α es el ángulo del arco.
Área Circunferencia: A = π · r2
Ecuaciones De La Circunferencia
Coordenadas Cartesianas: Sea C = (a,b) el Centro de la circunferencia y r su radio. Representa-mos la circunferencia de centro C y radio r en cartesianas como:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Si el centro es el origen de coordenadas se representa por:
x2 + y2 = r2
Si además, el radio es r = 1, se le denomina Circunferencia Unidad o Circunferencia Goniomé-trica x2 + y2 = 1.
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Desarrollemos (x − a)2 + (y − b)2 = r2 para obtener la Forma General de la Circunferencia:
(x − a)2 + (y− b)2 = r2 ⇒ x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by+ b2 = r2 ⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by+ b2 − r2 = 0
Definimos lo siguiente:A = −2a, B = −2b, C = b2 − r2
Lo sustituimos en la última expresión y obtenemos:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 → Forma General De La Circun f erencia
Ecuación Vectorial: De centro C = (a,b) y radio R, tal que θ ∈ [0, 2π[
−→r = (a + R · cos (θ) , b + R · sin (θ))
Ecuación Paramétrica: De centro C = (a,b) y radio r. Lo expresamos en forma de función:
f (t) = (a + r · cos(t), b + r · sin(t)) ∀ t ∈ [0,2π]
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Elipse
Lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de lasdistancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
..C.
b
.
-b
. a.-a .F1 . F2.c
.
a
.
b
.
P
.
x =a2
c.
D
. d
Figura 3: Principales Elementos De La ElipseÁrea: A = 2 · π · a · b
Elementos de una Elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a 2 ejes perpendiculares entre sí, queson los semiejes:Semieje Mayor: En la figura es el que va de -a hasta a. Su valor es 2 · a
Semieje Menor: En la figura es el que va de -b hasta b. Su valor es 2 · b
Si la elipse es vertical, entonces se tiene:Semieje Mayor: Va de -b a b. Su valor es 2 · bSemieje Menor:Va de -a a a. Su valor es 2 · aMiden la mitad de los ejes mayor y menor, respectivamente.Focos: Son 2 puntos que están a la misma distancia del centro de la elipse.
d(F1, C) = d(F2, C) ⇒ Distancia Focal
Dado un punto cualquiera P de la elipse, se cumple:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2 · a
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Si consideramos F1 = (−c,0), F2 = (c,0), siendo c = d(C,F1) = d(C,F2), la distancia de uno de losfocos al centro de la elipse. Se define:Distancia Focal: Es el valor 2 · cSe cumple la siguiente ecuación fundamental (Ver el triángulo de la figura 2):
a2 = b2 + c2
La fórmula cambia cuando la elipse es vertical a:
b2 = a2 + c2
No hace falta que la memorices, sólo hace falta que recuerdes el Teorema de Pitágoras.Excentricidad (ϵ): Indica la forma de la elipse, cuanto más cerca de cero más se parecerá a unacircunferencia. O lo que es lo mismo, si a = b ⇒ ϵ = 0 ⇒ Circun f erenciaϵ = c
a ; 0 ≤ ϵ ≤ 1
Como c =√
a2 − b2 ⇒ ϵ =√
a2−b2
a2 =√
1 − ( ba )
2
Directrices: ϵ =PFPD
Si definimos f = PF d = PD ⇒ ϵ =fa
ϵ =ad⇒ d =
aϵ⇒ d =
aca⇒ d =
a2
c
Luego la directriz para una elipse horizontal centrada en el origen es la recta vertical: x =a2
cSi el centro elipse es C(h, k) tenemos:
Directriz Elipse Horizontal: x = h +a2
c
Directriz Elipse Vertical: y = k +b2
c
Ecuaciones De La Elipse
Coordenadas Cartesianas: Consideremos el centro de la elipse por C = (x0,y0), con a,b sus semi-ejes. Se puede expresar la ecuación de la elipse en Cartesianas de forma explícita como:
(x − x0)2
a2 +(y − y0)
2
b2 = 1
Paramétricas: Si θ ∈ [0,2π[ Lo expresamos como función paramétrica:
f (θ) = (x0 + a · cos(θ), y0 + b · sin(θ))
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Parábola
Lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada,llamada Directriz, y a un punto exterior a ella llamado Foco.
..
vértice
.
eje
.lado recto.foco
.
directriz
Figura 4: Principales Elementos De La Parábola
Tomemos la siguiente nomenclatura:
V = (h,k) Vertice F = Foco p = d(F,V) → Distancia Focal R = Longitud Lado Recto
Lado Recto: Segmento de la parábola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.Foco Parábola Vertical: F = (h,k + p)Foco Parábola Horizontal: F = (h + p,k)Directriz Parábola Vertical: y = k − pDirectriz Parábola Horizontal: x = h − pPropiedad Del Lado Recto: R = 4 · p
La parábola es la única sección cónica que cumple que su excentricidad es 1,e = 1. Luego todas las parábolas son semejantes.
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Ecuaciones De La Parábola
Denotemos V = (xv, yv) el Vértice de una parábola cualquiera.
1. Vértice En El Origen Y Eje Vertical ⇒ y = a · x2
2. Vértice En El Origen Y Eje Horizontal ⇒ x = a · y2
3. Vértice No En El Origen y Eje Vertical ⇒ (y − yv) = a · (x − xv)2
4. Vértice No En El Origen y Eje Horizontal ⇒ (x − xv) = a · (y − yv)2
5. Forma Explícita y Eje Vertical ⇒ y = ax2 + bx + c
6. Forma Explícita y Eje Horizontal ⇒ x = ay2 + by + c
7. Forma Respecto Distancia Focal (p) ⇒ (x − xv)2 = 4p(y − yv)
Características De La Parábola
Consideremos la forma y = ax2 + bx + cSi a > 0 → Parábola hacia arriba, el vértice es un Mínimo.Si a < 0 → Parábola hacia abajo, el vértice es un Máximo.
Calcular Vértice: xv =−b2a
. Para calcular yv basta sustituir x por xv en y = ax2 + bx + c
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Hipérbola
Lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto dela diferencia a sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a ladistancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
...
..
y =x
.
y=−x
.
x = 1√2
.
x = −1√2
..
a
..
-a
..
C
..
F1
..
F2
.
−5
.
−4
.
−3
.
−2
.
−1
.
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
−5
.
−4
.
−3
.
−2
.
−1
.
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
Hipérbola x2 − y2 = 1
.
. ..x2 − y2 = 1
. ..y = x
. ..y = −x
.
SemiejesEs el segmento[−a, a] = [−1, 1]El otro semieje es ima-ginarioVértices(±a,0) = (±1,0)Focosc2 = a2 + b2 → c =
√2
F1(√
2,0) F2(−√
2,0)Excentricidade = c
a → e =√
2Asíntotasy = ± b
a x → y = ±xDirectricesx = ± a2
c → x = ± 1√2
Figura 5: Hipérbola Canónica x2 − y2 = 1
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Elementos De La Hipérbola
Si consideramos una hipérbola centrada en C = (h, k), tenemos lo siguiente:
Hipérbola Horizontal ⇒ (x − h)2
a2 − (y − k)2
b2 = 1
Hipérbola Vertical ⇒ (y − h)2
b2 − (x − k)2
a2 = 1
1. Semieje Hipérbola Vertical: Segmento [−b, b], el otro es imaginario.
2. Semieje Hipérbola Horizontal: Segmento [−a, a], el otro es imaginario.
3. Vértices Hipérbola Vertical: Puntos V(0, ± b)
4. Vértices Hipérbola Horizontal: Puntos V(±a, 0)
5. Distancia Focal Hipérbola: c2 = a2 + b2 → c =√
a2 + b2
6. Focos Hipérbola Horizontal: F(h ± c, k)
7. Focos Hipérbola Vertical: F(h, k ± c)
8. Excentricidad Hipérbola Horizontal: ϵ = ca
9. Excentricidad Hipérbola Vertical: ϵ = cb
10. Asíntotas Hipérbola Horizontal: y = k ± ba · x
11. Asíntotas Hipérbola Vertical: x = h ± ab · x
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12. Directrices Hipérbola Horizontal: x = h ± a2
c
13. Directrices Hipérbola Vertical: y = k ± b2
c
Ecuaciones De La Hipérbola
Denotemos el centro de una hipérbola por C = (h, k).
1. En Cartesianas Y Horizontal ⇒ (x − h)2
a2 − (y − k)2
b2 = 1
2. En Cartesianas Y Vertical ⇒ (y − h)2
b2 − (x − k)2
a2 = 1
3. Canónica Vertical ⇒ x2
a2 − y2
b2 = 1
4. Canónica Horizontal ⇒ y2
b2 − x2
a2 = 1
5. Paramétricas:
a) Tipo I: f (t) = (h ± a · cosh t, k + b · sinh t) ∀ t ∈ R
b) Tipo II: f (t) = (h + a · sec t, k + b · tan t) ∀ t
6. Compleja: | z − w1 | − | z − w2 |= 2 · l
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Bibliografía
[1] Wikipedia Cónicas.
[2] Wikipedia Circunferencia.
[3] Wikipedia Elipse.
[4] Wikipedia Parábola.
[5] Wikipedia Hipérbola.
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