Ejercicio Nº 17Elementos de la elipse
1º La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentesLas circunferencias focales Cf y Cf' de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a Es decir si desde un foco trazamos perpendiculares a la Cp se dibujan las tangentes a la elipse.En el otro lado el punto T es simetrico del foco F respecto a la tangente t, si unimos T con F' determinamos el punto M punto de tangente de la elipse y la recta t'
Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad
el lado menor AE en el mismo numero de partes.
E
4
321
1 2 3 4A B
C
O
D
Se une el extremo D del eje menor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4.
Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE 1,2,3,4.Donde se cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.
E
4
321
1 2 3 4A B
C
O
D
Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada
E
4
321
1 2 3 4A B
C
O
D
Ejercicio Nº 19Construcción de una elipse por envolventes Dados los ejes y los focosTrazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.
C
A B
O
D
F F'
La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.
C
A B
O
D
F F'
Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F' y se traza la perpendicular t por L a LF', la recta t es tangente a la elipse.
C
A B
O
D
E t
F
C
A B
O
D
E t
F F'
Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la figura.
Ejercicio Nº 20Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b.Dados los ejes
A B
C
D
O
Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores.Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.
A B
C
D
O
T'
T''T
Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise
A B
C
D
O
T'
T''T
Ejercicio Nº 21Construcción de una elipse dados una pareja de diámetros conjugadosDados una pareja de diámetros conjugados A’-B’ y C’-D’
A' B'
C'
D'
O
Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD1D' como el RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD1D'Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C1 D1 que corta en S a la Cp, por S la paralela D1-D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada
A' B'
C'
D'
D1
C1
OR
P
S
Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a continuación se traza la elipse
A' B'
C'
D'
D1
C1
OR
P
S
Ejercicio Nº 22Puntos de intersección de una recta con una elipseSea la elipse dada por sus elementos, focos, ejes y la recta r.
A B
C
O'
D
F F'
r
Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la focal y pasan por el otro foco, lo que tenemos que determinar son los centros de estas circunferencias.
A B
C
O'
D
F F'
2a
r
Trazamos la focal del foco F de radio 2a, se halla el simétrico de F' respecto a la recta r punto F'1 .
A B
C
O'
D
F F'
F'1
2a
r
Trazamos una circunferencia auxiliar cualquiera de centro O en la recta r, que corta a la focal en 1 y 2, la cuerda 1-2 y la recta F'-F'1 se cortan en el centro radical Cr.
A B
C
O'
D
F F'
F'1
2a
O
r1
2
Cr
Desde Cr trazamos las tangentes a la focal, que nos dan los puntos de tangencia T1 y T2
A B
C
O'
D
F F'
F'1
2a
OT1
r1
2
T2
Cr
Unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con F dando los puntos I1 e I2, que son los puntos de intersección de la recta con la elipse, a la vez son los centros de las circunferencias tangentes a la focal de F y que pasan por el otro foco F'
A B
C
O'
D
F F'
F'1
2a
OT1
r1
2
I1
I2
T2
Cr
Ejercicio Nº 23Hallar los ejes una elipse dada por una pareja de diámetros conjugados A'B' y
C'D'.
C'
B'
D'
A' O
Se une P con D' y se traza la circunferencia de centro O1 y diámetro PD', con centro en O1 y radio O1O se traza la semicircunferencia MON.Uniendo O con M y N se obtienen los ejes de la elipse buscada.
M
N
C'
B'
D'
A' O
PO1
La magnitud de los ejes es a = OH y b = OG que transportamos sobre cada uno de ellos respectivamente
M
NG
H
A
B
D
CC'
B'
D'
A' O
PO1
Ejercicio Nº 24 Circunferencia principal Tenemos una elipse dada por sus ejes y sus focos, una tangente t y los simétricos de F y F' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal F1 y F'1 Observamos que en el triángulo FF'1F', N es el punto medio del lado FF1 y O lo es del FF', en consecuencia OM será la paralela media y su longitud valdrá de FF'FF'= k = AA'; OM'= FF1' implica OM'= k =1/2AA'= OASiendo además FM perpendicular a la tangente por lo que; Los pies de las perpendiculares, trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual a denominada Circunferencia principal (Cp)La Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse
A B
C
D
OF F'
F1
F'1
T
M
t
Cp
Cf'
Cf
N
Ejercicio Nº 25Tangentes desde un punto P a una elipse utilizando la circunferencia principal
A B
C
D
OF F'
P
Unimos el punto P con el Foco F’ y con centro en 1 punto medio de PF‘, trazamos la circunferencia de diámetro PF'
A B
C
D
OF F'
Cp
P
1
Los puntos de corte con la Cp puntos M y N son los puntos por los que pasan las tangentes unimos estos con P y tenemos las tangentes t y t' a la elipse
A B
C
D
OF F'
M
Cp
P
1t
t'N
Determinamos los simétricos F' respecto a las tangentes puntos F1' y F2'. Unimos estos puntos con el otro foco F y determinamos los puntos de tangencia con la elipse T y T'
A B
C
D
OF F'
M
Cp
P
1t
t'N
F1'
F2'
T
T'
Ejercicio Nº 26Tangente a la elipse paralelas a una dirección dada d utilizando la circunferencia principal
F
C
OA
D
BF'
Por los puntos M y N de intersección con la Cp son los puntos por los que pasan las tangentes por estos puntos trazamos las paralelas a la dirección dada d.
F
C
OA
D
B
M
N
t
t'
F'
Hallamos los simétricos del foco F respecto de las tangentes t y t' puntos F1 y F2 .
F
C
OA
D
B
M
N
F1
F2
t
t'
F'
Unimos los puntos F1 y F2 con F' y determinamos los punto de corte con las tangentes puntos T y T' que son los puntos de tangencia con la elipse
F
C
OA
D
B
M
N
F1
F2
t
t'
F'
T
T'
Ejercicio Nº 27Construcción de la hipérbola por haces proyectivos. Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’
F' A B F
Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.
F' A B F N
PM
1
2
3
1 32 4
Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de MP los simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..
F' A B F N
PM
1
2
3
1 32
1'
2'
3'
4
4'
1'
1' 2'
2'
3'
3'4'
Se unen los puntos anteriores y tenemos la hipérbola buscada
F' A B F N
PM
1
2
3
1 32
1'
2'
3'
4
4'
1'
1' 2'
2'
3'
3'4'
Ejercicio Nº 28Determinar los puntos de intersección de una recta con una hipérbolaConocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta r que queremos conocer los puntos de intersección con la hipérbola
F A B F'
r
Trazamos la circunferencia auxiliar de centros E que pase por F y F'1 de radio cualquiera.
F A B F'
F'1
r
E
Unimos los puntos de corte de la circunferencia anterior con la focal puntos 1 y 2 y determinamos el Cr que es el punto de corte con la recta F' F'1
F A B F'
F'1
Cr
1
2
r
E
Desde Cr trazamos las tangentes a la focal y hallamos los puntos T y T',
T'
T
F A B F'
F'1
Cr
1
2
r
E
Unimos los puntos T y T’ con el foco F y determinamos los puntos I1 y I2 puntos de intersección de la recta con la hipérbola
T'
T
F A
O
B F'
F'1
Cr
1
2
I2
I1
r
E
Ejercicio Nº 29Trazar una hipérbola por envolventesTenemos una hipérbola definida por los vértices A y B y los focos F y F'.
A BO
F F'
Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M por el que pasa la asíntota t', la otra asíntota t es simétrica AM = AN
A BO
F F'
MCp
N
b
Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F’ y trazamos la perpendicular a 1F’ por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.
A BO
F F'
MCp
1
t'
N
T
T'
a
cb
Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación
A BO
F F'
MCp
1
t
t'
N
T
T'
a
cb
Repetimos la misma operación con otra recta que corta a las asíntotas en M y N, y determinamos el punto R igual que el C; NP = MR
D
C
O
A
P
MN
R
a a'
Se determinan todos los otros puntos restantes de la misma formatrazando rectas que pasen por el punto P o por los otros puntos hallados C, C’, R y R’
D
C
O
A
P
MN
R
a
a'
N'M'
R'
A'
D'
C'
Ejercicio Nº 31Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior P, mediante la circunferencia principal Cp. Se conocen el eje AB y los focos F y F' de la hipérbola, y un punto cualquiera P exterior a ella.
F'
A B
F
P
O
Unimos el punto P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF y centro O1 que corta a la Cp en los puntos M y N.
F'
A B
F
P
O
M
N
O1
Por los puntos M y N pasan las tangentes a la hipérbola unimos M y N con P y tenemos las tangentes t y t'Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que unidos con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'
F'
A B
F
P
O
M
N
O1
t't
Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que unidos con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'
F'
A B
F
P
O
M
NF1
F2 O1
TT'
t't
Ejercicio Nº 32Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada, mediante la circunferencia principal Cp.Conocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta d que nos da la dirección que queremos trazar las tangentes.
F A
O
B F'
d
Por F' trazamos la perpendicular a la dirección dada d que nos determina los puntos M y N, puntos por los que pasan las tangentes a la hipérbola paralelas a la dirección dada d, foco F que nos da los punto de tangencia T y T' con la hipérbola
F A
O
B F'
d
M
N
Cp
Trazamos estas tangentes t y t', por M y N y paralelas a la dirección dada d
F A
O
B F'
d
M
N
t
t'Cp
Hallamos los simétricos de F' respecto a las tangentes t y t' puntos F'1 y F'2.
F A
O
B F'
d
M
N
F'2
F'1 t
t'Cp
Unimos F'1 y F'2 con el otro foco F que nos da los punto de tangencia T y T' con la hipérbola
F A
O
B F'
d
M
N
F'2
F'1 t
T
t'
T'
Cp
Ejercicio Nº 33Trazar una parábola por envolventesTenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.
ejeFV
Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia focal de la parábola Cf.
ejeF
d
AV
Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal Cp
ejeF
d
AV
tv
Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una perpendicular por T.
ejeF
d
AV
tv
T
Repetimos la operación con otros puntos, y la parábola es la tangente a las perpendiculares.
ejeF
d
AV
tv
T
Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.
eje
P1 2 3 4 5 6N
La paralela por 6 y el rayo 6V se cortan en R. De la misma forma se obtienen los demás puntos
V
P
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6N
R
La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje
Veje
P
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
P654321
-6
-5
-4
-3
-2
-1
N
R
Ejercicio Nº 35Intersección de una recta con una parábola. Se conocen el eje y el foco F y la directriz de la parábola, y la recta r.
F
eje
d r
Hallamos el vértice de la parábola V y trazamos la tangente en el vértice tv que así mismo la circunferencia principal Cp.
V F
eje
d rtv
Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por F y F' de centro en el punto O.
V F
eje
d
F'
rtv
O
Prolongamos la recta FF' que corta a la directriz en el punto Cr, centro radical se traza la tangente Cr-T
V F
eje
d
F'
r
Cr
T
tv
O
Este segmento se lleva sobre la directriz con una circunferencia de centro Cr y radio Cr-T que nos determina los puntos A y B.
A
B
V F
eje
d
F'
r
Cr
T
tv
O
Por A y B se trazan las perpendiculares a la directriz que cortan a la recta r en los punto I y I' que son los puntos de intersección de la recta r con la parábola.
A
B
V F
eje
d
F'
r
Cr
T
tv
O
I'
I
Ejercicio Nº 36Determinación de una parábola conociendo dos tangentes y los puntos de tangencias en cada una . Conocemos las tangentes t y t' y los puntos de tangencia T y T'.
T
T'
t
t'
Unimos los puntos de tangencia y tenemos la recta T-T', hallamos el punto medio M de este segmento TT', unimos M y N y tenemos la dirección del eje que es la recta MN.
T
N
T'
t
t'
M
Dirección del eje
Tomamos un punto cualquiera P y por el trazamos las paralelas a las tangentes que cortan a estas en los puntos 1 y 2 se unen estos y determinamos la tangente t'' que es otra tangente a la parábola, determinamos el punto de tangencia trazando por P una paralela al eje que nos determina el punto T''.
T
N
T'
t
t'
M
Dirección del eje
PT''
t''
1
2
Si tomamos el punto M punto del eje de la parábola y por el trazamos las paralelas a las tangentes que cortan a estas en los puntos 3 y 4 se unen estos y determinamos el vértice V de la parábola Para determinar mas puntos se repite el procedimiento tomando puntos diferentes sobre la recta TT'.
T
N
T'
t
t'
M
Dirección del eje
PT''
t''
1
2
V
3
4
Ejercicio Nº 37Tangentes a la parábola desde un punto exterior P utilizando la tangente en el vérticeTenemos una parábola definida por el eje, vértice A el foco F '.
P
FA
Se traza la directriz d por B, FA = AB que como sabemos es perpendicular al eje (que es la circunferencia focal Cf de la parábola) a continuación por A trazamos la tangente en el vértice tv que es la circunferencia principal Cp.
d tv
P
FAB
Unimos P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF, que corta a la tangente en el vértice tv en los puntos M y M' puntos que pertenecen a las tangentes
d tv
P
FA
M
M'
B
Unimos P con M y M' puntos que pertenecen a las tangentes y tenemos las tangentes t y t' desde el punto P a la parábola.
d tv
P
FA
M
M'
t
t'
B
Unimos el foco F con los puntos M y M' y tenemos los punto F1 y F2 puntos de la directriz por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los puntos de tangencia con la parábola T y T'.
d tv
P
FA
M
M'
F1
F2
t
t'
B
Por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los puntos de tangencia con la parábola T y T'.
d tv
P
FA
M
M'
F1
F2
T
t
t'
T'
B
Ejercicio Nº 38Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada r utilizando la tangente en el vérticeDatos el eje, el foco F y el vértice A
FA
r
Por el foco trazamos la perpendicular a la dirección dada r que corta a la tangente en el vértice tv en el punto M y a la directriz en el punto F'.
FAB
tvd
r
90°
M
F'
El punto M es un punto de la tangente buscada por M trazamos una paralela a la dirección dada r y tenemos la tangente buscada.
FAB
tvd
r
90°
t
M
F'
Por el punto F' punto de corte de la perpendicular con la directriz trazamos otra paralela al eje que nos el punto T punto de tangencia con la parábola.
FAB
tvd
r
90°
t
M
F' T
Ejercicio Nº 39Construcción de la elipse por el método de los 12 puntos. Se conocen los ejes. Vemos el dibujo de la circunferencia, el punto M es la mitad del radio de la circunferencia (cuarta parte del lado AB)Si unimos E con B y el otro extremo del diámetro con M las rectas se cortan en un punto de la circunferencia
O
A BM
P
N
O
CD
E
Se dividen los lados en cuatro partes iguales el lado AB el punto M es la cuarta parte y el lado BC el punto N es también la cuarta parte, se procede igual en las otras mitades de los lados.
O
A BM
P
N
A BM
N
O
CD
E
E
D C
Se une M con el extremo del eje mayor punto 3 y el otro extremo E con el punto B y nos da el punto P punto de la elipse se repite la operación y tenemos cuatro puntos.
O
A BM
P
N
A BM
N
O
CD
E
E
D C
P
3
Se une N con el extremo del eje menor punto 6 y el otro extremo punto 12 con el punto C y nos da el punto 4, punto de la elipse.
O
A BM
P
N
A BM
N
O
CD
E
E
D C
P
12
6
4
3
Con los otros cuatro puntos extremos de los ejes tenemos los doce puntos que unimos y tenemos dibujada la elipse.
O
A B
P
N
A BM
N
O
CD
E
E
D C
P
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Ejercicio Nº 40Construcción de una parábola por tangentesConocemos el eje de la parábola, la tangente en el punto P a la parábola (PV).
P
V
eje
Se dividen PV y P'V en el mismo numero cualquiera de partes.
P
P'
V
12345678910
12
34
56
78
910
109
87
65
43
2
1
eje
Se numeran las dos tangentes correlativamente pero en orden inverso.
P
P'
V
12345678910
12
34
56
78
910
109
87
65
43
2
1
eje
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