Año/mes/día: 5/05/2020 Guía N° 2: NÚMEROS REALES Grado: 11° Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas WhatsApp Docentes/correo
3186990660 Lourdes Inés Ramírez [email protected]
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APRENDIZAJE
Utiliza las propiedades de los números reales para representar los diferentes conjuntos numéricos efectuando
operaciones con ellos y aplicándolos en el desarrollo de las situaciones problema que se plantean en las
pruebas por competencias.
CONTENIDO TEORICO
NÚMEROS REALES Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se
representa con la letra R.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada
de -1, o √-1.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS REALES.
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números que usualmente
utilizamos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra
mayúscula N.
Todos los números están representados por los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre
de números dígitos.
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Los números naturales se representan en una recta, del siguiente modo:
Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números opuestos. Esto incluye
los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos"
(-). Se designa por la letra mayúscula Z- y se representa como:
Z = {…….-9,-8,-7, -6,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …..} Z = Z- U {0} U Z+
Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los
enteros negativos.
Los números enteros nos sirven para:
Positivos: representar ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha.
Negativos: representar deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda.
Números racionales
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones inexactas.
Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las
fracciones. El co njunto de números racionales se designa con la letra Q y está formado por todos los números
que tienen la forma Q = {a/b, b ≠ 0}
Números irracionales
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en
el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I.
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números
irracionales:(raíces de los números primos)
En conclusión los números irracionales son todos los números decimales, infinitos no periódicos, tales como:
π= 3,141592…, e= 2.718281828459….,
√3: 1.73205080757…
INTERVALOS DE NUMEROS REALES
Son conjuntos de números reales que se encuentran comprendidos entre dos extremo a y b. Se clasifican en:
1. INTERVALO ABIERTO
Intervalo abierto (a,b), es el conjunto de todos los números reales mayores que y menores que b.
2. INTERVALO CERRADO
Intervalo cerrado [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que y menores o
iguales que .
3. INTERVALOS SEMIABIERTOS
Intervalo semiabierto por la izquierda (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que y
menores o iguales que .
Intervalo semiabierto por la derecha [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales
que y menores que .
Semirrectas x > a Se define como el siguiente conjunto:
X ≥ a Se define como el siguiente conjunto:
[ a, ∞) = {x є R/ a ≤ X < +∞}
x < a Se define como el siguiente conjunto: (-∞, a) = {x є R/ -∞ < X < a}
x ≤ a Se define como el siguiente conjunto:
Ej.1 NOTACION DE INTERVALOS (-3, 6]
NOTACION DE CONJUNTOS {x є R/ -3 < X ≤ 6}
REPRESENTACION GRAFICA
-3 6
Ej. 2 NOTACION DE INTERVALOS [- 5,4)
NOTACION DE CONJUNTOS {x є R/ - 5 ≤ X < 4}
REPRESENTACION GRAFICA
-5 4
EJ. 3 NOTACION DE INTERVALOS (8, ∞)
NOTACION DE CONJUNTOS {x є R/ 8 < X < ∞} = {x є R/ X > 8}
REPRESENTACION GRAFICA
8
OPERACIONES CON INTERVALOS
Para operar con intervalos se aplica las definiciones de las operaciones entre conjuntos, pero el trabajo se
realiza en la recta numérica para los números reales.
Al operar con intervalos el conjunto universal es el conjunto de los números reales.
1. UNIÓN DE INTERVALOS - Vídeo https://youtu.be/e2BXBbstJs0
Ejemplo:
Solución:
2. INTERSECCIÓN DE INTERVALOS Vídeo https://youtu.be/QogPqWHwSJ0
Ejemplo:
Solución:
3. DIFERENCIA DE INTERVALOS - Vídeo https://youtu.be/bLu5C6xEQUY
Ejemplo:
Solución:
4. COMPLEMENTO DE INTERVALOS - Vídeo https://youtu.be/84l4SPuwZPk
Ejemplo: Si A = [-3, 2) Calcular A'
Solución:
El complemento se interpreta como Lo que le falta al intervalo [-3, 2) para ser igual al conjunto de los números
reales.
A' = (-∞, -3) U [2, ∞)
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
Teniendo en cuenta los contenidos teóricos anteriores resuelva el siguiente taller.
TALLER DE NUMEROS REALES
NOMBRE: ___________________________________________GRADO_________ CODIGO_______
PREGUNTAS TIPO I. SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTAS. Las preguntas de este tipo
constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta entre las cuales debe escoger la que
considere correcta.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
María, Rosa, Andrea y Martha son cuatro
hermanas que decidieron rifar entre ellas una
muñeca que les regalaron, para ello utilizaron dos
dados los cuales serán lanzados hasta que la suma
de los puntos obtenidos en cada lanzamiento
coincida con los números que eligió cada una. Los
números elegidos fueron los siguientes:
MARIA : 2 y 4
ROSA : 3 y 12
ANDREA: 6 Y 8
MARTHA: 5 Y 10
1. La niña que tiene la mayor probabilidad de
ganar la muñeca es
A. MARTHA
B. ROSA
C. MARIA
D. ANDREA
2. De acuerdo con la probabilidad que ofrecen
los dados para obtener cada número elegido,
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
A. El número que tiene la mayor probabilidad
de obtenerse es el número 4.
B. La probabilidad de obtener el número 5
es igual a la probabilidad de obtener el 10.
C. La probabilidad de obtener el número 2 es
mayor que la probabilidad de obtener el
10.
D. El número que tiene la menor
probabilidad de obtenerse es el número 6.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 3 Y 4 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En un laboratorio, dos investigadores realizan
experimentos con cierto tipo de bacteria.
Para analizar su reproducción, introdujeron la
bacteria en un recipiente de vidrio a la 1:00 pm y
observaron que por cada minuto que pasa el
número de bacterias se duplica.
3. Si el recipiente se llena a las 2:00 pm, ¿a qué
hora las bacterias ocupaban la mitad del
recipiente?
A. 1:30 pm
B. 1:18 pm
C. 1:45 pm
D. 1:59 pm
4. Los investigadores encontraron que la
expresión B(t) = 2t establece la relación entre
el número de bacterias B y el tiempo t.
¿Cuántas bacterias contenía el recipiente
cuando transcurrieron 8 minutos?
A. 256
B. 128
C. 64
D. 16
Un “jumbo” es una figura que se construye
armando filas de fichas cuadradas, usando en cada
fila una ficha menos que en la base anterior.
Observa a continuación un “jumbo” con 6 fichas en
la base.
Si se unen las fichas necesarias para construir dos
“jumbos” de 6 fichas en la base, se puede formar
una figura como la siguiente.
5. A partir de esta figura es posible deducir que
la cantidad de fichas necesarias para
construir un “jumbo” de 6 fichas en la base es
igual a
A. La cantidad de fichas necesarias para
construir un cuadrilátero de 6 por 7.
B. La cantidad de fichas necesarias para
construir un cuadrilátero de 6 por 6.
C. La mitad de fichas necesarias para
construir un cuadrilátero de 6 por 6.
D. La mitad de fichas necesarias para
construir un cuadrilátero de 6 por 7.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 A 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN En un campeonato de banquitas, en el cual participan 4 equipos llamados A, B, C y D, se tiene la siguiente
tabla parcial de resultados, la cual está incompleta
Partidos Jugados
Partidos Ganados
Partidos Empatados
Partidos Perdidos
Goles a favor
Goles en contra
Puntuación
A 1 3 0
B 3 2 3
C 2 2 1
D 2 1 1 4
La puntuación se maneja de la manera siguiente
2 puntos para el equipo ganador
0 puntos para el equipo perdedor
1 punto para cada equipo en caso de empate
Cada equipo hasta el momento de elaborar la tabla ha jugado a lo más un partido contra cada uno de los demás
equipos. Además analizando los datos presentados en la tabla se observa que hay un error.
6. De acuerdo con los datos presentados en la tabla,
es posible afirmar que
A. A jugó un único partido, en el cual obtuvo 3
puntos
B. B al tener 3 puntos y haber jugado tres
partidos, obtuvo un empate, un triunfo y una
derrota
C. C jugó dos partidos y obtuvo un empate y una
derrota
D. En el partido que jugo A obtuvo 1 punto
7. Al tratar de completar la tabla, observamos que
A. D es el equipo con menos goles en contra B. B tiene 4 goles a favor C. D obtuvo un puntaje de 3 puntos D. C jugó dos partidos ganando uno de ellos 2 - 0 y perdiendo el otro 0 - 2
8. Un almacén distribuye computadores de dos
marcas (1 y 2). Durante el mes de diciembre uno
de sus vendedores vendió 60 computadores. Por
cada tres Computadores de la marca 1 vendió
dos de la marca 2.
Si recibió una comisión de $10.000 por cada
computador de la marca 1 y una comisión de
$20.000 por cada computador de la marca 2, la
comisión total que recibió en el mes de diciembre
fue
A. $60.000
B. $120.000
C. $840.000
D. $720.000
9. En un curso se le preguntó a cada uno de los
estudiantes el estrato al que pertenece su
vivienda:
Bajo (1), medio (2) o alto (3). Con esa información
se elaboró la siguiente tabla.
ESTRATO VIVIENDA
FRECUENCIA ABSOLTA (Nº
DE PERSONAS)
FRECUENCIA ACUMULADA
1 8 8
2 * *
3 6 35
No se incluyeron los datos correspondientes al estrato 2. ¿Qué porcentaje de los estudiantes del curso ubicaron su vivienda en el estrato 2? A.33% B.60% C.0.6% D. 21%
10. En la publicidad de una tienda aparece el siguiente letrero:
Si un padre de familia compra de contado 1 computador H.P para su hija María y 1 computador Sony para Juan ¿Cuál fue el
descuento total que le hicieron? A. $ 180.000 B. $ 960.000 C. $ 840.000 D. $ 1.800.000
11. Una de las siguientes afirmaciones es incorrecta:
A. Todo número entero es racional
B. Todo número entero es natural
C. Todo número racional es real
D. Todo número natural es entero
12. El número 3 + π corresponde a un número:
A. Racional
B. Natural
C. Irracional
D. Entero
13. Corresponde a un intervalo cerrado:
A. [-3,5)
B. {x є R/ 0 < X < 1}
C. {x є R/ 6 ≤ X ≤ 15}
D.
3
14. El intervalo ( -5,12] escrito en notación de
conjuntos es igual a :
A. {x є R/ -5 ≤ X ≤ 12}
B. {x є R/ -5 < X ≤ 12}
C. {x є R/ -5 < X < 7}
D. {x є R/ -5 ≤ X < 12}
15. La expresión {x є R/ - ∞ < X ≤ 10}, escrita en
notación de intervalos corresponde a:
.
A. [-∞, 10)
B. (-∞,10)
C. [-∞,10]
D. (-∞, 10]
16. Si A = [-3,5) y B = (2,∞), El resultado de
AUB es:
A. [-3,∞)
B. [-3,2)
C. (2,5)
D. (5,∞)
17. Teniendo en cuenta los anteriores
intervalos el resultado de A – B es:
A. [-3, ∞)
A. (2,5)
B. [-3,2]
C. [2, ,∞)
18. Si A = [-2,6] y B = (6,8] El resultado de A∩B es:
A. [-2,6)
B. [-2,8)
C. 6
D. O
19. Si A = [-3,∞) el complemento de A es:
A. [-3, ∞)
B. - ∞
C. 3
D. (- ∞, -3)
20. Si A = [-4,7) el complemento de A es:
A. [-4, ∞)
B. (- ∞, - 4) U [7, ∞)
C. [7, ∞)
D. (-∞, 4) U [- 7, ∞)
Recuerde:
TODOS LOS PUNTOS DEBEN TENER
PROCESO PARA SER VALIDOS
Todos los computadores Portátil tienen
un descuento del 30% si se pagan de
contado.
Costo computador H.P 3.200.000
Costo computador Lenovo 3.500.000
Costo computador Sony 2.800.000
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