Download - Controlclsicoymoderno Trabajoprctico Modelacindesistemas Funcindetransferenciaydigramasdebloque 140723201701 Phpapp02

Universidad Nacional de Misiones

Ingeniera Electrnica

Control Clsico y Moderno

Informe de Trabajo Prctico N 1

Modelacin de Sistemas. Funcin de Transferencia y

Diagramas de Bloques

Autores:

HOFF Romina A.

KRUJOSKI Matas G.

VIERA Juan R.

Grupo N 4

Profesores Responsables:

Dr. Ing. Fernando Bottern

Ing. Guillermo Fernndez

Ober, Misiones, 21/03/2014

ControlClsico y Moderno FI - UNaM TP N 1

HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 3 de 17

1)

En la Figura 1.1 se muestra un sistema resortemasaamortiguador. Este sistema

consta de una masa m, sujeta a un punto de apoyo superior a travs de un resorte de

coeficiente de elasticidad k y a un apoyo inferior a travs de un amortiguador de

constante de amortiguacin b. Existe adems una fuerza F(t) aplicada a la masa. Se

define una coordenada x a travs de la cual se desplaza la masa, as la distancia entre

el punto de apoyo y la masa queda representada por x(t). La distancia l0 corresponde a

la distancia entre el techo y el centro de m con el resorte en reposo.

a)Hallar la funcin de transferencia entre la entrada u(t) [F(t)] y la salida y(t) [x(t)].

b)Calcular los polos de la funcin de transferencia. M = 15 Kg; k = 225 N/m y los

siguientes valores de b: 350 N x s/m, 116 N x s/m y 14 N x s/m.

c)Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase (diagramas de Bode) de este

sistema para cada caso en el punto b.

Figura 1.1: Sistema Mas-Resorte-Amortiguador

Resolucin

a) La funcin de transferencia ser

() = () + () + () (1.1)

() = () (1.2)

() = () (1.3)

() = () + () + () (1.4)



Siendo la ecuacin 1.4 la ecuacin diferencial en el dominio del tiempo que representa

el comportamiento del sistema.

Transformando la ecuacin 1.4 del dominio del tiempo al de Laplace obtenemos la 1.6

= (), = () (1.5)

= (2 + + ) (1.6)

En la ecuacin 1.6 se consideran condiciones iniciales nulas.

Trabajando la 1.6 podemos obtener la funcin de transferencia en el dominio de

Laplace:

=

=

1

2 +

+

(1.7)

b)

Reemplazando los siguientes valores podemos obtener los polos:

= 15 _______

= 225 _____

1 = 350

2 = 116

3 = 14

1 =

1

15

2 +350

15 +

225

15

= 0.066

( + 0,66)( + 22,67)

(1.8)

2 =1/15

2 +116

15 + 15

= 1/15

( + 3,86 + 0,22)( + 3,86 0,22)

(1.9)

3 =1/15

2 +14

15 + 15

= 1/15

( + 0,46 + 3,8)( + 0,46 3,86)

(1.10)



Para el clculo del diagrama de BODE se utiliza el programa MATLAB con el

siguiente cdigo

clc % limpia la pantalla

clear all % borra todas las variables de la memoria

close all % cierra todos los procesos

b_1=70/3;

num_1 = [0, 0, 1/15]; % crea un vector para el numerador

den_1 = [1, b_1, 15]; % crea un vector para el denominador

sist_1 = tf( num_1, den_1) % crea la funcin de transferencia del

% sistema y la muestra en lnea de comandos.

Bode (sist_1,'o') % muestra el diagrama de bode del sistema.

hold on

b_2=116/15;





Bode (sist_2,'+') % muestra el diagrama de bode del sistema.

b_3=14/15;





Bode (sist_3,'*') % muestra el diagrama de bode del sistema

legend ('b_1=350 Ns/m','b_2=116 Ns/m','b_3=14 Ns/m')

El resultado se observa en las siguiente figura

Figura 1.2_ Comparacin de los resultados de los tres valores de b



Conclusiones

En este ejercicio podemos ver tres casos de amortiguamiento con solo cambiar el

factor de amortiguacin del dispositivo amortiguador, se muestra perfectamente en la

figura1.2 una disminucin de la amortiguacin hace cambiar la posicin de los polos y

en consecuencia la respuesta de Bode en la que se evidencia la falta de amortiguacin

en el tercer caso, donde deja de ser crtica y existe un sobre impulso en el sistema

completo.

(Resuelto por: Viera Juan)

2)

Un motor de corriente continua con excitacin independiente, cuyo circuito elctrico

est representado en la Figura 2.1, es controlado por la corriente de armadura,

mantenindose la corriente de campo. Este motor acciona una carga de momento de

inercia J. En este esquema se tiene: ( ) .f fi t I ctte

Te: par o torque electromagntico producido por el motor

Tc: par antagnico de la carga.

b: coeficiente de rozamiento.

Vb: fuerza contra electromotriz.

Ra: Resistencia de la armadura. La: Inductancia de la armadura.

Kt: constante de proporcionalidad entre el par motor y la corriente de armadura.

Kb: constante de proporcionalidad entre la velocidad angular y la tensin inducida.

ia: corriente en la armadura. va: tensin aplicada a la armadura (accin de control).

: desplazamiento angular del eje del motor

:velocidad angular del eje del motor.

Figura 2.1: circuito eltrico motor de cc-carga



a) Escriba las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinmico de

este sistema electromecnico.

b) Halle la descripcin entrada-salida de este sistema (funcin de transferencia) en el

dominio de Laplace suponiendo que la entrada, u(t), es la tensin de armadura va(t) y

la salida, y(t), es el desplazamiento angular (t). Dibuje el diagrama en bloques de

este sistema dinmico identificando los bloques relacionados al motor y a la carga.

c) Siendo Ra=20 , Kt=1 N.m/A, Kb=3 V.s/rad , J=0.5 N.m.s2/rad y b=0.01 N.m.s/rad.

Calcule las constantes de ganancia y de tiempo del motor y obtenga las races del

polinomio caracterstico.

d) Calcular los polos de la funcin de transferencia.

e) Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase (diag. de Bode) de este

sistema.

Resolucin

a)

El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales describe el comportamiento elctrico

(ecuacin 2.1) y mecnico (ecuacin 2.2) del motor.

2

2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

aa b a a a

e c

dI tV t V t I t R L

dt

d t d tJ T t T t b

dt dt

(2.1)

(2.2)

b)

En la ecuacin 2.1 reemplazando ( )

( )b bd t

V t Kdt

y aplicando transformada de Laplace

con condiciones iniciales (CIN) nulas, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )a b a a a aV s sK s I s R sL I s (2.3)

Considerando nulo el torque de carga Tc(t), reemplazando ( ) ( ) e t aT t K I t y despejando

la corriente de armadura, la ecuacin 2.2 resulta:

2

2

( ) ( )( ) =a

t t

b d t J d tI t

K dt K dt

(2.4)

Aplicando transformada de Laplace con CIN a la ecuacin 2.4 y reemplazando en la 2.3

se obtiene



2( ) = ( ) ( )at t

b JI s s s s s

K K (2.5)

2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a at t t t

b J b JV s sK s R s s s s sL s s s s

K K K K

(2.6)

Despejando (s) de la 2.6

2 2

( )( ) a

b a a

t t t t

V ss

b J b JsK R s s sL s s

K K K K

(2.7)

Despreciando la inductancia La debido a que el rgimen transitorio es pequeo, la

funcin transferencia resulta en 2.8.

2

( ) ( ) 1

( ) ( ) a aab

t t

u s s

R b R Jy s V ssK s s

K K

(2.8)

Operando algebraicamente la expresin 2.8 de forma de dejar la variable s2

multiplicada por uno, se llega a la ecuacin 2.9

2

/ /( )

( )

t a t a

a b t b t

a a

K R J K R Js

V s K K b K K bs s s s

R J J R J J

(2.9)

En la figura 2.2 se aprecia el diagrama de bloques de la dinmica del sistema.

1

aa

a

RL s

L

tK

1

bJ s

J

1

s

bK

( )aV s

( )bV s

( )aI s ( ) +eT s

( )

cT s

( )s ( )s

Figura 2.2: Diagrama de bloques del sistema



Donde el bloque 1

aa

a

RL s

L

representa el comportamiento del motor y el bloque

1

bJ s

J

describe el comportamiento de la carga.

c)

La funcin de transferencia general para un motor de corriente continua est dada por

la ecuacin 2.10. En ella Km representa la ganancia del sistema y Tm, la constante de

tiempo del motor.

( )

( ) 1

m

a m

Ks

V s s sT

(2.10)

Trabajando la expresin 2.9 para obtener la forma de la 2.10 se llega a la 2.11

/( ) 1

( ) ( )1

t a t

a b t ab t a a

a b t a

K R J Ks

V s K K R bK K R b R Js s s s

R J K K R b

(2.11)

Donde de la comparacin de las ecuaciones 2.10 y 2.11 vemos que la ganancia resulta

0.3125( )

tm

b t a

KK

K K R b

(2.12)

Y la constante de tiempo del motor es

3.125amb t a

R JT

K K R b

(2.13)

Finalmente, la ecuacin de transferencia resulta:

( ) 0.3125

( ) (3.125 1)a

s

V s s s

(2.14)

d)

Reemplazando los valores de las constantes en la ecuacin 2.9 obtenemos

( ) 1/10 1

0.1( ) 0.3 0.3a

s

V s s s s s

(2.15)

De la ecuacin anterior se aprecia que los polos de la funcin transferencia son:

{ = 0____ = 0,3

(2.16)

e)



El diagrama de Bode se observa en la figura 2.3

Figura 2.3:Diagrama de Bode

Dado que la funcin de transferencia posee un polo en el origen, este ocasiona la cada

de -20 dB por dcada en la grfica de magnitud, a la cual se le suma una cada de -40

dB debido al polo real negativo.

La grfica de fase resulta de la suma de una fase constante de -90 aportada por el polo

en el origen y una fase negativa que vara entre cero y -90 debida al polo en -0.3.

La grfica resultante es caracterstica de un filtro pasa bajos, esto concuerda con las

caractersticas del motor de corriente continua. En conclusin, el motor de cc acta

como un filtro pasa bajos.

(Resuelto por: Hoff Romina)

3)

Considere el sistema de control de temperatura mostrado en la Figura 3.1. El problema

es controlar la temperatura y dentro de la cmara. Esta cmara es calentada a vapor.

Elflujo de vapor caliente q es proporcional a la apertura de la vlvula x, o sea =

.La apertura x de la vlvula es controlada por un solenoide y se asume que es

proporcionala la corriente en el solenoide i(t), o sea = (). Se asume que la

temperatura de lacmara yy el flujo de vapor q estn relacionados por:

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



= + (3.1)

Donde c es uncoeficiente que depende del aislamiento de la cmara y de la diferencia

de temperaturaentre el interior y el exterior de la misma. Para simplificar el anlisis y

proyecto, seasume que c es una constante positiva. Esto significa que s no se

introduce vapor a lacmara la temperatura decrece con una tasa igual a .

a) Dibuje el diagrama de bloques del sistema desde la referencia r a la salida y. Halle

lafuncin de transferencia entre el flujo de calor q y la temperatura y.

b) La tensin de salida del amplificador de la seal de la termocupla es = 2y

laseal de error que ingresa al amplificador de entrada es = . Encuentre la

funcinde transferencia entre la entrada u(t) y la corriente del solenoide i(t).

Figura 3.1: Esquema del sistema

Resolucin

a)

En base al esquemtico del sistema presentado en la figura 3.1 y las ecuaciones

brindadas para la descripcin del mismo; se genera el diagrama de bloques exhibido en

la figura 3.2.



R(s) E(s) U(s) Q(s) Y(s)

V(s)

+-

K2

H (s)2

H (s)1

K1

Controlador Actuador Planta

Sensor

G (s)1

Figura 3.2: Diagrama de Bloques

Segn lo presentado en el diagrama precedente, la Funcin de Transferencia completa

del sistema a Lazo Cerrado, se puede obtener fcilmente mediante la expresin 3.2.

() =()

()=

1()

1 + 1() 2 (3.2)

Partiendo de la ecuacin diferencial presentada en 3.1, que describe la relacin entre la

temperatura de la cmara y el flujo de vapor, transformando la misma a travs de

Laplace se tiene lo exhibido en 3.3.

[ () (0)] = () + () (3.3)

Teniendo en cuenta que la definicin de funcin transferencia exige analizar el sistema

con condiciones iniciales nulas, se elimina el segundo trmino del primer miembro de la

igualdad presentada. As, operando algebraicamente se arriba a la expresin 3.4.

() ( + ) = () (3.4)

Finalmente, operando para obtener la funcin transferencia entre la temperatura de la

cmara y el flujo de calor, respetando la nomenclatura definida en la Figura 3.2, se

obtiene la expresin dada en 3.5.

2() =()

()=

+

(3.5)



b) Planteando la sumatoria de las cadas de potencial elctrico en la malla dada

entre el amplificador de salida y el solenoide que comanda la vlvula, exhibidos en la

Figura 3.1, se obtiene la expresin 3.6.

() () ()

= 0 (3.6)

Transformando por Laplace la ecuacin precedente, y operando se obtiene:

() = () + [ () (0)] (3.7)

Recordando que la funcin transferencia se define con condiciones iniciales nulas, la

ecuacin 3.7 puede ser operada y as arribar a lo presentado en 3.8.

() = () ( + ) (3.8)

As, operando algebraicamente para obtener la transferencia entre la entrada y la

corriente sobre el solenoide, se obtiene la expresin 3.9.

()

()=

1

+ (3.9)

Las expresiones obtenidas, ecuacin 3.5 y 3.9, son pasos intermedios para llegar a la

funcin transferencia global del sistema a lazo cerrado. Para obtener dicho resultado,

debe continuarse operando con las expresiones disponibles y finalmente aplicar la

ecuacin 3.2.

(Resuelto por: Krujoski Matas)

4)

Considere un motor CC alimentado por la armadura como se muestra en la Figura 4.1,

que acciona una carga a travs de un tren de engranajes que permite reducir la

velocidad y aumentar el momento de torsin necesario para impulsar la carga. El

momento de torsin total incluyendo rotor, eje y engranaje primario, est dado por J1 y

el coeficiente de friccin relacionado a este eje es b1; y aquellos correspondientes a la

carga son J2 y b2.

a) Encuentre la funcin de transferencia entre u(t) y 2(t).

b) Cul es la funcin de transferencia entre Va(t) y d 2(t)/dt?



Figura 4.1: Sistema motor CC-carga

Resolucin

a)

Primeramente se procede a plantear las ecuaciones en el dominio del tiempo de la

parte elctrica ms las partes mecnicas.

2

1 11 2 12

2

2 22 2 2 2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 2

( ) ( )( )

ab a a a

e

dI tu t V t I t R L

dt

d t d tJ T t T t b

dt dt

d t d tT t b J

dt dt

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Adems de estas ecuaciones se plantean las siguientes

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

e a t

e

T t I t K

T t T t T t

(4.4)

(4.5)

1( )( )b td t

V t Kdt

(4.6)

Realizando la transformada de Laplace (considerando condiciones iniciales nulas, CIN)

de las ecuaciones 4.1, 4.2, 4.3 y 4.6 y reemplazando T2(s) en la ecuacin 4.2

transformada, se tienen las siguientes ecuaciones.

1

1

2

2 2 2 2 2

2 2

1 1 2 2 2 2 1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

b t

t a a a a

e

V s K s s

u s K s s I s R L sI s

T s b s s J s s

J s s T s b s s J s s b s s

(4.7)

(4.8)



(4.9)

(4.10)

Los pares T1 y T2 se relacionan por medio de los desplazamientos angulares 1y 2 y

por el nmero de dientes de los engranajes reductores, N1 y N2. Esta relacin se

expone a continuacin.

1 2 1 21 2

2 1 2 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

T t t N Ns s

T t t N N

(4.11)

Y transformando por Laplace la 4.4 tenemos

( ) ( )e a tT s I s K (4.12)

Reemplazando las ecuaciones 4.11 y 4.12 en la 4.10, obtenemos la relacin entre la

corriente de armadura y el desplazamiento angular de la carga, como se ve en la 4.13

2 22 21 2 2 1

1 1

2

2

1 2 1 2 2 1 1 2

2

1

2

( ) ( )

( ) ( 2 ) ( )

a

t

t

N NJ s b s J s b s

N NI s s

K

J N N J s b N b N ss

K N

(4.13)

Finalmente reemplazando las ecuaciones 4.11 y 4.13 en la 4.8 se encuentra la funcin

de transferencia entre u(s) y 2(s)

21 2 1 2 2 1 1 222 2

1 1

( ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )t a a

t

J N N J s b N b N sNu s K s s R L s s

N K N

(4.14)

2

2

1 2 1 2 2 1 1 22

1 1

( ) 1

( ) ( ) ( 2 )( )t a a

t

s

u s J N N J s b N b N sNK s R L s

N K N

(4.15)

En la ecuacin 4.15, se multiplica al numerador y al denominador por KtR1 llegando a la

4.16



12

2

2 1 2 1 2 2 1 1 2

( )

( ) ( ) ( ) ( 2 )

t

t t a a

K Ns

u s K K N s R L s J N N J s b N b N s

(4.16)

Despreciando la inductancia La dado que el transitorio en el que acta el inductor es

pequeo, la funcin transferencia resulta

12

2

1 2 1 2 2 1 1 2 2

( )

( ) ( ) ( 2 )

t

a a t t

K Ns

u s s R J N N J s R b N b N K K N

(4.17)

Se observa de la ecuacin 4.17 que la funcin transferencia entre la entrada u(s) y la

posicin angular 2(s) es de segundo orden. Adems, posee un polo en el origen y un

polo real simple.

b)

Para hallar la funcin de transferencia entre la tensin de entrada Va(t)=u(t) y la

velocidad angular (t)=d(t)/dt. Por propiedades de la transformada de Laplace de la

derivada, considerando CIN, se tiene que:

22

( )( )TL

d ts s

dt

(4.18)

Por lo que la funcin transferencia resulta

12

1 2 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( 2 )

t

a a t t

K Ns s ss

u s u s s s R J N N J R b N b N K K N

(4.19)

1

1 2 1 2 2 1 1 2 2

( )

( ) ( ) ( 2 )

t

a a t t

K Ns

u s s R J N N J R b N b N K K N

(4.20)

En la ecuacin 4.20 se observa la funcin de transferencia final entre u(t) y d2(t)/dt,

esta funcin presenta un nico polo real simple.

Comparando con la funcin de transferencia del punto a, ecuacin 4.17 con la obtenida

en la 4.20 vemos que se ha reducido un grado el polinomio del denominador. Por lo

que esta ltima resulta de menor orden que la primera.



Para realizar un anlisis de la estabilidad del sistema, conociendo los valores de las

constantes, se tendr que recurrir al diagrama de Bode o criterios de estabilidad de

Nyquist

(Resuelto por: Hoff Romina)