Convergencia y Divergencia en Series
Matematicas DiscretasAbelardo Rodríguez González
Convergencia y Divergencia
Convergencia.-Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.
Divergencia.-Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Criterios de Convergencia y Divergencia:
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).
CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA
Se dice que una serie infinitaes convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es,
El número S es la suma de la serie.
Si no existe, se dice que
la serie es divergente.
1kka
SSn
Lima n
kk
1
nSn
Lim
PRUEBAS DE COMPARACIÓN
En las pruebas de comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie conocida que sabemos puede ser convergente o divergente y a partir de ello, llegar a alguna conclusión con respecto a la serie dada.
TEOREMA Suponga que y son series
de términos positivos.Entonces:
Si converge y an<bn para toda n, entonces también converge.
Si diverge y an>bn para toda n, entonces también diverge.
1kka
1kkb
1kkb
1kka
1kkb
1kka
PRUEBA DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE
Suponga que y son series con términos positivos.
Si: donde c es un número finito y c>0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.
1kka
1kkb
cb
a
n
Lim
n
n
PRUEBA DE LA RAÍZ Si , entonces la serie
es absolutamente convergente (y, en consecuencia, convergente).
Si o , entonces la serie es divergente.
1
Lan
Limn
n
1nna
1
Lan
Limn
n n
nan
Lim
1nna
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