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Indice general

I Corriente Alterna Monofasica VII

1. Introduccion 11.1. Campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Acciones del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Generacion de fuerzas electromotrices . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Ley de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Deduccion de la fuerza electromotriz senoidal . . . . . . . . . 41.4. Movimiento rectilneo de un conductor en un campo magnetico . . . . 51.5. Variables en corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1. Intensidad de corriente electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2. Tension, diferencia de potencial o cada de potencial . . . . . . 61.5.3. Potencia y energa electricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Aparatos de medida electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.1. Voltmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2. Ampermetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.3. Vatmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Circuitos Monofasicos 112.1. Circuito Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Tipos de circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Elementos Pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2. Inductancia o Bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3. Condensador. Capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Elementos activos. Fuentes o generadores . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1. Generadores de tension ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2. Generadores de tension real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3. Generadores de corriente ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.4. Generadores de corriente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.5. Fuentes o generadores dependientes . . . . . . . . . . . . . . . 18

i

Indice general

2.4. Onda senoidal: generacion y valores asociados . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1. Desfase entre ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Valores asociados a una corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.1. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.2. Valor ecaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.3. Formas de representacion de las magnitudes senoidales . . . . 23

2.5.4. Operaciones con magnitudes senoidales . . . . . . . . . . . . . 25

2.6. Impedancia y admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.1. Reactancia inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.2. Reactancia capacitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.3. Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.4. Admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7. Convenio de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Analisis de redes 33

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Leyes basicas en el analisis de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1. Leyes de Kirchho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2. Eleccion de las ecuaciones independientes para la aplicacionde las leyes de Kirchho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Asociacion de elementos pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1. Asociacion serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.2. Asociacion paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.3. Divisores de tension e intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.4. Conexion y equivalencia estrella { triangulo . . . . . . . . . . 42

3.4. Asociacion de elementos activos (fuentes) . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1. Fuentes de tension ideal en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.2. Fuentes de intensidad ideal en paralelo . . . . . . . . . . . . . 46

3.5. Transformacion de fuentes de tension e intensidad reales . . . . . . . 47

3.6. Analisis de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.1. Numero de ecuaciones necesarias . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.2. Metodo de las mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.3. Metodo de los nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.4. Teorema de superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6.5. Teoremas de Thevenin y Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.6. Teorema de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7. Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8. Relacion fasorial entre tension e intensidad . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.9. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.9.1. Circuito serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.9.2. Circuito paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ii

Indice general

4. Potencia y Energa 794.1. Efecto Joule de una corriente alterna senoidal . . . . . . . . . . . . . 794.2. Potencia en circuitos de corriente alterna senoidal . . . . . . . . . . . 794.3. Potencia uctuante y potencia aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4. Potencia activa y potencia reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5. Triangulo de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6. Teorema de Boucherot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7. Factor de potencia. Perdida de potencia en las lneas . . . . . . . . . 864.8. Mejora del factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.9. Teorema de maxima transferencia de potencia . . . . . . . . . . . . . 93

A. Problemas propuestos 97

iii

Indice general

iv

Indice de guras

1.1. Rotacion de una espira en un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Espira en un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Espira en movimiento en un campo magnetico uniforme . . . . . . . . . . 41.4. Movimiento rectilneo de un conductor en un campo magnetico . . . . . . 51.5. Corriente electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Corriente electrica en un lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. Diferencia de potencial hidraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8. Diferencia de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9. Medida mediante voltmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.10.Medida mediante amperimetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11.Medida mediante vatmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Excitacion continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Excitacion alterna senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Smbolos de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Smbolos de inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Smbolos de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6. Smbolo y graca de un generador de tension ideal . . . . . . . . . . . . 172.7. Smbolo y graca de un generador de tension real . . . . . . . . . . . . . 182.8. Smbolo y graca de un generador de corriente ideal . . . . . . . . . . . . 182.9. Smbolo y graca de un generador de corriente real . . . . . . . . . . . . 192.10. Onda de tension senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11. Angulo de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12. Desfase entre ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.13. Valor medio de un semiperiodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.14. Valor ecaz de un periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.15. Vector giratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.16. Triangulo de impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.17. Convenio de signos en corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.18. Convenio de signos en corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1. Ejemplo de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Ejemplo de malla mas compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

v

Indice de guras

3.3. Asociacion en serie de elementos pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. Asociacion de elementos pasivos en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5. Transformacion de fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6. Ejemplo de circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7. Corrientes de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.8. Circuito ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.9. Nudo de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.10. Teorema de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.11. Teorema de Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.12. Teorema de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.13. Caso particular del Teorema de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.14. Resumen de casos posibles para la relacion fasorial entre tension e intensidad 733.15. Circuito serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.16. Resonancia en serie (tensiones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.17. Circuito en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.18. Distribucion de corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.19. Resonancia paralelo (corrientes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1. Circuito de muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2. Potencia instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3. Potencias uctuante y constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4. Triangulo de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5. Circuito serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6. Circuito paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7. Esquema vectorial para la mejora del factor de potencia . . . . . . . . . . 914.8. Uso de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.9. Maxima transferencia de potencia (Rc variable) . . . . . . . . . . . . . . 944.10.Maxima transferencia de potencia (Zc) variable. . . . . . . . . . . . . . . 95

vi

Parte I

Corriente Alterna Monofasica

vii

CAPITULO 1

Introduccion

1.1. Campo magnetico

Una carga electrica en movimiento produce en el espacio circundante un estadoespecial, caracterizado por la presencia de fenomenos magneticos. A este espacio,magneticamente activo, se le denomina campo magnetico. En resumen, podemosdecir que el campo magnetico es la zona de inuencia creada por una carga electricaen movimiento. Las primeras observaciones conocidas sobre campos magneticoscreados por corrientes fueron las de Oersted, quien en 1820 observo que una corrienteelectrica que circula por un conductor rectilneo provocaba la desviacion de una agujaimantada. Despues, Ampere, en 1820, dijo que las corrientes que circulan por barrasimantadas generan lneas de fuerza circulares en planos perpendiculares al eje de lasbarras. O sea, que un conductor rectilneo por el que circula una corriente electricagenera un campo magnetico cuyas lneas de fuerza son circunferencias con centroen dicho conductor y situadas en planos perpendiculares al mismo. El sentido delas lneas de fuerza del campo magnetico resultante viene dado por la \regla delsacacorchos".

Regla del sacacorchos : si este se hace girar en el sentido de las lneas de fuerzadel campo, el sentido de la corriente sigue el de avance del sacacorchos.

1.2. Acciones del campo magnetico

La importancia del campo magnetico estriba, sobre todo, en dos clases defenomenos fundamentales:

Obtencion de tensiones electricas (fuerzas electromotrices).

Produccion de fuerzas mecanicas.

1

Captulo 1. Introduccion

A

B

Figura 1.1: Rotacion de una espira en un campo magnetico

1.2.1. Generacion de fuerzas electromotrices

Una corriente electrica genera un campo magnetico y viceversa, un campomagnetico puede crear una corriente o tension electrica. En efecto, si se colocauna espira en un campo magnetico representada por dos posiciones, A y B (gura1.1), en la posicion A la atraviesa el mayor numero posible de lneas de fuerza delcampo mientras que en la posicion B no la atraviesa ninguna lnea de campo. Siconectamos los extremos de la espira a un voltmetro comprobaremos que, mientrasque la espira no se mueva, sea cual sea su posicion (A, B u otra cualquiera) elvoltmetro marcara cero, o sea, no se produce fuerza electromotriz (fem) alguna. Sila espira gira alrededor de su eje, el voltmetro marcara una desviacion. Por tanto,podemos deducir que si una espira gira dentro de un campo magnetico, en ella seinduce una fem.

Tambien se puede obtener una fem haciendo que la espira permanezca estaticay modicando el campo, se puede comprobar que el voltmetro marcara unadesviacion.

Por ultimo, si la bobina se coloca en la posicion C (gura 1.2), al modicarel campo, el voltmetro marcara un cierto valor, que siempre es menor que el quemarcara en la posicion A; o sea, que la fem inducida estara comprendida entre = 0o (mnima) y = 90o (maxima).

El ujo concatenado a la espira viene en funcion del area que atraviesa dichaespira:

= B S (1.1)siendo:

el ujo magnetico

2

1.3. Ley de induccion

Figura 1.2: Espira en un campo magnetico

B la induccion magnetica

S = S cosS la supercie de la espira

1.3. Ley de induccion

Hemos visto que en toda espira se produce una fem cuando el ujo concatenado(de alguna u otra forma) a la espira vara. Dicha fem vara con el tiempo y esarelacion viene reejada en la expresion:

e = ddt

(1.2)

que es la llamada ley de induccion electromagnetica para una espira; en donde dt esel elemento diferencial del tiempo y d, la variacion del ujo.

La ley de induccion se puede enunciar de forma sencilla como: en toda espira seinducira una fem cuya magnitud es igual a la variacion del ujo concatenado a laespira respecto al tiempo. El signo menos indica que la corriente producida por lafem tiende a oponerse a la variacion del ujo (ley de Lenz).

Si en vez de tener una espira se dispone de N espiras, la fem total es la suma delas .ee.mm. de las espiras individuales:

e = N ddt

(1.3)

Si el ujo concatenado con las espiras no es el mismo para todas ellas, el ujototal (T ) sera:

T =X

i (1.4)

3


Figura 1.3: Espira en movimiento en un campo magnetico uniforme

Obteniendose entonces:

e = dTdt

(1.5)

que constituye la forma mas general de la induccion electromagnetica.

1.3.1. Deduccion de la fuerza electromotriz senoidal

Si en un campo magnetico uniforme y constante disponemos de una bobina consus N espiras moviendose a una cierta velocidad angular ! (gura 1.3), llamamos Tal perodo (tiempo que tarda la espira en dar una vuelta completa) y f la frecuencia(numero de vueltas en un segundo, expresada en Hz o ciclos/s). Partiendo de laposicion inicial horizontal, el angulo de giro valdra:

= 2t

T= 2ft (rad) (1.6)

! =

t= 2f (rad/s) (1.7)

El ujo atravesado por la espira en un instante es:

= M cos!t (1.8)

donde M es el ujo maximo abarcado por la bobina en el instante inicial (t = 0; = 0).

Segun la ley de Faraday, la fem inducida es:

e = N ddt

= NM! sen!t (1.9)

4

1.4. Movimiento rectilneo de un conductor en un campo magnetico

Figura 1.4: Movimiento rectilneo de un conductor en un campo magnetico

Si EM = NM!, entonces

e = EM sen!t (1.10)

o sea, se obtiene una tension alterna senoidal, donde EM es el valor maximo de lafem

1.4. Movimiento rectilneo de un conductor en un

campo magnetico

Sea una espira que se mueve uniforme y perpendicularmente a la lneas de uncampo magnetico homogeneo (gura 1.4). Para un cierto desplazamiento s, el ujocortado por la espira, cuya supercie vale S = sl, vara en un cierto valor:

= BS = Bsl (1.11)

donde B representa la induccion del campo incidente en el plano de la gura 1.4.

La fem e (sin tener en cuenta el signo) sera:

e =d

dt= Bl

ds

dt= Blv (1.12)

siendo v la velocidad constante del desplazamiento.

El sentido de e viene determinado segun la ley de Lenz y sera el se~nalado en lagura 1.4.

El sentido de la fem se puede determinar siguiendo la regla de la mano derecha,que dice que colocando la mano derecha abierta de modo que las lneas del campoincidan sobre la palma de la misma y con el dedo pulgar extendido marcando elsentido del movimiento del conductor los restantes dedos alineados se~nalan el sentidode la fem

El desarrollo de la fem tiene importancia fundamental en generadores y motores.

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Figura 1.5: Corriente electrica

1.5. Variables en corriente alterna

1.5.1. Intensidad de corriente electrica

La materia se compone de atomos, que a su vez estan formados por peque~naspartculas subatomicas; de estas, algunas presentan propiedades electricas: losprotones del nucleo (cargas +) y los electrones de la periferia (cargas -).

Si disponemos de dos cuerpos cargados electricamente (que tienen exceso dealgun tipo de carga) y se unen mediante un conductor electrico (por ejemplo, unhilo metalico) se establece un movimiento de cargas electricas, tendiendo a igualar lacarga electrica en ambos cuerpos. Este movimiento se denomina corriente electrica.

La circulacion de la corriente electrica en metales es debida al movimiento de loselectrones en su seno y se dene el sentido de la corriente como el contrario al decirculacion de los electrones (gura 1.5).

Si tenemos una corriente electrica circulando en un lquido esto puede ser debidotanto al movimiento de las cargas positivas como negativas (normalmente iones). Elsentido de corriente es el que tiene las cargas positivas (o sea, al contrario de lasnegativas) (gura 1.6).

La intensidad de corriente electrica se dene como la cantidad de energa electricaque atraviesa una supercie por unidad de tiempo. Se mide en amperios (A).

i (t) =dq (t)

dt(1.13)

donde q(t) es la carga electrica en culombios (C) y t, el tiempo en segundos (s).Por lo tanto la unidad de intensidad valdra:

Amperio (A) =Culombio ( C)

segundo ( s)(1.14)

1.5.2. Tension, diferencia de potencial o cada de potencial

Como ya se ha dicho, la corriente electrica es una circulacion de cargas. Podemosintentar comparar esta circulacion con el movimiento de un lquido en una tubera,

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1.5. Variables en corriente alterna

Figura 1.6: Corriente electrica en un lquido

Figura 1.7: Diferencia de potencial hidraulico

donde la intensidad se puede comparar con el caudal.En forma material, un lquido que baja por una tubera de un deposito a otro; lo

hace con mas o menos caudal en funcion de la diferencia de altura entre los lquidosde los dos depositos (gura 1.7). La magnitud electrica que hace que la corrienteque circula por un mismo conductor entre dos puntos tenga un valor u otro es ladiferencia de potencial (d.d.p.) entre dos puntos, o tension de un punto respecto aotro, o cada de potencial (c.d.p.) de un punto respecto a otro (gura 1.8).

La d.d.p., c.d.p. o tension representa la disponibilidad energetica del sistema yaque es la cantidad de energa involucrada en el paso de una unidad de carga entredos puntos, de partida y llegada. Se mide en voltios (V).

Se verica que, por un mismo conductor, la intensidad que circula es directamenteproporcional a la d.d.p. aplicada entre sus extremos:

UABIAB

= cte

A menudo, a la tension se le llama fem

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Figura 1.8: Diferencia de potencial

Tambien se puede decir que la tension o d.d.p. entre dos puntos A y B, es eltrabajo realizado al mover la carga entre esos dos puntos.

UAB =dE

dq(1.15)

donde E es la energa y q, la carga electrica.Por lo tanto la unidad de tension valdra:

V oltio (V ) =Julio ( J)

Culombio ( C)(1.16)

1.5.3. Potencia y energa electricas

La potencia (energa por unidad de tiempo) que se consume en un circuitoelectrico es el producto de la tension de alimentacion por la corriente que circula.La unidad es el vatio (W)

p (t) =dE

dt= u (t) i (t) (1.17)

De la expresion anterior se deduce que la unidad de potencia electrica valdra:

V atio (W) = V oltio (V) Amperio (A)

La energa sera:

E = p (t) dt = u (t) i (t) dt (1.18)

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1.6. Aparatos de medida electricos

Figura 1.9: Medida mediante voltmetro

y su unidad es el Julio( J)

Julio ( J) = V atio (W) segundo ( s) (1.19)

Por otra parte debemos recordar que el principio de Conservacion de la Energadice que la energa absorbida es igual a la energa generada y, de forma paralela,tambien, la potencia absorbida es igual a la potencia generada.

1.6. Aparatos de medida electricos

Las unidades de las variables estudiadas anteriormente se pueden medir mediantediferentes aparatos de medida. A continuacion vamos a ver los mas importantes.

1.6.1. Voltmetro

El voltmetro es un aparato que mide la d.d.p. entre dos puntos de un circuitoelectrico. Para no distorsionar la distribucion original de corrientes del circuito alconectar el aparato de medida, por el voltmetro no ha de pasar corriente alguna. Losvoltmetros reales dejan pasar una cierta corriente, pero sensiblemente mas peque~naque los valores de corrientes del circuito. Ver gura 1.9.

1.6.2. Ampermetro

El ampermetro es un aparato que mide la intensidad que circula a traves de el.Para no distorsionar la distribucion original de tensiones del circuito al conectarel aparato de medida, en el ampermetro no debe producirse ninguna cada detension. En los ampermetros reales, siempre existe una peque~na cada de tension

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Figura 1.10: Medida mediante amperimetro

Figura 1.11: Medida mediante vatmetro

que modica la corriente original. En la gura 1.10 se cumple que la medida de A1es igual a la medida de A2

1.6.3. Vatmetro

Un vatmetro es un aparato pensado para medir el ujo de potencia. Tiene unaentrada de tension y otra de corriente y marca el producto de ambas magnitudes. Losasteriscos de la gura 1.11 indican la polaridad de las bobinas. Si se conectan ambasen las polaridades indicadas el vatmetro marca la energa (potencia) transformadade la fuente de consumo y si se conectan ambas en la polaridad contraria tambien, encualquier otra conguracion marca como negativa la potencia que la fuente entregaa la carga.

10

CAPITULO 2

Circuitos Monofasicos

2.1. Circuito Electrico

Circuito electrico o red electrica, es un conjunto de elementos combinados de talforma que se pueda originar una corriente electrica.

Estos elementos pueden ser:

Activos, llamados fuentes o generadores, son los que suministran energaelectrica al sistema.

Pasivos, los que disipan energa electrica.

En el estudio de circuitos se emplea una aproximacion a n de hacerlos massencillos de manejar. Sin perder rigor, esta aproximacion es la consideracion delcaracter casi estacionario de las corrientes que los recorren, o sea, que las dimensionesdel circuito son peque~nas respecto a la longitud de onda de las se~nales que lorecorren; o tambien, que la perturbacion se propaga en el circuito instantaneamente.Otra simplicacion que se utiliza en el estudio de las redes electricas es la deparametros concentrados, cuando al aplicarle a la red una fuente su efecto se propagainstantaneamente, y parametros distribuidos, cuando el fenomeno no se considerainstantaneo lo cual sucede cuando las lneas a estudiar tienen gran longitud (superiora los 300 km.).

2.1.1. Tipos de circuitos electricos

Una clasicacion sencilla es:

1. Por su excitacion

11

Captulo 2. Circuitos Monofasicos

Figura 2.1: Excitacion continua

Figura 2.2: Excitacion alterna senoidal

De tipo continuo, si la excitacion no es funcion del tiempo (gura 2.1).Si la excitacion es una corriente tendremos un circuito de corrientecontinua (c. c.).

De tipo alterno, si la excitacion (usaremos la senoidal) es funcion deltiempo (gura 2.2).Si la excitacion es una corriente tendremos un circuito de corriente alterna(c. a.).

2. Por su regimen de funcionamiento

Transitorios, cuando la respuesta es funcion del tiempo. Permanentes, cuando la respuesta no es funcion del tiempo.

2.2. Elementos Pasivos

Son aquellos componentes de los circuitos que disipan o almacenan energa.Pueden ser:

1. Resistencias, disipan energa.

12


Figura 2.3: Smbolos de resistencias

2. Bobinas, almacenan energa en forma de campo magnetico.

3. Condensadores, almacenan energa en forma de campo electrico.

2.2.1. Resistencia

La resistencia es la caracterstica fsica que expresa la oposicion de un materialal paso de la corriente electrica. Cuanto mayor es la resistencia, menos corrientecircula por el para una d.d.p. dada.

Al estudiar la d.d.p. se dijo que la relacion entre la tension en bornes de unconductor y la corriente que pasa por el es constante. Esta constante es la resistencia(R) del conductor y se mide en ohmios ():

UABIAB

= cte = R (2.1)

La ecuacion anterior se la conoce como ley de Ohm1.La resistencia se representa mediante los smbolos de la gura 2.3.El valor de la resistencia depende de tres factores: material del cual esta hecha,

forma o geometra y temperatura a la que esta sometida.

2.2.1.1. Variacion de la resistencia con el material y las dimensiones

La resistencia de un elemento es proporcional a su longitud e inversamenteproporcional a su seccion:

R = l

s=

l

cs(2.2)

donde: = resistividad del material ( mm2=m) (para el cobre es 0,017 a 20 oC)l = longitud (m)s = seccion (mm2)

1Esta ecuacion solo es realmente valida en corriente contnua

13


c = conductividad (m=mm2)(para el cobre se utiliza el valor 56 y para elaluminio 36, materiales mas usados en circuitos y lneas electricas)

La conductividad es la inversa de la resistividad:

c =1

2.2.1.2. Variacion de la resistencia con la temperatura

La ecuacion representativa de la variacion de la resistencia de un material con latemperatura es:

R (T2) = R (T1) [1 + (T2 T1)] (2.3)donde:

T2 y T1 son las temperaturas nal e inicial, enC

es el coeciente de variacion de la resistencia con la temperaturaIgualmente para la resistividad, , se cumple:

(T2) = (T1) [1 + (T2 T1)] (2.4)

El valor de para el cobre es de1

234; 5

2.2.1.3. Potencia y energa disipada en una resistencia

Potencia electrica:

p (t) = u (t) i (t) = R i2 (t) =u2 (t)

R(2.5)

Energa electrica:

E = p (t) t = R i2 (t) t =u2 (t)

Rt = 0; 24R i2 (t) t ( cal) (2.6)

2.2.1.4. Cortocircuito y circuito abierto

Cortocircuito, es un conductor ideal que une dos puntos, o sea, la resistenciaentre ellos es igual a cero. Cuando se produce un cortocircuito la intensidad puedetomar cualquier valor (en general muy elevado) pero la d.d.p. es cero.

Circuito abierto, cuando la intensidad que circula es cero. En un circuito abiertola d.d.p. puede ser cualquiera, pero la resistencia entre sus extremos es innita.

2.2.2. Inductancia o Bobina

Es un elemento del circuito capaz de almacenar energa magnetica, debido al

ujo que crea. Se representa por L, se mide en henrios (H) y gracamente mediantela gura 2.4.

14


Figura 2.4: Smbolos de inductancias

En una bobina se cumple que:

u (t) = Ldi (t)

dt(2.7)

De la expresion anterior se pueden deducir dos caractersticas de las bobinas:

1. Si la excitacion i(t) es constante, entonces u(t) = 0, o sea que el alimentar unabobina mediante corriente continua tiene el efecto de un cortocircuito.

2. No permite incrementos bruscos de intensidad (derivada innita).

La potencia absorbida en una bobina es:

p (t) = u (t) i (t) = Ldi (t)

dti (t) (2.8)

La energa almacenada en un intervalo de tiempo t sera:

E (t) =

tZ0

p (t) dt =

tZ0

Ldi (t)

dti (t) dt =

1

2L i2 (t) (2.9)

Como

u (t) = Nd

dt

igualando con 2.7, tendremos que:

L = Nd

di(2.10)

y simplicadamente (suponiendo el ujo constante con respecto a la corriente):

L = N

I(2.11)

15


Figura 2.5: Smbolos de condensadores

2.2.3. Condensador. Capacidad

El condensador es el elemento del circuito capaz de almacenar energa electricaen virtud de la carga de sus armaduras. Estas armaduras pueden ser dos conductoresseparados por un aislante o dielectrico.

Se dice que un condensador esta cargado cuando la carga de una armadura tieneel mismo modulo que la de la otra y de signo contrario. El condensador se representapor C, se mide en faradios ( F) y simbolicamente se representa segun la gura 2.5.

La capacidad de un condensador es la relacion que existe entre la carga de susarmaduras y la tension a que se ven sometidas.

C =Q

U(2.12)

por lo tanto su unidad valdra:

Faradio ( F) =Culombio ( C)

V oltio (V)(2.13)

Por su denicion, en un condensador se cumple:

i (t) =dq (t)

dt=

d

dt[Cu (t)] = C

du (t)

dt(2.14)

De la expresion anterior se pueden deducir dos caractersticas de los conden-sadores:

1. Si la excitacion u(t) es constante, i(t) = 0, o sea, si un condensador se alimentacon tension continua se comporta como un circuito abierto.

2. No permite incrementos bruscos de tension.(derivada innita)

Potencia electrica absorbida por el condensador:

p (t) = u (t) i (t) = Cdu (t)

dtu (t) (2.15)

16

2.3. Elementos activos. Fuentes o generadores

Figura 2.6: Smbolo y graca de un generador de tension ideal

Energa almacenada en el condensador:

E (t) =

tZ0

p (t) dt =

tZ0

Cdu (t)

dtu (t) dt =

1

2Cu2 (t) (2.16)

Los tipos de condensadores mas corrientes son los de placas y los electrolticos.Los primeros no tienen polaridad y existen de capacidad muy variada, segun el tipode dielectrico (ceramica, papel, poliester, etc.); los segundos tienen polaridad y unacapacidad mucho mas elevada que los de placas, entre otras diferencias.

2.3. Elementos activos. Fuentes o generadores

Las fuentes de energa son los elementos encargados de suministrar energaelectrica a un circuito. Basicamente, existen los generadores de tension y de corriente.

2.3.1. Generadores de tension ideal

Son los elementos del circuito que proporcionan energa electrica con unadeterminada tension constante, que es independiente del valor de la intensidad quesuministra (gura 2.6).

2.3.2. Generadores de tension real

Son los elementos del circuito que proporcionan energa electrica a unadeterminada tension que depende de la corriente que suministra (gura 2.7).

2.3.3. Generadores de corriente ideal

Son los elementos del circuito que proporcionan energa electrica con unadeterminada intensidad constante, que es independiente del valor de la tension en

17


Figura 2.7: Smbolo y graca de un generador de tension real

Figura 2.8: Smbolo y graca de un generador de corriente ideal

sus bornes (gura 2.8).

2.3.4. Generadores de corriente real

Son los elementos del circuito que proporcionan energa electrica con unadeterminada intensidad, que depende del valor de la tension en sus bornes (gura2.9).

2.3.5. Fuentes o generadores dependientes

Son aquellos elementos en los que la tension o intensidad no son jas sino quedependen de la tension e intensidad en otros puntos de la red. Se usan en electronica,fundamentalmente.

2.4. Onda senoidal: generacion y valores asocia-

dos

Si entre los polos de un potente iman (o electroiman) hacemos girar una espiracuyos extremos estan conectados a dos anillos (rozantes) aislados del eje, mediante

18

2.4. Onda senoidal: generacion y valores asociados

Figura 2.9: Smbolo y graca de un generador de corriente real

Figura 2.10: Onda de tension senoidal

escobillas, podra recogerse la tension que llegue a estos anillos. Al girar la espira,en virtud de los fenomenos de induccion, nace una fem, la cual hara circularuna corriente si se cierra el circuito externo. La intensidad de esta corriente varaconstantemente y sus valores se repiten, pero en sentido opuesto, cada media vuelta.De esta manera se obtiene la funcion e(t) de la gura 2.10.

La fem engendrada en la bobina es:

e (t) = EM sen!t (2.17)

que representa la fem instantanea engendrada en la bobina y cuya evolucion en eltiempo es de forma senoidal.

Si trabajamos con la cosenoide, la fem vendra dada por:

e(t) = EM cos!t

2

(2.18)

En general se puede escibir:

e(t) = EM cos (!t+ ') (2.19)

19


Figura 2.11: Angulo de fase

siendo:

e(t) = valor instantaneo de la fem (V)

EM = valor maximo de la fem (V)

! = pulsacion ( rad= s)

t = tiempo ( s)

' = angulo de desfase ( rad o ).

2.4.1. Desfase entre ondas

Angulo de fase, es el angulo que existe entre el origen y un punto cualquiera de laonda. Si el angulo de fase o desfase se mide a la izquierda del origen de coordenadas,se dira fase positiva o en adelanto ('1), y si se mide a la derecha del origen decoordenadas ('2), sera negativa o en retraso (gura 2.11).

Se llama desfase entre ondas a la diferencia entre las fases de puntos homologosde cada una de ellas:

' = '1 '2 (2.20)

En el ejemplo de la gura 2.12:

' = '1 ('2) = '1 + '2

Las se~nales (ondas) pueden estar:

1. Ondas en fase. Dos ondas de igual frecuencia se dice que estan en fase cuandoel desfase entre ellas es ' = 0 = 0 rad

20

2.4. Onda senoidal: generacion y valores asociados

Figura 2.12: Desfase entre ondas

2. Ondas en cuadratura. Dos ondas de igual frecuencia se dice que estan encuadratura cuando el desfase entre ellas es ' = 90 =

2rad

3. Ondas en oposicion. Dos ondas de igual frecuencia se dice que estan enoposicion cuando el desfase entre ellas es ' = 180 = rad

21


Figura 2.13: Valor medio de un semiperiodo

2.5. Valores asociados a una corriente alterna

2.5.1. Valor medio

El valor medio de una funcion periodica, y(t), es:

Ymed =1

T

TZ0

y (t) dt (2.21)

Si la funcion periodica representa una corriente senoidal de la forma:

i (t) = IM sen!t (2.22)

en un semiperiodo, teniendo en cuenta que ! =2

T:

Imed =1T2

T2Z0

IM sen!t dt =2IM

(2.23)

Gracamente, corresponde a la altura de un rectangulo que presenta la mismaarea que la media onda correspondiente a la gura 2.13.

En un periodo completo: Imed = 0:Si la onda representa una corriente, el valor medio es el valor de una corriente

continua (c. c.) que produce la misma cantidad de electricidad que la onda periodicaen el perodo T .

22


Figura 2.14: Valor ecaz de un periodo

2.5.2. Valor ecaz

El valor ecaz de una funcion periodica, y (t), es:

Yef =

vuuut 1T

TZ0

y2 (t) dt (2.24)

Gracamente, corresponde a la raz cuadrada de la altura de un rectangulo quetiene la misma area que la onda cuya ordenada es igual al cuadrado de la ordenadade la funcion dada. Su representacion se aprecia en la gura 2.14

Si la funcion periodica representa una corriente senoidal segun la ecuacion 2.22,en un perodo:

I =

vuuut 1T

TZ0

I2M sen2 !t dt =

IMp2

(2.25)

Si la onda representa una corriente, el valor ecaz es el valor de una c. c. queproduce la misma cantidad de calor que la corriente periodica al circular por unaresistencia en el perodo T .

2.5.3. Formas de representacion de las magnitudes senoidales

Matematicamente la onda senoidal presenta un conjunto de caractersticas quefacilitan el calculo de los sistemas electricos. Entre las mas importantes citaremoslas siguientes:

1. Se puede diferenciar e integrar y sigue siendo una senoide de la mismafrecuencia.

2. La suma de ondas senoidales de igual frecuencia es otra senoide de la mismafrecuencia.

23


Figura 2.15: Vector giratorio

3. Admite representacion tipo exponencial en el plano mediante numeroscomplejos.

A continuacion vamos a estudiar el uso y las ventajas que presenta esta ultimacaracterstica.

Utilizando los conceptos desarrollados en el calculo en el plano complejo, unvector ~Y que gira con una velocidad angular !, ver gura 2.15, se puede representarmatematicamente de distintas formas:

Binomica~Y = YM cos'+ jYM sen' (2.26)

Euler~Y = YMe

(!t+')j (2.27)

Fasorial~Y = YMe

j' (2.28)

Polar o de Kenelly~Y = YM 6 ' (2.29)

Sea una fem senoidal e(t), cuya expresion es:

e (t) = EM cos (!t+ ') (2.30)

La formula anterior se denomina representacion instantanea (temporal).De estas expresiones se deduce facilmente que:

e (t) = Real~E

24


Fasor es un vector que representa una magnitud senoidal en un determinadoinstante.

~E = EM cos (!t+ ') + jEM sen (!t+ ') = EMe(!t+')j =

p2Eej'ej!t

Se llama fasor a la expresion:

~E 0 =p2Eej'

donde E es el valor ecaz.Por tanto:

~E = E 0 6 ' = E 0ej'

o simplemente, utilizando directamente el valor ecaz

~E = E 6 ' (2.31)

2.5.4. Operaciones con magnitudes senoidales

Con magnitudes senoidales (o vectores giratorios) de igual pulsacion se puederealizar la suma, resta, derivacion e integracion de ellas de forma sencilla,obteniendose en todos los casos funciones senoidales de la misma frecuencia.

Por ejemplo, vamos a estudiar su derivacion e integracion.

2.5.4.1. Derivacion e integracion de una funcion senoidal

Sea una funcion senoidal e (t) = EM cos (!t+ '). Considerando que en el instanteinicial el desfase es cero (' = 0), el vector que la representa en el plano complejo enforma binomica sera:

~E = EM cos!t+ jEM sen!t

a) Derivacion

d ~E

dt= !EM sen!t+j!EM cos!t = !EM cos

!t+

2

+j!EM sen

!t+

2

o sea, obtenemos otra funcion senoidal igual a la original multiplicada por !y adelantada

2respecto a la funcion primitiva.

b) IntegracionZ~Edt =

EM!

sen!t jEM!

cos!t =EM!

cos!t

2

+ j

EM!

sen!t

2

como se puede observar, se obtiene otra funcion senoidal igual a la originaldividida por ! y retrasada

2respecto a la funcion primitiva.

25


2.6. Impedancia y admitancia

2.6.1. Reactancia inductiva

Si a una bobina se le aplica una tension u (t) y se obtiene una intensidad i (t),tal que:

i (t) = IM cos (!t+ ') (2.32)

~I = I 6 '

Como ya sabemos, en una bobina se cumple:

u (t) = Ldi (t)

dt

por lo tanto:

u (t) = LIM ! sen (!t+ ') = LIM ! cos!t+ '+

2

~U = L!I 6

'+

2

De forma similar a lo expresado anteriormente en la ley de Ohm:

~U

~I= cte =

L!I 6'+

2

I 6 '

= L! 6

2= ~XL (2.33)

A ~XL se le denomina reactancia inductiva, su modulo XL es analogo a unaresistencia. Su unidad es el ohmio ().

Su expresion compleja binomial es:

~XL = j!L ( ) (2.34)

26

2.6. Impedancia y admitancia

2.6.2. Reactancia capacitiva

Si a un condensador le aplicamos una tension senoidal u (t), como se indica enla gura, se obtiene una intensidad del tipo visto en 2.32, que segun vimos en 2.14:

i (t) = Cdu (t)

dt

podemos concluir que se cumple:

u (t) =1

C

Zi (t) dt =

IM! C

sen (!t+ ') =IM! C

cos!t+ '

2

~U =

IM! C

6'

2

Igualmente dividiendo tension entre intensidad:

~U

~I= cte =

1

! CI 6'

2

I 6 '

=1

! C6

2= ~XC (2.35)

A ~XC se le denomina reactancia capacitiva, cuyo modulo XC es analogo a unaresistencia. Su unidad es el ohmio ().

Su expresion compleja binomial es:

~XC = j

!C( ) (2.36)

27


2.6.3. Impedancia

De forma intuitiva, se puede decir que la impedancia (~Z) corresponde en uncircuito de c. a. a la resistencia en un circuito c. c. Se mide en ohmios ().

Por lo tanto, podemos llegar a la expresion de la ley de Ohm para corrientealterna:

~U

~I= cte = ~Z (2.37)

En general una impedancia esta formada por una resistencia y una reactancia:

~Z = R + jX = Z 6 ' (2.38)

En la gura 2.16 se presenta el triangulo de impedancias donde: tan' =X

Ry '

es el desfase entre la tension y la intensidad.

La reactancia ( ~X) puede ser inductiva ( ~XL = L!j) o capacitiva ( ~XC = 1

! Cj),

obteniendose su valor como ~X = j(XL XC)el modulo de ~Z es:

Z =pR2 +X2 (2.39)

2.6.4. Admitancia

Se dene la admitancia de un circuito como la facilidad que ofrece dicho circuitoal paso de la c. a. Es un elemento pasivo inverso de la impedancia. Se representapor Y . Su unidad es el Siemens ( S), 1 o mho.

~Y =1

~Z(2.40)

28

2.7. Convenio de signos

Figura 2.16: Triangulo de impedancias

Como ~Z = R + jX tendremos que:

~Y =1

~Z=

1

R + jX=

R

R2 +X2 j X

R2 +X2(2.41)

La admitancia se compone de dos partes; una real, llamada conductancia (G) yotra imaginaria, llamada susceptancia (B). Ambas tienen las misma unidades quela admitancia.

~Y = G+ jB (2.42)

donde:

G =R

R2 +X2

B = XR2 +X2

Si la impedancia es ~Z = Z 6 ', el modulo de la admitancia vale

Y =1

Z

y el argumento, '0, vale

'0 = arctanB

G= arctan

XR

= ' (2.43)

o sea, el argumento de la admitancia es el de la impedancia cambiado de signo.


El sentido convencional de una corriente continua es el contrario al que seguiranlos electrones, es decir, el que seguiran los iones positivos. Como consecuencia de lo

29


Figura 2.17: Convenio de signos en corriente continua

anterior, la corriente en un generador sigue el sentido del polo negativo al positivo,por su interior, y en un elemento pasivo, del positivo al negativo.

En la gura 2.17 se cumple que

UAB = UA UB; UA > UBSi UAB = 7 V ! UBA = 7 V

La polaridad sera positiva en el punto de mayor potencial y negativa para el demenor potencial.

En c. a., tanto la tension como la intensidad cambian de sentido y polaridadtantas veces por segundo como sea frecuencia. Sin embargo, es preciso adoptar unsentido convencional para facilitar la resolucion de los problemas que se nos puedanpresentar. En la gura 2.18 se puede apreciar un sentido similar a lo indicado parac. c.

UAB = UA UB; UA > UBSi UAB = 7 V ! UBA = 7 V

30


Figura 2.18: Convenio de signos en corriente alterna

31


32

CAPITULO 3

Analisis de redes

3.1. Introduccion

La energa electrica es utilizada diariamente como un hecho natural, parece quesiempre ha existido y existira en benecio de las personas. Como su uso es tancorriente y aparentemente facil para los ciudadanos, que disfrutamos de esta fuentede energa, es por lo que los consumidores no tenemos verdadera consciencia dela forma que nos llega. La energa electrica que se consume se obtiene a travesde sistemas mas o menos sosticados y que se conocen como redes, circuitos oinstalaciones electricas.

El circuito o red electrica es un modelo graco y simplicado de una instalacionmas o menos real, en donde se reejan los distintos elementos que participan en lageneracion, transporte y consumo de la energa electrica.

El circuito electrico, por ser un modelo, utiliza la base matematica necesaria paramanejar las distintas magnitudes electricas que intervienen en el, a partir de unosvalores supuestos y otros conocidos. La base matematica moderna para la resolucionde redes se apoya en las ecuaciones de Maxwell.

Como se puede entender de lo expresado anteriormente, el estudio de los circuitoselectricos constituye una parte fundamental en el conocimiento y desarrollo de lasIngenieras Electrica y Electronica.

3.2. Leyes basicas en el analisis de redes

3.2.1. Leyes de Kirchho

Las ecuaciones basicas en la Teora de Circuitos se formularon a partir de doslemas sencillos que se expusieron por primera vez en 1845 por Kirchho. Dichoslemas o leyes son los siguientes:

33

Captulo 3. Analisis de redes

3.2.1.1. Primera ley de Kirchho (principio de conservacion de la carga)

Se denomina nudo al punto del circuito donde conuyen tres o mas conductores(por ejemplo, el A de la gura siguiente).

La primera ley de Kircho dice que en todo nudo de una red (o circuito) la sumaalgebraica de las corrientes que inciden en el es cero.

Efectivamente, al suponer que en el nudo A no se acumulan las cargas electricasdurante un tiempo, dt, la cantidad de electricidad que entra es igual que la que saley considerando, por convenio, que las corrientes que llegan al nudo son positivas ylas que salen negativas, tendremos:

i1 dt i2 dt i3 dt+ i4 dt+ i5 dt = 0

dividiendo por dt:

i1 i2 i3 + i4 + i5 = 0

O sea: Xi = 0X

i (t) = 0

Esta ley tambien se puede enunciar de otra forma: en un nudo cualquiera de uncircuito (o red), la suma de las intensidades que llegan al nudo ha de ser igual a lasuma de las intensidades que salen.

i1 + i4 + i5 = i2 + i3

34


Figura 3.1: Ejemplo de malla

3.2.1.2. Segunda ley de Kirchho (principio de conservacion de laenerga)

Se denomina bucle a un contorno poligonal cerrado dentro del cual existen otroscontornos cerrados, llamados mallas.

Se denomina malla al conjunto de elementos activos o pasivos que forman uncamino cerrado, de tal foma que partiendo de un nudo vuelve a el sin pasar dosveces por el mismo nudo y sin que en su interior exista otro bucle.

Rama es el conjunto de elementos activos y pasivos conectados en serie entre dosnudos contiguos.

La segunda ley de Kirchho dice que en todo contorno poligonal cerrado (mallao bucle), la suma algebraica de las tensiones existentes entre sus terminales es cero(gura 3.1).

u1 = uA uBu2 = uB uCu3 = uC uDu4 = uD uEu5 = uE uA

Sumando miembro a miembro obtenemos:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 0

o sea: Xui = 0

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Figura 3.2: Ejemplo de malla mas compleja

Tambien podemos enunciar la segunda ley de Kirchho diciendo que la sumaalgebraica de las fem es igual a la suma algebraica de las cadas de tension a lo largode una malla o bucle.

Veamos una malla algo mas compleja, como la de la gura 3.2.En esta malla se dan sentidos arbitrarios a las fuentes de tension y a las

intensidades, segun lo indicado en dicha gura, y considerando positivo el sentidode las agujas del reloj. En ella podemos ver que en cada rama:

E1 = (UB UA) +R1I1E2 = (UC UB)R2I2E3 = (UD UC)R3I3E4 = (UE UD)R4I4E5 = (UA UE) +R5I5

Sumando miembro a miembro obtenemos:XEi =

XRiIi (3.1)

Si en vez de resistencias fuesen impedancias, se escribira:X~Ei =

X~Zi~Ii (3.2)

Ejemplo 1 Vamos a resolver el circuito de la gura aplicando las leyes de Kirchho,donde las incognitas son las intensidades de rama y los datos son los valores de lasresistencias y de la fuente de tension.

36


Se le da un sentido arbitrario a cada corriente de rama y se toma como sentidopositivo el de las agujas del reloj en cada bucle.

Aplicamos la primera ley a los nudos (A, B, C, D):

Nudo A: i6 = i1 + i3

Nudo B: i1 = i2 + i5

Nudo C: i2 + i4 = i6

Nudo D: i3 + i5 = i4

Ahora, la segunda ley a las mallas y bucles:

Malla ABDA: i1R1 + i5R5 i3R3 = 0Malla BCDB: i2R2 i4R4 i5R5 = 0Malla ADCA: i3R3 + i4R4 + i6R6 + U0 = 0

Bucle ABCDA: i1R1 + i2R2 i4R4 i3R3 = 0

37


De este sistema de ocho ecuaciones con seis incognitas obtendremos los valoresde las corrientes de rama i1; i2; i3; i4; i5 e i6;

3.2.2. Eleccion de las ecuaciones independientes para la

aplicacion de las leyes de Kirchho

a) Respecto a los nudos: Si en el ejemplo anterior sumamos miembro a miembrolas intensidades de todos los nudos tendremos que:

0 = 0

o lo que es lo mismo, que estas ecuaciones no son linealmente independientes(L. I.). Por tanto, esto nos indica que se deberan tomar todos los nudos queno sean combinacion lineal del resto, o sea, el numero de nudos que sean L. I.Se demuestra que dicho numero es igual al numero total de nudos menos uno.

b) Respecto a las mallas: Si en el ejemplo anterior sumamos las dos primerasecuaciones tendremos la cuarta ecuacion (bucle ABCDA), lo que indica queesta ultima es combinacion lineal de ellas. En general, se deberan escoger lasecuaciones de todas las mallas que forman el circuito.

Ejemplo 2 Determinar la intensidad en cada rama del circuito de la gura,as como las tensiones en los bornes de cada fuente de intensidad.

Primera ley de Kirchho:Nudo A: i1 + i2 + i5 = 0Nudo B: i5 + i3 i4 = 0Segunda ley de Kirchho:Malla ABCA: U6 + 8 + 7 = 0Malla ACDA: 7 + U5 5 = 0

38

3.3. Asociacion de elementos pasivos

Figura 3.3: Asociacion en serie de elementos pasivos

Malla BECB: U7 + 9 8 = 0Resolviendo:i1 = 2 A i2 = 5 A i3 = 7 A i4 = 4 A i5 = 3 AU5 = 12 V U6 = 15 V U7 = 1 V


Los elementos pasivos se pueden conectar entre s de tal forma que unacombinacion de ellos puede sustituirse por su valor equivalente.

3.3.1. Asociacion serie

Varios elementos estan conectados en serie cuando por ellos circula la mismaintensidad. Sea el circuito de la gura 3.3a, vamos a determinar otro circuitoequivalente al anterior (gura 3.3b).

Sean las impedancias ~Zi de la forma: ~Zi = Ri + jXi. Aplicando la segunda leyde Kirchho al circuito de la gura 3.3a:

~U = ~Z1~I + ~Z2~I + : : :+ ~Zn~I =~Z1 + ~Z2 + : : :+ ~Zn

~I (3.3)

Aplicandola al de la gura 3.3b se cumple que:

~U = ~ZT ~I (3.4)

Comparando 3.3 y 3.4 tendremos que:

~ZT =X

~Zk (3.5)

o sea, la impedancia equivalente (total) es igual a la suma vectorial de lasimpedancias componentes.

39


Figura 3.4: Asociacion de elementos pasivos en paralelo

3.3.1.1. Asociacion de resistencias en serie

Si los elementos pasivos a asociar son resistencias, se cumple que:

RT =X

Rk (3.6)

3.3.1.2. Asociacion de bobinas o inductancias en serie

Si los elementos pasivos a asociar son bobinas, se cumple que:

LT =X

Lk (3.7)

3.3.1.3. Asociacion de condensadores en serie

Si los elementos pasivos a asociar son condensadores, se cumple que:

1

CT=X 1

Ck

3.3.2. Asociacion paralelo

Se dice que dos o mas elementos pasivos estan conectados en paralelo cuandotodos estan sometidos a la misma tension. Sea el circuito de la gura 3.4a, vamos adeterminar su equivalente.

Aplicando la primera ley de Kirchho en el nudo C de la gura 3.4a, tendremos:

~I = ~I1 + ~I2 + ~I3 + : : :+ ~In =~U

~Z1+

~U

~Z2+

~U

~Z3+ : : :+

~U

~Zn=

= ~U

1

~Z1+

1

~Z2+

1

~Z3+ : : :+

1

~Zn

(3.8)

40


De la gura 3.4b se puede comprobar que:

~I =~U

~ZT(3.9)

Comparando 3.8 con 3.9, se obtiene:

1

~ZT=X 1

~Zk(3.10)

O sea, que la inversa de la impedancia equivalente es igual a la suma de lasinversas de las impedancias componentes.

3.3.2.1. Asociacion de resistencias en paralelo

Si los elementos pasivos a asociar son resistencias, se cumple que:

1

RT=X 1

Rk(3.11)

3.3.2.2. Asociacion de bobinas o inductancias en paralelo

Si los elementos pasivos a asociar son bobinas, se cumple que:

1

LT=X 1

Lk(3.12)

3.3.2.3. Asociacion de condensadores en paralelo

Si los elementos pasivos a asociar son condensadores, se cumple que:

CT =X

Ck (3.13)

3.3.3. Divisores de tension e intensidad

3.3.3.1. Regla del divisor de tension

Dado un circuito en serie y su equivalente (gura 3.3a y b):Aplicando la ley de Ohm en ambos circuitos:

~Uk = ~Zk~I~U = ~ZT ~I

Dividiendo miembro a miembro y despejando

~Uk =~Zk~ZT

~U (3.14)

41


3.3.3.2. Regla del divisor de corriente

Dado un circuito paralelo y su equivalente (guras 3.4a y b):Aplicando la ley de Ohm en ambos circuitos:

~Ik =~U

~Zk

~I =~U

~ZT

Dividiendo miembro a miembro y despejando

~Ik =~ZT~Zk

~I (3.16)

3.3.4. Conexion y equivalencia estrella { triangulo

Hay combinaciones de elementos pasivos que aparecen con frecuencia en circuitoselectricos y que no se pueden simplicar mediante asociaciones serie o paralelo. Enestas redes se ha de aplicar otra simplicacion y esta puede ser la conversion estrella- triangulo.

En todo caso, los terminales accesibles (1 - 2 - 3) han de tener las mismascondiciones, o sea, que deben consumir la misma corriente cuando se aplican lasmismas tensiones externas o, tambien, que las impedancias entre cada dos puntoscorrespondientes a cada distribucion han de ser identicas.

Por tanto:

Y

~Z12 = ~Z1 + ~Z2 ~Z12 = ~ZC ==~ZA + ~ZB

=

~ZC ~ZA + ~ZC ~ZB~ZA + ~ZB + ~ZC

(3.17)

42


~Z23 = ~Z2 + ~Z3 ~Z23 = ~ZA ==~ZB + ~ZC

=

~ZB ~ZA + ~ZA ~ZC~ZA + ~ZB + ~ZC

(3.18)

~Z31 = ~Z3 + ~Z1 ~Z31 = ~ZB==~ZA + ~ZC

=

~ZB ~ZA + ~ZB ~ZC~ZA + ~ZB + ~ZC

(3.19)

Primer caso: Conversion de triangulo a estrellaDatos: ~ZA; ~ZB; ~ZCIncognitas: ~Z1; ~Z2; ~Z3

Para calcular ~Z1; ~Z2; ~Z3 se hacen combinaciones de las ecuaciones 3.17, 3.18 y3.19. Por ejemplo, para calcular ~Z1:

3.17 - 3.18 + 3.19 )

~Z1 =~ZB ~ZC

~ZA + ~ZB + ~ZC(3.20)

Mediante permutacion circular se obtienen ~Z2 y ~Z3:

~Z2 =~ZC ~ZA

~ZA + ~ZB + ~ZC(3.21)

~Z3 =~ZB ~ZA

~ZA + ~ZB + ~ZC(3.22)

Segundo caso: conversion de triangulo a estrella.Datos: ~Z1; ~Z2; ~Z3Incognitas: ~ZA; ~ZB; ~ZCPara calcular ~ZA; ~ZB y ~ZC se opera con las ecuaciones 3.20, 3.21 y 3.22.

Dividiendo dos a dos y sustituyendo en 3.17, 3.18 y 3.19 tendremos:

~Z1~Z2

=~ZB~ZA

~Z1~Z3

=~ZC~ZA

~Z2~Z3

=~ZC~ZB

~ZA =~Z1 ~Z2 + ~Z2 ~Z3 + ~Z3 ~Z1

~Z1(3.23)

Mediante permutacion circular se obtienen ~ZB y ~ZC :

~ZB =~Z1 ~Z2 + ~Z2 ~Z3 + ~Z3 ~Z1

~Z2(3.24)

43


~ZC =~Z1 ~Z2 + ~Z2 ~Z3 + ~Z3 ~Z1

~Z3(3.25)

Ejemplo 3 Determinar la resistencia equivalente del circuito de la gura siguienteentre los terminales A y B, as como i(t)

U = 100 6 0 V ! = 100 rad= s

Bobinas: ~XL = L!j

L1 = 0; 01 H) ~XL1 = j = ~XL3L2 = 0; 02 H) ~XL2 = 2j

Condensadores: ~XC = 1

C!j

C1 = 0; 05 F) ~XC1 = 0; 2j

C2 = 0; 01 F) ~XC2 = j

44


~Z1 =0; 2j (2 j)0; 2j + 2 j + j = 0; 079 0; 201j

~Z2 =(2 j) j

0; 2j + 2 j + j = 0; 4 + 1; 04j

~Z3 =0; 2j j

0; 2j + 2 j + j = 0; 1 0; 01j

~Za = 1 + j + 0; 1 + 0; 01j = 1; 1 + 1; 01j

~Zb = 2j + 0; 4 + 1; 04j = 0; 4 + 3; 04j

1

~ZC=

1

~ZA+

1

~ZB=) ~ZC = 0; 602 + 0; 872j

~ZT = ~ZC + (0; 079 0; 201j) = 0; 856 52; 066

45


~I =~U

~ZT=

1006 0

0; 856 52; 066= 117; 646 52; 066 A

i (t) = 117; 64p2 cos (100t 52; 066) A

3.4. Asociacion de elementos activos (fuentes)

En todo circuito con elementos disipativos, la corriente se mantiene a expensasde las fuentes que van proporcionando la energa que se consume.

3.4.1. Fuentes de tension ideal en serie

~ET =X

~Ek (3.26)

Nota. Las fuentes de tension ideales solo se pueden unir en paralelo si todas soniguales y estan conectadas con la misma polaridad.

3.4.2. Fuentes de intensidad ideal en paralelo

~IT =X

~Ik (3.27)

Nota. Las fuentes de intensidad ideales solo se pueden unir en serie si todas soniguales y conectadas en el mismo sentido.

46

3.5. Transformacion de fuentes de tension e intensidad reales

Figura 3.5: Transformacion de fuentes

3.5. Transformacion de fuentes de tension e in-

tensidad reales

Sean los circuitos de la gura 3.5. En 3.5a se cumple:

~Ug = ~Z~I + ~UAB

Despejando la intensidad:

~I =~Ug ~UAB

~Z=

~Ug~Z

~UAB~Z

En la gura 3.5b se cumple:

~Ig = ~I1 + ~I =) ~I = ~Ig ~UAB~Z1

Comparando las ultimas expresiones, vemos que son identicas si:

~Ig =~Ug~Z

(3.28)

~Ug~Z

=~Ug~Z1

=) ~Z = ~Z1 (3.29)

Esto nos dice que:

Un circuito con una fuente de tension (~Ug) en serie con una impedancia

(~Z), se puede transformar en otro circuito equivalente donde haya una

fuente de intensidad de valor ~Ig =~Ug~Z

y una impedancia en paralelo ~Z.

47


Un circuito con una fuente de intensidad (~Ig) en paralelo con una

impedancia (~Z), se puede transformar en otro circuito equivalente donde

haya una fuente de tension de valor ~Ug = ~Ig ~Z y una impedancia en serie~Z.

Por tanto, los circuitos de la gura 3.5 seran equivalentes si se cumple lo indicadoen 3.28 y 3.29.

3.6. Analisis de circuitos

Analizar un circuito es hallar las variables electricas en los circuitos (redes) enfuncion de los datos que se dispongan.

3.6.1. Numero de ecuaciones necesarias

Si el circuito tiene r ramas habra 2r incognitas, una de tension y otra deintensidad, por rama. Aplicando la primera ley de Kirchho a cada nudo podremosescribir n ecuaciones nodales (tantas como nudos) y mediante la segunda ley deKirchho se escribiran h ecuaciones circulares (tantas como bucles). Tambien para

cada rama conocemos que ~Uk = ~Zk~Ik, con lo que dispondremos de otras r ecuaciones;el numero total de ecuaciones sera n + h + r.

Para analizar un sistema determinado se necesitan 2r ecuaciones linealmenteindependientes (L. I.) de entre las n + h + r. Se observa que siempre h + n > r, portanto disponemos de mas de 2r ecuaciones, de las que no todas seran L. I. Desdeluego, las r ecuaciones de rama ~Uk = ~Zk~Ik s son L. I. entonces, necesitamos otras recuaciones que seleccionaremos aplicando las leyes de Kirchho.

Veamos a continuacion los metodos mas usuales del analisis de circuitos.

3.6.2. Metodo de las mallas

Circuito plano. Es aquel que puede ser dibujado en un plano sin que se cortensus ramas salvo en los nudos.

Ejemplos:

48


Figura 3.6: Ejemplo de circuito

El metodo de las mallas solo se puede aplicar a circuitos planos, y consiste enescribir todas las ecuaciones correspondientes a las mallas. El numero de mallaso ecuaciones necesarias para resolver un circuito, segun este metodo, es igual alnumero de ramas menos el de nudos mas uno:

Numero de ecuaciones = r n+ 1 = numero de mallas.Consideremos el circuito de la gura anterior, debemos determinar la intensidad

que circula por cada rama. Para ello, en primer lugar se asigna una corriente cticia acada malla, que denominaremos corriente de malla: ~IA, ~IB e ~IC , (todas las corrientescticias deben ir orientadas en el mismo sentido). A continuacion se aplica la segundaley de Kirchho a cada malla, tomando como variables desconocidas las corrientesde malla (en este caso ~IA, ~IB e ~IC) y se resuelve el sistema formado.

En la malla A: ~Z1~IA + ~Z2

~IA ~IB

= ~E1

En la malla B: ~Z2

~IB ~IA

+ ~Z3~IB + ~Z4

~IB ~IC

= 0

En la malla C: ~Z4

~IC ~IB

+ ~Z5~IC = ~E2

Reordenando el sistema y colocandolo en forma matricial resulta:0@ ~Z1 + ~Z2 ~Z2 0~Z2 ~Z2 + ~Z3 + ~Z4 ~Z40 ~Z4 ~Z4 + ~Z5

1A0@ ~IA~IB~IC

1A =0@ ~E10 ~E2

1A49


Figura 3.7: Corrientes de malla

En resumen, la matriz de impedancias se obtiene colocando en la diagonalprincipal las impedancias de cada malla y en las restantes las impedanciascompartidas entre cada dos mallas con signo contrario.

Una vez obtenidas ~IA, ~IB e ~IC se han de calcular las corrientes de rama. Paraello, se aplica la primera ley de Kirchho en cada nudo necesario, y se hace coincidiren cada rama externa la corriente de rama con la corriente de malla correspondiente.

En este caso:

~I1 = ~IA ~I2 = ~IA ~IB ~I3 = ~IB ~I4 = ~IB ~IC ~I5 = ~IC

Con esto se han obtenido las corrientes de rama, que era lo que se queraconseguir.

La ecuacion general para un sistema de n - mallas es:

~Z11~I1 + ~Z12~I2 + ~Z13~I3 + : : :+ ~Z1n~In = ~E1~Z21~I1 + ~Z22~I2 + ~Z23~I3 + : : :+ ~Z2n~In = ~E2

= ~Zn1~I1 + ~Zn2~I2 + ~Zn3~I3 + : : :+ ~Znn~In = ~En

donde:

~Ik = corrientes de malla

~Zkk = impedancias propias (autoimpedancias) de malla

~Zkh = impedancias compartidas entre dos mallas, con signo positivo siambas mallas tienen las corrientes del mismo sentido y negativo en casocontrario. Son las llamadas impedancias mutuas

~Ek = suma de las fem a la largo de la malla k, teniendo en cuenta quela fem de cada fuente de la malla sera positiva si la corriente de mallasale por el punto de mayor potencial de la fuente (+) y negativo en casocontrario

50


En general, puede escribirse en forma matricial como:0BB@~Z11 ~Z12 ~Z1n~Z21 ~Z22 ~Z2n ~Zn1 ~Zn2 ~Znn

1CCA0BB@

~I1~I2 ~In

1CCA =0BB@

~E1~E2 ~En

1CCA (3.30)Simplicadamente: h

~Zi h~Ii=h~Ei

(3.31)

Ejemplo 4 Determinar las corrientes de rama y la tension entre los puntos B y Cen el esquema de la gura.

Se le da el sentido de corriente a las mallas:

0@ 8 + 4j 2 2j 02 2j 7 2j 2 j0 2 j 12 + 6j

1A0@ ~IA~IB~IC

1A =0@ 106 3096 45406 0

1A3.6.3. Metodo de los nudos

Consiste en escribir las ecuaciones nodales correspondientes a todos los nudosdel circuito menos uno.

Se basa en el siguiente teorema:

51


Figura 3.8: Circuito ejemplo

Figura 3.9: Nudo de referencia

En un circuito de n nudos, todo conjunto de n-1 ecuaciones tomadas aplicandola primera ley de Kirchho a todos los nudos menos uno, forma un sistema deecuaciones L. I.

En este metodo se consideran incognitas las tensiones de n 1 nudos. El nudorestante se toma como referencia de los anteriores, para ello se suele conectar atierra, o sea, a potencial nulo.

Sea el circuito de la gura siguiente:Se une un nudo a tierra, por ejemplo el C, con lo que dicho esquema queda como

se indica en la gura siguiente:Segun la consideracion anterior: ~UC = 0.Tambien:

~UAB = ~UA ~UB~UBC = ~UB ~UC = ~UB~UAC = ~UA ~UC = ~UA

Aplicando la primera ley de Kirchho a los nudos A y B, tendremos:

Nudo A: ~Ig1 = ~IAC + ~IAB

52


Nudo B: ~Ig2 + ~IAB = ~IBC

~Ig1 =~UAC~Z1

+~UAB~Z2

=~UA~Z1

+~UA ~UB

~Z2=

1

~Z1+

1

~Z2

~UA

1

~Z2

~UB

~Ig2 =~UBC~Z3

~UAB~Z2

= 1~Z2

~UA +

1

~Z2+

1

~Z3

~UB

En forma matricial:

~Ig1~Ig2

=

26641

~Z1+

1

~Z2 1~Z2

1~Z2

1

~Z2+

1

~Z3

3775 ~UA~UB

Generalizando para una red de n+ 1 nudos:

~U1~Z11

~U2~Z12

:::::::::::::::::::::::::::::~Un~Z1n

= ~I1

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

~U1~Zn1

~U2~Zn2

:::::::::::::::::::::::::::+~Un~Znn

= ~In

En forma matricial:2641~Z11

1~Z12 1~Z1n

1~Zn1

1~Zn1

1~Znn

37524 ~U1

~Un

35 =24 ~I1

~In

35 (3.32)donde:

~Uk = tension en cada nudo respecto al de referencia

~Ik = suma de corrientes debidas a fuentes que inciden en el nudo k1~Zkk

= suma de impedancias que coinciden en el nudo k. Es la llamada

impedancia (admitancia) propia del nudo1~Zhk

= suma de impedancias que unen el nudo h con el nudo k

(siempre se escribiran con signo contrario).Es la llamada coimpedancia(coadmitancia) de los nudos h y k

Simplicadamente h~Ii=

1

~Z

h~Ui

53


Si tenemos los valores de las admitancias, la ecuacion anterior sera:h~Ii=h~Yi h

~Ui

(3.33)

Este metodo es mas comodo de operar con fuentes de intensidad, pero nonecesariamente ya que si son fuentes de tension reales se pueden transformar enfuentes de intensidad.

Entre los dos metodos estudiados anteriormente para resolucion de circuitosexiste una relacion (dualidad):

Mallas () NudosGeneradores de tension () Generador de intensidad

Impedancia () AdmitanciaIntensidad de malla () Tension de nudo.

Ejemplo 5 Aplicando el metodo de los nudos, determinar los potenciales de losnudos A y B del circuito de la gura (valores de impedancias en ).

La fuente de tension se transforma en fuente de intensidad:

~I2 =200j

20j = 10 A2641

10+

1

10j 110

110

1

10+

1

20+

1

20j

375 ~UA~UB=

1010

54


3.6.4. Teorema de superposicion

En una red formada por fuentes (de intensidad y tension) e impedancias, lacorriente en cada rama es la suma de las corrientes que se produciran si las fuentesactuasen una a una independientemente. O lo que es lo mismo: la respuesta de uncircuito lineal a varias fuentes actuando simultaneamente es igual a la suma de lasrespuestas que se obtendran cuando actuasen cada una por separado.

La demostracion del teorema se puede hacer mediante el analisis del circuito porel metodo de las mallas o el de los nudos. Analicemoslo por mallas.

Si disponemos de una red de n mallas se obtendra un sistema de ecuaciones talcomo:

~Z11~I1 + ~Z12~I2 + ~Z13~I3 + : : :+ ~Z1n~In = ~E1~Z21~I1 + ~Z22~I2 + ~Z23~I3 + : : :+ ~Z2n~In = ~E2

= ~Zn1~I1 + ~Zn2~I2 + ~Zn3~I3 + : : :+ ~Znn~In = ~En

Resolviendo mediante la regla de Cramer, se llega a:

~Ik =1k

~E1 +2k

~E2 + : : :+nk

~En (3.34)

donde:

~Ik = intensidad en la rama k

= determinante del sistema

jk = es el menor complementario (adjunto) del elemento ~Zjk.

Vemos que ~Ik es una C. L. de las fuentes ~Ek, donde cada sumando representa lacontribucion independiente de cada fuente de excitacion ~Ek a cada incognita ~Ik.

Reglas a tener en cuenta cuenta en la aplicacion del teorema de superposicion:

1. La eliminacion de las fuentes de tension se hara colocandolas en cortocircuito.

2. La eliminacion de las fuentes de intensidad se hara colocandolas en circuitoabierto.

3. Principio de linealidad. Si todas las fuentes de excitacion de un circuito,formado por elementos lineales, se multiplican por una constante (), larespuesta quedara multiplicada por dicha constante ().

El calculo de la potencia disipada en un circuito pasivo no puede realizarsemediante el teorema de superposicion (respecto a la intensidad o tension) ya que lasuma de potencias debida a las componentes individuales de corriente o tension nocorresponde con la potencia total debida a la intensidad o tension total calculada.

P = RI2T

55


~IT = ~I1 + ~I2 + ~I3 + : : :+ ~In

~I2T =~I1 + ~I2 + ~I3 + : : :+ ~In

26= ~I21 + ~I22 + ~I23 + : : :+ ~I2n

Este es un procedimiento lento para la resolucion de un circuito, pero es el unicocuando se tiene una red alimentada con generadores de distintas frecuencias.

Ejemplo 6 Mediante el metodo de superposicion, obtener la intensidad (I) en elcircuito de la gura.

1. Se abren las fuentes de intensidad.

~Ia =~E

~Z1 + ~Z2 + ~Z3

2. Se cortocircuita la fuente de tension y se abre ~I1

~Ib =~UBC

~Z1 + ~Z2

56


~UBC = ~I2 ~Zeq1

~Zeq1 = ~Z3 ==~Z1 + ~Z2

=

~Z3

~Z1 + ~Z2

~Z1 + ~Z2 + ~Z3

~Ib =~Z3~I2

~Z1 + ~Z2 + ~Z3

3. Se cortocircuita la fuente de tension y se abre ~I1.

~Ic =~UAC

~Z2 + ~Z3

~UAC = ~I1 ~Zeq2

~Zeq2 = ~Z1 ==~Z2 + ~Z3

=

~Z1

~Z2 + ~Z3

~Z1 + ~Z2 + ~Z3

~Ic =~Z1~I1

~Z1 + ~Z2 + ~Z3

4. Se obtiene la corriente total:

~I = ~Ia + ~Ib + ~Ic

3.6.5. Teoremas de Thevenin y Norton

3.6.5.1. Teorema de Thevenin

Este teorema indica que todo circuito lineal activo con dos terminales accesibles,A y B, puede sustituirse, desde el punto de vista de sus efectos exteriores, por sucorrespondiente circuito pasivo (anulando todas sus fuentes) conectado en serie con

una fuente de tension ( ~E0) que proporcione una d.d.p. igual a la que aparecera enel circuito primitivo con sus terminales A y B abiertos.

57


Figura 3.10: Teorema de Thevenin

Los circuitos de la gura 3.10 son equivalentes si al conectarles una carga~ZC entre sus terminales, A y B, circula la misma intensidad por la carga.

~E0 = ~UAB + ~U0 = ~UTh

~Z0 impedancia equivalente del circuito pasivo

~I =~UTh

~Z0 + ~ZCPara calcular los parametros del circuito equivalente de Thevenin, suponemos:

1. ~ZC = 0 =) ~I = ~Icc

2. ~ZC =1 =) ~E0 = ~UAB0

Por lo tanto:

~ZTh =~UAB0~Icc

Es decir, para calcular el circuito equivalente de Thevenin se ha de obtener latension que aparece entre los terminales A y B en vaco, y esta sera el valor de lafuente de tension, as como la impedancia equivalente del circuito, visto desde A yB, cortocircuitando las fuentes de tension o abriendo las de intensidad, que sera laimpedancia asociada en serie con la fuente de tension.

En resumen, este teorema dice:Un circuito cualquiera puede ser sustituido por un generador de tension

equivalente en serie con una impedancia equivalente (llamadas tension e impedanciade Thevenin).

58


Una forma de resolver un circuito aplicando el teorema de Thevenin esabrir el circuito por los puntos mas favorables; calcular la impedancia y tensionequivalentes de Thevenin para dicho circuito y aplicar el mismo proceso tantas vecescomo sea necesario hasta resolver el circuito completo.

Ejemplo 7 Determinar ~I aplicando el teorema de Thevenin en el circuito de lagura.

1. Se corta por A - B

2. Se calcula la ~Z y la ~E equivalentes (~ZTh1 y ~UTh1):

Cortocircuitando ~E0~ZTh1 = ~Z3 +

~Z1 == ~Z2

La tension equivalente sera:

~UTh1 = ~I1 ~Z2 =~E0

~Z1 + ~Z2

~Z2

donde: ~I1 =~E0

~Z1 + ~Z2El esquema equivalente de Thevenin es:

59


3. Se corta por C { D

4. Se calcula la Z equivalente y la tension equivalente.

~ZTh2 = ~Z4 == ~ZTh1

~UTh2 = ~I2 ~Z4 =~UTh1

~ZTh1 + ~Z4

~Z4

donde: ~I2 =~UTh1

~ZTh1 + ~Z4

5. Calculo de I.El circuito equivalente nal es:

60


~I =~UTh2

~ZTh2 + ~Z5

Ejemplo 8 Mediante el teorema de Thevenin, determinar ~I en el esquema de lagura.

Primer procedimiento (Z =1).Se corta entre A y B y la fuente de intensidad (~Ig), en paralelo con ~Z3, setransforma en su equivalente de tension:

61


Se calcula la tension de Thevenin (~UTh) entre A y B:

~Ia =~E1 ~E2 ~E3

~Z1 + ~Z3(3.35)

~UAB = ~UTh = ~E1 ~Z1~Ia (3.36)

La impedancia de Thevenin (~ZTh) sera:

~ZTh = ~Z1 == ~Z3

El circuito equivalente resultante es:

~I =~UTh

~ZTh + ~Z2

Segundo procedimiento (Z = 0)

Se cortocircuitan los nudos entre los que se pretende obtener la corriente (en este

caso entre A y B). Se resuelve por mallas y se obtienen ~Ia; ~Ib e ~Ic . De ellas se calcula~Icc como: ~Icc = ~Ia ~Ib.

62


Figura 3.11: Teorema de Norton.

Se calcula la impedancia de Thevenin (~ZTh)

~ZTh =~UAB~Icc

y ~UAB se calcula como antes en 3.36.Finalmente:

~I =~UTh

~ZTh + ~Z2

3.6.5.2. Teorema de Norton

Este teorema indica que todo circuito lineal activo con dos terminales accesibles,A y B, puede sustituirse, desde el punto de vista de sus efectos exteriores, por sucorrespondiente circuito pasivo (anulando todas sus fuentes) conectado en paralelocon la fuente de intensidad (IN) que produzca la misma corriente que la originadapor el circuito primitivo con sus terminales A y B en cortocircuito.

Los circuitos de la gura 3.11 son equivalentes si el valor de la fuente de intensidades el correspondiente a la corriente de cortocircuito del circuito activo. La impedanciasera la misma del circuito equivalente de Thevenin.

~IN =~UTh~ZTh

= ~Icc (3.37)

~ZN = ~ZTh (3.38)

Si consideramos una impedancia de carga conectada entre los terminales A yB, la intensidad que circula por ella sera la misma tanto si la calculamos mediante

63


Figura 3.12: Teorema de Millman

el teorema de Norton como si lo hacemos mediante el teorema de Thevenin. Laintensidad que circula por la carga sera:

~Ic =~E0

~Z0 + ~Zc(3.39)

~UAB = ~Ic ~Zc = ~I0~Z0 ~Zc

~Z0 + ~Zc=) ~Ic =

~Z0~I0~Z0 + ~Zc

(3.40)

Igualando 3.39 y 3.40 tendremos que:

~E0 = ~I0 ~Z0 (3.41)

3.6.6. Teorema de Millman

Este teorema permite calcular la tension que hay entre dos nudos A y Bconociendo las impedancias que concurren en uno de ellos, por ejemplo el B, ylas tensiones entre el otro nudo y los extremos de las citadas impedancias.

Sea el circuito de la gura 3.12, y supongamos conocidas las tensiones~UA1; ~UA2; ; ~UAn, aunque puede ignorarse la conguracion de la red entre A ylos nudos 1; 2; :::; n. Aplicando el metodo de los nudos en el nudo B, tomando Acomo referencia, se obtiene:

~I1 =~U1B~Z1

~I2 =~U2B~Z2

~In =~UnB~Zn

En el nudo B se verica que: X~Ik = 0

64


Figura 3.13: Caso particular del Teorema de Millman

y~UAB = ~UAK + ~UKB =) ~UKB = ~UAB ~UAK (3.42)

dividiendo la expresion anterior por ~ZK se obtiene:

~UKB~ZK

=~UAB~ZK

~UAK~ZK

Sumando para todas las ramas:X ~UKB~ZK

=X ~UAB

~ZKX ~UAK

~ZK=X

~IK = 0

~UABX 1

~ZK=X ~UAK

~ZK

~UAB =

P ~UAK~ZKP 1~ZK

=

P ~UAK ~YKP ~YKEl nudo A puede ser uno cualquiera del circuito y, por tanto, tambien alguno de

los nudos 1; 2; :::n. En este caso el termino correspondiente deP ~UAK ~YK sera nulo.

En el caso particular de n fuentes de tension en paralelo se tiene unaparticularizacion del teorema de Millman, gura 3.13.

~UAB =

P ~EK ~YKP ~YK65


Ejemplo 9 Determinar la tension entre los extremos A y B del circuito de la gura.

~UAB =

~E1~Z1

+~E2~Z2

1

~Z1+

1

~Z2+

1

~Z

3.7. Principio de dualidad

Se dice que dos circuitos electricos son duales cuando las leyes o relaciones queexisten entre sus variables corresponden a formas matematicas identicas, a condicionde sustituir cada variable del primero por su dual del segundo, y viceversa.

La dualidad permite estudiar diferentes circuitos mediante la consideracion desus duales que, en algunas ocasiones son mas sencillos. Fsicamente, en la mayorade los casos, los circuitos duales son totalmente diferentes; su unica analoga son lasexpresiones matematicas que ligan sus variables.

Existe una clara analoga entre elementos activos, pasivos, metodos de analisis decircuitos, esquemas, leyes, etc. Los elementos correspondientes mas frecuentementeutilizados son las siguientes \parejas":

1. Entre elementos pasivos

Resistencia = R Conductancia = G

Inductancia = L Capacidad = C

Reactancia = X Susceptancia = B

Impedancia ~Z = R +Xj Admitancia ~Y = G+Bj

66

3.7. Principio de dualidad

2. Elementos activos

Fuente ideal de tension Fuente ideal de intensidad

3. Circuitos

Serie Paralelo

4. Valores

Tension = ~U Intensidad = ~I

Potencia P = UI = RI2 Potencia P = UI = GU2

Energa E = UIt = LI2

2Energa E = UIt = CU

2

2

~U = R~I ~I = G~U

u = Ldidt

i = C dudt

5. Metodos de analisis

Nudo Malla

Ramas de nudo Ramas de malla

Tension de nudo Corriente de rama

Ley de Ohm ~U = ~Z~I ~I = ~U ~Y

Primera ley de Kirchho :P ~Ik = 0 Segunda ley de Kirchho : P ~Uk = 0

Metodo de los nudos Metodo de las mallas

Teorema de Thevenin Teorema de Norton

67


3.8. Relacion fasorial entre tension e intensidad

Supongamos que conocemos la se~nal de entrada a un circuito, por ejemplo,u(t) = UMcos(!t + 'u) = U

p2cos(!t + 'u): o de forma fasorial ~U = U 6 'u y

hemos de calcular la intensidad que circula por cada uno de los elementos pasivosdel circuito.

Dicha intensidad sera de la forma: i(t) = IMcos(!t + 'i) = Ip2cos(!t + 'i) o

de forma fasorial ~I = I 6 'iVeamos algunos casos:

1. Resistencia

Por la ley de Ohm

u(t) = Ri(t)

i (t) =UM cos (!t+ 'u)

R=UMR

cos (!t+ 'u)

I 6 'i =U

R6 'u

Por tanto:

I =U

R'u = 'i = '

donde ' es el desfase.

68


De lo que se deduce que la resistencia no produce desfase entre las ondas detension e intensidad (U e I).

2. Bobina

Utilizando la ecuacion de denicion de la bobina :

u (t) = Ldi (t)

dt

i (t) =1

L

ZUMcos(!t+ 'u)dt =

UM!L

sen (!t+ 'u) =

=UM!L

cos (!t+ 'u 90)

I 6 'i =U

!L6 ('u 90)

Por tanto:

I =U

!L'i = 'u 90

69


Esto nos indica que la bobina produce un desfase de 90o en retraso de laintensidad respecto a la tension.

3. Condensador

Por la ecuacion de denicion de un condensador

u (t) =1

C

Zi (t) dt

i (t) = Cd (UMcos(!t+ 'u))

dt= !CUM sen(!t+ 'u) =

= !CUM cos(!t+ 'u + 90)

I 6 'i = !CU 6 ('u + 90)

Por tanto:

I = !CU

'i = 'u + 90

70


Esto nos indica que el condensador produce un desfase de 90o en adelanto dela intensidad respecto de la tension

4. Circuito R-L-C

Aplicando la segunda ley de kircho en el circuito de la gura, en funcion deltiempo, tendremos:

u (t) = Ri(t) + Ldi (t)

dt+

1

C

Zi (t) dt

Utilizando las expresiones anteriores, se puede escribir:

I 6 'i =U

R6 'u +

U

!L6 ('u 90) + !CU 6 ('u + 90)

Considerando como eje de referencia el correspondiente a la tension:

~U = R~I + j!L~I j!C

~I =

R + j!L j

!C

~I

71


U = I

sR2 +

!L 1

!C

2Y siendo ' el desfase entre la tension y la corriente, se cumple:

tan' =!L 1

!CR

En la gura 3.14 se presenta una tabla con todos los casos posibles.

3.9. Resonancia

Se dice que un circuito esta en resonancia si la corriente que circula y la tensionaplicada estan en fase, o tambien, cuando la reactancia es nula.

3.9.1. Circuito serie

Las ecuaciones que denen la resonancia en un circuito serie son:

XL = !L

XC =1

!C

XL = XC =) L! =1

C!=) ! = 1p

LC

f =!

2=) f = 1

2pLC

donde f es la llamada frecuencia de resonancia.Tomando como referencia ~I, su representacion graca es:

MN = L!I

NB = IC!

72

3.9. Resonancia

Figura 3.14: Resumen de casos posibles para la relacion fasorial entre tension e intensidad

73


Figura 3.15: Circuito serie

Figura 3.16: Resonancia en serie (tensiones)

74

3.9. Resonancia

Figura 3.17: Circuito en paralelo

Si BM ! 0UMN = UNM >> UAB

UAB puede ser peque~na pero, sin embargo, pueden haber tensiones en la bobinay en el condensador muy superiores a la tension aplicada, lo que puede llegar aproducir desperfectos en la red (resonancia de tension).

3.9.2. Circuito paralelo

Considerando el circuito de la gura 3.17, con una rama inductiva y otracapacitiva; tomando ~E como referencia su representacion vectorial sera la de lagura 3.18.

I1 =Ep

R21 +X21

'1 = arctanX1R1

I2 =Ep

R22 +X22

'2 = arctanX2R2

TambienI1 = E (G1 jB1)I2 = E (G2 + jB2)

~I = Ia + jIr

donde ~Ia = intensidad activa e ~Ir = intensidad reactiva

Ia = Ia1 + Ia2 = E (G1 +G2)

Ir = Ir1 + Ir2 = E (B1 +B2)

75


Figura 3.18: Distribucion de corrientes

Figura 3.19: Resonancia paralelo (corrientes)

76

3.9. Resonancia

Si jB1j = jB2j =) Ir = 0La corriente total ~I estara en fase con la fem ~E (resonancia de corriente).Como

B1 =X1

R21 +X21

=L!

R21 + L2!2

y B2 =X2

R22 +X22

=

j

!C

R22 +1

!2C2

La condicion de resonancia es:

L!

R21 + L2!2

=

1

C!

R22 +1

C2!2

Si R1 y R2 se consideran despreciables:

1

L!= C! =) !2LC = 1

! =1pLC

f =1

2pLC

que es la condicion de resonancia de corrientes.Cuando R1 y R2 se consideran despreciables, el diagrama de la resonancia de

corrientes toma la forma de la gura 3.19. En este caso vemos que con una corriente,~I, relativamente peque~na se obtienen corrientes elevadsimas en ambas ramas delcircuito.

77


78

CAPITULO 4

Potencia y Energa

4.1. Efecto Joule de una corriente alterna senoidal

Consideremos una corriente alterna senoidal de la forma:

i (t) = IM cos!t

y supongamos que atraviesa una resistencia R. La energa transformada en calordurante un perodo sera:

W =

TZ0

Ri2 (t) dt = RI2M

TZ0

cos2 !tdt = RI2MT

2

y el valor medio de la potencia transformada en calor valdra:

Pmed =W

T=RI2M2

=R

2

Ip22

= RI2 (4.1)

Como podemos comprobar en 4.1, la potencia transformada en calor por la c. a.viene dada por la misma expresion que en corriente continua, a condicion de que laintensidad sea el valor ecaz de la c.a.

4.2. Potencia en circuitos de corriente alterna

senoidal

Sea el circuito de la gura 4.1 en donde existe un receptor Z, al que le aplicamosuna tension u(t) para que circule una intensidad i(t).

Si u(t) = UM cos!t e i(t) = IM cos(!t ') (considerando el circuito inductivo,lo mas frecuente) el valor de la potencia instantanea sera:

79

Captulo 4. Potencia y Energa

Figura 4.1: Circuito de muestra

Figura 4.2: Potencia instantanea

80

4.3. Potencia uctuante y potencia aparente

Figura 4.3: Potencias uctuante y constante

p(t) = u(t)i(t) = UM cos!tIM cos(!t ')

comocos(a+ b) = cos a cos b sen a sen bcos(a b) = cos a cos b+ sen a sen bcos(a+ b) + cos(a b) = 2 cos a cos b

p (t) =1

2UMIM cos'+

1

2UMIM cos (2!t ') =

=1

2Up2Ip2 cos'+

1

2Up2Ip2 cos (2!t ') =

= UI cos'+ UI cos (2!t ') (4.2)

donde U e I son los valores ecaces.Se puede observar que segun la gura 4.2:

1. La potencia instantanea es oscilante con una frecuencia doble que la de lasondas de tension y corriente

2. Existen intervalos de tiempo en los que el valor instantaneo de la potencia espositivo (zonas +) y otros en los que dicho valor es negativo (zonas -).

3. La c. a. no produce una potencia constante, sino variable, pero su oscilaciones tan rapida que no se percibe sensiblemente nada mas que su valor medio:

P = UI cos'

4. La potencia instantanea se puede descomponer en dos partes, una de valorconstante (UI cos') y otro de valor variable [UI cos(2!t')], que se denominapotencia uctuante.

4.3. Potencia uctuante y potencia aparente

Hemos dicho que la potencia uctuante es el segundo sumando de 4.2, o sea:

Pf = UI cos(2!t ')

81

Captulo 4. Potencia y Energa

y la potencia aparente:S = UI

La potencia aparente se mide en voltio-amperios (VA).Recordando las deniciones dadas para los elementos pasivos L y C, la potencia

uctuante es debida a las bobinas y los condensadores del circuito. Las bobinasalmacenan energa en forma de campo magnetico cuando se carga y la devuelvencuando se descarga. Igualmente el condensador, pero en forma de campo electrico.

La energa de un circuito L-C sera:

W =1

2

LI2 + CU2

El valor medio de la potencia uctuante en un perodo es cero.

4.4. Potencia activa y potencia reactiva

Si la corriente ~I que se establece en el circuito se expresa en funcion de suscomponentes activa y reactiva:

~I = Ia + jIr

se dene la potencia activa como:

Pa = UIa = UI cos' = P (4.3)

que es el valor del primer miembro de la ecuacion 4.2, y por ser nulo el valor mediode la potencia uctuante coincide con el valor medio de p (t).

Esta potencia se mide en vatios (W) y es la realmente consumida en los elementosresistivos.

La potencia reactiva se dene a partir de la expresion:

Pr = UIr = UI sen' = Q (4.4)

Esta potenci