UNIDAD I TEORIA DEL MUESTREO Uno de los propsitos de la estadstica inferencial es estimar las caractersticas poblacionales desconocidas, examinando la informacin obtenida de una muestra, de una poblacin. El punto de inters es la muestra, la cual debe ser representativa de la poblacin objeto de estudio. Se seguirn ciertos procedimientos de seleccin para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la poblacin de la que proceden, ya que solo se pueden hacer observaciones probabilsticas sobre una poblacin cuando se usan muestras representativas de la misma. Una poblacin est formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto observa. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una poblacin. Muestras Aleatorias Cuando nos interesa estudiar las caractersticas de poblaciones grandes, se utilizan muestras por muchas razones; una enumeracin completa de la poblacin, llamada censo, puede ser econmicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente. A continuacin se ver algunos usos del muestreo en diversos campos: 1. Poltica. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinin pblica y el apoyo en las elecciones. 2. Educacin. Las muestras de las calificaciones de los exmenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una tcnica o programa de enseanza. 3. Industria. Muestras de los productos de una lnea de ensamble sirve para controlar la calidad. 4. Medicina. Muestras de medidas de azcar en la sangre de pacientes diabticos prueban la eficacia de una tcnica o de un frmaco nuevo. 5. Agricultura. Las muestras del maz cosechado en una parcela proyectan en la produccin los efectos de un fertilizante nuevo. 6. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usara para determinar los criterios del pblico sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. Errores en el Muestreo Cuando se utilizan valores muestrales, o estadsticos para estimar valores poblacionales, o parmetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral. El error muestral se refiere a la variacin natural existente entre muestras tomadas de la misma poblacin. Cuando una muestra no es una copias exacta de la poblacin; an si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamao sean representativas de una cierta poblacin, no esperaramos que las dos sean idnticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que ayudar a entender mejor la naturaleza de la estadstica inferencial. Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales y se denominan errores no muestrales. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemtica inherente a un mtodo de muestreo que da estimaciones de un parmetro que son, en promedio, menores (sesgo negativo), o mayores (sesgo positivo) que el parmetro real. El sesgo muestral puede suprimirse, o minimizarse, usando la aleatorizacin. La aleatorizacin se refiere a cualquier proceso de seleccin de una muestra de la poblacin en el que la seleccin es imparcial o no est sesgada; una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. Los tipos ms comunes de tcnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemtico. Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la poblacin tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra aleatoria simple. Ejemplo 1.1 Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadstica de 20 alumnos. 20C5 da el nmero total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea tremenda, luego los colocamos en un recipiente y despus los revolvemos,

entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres. Un procedimiento ms simple para elegir una muestra aleatoria sera escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y despus extraer cinco papeles al mismo tiempo. Otro mtodo parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de nmeros aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. Tambin se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dgitos del 0 al 9 en tiras de papel, las colocamos en un recipiente y los revolvemos, de ah, la primera tira seleccionada determina el primer nmero de la tabla, se regresa al recipiente y despus de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo nmero de la tabla; el proceso contina hasta obtener una tabla de dgitos aleatorios con tantos nmeros como se desee. Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco prctico, imposible o no deseado; aunque sera deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinin sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sera muy costoso o tardado. El muestreo estratificado requiere de separar a la poblacin segn grupos que no se traslapen llamados estratos, y de elegir despus una muestra aleatoria simple en cada estrato. La informacin de las muestras aleatorias simples de cada estrato constituira entonces una muestra global. Ejemplo 1.2 Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de los profesores de una gran universidad. Puede ser difcil obtener una muestra con todos los profesores, as que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de cada colegio, o departamento acadmico; los estratos vendran a ser los colegios, o departamentos acadmicos. El muestreo por conglomerados requiere de elegir una muestra aleatoria simple de unidades heterogneas entre s de la poblacin llamadasconglomerados. Cada elemento de la poblacin pertenece exactamente a un conglomerado, y los elementos dentro de cada conglomerado son usualmente heterogneos o dismiles. Ejemplo 1.3 Suponga que una compaa de servicio de televisin por cable est pensando en abrir una sucursal en una ciudad grande; la compaa planea realizar un estudio para determinar el porcentaje de familias que utilizaran sus servicios, como no es prctico preguntar en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la ciudad al azar, la cual forma un conglomerado. En el muestreo por conglomerados, stos se forman para representar, tan fielmente como sea posible, a toda la poblacin; entonces se usa una muestra aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones sociales como iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente, con base en el muestreo por conglomerados. El muestreo sistemtico es una tcnica de muestreo que requiere de una seleccin aleatoria inicial de observaciones seguida de otra seleccin de observaciones obtenida usando algn sistema o regla. Ejemplo 1.4 Para obtener una muestra de suscriptores telefnicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los nmeros de las pginas del directorio telefnico; al elegir el vigsimo nombre de cada pgina obtendramos un muestreo sistemtico, tambin podemos escoger un nombre de la primera pgina del directorio y despus seleccionar cada nombre del lugar nmero cien a partir del ya seleccionado. Por ejemplo, podramos seleccionar un nmero al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los nmeros 40, 140, 240, 340 y as sucesivamente. Error Muestral Cualquier medida conlleva algn error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional , entonces la media muestral, como medida, conlleva algn error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamao 25 de una poblacin con media = 15: si la media de la muestra es x=12, entonces a la diferencia observada x= -3 se le denomina el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional Ejemplo 1.5 y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces:

Se toman muestras de tamao 2 de una poblacin consistente en tres valores, 2, 4 y 6, para simular una poblacin "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran nmero de veces, supondremos que ste se hace con reemplazo, es decir, el nmero elegido se reemplaza antes de seleccionar el siguiente, adems, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccion primero 4 y despus 2. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamao 2 que es posible seleccionar con reemplazo y tambin contiene las medioas muestrales y los correspondientes errores muestrales. La media poblacional es igual a = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla en la siguiente pgina. Notese las interesantes relaciones siguientes contenidas en la tabla: La media de la coleccin de medias muestrales es 4, la media de la poblacin de la que se extraen las muestras. Si x denota la media de todas las medias muestrales entonces tenemos: x = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4 La suma de los errores muestrales es cero. e1 + e2 + e3 + . . . + e9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0 Muestras ordenadas (2,2) (2,4) (2,6) (4,2) (4,4) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6) x 2 3 4 3 4 5 4 5 6 Error muestral e = x 2 4 = -2 3 4 = -1 44=0 3 4 = -1 44=0 54=1 44=0 54=1 64=2

En consecuencia, si x se usa para medir, estimar, la media poblacional , el promedio de todos los errores muestrales es cero. Distribuciones Muestrales Las muestras aleatorias obtenidas de una poblacin son, por naturaleza propia, impredecibles. No se esperara que dos muestras aleatorias del mismo tamao y tomadas de la misma poblacin tenga la misma media muestral o que sean completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadstico, como la media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribucin de todos los valores posibles de un estadstico. Tales distribuciones sern muy importantes en el estudio de la estadstica inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harn usando estadsticas muestrales. Como el anlisis de las distribuciones asociadas con los estadsticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadstico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parmetro poblacional desconocido. Como los valores de un estadstico, tal como x, varan de una muestra aleatoria a otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribucin de frecuencias. La distribucin de frecuencia de un estadstico muestral se denomina distribucin muestral. En general, la distribucin muestral de un estadstico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamao. Suponga que se han seleccionado muestras aleatorias de tamao 20 en una poblacin grande. Se calcula la madia muestral x para cada muestra; la coleccin de todas estas medias muestrales recibe el nombre de distribucin muestral de medias, lo que se puede ilustrar en la siguiente figura:

Suponga que se eligen muestras aleatorias de tamao 20, de una poblacin grande, y se calcula la deviacin estndar de cada una. La coleccin de todas estas desviaciones estndar muestrales se llama distribucin muestral de la desviacin estndar, y lo podemos ver en la siguiente figura:

Ejemplo 1.6 Se eligen muestras ordenadas de tamao 2, con reemplazo, de la poblacin de valores 0, 2, 4 y 6. Encuentre: , la media poblaciona. , la desviacin estndar poblacional.x,

la media de la distribucin muestral de medias.

x, la desviacin estndar de la distribucin muestral de medias. Adems, grafique las frecuencias para la poblacin y para la distribucin muestral de medias. Solucin: a. La media poblacional es:

b. La desviacin estndar de la poblacin es:

c.

A continuacin se listan los elementos de la distribucin muestral de la media y la correspondiente distribucin de frecuencias.

La media de la distribucin muestral de medias es:

d) La desviacin estndar de la distribucin muestral de medias es:

D e aqu que podamos deducir que: Como para cualquier variable aleatoria, la dsitribucin muestral de medias tiene una media o valor esperado, una varianza y una desviacin estndar, se puede demostrar que la distribucin muestral de medias tiene una media igual a la media poblacional. Esto es: Distribuciones muestrales Despus de haber realizado el ejercicio anterior se puede ver que una distribucin muestral se genera extrayendo todas las posibles muestras del mismo tamao de la poblacin y calculndoles a stas su estadstico. Si la poblacin de la que se extraen las muestras es normal, la distribucin muestral de medias ser normal sin importar el tamao de la muestra.

Si la poblacin de donde se extraen las muestras no es normal, entonces el tamao de la muestra debe ser mayor o igual a 30, para que la distribucin muestral tenga una forma acampanada. Mientras mayor sea el tamao de la muestra, ms cerca estar la distribucin muestral de ser normal.

Para muchos propsitos, la aproximacin normal se considera buena si se cumple n=30. La forma de la disitribucin muestral de medias sea aproximadamente normal, an en casos donde la poblacin original es bimodal, es realmente notable.

Teorema del lmite central Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una poblacin con media estndar aproximadamente una distribucin normal con una media igual a de y desviacin , entonces, cuando n es grande, la distribucin muestral de medias tendr y una desviacin estndar

. La aproximacin ser cada vez ms exacta a medida de que n sea cada vez mayor.

Ejemplo Para la distribucin muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre: a. El error muestral de cada media b. La media de los errores muestrales c. La desviacin estndar de los errores muestrales. Solucin: a. En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras y los errores muestrales: Muestra (0,0) (0,2) (0,4) (0,6) (2,0) (2,2) (2,4) (2,6) (4,0) (4,2) (4,4) (4,6) x 0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 Error muestral, e=x0 - 3 = -3 1 - 3 = -2 2 - 3 = -1 33=0 1 3 = -2 2 3 = -1 33=0 43=1 2 3 = -1 33=0 43=1 53=2

(6,0) (6,2) (6,4) (6,6)

3 4 5 6e

33=0 43=1 53=2 63=3 , es:

b. La media de los errores muestrales es

e,

c. La desviacin estndar de la distribucin de los errores muestrales es entonces:

La desviacin estndar de la distribucin muestral de un estadstico se conoce como error estndar del estadstico. Para el ejercicio anterior el error estndar de la media denotado por x, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de una poblacin se eligen muestras de tamaon con reemplazo, entonces el error estndar de la media es igual a la desviacin estndar de la distribucin de los errores muestrales. En general se tiene: Cuando las muestras se toman de una poblacin pequea y sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrarx

.

donde es la desviacin estndar de la poblacin de donde se toman las muestras, n es el tamao de la muestra y N el de la poblacin. Como rfegla de clculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamao de la poblacin es al menos 20 veces el tamao de la muestra (N 20), entonces se puede usar la frmula.

El factor se denomina factor de correccin para una poblacin finita. Ejemplo: Suponga que la tabla siguiente muestra la antiguedad en aos en el trabajo de tres maestros universitarios de matemticas: Maestro de matemticas A B C Antiguedad 6 4 2

Suponga adems que se seleccionan muestras aleatorias de tamao 2 sin reemplazo. Calcule la antigedad media para cada muestra, la media de la distribucin muestral y el error estndar, o la desviacin estndar de la distribucin muestral. Solucin:Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamao 2, con sus respectivas medias muestrales. Muestras Antigedad Media Muestral

A,B A,C B,C

(6,4) (6,2) (4,2)

5 4 3

La media poblacional es:

La media de la distribucin muestral es: La desviacin estndar de la poblacin es:

El error estndar o la desviacin estndar de la distribucin muestral es:

Si utilizamos la frmula del error estndar sin el factor de correcin tendriamos que:

Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de correccin obtendremos el valor correcto:

El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula el valor del error estndar:

Distribucin Muestral de Medias Si recordamos a la distribucin normal, esta es una distribucin continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simtrica. Con esta distribucin podamos calcular la probabilidad de algn evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente frmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta frmula se pueden a hacer los clculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribucin z. Sabemos que cuando se extraen muestras de tamao mayor a 30 o bien de cualquier tamao de una poblacin normal, la distribucin muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribucin normal con y , entonces la frmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadstico, en este caso la media de la muestra , quedara de la siguiente manera:

y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

Ejemplo: Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviacin estndar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. Solucin:

Este valor se busca en la tabla de z La interpretacin sera que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062. Ejemplo: Las estaturas de 1000 estudiantes estn distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamao 25 sin reemplazo de esta poblacin, determine: a. El nmero de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centmetros. b. El nmero de medias muestrales que caen por debajo de 172 centmetros. Solucin: Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendr que agregar el factor de correccin. Se proceder a calcular el denominador de Z para slo sustituirlo en cada inciso.

a.

(0.7607)(200)=152 medias muestrales b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales Distribucin muestral de Proporciones Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporcin de artculos defectuosos o la proporcin de alumnos reprobados en la muestra. La distribucin muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribucin se genera de igual manera que la distribucin muestral de medias, a excepcin de que al extraer las muestras de la poblacin se calcula el estadstico proporcin (p=x/n en donde "x" es el nmero de xitos u observaciones de inters y "n" el tamao de la muestra) en lugar del estadsitico media.

Una poblacin binomial est estrechamente relacionada con la distribucin muestral de proporciones; una poblacin binomial es una coleccin de xitos y fracasos, mientras que una distribucin muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los nmeros posibles de xitos en un experimento binomial, y como consecuencia de esta relacin, las afirmaciones probabilsticas referentes a la proporcin muestral pueden evaluarse usando la aproximacin normal a la binomial, siempre que np 5 y

n(1-p) 5. Cualquier evento se puede convertir en una proporcin si se divide el nmero obtenido entre el nmero de intentos. Generacin de la Distribucin Muestral de Proporciones Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artculos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artculos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribucin muestral de proporciones para el nmero de piezas defectuosas. Como se puede observar en este ejercicio la Proporcin de artculos defectuosos de esta poblacin es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote estn defectuosas. El nmero posible de muestras de tamao 5 a extraer de una poblacin de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera: Artculos Buenos Artculos Malos Proporcin de artculos defectuoso 4/5=0.8 3/5=0.6 2/5=0.4 1/5=0.2 0/5=0 792 Nmero de maneras en las que se puede obtener la muestra8C1*4C4=8 8C2*4C3=112 8C3*4C2=336 8C4*4C1=280

1 2 3 4 5 Total

4 3 2 1 0

8C5*4C0=56

Para calcular la media de la distribucin muestral de proporciones se tendra que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporcin muestral y dividirla entre el nmero total de muestras. Esto es:

Como podemos observar la media de la distribucin muestral de proporciones es igual a la Proporcin de la poblacin.p = P Tambin se puede calcular la desviacin estndar de la distribucin muestral de proporciones:

La varianza de la distribucin binomial es de proporciones es2 p

2

= npq, por lo que la varianza de la distribucin muestral

=(Pq)/n. Si se sustituten los valores en esta frmula tenemos que:

, este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de correccin para una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo:

La frmula que se utilizar para el clculo de probabilidad en una distribucin muestral de proporciones est basada en la aproximacin de la distribucin normal a la binomial . Esta frmula nos servir para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporcin en la muestra.

A esta frmula se le puede agregar el factor de correccin de si se cumple con las condiciones necesarias. Ejemplo: Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporcin de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55. Solucin: Este ejercicio se puede solucionar por dos mtodos. El primero puede ser con la aproximacin de la distribucin normal a la binomial y el segundo utilizando la frmula de la distribucin muestral de proporciones. Aproximacin de la distribucin normal a la binomial: Datos: n=800 estudiantes p=0.60 x= (.55)(800) = 440 estudiantes p(x< 440) = ? Media= np= (800)(0.60)= 480

p(x< 440) = 0.0017. Este valor significa que existe una probabilidad del 0.17% de que al extraer una muestra de 800 estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos.

Distribucin Muestral de Proporciones Datos: n=800 estudiantes P=0.60 p= 0.55 p(p< 0.55) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido en el mtodo de la aproximacin de la distribucin normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de "z" nos da la misma probabilidad de 0.0017. Tambin se debe de tomar en cuenta que el factor de correccin de 0.5 se esta dividiendo entre el tamao de la muestra, ya que estamos hablando de una proporcin. La interpretacin en esta solucin, estara enfocada a la proporcin de la muestra, por lo que diramos que la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporcin de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%. Ejemplo: Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reaccin adversa a l, ms an, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reaccin. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporcin de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reaccin adversa, exceda el 4%. a. Resolverlo mediante la aproximacin de la normal a la binomial b. Resolverlo con la distribucin muestral de proporciones a. Aproximacin de la distribucin normal a la binomial: Datos: n=150 personas p=0.03 x= (0.04)(150) = 6 personas p(x>6) = ? Media = np= (150)(0.03)= 4.5

p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150 personas, mas de 6 presentarn una reaccin adversa. b. Distribucin Muestral de Proporciones Datos: n=150 personas P=0.03 p= 0.04 p(p>0.04) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretacin es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporcin mayor de 0.04 presentando una reaccin adversa. Ejemplo: Se sabe que la verdadera proporcin de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 60 tenga: a. Menos del 3% de los componentes defectuosos. b. Ms del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas. Solucin: a. Datos: n= 60 artculos P=0.04 p= 0.03 p(p 5.88 Se rechaza Ho

Puesto que = 121-112 = 9 y este nmero es mayor a 5.88 por lo tanto se rechaza Ho. 7. Se utilizan dos mquinas para llenar botellas de plstico con un volumen neto de 16.0 onzas. Las distribuciones de los volmenes de llenado pueden suponerse normales, con desviaciones estndar 1= 0.020 y 2 = 0.025 onzas. Un miembro del grupo de ingeniera de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas mquinas es el mismo, sin importar si ste es o no de 16 onzas. De cada mquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas. Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice = 0.05 MAQUINA 1 16.03 16.04 16.05 16.05 16.02 16.01 15.96 15.98 16.02 15.99 16.02 15.97 15.96 16.01 15.99 MAQUINA 2 16.03 16.04 16.02 16.01 16.00

Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de medias con desviacin estndar conocida. 2. Datos:1 2

= 0.020 = 0.025 Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la mquina 1.

Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la mquina 2. n1=n2 = 10 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho;1

-

2

=0

H1; 0 Si se cae en Ho se podr probar que el volumen de llenado es el mismo en 12 las dos mquinas.

4. Regla de Decisin: Si 1.96 ZR 1.96 No se rechaza Ho Si ZR < -1.96 si ZR > 1.96 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: Como 1.96 0.987 1.96 entonces no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que las dos mquinas tienen en promedio la misma cantidad de llenado. Solucin por el otro mtodo:

-0.019 y 0.019

Regla de decisin: Si 0-019 Si < -0.019 0.019 No se rechaza Ho > 0.019 Se rechaza Ho

Como = 16.015 16.005 = 0.01, entonces cae en la regin de aceptacin y no se rechaza Ho. 8. Existen dos tipos de plstico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrnicos. La tensin de ruptura de ese plstico es un parmetro importante . Se sabe que 1= 2= 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamao 10 y 12 para cada plstico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el plstico 1 y de 155 para el plstico 2. La compaa no adoptar el plstico 1 a menos que la tensin de ruptura de ste exceda a la del plstico 2 al menos por 10 psi. Con base a la informacin contenida en la muestra, la compaa deber utilizar el plstico 1? Utilice = 0.05 para llegar a una decisin. Solucin:

1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de medias con desviacin estndar conocida. 2. Datos:1

=

2

= 1.0 psi

n1= 10 n2= 12 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho;1

-

2

= 10

H1; 12 > 10 Se desea rechazar Ho si la media del plstico 1 supera a la media del plstico 2 en por lo menos 10 psi.

4. Regla de decisin: Si zR 1.645 no se rechaza Ho. Si zR> 1.645 se rechaza Ho. 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: No existe evidencia suficiente para apoyar el uso del plstico 1 ya que 5.83 1.645, por lo tanto no se rechaza Ho. Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin: Si Si 10.70 No se rechaza Ho > 10.70 Se rechaza Ho

Puesto que rechaza Ho.

= 162.5-155 = 7.5 y este nmero es no es mayor a 10.7 por lo tanto no se

8. Se evalan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en unaoperacin de pulido en la fabricacin de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano despus de una ciruga de cataratas. Se pulen 300 lentes con la primera solucin y, de stos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Despus se pulen otros 300 lentes con la segunda solucin, de los cuales 196 resultan satisfactorios. Existe alguna razn para creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? Utilice = 0.01 Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de proporciones. 2. Datos: p1= 253/300= 0.8433 p2 = 196/300= 0.6533 n1=n2 = 300 3. Ensayo de hiptesis: Ho; P1-P2 = 0 H1; P1-P2 0

4. Regla de Decisin: Si 2.575 ZR 2.575 No se rechaza Ho Si ZR < -2.575 si ZR > 2.575 Se rechaza Ho 5. Clculos:

En esta frmula se puede observar que en el denominador se tienen a las proporciones poblacionales o sea los parmetros, los cuales no se conocen, por lo que en el ensayo de hiptesis la frmula para poder calcular la ZR cambia, estimando a el parmetro comn P de la siguiente forma:

bien Entonces la frmula de ZR quedara de la siguiente manera:

Se calcular el valor de P:

6. Justificacin y decisin: Puesto que 5.36>2.575, se rechaza la hiptesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.01 que los dos fluidos para pulir son diferentes. 10. Se tomar el voto entre los residentes de una ciudad y el condado circundante para determinar si se debe construir una planta qumica propuesta. El lugar de construccin est dentro de los lmites de la ciudad y por esta razn muchos votantes del condado consideran que la propuesta pasar debido a la gran proporcin de votantes que favorecen la construccin. Para determinar si hay una diferencia significativa en la proporcin de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorecen la propuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado tambin lo hacen, estara de acuerdo en que la proporcin de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es ms alto que la proporcin de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de 0.025. Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de proporciones. 2. Datos: p1= 120/200= 0.60 p2 = 240/500= 0.48 n1 = 200 n2 = 500 3. Ensayo de hiptesis: Ho; P1-P2 = 0 H1; P1-P2 > 0

4. Regla de decisin: Si zR 1.96 no se rechaza Ho. Si zR> 1.96 se rechaza Ho. 5. Clculos: Se calcular el valor de P:

6. Justificacin y decisin: Puesto que 2.9>1.96, se rechaza la hiptesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.025 que la proporcin de votantes de la ciudad a favor de la propuesta es ms alta que la proporcin de votantes del condado. Uso de valores P para la toma de decisiones Al probar hiptesis en las que la estadstica de prueba es discreta, la regin crtica se puede elegir de forma arbitraria y determinar su tamao. Si es demasiado grande, se puede reducir al hacer un ajuste en el valor crtico. Puede ser necesario aumentar el tamao de la muestra para compensar la disminucin que ocurre de manera automtica en la potencia de la prueba (probabilidad de rechazar Ho dado que una alternativa especfica es verdadera). Por generaciones enteras de anlisis estadstico, se ha hecho costumbre elegir un nivel de significancia de 0.05 0.01 y seleccionar la regin crtica en consecuencia. Entonces, por supuesto, el rechazo o no rechazo estricto de Ho depender de esa regin crtica. En la estadstica aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa la aproximacin del valor P. La aproximacin se disea para dar al usuario una alternativa a la simple conclusin de "rechazo" o "no rechazo". La aproximacin del valor P como ayuda en la toma de decisiones es bastante natural pues casi todos los paquetes de computadora que proporcionan el clculo de prueba de hiptesis entregan valores de P junto con valores de la estadstica de la prueba apropiada. Un valor P es el nivel (de significancia) ms bajo en el que el valor observado de la estadstica de prueba es significativo. El valor P es el nivel de significancia ms pequeo que conduce al rechazo de la hiptesis nula Ho. El valor P es el mnimo nivel de significancia en el cual Ho sera rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado de informacin. Una vez que el valor de P se haya determinado, la conclusin en cualquier nivel particular resulta de comparar el valor P con : 1. Valor P rechazar Ho al nivel . 2. Valor P > No rechazar Ho al nivel . Ensayo Unilateral Derecho:

Ensayo Unilateral Izquierdo:

Ensayo Bilateral:

Ejemplos: 1. Calcular el valor de P para el primer ejemplo de ensayo de hiptesis en donde se quera probar que la edad media de los habitantes de Estados Unidos es superior a 70 aos. Solucin: 1. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 70 aos. > 70 aos.

2. Regla de decisin: Si P 0.05 se rechaza Ho. Si P > 0.05 No se rechaza Ho. 3. Clculos:

Esta es el valor de Z que se utilizar para calcular el valor de P, como es un ensayo unilateral derecho se calcular el rea a la derecha de este valor.

4. Justificacin y decisin: Como el valor de P es 0.217 y es menor al valor del nivel de significancia de 0.05 por lo tanto se rechaza H0, y se concluye que la edad media de los habitantes es mayor a 70 aos. 1. Calcular el valor de P para el ejemplo 7 de esta seccin en donde se tiene dos mquinas y se quiere ver si tienen la misma cantidad promedio de llenado en las botellas de plstico. Solucin: 1. Ensayo de hiptesis Ho;1

-

2

=0

H1; 0 Si se cae en Ho se podr probar que el volumen de llenado es el mismo en 12 las dos mquinas.

2. Regla de Decisin: Si P 0.05 Se rechaza Ho Si P > 0.05 No se rechaza Ho 3. Clculos:

Como este es un ensayo bilateral se proceder a calcular el valor de P mediante el valor de la ZR, positiva y negativa y luego se sumarn las reas.

Como el valor de P es mayor al de , se no se rechaza H0, y se concluye que las maquinas tienen el mismo llenado promedio. 1. Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de 20,000 kilmetros por ao. Para probar esta afirmacin, se pide a una muestra de 100 propietarios de automviles que lleven un registro de los kilmetros que viajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la muestra aleatoria tiene un promedio de 23,500 kilmetros y una desviacin estndar de 3900 kilmetros? Utilice un valor P para su conclusin. Solucin: En este ejercicio no nos manejan ningn valor de , por lo que se proceder a plantear el ensayo y luego calcular z para poder conocer el valor de P y llegar a una conclusin. 1. Ensayo de hiptesis Ho; = 20,000 kilmetros. H1; > 20,000 kilmetros. 2. Clculos:

3. Decisin. Se observa que este valor de Z es muy grande, ni siquiera se encuentra en la tabla, entonces quiere decir que el rea a la derecha de ese valor es cero y este sera el valor de P, por lo que no apoya a la hiptesis nula y se concluye que los automviles se manejan en promedio ms de 20,000 kilmetros por ao. 4. Se estudia la fraccin de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografa. Para ello se somete a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probar Ho: P=0.05 contra H1: P 0.05. Utilice un valor de P para su conclusin. Solucin: 1. Ensayo de hiptesis Ho; P = 0.05 H1; P 0.05 2. Clculos:

3. Decisin: Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se concluye que la fraccin defectuosa de circuitos integrados es de 0.05, o sea no se rechaza Ho. ERROR TIPO II Al evaluar un procedimiento de prueba de hiptesis, tambin es importante examinar la probabilidad del error tipo II, el cual se denota por . Esto es,

= P(error tipo II) = P(aceptar Ho/ Ho es falsa) Para calcular se debe tener una hiptesis alternativa especfica; esto es, debe tenerse un valor es mayor que 52 cm/s o menor que 48 particular del parmetro. Por ejemplo, supngase que es importante rechazar la hiptesis nula Ho: = 50 cada vez que la rapidez promedio de combustin cm/s. Para ello, puede calcularse la probabilidad de un error tipo II para los valores = 52 y = 48, y utilizar este resultado para averiguar algo con respecto a la forma en que se desempear la prueba. De manera especfica, cmo trabajar el procedimiento de prueba si se desea detectar, esto es, rechazar Ho, para un valor medio de = 52 = 48? Dada la simetra, slo es necesario = evaluar uno de los dos casos, esto es, encontrar la probabilidad de aceptar la hiptesis nula Ho: 50 cuando el valor verdadero es = 52. Para hacer este clculo se tendr un tamao de muestra de 10 y una desviacin estndar de la poblacin de 2.5 cm/s. Adems se evaluar el error tipo II con un nivel de significancia de 0.06. Ho: = 50 H1: 50 Como ya sabemos se trata de un ensayo bilateral por lo que se tendr que calcular el valor del estadstico de la siguiente manera:

Para facilitar los clculos se redondearn estos nmeros a 48.5 y 51.5

Para poder comprender mejor el clculo del error tipo II se delimitar el rea de la regin de aceptacin con dos lneas ya que es bilateral y se evaluar la probabilidad de caer en esa rea cuando la media tiene un valor de 52 y de 48.

Como se puede observar en cada calculo del valor En el primer calculo de izquierdo del 48.5, por lo que

se tuvieron que evaluar los dos valores de z.

se tiene un valor de z=-4.43, esto quiere decir que no existe rea del lado slo ser el rea que corresponda a la z=-0.63. Lo mismo pasa con

el segundo clculo de . Como las medias de 52 y 48 son equidistantes del 50 por este motivo los valores del error tipo II son los mismos. En caso que no estn equidistantes se tienen que calcular por separado y calcular los valores correspondientes de z porque en ocasiones se tiene un rea que no est dentro de la regin de aceptacin, la cual no se tiene que tomar en cuenta para evaluar al error tipo II. A continuacin se proceder a generar algunas curvas caractersticas de operacin para evaluar al error tipo II, entre ms se aleja el valor verdadero de la media de la media de la hiptesis nula, menor es la probabilidad del error tipo II para un tamao de muestra y nivel de significancia dadas. A medida que el tamao de la muestra aumenta la probabilidad de cometer el error tipo II disminuye. Esto se observar en los ejercicios siguientes. Ejemplos: 1. Generar una curva caracterstica de operacin para el ejercicio nmero 1 de la seccin de ensayo de hiptesis con las siguientes medias supuestas: = 70.5, 71, 71.5, 72, 72.5, 73, 73.5, y 74. 2. Datos: =70 aos = 8.9 aos = 71.8 aos n = 100 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 70 aos. > 70 aos.

Se calcular el estadstico lmite:

En la mayora de los libros de estadstica existen las curvas caractersticas de operacin para diferentes tamaos de muestra y stas se proporcionan tanto para = 0.05 como para = 0.01 (son las ms comunes). Para poder utilizar las curvas se define un parmetro llamadod, que estandariza para cualquier valor de y :

Si se quisiera consultar en un libro, cul es la probabilidad de cometer el error tipo II cuando la media verdadera es de 72?; se tendra que calcular el valor de d y buscar en las curvas la que pertenezca a un tamao de muestra de 100 con un = 0.05.

Este valor se encuentra en el eje de las x. Si se transforma la curva caracterstica de operacin con el valor de d quedara de la siguiente manera:

Se coment anteriormente que si el tamao de la muestra aumenta los dos tipos de errores y disminuyen. Para probar esto y especficamente en lo que se refiere al error tipo II se realizar el ejercicio anterior suponiendo que en lugar de tener 100 personas, el tamao de la muestra aumenta a 150 personas. Se calcular el estadstico lmite:

1. Generar una curva caracterstica de operacin (CCO) para el ejercicio 5 de ensayo de hiptesis. Suponer los siguientes valores de P; 0.04, 0.03, 0.025, 0.02 y 0.01. Enseguida se proporciona la informacin necesaria para realizar la CCO: Datos: P= 0.05 p = 4/200 = 0.02 n = 200 = 0.05

Ensayo de hiptesis Ho; P = 0.05 H1; P < 0.05

Solucin: Se proceder a calcular el estadstico lmite pL:

En una distribucin muestral de proporciones, para graficar la CCO, se necesita calcular el valor de np, que es el que ir en el eje de las x para estandarizar la curva. 2. Genere un CCO para el ejercicio nmero 6 de la seccin anterior. Suponga las siguientes diferencias de medias: Datos:1 1

-

2

=2, 4, 6, 7, 9, 12 y 14.

=

2

=8

n1=n2= 10 = 0.05 Ensayo de hiptesis Ho; H1;1 1

-

2 2

=0 >0

Para graficar la curva se utilizar el valor de d, el cual para una distribucin muestral de diferencia de medias tiene la siguiente frmula:

En los libros de estadstica lo que se acostumbra en algunos de los ejercicios es preguntar slo un punto de la CCO, por lo que a continuacin se resolvern dos problemas tipo. 3. Se require que la tensin de ruptura de un hilo utilizado en la fabricacin de material de tapicera se al menos de 100 psi. La experiencia ha indicado que la desviacin estndar de la tensin de ruptura es de 2 psi. Se prueba una muestra aleatoria de nueve especmenes, y la tensin de ruptura promedio observada en ella es de 98 psi. Cual es la probabilidad de aceptar la hiptesis nula con un = 0.05 si la tensin promedio de ruptura verdadera de la fibra es 104 psi? Solucin: Ensayo de hiptesis: Ho; = 100 H1; > 100 Se calcula el estadstico lmite:

4. Del ejercicio nmero 7 de la seccin anterior encontrar el error tipo II suponiendo que la diferencia verdadera entre las medias de las mquinas es fe 0.03 Datos:1 2

= 0.020 = 0.025

n1=n2 = 10 = 0.05 Solucin: Ensayo de hiptesis Ho; H1;1 1

-

2 2

=0 0

Por ser bilateral se calcularon dos valores de z, y como se puede observar del lado izquierdo de 0.019 ya no se encuentra rea, por lo que el error tipo II slo ser el rea a la izquierda del valor de la diferencia del estadstico lmite 0.019. Problemas propuestos 1. En un estudio para estimar la proporcin de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que estn a favor de la construccin de una planta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos estn a favor de la construccin mientras que slo 59 de 125 residentes suburbanos la favorecen. Hay una diferencia significativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanos que favorecen la construccin de la planta nuclear? Use un valor de P para su conclusin.

2. Una compaa petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudad se calientan con petrleo. Tenemos razn en dudar de esta afirmacin si, en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta ciudad, se encuentra que 136 se calientan con petrleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01. 3. Se sabe que la duracin, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribucin aproximadamente normal, con una desviacin estndar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duracin promedio de 1014 horas. a. Existe evidencia que apoye la afirmacin de que la duracin promedio del foco es mayor que 1000 horas? Utilice un = 0.05. b. Cual es el valor P para la prueba?

c. Cul es el valor de para la prueba del inciso a) si la verdadera duracin promedio del foco es de 1050 horas? 4. Se estudia la tasa de combustin de dos propelentes slidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustin de los dos propelentes tiene aproximadamente la misma desviacin estndar de 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de 20 especmenes cada una, obtenindose medias de 18 y 24 cm/s respectivamente. a. Pruebe la hiptesis de que los dos combustibles slidos tienen la misma rapidez promedio de combustin. Utilice un = 0.05. b. Cul es el valor de P de la prueba? c. Cul es el valor de para la prueba del inciso a) si la verdadera diferencia en la rapidez promedio de combustin es 2.5 cm/s? 4. Un artculo publicado en Fortune afirma que casi la mitad de todos los ingenieros continan sus estudios acadmicos despus de obtener la licenciatura. Un artculo publicado en Engineering Horizons indica que 117 de 484 recin graduados planean continuar sus estudios. a. Los datos publicados en Engineering Horizons son consistentes con los publicados en Fortune? b. Encuentre el valor de P de la prueba. 6. En un invierno con epidemia de gripe, una compaa farmacutica bien conocida estudi 2000 bebes para determinar si la nueva medicina de la compaa era efectiva despus de dos das. Entre 120 bebes que tenan gripe y se les administr la medicina, 29 se curaron dentro de dos das. Entre 280 bebs que tenan gripe pero que no recibieron la medicina, 56 se curaron dentro de dos das. Hay alguna indicacin significativa que apoye la afirmacin de la compaa de la efectividad de la medicina? Calcule el valor P. 7. Se lanza 20 veces una moneda, con un resultado de cinco caras. Esta es suficiente evidencia para rechazar la hiptesis de que la moneda esta balanceada a favor de la alternativa de que las caras ocurren menos de 50% de las veces.? Realice la prueba con un nivel de significancia de 0.03 y cite un valor P. 8. Se supone que los neumticos para automvil de cierto tipo recin comprados debenllenarse a una presin de 30 lb/pulg2. Se representa con el verdadero promedio de presin. Encuentre el valor P asociado con cada valor del estadstico z dado para probar Ho; = 30 contra H1; 30. a) 2.10 b) 1.75 c) 0.55 d) 1.41 e) 5.3 9. Se realiz un experimento para comparar la resistencia a la fractura del acero con nquel maragizado, con el acero de pureza comercial del mismo tipo. Para 32 especmenes, la resistencia promedio muestral fue de 65.6 para el acero de alta pureza, mientras que se obtuvo una media muestral de 59.8 en 38 especmenes del acero comercial. Debido que el acero de alta pureza es ms costoso, su uso para cierta aplicacin puede justificarse slo si su resistencia a la fractura excede la del acero de pureza comercial en ms de 5. Suponga que ambas distribuciones de resistencias son normales.

a. Si se supone que0.001.

1

= 1.2 y

2

= 1.1, pruebe las hiptesis pertinentes usando1

=

b. Calcule2

para la prueba del inciso anterior cuando

= 6.

10. Se cree que la portada y la naturaleza de la primera pregunta de encuestas por correoinfluyen en la tasa de respuesta. Un artculo prob esta teora al experimentar con diferentes diseos de portadas. Una portada sencilla, y la otra utiliz la figura de un paracaidista. Los investigadores especularon que la tasa de devolucin sera menor para la portada sencilla. Portada Sencilla Paracaidista Nmero de envos 207 213 Nmero de devoluciones 104 109

Esta informacin apoya la hiptesis de los investigadores? Haga la prueba con un nivel de significancia de 0.10, calculando primero un valor P. Respuesta a los Problemas propuestos 1. z= 2.40; s, P=0.01 2. P2, respectivamente. La siguiente figura presenta la grfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribucin t es similar a la de la distribucin normal estndar: ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada se alcanza en la media = 0. Sin embargo, la distribucin t tiene colas ms amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados de libertad tiende a infinito, la forma lmite de la distribucin t es la distribucin normal estndar.

Propiedades de las distribuciones t 1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. 2. Cada curva t, est ms dispersa que la curva normal estndar z.

3. A medida que 4. A medida que

aumenta, la dispersin de la curva t correspondiente disminuye. , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estndar,

por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = La distribucin de la variable aleatoria t est dada por:

Esta se conoce como la distribucin t con

grados de libertad. y

Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes que son todas normales con media

desviacin estndar . Entonces la variable aleatoria tiene una distribucin t con = n-1 grados de libertad. La distribucin de probabilidad de t se public por primera vez en 1908 en un artculo de W. S. Gosset. En esa poca, Gosset era empleado de una cervecera irlandesa que desaprobaba la publicacin de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibicin, public su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribucin t normalmente se llama distribucin t de Student, o simplemente distribucin t. Para derivar la ecuacin de esta distribucin, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una poblacin normal. Aunque esto parecera una suposicin muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana an proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribucin t. La distribucin t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamao de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando el tamao de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones sern las mismas. Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual se encuentra un rea igual a . ; es

Como la distribucin t es simtrica alrededor de una media de cero, tenemos

decir, el valor t que deja un rea de a la derecha y por tanto un rea de a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un rea de en la cola derecha de la distribucin. Esto es, t0.95 = -t0.05, t0.99=-t0.01, etc. Para encontrar los valores de t se utilizar la tabla de valores crticos de la distribucin t del libro Probabilidad y Estadstica para Ingenieros de los autores Walpole, Myers y Myers. Ejemplo: El valor t con = 14 grados de libertad que deja un rea de 0.025 a la izquierda, y por tanto un rea de 0.975 a la derecha, es t0.975=-t0.025 = -2.145

Si se observa la tabla, el rea sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer rengln de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten y se obtendr el valor de t. Ejemplo: Encuentre la probabilidad de t0.025 < t < t0.05. Solucin:

Como t0.05 deja un rea de 0.05 a la derecha, y t0.025 deja un rea de 0.025 a la izquierda, encontramos un rea total de 1-0.05-0.025 = 0.925. P( t0.025 < t < t0.05) = 0.925 Ejemplo: Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamao 15 que se selecciona de una distribucin normal. Solucin:

Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un rea de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a . Luego se busca el valor de 0.005 en el primer rengln con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de est en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto: P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045

Ejemplo: Un ingeniero qumico afirma que el rendimiento medio de la poblacin de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milmetro de materia prima. Para verificar esta afirmacin toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmacin. Qu conclusin extraera de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milmetro y una desviacin estndar de 40 gramos? Suponga que la distribucin de rendimientos es aproximadamente normal. Solucin: De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmacin si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre 1.711 y 1.711. Se procede a calcular el valor de t:

Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aqu que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa. INTERVALO DE CONFIANZA PARA ; CON DESCONOCIDA

Si

y s son la media y la desviacin estndar de una muestra aleatoria de una poblacin normal con , desconocida, un intervalo de confianza de )100% para es:

varianza (

donde

/2

es el valor t con

= n-1 grados de libertad, que deja un rea de

/2 a la derecha.

Se hace una distincin entre los casos de conocida y desconocida al calcular las estimaciones del intervalo de confianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza el teorema del lmite central, mientras que para desconocida se hace uso de la distribucin muestral de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uso de la distribucin t se basa en la premisa de que el muestreo se realiza de una distribucin normal. En tanto que la distribucin tenga forma aproximada de campana, los intervalos de confianza se pueden calcular cuando la varianza se desconoce mediante el uso de la distribucin t y se puede esperar buenos resultados. Con mucha frecuencia los estadsticos recomiendan que aun cuando la normalidad no se pueda suponer, con confianza: desconocida y n 30, s puede reemplazar a y se puede utilizar el intervalo de

Por lo general ste se denomina como un intervalo de confianza de muestra grande. La justificacin yace slo en la presuncin de que con una muestra grande como 30, s estar muy cerca de la real y de esta manera el teorema del lmite central sigue valiendo. Se debe hacer nfasis en que esto es solo una aproximacin y que la calidad de este enfoque mejora a medida que el tamao de la muestra crece ms. Ejemplos: 1. El contenido de siete contenedores similares de cido sulfrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribucin aproximadamente normal. Solucin: La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son: 10 y s= 0.283 En la tabla se encuentra que t0.025=2.447 con 6 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores est entre 9.47 y 10.26 litros.

2. Un artculo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las siguientes 20mediciones del tiempo de combustin residual en segundos de especmenes tratados de ropa de dormir para nios: 9.85 9.93 9.75 9.77 9.67 9.87 9.67 9.94 9.85 9.75 9.83 9.92 9.74 9.99 9.88 9.95 9.95 9.93 9.92 9.89 Se desea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustin residual promedio. Supngase que el tiempo de combustin residual sigue una distribucin normal. Solucin: La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son: 9.8525 y s= 0.0965 En la tabla se encuentra que t0.025=2.093 con 19 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

Por lo tanto, se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustin residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977 segundos. PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDA Ciertamente sospechamos que las pruebas sobre una media poblacional con desconocida, debe incluir el uso de la distribucin t de Student. La estructura de la prueba es idntica a la del caso de conocida, con la excepcin de que el valor en la estadstica de prueba se reemplaza por la estimacin de s calculada y la distribucin normal estndar se reemplaza con una distribucin t. Ejemplos: 1. El Instituto Elctrico Edison publica cifras del nmero anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos elctrodomsticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al ao con una desviacin estndar de11.9 kilowatt-hora, esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la poblacin de kilowatt-hora es normal. Solucin: 1. Datos: = 46 kilowatt-hora s= 11.9 kilowatt-hora = 42 kilowatt-hora n = 12 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; = 46 kilowatt-hora

H1;

< 46 kilowatt-hora

4. Regla de decisin: Si tR -1.796 No se rechaza Ho Si tR < -1.796 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: Como 1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el nmero promedio de kilowwatt-hora que gastan al ao las aspiradoras no es significativamente menor que 46. Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin: Si Si 39.83 No se Rechaza Ho < 39.83 Se rechaza Ho

Como la = 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se rechaza Ho. Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor de P , como el valor de t calculada es de 1.16, se busca en la tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135 con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza Ho., ya que sera un valor alto para un nivel de significancia.

1. Un artculo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebasde resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que cada especmen falla es la siguiente en MPa: 19.8 15.4 11.4 19.5 10.1 18.5 14.1 8.8 14.9 7.9 = 0.05. 17.6 13.6 7.5 12.7 16.7 11.9 15.4 11.9 15.8 11.4 15.4 11.4

Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribucin normal, y utilicese Calcule el valor de P. Solucin: 1. Datos: = 10 s = 3.55 = 13.71 n = 22 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 10 > 10

4. Regla de decisin: Si tR 1.721 no se rechaza Ho. Si tR> 1.721 se rechaza Ho. 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin. Como 4.90 >1.721 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la carga de falla promedio es mayor que 10Mpa. Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisin en base al estadstico real, en este caso la media de la muestra. De la frmula de la distribucin muestral de medias se despeja la media de la muestra:

Regla de decisin: Si 11.30 No se rechaza Ho

Si > 11.30 Se rechaza Ho Como la media de la muestral es de 13.71 MPa y es mayor al valor de la media muestral lmite de 11.30 por lo tanto se rechaza Ho y se llega a la misma conclusin. Para calcular el valor de P se va a la tabla y se busca en 21 grados de libertad el valor de t = 4.90. Se obseva que el valor mayor de t que se encuentra en la tabla con 21 grados de libertad es de 3.819 el cual le corresponde un rea a la derecha de 0.0005, por lo que para el valor de 4.90 el valor de P es practicamente cero, y esto apoya la decisin de rechazar Ho. 3. Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebs de seis meses son: 14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebs de seis meses es distinto a 14 libras, suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor de P. Solucin: 1. Datos: = 14 libras s = 1.21 libras = 14.3 libras n=8 = 0.05 2. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 14 libras 14 libras

3. Regla de Decisin: Si 2.365 tR 2.365 No se rechaza Ho Si tR < -2.365 si tR > 2.365 Se rechaza Ho 4. Clculos:

5. Justificacin y decisin: Como 2.365 0.7012 2.365 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el peso promedio de todos los bebs de seis meses es de 14 libras. Solucin por el otro mtodo: 12.98 y 15.01

Regla de decisin: Si 12.98 Si < 12.98 15.01 No se rechaza Ho > 15.01 se rechaza Ho

Como la = 14.3 libras, entonces no se rechaza Ho . Para calcular el valor de P se busca en la tabla el valor de 0.7012 con 7 grados de libertad. Se obseva que este valor no se encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 0.549 y 0.896 con reas de 0.30 y 0.20 respectivamente. Interpolando linealmente se obtiene el valor de 0.2561.

Error tipo II El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calcul con la distribucin z. Se realizarn algunos ejercicios en los cuales se determinar la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribucin.

Existen curvas caractersticas de operacin en los libros con diferentes grados de libertad para determinar los tamaos de muestra correspondientes segn el grado de error que se quiera, recordando que entre mayor sea el tamao de muestra menor ser el error. 1. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamao C se distribuyen normalmente, se prob una muestra aleatoria de 15 y se encontr que la media es de 1.4 volts con una desviacin estndar de 0.21 volts. En el nivel de significancia de 0.01: a. Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.5 volts? b. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1.3 volts. Solucin: 1. Datos: = 1.5 volts. s= 0.21 volts = 1.4 volts. n = 15 = 0.01 2. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 1.5 volts < 1.5 volts

3. Regla de decisin: Si tR -2.624 No se rechaza Ho Si tR < -2.624 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: Como 1.84 > -2.624, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.01 que los voltajes de las pilas tamao C no son menores a 1.5. Para calcular el error tipo II se tiene que obtener el valor de de la siguiente forma:

Para encontrar el valor de se busca en la tabla de la distribucin t el valor de 1.05 con 14 grados de libertad. Como este valor no se encuentra en la tabla se interpola entre 0.868 y 1.076 con un rea de 0.20 y 0.15 respectivamente. Al interpolar se obtiene un rea de 0.15612 y esta es la probabilidad de cometer el error tipoII cuando la media verdadera es de 1.3 volts y un tamao de muestra de 15. 2. Para el ejercicio del peso de los bebs de 6 meses, calcular el error tipo II, si los pesos verdaderos hubieran sido de 11 y 14.5 libras. Solucin: Primero se calculan los valores de :

En este ltimo clculo para se tendr que analizar las reas de los dos extremos, pues estas no estn dentro de la regin de aceptacin, por lo tanto no se deben de tomar en cuenta para el error tipo II. Se busca en la tabla el valor de 3.55 con 7 grados de libertad, y al interpolar nos da un rea de 0.00475. El rea correspondiente a 1.19 con 7 grados de libertad es de 0.1479. Por lo que =1(0.00475+0.1479)= 0.8473 3. Para el ejercicio en donde se dan los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700., encontrar la probabilidad de cometer el error tipo II si la carga promedio de falla es igual a 11. Solucin: Primero se obtendr el valor del estadstico lmite:

DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2) En realidad la distribucin ji-cuadrada es la distribucin muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2. Si se elige una muestra de tamao n de una poblacin normal con varianza , el estadstico:

tiene una distribucin muestral que es una distribucin ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada esta dado por:

donde n es el tamao de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente expresin:

1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0. 2. La forma de una distribucin X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinitode distribuciones X2. 3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. 4. Las distribuciones X2 no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn sesgadas a la derecha. 5. Cuando n>2, la media de una distribucin X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). 6. El valor modal de una distribucin X2 se da en el valor (n-3). La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

La funcin de densidad de la distribucin X2 esta dada por:

para x>0 La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadstica de Walpole, la cual da valores crticos2

(gl) para veinte valores especiales de

. Para denotar el valor crtico

de una distribucin X con gl grados de libertad se usa el smbolo (gl); este valor crtico determina a su derecha un rea de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y superior de la misma tabla. a o largo del lado

Clculo de Probabilidad

El clculo de probabilidad en una distribucin muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviacin estndar en una muestra que proviene de una distribucin normal. Ejemplos: 1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. Solucin: Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de unapoblacin normal con varianza , tenga una varianza muestral: a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745 Solucin. a. Primero se proceder a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este nmero en el rengln de 24 grados de libertad nos da un rea a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05 1. Se calcularn dos valores de ji-cuadrada: y Aqu se tienen que buscar los dos valores en el rengln de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un rea a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un rea a la derecha de 0.01. Como se est pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el rea de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

Estimacin de la Varianza Para poder estimar la varianza de una poblacin normal se utilizar la distribucin ji-cuadrada.

Al despejar esta frmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X2 dependern de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos nos ubicamos en la grfica se tiene:

. Si

Ejemplos: 1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compaa: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compaa, suponga una poblacin normal. Solucin: Primero se calcula la desviacin estndar de la muestra:

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286. Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Despus con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Se puede observar en la grfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Graficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es slo en la grfica. La interpretacin quedara similar a nuestros temas anteriores referentes a estimacin. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la poblacin de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado. 2. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de calidad, se analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por milln fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la poblacin para este estndar, usando un nivel de confianza del 90%. Solucin: Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285. Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obtenindose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07. Entonces el intervalo de confianza esta dado por: y

Ensayo de Hiptesis para la Varianza de una Poblacin Normal En la mayora de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviacin estndar de la poblacin, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una hiptesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadsticas con las que se construy el intervalo de confianza , esto es con la distribucin Ji- cuadrada. Ejemplos: 1. Una compaa que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05. Solucin: Como en todos los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Despus de que se identifican los datos, se plantea la hiptesis para determinar el tipo de ensayo. Datos: = 0.0002 n = 10 s2 = 0.0003 = 0.05 Ensayo de hiptesis: Ho; H1; = 0.0002 > 0.0002

Regla de decisin: Si X2R 16.919 no se rechaza Ho. Si X2R>16.919 se rechaza Ho. Clculos:

Justificacin y decisin: Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor. Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el rengln de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484.

2. El contenido de azcar del almbar de los duraznos enlatados tiene una distribucin normal,donde se cree que la varianza es = 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviacin estndar de 4.8 mg. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un = 0.05 y calcule el valor de P. Solucin: Datos: = 18 n = 10 s = 4.8 = 0.05 Ensayo de hiptesis: Ho; H1; = 18 18

Regla de decisin: Si 2.7 X2R 19.023 no se rechaza Ho. Si X2R19.023 se rechaza Ho. Clculos:

Justificacin y decisin:

Como 11.52 est entre 2.7 y 19.023, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azcar del almbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg2. Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribucin ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R = 11.52 este nmero se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 ser el rea a la derecha del valor de X2R. Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un rea de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 yP= (2)(0.2423) = 0.4846

3. Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de ltimo ao de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviacin estndar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de ltimo ao de preparatoria y se obtiene una desviacin estndar de 4.51. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviacin estndar disminuy?. Utilice el valor de P para su decisin. Solucin: Datos: =6 n = 20 s = 4.51 Ensayo de hiptesis: Ho; =6 H1; 0.10

Se quiere calcular el error tipo II si las desviaciones estndar verdaderas fueran de 0.12 y 0.14. Solucin: Para poder calcular el error tipo II, primero se debe encontrar el valor de la varianza muestral lmite, esto es s2L, para poder calcular los valores de X2 y posteriormente calcular el rea. Al buscar en la tabla X2(0.05,19)=30.144, este valor se sustituir en la formula. Al despejar de la frmula original de X2 se obtiene:

2. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta seccin, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azcar en el almbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26. Solucin: Como este es un ensayo bilateral se tendrn dos valores de s2L. Los cuales se calcularn utilizando las ji-cuadradas lmites que eran de de 2.7 y 19.023.

y

Estos dos valores se utilizarn para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de

.

DISTRIBUCION "F" FISHER La necesidad de disponer de mtodos estadsticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del anlisis de una sola poblacin. Frecuentemente se desea comparar la precisin de un instrumento de medicin con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que vara el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro. Intuitivamente, podramos comparar las varianzas de dos poblaciones, y , utilizando la razn de las varianzas muestrales s21/s22. Si s21/s22 es casi igual a 1, se tendr poca evidencia para indicar que y no son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy pequeo para s21/s22, proporcionar evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones. La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,

donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertad 2 respectivamente.

1

y

Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribucin ji cuadradas con

grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribucin de la variable aleatoria est dada por:

y se dice que sigue la distribucin F con grados de libertad en el numerador y libertad en el denominador. La media y la varianza de la distribucin F son: para

grados de

para La variable aleatoria F es no negativa, y la distribucin tiene un sesgo hacia la derecha. La distribucin F tiene una apariencia muy similar a la distribucin ji-cuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parmetros proporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribucin. Si s12 y s22 son las varianzas muestrales independientes de tamao n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas1 2

y

2

2

, respectivamente, entonces:

Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introduccin a la Inferencia Estadstica del autor Genther, se tendr que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el rea correspondiente, relacionndola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F. Las tablas tienen la siguiente estructura:

P 6 0.0005 0.001 0.005 . .

1 2 3 . .. 500

0.9995 30.4 El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un rea de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente:

Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora su forma depende de dos variables que son los grados de libertad. Ejemplos : 1. Encontrar el valor de F, en cada uno de los siguientes casos:

a. El rea a la derecha de F, es de 0.25 con b. El rea a la izquierda de F, es de 0.95 con c. El rea a la derecha de F es de 0.95 con con

=4 y =15 y =6 y

=9. =10. =8.

d. El rea a la izquierda de F, es de 0.10 con con =24 y =24 Solucin: a. Como el rea que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad dos que son 9, luego un rea de 0.75 con 4 grados de libertad uno.

b. En este caso se puede buscar el rea de 0.95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad.

c.

Se tiene que buscar en la tabla un rea de 0.05, puesto que nos piden un rea a la derecha de F de 0.95.

d. Se busca directamente el rea de 0.10, con sus respectivos grados de libertad.

1. Si s12 y s22 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaosn1=10 y n2 =20, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre P(s12/s22 2.42). Solucin: Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador est la poblacin uno y en el denominador la poblacin dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19. Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no estn, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedara:

Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra los siguiente: Area 0.90 2.09

0.95

2.59

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.933. Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad dos: Area 0.95 0.975 2.39 2.84

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.9516. Ahora ya se tienen las dos reas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolar para ver cunto le corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19. Area 15 20 0.933 0.9516

Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el rea a la izquierda es de 0.9478.

2. Si s12 y s22 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaon1= 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas = 15, respectivamente, encuentre P(s12/s22 > 1.26). Solucin: Calcular el valor de Fisher:2 2 2 1

=10 y

Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posicin se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un rea de 0.95, pero esta rea correspondera a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sera 0.05, siendo esta la probabilidad de que s12/s22 > 1.26.

Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos Distribuciones Normales

Supngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas2 2 desconocidas 2 , respectivamente. De este par de poblaciones, se tienen disponibles dos 1 y muestras aleatorias de tamaos n1 y n2, respectivamente, sean s12 y s22 las dos varianzas muestrales.

Se desea conocer un intervalo de confianza del 100(2 1 2 2

) por ciento para el cociente de las dos

varianzas, / . Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el numerador del estadstico F. Ejemplos: 1. Un fabricante de automviles pone a prueba dos nuevos mtodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran el la tabla: Mtodo 1 n1 = 31 s12 = 50 Mtodo 2 n2 = 25 s22 = 24

2 2 Construya un intervalo de confianza del 90% para 1 / 2 . Solucin: Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:

al despejar: . F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.

y Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera:2 2 Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relacin de varianzas 1 / 2 esta entre 1.07 y 3.93. Esto supondra que la varianza de la poblacin 1 es mayor a la varianza de la poblacin 2 entre 1.07 y 3.93. 2. Una compaa fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de manufactura le gustara seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviacin estndar s1 = 4.7 micropulgadas, y una muestra aleatoria de n2=12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviacin estndar s2 = 5.1 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las

dos varianzas

2 1

/

2 2

. Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie est distribuida de manera normal. Solucin: Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:

al despejar: . En este caso los grados de libertad uno valen 11 y los grados de libertad dos 15.

y Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera: Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones estndar de la rugosidad de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%. Ensayo de Hiptesis Supngase que se tiene inters en dos poblaciones normales independientes, donde las medias y las varianzas de la poblacin son desconocidas. Se desea probar la igualdad de las dos varianzas, ya que para poder comparar las medias de estas dos poblaciones se utiliza la distribucin t de Student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en la poblacin. Para conocer esto ltimo se requiere de la distribucin Fisher, y despus de utilizarla, se tomar la decisin de tener o no varianzas iguales en la poblacin, dando pi a realizar la comparacin de las dos medias segn estemos hablando. Primer caso en que las varianzas de la poblacin son desconocidas pero iguales, o en el caso dos donde se tienen varianzas desconocidas pero dismiles. Para el ensayo de hiptesis se utilizar la relacin de varianzas, la cual puede dar tres resultados:

En base a lo que se quiera probar, el ensayo podr ser unilateral derecho, izquierdo o bilateral. Ejemplos: 1. La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos lneas de produccin 1 y 2, hizo un pequeo ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, as como la cantidad media de impurezas en los productos qumicos. Muestras de n1=25 y n2=20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias y varianzas:

Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba con un = 0.05. Solucin: Datos: Poblacin 1 Poblacin 2

n1 = 25 n2 = 20 = 0.05 Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1

= 25-1 = 24 y

2

= 20-1=19.

Regla de decisin: Si Fc 2.11 No se rechaza Ho, Si la Fc > 2.11 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 2.04 es menor que 2.11 no se rechaza Ho, y se concluye con un = 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1.

2. En su incansable bsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba dosmquinas. Robo-fill se usa para llenar 16 tarros y da una desviacin estndar de 1.9 onzas en el llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos que dan una desviacin estndar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en funcin de la uniformidad de llenado. Cual deber seleccionar? Use un = 0.10. Solucin:

Datos: Robo-Fill sRF = 1.9 nRF = 16 = 0.10 Automat-Fill sAF = 2.1 nAF = 21 Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1

= 21-1 = 20 y

2

= 16-1=15.

Regla de decisin: Si Fc 2.20 No se rechaza Ho, Si la Fc > 2.20 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 1.22 es menor que 2.20 no se rechaza Ho, y se concluye con un = 0.10 que la variacin de llenado de la mquina Robo-Fill no es menor a la de Automat-Fill, por lo que se selecciona cualquier mquina. 3. Las capas de xido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una caracterstica crtica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricacin es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cul se obtienen mejores resultados en cuanto a la reduccin en la variabilidad del espesor del xido. Veintin obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estndar de cada muestra del espesor del xido son s1 = 1.96 angstroms y s2 = 2.13 angstroms. Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice =0.05. Solucin:

Datos: s1= 1.96 n1 = 21 s2 = 2.13 n2= 21 Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1

= 21-1 = 20 y

2

= 21-1=20.

Regla de decisin: Si 0.406 Fc 2.46 No se rechaza Ho, Si la Fc < 0.406 si Fc > 2.46 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 0.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.

1. Para el ejercicio anterior, encontrar la probabilidad de cometer error tipo II si la verdadera2 2

Error Tipo II

relacin = 2 .

1

2

/

Solucin:

1. Del ejercicio nmero 1 del ensayo de hiptesis en donde la variabilidad en la cantidad deimpurezas presentes en un lote de productos qumicos dependa del tiempo que tardaba el proceso y el fabricante empleaba dos lneas de produccin 1 y 2, e hizo un pequeo ajuste al proceso 2, calcular la probabilidad de cometer error tipo II si le relacin = 1.5. 2 Solucin:2 1 2

/

por lo tanto s12/s22 = 2.11 ya que esto fue lo que dio la tabla y al despejar nos queda los mismo. Se calcula un nuevo valor de F con la relacin de varianzas de 1.5.

Si se recuerda para este ejercicio se tienen 24 grados de libertad uno y 19 de grados de libertad dos, por lo que se tiene que hacer una doble interpolacin ya que 19 grados de libertad dos no vienen en la tabla. Primero se interpolar para 24 grados de libertad uno y 15 grados de libertad dos: Area 0.50 0.75 Valor de F 1.02 1.41

Al interpolar para un valor de Fisher de 1.406 se ve que este valor est muy cercano a 1.41, el cual le corresponde un rea de 0.75, por lo que queda un resultado de 0.7474 Ahora se procede a interpolar para 24 grados de libertad uno y 20 grados de libertad dos: Area 0.75 Valor de F 1.35

0.90

1.77

La interpolacin para un valor de Fisher de 1.406 es de 0.77. Teniendo los dos valores, se puede calcular el rea correspondiente a 24 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos:2

Area 0.7474 0.77

15 20

Por lo tanto al interpolar para 19 grados de libertad dos nos da un valor de 0.76548

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS En esta seccin se ver el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias 1 2 . Si los tamaos de muestras n1 y n2 son mayores que 30, entonces, puede emplearse el intervalo de confianza de la distribucin normal. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeas se supone que las poblaciones de inters estn distribuidas de manera normal, y los intervalos de confianza se basan en la distribucin t. INTERVAL