Contenido • Curso sobre Fatiga en materiales metálicos
-Definición (2)
-Historia (10)
-Tipos de cargas (10)
-Histéresis de fatiga (10)
-Máquinas de ensayos (5)
-Presentación de los resultados de los ensayos de fatiga (10)
-Curva esfuerzo-deformación cíclica (5)
-Factores que afectan el límite de fatiga (15)
-Mecánica de fractura elástica lineal (MFEL) y fatiga (10)
-Naturaleza estadística de la fatiga (15)
-Ciclos de endurecimiento/ablandamiento (10)
-Modelo de nucleación de grietas (5)
-Modelo de propagación de grieta (5)
-Emisión de dislocaciones por la punta de una grieta (10)
-Macrofractografía (15)
-Microfractografía (15)
-Relación número de ciclos vs número de estrías (10)
-MFEL y corrosión- fatiga (10)
-Acumulación de daño (10)
-Ejercicios resueltos (20)
-Bibliografía
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
• Definición:
• Fatiga es el comportamiento de un material bajo
esfuerzos cíclicos. Este comportamiento puede
ser ablandamiento, endurecimiento o fractura.
Dr.Ing°.Leonardo González
• Historia [1,2,3,4,5,6,7,8]
• Desde que el hombre inventó la rueda y empezó a hacer uso de los metales, épocas de bronce y hierro, surgieron los fallos del metal por fatiga.
• El concepto, como tal, surge a raíz de la primera revolución industrial, a mediados del siglo XVIII.
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• Historia (cont.)
• En 1765, James Watt, ingeniero escocés, perfeccionó la máquina de vapor que ya antes habían inventado Jerónimo de Ayanz y Beaumont, español, en 1606,Thomas Savery, inglés, a finales del siglo XVII y Thomas Newcomen, en 1711, colocando un condensador fuera de la caldera, con lo que el rendimiento térmico mejoró considerablemente.
• La máquina de vapor de Watt se aplicó a la industria siderúrgicas, textil y transporte. Cada año más kilómetros de vías férreas eran instalados y más elementos de máquinas entraban en movimiento.
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• Historia (cont.)
• En 1829, Wilhelm Albert, ingeniero de minas
alemán, publicó los resultados de unos ensayos
con cargas de tracción dinámicos, realizados en
los eslabones de una cadena.
• En 1836, Henry Beyle Stendhal, escritor francés,
en su novela “Memoires d´un touriste” hace
mención a una serie de problemas de fatiga.
Dr.Ing°.Leonardo González
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• Historia (cont.)
• En 1854, F. Braihtwaite, ingeniero inglés, publicó un trabajo donde se usa la palabra fatiga con fines técnicos y de esta manera acuña, técnicamente, el concepto.
• En 1867, August Wöhler, ingeniero ferrocarrilero alemán, expuso, en la Exposición Universal celebrada en París, los resultados de veinte años de investigación en flexión rotativa. Estableció la presentación de datos de fatiga f(N).
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• Historia (cont.)
• En 1877, el ingeniero alemán Nikolau August Otto desarrolla el motor de combustión interna basado en la combustión de la gasolina; en 1897, el ingeniero alemán Rudolf Diesel desarrolla el motor de combustión interna basado en la combustión del fuel oil; en 1908, Henry Ford, industrial americano, lanza su modelo T, popularizando el uso del automóvil. Más piezas metálicas entran en movimiento y con ello los problemas de fatiga aumentan.
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• Historia (cont.)
• En 1924, el científico americano A. Palmgren escribió un artículo sobre acumulación de daños por fatiga.
• Para 1937 la cantidad de artículos publicados sobre fatiga era extraordinaria, muchos con resultados contradictorios. El profesor francés Robert Cazaud puso un orden en este desorden y estableció una base de datos con aquéllos que tenían una apropiada metodología de investigación.
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• Historia (cont.)
• En 1945, el científico americano M.A. Miner
publica sus investigaciones sobre daño
acumulado. Surge una ley que hoy se llama
Miner-Palmgren.
• En 1954, el metalurgista inglés L.F Coffin Jr.
publica la relación que hay entre la componente
plástica de la deformación cíclica y la vida a
fatiga, estableciendo un nuevo modo de
presentación de resultados: ap =f(N)
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• Historia
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En 1955, el metalurgista americano S.S Manson
comprueba los resultados de Coffin Jr. Sin
embargo, ambos trabajan en fatiga de bajo
ciclaje, donde medir las deformaciones no es
tan complicado. Se establece la ley que se conoce como de Coffin-Manson.
• Historia (cont.)
• En 1961, El profesor Paul C. Paris, dirigió una
tesis de doctorado cuyo fundamento era
establecer una ley que predijera la velocidad de
propagación de las grietas de fatiga. Hoy día se
considera que, en materia de fatiga, es la ley
más importante, aunque sólo se limita a la
mecánica de fractura elástica lineal y a
propagación estable de la grieta
Dr.Ing°.Leonardo González
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• Historia (cont.)
• En 1977, Petr Lukáš y Mirko Klesnil, científicos
checos, amplió el intervalo a alto ciclaje, donde
medir las deformaciones es más difícil.
Extienden así las experiencia de Manson y
Coffin. Establecen la relación e = f(N)
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• Historia (cont.)
• Desde un comienzo, muchos científicos e ingenieros hicieron importantes contribuciones al estudio de la fatiga en materiales metálicos, entre ellos cabe destacar los siguientes: en Alemania, el pionero August Wöhler, en 1867, y el incansable profesor Johann Bauschinger, en 1886; en Francia Henry Louis Le Châtelier, en 1909; en USA, Herbert Fisher Moore, en1919; en Inglaterra, Herbert John Gough, en1926; en USA, Jesse Benjamin Kommers, en 1927. Sorprendentemente, H. F. Moore incorpora en su libro sobre fatiga dos capítulos que llaman mucho la atención: uno dedicado a la fatiga de la madera y otro a la fatiga del concreto.
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• Historia (cont.) [8]
• En 1985, el metalurgista americano S.M Ohr,
deformando muestras entalladas y,
observándola bajo el MET, logra observar y
filmar in situ la emisión de dislocaciones por la
punta de una grieta. Esto se considera la
observación estructural más importante de los
últimos tiempos. Desde entonces, es necesario
enfocar la mecánica de fractura considerando
este aspecto.
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Historia. Muestra empleada por S.M Ohr para observar in situ la
emisión de dislocaciones por la punta de una grieta [8]
Carga
Haz de electrones
Largo = 6,5 mm Ancho = 3,0 mm Espesor = 0,2 mm
Ataque electrolítico
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Historia. Dispositivo usado por S.M. Ohr [8]
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s = esfuerzo constante = esfuerzo variable max = esfuerzo máximo = s + a min = esfuerzo mínimo Esfuerzos de tracción son positivos Esfuerzos de compresión son negativos m = esfuerzo medio = (max + min )/2 = intervalo de esfuerzos = max - min
a = amplitud de esfuerzos = /2 R = razón de fatiga = min/max
A= razón de amplitudes = a/m =(1-R)/(1+R)
Tipos de carga [1]
(a)
(b)
(c)
(d)
Tipo de solicitudes. Consideremos f(t)
sinusoidal
• A) Si en un ciclo el esfuerzo pasa de positivo a
negativo, se dice que las solicitudes son
alternadas. Si el esfuerzo se mantiene, en un
ciclo, bien positivo, bien negativo, las solicitudes
puede ser intermitentes o pulsatorias, según
que min = 0 ó min 0.
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Tipo de solicitudes. Consideremos f(t) sinusoidal
• B) En las solicitudes alternadas puede ocurrir que s=0, es decir max = min , en cuyo caso los ciclos son simétricos (a); en caso contrario, s0, son disimétricos (o asimétricos)(b)
• C) Las solicitudes intermitentes y pulsatorias siempre originan ciclos disimétricos(o asimétricos), o sea s0. Si s=a el ciclo es intermitente(c), si s>a el ciclo es pulsatorio(d).
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Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Histéresis de fatiga. Solicitudes alternadas y ciclos [9] simétricos
Consideremos la Fig.(a): min = - max
= 2max
m = 0 a = = max
at = amplitud de deformación total ap = amplitud de deformación plástica ae = amplitud de deformación elástica at = ap + ae ae = a/E, E = módulo de elasticidad
ap ae
at
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Máquinas para ensayos de fatiga [1]
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Máquina de R.R Moore
Máquinas para ensayos de fatiga [10]
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Máquinas para ensayos de fatiga [11]
Máquina de fatiga Edibon
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Máquina Gunt
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Máquinas para ensayos de fatiga [12]
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Máquinas para ensayos de fatiga [13]
Máquina de Daniel Brandolisio
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Máquinas para ensayos de fatiga [10]
Máquina Instron con servomecanismo
• Presentación de los resultados de Fatiga
• Curvas S-N o curvas Wöhler [1]
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Límite de fatiga
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Presentación de los resultados [9]
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Presentación de los resultados [7]
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Presentación de resultados [7]
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Presentación de resultados (log-log) [7]
L.F. Coffin (Inglés,1954) S.S Manson (Americano,1954)
Mirko Klesnil (Checo, 1973) Petr Lukáš (Checo, 1973)
cffap N2´
bf
f
ae NE
2
´
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Presentación de resultados (log-log)
Klesnil-Lukáš
Coffin-Manson
at at = ae + ap
• Factores que afectan el límite de fatiga
Aunque son muchos los factores que afectan el LF, se pueden resumir en cuatro como independientes:
-Dureza
-Estructura metalográfica
-Medio ambiente
-Esfuerzos residuales
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Factores que afectan el LF
Dureza [9]
DurezaLF
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Factores que afectan el LF
-Resistencia a la tracción (R) [1]
DurezaRLF
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Factores que afectan el LF -Dureza por solución sólida (Ti-6Al-4V) [14]
SSDurezaLF
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Factores que afectan el LF -Dureza superficial y concentrador de esfuerzos [1]
Dureza superficialLF Concentradores de esfuerzos LF Inclusiones no metálicas *Ángulos vivos *Grietas *Defectos superficiales
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Factores que afectan el LF -Estructura metalográfica [15]
-Estructuras finas presentan mayor LF. -Estructuras que actúen como barreras de detención de grietas aumentan el LF
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Factores que afectan el LF -Tratamiento Térmico [1]
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Nf = 108 ciclos
Nf = 5x108 ciclos
Factores que afectan el LF -Envejecimiento en aleaciones base aluminio [16]
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-Envejecimiento en aleaciones de aluminio producidas por fatiga
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Vuelo 243 de Aloha Airlines, línea aérea hawaiana. Un Boeing 737-200, al cual se le desprendió gran parte del techo, el 28 de abril de 1988, en una falla por fatiga [17]
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Factores que afectan el LF -Fibrado y estructuras bandeadas [18,1]
[18]
[1]
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Factores que afectan el LF -Medio ambiente [1]
Medio corrosivoRF
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Factores que afectan el LF -Tipo de solicitud y medio ambiente [1]
LF por torsión< LF por flexión
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Factores que afectan el LF -Esfuerzos residuales [1]
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)(
minmin
maxmax
Nfa
ak
ak
ak
ak
MFEL y fatiga KmC
dn
da
logloglog
[9]
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Curso sobre fatiga en materiales metálicos
MFEL y fatiga. Influencia de R [9]
A medida que R se hace más positivo la grieta se hace más inestable desde un comienzo
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Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Naturaleza estadística de la fatiga [1, 18]
Todas las probetas no son iguales La fatiga es un fenómeno natural y se debe esperar una distribución normal La línea que se traza en una curva
de Wöhler representa la probabilidad del 50% de que las probetas rompan con el LF
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Naturaleza estadística de la fatiga. Determinación del LF.
[18]
Esfuerzo(MPa) i ni (No fallos) ini i2ni
322 3 1 3 9
315 2 2 4 8
308 1 4 4 4
301 0 1 0 0
d (increm)=7 N=8 A=11 B=21
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
029,0620,1
2
1
2
2
0
N
ANBd
N
AdXX
+ Cuando el análisis está basado en no fallos - Cuando el análisis está basado en fallos
MPa
x
MPaX
7029,08
112187620,1
3142
1
8
117301
2
2
Naturaleza estadística de la fatiga. Método Pasa-no pasa para calcular el valor medio y la desviación estándar del LF [18]
MPaLF 7314
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Ciclos de endurecimiento/ablandamiento [7]
(a) Con el ciclaje ap endurecimiento (b) Con el ciclaje ap ablandamiento (c) Con el ciclaje a endurecimiento (d) Con el ciclaje a ablandamiento Hay tendencia a la saturación
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Ciclos de endurecimiento/ablandamiento
r = Resistencia a la tracción y = Resistencia a la fluencia
r / y 1,4 endurecimiento r / y ≤1,2 ablandamiento 1,2< r / y <1,4 no hay efecto
[9]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Curva esfuerzo-deformación cíclica [7]
Alcanzado el valor de saturación
los lazos de histéresis
permanecen estables, es decir
estacionarios. Un juego de
probetas sometidos a diferentes
amplitudes de deformación
tendrán diferentes valores de
saturación de esfuerzo. Al unir los
vértices de los ciclos
estacionarios se obtiene la curva
esfuerzo-deformación cíclica. Una
curva fundamental, similar en
importancia a la curva
monotónica.
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Modelo de Wood de Nucleación y propagación de Grietas de fatiga (1955)
[9] [7]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Modelo de Laird de propagación de grietas de fatiga (1967) [9]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Dislocaciones emitidas por la punta de una grieta. Observación in situ por el metalurgista americano S.M Ohr (1985) [8]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Macrofractografías
Eje de acero 1040
Propagación, marcas de playa
[19]
Dr.Ing°.Leonardo González
Propagación, marcas de playa
Inicio
Ruptura final
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Macrofractografías [20]
Dr.Ing°.Leonardo González
Inicio
Propagación
Fractura final
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Macrofractografías [18]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Inicio
Propagación
Rotura final
Macrofractografías [21]
Dr.Ing°.Leonardo González
Macrofractografías [21]
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Inicio
Propagación
Rotura final
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Microfractografía
Estriaciones
Acero Fe-Ni-Cr
Dr.Ing°.Leonardo González
Microfractografía
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Acero 25%Cr-5%Ni
Estriaciones Dirección de propagación de la grieta
Formación de crestas y valles durante el ciclaje. Esquemático
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Microfractografía
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Microfractografía
Estriaciones dúctiles Coalescencia de cavidades
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Microfractografía
Estriaciones Huellas de llanta Estriaciones Líneas de Wallner
Acero de bajo carbono Acero 4340 templado y revenido a 700°C
Aluminio 356-T6
[22]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos Estriaciones vs número de ciclos
Hipótesis: 1 ciclo = 1 estría
Ti-6Al-4V
[23]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Estriaciones vs número de ciclos
Hipótesis: 1 ciclo = 1 estría
Al 7075-T6
[23]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Estriaciones vs número de ciclos Hipótesis 1 ciclo = 1 estría
[23]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Estriaciones vs número de ciclos
Conclusión: Hipótesis falsa
[23]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Estriaciones vs número de ciclos Hipótesis: 1 ciclo = 1 estría
Aceros de ultra-alta resistencia mecánica
[23]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Estriaciones vs número de ciclos [23]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Estriaciones vs número de ciclos
Conclusión: Hipótesis falsa [23]
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
K
KIC
KICBT
Tiempo para fractura
MFEL y corrosión-fatiga
max = min Fatiga estática o corrosión bajo tensión
En presencia de un medio corrosivo KIC desciende hasta un valor límite denominado KICBT ( Intensidad de Esfuerzo, modo I, en corrosión bajo tensión
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
MFEL y corrosión-fatiga [24]
Dr.Ing°.Leonardo González
MFEL y corrosión-fatiga [24]
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
MFEL y corrosión-fatiga [25]
Al-Zn-Mg
Dr.Ing°.Leonardo González
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Acumulación de daño [1]
Regla de Palmgren-Miner:
2,27,0
C
CN
n
i
i
• Ejercicios:
1)Un material cuya ecuación de Paris es:
cicla con max = 200MPa y max = 100MPa.Una grieta se encuentra en el centro de un panel.
(a) Calcular la velocidad de propagación de la grieta para cuando tenga 10 (valor inicial), 30 y 50 mm.
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
)/(1042,0311 ciclomkx
dN
da
• (b) Suponiendo que KIC = 60 MPam, calcule el número de ciclos en la fractura.
• Respuestas:
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
2a
ciclomxxxdN
da
mMPaxkmma
ciclomxxxdN
da
mMPaxkmma
ciclomxxxdN
da
mMPaxkmma
aak
MPaMPa
/1022,90,281042,0
0,281025177502)3
/1030,47,211042,0
7,211015177302)2
/1020,85,121042,0
5,12105177102)1
177100
1
100)100200(
8311
3
8311
3
9311
3
(a)
Dr.Ing°.Leonardo González
• (b)
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
mxxk
a
ak
ICc
cIC
2
22
max
max
1087,2200
60
14,3
11
ciclosxN
axdaaxN
daaxdN
axxaxxdN
da
f
x
x
x
xf
6
1087,2
105
2/141087,2
105
2/34
2/34
2/3532/111
1014,7
][1060,81030,4
.1030,4
.1033,21771042,0
2
3
2
3
Obsérvese que la ecuación de Paris se ha extrapolado a las fases I y III, en donde no es válida.
• Ejercicios
• 2) Una larga grieta de 50,00 mm se encuentra en el centro de un panel cuyo material tiene la siguiente ecuación de Paris:
La grieta crece por fatiga a 52,50 mm con R=0 y una amplitud de esfuerzos de 42MPa.Estime el número de ciclos para ello.
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
2/1
414
.
/106,1
mmMPak
ciclommkxdN
da
• Respuesta
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
2a
ciclosxN
ciclommxxxN
a
dN
da
mmMPaxk
mmmm
a
mma
MPaMPa
R
ak
a
2341034,5
25,1
/1034,51063,7.106,1
.8,76225,26.84
25,262
50,52
25,12
00,5050,52
84422
00
3
34214
2/1
max
min
• Ejercicios
• 3) Para un ensayo de fatiga a un material se le hizo una entalla en el borde de 2,50mm. Se sometió a un ciclaje intermitente en una servomáquina con R=0 y carga de 300 MPa. La frecuencia de aplicación de la carga fue de 10 Hz. Para la observación de la fractura en MET se replicó en dos puntos, se tomó fotografía, y se contó el número de estría. Los resultados fueron los siguientes:
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
• Punto 1) Distancia desde la entalla: 5 mm;
número de estrías: 10 en 2 mm; aumentos: 4000x
• Punto 2) Distancia desde la entalla: 10 mm; número de estrías: 5 en 2 mm; aumentos: 3000x.
• Estime los parámetros “C” y “m” de la ecuación de Paris. Suponga, hipotéticamente, 1 estría por ciclo.
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
• Respuesta:
• Punto 1)
• Punto 2)
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
mCx
mmMPaxk
ciclommxestmmxx
xest
mmp
16301000,5
.16305,7.30012,1
/105/105104
1
10
2
5
2/1
1
55
3
mCx
mmMPaxk
ciclommxestmmxxest
mmp
2105103,13
.21055,12.30012,1
/103,13/103,133000
1
5
2
5
2/1
2
55
m
m
Cx
Cx
)2105(103,13
)1630(1000,5
5
5
2/1.
/
mmMPak
ciclommdN
da
4
108 10
m
xC
• Bibliografía
• [1]Cazaud, Robert, La Fatiga de los Metales, Editorial Aguilar, Madrid, España, 1957
• [2]Toth, L. Et. at.el, “History Background and development of the Charpy Test”, Stahl Un Eisen 1896, Material Characterization Required for the NIST
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• [4]Shütz, Walter, “A History of Fatigue”, Engineering Fracture Mechanics, vol. 54, N°2, 1996, pp.263-300
• [5] Henry Ford, Wikipedia, la enciclopedia libre
• [6] La Primera Revolución Industrial, Wikipedia, la enciclopedia libre
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Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
• [8] Ohr, S.M, “An electron Microscope Study of Crack Tip Deformation and its Impact on The Dislocation Theory of Fracture”, Material Science and Engineering, vol. 72, 1985, pp. 1-35
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• [10] Instron, Product Catalog
• [11] Edibon, Technical Teaching, Educational Equipment
• [12] G.U.N.T, Máquinas de Ensayos Mecánicos, Hamburgo, Alemania
• [13] Brandolisio, Daniel et. al., “Rotating Bending Machine for High Cycle Fatigue”, Department of Mechanical Engineering, KaHo Technological University, Sint-Lieven Ghent ( East of Flanders, Belgium), 2009, 7 pp.
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Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
• [15] Lütgering, G. and Gysler, A., Titanium Science and Technology 4, Deutsche Gessellschaft für Metallkunde, Germany, 1985, p. 2068
• [16] Harris, B and Bunsell, A.R, Structure and Properties of Engineering Materials, Longman Group Limited, London, England, 1977, p. 293
• [17] Vuelo 243 de Aloha Airlines, Wikipedia, la enciclopedia libre
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Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos
• [22] Whiteson, A. Phililips and Kerlins, V., “ Electron Fractographic Techniques”, in Techniques for the Direct Observations of Structure and Imperfections, Part. 1, Chapter 14, Techniques of Metals Research, Interscience Publishers, 1968
• [23] Uchimoto, T., “ Quantitative Evaluation of Electron Fractography of Fatigue Fracture Surface”, Transaction Japan JIM, vol. 11, N°. 1, 1977
• [24] Sánchez-Galvez, V y Martiín-Sanz, A., “Medidas de Propagación de fisuras por Corrosión-Fatiga en Agua de Mar”, Departamento de Física y Física de Materiales, Universidad Politécnica de Madrid, 1983
• [25] Hervías, Jesús Ruiz, Corrosión-Fatiga en aleaciones ligeras Al-Zn-Mg, Tesis Doctoral, Universidad Complutense de Madrid, 2002
Dr.Ing°.Leonardo González
Curso sobre fatiga en materiales metálicos