CURVAS CÓNICAS

ELIPSE

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1. Definición como lugar geométrico .

La elipse es una curva cerrada plana que es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijosllamados focos es constante e igual a 2a (siendo 2a el eje mayor).

� � � �� En la definición de la elipse como lugar geométrico sebasa el método de trazado de elipses sobre el terrenoconocido como "método del jardinero", consistente entensar una cuerda fijada a dos estacas clavadas en elsuelo.

2. Propiedades y características de la elipse .

1. Tiene dos ejes, el mayor y el menor. Es simétrica con respecto a los mismos. A la medida del semieje mayor se le asigna convencionalmente la letra a, y al semieje menor la letra b. El punto en el que se cortan es el centro de la elipse. 2. Los focos están en el eje mayor y son simétricos con respecto al eje menor. La distancia entre los focos es 2c. 3. Los segmentos que unen un foco con cualquier punto P de la elipse reciben el nombre de radio vectores. Toda recta tangente a la elipse es perpendicular a la bisectriz de los radio vectores del punto de tangencia. 4. Se cumple la siguiente expresión:

a = b + c2 2 2

Gráficamente podremos deducir el valor de a, b ó c dibu-jando un triángulo rectángulo que tenga por hipotenusa a(teorema de pitágoras). Es decir, conociendo dos elemen-tos de entre el eje mayor, el eje menor y los focos, pode-mos obtener el que falte.Una elipse queda determinada si se conocen los siguien-tes elementos: 1. Los dos ejes principales de la elipse. 2. Uno de los ejes principales y los focos. 3. Unos ejes conjugados.

5. Se le llama circunferencia principa l de la elipse a la dibuada con centro en el centro de la elipse y radio a (semiejemayor).

6. Se le llama circunferencia focal de la elipse a cada una de las circunferencias que con centro en los focos de lamisma tienen radio 2a (eje mayor de la elipse).

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7 Las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse pertenecen a la circunferencia principal. 8 El punto simétrico de un foco con respecto a cualquier recta tangente a la elipse pertenece a la circunferencia focal del otro foco. Si se une dicho punto simétrico con el centro de la circunferencia focal se obtiene el punto de tangencia.

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La elipse también se puede definir como el lugar geo-métrico de los centros de las circunferencias tangentes ala focal de un foco y que pasan por el otro foco:

� � � �Cualquier punto de la circunferencia focal de un foco,como F1'' en la focal de F2 en el ejemplo de la izquierda,será el punto de tangencia de una circunferencia que pa-sará por el otro foco, F1, y tendrá su centro en la elipsealineado con el centro de la circunferencia focal y con elpunto de tangencia.

3. Determinación de los focos de la elipse conociendo los ejes.

Los focos de la elipse pueden obtenerse a partir de los ejes aplicando la definición de la elipse como lugar geométrico:

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Los puntos C y D, extremos del eje menor de la elipse,por pertenecer a la misma cumplen que la suma de lasdistancias a los focos es 2a. Por simetría, tomando lamedida del semieje mayor (a) desde cualquiera de ellos,se determina la posición de los focos F1 y F2.También podríamos haber obtenido el valor de la distan-cia focal 2c a partir de la expresión:

4. Dibujo de la elipse.

La elipse no puede ser dibujada con el compás, sino que ha de dibujarse determinando un número suficiente de puntos pertene-cientes a la misma.

4.1 Dibujo por puntos a partir de los ejes principales.

Si se conocen los ejes principales, la elipse puede ser dibujada por puntos aplicando la definición de la misma como lugar geométrico.

� � �� �� � � Se necesita conocer la posición de los focos (ver procedi-

miento anterior). Los pasos son los siguientes:1) Se sitúa un punto M en cualquier posición del semiejemayor.2) Desde los focos F1 y F2 se toman las medidas AM y MBrespectivamente. El punto P obtenido pertenecerá a laelipse puesto que : PF1 + PF2 = AM + MB = 2a3) Si se repite el procedimiento para otros puntos del semi-eje, se obtienen nuevos puntos de la elipse. Por simetría,cada punto obtenido puede copiarse en los otros trescuadrantes.

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a = b + c2 2 2

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4.2 Dibujo por puntos a partir de los ejes principales aplicando afinidad.

La elipse puede obtenerse por afinidad a partir de una circunferencia:

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Se define una afinidad ortogonal en la que el eje mayores el eje de afinidad y el punto C' de la dircunferencia prin-cipal e' se convierte en el punto C de la elipse e. Dibujan-do parejas de rectas afines como r' y r se pueden obtenerlos puntos de la elipse como afines de los de la circufe-rencia (P' y P). Por cada punto obtenido en un cuadrantepodemos dibujar otros tres por simetría en los demás cua-drantes.Este trazado se puede simplificar dibujando la circunferen-cia e'' de radio igual al semiejemenor b y centro en el cen-tro de la elipse. Esta circunferencia también puede relacio-narse por afinidad con la elipse siendo CD el eje de afini-dad y OB la dirección de afinidad. Los puntos P' y P'' serelacionan con P según las dos afinidades definidas. Bastacon dibujar radios OP' según distintos ángulos paraobtener los puntos P de la elipse a partir de los cortes alas circunferencias e' y e''.

� 4.3 Dibujo por puntos a partir de los ejes conjugados aplicando afinidad.

La transformación de una circunferencia en elipse aplicando afinidad permite dibujar la elipse cuando ésta viene definida por unos diámetros conjugados:

En una elipse se llama diámetro a las cuerdas que pasanpor el centro O de la misma. Dos diámetros son conjuga-dos si cada uno pasa por los puntos medios de lascuerdas paralelas al otro. Las tangentes en los extremosde los diámetros conjugados forman un paralelogramocircunscrito a la elipse.

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�� Se define una afinidad que transforma el punto C' de lacircunferencia e' ( de centro O y diámetro igual al mayorde los ejes conjugados) en el punto C. Al igual que en elcaso anterior, dibujando parejas de rectas afines como r'y r se pueden obtener los puntos de la elipse como afinesde los de la circuferencia (P' y P).El procedimiento puede simplificarse relacionando cadapunto de la circunferencia e' con su afín en la elipse e me-diante paralelas a la dirección de afinidad y a los segmen-tos OC y OC'.

4.4 Dibujo simplificado de la elipse.

Las circunferencias representadas en perspectiva (en diédrico cuando están contenidas en un plano sesgado respecto a los de proyección, en axonométrica o en cónica), se ven como elipses. En estos casos si dibujamos la elipse según los métodos anteriores se puede complicar demasiado el dibujo y puede ser útil recurrir a alguno de los siguientes métodos simplificados:

a) Obtención de cuatro puntos por cuadrante.

�� �� � Los pasos son los siguientes:

1) Se realizan las líneas paralelas a los ejes por los extre-mos de los mismos que permiten dibujar los cuadrantes.Por ejemplo OBEC.2) Desde los extremos de los ejes, C y B en este caso, setrazan las líneas que los unen con los punos medios delos lados opuestos.3) Desde la esquina contraria al centro de la elipse, eneste caso E, se dibujan las rectas de unión con los puntosmedios de los semiejes opuestos.4) Las intersecciones exteriores de las rectas anterioresson puntos de la elipse.

5. Tangencias en la elipse.

5.1 Recta tangente a la elipse por un punto de la misma.

� � �� �� � � ��� La recta tangente a la elipse que pasa por un punto P

perteneciente ella misma, será una recta perpendiculara la bisectriz de los radio vectores de P, siendo P elpunto de tangencia.Otro modo de resolver el problema se basa en que comoel punto simétrico de F2 con respecto a la tangente t estaráalineado con el punto de tangencia P y con F1, basta conunir F1 y P para hallar dicho simétrico en la focal del foco1y obtener la tangente como eje de simetría.

5.2 Rectas tangentes a la elipse que pasan por un punto P exterior a la misma.

� � �� �� � � � � Los pasos para resolver el problema son los siguientes:

1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos,en este caso F1 (da igual cual, pero ocupa menos si serealiza la del foco opuesto a P).2) Con centro en P se realiza un arco que pase por el fococontrario.3) Ambos arcos se cortan en los puntos E y F. Estos pun-tos serán los simétricos del foco F2 con respecto a lasrectas tangentes, así que las tangentes son las mediatricesde las cuerdas EF2 y FF2.4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse lospuntos de tangencia T1 y T2 uniendo los simétricos de F2,E y F, con el centro de la circunferencia focal, F1.

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El método visto es válido también para el dibujo de unaelipse a partir de sus ejes conjugados, siendo este elcaso más habitual en perspectiva.

b) Sustitución de la elipse por un óvalo isométrico.

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�En perspectiva isométrica una circunferencia inscrita enun cuadrado y contenida en un plano paralelo a uno de losde proyección, se representa como una elipse inscrita enun rombo. En este caso, se puede sustituir el dibujo de laelipse por el de un rombo isométrico, siguiendo los pasossiguientes:1) Se dibuja el rombo que inscribe a la elipse.2) Desde los extremos del eje menor se dibujan las rectasperpendiculares a los lados opuestos.3) Los puntos O1 y O2 de intersección de las rectas traza-das son los centros de los arcos pequeños EG y FH.4) Los extremos del eje menor, O3 y O4 son los centros delos arcos grandes EF y GH, tangentes a los anteriores.Esta representación es aproximada. A puntos se ha dibuja-do la elipse que correspondería a los ejes AB y CD paraque se aprecie el márgen de error.

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5.3 Rectas tangentes a la elipse según una dirección dada.

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� Los pasos para resolver el problema son los siguientes:1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos,en este caso F1 .2) Se dibuja una recta r que pase por el foco contrario ysea perpendicular a la dirección dada.3) La recta dibujada y la circunferencia focal se cortan enlos puntos E y F. Las tangentes son las mediatrices de lascuerdas EF2 y FF2.4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse lospuntos de tangencia T1 y T2 uniendo E y F con el foco F1.

6. Intersección entre recta y elipse.

6.1 Solución por el método de la circunferencia focal.

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� Los puntos en los que la recta intersecta a la elipse, P1 yP2, serán los centros de dos circunferencias tangentes ala focal de uno de los focos y que pasan por el otro. Elmétodo que se desarrolla se basa en hallar dichascircunferencias:1) Se dibuja la recta circunferencia focal de un foco, eneste caso la de F1.2) Las circunferencias buscadas tienen su centro en r, sontangentes a la circunferencia focal y pasan por F2. Portener su centro en r, pasarán también por F2', simétricocon respecto de r de F2. Dibujamos una circunferenciaauxiliar cualquiera a que pase por F2, F2' y corte a la circun-ferencia focal en E y F.3) El segmento F2F2' define el eje radical de las circunferen-cias solución buscadas y de la circunferencia auxiliar. Elsegmento EF define el eje radical de la circunferencia auxi-liar y de la focal. Por lo tanto, el punto Pasf tiene igual poten-cia con respecto de las circunferencias solución, focal yauxiliar, y la distancia a los puntos de tangencia es igual.Esto permite obtener los puntos G y H de tangencia de lascircunferencias solución con la circunferencia focal.4) Las circunferencias solución s1 y s2 pasan por F2 y F2',y por G y H respectivamente, luego pueden ser dibujadas.Sus centros P1, P2 son los puntos de corte de la recta r enla elipse y se obtienen directamente uniendo los puntos detangencia G y H con el centro de la circunferencia focal, F1.

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6.2 Solución por afinidad.

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� Se quiere encontrar los puntos en los que la recta r cortaa la elipse definida por sus ejes principales. Según se vioen el punto 3.2, la elipse puede transformarse en unacircunferencia aplicando una afinidad. En ese caso lospuntos de intersección entre la recta dada y la elipseserán afines de los puntos de intersección entre la rectaafín a la dada y la circunferencia. Los pasos son lossiguientes:1) Se dibuja la circunferencia afín de la elipse, definiendouna afinidad ortogonal de eje AB que transforma el puntoC en C'.2) Con ayuda de la recta auxiliar s, se halla el afín F' deun punto F cualquiera de la recta r. La recta transformadar' pasará por F' y por el punto doble GLG'.3) Una vez obtenida la recta r', afín de la dada r, los pun-tos donde corta con la circunferencia, P1' y P2', seránafines de los buscados, P1 y P2.El problema se resolvería igual en el caso de que la elipseviniese definida por unos ejes conjugados.

El método visto, consistente en resolver los porblemas enla circunferencia para después encontrar la corresponden-cia en la elipse, puede aplicarse también a los tres proble-mas de tangencias vistos en el punto 4.

CURVAS CÓNICAS

HIPÉRBOLA

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1. Definición como lugar geométrico.

La hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuyadiferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a (siendo 2a el eje real de la hipérbola).

PF1 - PF2 = 2a;P'F1 - P'F2 = 2a;� � � �� � � �

2. Propiedades y características de la hipérbola.

1. Está formada por dos ramas abiertas.Tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre si que se cortan en O, centrode la hipérbola.

2. A los puntos de intersección de la hipérbola con el eje transversal se les llama vértices (V1 y V2). Como se puedededucir a partir de la definición como lugar geométrico, la distancia entre los vértices es 2a. Al segmento V1V2 se ledenomina eje real de la hipérbola.

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c = a + b2 2 2

Al segmento 2b situado perpendicularmente al eje real,se le denomina eje virtual de la elipse. El valor de b seobtiene a partir de la expresión anterior. Dibujando untriángulo rectángulo se puede obtener gráficamentecualquiera de los valores a, b ó c a partir de los otros dos.

� � 3. Los focos, F1 y F2, se sitúan sobre el eje transversal. La distancia entre los focos es 2c.

4. Los segmentos que unen los focos con cualquier punto P de la hipérbola reciben el nombre de radio vectores. Larecta tangente a la hipérbola en un punto coincide con la bisectriz de los radio vectores de dicho punto.

5. Se cumple la siguiente expresión:

6. A las rectas tangentes a los puntos impropios de la hipérbola se les llama asíntotas. Son dos rectas que se cortan enel centro de la hipérbola y cuya pendiente es ba .

7. Se llama circunferencia principal de la hipérbola a la que tiene su centro en el centro de la hipérbola y radio a. Sellama circunferencias focales de la hipérbola a las circunferencias cuyos centros son los focos y sus radios 2a.

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8. La proyección ortogonal de un foco sobre cualquier recta tangente a la hipérbola pertenece a la circunferencia principal.

9. El punto simétrico de un foco con respecto a cualquier recta tangente a la hipérbola pertenece a la circunferencia focal delotro foco. Si se une dicho punto simétrico con el centro de la circunferencia focal se obtiene el punto de tangencia.

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� � � �� � � �" # $ " % & ' () $ # & " # ) * + " # $ " % & ' , $ , & " # *' - " * + . , + ' - " - / (!10. Si se considera que la hipérbola es la sección de una superficie reflectante, todo rayo de luz que parte de un foco se

refleja en la hipérbola según una dirección que pasa por el otro foco.

� � � �� � � �3. Dibujo de la hipérbola.

La hipérbola sólo puede dibujarse determinando sus puntos a partir de su definición como lugar geométrico. A partir de un númerosuficiente de puntos se puede estimar su trazado a mano alzada.

Se necesita conocer la posición de los focos y de los vérti-ces (la hipérbola queda determinada sabiendo dos de lasdimensiones que se relacionan por la expresión c=a+b).Los pasos son los siguientes:1) Se dibuja un segmento cualquiera AB> 2a.2) A dicho segmento AB se le resta la medida del ejemayor, 2a. De esta manera se obtiene un punto C quedefine dos segmentos cuya diferencia de distancias es 2a: AB - BC = 2a3) Tomando las medidas AB y BC desde los focos F1 y F2,obtendremos un punto P que pertenece a la hipérbola puesse cumple que la diferencia de distancias a los focos es 2a.4) Por simetría, de cada punto obtenido se obtienen tresmás. Repitiendo el procedimiento con otros segmentos inicia-les se obtendrían más puntos.

� � � �� � 2 2 2

La hipérbola también se puede definir como el lugargeométrico de puntos que son centros de circunferenciasque pasan por un foco y son tangentes a la focal del otrofoco:

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4. Tangencias en la hipérbola.

4.1 Recta tangente a la h ipérb ola por un punto de la misma.

� � � �� � � � � La recta tangente a la hipérbola por un punto Pde la misma, es la bisectriz de los radio vectores de P.

4.2 Rectas tangentes a la h ipérb ola desde un punto P ex terior a la misma.

� � � �� El procedimiento es idéntico al empleado para la elipse:1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos,en este caso F2.2) Con centro en P se realiza un arco que pase por el fococontrario.3) Ambos arcos se cortan en los puntos N y M. Estos pun-tos serán los simétricos del foco F1 con respecto a lasrectas tangentes, así que las tangentes son las mediatricesde las cuerdas NF2 y MF2.4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse lospuntos de tangencia T1 y T2 uniendo los simétricos de F2,N y M, con el centro de la circunferencia focal, F1.

4.3 Rectas tangentes a la h ipérb ola según una dirección dada.

� � � �Se desea dibujar las rectas tangentes a la hipérbola queson paralelas a la dirección d dada:1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos,en este caso F2.2) Por la propiedad número 9 de las vistas anteriormente,el simétrico de F1 con respecto a una de las tangentesestará en la circunferencia focal de F2. Como conocemosla dirección que tiene la tangente, hallamos dichosimétrico (el punto F1'') prolongando la dirección ortogonala la de la tangente hasta cortar a la focal. La tangente t2

es la mediatriz del segmento F1F''1 y el punto de tangenciaestá en la línea que une el simétrico con el centro de lafocal (F''1 y F2).3) Existe otra solución que puede obtenerse de la mismamanera o aplicando simetría central con respecto alcentro O de la hipérbola.

0

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5. Intersección entre recta e hipérbola.

La solución al problema de determinar geométricamente los puntos en los que una recta intersecta con una hipérbola se obtieneaplicando la definición de hipérbola como lugar geométrico de los puntos que son centros de las circunferencias que pasan por unfoco y son tangentes a la focal del otro foco. Los puntos de intersección serán los únicos de la recta que cumplirán con la anteriordefinición.

� � � �� � � �� Los puntos en los que la recta intersecta a la elipse, P1 y

P2, serán los centros de dos circunferencias tangentes ala focal de uno de los focos y que pasan por el otro. Elmétodo que se desarrolla se basa en hallar dichascircunferencias:1) Se dibuja la recta circunferencia focal de un foco, eneste caso la de F2.2) Las circunferencias buscadas tienen su centro en r, sontangentes a la circunferencia focal y pasan por F1. Portener su centro en r, pasarán también por F1', simétricocon respecto de r de F1. Dibujamos una circunferenciaauxiliar cualquiera a que pase por F1, F1' y corte a la circun-ferencia focal en E y F.3) El segmento F1F1' define el eje radical de las circunferen-cias solución buscadas y de la circunferencia auxiliar. Elsegmento EF define el eje radical de la circunferencia auxi-liar y de la focal. Por lo tanto, el punto Pasf tiene igual poten-cia con respecto de las circunferencias solución, focal yauxiliar, y la distancia a los puntos de tangencia es igual.Esto permite obtener los puntos G y H de tangencia de lascircunferencias solución con la circunferencia focal.4) Las circunferencias solución s1 y s2 pasan por F1 y F1',y por G y H respectivamente, luego pueden ser dibujadas.Sus centros P1, P2 son los puntos de corte de la recta r enla elipse y se obtienen directamente uniendo los puntos detangencia G y H con el centro de la circunferencia focal, F1.

CURVAS CÓNICAS

PARÁBOLA

1. Definición como lugar geométrico.

La parábola es una curva plana, abierta y con una sola rama. Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

��� En todos los puntos P de la parábola, la distancia a larecta directriz d y al foco F son iguales:

F'P = PF;F''P' = P'F

1

2. Propiedades y características de la parábola.

1. Está formada por una sola rama y tiene un único eje de simetría. La recta directriz es ortogonal al eje de simetría y se corta conéste en el centro de la parábola.

2. Al punto de intersección de la parábola con el eje se le llama vértice . El vértice se sitúa en el punto medio entre el foco y elcentro de la parábola (como se puede deducir a partir de la definición como lugar geométrico).

3. Se llaman radiovectores los segmentos que unen un punto P de la parábola con el foco y con la directriz. La recta tangente a laparábola en un punto de la misma coincide con la bisectriz de los radiovectores de dicho punto.

4. En la parábola la circunferencia principal es la recta tangente en el vértice (tiene radio h)5. La circunferencia focal en la parábola coincide con la recta directriz.6. La proyección ortogonal del foco sobre cualquier recta tangente a la parábola es un punto de la circunferencia principal.7. El punto simétrico del foco con respecto de cualquier recta tangente es un punto de la circunferencia focal (recta directriz).

���1 � 2� 3

L

��� �1 4� 2� 3L

La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricosdel foco respecto a cada recta tangente a la parábola.Los radio vectores y el segmento FF' forman siempreun triángulo isósceles.

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

La parábola también se puede definir como el lugargeométrico de los puntos que son centros de circunferenciasque pasan por el foco y son tangentes a la directriz:

���1� 3

L

Se necesita conocer la posición del foco y del centro (odel vértice, que está siempre en el punto medio del seg-mento OF).El dibujo de la parábola es inmediato a partir de su defi-nición como lugar geométrico:1) Se elige una medida cualquiera superior a la distanciaOV, en este caso 15mm.2) Los puntos P y P', ambos situados a la misma distancia(15mm) del foco F y de la recta directriz d, pertenecen, pordefinición, a la parábola.3) Se repite el proceso con otra medida para obtener nue-vos puntos pertenecientes a la parábola (Q y Q', etc.)

8. La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un hazde rayos paralelos al eje.

��3. Dibujo de la parábola.

La parábola sólo puede dibujarse determinando sus puntos a partir de su definición como lugar geométrico. A partir de un númerosuficiente de puntos se puede estimar su trazado a mano alzada.

��54. Tangencias en la parábola.

4.1 Recta tangente a la pará b ola por un punto de la misma.

��51 � 2

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La recta tangente a la parábola por un punto Pde la misma, es la bisectriz de los radio vectores de P.

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4.2 Rectas tangentes a la pará b ola desde un punto P ex terior a la misma.

El procedimiento es semejante al empleado para la elipse:1) Se dibuja la circunferencia focal de la parábola (rectadirectriz).2) Con centro en P se realiza un arco que pase por el focode la parábola.3) La recta directriz y el arco dibujado se cortan en los pun-tos N y M. Estos puntos serán los simétricos del foco F conrespecto a las rectas tangentes, así que las tangentes t1 yt2 son las mediatrices de las cuerdas MF y NF.4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse lospuntos de tangencia T1 y T2 uniendo los simétricos de F2,N y M, con el centro de la circunferencia focal (está en elinfinito).

��5 ��4.3 Rectas tangentes a la pará b ola según una dirección dada.

��5 �6 Sólo existe una tangente paralela a la dirección d dada. Elprocedimiento para obtenerla es el siguiente:1) Se dibuja la circunferencia focal (o recta directriz) de laparábola.2) El simétrico del foco F con respecto a la tangentesolución ha de estar en la circunferencia focal. Comoconocemos la dirección que tiene la tangente, hallamosdicho simétrico (el punto F '') prolongando la direcciónortogonal a la de la tangente hasta cortar a lacircunferencia focal. La tangente t es la mediatriz delsegmento FF'' y el punto de tangencia está en la línea queune el simétrico F'' con el centro de la focal ( 5 7 5 8 9 7 3 9 7 9 4 :

).

5. Intersección entre recta y parábola.

��5� Los puntos en los que la recta intersecta a la parábola, P1 y

P2, serán los centros de dos circunferencias tangentes ala circunferencia focal (recta directriz) y que pasan por elfoco F.El método que se desarrolla se basa en hallar dichascircunferencias:1) Se dibuja la circunferencia focal o recta directriz.2) Las circunferencias buscadas tienen su centro en r, sontangentes a la directriz y pasan por F. Por tener su centroen r, pasarán también por F', simétricocon respecto de r de F. Dibujamos una circunferenciaauxiliar a cualquiera a que pase por F y F'.3) El segmento FF' define el eje radical de las circunferen-cias solución buscadas y de la circunferencia auxiliar. Des-de el punto Pas la potencia con respecto de las circunferen-cias solución y auxiliar es la misma y por lo tanto la medi-da de los segmentos tangentes a dichas circunferenciasdesde Pas es igual. Dibujando desde Pas el segmento tang-ente a la circunferencia auxiliar a (PasTa), obtenemos la medi-da de los segmentos PasT1 y PasT2, situando los puntos detangencia de las circunferencias buscadas en d.4) Las circunferencias solución s1 y s2 pasan por F y F',y por T1 y T2 respectivamente, luego pueden ser dibujadas.Sus centros P1, P2 son los puntos de corte de la recta r enla elipse y se obtienen directamente uniendo los puntos detangencia T1 y T2 con el centro de la circunf. focal (¥).