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LLULL vol. 16 1993 2341
MATEMATICAS: LA
PERSPECTIVA DE
U
HISTORIADOR
JOSEPH W. DAUBEN
City University of New York
RESUMEN
Quin debera escribir la
historia de la matemticas? Qu
intereses y norm as deberan aplicarse
en la definicin de la disciplina?
5 on los matemticos los
nicos
cualificados para abordar la historia
de las matemticas y acaso slo los
mejores de entre ellos estn en
situacin de escribir con autoridad
sobre este tema como ha sugerido
Andr Weil? Este artculo sostiene
que esta limitadsima versin del
tema es errnea no slo para la
propia historia de las matemticas
sino tambin para las matemticas
ABSTRACT
Who should write the history of
mathematics? What interests and
standards should generally be applied
in defining the discipline? A re
mathematicians alone qualified to
discuss history of mathematics and
are perhaps only the very best of
them in a position to write
authoritatively on this demanding
subject as Andr Weil has
suggested? This paper argues that
this very limited view of the subject
is mistaken not only for the history
of mathematics itself but for
mathematics as well
Palabras clave: Matemticas Historiografa Newton Leibniz Abraham
Robinson Andr Weil Istvn Szabd George Sarton James Fetzer Jon
arwise
Si la historia de la ciencia es una historia
secreta entonces la historia de las
matemticas es doblemente secreta un
secreto dentro de un secreto
G. Sarton
Versin castellana de Esteban Azpeitia.
Recibido el 21 de diciembre de 1992
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OSEPH W. DAUBEN
LULL 16
El arte de la historia m atem tica puede ser
m ejor practicado por aqullos de no sotros
que son o han sido m atem ticos activos.
A. Weil
Historia de las M atem ticas.. . dem asiado
m temtic p r los histori dores y
dem asiado histrica para los m atem ticos.
I. Grattan-G uinness
Este artculo se basa en notas prepa radas originalmente para el Simposio
de H istoria de las Matem ticas de Tokio celebrado en la Universidad de Tokio,
del 31 de agosto al 1 de septiembre de 1990, en conjuncin con el Con greso
Internacional de Matemticos celebrado en Kyoto la semana anterior.
Considerando el inters que la Unin M atemtica Internacional
International
Mathematical
Union,
IMU ) ha dem ostrado por la historia de las matemticas,
en virtud de su reciente voto unnime para reconocer oficialmente a la
Com isin Intemacional de H istor ia de las M atemticas como una comisin
IMU conjunta con la Unin Internacional de Historia y Filosofa de la
Ciencia, pareca apropiado con siderar una cuestin que no es de ning
n modo
nueva, pero que ha provocado a menu do una considerable controversia tanto
entre los matem t icos como en tre los his toriadores de las ma tem t icas , a
saber: el objeto de la historia de las matemticas qu debera incluir la
disciplina y q uin d ebera ser incluido al definir la disciplina.
Es sta una cuestin especialmen te pertinente en relacin con la posicin
defendida no hace mu cho en el Congreso Intemacional de Ma temticos de
H elsinki en 1978) por el em inente matem tico An dr W eil, que se ocup de
este tema en su conferencia plenaria invitada
Weil hablando como
m atem tico, aprove ch la ocasin para afinnar enrgicam ente que slo los
ma temticos com o l mismo e staban cua lificados para escribir historia de las
ma temticas y que, cuanto mejor fuera el matem tico, probablemen te mejor
ser a la h is tor ia . Esto puede parecer en un p r incipio tan obvio que a du das
penas m erezca discusin. Pero en lo que sigue, sugerir algunas de las razones
por las que creo que la visin de W eil no slo no es correcta desde el punto de
vis ta de la his tor ia de las m atem ticas , s ino que es igualmen te per judicia l
estratgicamente desde la perspectiva m s sublime de las propias matem ticas.
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A T E M A IC A S L A P ER S P EC T IV A D E UN H IS T O R I A D O R
5
a promocin de la historia de las matemticas
Aunque es
posible rastrear las raices de estos estudios hasta la
An tigiedad, hasta la poc a en la que el autor griego E udem o de Ro das escribi
la prim era histori
de las matem ticas, puede decirse que su aparicin como
discipl ina pro fesional se produjo en e l s iglo XIX. Incluso hoy, a pesar de l
creciente inters por la historia de las ma temticas, sigue siendo el terreno de
un n
mero relativamente pequetio de especialistas Como seal Judith
Grabiner
en
un sem inar io sobre la evolucin de las matem ticas m odernas
patrocinado por la Ac adem ia Am ericana de A rtes y Ciencias en Boston en
19742:
Hay en la actualidad dem asiados pocos histor iadores de las matem ticas . El
cam ino para el historiador d e las matem ticas es difci l; necesi ta la prepa racin del
his tor iador , pero tambin nec esi ta con ocer m uchas m atemticas . La his tor ia de la
ciencia es e l la m isma u na profesin joven y re la t ivamente pe quea; e l n
mero de
historiadores de las matemticas, a causa de los tipos de conocimiento
necesi tados , es incluso m s pequeo. Sin emb argo, la necesidad de ta les personas
es evidente .
Claramente, tanto los matemticos como los historiadores de las
m atem t icas neces i tan prom over m s que l im i tar e l n
m ero de es tudiosos
in teresados en la m ater ia . Pero los matem ticos , que aportan u na part icular
visin de las cuestiones histricas a cau sa de su ca pacidad tcnica, usualm ente
aportan tambin intereses muy particulares. Como dice Grabiner, el
matemtico3
est orientado hacia el presente, y hacia las matemticas pasadas
principalmente en cuanto han conducido a temas matemticos de importancia
actual .. .. La his tor ia de las ma temticas ta l y com o es e scr i ta po r los m atem ticos
t iende a ser tcnica y a conc entrarse en el contenido de a rt culos especficos .
W eil considera la historia de las matem ticas ante todo desde esta l imitada
perspectiva. Se trata de
una m atcria destinada sobre todo a los matem ticos, de
ent re los cuales s lo los m ejores es tn rea lm ente en buenas condic iones ,
seg
n l, de escribir la historia de esta materia notoriamente exigente.
Em pieza su discusin ci tando a Leibniz, uno de los primeros m atemticos que
justific los m otivos de l inters de la historia de la m ateria4:
Su uso no es slo que la His tor ia puede dar a cada uno lo que mcrece y que
otros puedan esperar obtener un a alabanza sem ejante, s ino tam bin que el ar te del
descubrimiento sea promovido y sus mtodos conocidos a travs de ejcmplos
i lustrat ivos .
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OSEPII W. DAUBEN
LULI, 16
W eil interpreta esto en el sentido de que L eibniz quera que el historiador
de la ciencia escribiera antes que nada pa ra cientficos creativos o que aspiran a
l legar a serlo: Este era el p
blico q ue L eibniz tena en m ente, seg
n W ei l,
cuando esc ribi retrospectivamente
obre su
ms noble invencin
el clculo.
Pero es ste un ejemplo muy curioso para expl icar el inters de la
historia de las matemticas, especialmente teniendo en cuenta la idea
subyacente en W ei l de qu e los matemt icos es tn m ejor preparados para
emprender esta tarea Porque hay muy buenas razones para creer que el
significado que Leibniz daba a sus comentarios sobre la historia de las
matem ticas, cuando escribi lo anterior, no era tan sen ci llo como W eil nos
querra hacer creer.
j Quin debera escribir la historia de las matemti
as? El caso
de Newton y Leibniz
W eil contesta a la pregunta sobre quin deb era escribir historia de las
matemticas con una respuesta muy restrictiva:
el arte de la historia
matemtica puede ser mejor practicado por aqullos de nosotros que son o han
sido matemticos activos.
Si sto fuera c ierto, i,qu mejores ejemplos de este
principio podramo s considerar que los de dos matem ticos de la ta l la de
Leibniz o New ton? De hech o, estamos en condiciones de evaluar la asercin
de W eil, porqu e New ton escribi, y Leibniz esboz, lo que am bos l lamaron
historias
de su famoso co-descu brimiento, esto es, e l clculo infini tesimal o
diferencial.
Resumiendo b revemente, la reclamacin de am bos sobre la prioridad en
el descub rimiento del clculo prioridad que al principio Le ibniz pens que
poda comp art ir con N ewton y que m s tarde reclam directamente en vir tud
de su pr ior idad en la publicacin) llev a un sp ero deba te . Es te movi a
Le ibniz a solicitar que la
oyal Society
investigara sus reclam acione s frente a
New ton. La Royal Society accedi, y un ao m s tarde present una
historia
del clculo, en realidad koco ms que una coleccin de documentos reunidos y
comentados secretamente por el propio Newton . No sorprende que el
resultado, t i tulado
Commercium Epistolicum
1712), fallara inequvocamente
a favor de Newton.
L eibniz fue ins tado por sus dec ididos par t idar ios Johann Be rnoull i y
Christian W olf a oponerse a la doctr ina histrica presentada por N ewton en el
Commercium Epistolicum.
Deseaban que Leibniz publicase su propia
narracin histrica sobre la evolucin del
clculo genuino
y Leibniz ,
reconoc iendo la prudencia de este consejo, habl a menudo d e llevarlo a cabo.
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A T E M A T IC A S L A P E R S P E C T I A D E U N H IS T OR IA D OR
Logr distribuir un folleto o
Charta Volans,
hoja volante, como la llam
Newton) fechado el 29 de julio de 1713, en el que censuraba el
Commercium
Epistolicum
y repasaba el p
blico registro de cuanto l haba
publicado
sobre
el clculo, frente a los documentos hasta entonces inditos que Newton haba
recopilado para el
Commercium Epistolicum.
Un ao despus, Leibniz
empez a trabajar en su propia
Historia y origen del clculo diferencial,
que
sin embargo se qued en un simple fragmento, nada ms que un borrador
preliminar.
Mientras Bernoulli calificaba al
Commercium Epistolicum de col
recalentada,
el bulldog de Newton, John Keill, reprenda al rival de Newton
por su deslabazado trabajo con el clculo. Fue particularmente duro con el
Tentamen de Leibniz de 1689. Este, seg
n la crtica, era prueba de que
Leibniz no entenda realmente el clculo y de que no haba podido inventarlo
independientemente. Por el contrario, Leibniz haba debido sin duda tomarlo
de Newton pero sin haberlo entendido completame ntes.
La obra pstuma de Joseph Raphson,
History of Fluxions 1715),
aadi ms lea al fuego al que los newtonianos pretendan arrojar las
pretensiones de Leibniz sobre el clculo. En su prefacio deja claro que el
objeto del libro
era adjudicar las Principales Invenciones de este Mtodo a sus
Primeros y Genuinos Autores; especialmente las de Sir Isaac Newton.
La
prioridad de Leibniz en la publicacin especialmente su primer artcuto en las
Acta Eruditorum de 1684 era descartado porque revelaba cunto menos apto
y ms laborioso es el mtodo de notacin, que simboliza en modo
inverosmil insignificantes novedades quizs con el propsito de distinguirse
del simple y fcil mtodo que le fue comunicado a l), seg
n el cual l lo ha
publicado al M undo6
En el caso de la controversia Newton-Leibniz, ning
n matem
co de la
poca hubiera podido hacer justicia en el debate, o haber escrito una historia
objetiva. A pesar de la insistencia de Weil en que Leibniz esperaba que la
historia de la ciencia ilustrara el
arte del descubrimiento, en realidad Leibniz
fue ms honesto al decir en primer lugar que la historia deba ser escrita para
dar a cada uno
lo suyo
Este es a menudo el problema cuando los matemticos
apelan a la historia, frecuentemente con cuchillos de prioridad que afilar. Su
inters histrico en tales casos suele estar limitado casi enteramente a
cuestiones del tipo de quin hizo qu el primero.
Quizs el caso Newton-Leibniz sea un caso extremo. Podra argiiirse que
los tiempos han cambiado y que los matemticos de hoy, ms sofisticados,
pueden ser ms objetivos y, ms que usar la historia
nicamente para su
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propia conveniencia -cualquiera que sta sea- est.ln en condiciones de
escribirla para ejem plificar los mejores m todos del pasado.
debera escribir historia de las matemticas El caso de
Abraham Robinson
Consideremos entonces desde este punto de vista el ejemplo
contemporneo de un m atemt ico de pr im era c lase , Abraham Robinson, que
tuvo tam bin un apreciable inters por la historia de las matem ticas, estando
muy bien informado y siendo entendido en la materia. Los editores del
D ictionary of S c ienti f ic iography
le encom endaron la redaccin de var ios
ar t culos sobre importantes matem t icos todos los cuales haban tra tado de
un m odo u o tro la cuestin de los infinitsim os) y l se ofreci incluso para
escribir el artculo sobre Carnot que desgraciadamente ya haba sido
asignado7.
Sin em barg o, el m ejor indicad or del inters de Ro binson por la historia
de las m atem ticas es el cap tulo que escribi al final de su conocido l ibro d e
anlisis no estndar en el que la atencin se centra en las cuestiones
histricas relativas a los infinitsimo s
. Entre los e jem plos considerados por
Rob inson est el caso d el t rabajo de Cauchy en series infini tas, incluyendo el
famoso teorema de Cauchy que af irma que una ser ie convergente de funciones
continuas es continua. Robinson no fue tan lejos como el filsofo de la
c iencia Im r Lakatos , quien m s t a rde af i rm ar a , basndose en e l p rop io
anl is is de Ro binson, que la dem ostracin de Cauchy e ra toda el la co rrecta
Robinson slo haba dicho que una dem ostracin no estndar del teorem a de
Cauchy m ostraba que ste era correcto, basndose en una interpretacin de los
infinitsimos de Cauchy que los haca equivalentes a los propios
infinitsimo s no estndar de Robinson)9.
La historia desde la perspectiva de un matemtico
En cualquier caso el planteamiento de Robinson en relacin con la
historia de las matem ticas no era diferente del de muchos m atem ticos. Es un
enfoque perfectamente natural: en cfccto es ms probable que un
m atemtico/a est interesado/a principalm ente en la historia de la ram a o rea
de las m atem t icas en que m s ha t raba jado. Tpico de es te enfoque es la
explicacin que el propio Weil ofrece sobre cmo entender mejor los
Elementos
de Euclides. Seg
n
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LLULL 16
ATEMATICAS LA PERSPECTIVA DE UN HISTORIADOR
Para nosotros es imposible analizar debidamente los contenidos de los
Libros V y Vll de Euclides sin el concepto de grupo e incluso sin el de grupos co n
operadores, ya que las razones de magnitudes se tratan como un grupo
multiplicativo que opera sobre el grupo aditivo
de las magnitudes mismas. En
cuanto se adopta ese punto de vista esos libros de Euclides pierden su carcter
misterioso, y se hace fcil seguir la lnea que lleva directam ente de ellos a Oresm e
y Chuque t, y luego a Neper y los logaritmos .
Pero, i,en qu consiste esta especie de
historia m atem tica ll como W eil
la llam a? Parece claro que sea lo que sea su
historia m atem tica
no slo es
anacrnica, sino que adems lleva a plantear una cuestin fundam ental que
aclara ms su planteamiento: es decir, se trata de matem ticas con ejemplos
histricos (MHE) y
no de un ejemplo de la historia de las matemticas
(EHM). De nuevo aqu, MHE EHM .
A pesar de no tratarse de historia el ejemplo de W eil es muy interesante
en s mismo como ejemplo de cmo tiende a pensar de modo natural un
matem tico sobre un problema matem tico. Dados los resultados de Euclides,
Weil los examina con un vasto repertorio de conocimientos de los que
Euclides no dispona, y observa que toda la estructura del pensam iento de
Euclides funciona grac ias a ciertos principios subyacen tes de teora de grupos.
Pero la perspectiva es
matemtica
y en realidad no va ms all de lo que W eil
sabe en aq uel momento sobre grupos m ultiplicativos y aditivos. Tal anlisis,
sin embargo, no ofrece nuevas perspectivas histricas.
Puede decirse que esto es cierto igualmente en relacin con el anlisis de
A braham R obinson sobre el uso de infinitsimos por C auchy, basado en una
reconstruccin que usa anlisis no estndar. Esto es muy interesante
matemticamente, pero, de nueve,no es en realidad
historia
de las
matemticas. De m anera similar, si Rob inson crea que el anlisis no estndar
haca posible explicar por qu Le ibniz se equivoc usando infinitsimos, la
perspectiva si hay realmente alguna es matemtica no una perspectiva
histrica sobre lo que Leibniz hizo con -o cm o concibi- su propio clculo
diferencial.
Las grandes ideas en matemticas la teora del
ol to
Si la visin de Weil de
por qu
se debera escribir historia de las
matemticas
-registrar la historia
lo llamara yo en busca de
ejemplos
heursticos ilustrativos-
plantea problemas, tambin pa rece equivocarse en su
idea de cm o se debera delimitar la historia de las ma temticas. Si la historia
de las ma temticas debe estar constituida por las
grandes ideas
de la disciplina,
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LULL 16
entonces es necesario conven ir qu constituye una
idea matemtica.
En este
punto W eil adopta la
teora del olfato
nose theory) de las ma temticas: el
matemtico
puede no ser capaz de definir qu es una idea matemtica pero le
gusta pensar que cuando olfatea una la reconoce12.
El infinito, por ejem plo, slo oli com o una idea m atem tica
despus de
que Cantor definiera los conjuntos equipotentes y probara algunos teoremas
sobre ellos
Esto e xcluye, insiste We il, todo lo que se ha dicho del infinito
como parte de las matemticas ya en los filsofos griegos y m edievales, o en
cualquier autor anterior aproximadamente a 1880. Las opiniones de los
filsofos g riegos sobre el infinito pueden se r de inters para los
filsofos
dice, pero se r
ega a aceptar que tuvieran una gran influencia en la obra de los
matem ticos griegos.
Si se piensa en los presocrticos, por ejemplo, como A naximan dro y sus
ideas ms bien vagas so bre el
apeiron
entonces W eil puede estar en lo cierto.
Pero i no estn las paradojas del movimiento de Zenn intimamente
elacionadas con e l problema m atem tico del infinito, como lo estaban los
esfuerzos de los pitagricos para tratar el descubrimiento de m agnitudes
inconm ensurables y la consiguiente resolucin por Eudoxo del dilem a de los
inconmensurables por medio de su teora de la proporcin?
Slo porque el infinito puede no haber sido tratado con total rigor
matemtico hasta Georg Cantor i quiere esto decir que anteriormente el
infinito no era considerado un problema m atem tico serio? i,Y qu debera
hacer el historiador de las matemticas con toda la historia de los
infinitsimos? i,Es razonable afirmar que este tema ha entrado a formar parte de
la historia de las matem ticas slo despus de la obra de Abraham Ro binson y
de la aparicin del anlisis no estndar o con los varios otros pretendientes al
mrito de haber desarrollado sistemas no arquimedianos rigurosos, admitiendo
los infinitsimos bajo enfoque s matem ticamente rigurosas, como du Bois-
Rey mond, Verone se, o ms recienterhente, Schm ieden y Laugw itz)?
igundo podemos decir que los infinitsimos se convierten en una parte
aceptable del registro histrico? La impresin es que W eil ha confu ndido de
nuevo m atemticas con historia de las matem ticas: una cosa es decir que los
infmitsimos no llegaron a ser una parte aceptable de las
matemticas
hasta el
siglo XX , pero es ciertam ente errneo c oncluir que no han sido una parte
importante de la
historia
de las matemticas hasta qu e no ha sido establecida
su rigurosa validez
14.
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LLULL
ATEMAT1CAS: LA PERSPEC77VA DE UN H1STORIADOR
1
Qu es lo que hace
historia?
La res
trictiva interpretacin de Weil de lo que constituye una
idea
matemtica
en relacin con la tayea de escribir historia de las m atemticas
tiene su paralelo en un debate qu e se desat no hace mu cho en relacin con la
historia de la m ecnica y con la cuestin de q uin d eba escribirla. Istvn
Szab, sucesor de M ax von Laue en la ctedra de mecnica de la U niversidad
Tznica de Berln entre 1948 y 1975 escribi un libro
Geschichte der
mechanischen Prinzipien que fue publicado en 1976.
Poco despus de que von Laue escribiera su prop ia
Geschichte der Physik
en 19 46 , Albert Einstein le escribi alabando el libro que
con maestra haba
escogido lo ms importante. Es verdaderamente
til continuaba Einstein, q ue
alguien que examina todo el panorama con tal inteligencia sustraiga la
historia del pensamiento humano de las manos de los fillogos y los
popularizadores y presente el gran drama limpio del polvo de detalles
insignificantes 5
Lo m ism o p odra decirse del libro de S zab,
mutatis mutandi, seg
n
Armin H ermann, profesor de H istoria de la Ciencia y de la Tecnologa de la
U niversidad de Stuttgart. Y a
n as, amotiesta Hermann , la cualificacin de
Szab com o fsico no es suficiente para asegurar que tenga una com prensin
apropiada de la historia
de la disciplina.
Para empezar, la historia de S zab se inicia en Galileo, porque, como l
mismo exp lica, slo se va a ocup ar de
lo que, en el desarrollo de la mecnica
clsica, hizo realmente historia
.
Nada anterior a Galileo afirma fue
suficientemente c ientfico p ara poder calificarlo com o p arte de la verdadera
historia de la m ecnica. Esta afirmacin. suena ahora familiar: es virtualmente
lo mism o en lo que insiste W eil respecto a la historia de las matemticas. El
infinito, por ejemplo, no tiene ning
n lugar en la historia de las matem ticas
hasta Georg Cantor.
Todo esto es semejante a decir qu e la teora del flogisto no tiene sitio en
la historia de la qu mica, o que los epiciclos, deferentes y ecuantes no tienen
lugar alguno en la historia de la astronom a. A nlogam ente, i,puede u no
imaginar la historia de la astronoma sin Ptolomeo o Coprnico o de la
m ecnica celeste sin Descartes (isea lo qu e fuera lo qu e pensara sobre los
vrtices )? El problema en am bos casos, en el de Szab y en el de W eil, es
que ambos parecen asumir qu e la historia debera servir slo a los intereses de
lo que ha tenido xito -seg
n lo qu e ellos entienden por xito-. Esto significa,
retroceder partiendo de lo qu e los cientficos en activo hoy consideran valioso
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LULL 16
o correcto y juzgar entonces todo el pasado con los patrones de medida
actuales.
Historia de las matemticas: la visin
w i
Una ve z discutida la idea tan limitada de W eil segn la cua l la historia de
las matem ticas debera escudrifiar el pasado pa ra obtener ejem plos ilustrativos
y se debera ocupar slo de ideas matem ticas reales
i ,hay alguna razn para
poner en tela de juicio su p retensin de qu e los matem ticos deberan ocup arse
de escribirla y de que en realidad estn en la mejor posicin para hacerlo)? Por
m uy razonable que pued,a parec er esta idea, s i ste fuera de verdad e l caso, es
improbable que se Ilegara nunca a escribir mu cho.
La m ayor parte de los ma tem ticos activos tienen otros intereses distintos
de la his toria , que c onsisten precisamente en probar teorem as. George M ackey,
a causa de las
presione s de su d isc ipl ina
recon oce su inters por la historia ,
pero no t iene t iempo pa ra hacerla . Ade m s, para aqu el los ma tem ticos que s
encuentran tiempo la historia es muchas veces poco ms que una cosa
anecdtica. Y tam poco es tan imp ortante la exacti tud, especialmente si se est
pensando slo en el valor heurstico de los ejemplos histricos. Por otra parte,
seg n Mackey ni la ex act i tud de tal lada de lo s his tor iado res n i la de los
f i l so f o s e s be n e f i c i o sa p e d a gg ica m e n t e . Un poco de historia es ya
st ificiente . Como a dmite M acke y, debido a las presione s de su d isc ipl ina
no
est interesado en
u n a h i s t o r i a d e t n a s ia d o d e t a l l ad a 7
Pongam os por caso, s in emb argo, que un m atem t ico con
olfato para la
historia
com o dice W eil, es serio escribiendo historia con vistas a dilucidar los
grandes resultados y mtodos del pasado. Lo que p uede esperarase en la m ayor
par te de casos es la aproximac in
retroactiva
-o, de hec ho, la ret irada- a la
historia . Este m todo es intr insec am ente a histrico, y trae c onsigo el pel igro
inherente de esc ribir historia m uy
whig
-en el sentido de que el progreso d e las
ma temticas que condu ce al presente estado de cosas era casi inevitable-.
Com o ha dicho Ivor Grat tan-Guinness , quizs ms exp res ivam ente , los
matemticos18
suelen ver la historia como el registro de un 'camino real hasta mr, esto es,
urta estudio de c mo tma teora modema particular surgi a partir de las antiguas
teorfas, en lugar de ser un e studio de esas teoras antiguas por su propio derecho. En
otras palabras, confunden la pregunta j,cmo llegamos hasta aqu? con una
pregunta diferente t,qu sucedi6 en el pasadoe.
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A
A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 1 3 1 A 1 B 1
L__J L__J L__J L__J L__J L__J L__J L__J
l
3
l
l
B 1
3
3
imen
Dirichlet
Fennat
B;
B 4
4
LLULL 6
ATEMATICAS LA PERSPECTIVA DE UN HISTORIADOR
3
H aciendo es ta clase de retrocesos, la historia
whig
l leva tambin co nsigo
otro peligro inhere nte. Este est relacionado con el com prensible sentido de la
propiedad que un ma temtico puede tener sobre resultados que conducen a su
propio t rabajo o rea de e special inters . En el correspondiente del rbol
genealgico de las matem ticas, del ahora al entonces, slo los predecesores
conocidos o supuestos de la propia obra que fueron
significativos sern
incluidos.
George Sarton
i lustr este problem a de la visin del m atemtico de la
historia con una m etfora genealgica grfica:
A
A
Euclid
Figiva 1
Suponiendo n gener ciones
de predecesores, de los 1 1 1
cam inos posibles
desde la primera a la n+/ )-sima, el mtodo
retroactivo
ex min r n
predecesores e ignorar
n 1
De jando aparte los n
meros y los diagramas,
no cab e pens ar, siendo re alistas, que el rbol de las m atem ticas y la historia
de su crecimiento y desarrollo pueda ser tratado adecuadam ente de una form a
tan arbitraria y pa rcial.
Co mo contraejem plos sencillos a la idea de que pueda haber a lg
n camino
recto que Ileve d el pasado h istrico al presente en cada una
de las direcciones,
considrense los diagrarnas que algunos historiadores de las m atemticas han
intentado traza r para m ostrar las principales vas de influenc ia en la historia de
la te ,ora de redes Figura 2, de H erbert Mehrtens) y en la his toria de las
relaciones deduc tivas entre el axiom a de e leccin, la hiptesis del continuo y
los conjuntos no m edibles Figura 3 , de Gregory Moore) , por dar slo dos
ejem plos. En ca da caso los diagramas pretenden dar una idea de la comp leja
interaccin de diferentes individuos o ideas en m
l tiples direcciones, a vec es
simultnearnente, a men udo indirectam ente2.
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ATEMATICAS: LA PERSPECTIVA DE UN HISTORIADOR
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OSEPH W. DAUBEN
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scribir historia de las matemticas
La habilidad creativa en matemticas es claramente un don con el que
pocos son favorecidos. Pero no se necesita ser un Andr Weil o un ganador de
la Medalla Fields para entender y aprec iar las maternticas, habilidad sta de un
tipo totalmente diferente del lado creativo de las matemticas, donde las nuevas
tcnicas, teoremas y demostraciones son apreciados por encima de todo. Weil
no distingue suficientemente la una de la otra.
Precisamente sobre esta cuestin se viene dearrollando, desde hace alg
n
tiempo, un debate de tonos similares entre ciertos filsofos y la comunidad
interesada en las fronteras de la 16gica y la ciencia de la computacin. La
controversia fue lanzada por el filsofo James Fetzer, quien recientemente
atac la idea bsica de verificacin de programas, diciendo que era imposible
obtener demostraciones matemticas de la correccin de un sistema
computacional
. El tema en s ya se planteaba en 1969: de entonces data un
artculo escrito por C. A. R. Hoare titulado
Una base. axiomtica para la
program acin de ordenadores22
No entraremos aqu en los detalles de este debate sobre si es posible o no
obtener demostraciones de la correccin de un programa pero la naturaleza
ad
hominem
de un aspecto al menos del debate es relevante. Gran parte de la
constem acin produc ida por la posicin de Fetzer entre cientficos especialistas
en computacin est relacionada con el hecho de que este autor es un fil
sofo
y no un matemtico. Lase
historiador de las matemticas donde
pone filsofo
en el siguiente resumen de la situacin escrito por Jon Barwise, y el aspecto
ad hominem
de la posicin de Weil sobre el tema de los historiadores de las
matemticas se aclara mucho:
Muchas de las acusaciones dirigidas cntra el artculo de Fetzer son tpicas de
los choques entre los cientficos activos en un campo X cualquiera y los fil6sofos
de X. E l fil6sofo necesariamente intenta ofrecer un anlisis de X en su estado ac tual
al profano informado. El cientfico activo cree que el filsofo no ha captado un (o
el) punto principal de X. Por frustraci6n, demasiado a menudo se ve tentado a
afirmar que simplemente no se puede entender X sin hacer X. C omo matemticos
sean X las matemticas), podemos todos sin ninguna duda reconocer esta
tentaci6n. Pero tales reacciones no dicen realmente mucho contra el mensaje
sostenido por el filsofo; simplemente intentan suscitar duda o ridfculo sobre el
mensajero 23.
Weil, sin embargo, no ha resistido a la tentacin.
Afirma
efectivamente
que uno no puede entender las matem ticas sin
hacerlas
y seguidamente pasa
a
suscitar duda o ridculo
sobre los que escriben historia de las matemticas sin
ser preferentemente m atemticos como l.
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ATEMAT1CAS: LA PERSPECTIVA DE UN H1STORIADOR
7
Bar.vise, ms moderado, prefiere ignorar tales reacciones y, como l dice,
llegar a la sustancia del debate En este caso, la sustancia fue expresad a del
m odo m s bril lante por Ken M ay:
Yo creo que la historia puede y debera ser socialmente
til, para los
historiadores de la ciencia, para quienes hacen poltica, para los estudiantes y
usuar ios de las matem t icas , para e l lego en la m ater ia cul to , y sobre todo p ara los
ma temt icos, que son sus m s genuinos consumidores y los creadores de su materia
prima.
L a h is t or ia de l as m at em t icas par ece h ab er l legado a u n pu nt o de d espegu e
hacia el estudio serio d e los de sarrol los recientes, y un vuelo afortunado requiere la
colaboracin de los his tor iadores y los m atemt icos creat ivos 24.
Weil deftende bsicamente algo que corresponde a una visin muy
anticuada de las matem ticas , aceptada s in duda durante la ma yor parte de su
historia , pero que ya a f inales del siglo pasad o em pezaba a decaer. En esto, su
confianza (al menos en su conferencia de Helsinki sobre quin debera escribir
la his tor ia de las matem t icas y p ara quin) en autoridades no m s recientes
que Moritz Cantor (1829-1920), Paul Tannery (1843-1904), y Gustav
Enestr t im (1852-1923 ) , puede haber contr ibuido al problema, porque lo que
W e i l p a r e c e t e n e r e n m e n t e e s e l m o d e l o
acumulativo de la historia de las
matemticas. Desde este punto de vista las matemticas son consideradas un
almacn de teoras y teoremas
correctos.
La tarea del historiador es
s im plemen te tomar lo me jor de es to com o grandes ejemp los de resul tados y
mtodos y mosuar cmo llegaron a ser obtenidos. Los errores, los
experimentos fa l l idos o los razonamientos defectuosos son todos barr idos
debajo de la alfombra.
Historia de las matemticas la perspectiva del historiador
Pero las matemticas no son slo matemticas esto es, no son
simplemente un depsito de resultados correctos. Si Weil estuviera ms
favorablem ente dispuesto hacia la f tlosofa de las matem ticas , creo que algo
co m o e l li bro
Proofs and Refutations
d e I m r e L a lc a to s p o d r a a c la r a r e s te
punto. Las matemiticas consideradas intelectualmente como la resolucin de
puzzles t ienen a lgo en com
n con las c iencias exper imen ta les . Cuand o los
m at em t ico s h acen rea l m en t e m at em t icas , co n s i d eran v ar i as hi p t es is y
posibilidades, hallan lo que funciona y lo que no f unciona y m u c ha s v e c e s
m ejoran sus resultados gracias a la interaccin social con otros matem ticos.
El Congreso de K yoto recin celebrado es un claro ejem plo de este fenmeno
en accin. En resumen las matem
cas son una actividad mucho ms
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com pleja -y m ucho m s sugestiva y l lena de desafos- de lo que luego aparece
en libros o artculos como
matemticas
El reciente anlisis de He rbert Meh rten de los orgenes y de sarrollo de la
teor a de redes conf irma esta
l tima af ima cin de form a m odlica. Como
mu estra M ehrtens, la teora de redes apareci de m uchas m aneras diferentes,
com o resultado de diversos m otivos y diferentes aproximaciones. La definitiva
aceptacin de la teora de redes y su emergencia com o una ram a reconocida de
las matem t icas en los aos 30 del siglo X X fue un proc eso social , af i rm a
este autor, a la vez que un a cuestin de matem ticas tcnicas25.
En conclusin, prefiero ado ptar una visin m s am plia de la historia de
las matem ticas antes
que a las estrechas miras de Gustav En estrbm o An dr
W eil. En esto creo que G eorge Sarton estaba en lo cierto cuando escribi que
realmente la historia de las matemticas deberia ser el n
cleo de la historia de
la cultura
6
Pero si es escr ita slo por m atem ticos con los ojos puestos
nicam ente en la ut i lidad de los descubrimientos o m todos pasados para la
formacin o el uso de la generacin actual de m atemticos, esto nunc a podr
llegar a ser a s.
Este objetivo exclusivo resultara v erdaderam ente limitado, especialmen te
porque los mtodos y aproximaciones a las matem t icas m odernas se es tn
volviendo cada vez ms especializados y con menos conexin con los
problemas y mtodos que fueron tratados por los matemticos de las
generaciones anteriores. Los co ntenidos y mtodos antiguos resultan a m enudo
extraos e incluso i rrelevantes para e l t rabajo actual de los ma tem t icos, y
esto es sin duda cierto para la historia de la disciplina ha sta, digam os, 1800,
pero incluso tambin para am plios sectores de las m atemticas del siglo XIX.
Ha y todava otro aspecto de la idea de Sar ton de que las ma temticas
deberan ocup ar una po sicin central en la historia de la cultura que m erece
atencin. Es el triste hecho de qu e si la historia de las m atem ticas se lim ita a
los intereses de los matemticos como si se tratase bsicamente de un
instrume nto heurstico para la prepara cin de quienes practican la disciplina, la
historia de la ciencia (y a su vez la historia de la cultura) sufrir m ucho. Un a
vez m s hay que recordar, como Ge orge Sarton saba m uy bienn:
Sepa ra los desarrollos ma tem ticos de la historia de la ciencia y suprimirs
el esqueleto que soportaba y m antena unido todo lo derns .
Hace p oco m s de cincuenta aos, Sarton pub lic su gua para
The S tudy
of the History of Mathematics
(1936), en la que sealaba que la historia de la
ciencia era una
historia secreta
-y la historia de las m atem ticas un secreto
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ATEMATICAS LA PERSPECTIVA DE UN HISTORIADOR
dentro del secreto-, porque mientras muchos estudiosos podan conocer algo de
la historia de la ciencia en general, no se poda esperar que muchos
matemticos, cientficos o incluso especialistas en historia de la ciencia
pudieran saber mucho sobre historia de las matemticas2 8 . Si deseamos que
esta disciplina sea menos un secret secretorum ms una parte de la historia
de la ciencia y de la cultura en general del Este y del Oeste entonces debemos
apoyar y no limitar su desarrollo. Cualquiera que disponga de los medios y el
intzrs para poder hacer esto debera ser animado a unirse al creciente esfuerzo
internacional para estudiar, ensear y escribir la historia de las matemticas.
OT S
1 W EIL , A. (1 98 0) History of Mathematics: W hy and How . In: O. L ehto,
(ed.)
Proceed ings of the International C ong ress of M athem aticians H elsink i ,
1978) .
Helsinki, Academia Scientiarum Fennica, vol. 1 , 2 2 7-2 36 .
2 GRABINER, J. (1975) The Mathematician, the Historian, and the
History of Mathematics . H istoria M athem atica,
2 , 439-447; esp. p. 443.
3 GRABINER [1975, p. 439].
4 Citado en W eil [1 98 0, p. 22 71 de C. I. GERH ARD T (ed.)
Mathematische
Schri f ten, vol. 5, p. 392 .
5 Vase KEILL, J. (1714) Rponse aux auters des remarques, sur le
diffrence entre M. de L eibniz et M. Newton .
Journal L itraire de la Hay e, 2
(julio-
agosto), 445-453 y AITON , E. J. (1972 )
T he V ortex T heory of Planetary M otions.
L ondon, Macdonald, p. 138 .
El mismo tipo de argumento fue usado tambin por L eibniz y especialrrtente
por Joharm Bernoulli, quienes hicieron todo lo que pudieron para desacreditar la
competencia de N ewton como matemtico tal y como se reflejaba en los
Principia.
Com o ha dicho A. R . Hall:
S e hic ieron todo t ipo de es fu erz os para conden ar a
N ew ton] por error e ignorancia porque no se po da concebir qu e u n m atem tico tan
db il hubiera inve ntado el clculo.
[HALL , A. R. (198 0)
Philosophers at W ar. T he
Q uarre l B etw een N ew ton and L eibniz .
Cambridge, Cambridge U niversity Press, p.
193].
6 RAPHSON, J. (1715)
T h e H is to ry o f Flu x io n s , S h e w in g i n a
Com pendious M anner the f irs t R ise of , and v arious Im prov em ents m ade in that
Incomparab le Method .
London, W. Pearson, p. 19. Newton intervino tambin
secretamente en el libro de R aphson. Contribuy6 a la preparacin de una v ersi6 n
latina para el continente, y en una segtmda edici6n inglesa Newton hizo sus
propias adiciones. Como ha dicho Hall [198 0, p. 2 2 6 ] al respecto, N ewton amold6
el libro de Raphson firmemente y secretamente a sus propios fmes.
7 Existen varios estudios biogrficos sobre Robinson, entre ellos:
SEL IGMA N , G. (1 979) Biography of Abraham Robinson . En: H. J. Keisler
(exls.), S elected Papers of A braham R obinson. N ew Haven. Yale U niversity Press,
vol. 1 , x iii-xx x ii; y DA U BEN , J. (1 990) Abraharn Robinson . In:
The Dictionary
of S cienti f ic B iography .
N ew Y ork, Scribners, Supplement II, 748 -751 .
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40
OSEPII W. DAUBEN
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8 ROBINSON, A. (1966)
N on-S tandard A naly sis.
Am sterdam, North-
Holland. 2 edicin, 1974.
9 LAKATOS, I. (1978) "Cauchy and the Continuum: The Significance of
Non-standard Analysis for the History and Philosophy of Mathematics". In: J.
W orrall y G. Currie (eds.),
M athem atics , Science and Epistem ology : Philosoph ical
Papers .
Cam bridge, Cambridge U niversity Press, vol. 2, 148-151. R eirnprimido
en
T he M athem atics Intelligencer, 1
(1979), 151-161, con una nota, Introducing
Imr Lakatos , en pp. 148-151.
Una discusin ms detallada de la aplicacin de Lakatos del anlisis no
estndar en su
rec onstrucc in racional
de la comprensi6n de Cauchy de los
infinitsimos se presenta en DAUBEN, J. (1987) "Abraham Robinson and
Nonstandard Analysis: History, Philosophy and Foundations of Mathematics . In:
P. Kitcher y W . Aspray (eds.),
N ew Perspectives on the H istory and Philosophy of
M ath e m atic s .
Minneapolis, University of Minnesota Press, 177-200; vase
tambin (1989) Abraham Robinson: Les Infinitesimaux, l'Analyse Non-Standard,
et les Fondem ents des Mathmatiques . In: H. Barreau (ed.),
L a M a th m a t i q u e N o n
Standard
(Fondements des Sciences). Paris, Editions du C NRS, 157-184.
10 Weil [1978 p. 2321.
11 No se debera pasar por alto que a lo largo de todo el artculo W eil insiste
en el fastidioso uso del trrnino
historia rnatem tica
cuando realmente qu iere decir
h istoria de las rnatem ticas.
Los dos trminos no son equivalentes. La historia
m atem tica , MH, es la historia analizada con los instrumentos de las matemticas
y la estadstica, generalmente conocidos como
cliom tricos.
La
h istoria de las
m atem ticas, HM , es cualquier intento de entender cano eran las matemticas en el
pasado y c6mo llegaron a ser as. iLos conceptos o conmutan MH HM. Una
til discusi6n de esta distincin se puede ver en GRATTAN-G UINNES S, I. (1990)
"Does History of Science Treat of the History of Science? The Case of
Mathematics . H istory o f Sc ience , 28 ,
149-173, especialmente p. 149.
12 Weil [1978, p. 230].
13 Weil [1978 p. 2301.
14 En el tema del infmito W eil afiade, con aire condescendiente, que por otra
parte podra ser de inters para la filosofa, lo que le lleva a decir en tono de brom a
que
alg unas unive rsidades h an establec ido cte dras para la h istoria y f ilosof a de
las m aterrulicas ; nte e s dific il im aginar lo que estas dos m aterias pue den te ne r en
c o m
n sta afirmacin resulta verdaderamente extxaa, teniendo en cuenta que
Weil, escribiendo desde su posicin en el Institute for Advanced Study de
Princeton, conoca entre sus colegas del centro la figura dominante de K urt Gadel,
en cuya obra puede decirse que la historia y filosofa de las matemticas se
encuentran de un modo especiahnente relevante. Pero esta idea de que la filosofa es
irrelevante para las matemticas parece ser un sello de la escuela Bourbaki.
15 Carta indita de Albert Einstein a Max von Laue 15 de mayo de 1947
citada en la introduccin de Armin Herrnann a la edicin especial de la obra:
SZAB O, I. (1976)
G eschichte der m ech anische n Prinz ipien urz d ihrer w ichtigsten
A n w e n d u n g e n .
Basel, Birkhuser Verlag; el
B eg le i tw ort
de Armin Hermann
acompaa la 2
edici6n, 1979, p. xi. Agradezco a Christoph Scriba el haberme
sefialado este notable caso de la introduccin de Hermann a esta edicin de la
historia de Szab6 .
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A T E M A T I C A S L A P E R S P E C T IV A D E U N H IS T O R I A D O R
16 Vase la discun de este punto en la incroduccin de Hermann a Szab
[1979 pp. xi-xiii].
1 7 MACK EY, G. (1 975) Remarks made at the W orkshop on the Evolution
of Modern Mathematics . Historia M cuhem atica, 2,
446-447.
1 8 Grattan-Guinness [199 0, p. 1 57].
19 SARTON, G. (1936) The Study of the History of Mathematics.
Cambridge Mass. Harvard University Press. Reimpresin New York Dover
1 957, p. 6 . L a figura de Sarton aparece a la izquierda; la versin Grattan-Guinness
est a la derecha. Diag rama reproducido con perrniso de Harvard U niversity Press.
20 L as figuras 1 y 2, respectivamente, proceden de: MEH RTE NS, H. (1979 )
Die Entstehung der Verbandstheorie.
Hildesheirn, Gerstenberg Verlag, p. 12; y
MOORE, G. H. (1982) Z erm elo s A xiom of Choice. Its Origins, Developm ent, and
Influence.
New York, Springer-Verlag, p. 326. Diagramas reproducidos con
permiso de G erstenberg Verlag y Springer-Verlag, respectivamente.
21 FETZER, J. (1988) Program verification: The Very Idea .
Com m unications of the A ssociation for Co m puting M achinery, 31 (septiembre),
1 0 4 8 - 1 0 6 3 .
22 HOARE, C. A. R. (1969) An Axiomatic I3asis for Computer
Programming .
Com m unications of the A ssociation for Com puting M achinery,
12 576-580.
23 BARWISE, J. (1989) Mathematical Proofs of Computer System
Correctness .
Notices of the American Mathematical Society 36
(septiembre),
844-851, esp. pp. 845-846.
24 MAY, K. O. (1975) What is Good History and Who Should Do It? .
H istoria M athem atica, 2,
449-455.
25 Mehrtens [1979].
26 Sarton [1936, p. 4].
27 Sarton [1936, p. 4].
28 Sarton [1936, p. 7].
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