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PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
DERIVACIÓN NUMÉRICA
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Introducción
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Introducción
Introducción
Las fórmulas de derivación numérica son importantes en eldesarrollo de algoritmos para resolver problemas de contornode ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones enderivadas parciales.
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
C
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
El Límite del Cociente Incremental
Se busca aproximar numéricamente la derivada de f (x ):
f (x ) =lim
h→0
f (x + h ) − f (x )
h
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El Lí it d l C i t I t l
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
El Límite del Cociente Incremental
Método:
Se elige una sucesión {h k } tal que h k → 0 y se calcula el límitede la sucesión
D k =f (x + h k ) − f (x )
h k ;
para k = 1, 2.......
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El Límite del Cociente Incremental
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
El Límite del Cociente Incremental
Los términos de la sucesión {D k }se calculan hasta que
|D N +1 − D N | ≥ |D N − D N −1| ;
la intención es tratar de determinar la mejor aproximación
antes de que los términos empiecen a alejarse del límite.
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Son fórmulas de aproximación a f (x ) que requieren que lafunción se pueda evaluar en abcisas situadas simétricamente aambos lados del punto x 0 (donde se desea hallar la derivada).
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)
(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1
2h
(2) f (x 0) ≈f 1 − 2f 0 + f −1
h 2
(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2
2h 3
(4) f (4)
(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −2, −1, 0, 1, 2
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)
(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1
2h
(2) f (x 0) ≈f 1 − 2f 0 + f −1
h 2
(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2
2h 3
(4) f (4)
(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −2, −1, 0, 1, 2
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te de Coc e te c e e taFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)
(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1
2h
(2) f (x 0) ≈f 1 − 2f 0 + f −1
h 2
(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2
2h 3
(4) f (4)
(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −2, −1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)
(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1
2h
(2) f (x 0) ≈ f 1 − 2f 0 + f −1
h 2
(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2
2h 3
(4) f (4)
(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −2, −1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)
(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1
2h
(2) f (x 0) ≈ f 1 − 2f 0 + f −1
h 2
(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2
2h 3
(4) f (4)
(x 0) ≈
f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −2, −1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Cuando se hacen los cálculos con un computador, no es
aconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x ) con un error de truncamiento de orden O (h 4).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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El Límite del Cociente Incremental
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Cuando se hacen los cálculos con un computador, no es
aconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x ) con un error de truncamiento de orden O (h 4).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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P li iEl Límite del Cociente IncrementalFó l d Dif i C t d
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)
(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2
12h
(6) f (x 0) ≈− f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2
12h 2
(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3
8h 3
(8) f (4)
(x 0) ≈
− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3
6h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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PreliminaresEl Límite del Cociente IncrementalFórm las de Diferencias Centradas
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)
(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2
12h
(6) f (x 0) ≈− f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2
12h 2
(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3
8h 3
(8) f (4)
(x 0) ≈
− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3
6h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)
(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2
12h
(6) f (x 0) ≈− f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2
12h 2
(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3
8h 3
(8) f
(4)
(x 0) ≈
− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3
6h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)
(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2
12h
(6) f (x 0) ≈ − f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2
12h 2
(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3
8h 3
(8) f
(4)
(x 0) ≈
− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3
6h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)
(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2
12h
(6) f (x 0) ≈ − f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2
12h 2
(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3
8h 3
(8) f
(4)
(x 0) ≈
− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3
6h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Métodos de Derivación Numérica Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x
0, entonces la Fórmulas de Diferencias
Centradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x 0 se llaman
Fórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Métodos de Derivación Numérica Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x
0, entonces la Fórmulas de Diferencias
Centradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x 0 se llaman
Fórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)
(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h
(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2
(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3
(12) f
(4)
(x 0) ≈
3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)
(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h
(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2
(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3
(12) f
(4)
(x 0) ≈
3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)
(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h
(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2
(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3
(12) f
(4)
(x 0) ≈
3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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PreliminaresMét d d D i ió N é i
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)
(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h
(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2
(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3
(12) f
(4)
(x 0) ≈
3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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PreliminaresMétodos de Deri ación N mérica
El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórm las de Diferencias Progresi as Regresi as
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)
(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2
2h
(14) f (x 0) ≈ 2f 0−
5f −1 + 4f −2−
f −3h 2
(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4
2h 3
(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5
h
4
f k = f (x 0 + kh ); k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)
(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2
2h
(14) f (x 0) ≈ 2f 0−
5f −1 + 4f −2−
f −3h 2
(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4
2h 3
(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5
h
4
f k = f (x 0 + kh ); k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
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Métodos de Derivación Numérica Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)
(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2
2h
(14) f (x 0) ≈ 2f 0−
5f −1 + 4f −2−
f −3h 2
(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4
2h 3
(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)
(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2
2h
(14) f (x 0) ≈ 2f 0−
5f −1 + 4f −2−
f −3h 2
(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4
2h 3
(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)
(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2
2h
(14) f (x 0) ≈ 2f 0−
5f −1 + 4f −2−
f −3h 2
(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4
2h 3
(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5
h 4
f k = f (x 0 + kh ); k = −5, −4, −3, −2, −1, 0
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g y gDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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g y gDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Se mostrará la relación que existe entre las fórmulas deorden O (h 2) para aproximar f (x ) y un algoritmo generalque permite calcular derivadas numéricamente.
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Recordar que el Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P (t )de grado N = 2 que aproxima f (t ) usando los nodos t 0, t 1 y t 2,viene dado por
P (t ) = a 0 + a 1(t − t 0) + a 2(t − t 0)(t − t 1),
(1)siendo
a 0 = f (t 0)
a 1 =
f (t 1) − f (t 0)
t 1 − t 0
a 2 =
f (t 2)−f (t 1)t 2−t 1
− f (t 1)−f (t 0)t 1−t 0
t 2 − t 0
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
La derivada de P (t ) es
P (t ) = a 1 + [a 2(t − t 1) + a 2(t − t 0)] = a 1 + a 2 [(t − t 1) + (t − t 0)] (2)
que evaluada en t = t 0, produce
P (t 0) = a 1 + a 2(t 0 − t 1) ≈ f (t 0). (3)
En (a), (b) y (c) no hace falta que los nodos {t k } esténequiespaciados. Ordenando los nodos de maneras distintasobtendremos fórmulas de aproximación a f (x ) distintas.
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Caso 1:
Si t 0 = x , t 1 = x + h , t 2 = x + 2h , entonces
a 1 =f (x + h ) − f (x )
h
a 2 =f (x +2h )−f (x +h )
h − f (x +h )−f (x )
h
2h =
f (x ) − 2f (x + h ) + f (x + 2h )
2h 2
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasD i d d l P li i I t l d d N t
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P (x ) =f (x + h ) − f (x )
h
+(−h ) [f (x ) − 2f (x + h ) + f (x + 2h )]
2h 2
=f (x + h ) − f (x )
h +
−f (x ) + 2f (x + h ) − f (x + 2h )
2h
=2f (x + h ) − 2f (x ) − f (x ) + 2f (x + h ) − f (x + 2h )
2h
= −3f
(x
) +4f
(x
+h
) −f
(x
+2h
)2h ≈ f (x ),
que es la fórmula (9).
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Caso 2:
Si t 0 = x , t 1 = x + h , t 2 = x − h , entonces
a 1 =f (x + h ) − f (x )
h
a 2 =
f (x −h )−f (x +h )−2h
− f (x +h )−f (x )h
−h =
f (x −h )−f (x +h )+2f (x +h )−2f (x )−2h
−h
= f (x + h ) − 2f (x ) + f (x − h )2h 2
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y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P
(x ) =f (x + h ) − f (x )
h +−f (x + h ) + 2f (x ) − f (x − h )
2h
=2f (x + h ) − 2f (x ) − f (x + h ) + 2f (x ) − f (x − h )
2h
=f (x + h ) − f (x − h )
2h ≈ f (x ),
que es la fórmula (1).
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Caso 3:
Si t 0 = x , t 1 = x − h , t 2 = x − 2h , entonces
a 1 =f (x − h ) − f (x )
−h =
f (x ) − f (x − h )
h
a 2 =
f (x −2h )−f (x −h )−h
− f (x )−f (x −h )h
−2h =
−f (x −h )+f (x −2h )+f (x )−f (x −h )−h
−2h
= f (x ) − 2f (x − h ) + f (x − 2h )2h 2
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y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P
(x ) =f (x ) − f (x − h )
h +f (x ) − 2f (x − h ) + f (x − 2h )
2h
=2f (x ) − 2f (x − h ) + f (x ) − 2f (x − h ) + f (x − 2h )
2h
=3f (x ) − 4f (x − h ) + f (x − 2h )
2h ≈ f (x ),
que es la fórmula (13).
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Generalización:
El Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P (t ) de grado N queaproxima f (t ) usando los nodos t 0, t 1, ...., t N viene dado por
P (t ) = a 0 + a 1(t − t 0) + a 2(t − t 0)(t − t 1) + a 3(t − t 0)(t − t 1)(t − t 2)
+........ + a N (t − t 0).....(t − t N −1).
La derivada de P (t ) es
P
(t ) = a 1 + a 2 [(t − t 0) + (t − t 1)] + a 3 [(t − t 0)(t − t 1) + (t − t 0)(t − t 2) + (t − t 1)(t − t 2)]
+........ + a N
N −1X
k =0
N −1Y
j =0
(t − t j ) para j = k .
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p
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Evaluando P (t ) en t = t 0,
P (t 0) = a 1 + a 2(t 0 − t 1) + a 3(t 0 − t 1)(t 0 − t 2) + ........
+a N (t 0 − t 1)(t 0 − t 2)(t 0 − t 3).....(t 0 − t N −1) f
(t 0).
(4)
Si|t 0 − t 1| ≤ |t 0 − t 2| ≤ ...... ≤ |t 0 − t N |
y si {t j }N j =0 es un conjunto equiespaciado (quizáreordenándolos) de N + 1 nodos, entonces la suma parcialN-ésima de (*) es una aproximación a f (t 0) de orden O (h N ).
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Apéndice
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Bibliografía
MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB .Prentice Hall, 2000.
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