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DERIVADAS

(1RA PARTE)

CALCULO DIFERENCIAL

FORMULAS

𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 1

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑥 = 𝑐 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑐

FORMULAS

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑥𝑛 = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑐 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1

𝑑

𝑑𝑥𝑣𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑣𝑛−1 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑣𝑛 = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑣𝑛 = 𝑐 𝑛 ∙ 𝑣𝑛−1

𝑑

𝑑𝑥𝑣

ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE

FUNCION: 𝑦 = 4𝑥

SOLUCION:

𝑦 = 4𝑥

DE ACUERDO CON LA FORMULA

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑐

SUSTITUYENDO CON LA FUNCION, OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥4𝑥 = 4 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 4


FUNCION: 𝑦 = 𝑥3

SOLUCION:

𝑦 = 𝑥3

UTILIZANDO LA FORMULA:

𝑑


Y SUSTITUYENDO, OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 = 3 ∙ 𝑥3−1 = 3𝑥2


FUNCION: 𝑦 =10

7𝑥 − 9

SOLUCION:

𝑦 =10

7𝑥 − 9

Y CON ESTAS FORMULAS:

𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0 𝑦

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑐

SUSTTUYENDO, OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL

𝑑

𝑑𝑥

10

7𝑥 − 9 =

𝑑

𝑑𝑥

10

7𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥9 =

10

7

𝑑

𝑑𝑥𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥9 =

10

7


FUNCION: 𝑦 = 𝑥 − 5 3

SOLUCION:

𝑦 = 𝑥 − 5 3

DE ACUERDO CON LA FORMULA:

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

SUSTITUIMOS, DERIVAMOS Y OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥𝑥 − 5 3 = 3 ∙ 𝑥 − 5 3−1 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑥 − 5 = 3 ∙ 𝑥 − 5 3−1 ∙ 1

= 3 𝑥 − 5 2 = 3𝑥2 − 30𝑥 + 75

SE PUEDE COMPROBAR, PRIMERO DESARROLLANDO EL BINOMIO AL CUBO, DERIVAS Y OBTITNES ESE MISMO RESULTADO


FUNCION: 𝑦 =7

3𝑥2 −

4

𝑥+ 8

SOLUCION:

𝑦 =7

3𝑥2 −

4

𝑥+ 8

Y PARA ELLO NECESITAMOS LAS FORMULAS:

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑥 = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑐

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

SUSTITUYENDO Y DERIVANDO CON RESPECTO A LAS FORMULAS DE DERIVACION, ENCONTRAMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥

7

3𝑥2 +

𝑑

𝑑𝑥−4

𝑥+

𝑑

𝑑𝑥8 =

7

3

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 − 4

𝑑

𝑑𝑥

1

𝑥+

𝑑

𝑑𝑥8

=7

3

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 − 4

𝑑

𝑑𝑥𝑥−1 +

𝑑

𝑑𝑥8 =

7

32𝑥 − 4 −1)(𝑥−1−1 + 0

=14

3𝑥 + 4 𝑥−2 =

14

3𝑥 +

4

𝑥2


FUNCION: 𝑦 = −15

8𝑥2

7 + 5 𝑥 +𝑥2

𝑥45

SOLUCION:

𝑦 = −15

8𝑥27 + 5 𝑥 +

𝑥2

𝑥45

VEAMOS LAS FORMULAS DE DERIVACION:

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛

𝑑


DERIVEMOS Y ASI HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥−15

8𝑥27 +

𝑑

𝑑𝑥5 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥

𝑥2

𝑥45

= −15

8

𝑑

𝑑𝑥𝑥27 + 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥12 +

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 ∙ 𝑥−

45

= −15

8

𝑑

𝑑𝑥𝑥27 + 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥12 +

𝑑

𝑑𝑥𝑥2−

45 = −

15

8

𝑑

𝑑𝑥𝑥27 + 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥12 +

𝑑

𝑑𝑥𝑥65

= −15

8

2

7𝑥27−1 + 5

1

2𝑥12−1 +

6

5𝑥65−1 = −

15

8

2

7𝑥−57 + 5

1

2𝑥−

12 +

6

5𝑥15

= −30

56𝑥−57 +

5

2𝑥−12 +

6

5𝑥15 = −

30

56 𝑥57

+5

2 𝑥12

+6

5𝑥15

FORMULAS𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑣 = 𝑒𝑣 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑎

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ∙ 𝑙𝑛𝑎 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑢𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢𝑣−1 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑢 + 𝑢𝑣 ∙ 𝑙𝑛𝑢 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛𝑥 =

1

𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛𝑣 =

1

𝑣∙𝑑

𝑑𝑥𝑣


FUNCION: 𝑦 = 𝑒3𝑥+1

SOLUCION:

𝑦 = 𝑒3𝑥+1

DE ACUERDO CON LA FORMULA:

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑐

COMENZAMOS A DERIVAR Y ASI ENCONTRAMOS SU RESULTADO:

𝑑

𝑑𝑥𝑒3𝑥+1 = 𝑒3𝑥+1 ∙

𝑑

𝑑𝑥3𝑥 + 1 = 𝑒3𝑥+1 ∙ 3

= 3𝑒3𝑥+1


FUNCION: 𝑦 = 𝑒5𝑥2+3𝑥−8

SOLUCION:

𝑦 = 𝑒5𝑥2+3𝑥−8

Y CON LAS FORMULAS:

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑐

SUSTITUIMOS Y ENCONTRAMOS SU RESULTADO:

𝑑

𝑑𝑥𝑒5𝑥

2+3𝑥−8 = 𝑒5𝑥2+3𝑥−8 ∙

𝑑

𝑑𝑥5𝑥2 + 3𝑥 − 8

= 𝑒5𝑥2+3𝑥−8 10𝑥 + 3 = 10𝑥 + 3 𝑒5𝑥

2+3𝑥−8


FUNCION: 𝑦 = 𝑙𝑛3

2𝑥3 +

99

8𝑥 +

34𝑥

SOLUCION:

𝑦 = 𝑙𝑛3

2𝑥3 +

99

8𝑥 +

34𝑥

Y CON LAS FORMULAS:

𝑑


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛𝑣 =

1

𝑣∙𝑑

𝑑𝑥𝑣

COMENZAMOS A DERIVAR:

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛

3

2𝑥3 +

99

8𝑥 +

34𝑥 =

1

32 𝑥3 +

998 𝑥 +

34𝑥

∙𝑑

𝑑𝑥

3

2𝑥3 +

99

8𝑥 +

34𝑥

=1

32 𝑥3 +

998 𝑥 +

34𝑥

∙𝑑

𝑑𝑥

3

2𝑥3 +

99

8𝑥12 + 4𝑥

13

=1

32 𝑥3 +

998 𝑥 +

34𝑥

∙3

23𝑥3−1 +

99

8

1

2𝑥12−1 +

1

3(4𝑥)

13−1 𝑑

𝑑𝑥4𝑥

=1

32 𝑥3 +

998 𝑥 +

34𝑥

∙9

2𝑥2 +

99

16𝑥−12 + (4)

1

3(4𝑥)

−23

=

92 𝑥2 +

9916 𝑥

−12 +

43 (4𝑥)

−23

32 𝑥3 +

998 𝑥 +

34𝑥

=

92 𝑥2 +

99

16 𝑥12

+4

3(4𝑥)23

32 𝑥3 +

998 𝑥 +

34𝑥

=

92 𝑥2 +

9916 𝑥

+4

33(4𝑥)2

32 𝑥3 +

998 𝑥 +

34𝑥


FUNCION: 𝑦 = 72

5𝑥2−2𝑥

SOLUCION:

𝑦 = 725𝑥

2−2𝑥

UTILIZANDO LAS FORMULAS:

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ∙ 𝑙𝑛𝑎 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑


𝑑


Y ASI, HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥725𝑥

2−2𝑥 = 725𝑥

2−2𝑥 𝑙𝑛 7𝑑

𝑑𝑥

2

5𝑥2 − 2𝑥 = 7

25𝑥

2−2𝑥 𝑙𝑛 72

52 𝑥2−1 − 2

= 725𝑥

2−2𝑥 𝑙𝑛 74

5𝑥1 − 2 =

4

5𝑥 − 2 𝑙𝑛 7 7

25𝑥

2−2𝑥


FUNCION: 𝑦 = 5𝑥3

4𝑥6+10𝑥3−9

SOLUCION:

𝑦 = 5𝑥34𝑥

6+10𝑥3−9

Y CON LAS FORMULAS:

𝑑


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑢𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢𝑣−1 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑢 + 𝑢𝑣 ∙ 𝑙𝑛𝑢 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑣

DERIVAMOS:

𝑑

𝑑𝑥5𝑥

34𝑥

6+10𝑥3−9

=3

4𝑥6 + 10𝑥3 − 9 ∙ 5𝑥

34𝑥

6+10𝑥3−9 −1∙𝑑

𝑑𝑥5𝑥 + 5𝑥

34𝑥

6+10𝑥3−9 ∙ 𝑙𝑛 5𝑥 ∙𝑑

𝑑𝑥

3

4𝑥6 + 10𝑥3 − 9

=3

4𝑥6 + 10𝑥3 − 9 ∙ 5𝑥

34𝑥

6+10𝑥3−10∙ 5 + 5𝑥

34𝑥

6+10𝑥3−9 ∙ 𝑙𝑛 5𝑥 ∙3

46 𝑥6−1 + 10 3 𝑥3−1

=15

4𝑥6 + 50𝑥3 − 45 ∙ 5𝑥

34𝑥

6+10𝑥3−10+ 5𝑥

34𝑥6+10𝑥3−9 ∙ 𝑙𝑛 5𝑥 ∙

18

4𝑥5 + 30𝑥2

FORMULAS

𝑑

𝑑𝑥𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥

𝑢

𝑣=𝑣 ∙

𝑑𝑑𝑥

𝑢 − 𝑢 ∙𝑑𝑑𝑥

𝑣

𝑣2


FUNCION: 𝑦 =6

5𝑥 − 8

9

5𝑥1

8 − 82

SOLUCION:

𝑦 =6

5𝑥 − 8

9

5𝑥18 − 8

2

DE ACUERDO CON LAS FORMULAS:

𝑑

𝑑𝑥𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑


𝑑


𝑑

𝑑𝑥

6

5𝑥 − 8

9

5𝑥18 − 8

2

=6

5𝑥 − 8 ∙

𝑑

𝑑𝑥

9

5𝑥18 − 8

2

+9

5𝑥18 − 8

2

∙𝑑

𝑑𝑥

6

5𝑥 − 8

=6

5𝑥 − 8 ∙ 2

9

5𝑥18 − 8

29

5

1

8𝑥−

78 +

9

5𝑥18 − 8

2

∙6

5

=12

5𝑥 − 16

9

40𝑥−

78

9

5𝑥18 − 8

2

+6

5

9

5𝑥18 − 8

2


FUNCION: 𝑦 =4

7𝑥2 −

9

8𝑥

1

𝑥5− 𝑙𝑛 8𝑥

8

SOLUCION:

𝑦 =4

7𝑥2 −

9

8𝑥

1


8

DE ACUERDO CON LAS FORMULAS:

𝑑

𝑑𝑥𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙

𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑


𝑑


DERIVAMOS Y HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥

4

7𝑥2 −

9

8𝑥

1


8

=4

7𝑥2 −

9

8𝑥 ∙

𝑑

𝑑𝑥

1


8

+1


8

∙𝑑

𝑑𝑥

4

7𝑥2 −

9

8𝑥

=4

7𝑥2 −

9

8𝑥 ∙ 8

1


7𝑑

𝑑𝑥

1

𝑥5− 𝑙𝑛 8𝑥 +

1


8

∙8

7𝑥1 −

9

8

=4

7𝑥2 −

9

8𝑥 ∙ 8

1


7−4

𝑥6−

8

8𝑥+

1


8

∙8

7𝑥1 −

9

8

= 84

7𝑥2 −

9

8𝑥

−4

𝑥6−

8

8𝑥

1


7

+8

7𝑥 −

9

8

1


8


FUNCION: 𝑦 =6𝑥+1 3

𝑥−3

SOLUCION:

𝑦 =6𝑥 + 1 3

𝑥 − 3

Y SABIENDO LAS FORMULAS:

𝑑

𝑑𝑥

𝑢

𝑣=𝑣 ∙

𝑑𝑑𝑥

𝑢 − 𝑢 ∙𝑑𝑑𝑥

𝑣

𝑣2

𝑑


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑑


𝑑


DERIVAMOS Y HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:

𝑑

𝑑𝑥

6𝑥 + 1 3

𝑥 − 3=

𝑥 − 3 ∙𝑑𝑑𝑥

6𝑥 + 1 3 − 6𝑥 + 1 3 ∙𝑑𝑑𝑥

𝑥 − 3

6𝑥 + 1 3 2

=𝑥 − 3 ∙ 3 6𝑥 + 1 3−1 𝑑

𝑑𝑥6𝑥 + 1 − 6𝑥 + 1 3 ∙ 1

𝑥 − 3 2

=𝑥 − 3 ∙ 3 6𝑥 + 1 2 6 − 6𝑥 + 1 3

𝑥 − 3 2=

𝑥 − 3 ∙ 18 6𝑥 + 1 2 − 6𝑥 + 1 3

𝑥 − 3 2

=18 𝑥 − 3 6𝑥 + 1 2 − 6𝑥 + 1 3

𝑥 − 3 2

BIBLIOGRAFIAS

• GARZA OLVERA, BENJAMÍN, CÁLCULO INTEGRAL, MATEMÁTICAS V DGETI, 1RA EDICIÓN, 269-275 PÁGS.

• AGUILAR, GERARDO Y CASTRO, JAIME, “PROBLEMARIOS DE CÁLCULO INTEGRAL”, 1RA EDICIÓN, DIVISIÓN IBEROAMERICANA, JULIO 2003, PÁGS. 37-38.

• SWOKOWSKI, EARL, “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”, 1989, GRUPO EDITORIAL

IBEROAMERICANA, 2DA EDICIÓN, ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA, 1097 PAGS.