Desigualdad de ChebyshovEnprobabilidad, ladesigualdad de Chebyshov(tambin escrito como "Tchebycheff") es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de unavariable aleatoriaconvarianzafinita est a una cierta distancia de suesperanza matemtica. La desigualdad recibe su nombre del matemtico rusoPafnuti Chebyshov.ndice[ocultar] 1Formulacin 1.1Casos particulares de la desigualdad 2Ejemplos 3Demostracin 3.1Demostracin del tercer caso particular 4Vase tambin

Formulacin[editar]Seauna variable aleatoria no negativa y una funcincreciente tal que. Entoncesse da la desigualdad siguiente:

Casos particulares de la desigualdad[editar]Algunas formulaciones menos generales que se desprenden de la primera son las siguientes: Seavariable aleatoria con momento de ordenfinito, entonces

siendoy. Seacon momento centrado de ordenfinito, entonces

siendo,, y. Seavariable aleatoria de mediay varianza finita, entonces, para todonmero real,

Slo en caso de quela desigualdad proporcionan una cota no trivial.Ejemplos[editar]Para ilustrar este resultado, supongamos que los artculos de Wikipedia tienen una extensin media de 1000 caracteres y unadesviacin tpicade 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usandok= 2, se deduce que al menos el 75% de los artculos tendrn una extensin comprendida entre 600 y 1400 caracteres.Otra consecuencia del teorema es que para cadadistribucinde media y desviacin tpica finita , al menos la mitad de sus valores se concentrarn en el intervalo (-2 , +2 ).Demostracin[editar]

Fijmonos en que. Si ahora aplicamos la funcin esperanza a los dos lados de la primera desigualdad que hemos establecido habremos demostrado el resultado.Demostracin del tercer caso particular[editar]Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliardefinida as:

Entonces, trivialmente,

y por lo tanto,

Tomandoesperanzasen ambos miembros se obtiene

por lo que

Pero, a su vez, dado queslo puede ser 0 o 1,

lo que prueba el resultado.