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TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJO VIRTUALES
5.1. Desplazamientos virtuales
5.2. Desplazamiento virtual de un sólido no restringido
5.3. Partición de coordenadas
5.4. Matriz jacobiana de restricciones
5.5. Trabajos virtuales
5.6. Fuerzas generalizadas
5.7. Transformación de coordenadas
5.8. Elementos fuerza
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2TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.1. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
Para la aplicación de este principio son esenciales las definiciones de:
- desplazamientos virtuales - fuerzas generalizadas
Asociadas a estas últimas está el concepto de coordenadas generalizadas:Cualquier conjunto de coordenadas usadas para describir la configuración del sistema.
Un desplazamiento virtual se define como un desplazamiento infinitesimal que es compatible con las restricciones cinemáticas del sistema. Estos desplazamientos son imaginarios, es decir, ocurren mientras que el tiempo permanece fijo.
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3TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.2. DESPLAZAMIENTO VIRTUAL DE UN SÓLIDO NO RESTRINGIDO
( )
{ }( ) [ ]PiiPi
Ti
Tii
iPiiPiiiPi
PiiiPi
i
Pi
i
i
uAIr
Rq
qruARruARr
qr
q
q
θ∂∂
θ
==
θ=
δ=δθ+δ=δ+=
El desplazamiento virtual del vector de posición de un punto arbitrario del cuerpo, puede ser expresado en función de los desplazamientos virtuales en las coordenadas que definen la posición del cuerpo
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4TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.3. PARTICIÓN DE COORDENADAS
En un sistema restringido dinámicamente, el número de ecuaciones de restricción nr es menor que el número de coordenadas n.
Se pueden utilizar las ecuaciones de restricción para poner un subconjunto de coordenadas en función de las restantes.
Las coordenadas se pueden dividir en:- nr coordenadas dependientes qd- n-nr coordenadas independientes qi
Partiendo de estas relaciones, los desplazamientos virtuales en las coordenadas dependientes pueden ponerse en función de los de las independientes.
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5TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.1En el péndulo de la figura calcular la relación entre el desplazamiento virtual en las coordenadas absolutas y el del grado de libertad θ2.
222
22
22
2222
2222
222
222
1
2
2
2
2
2
2
δθ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=δ
δθ=δθ
δθ=δ
δθ−=δ
=
=
cs
cR
sR
sR
cR
l
l
ly
lx
ly
lx
q
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6TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.4. MATRIZ JACOBIANA DE RESTRICCIONES
( ) 0, =tqC
C qqδ = 0{ }TT
iTd qqq =
0=δ+δ id idqCqC qq
Cqd
Vamos a generalizar los cálculos anteriores. Partiendo de las ecuaciones de restricción:
Aplicamos un desplazamiento virtual:
Particionando el vector de coordenadas:
La ecuación de desplazamiento virtual quedará:
Las coordenadas dependientes e independientes se escogerán de manera que la matriz no sea singular. Entonces:
iiidi
i
d
idiid id
qBqI
Cqq
q
qCqCCq qq
δ=δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧δδ
=δ
δ=δ−=δ −1
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7TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.2Aplicar el método de partición de coordenadas para obtener la relación entre los desplazamientos virtuales en las coordenadas absolutas y el desplazamiento virtual en la coordenada independiente θ2
( )
id
cs
sRcR
t
l
l
ly
lx
q
CC
C
qC
1001
00
,
22
22
222
222
2
2
2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−
=
2222
22
22
221
1
--
- 2
2
2
2
δθ=δθ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=δ⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
== −i
l
l
l
l
di cs
cs
idBqCCC qq
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8TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.5. TRABAJOS VIRTUALES
El trabajo virtual asociado a un sólido rígido sometido a una fuerza y a un momento resultante externos a lo largo de un desplazamiento virtual se define como:
iiPiTiiW δθ+δ=δ MrF
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9TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.6. FUERZAS GENERALIZADAS
δ δ δθθr R A uPi i i Pi i= +
( )( ) iii
TiiiPii
Tii
Ti
iiiPiiiTii
QM
MW
δθ+δ=δθ++δ=
=δθ+δθ+δ=δ
θθ
θ
RQuAFRF
uARF
R
qQ δ=δ++δ+δ=δ Tnn qQqQqQW K2211
El desplazamiento virtual asociado a un punto Pi será:
Por tanto el trabajo virtual quedará:
Las diversas Q constituyen las denominadas fuerzas generalizadas asociadas a cada desplazamiento virtual. El número de fuerzas generalizadas coincide con el de coordenadas generalizadas. El mínimo número de fuerzas generalizadas es el de g.d.l.
En un sistema con n coordenadas, el trabajo virtual será:
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10TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.3En el mecanismo de péndulo, suponiendo que está sometido a una fuerza F aplicada en el punto P y a un momento M sobre la barra 2, calcular las fuerzas generalizadas en las coordenadas absolutas.
{ }
22
22
222
22
22
222
2
222
2
2
222
2
222
2
222
22
2
22
222
2
2
2
2
2
2
clFslFMQ
FQ
FQ
clFslFMRFRFclR
slRFFMW
clR
slR
MW
yx
yR
xR
yxyyxx
y
x
yx
y
x
PP
PP
PT
y
x
+−=
=
=
δθ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+δ+δ=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
δθ+δ
δθ−δ+δθ=δ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
δθ+δ
δθ−δ=δθ+δ=δ
+=δ+δθ=δ
θ
θ uARr
uARrrF
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11TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.7. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
{ }Tmppp K21=p
δ δ
δ δ δ
q B p
Q B p Q p Q B Q
=
= = ⇒ =
qp
Tqp p
Tp qp
TW
La ecuación anterior define las fuerzas generalizadas asociadas a un conjunto de coordenadas. En otro conjunto de coordenadas, dichasfuerzas pueden obtenerse a partir de la matriz de transformación que relaciona ambos conjuntos.Supongamos que
es un conjunto de coordenadas y que los desplazamientos virtuales en qpueden expresarse en función de p.
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12TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.4
A partir de las fuerzas generalizadas calculadas en el ejemplo 6.3 calcular la fuerza generalizada en θ2.
{ }{ }
{ }
2222
22
22
2222Tqpp
22
22
qp
2
222
22
1-
δ1
-δδ
22
2
2
clFslFM
clFslFM
FF
cs
cs
RR
yx
yx
y
xll
l
l
Tyx
+−=
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+−
==
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
=
QBQ
ppBq
p
q
θ
θ
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13TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: GRAVEDAD
δ δW m g yi i i= −
δ δy Ri yi=
( )( ) iiyiRyiiyixiiyiii
iyixiyii
yixiyii
QRQuugmRgmW
uuRy
uuRy
δθ+δ=δθθ−θ−δ−=δ
δθθ−θ+δ=δ
θ+θ+=
θii
ii
ii
sen cos
sen cos
cossen
El trabajo virtual de las fuerzas de gravedad que actúan en un cuerpo i será:
donde yi es la dirección en que actúa la fuerza de gravedad. Si el c.d.m. coincide con el origen del sistema de referencia local
En general, si el c.d.m. no coincide con el origen del sistema de referencia y conocemos la posición de dicho centro respecto el sistema de referencia local:
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14TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ACTUADOR LINEAL
( ) as flcllkf +−−= &0
lfW sδ−=δ
r R A u R A uPij i i Pi j j Pj= + − −
La fuerza total transmitida por el elemento muelle será:
El trabajo virtual será
El vector de posición de Pj respecto Pi será:
siendo
( ) 21Pij
TPijl rr=
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15TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ACTUADOR LINEAL
( ) [ ][ ] [ ]
[ ]
qlq
lAuIQ
Q
lAuIQ
Q
qQqQqq
l
uAIuAI
lqqrrrq
qr
q
qr
qr
qr
qr
qr
qr
qrr
qr
q
&&&∂∂
∂∂
θθ
θθ
∂∂
∂∂
θ∂∂
θ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂−
∂∂
==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
δ+δ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧δδ
−=δ
−==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧δδ
=δ=δ=δ=δ
Pij
j
Pij
i
Pij
j
Pij
i
Pij
j
Pij
i
PijPijTPijPij
Tl
jTPj
sj
Rjj
iTPi
si
Rii
jTji
Ti
j
iTs
PjjPii
j
iTl
TPijPij
TPij
l
l
fQ
fQ
fW
l
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ21
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16TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.5
En el mecanismo de la figura, suponiendo un muelle lineal de constante elástica k y de longitud libre l0, calcular las fuerzas generalizadas asociadas al muelle en las coordenadas absolutas de la barra 3.
X
Y
X2Y2
X3Y3
2
3( )0llkfs −=
lfW sδ−=δ
{ }( ) ( ) 2
121
23
233232
3332
22233332
yxPT
P
yxT
P
PPP
RRl
RR
+=⋅=
=
−−+=
rr
r
uARuARr
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17TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
EJEMPLO 5.5
( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( )0 1 1
010001ˆ
32132
13
21
21
21
21
21
323
23
032
323
0
23
23
33330
23
23
23
23
3333
3
3
3
23
23
3
23
23
3
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−=
+
δ+δ−+−=δ−=δ
+
δ+δ=
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
δθδδ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++=δ=δ
θ
∂∂
QRRR
lkQRRR
lkQ
RR
RRRRlRRklfW
RR
RRRR
RR
RR
R
RRRl
y
yx
Rx
yx
R
yx
yyxxyxs
yx
yyxx
y
x
yx
y
yx
xi
T
yx
i
Pij ql qr
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18TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ROTACIONAL
( )
( )( )( )( )( )( )( )
( ) θ+θ−θ=
θ+θ−θ−=
δθ+δθ=δθ−δθθ+θ−θ−=
=δθθ+θ−θ−=δθ−=δ
θ−θ=θθ+θ−θ=
θ
θ
θθ
&
&
&
&
&
rrj
rri
jjiijirr
rrs
ji
rrs
ckQ
ckQ
QQck
ckMW
ckM
0
0
0
0
0
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19TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES
5.8. ELEMENTOS FUERZA: FUERZAS DE RESTRICCIÓN
0
=δ+δ
δ=δδ−=δ
ji
PTcijjP
Tciji
WW
WW rFrF
Las uniones mecánicas introducen fuerzas de restricción que hay que considerar en el equilibrio de cada cuerpo. Estas fuerzas aparecen como incógnitas en las ecuaciones del movimiento. Existen cierto tipo de uniones, denominadas ideales, que permiten la eliminación de las fuerzas de restricción al considerar el equilibrio global del sistema.
ARTICULACION IDEAL (SIN ROZAMIENTO)
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