UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía
DETERMINACIÓN DE UN MODELO DE GEOIDE GRAVIMÉTRICO
PARA PUERTO RICO COMO SISTEMA DE REFERENCIA PARA LAS
ALTITUDES ORTOMÉTRICAS
Tesis Doctoral
Autor:
ELADIO E. MARTÍNEZ TORO
Ingeniero Industrial y Topógrafo
2014
Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía
Tesis Doctoral: Determinación de un modelo de geoide gravimétrico
para Puerto Rico como sistema de referencia para las
altitudes ortométricas
Autor: Eladio E. Martínez Toro
Ingeniero Industrial y Topógrafo
Director de Tesis: Abelardo Bethencourt Fernández
Doctor en Ciencias Físicas
Año: 2014
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El comité a evaluar la presente tesis doctoral, está formado por los siguientes doctores:
PRESIDENTE: D........................................................................
(..........................................................................)
VOCALES: D........................................................................
(..........................................................................)
D........................................................................
(..........................................................................)
D........................................................................
(..........................................................................)
SECRETARIO: D........................................................................
(..........................................................................)
SUPLENTES: D........................................................................
(..........................................................................)
D........................................................................
(..........................................................................)
ha decidido otorgar la cali�cación de
Madrid, a ............................. de ........... de ...........
El secretario del comité.
iii
Dedicatoria
A mi padre, D. Eladio E. Martínez Toro.
Que siempre tuvo fe en mí y fue mi apoyo incondicional.
Para Lilian Graciela...
v
Agradecimientos
Quiero empezar esta sección dando gracias al Dios Padre y creador de todo lo que nos rodea por darme
la oportunidad de pasar por esta gran experiencia de aprendizaje y crecimiento personal. Una experiencia
única que no hubiese sido posible sin la ayuda de la persona que por los últimos cinco años ha estado
guiando mi investigación, el Dr. Abelardo Bethencourt Fernández, mi director de tesis. Un profesional
muy comprometido con su trabajo pero siempre dispuesto a sacar un poco de su tiempo para aconsejarme
y compartir sus conocimientos. En los momentos más difíciles, cuando no veíamos la luz al �nal del túnel
y pensábamos que estábamos en un camino sin salida, siempre tenía unas palabras de aliento. Gracias a
su dedicación, experiencia y compromiso, hemos logrado salir adelante. Muchas gracias Abelardo.
Quisiera también agradecer al Dr. Antonio Vázquez Hoehne, quien fue la primera persona que conocí
al llegar a la Universidad Politécnica de Madrid. Desde el primer momento estuvo dispuesto a aconsejarme
y a mostrarme el camino a seguir para completar esta aventura, aun cuando no era uno de sus estudiantes.
También al Dr. Santiago Ormeño Villajos junto a todos los profesores con los que tuve la oportunidad de
compartir y aprender de sus conocimientos, a todos ellos mi más sincero agradecimiento.
Durante estos cinco años, muchas personas me acompañaron en esta aventura. Muchos de ellos dejaron
una gran huella en mi vida por lo que siempre les estaré agradecido. Inmediatamente vienen a mi mente
los dos primeros compañeros de estudio que conocí al llegar a Madrid, el Ingeniero Vladimir Gutiérrez y el
Dr. Joaquín A. Rincón. Con Vladimir compartimos muchísimas experiencias, fuimos compañeros de piso,
compañeros de estudio y compañeros de laboratorio. Admiro a Vladimir porque es un profesional en todo
el sentido de la palabra y un excelente padre de familia. Siempre estuvo dispuesto a echarme una mano en
los asuntos informáticos y sé que sin su ayuda, parte de este trabajo no hubiese sido posible de realizar.
A Vladi, Elia y a Vladimir Jr., muchas gracias por ser mi familia de Madrid durante casi cinco años.
De Joaquín puedo decir que más que un amigo, fue un hermano y un compañero de mil batallas. Fueron
muchas las horas que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografía. Sus amplios conocimientos en
sistemas de información geográ�ca y sus habilidades para encontrar soluciones a los continuos problemas
informáticos a los que me tenía que enfrentar, fueron una gran ayuda para mí. Muchas gracias Joaco, Elvia
y Joaquincito por brindarme su amistad y abrirme las puertas de su casa. Siempre les estaré agradecido.
Finalizando con ese grupo cercano de compañeros de estudio está el Ingeniero Adolfo Javier Urrutia.
Adolfo, compañero de piso por varios años, un ser humano con un espíritu aventurero increíble que ante
la adversidad, siempre sabía cómo salir adelante. Gracias Adolfo por demostrarme que cuando se tiene un
sueño, la única opción que tenemos es trabajar con todas nuestras fuerzas para alcanzarlo.
Fueron cinco años los que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografía, cinco años donde
conocimos a grandes compañeros y amigos. Primeramente viene a mi mente el Dr. Alberto Hernández. Aun
recuerdo aquella primera salida de campo al Valle de los Caídos, luego fueron muchísimas las oportunidades
en las que pudimos intercambiar conocimientos y discutir nuestros trabajos. Finalmente, tras obtener
Alberto su doctorado, fue la primera persona en leer mi tesis. Gracias Alberto por tu ayuda y consejos.
También recuerdo al Ingeniero Víctor Puente, sentado en el último escritorio del laboratorio, todos los días
trabajando en sus programas en Matlab. Gracias Víctor, porque tus conocimientos en Matlab y ayuda
con el manejo de los modelos digitales del terreno hicieron posible que este trabajo �nalmente saliera a la
luz. También quiero agradecer al Dr. Marcos Palomo, que con sus conocimientos en topografía, geodesia,
teledetección y programación, siempre tenía algún truco para resolver esos problemas que a primera vista
parecían casi imposibles de resolver. A todos ellos, muchas gracias.
vii
Ya en épocas más recientes, en el mismo laboratorio, pero viendo que cada día quedamos menos,
están los compañeros con los que comparto el día a día. Siempre dispuestos a echarme una mano con
los temas relacionados al doctorado. Empezando con mis compañeros españoles Ayar Rodríguez, Alberto
Nuñez e Isabel Blasco y continuando con mis compañeros latinoamericanos Xavier Molina de Ecuador
y el siempre viajero Víctor Saldaña de Venezuela, fueron muchos los momentos de tertulia que pasamos
discutiendo nuestros temas de investigación. Siempre esperanzados en ser los primeros en terminar y salir
lo antes posible del laboratorio. A todos ustedes, muchas gracias y les deseo el mayor de los éxitos en sus
respectivos trabajos.
También quiero agradecer a una familia muy especial, a mi familia adoptiva en España. Unas personas
que siempre me dijeron �lo que necesites, ya sabes que cuentas con nosotros� y cuando llego el momento,
pusieron la acción en la palabra. Muchas gracias al Dr. Enrique Martín y a su esposa, mi compatriota
Nieves, porque en todo momento me hicieron sentir como parte de su familia. Gracias a Diego y Andrea,
a Marcos y Sofía y a Enrico y Clara porque desde el primer día me trataron como uno más y en los
momentos más difíciles, me demostraron que no estaba solo y que podía contar con ellos. A la Familia
Martín Montalvo, muchísimas gracias.
No quiero pasar por alto a todas esas personas, que aunque nos separaban muchos kilómetros de
distancia, siempre me echaron una mano desde Puerto Rico. Entre esas personas esta el Agrimensor
Héctor Sanabria, la Agrimensora y Profesora Ing. Linda Vélez y el Agrimensor José Rivera Cacho. Ellos
entre otros muchos compañeros agrimensores del Colegio de Ingenieros y Agrimensores de Puerto Rico
que en todo momento me ayudaron a conseguir �nanciamiento para mis estudios y aportaron horas de
su tiempo libre para ayudarme a realizar los trabajos de campo. A todos ellos, muchas gracias. De mi
pueblo Sabana Grande, quiero agradecer a mi antiguo jefe, al alcalde Don Miguel G. Ortiz Vélez. Desde el
primer momento que le comuniqué mis planes de venir a España a realizar un doctorado, siempre estuvo
dispuesto a ayudarme en lo que necesitara. Muchas gracias Papín por tu ayuda y gracias a todos mis
antiguos compañeros de trabajo que siempre estuvieron dispuestos a ayudarme cuando así lo necesité.
Quedan muchas otras personas que de una manera u otra me ayudaron para que esta aventura se hiciera
realidad. Algunos de ellos ya no forman parte de mi entorno, pero a todos ellos, muchas gracias.
Quiero agradecer a una persona muy especial para mí, con la que quiero compartir el resto de mis
días, a Lilian Graciela. Siempre escuché de su boca palabras de aliento, motivadoras y reconfortantes.
Siempre me dijo �tu puedes�, �fuerza Ela� y �sigue adelante que verás que al �nal lo conseguirás�. En
todo momento creyó y con�ó en mí y cuando mas necesité de su apoyo, allí estuvo presente. Quizás sean
muchos los kilómetros y horas de diferencia que nos separan, pero tu presencia siempre estará conmigo.
Muchas gracias Lili. . .
Dejo para el �nal a esas personas que siempre estuvieron pendientes de mí, mi familia. Aunque no
estuviera en Puerto Rico siempre le preguntaban a mi padre por mí y se preocupaban por mi progreso. La
pregunta acostumbrada era: ¾Cuándo regresa Eladio?... Muchas gracias a mis tíos y primos pero muy en
especial a la Dra. Luz Enid Martínez y al Dr. José Gerardo Martínez que cuando tuvieron la oportunidad
de visitar Madrid, sacaron un poco de tiempo de sus vacaciones para compartir conmigo y me hicieron
recordar lo que es el calor de la familia. Gracias a todos por tenerme siempre presente. Quiero terminar
agradeciendo a mi padre Don Eladio E. Martínez Toro y a su esposa Lourdes. A mi padre le dedico
este trabajo, a él porque siempre tuvo fe en mí y me apoyó en todo momento. Sus oraciones y consejos
fueron muy importantes para mí. Sé que sin su ayuda, hoy no podría decir, Don Eladio, ya acabe mi tesis.
Simplemente, gracias.
viii
Índice general
1. Introducción 5
1.1. Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Justi�cación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. Objetivos Especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Metodología 8
2.1. Determinación gravimétrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1. Campo gravitatorio terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2. Campo gravitatorio normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3. Campo de gravedad anómalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4. Reducciones a la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4.1. Reducción aire libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4.2. Reducción de Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4.3. Corrección clásica por efectos de la topográ�ca del terreno . . . . . . . . 22
2.1.4.4. Reducciones Isostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4.5. Corrección por el efecto indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.4.6. Corrección a la gravedad por efectos atmosféricos . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5. Modelos geopotenciales globales y regionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5.1. EGM96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.5.2. EGM2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.5.3. GEOID03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.5.4. GEOID09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.5.5. GEOID12A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.6. Segundo Método de Condensación de Helmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.7. Técnica de Sustitución - Restitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Determinación geométrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1. Sistemas de Altitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1.1. Número geopotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1.2. Altitudes dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1.3. Altitudes elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1.4. Altitudes ortométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ix
2.2.1.5. Altitudes ortométricas Helmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1.6. Altitudes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2. Dátum Verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2.1. Nivel promedio del mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2.2. Dátum vertical de Norte América de 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2.3. Controles verticales en Puerto Rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2.4. Dátum Vertical de Puerto Rico de 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3. Determinación de la precisión de las altitudes ortométricas Helmert calculadas . . 50
2.2.4. Ondulación del geoide geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3. Descripción del área de estudio y fuentes de datos 55
3.1. Datos de gravedad terrestre y marítima (BGI y NOAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2. Datos de gravedad obtenida por altimetría por satélite (Sandwell & Smith) . . . . . . . . 59
3.3. Modelo digital del terreno (SRTM3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4. Modelo digital de batimetría (GEBCO08 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5. Modelo geopotencial global (EGM2008 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4. Análisis y Validación de Datos 65
4.1. Comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una línea
de nivelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1. Determinación geométrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1.1. Recuperación e identi�cación de las estaciones permanentes . . . . . . . . 66
4.1.1.2. Campaña de observaciones con instrumentos de GNSS y determinación de
las altitudes elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1.3. Campaña de observaciones gravimétricas y determinación de los valores
de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1.4. Determinación de los valores de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.1.5. Determinación de las altitudes ortométricas Helmert . . . . . . . . . . . . 70
4.1.1.6. Determinación de la ondulación del geoide geométrico . . . . . . . . . . . 74
4.1.2. Análisis de la precisión de los incrementos de la ondulación del geoide . . . . . . . 74
4.1.3. Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias
entre líneas observadas y las diferencias de elevación entre estaciones permanentes 79
4.1.4. Ajuste de los valores absolutos de la ondulación del geoide obtenido utilizando los
distintos modelos geopotenciales globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. Determinación del modelo digital topo-batimétrico para la zona de estudio . . . . . . . . . 83
4.2.1. Pre-procesamiento del modelo digital del terreno SRTM3 . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.2. Generación de curvado a cota cero y extracción de las líneas de costa . . . . . . . . 84
4.2.3. Combinación del modelo digital del terreno SRTM3 y el modelo batimétrico GEB-
CO08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3. Validación de los datos de gravedad terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1. Preparación de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1.1. Validación grá�ca inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1.2. Transformación de Dátum NAD27 a NAD83 . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1.3. Transformación de las observaciones al Sistema GRS80 . . . . . . . . . . 90
x
4.3.1.4. Búsqueda de observaciones repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2. Validación por altimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.2.1. Resultado de la Búsqueda Final de Observaciones Repetidas . . . . . . . 95
4.3.3. Validación matemática de las anomalías residuales utilizando colocación . . . . . . 96
4.3.3.1. Resultados de la validación por colocación . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.4. Análisis de los datos de gravedad marinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4. Determinación de las anomalías de Faye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5. Extrapolación de anomalías de aire libre a partir de datos de un modelo digital del terreno 108
4.5.1. Valor medio de las anomalías aire libre ajustadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5. Determinación del modelo del geoide gravimétrico 120
5.1. Preparacion de la malla de anomalías residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2. Solución de la integral de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1. Aproximación Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2. Modi�caciones del núcleo de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.2.1. Modi�cación de L. Wong y R. Gore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.2.2. Modi�cación de P. Vanicek y A. Kleusberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.2.3. Modi�cación de W. E. Featherstone, J.D. Evans y J.G. Olliver . . . . . . 128
5.2.3. Resultados de la solución de la integral de Stokes - N residual . . . . . . . . . . . 128
5.3. Cómputo del efecto indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4. Contribución del modelo geopotencial EGM2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5. Cómputo de los modelos del geoide gravimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6. Validación de los modelos del geoide gravimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.7. Ajuste del modelo gravimétrico del Geoide WG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6. Conclusiones y Trabajos Futuros 138
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bibliografía 141
xi
Índice de �guras
2.1. Potencial de un cuerpo sólido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Sistema de coordenadas esféricas y rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Geoide y elipsoide de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Reducción de la gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5. Lámina de Bouguer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6. Correcciones Topográ�cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7. Sistema de referencia para el cómputo de la Corrección Topográ�ca. . . . . . . . . . . . . 23
2.8. Plantillas zona in�uencia correcciones topográ�cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9. Diferentes casos de las coordenadas verticales del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10. Topografía y compensación Isostática Modelo Airy - Heiskanen. . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.11. EGM96. Fuente: J. Frawley (NASA GSFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.12. EGM2008. Fuente: U.S. National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) . . . . . . . . . . 32
2.13. GEOID03. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.14. GEOID09. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.15. GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.16. Sistemas de Altitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.17. Altitudes Ortométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.18. Altitudes Normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.19. Estaciones permanentes con elevación conocida del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.20. Red de Nivelación del PRVD02. Fuente: Agrimensor Héctor Sanabria, HLCM Group . . . 49
2.21. Primer tramo del PRVD02 nivelado por personal del NGS. Fuente: Google Earth . . . . . 49
2.22. Estación de origen del PRVD02 - 975 5371 A TIDAL. Fuente: Google Earth . . . . . . . . 50
3.1. Datos de gravedad terrestres del BGI disponibles en la isla de Puerto Rico. Fuente: Bureau
Gravimétrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2. Datos de gravedad marino del BGI disponibles para la región de Puerto Rico. Fuente:
Bureau Gravimétrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3. Datos de gravedad marinos disponibles en la página de NOAA. Fuente: National Oceanic
and Atmospheric Administration (NOAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. Mapa de anomalías aire libre obtenidas mediante altimétrica con satélite. Fuente: Institution
of Oceanography, University of California San Diego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5. Datos existentes del modelo SRTM3 en la zona de estudio. Fuente: National Aeronautics
and Space Administration (NASA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
xii
3.6. Modelo batimétrico GEBCO08 para la zona de estudio. Fuente: British Oceanographic Data
Centre (BODC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7. Imagen de la cuadrícula de anomalías aire libre derivadas del EGM2008. Fuente: Bureau
Gravimétrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1. Estaciones permanentes de la línea de nivelación del PRDV02 parcialmente destruidas. . 67
4.2. Gravímetro LaCoste & Romberg modelo G-1001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3. Per�l de las altitudes ortométricas a lo largo de la Línea de Nivelación del PRVD02. . . . 72
4.4. Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias entre
líneas base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5. Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las diferencias de
altitud entre estaciones permanentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6. Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM96 Ajustado. . . . . . . . . . . . 82
4.7. Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM2008 Ajustado. . . . . . . . . . . 83
4.8. Modelo digital del terreno SRTM3 de Puerto Rico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.9. Modelo SRTM3 tras el �ltrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.10. Modelo digital de batimetría GEBCO08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.11. Fusión de los modelos SRTM3 y GEBCO08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.12. Grá�co inicial anomalías aire libre en función de las altitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.13. Vista inicial de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno. . . . . . . . . . . . 88
4.14. Vista �nal de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno tras la corrección de
dátum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.15. Observación sospechosa con su zona de amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.16. Observación sospechosa con zonas del SRTM3 con diferencias entre ± 10 metros. . . . . . 93
4.17. Observación sospechosa con los centróides en las zonas de diferencias de ± 10 metros. . . 94
4.18. Directorio de los programas de Gravsoft en la plataforma de Python. Fuente: PyGravsoft . 97
4.19. Programa EMPCOV para determinar la ecuación de covarianza empírica. Fuente: PyGravsoft 97
4.20. Programa COVFIT empleado para resolver la función de covarianza. Fuente: PyGravsoft 98
4.21. Programa GEOCOL para realizar el procedimiento de colocación. Fuente: PyGravsoft . . 99
4.22. Programa GEOEGM para calcular los valores de las anomalías residuales. Fuente: PyGravsoft100
4.23. Interpolación kriging de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría por satélite. 104
4.24. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona terrestre. 105
4.25. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona marítima. 106
4.26. Diferencias entre las anomalías aire libre medidas y las anomalías aire libre determinadas
apartir del Modelo Digital del Terreno en funcion de la altitud. . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.27. Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del
terreno y las anomalías aire libre validadas � Ajuste Global. . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.28. Representación de las anomalías aire libre calculadas en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N �
3 y 20S � 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.29. Representación de las anomalías aire libre calculadas a partir del modelo digital del terreno
en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3 y 20S � 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.30. Representación de la combinación de las anomalías para realizar el ajuste por zonas. . . . 113
xiii
4.31. Anomalías aire libre determinadas a partir del modelo digital del terreno (puntos negros)
en cuadrícula ajustadas en función al plano formado por las anomalías aire libre medidas
(círculos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.32. Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del
terreno y las anomalías aire libre validadas- Ajuste por Zonas. . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.33. Malla con todos los datos de anomalías aire libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.34. Localizaciones con valores de anomalías aire libre calculadas a un radio de 1 minuto de arco
de un punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.35. Datos utilizados para realizar la regresión lineal y determinar el valor medio de la anomalía
de Faye en función de la altitud del punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.36. Análisis de regresión lineal para un punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.1. Zona de cómputo del modelo del geoide gravimétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2. Vista parcial del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo EGM2008. . . . . . . 130
5.3. Vista parcial del resultado �nal del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo
EGM2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4. Descripción del GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS ) . . . . . . . . . . . 134
5.5. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para la validación de los modelos del geoide. . 134
5.6. Vista �nal del modelo del Geoide WG ajustado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
xiv
Índice de tablas
2.1. Constantes del elipsoide internacional GRS80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Valores de las coordenadas interiores e inferiores del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Valores de las correcciones atmosféricas a la gravedad δg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Resultados Estudios de Helmert, Niethammer y Mader. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1. Datos de gravedad terrestre descargados de la página del BGI. . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. Ficheros descargados con los imagenes en formato ráster del SRTM3. . . . . . . . . . . . . 62
4.1. Valores de las altitudes elipsóidicas con su desviación estándar. . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Valores de gravedad en las estaciones permanentes del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3. Valores de la elevación y las altitudes ortométricas Helmert calculadas. . . . . . . . . . . . 73
4.4. Valores de las altitudes ortométricas con su desviación estándar. . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5. Valores de la ondulación del geoide geométrico en las estaciones de la línea de nivelación
del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6. Resultados del cómputo de los valores de la ondulación del geoide en la estación de origen
de la línea de nivelación del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.7. Valores de la ondulación del geoide en la línea de nivelación del PRVD02 obtenida con los
distintos modelos geopotenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8. Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación
del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.9. Resumen transformación de Dátum NAD27 a NAD83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.10. Tabla comparativa transformación de GRS67 a GRS80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.11. Resultados del análisis de la comparación de altitudes BGI � SRTM3. . . . . . . . . . . . 92
4.12. Resumen validación por altimetría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.13. Resultados de la comparación de altitudes BGI � SRTM3 tras la validación por altimetría. 95
4.14. Resumen del resultado de la validación por colocación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.15. Estadísticos �nales de las observaciones validadas por altimetría y por colocación. . . . . . 101
4.16. Muestreo de los cruces de líneas en un mismo itinerario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.17. Resumen del resultado de los valores de las anomalías aire libre obtenidas mediante alti-
metría por satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.18. Resumen de la interpolación de las altitudes y las profundidades. . . . . . . . . . . . . . . 107
4.19. Límites de la malla para el cómputo del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.20. Límites de la malla exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.21. Resumen del resultado del cómputo de las correcciones topográ�cas. . . . . . . . . . . . . 108
xv
4.22. Resumen del resultado del cálculo de las anomalías de Faye. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.23. Resumen del cómputo de las anomalías aire libre a partir de un modelo digital del terreno. 109
4.24. Resumen del cálculo de las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno en
las estaciones con valores de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.25. Resumen del cómputo del ajuste global de las anomalías aire libre a partir del modelo
digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.26. Resumen del cómputo del ajuste por zonas de las anomalías aire libre a partir del modelo
digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.27. Resumen del ajuste por zonas geográ�cas de la malla de anomalías aire libre obtenidas a
partir de un modelo digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.28. Resumen del cómputo del valor medio de las anomalías de Faye. . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1. Anomalías de Faye para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2. Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3. Anomalías residuales para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4. Anomalías aire libre para la zona marítima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5. Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona marítima. . . . . . . . . . . . . . 122
5.6. Anomalías residuales para la zona marítima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.7. Valores anomalías residuales de las mallas utilizadas para el cómputo del geoide. . . . . . 123
5.8. Resultados de la solución de la integral de Stokes � N residual. . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.9. Resultados de la aportación del primer término y del segundo término variando el radio de
in�uencia (25, 50, 75 y 100 km). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.10. Resultado del cómputo del efecto indirecto total variando los radios de in�uencia. . . . . . 129
5.11. Aportación de las zonas de in�uencia en el cómputo del efecto indirecto. . . . . . . . . . 129
5.12. Aportación del modelo EGM2008 para el cómputo del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.13. Resultados del cómputo de la ondulación del geoide para los modelos del geoide gravimétrico.132
5.14. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para validar los modelos del geoide. . . . . . . 133
5.15. Valores de la ondulación del geoide en las estaciones de validación del NGS. . . . . . . . . 134
5.16. Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación
del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.17. Resultados del ajuste por mínimos cuadrados del modelo del Geoide WG. . . . . . . . . . 136
xvi
Resumen
El geoide, de�nido como la super�cie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mínimos
cuadrados) al nivel medio del mar en una determinada época, es la super�cie que utilizamos como referen-
cia para determinar las altitudes ortométricas. Si disponemos de una super�cie equipotencial de referencia
como dátum altimétrico preciso o geoide local, podemos entonces determinar las altitudes ortométricas de
forma e�ciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegación
por Satélite (Global Navigation Satellite System, GNSS ).
Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizás el más importante de los
mismos en la actualidad) es la carencia de un dátum altimétrico global (Sjoberg, 2011) con las precisiones
adecuadas. Al no existir un dátum altimétrico global que nos permita obtener los valores absolutos de
la ondulación del geoide con la precisión requerida, es necesario emplear modelos geopotenciales como
alternativa. Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejoría
de sus tres fuentes de datos, por lo que este modelo contiene coe�cientes adicionales hasta el grado 2190
y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisión (Pavlis et al., 2008).
Cuando en una región determinada se dispone de valores de gravedad y Modelos Digitales del Terreno
(MDT) de calidad, es posible obtener modelos de super�cies geopotenciales más precisos y de mayor
resolución que los modelos globales. Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodésico de los Estados
Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS ) ha estado desarrollando modelos del geoide para
la región de los Estados Unidos de América continentales y todos sus territorios desde la década de los
noventa, también es cierto que las zonas de Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses han quedado
un poco rezagadas al momento de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisión con estos modelos
regionales del geoide. En la actualidad, el modelo geopotencial regional vigente para la zona de Puerto
Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses es el GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Dada la necesidad
y ante la incertidumbre de saber cuál sería el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado única
y exclusivamente con datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de
geoide gravimétrico como sistema de referencia para las altitudes ortométricas.
Para desarrollar un modelo del geoide gravimétrico en la isla de Puerto Rico, fue necesario implementar
una metodología que nos permitiera analizar y validar los datos de gravedad terrestre existentes. Utilizando
validación por altimetría con sistemas de información geográ�ca y validación matemática por colocación
con el programa Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su modalidad en Python (Nielsen et al., 2012), fue
posible validar 1673 datos de anomalías aire libre de un total de 1894 observaciones obtenidas de la base
de datos del Bureau Gravimétrico Internacional (BGI). El aplicar estas metodologías nos permitió obtener
una base de datos anomalías de la gravedad �able la cual puede ser utilizada para una gran cantidad de
aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Ante la poca densidad de datos de gravedad existentes, fue necesario emplear un método alternativo
para densi�car los valores de anomalías aire libre existentes. Empleando una metodología propuesta por
Jekeli et al. (2009b) se procedió a determinar anomalías aire libre a partir de los datos de un MDT.
Estas anomalías fueron ajustadas utilizando las anomalías aire libre validadas y tras aplicar un ajuste de
mínimos cuadrados por zonas geográ�cas, fue posible obtener una malla de datos de anomalías aire libre
uniforme a partir de un MDT.
Tras realizar las correcciones topográ�cas, determinar el efecto indirecto de la topografía del terreno
y la contribución del modelo geopotencial EGM2008, se obtuvo una malla de anomalías residuales. Estas
1
anomalías residuales fueron utilizadas para determinar el geoide gravimétrico utilizando varias técnicas
entre las que se encuentran la aproximación plana de la función de Stokes y las modi�caciones al núcleo
de Stokes, propuestas por Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998).
Ya determinados los distintos modelos del geoide gravimétrico, fue necesario validar los mismos y para
eso se utilizaron una serie de estaciones permanentes de la red de nivelación del Datum Vertical de Puerto
Rico de 2002 (Puerto Rico Vertical Datum 2002, PRVD02 ), las cuales tenían publicados sus valores de
altitud elipsoidal y elevación. Ante la ausencia de altitudes ortométricas en las estaciones permanentes de
la red de nivelación, se utilizaron las elevaciones obtenidas a partir de nivelación de primer orden para
determinar los valores de la ondulación del geoide geométrico (Roman et al., 2013). Tras establecer un
total de 990 líneas base, se realizaron dos análisis para determinar la `precisión' de los modelos del geoide.
En el primer análisis, que consistió en analizar las diferencias entre los incrementos de la ondulación
del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos
gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A) en función de las distancias entre las estaciones de validación, se
encontró que el modelo con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore presentó la
mejor `precisión' en un 91,1% de los tramos analizados. En un segundo análisis, en el que se consideraron
las 990 líneas base, se determinaron las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide
geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos gravimétricos,
EGM2008 y GEOID12A), encontrando que el modelo que presenta la mayor `precisión' también era el
geoide con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. En este análisis, el modelo
del geoide gravimétrico de Wong y Gore presento una `precisión' de 0,027 metros en comparación con la
`precisión' del modelo EGM2008 que fue de 0,031 metros mientras que la `precisión' del modelo regional
GEOID12A fue de 0,057 metros. Finalmente podemos decir que la metodología aquí presentada es una
adecuada ya que fue posible obtener un modelo del geoide gravimétrico que presenta una mayor `precisión'
que los modelos geopotenciales disponibles, incluso superando la precisión del modelo geopotencial global
EGM2008.
2
Abstract
The geoid, de�ned as the equipotential surface that best �ts (in the least squares sense) to the mean
sea level at a particular time, is the surface used as a reference to determine the orthometric heights. If
we have an equipotential reference surface or a precise local geoid, we can then determine the orthome-
tric heights e�ciently from the ellipsoidal heights, provided by the Global Navigation Satellite System
(GNSS ).
One of the most common and important an unsolved problem in geodesy is the lack of a global
altimetric datum (Sjoberg, 2011)) with the appropriate precision. In the absence of one which allows us
to obtain the absolute values of the geoid undulation with the required precision, it is necessary to use
alternative geopotential models. The EGM2008 was recently published, in which there has been a marked
improvement of its three data sources, so this model contains additional coe�cients of degree up to 2190
and order 2159, and there is a substantial improvement in accuracy (Pavlis et al., 2008).
When a given region has gravity values and high quality digital terrain models (DTM), it is possible
to obtain more accurate regional geopotential models, with a higher resolution and precision, than global
geopotential models. It is true that the National Geodetic Survey of the United States of America (NGS )
has been developing geoid models for the region of the continental United States of America and its
territories from the nineties, but which is also true is that areas such as Puerto Rico and the U.S. Virgin
Islands have lagged behind when to apply and get more accurate results with these regional geopotential
models. Right now, the available geopotential model for Puerto Rico and the U.S. Virgin Islands is the
GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Given this need and given the uncertainty of knowing the behavior
of a regional geoid model developed exclusively with data from local gravity, we have taken on the task
of developing a gravimetric geoid model to use as a reference system for orthometric heights.
To develop a gravimetric geoid model in the island of Puerto Rico, implementing a methodology that
allows us to analyze and validate the existing terrestrial gravity data is a must. Using altimetry validation
with GIS and mathematical validation by collocation with the Gravsoft suite programs (Tscherning et al.,
1994) in its Python version (Nielsen et al., 2012), it was possible to validate 1673 observations with
gravity anomalies values out of a total of 1894 observations obtained from the International Bureau
Gravimetric (BGI ) database. Applying these methodologies allowed us to obtain a database of reliable
gravity anomalies, which can be used for many applications in science and engineering.
Given the low density of existing gravity data, it was necessary to employ an alternative method
for densifying the existing gravity anomalies set. Employing the methodology proposed by Jekeli et al.
(2009b) we proceeded to determine gravity anomaly data from a DTM. These anomalies were adjusted
by using the validated free-air gravity anomalies and, after that, applying the best �t in the least-square
sense by geographical area, it was possible to obtain a uniform grid of free-air anomalies obtained from a
DTM.
After applying the topographic corrections, determining the indirect e�ect of topography and the
contribution of the global geopotential model EGM2008, a grid of residual anomalies was obtained. These
residual anomalies were used to determine the gravimetric geoid by using various techniques, among which
are the planar approximation of the Stokes function and the modi�cations of the Stokes kernel, proposed
by Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) and Featherstone et al. (1998). After determining
the di�erent gravimetric geoid models, it was necessary to validate them by using a series of stations of
the Puerto Rico Vertical Datum of 2002 (PRVD02 ) leveling network. These stations had published its
3
values of ellipsoidal height and elevation, and in the absence of orthometric heights, we use the elevations
obtained from �rst � order leveling to determine the geometric geoid undulation (Roman et al., 2013).
After determine a total of 990 baselines, two analyzes were performed to determine the ' accuracy ' of the
geoid models. The �rst analysis was to analyze the di�erences between the increments of the geometric
geoid undulation with the increments of the geoid undulation of the di�erent geoid models (gravimetric
models, EGM2008 and GEOID12A) in function of the distance between the validation stations. Through
this analysis, it was determined that the model with the modi�ed Stokes kernel given by Wong and Gore
had the best 'accuracy' in 91,1% for the analyzed baselines. In the second analysis, in which we considered
the 990 baselines, we analyze the di�erences between the increments of the geometric geoid undulation
with the increments of the geoid undulation of the di�erent geoid models (gravimetric models, EGM2008
and GEOID12A) �nding that the model with the highest 'accuracy' was also the model with modifying
Stokes kernel given by Wong and Gore. In this analysis, the Wong and Gore gravimetric geoid model
presented an `accuracy' of 0,027 meters in comparison with the 'accuracy' of global geopotential model
EGM2008, which gave us an `accuracy' of 0,031 meters, while the 'accuracy ' of the GEOID12A regional
model was 0,057 meters. Finally we can say that the methodology presented here is adequate as it was
possible to obtain a gravimetric geoid model that has a greater 'accuracy' than the geopotential models
available, even surpassing the accuracy of global geopotential model EGM2008 .
4
Capítulo 1
Introducción
1.1. Descripción del problema
La forma tradicional de obtener las altitudes ha sido a partir de las redes de nivelación de alta precisión
que materializan la componente vertical del sistema de referencia. Sin embargo estas redes son muy
costosas y difíciles de mantener, por lo que muchos países carecen de esta infraestructura. Aun teniéndola,
las obtención de altitudes precisas por estos métodos clásicos además de ser muy complicada, requiere una
costosa inversión en tiempo y dinero. Un ejemplo de esto es la problemática aún existente en el momento
de determinar rigurosamente las altitudes ortométricas. La obtención de estas altitudes se hace muy
complicada ya que nos enfrentamos al problema de tener que evaluar el valor medio de la gravedad a lo
largo de la línea de la plomada cuando consideramos los efectos de la topografía del terreno (Tenzer et al.,
2005). Así pues, disponer de una super�cie equipotencial de referencia como dátum altimétrico preciso o
geoide local es de gran importancia por cuanto ello nos permitiría determinar las altitudes ortométricas de
forma e�ciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegación
por Satélite (Global Navigation Satellite System, GNSS ). Si bien esto es cierto para cualquier país tanto
más lo es para aquellas regiones que carecen de una red de nivelación, como es el caso de algunas zonas
en el Caribe, especí�camente en el área de Puerto Rico.
Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizás el más importante de los
mismos en la actualidad) es la carencia de un dátum altimétrico global (Sjoberg, 2011). El geoide, de�nido
como la super�cie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mínimos cuadrados) al nivel
medio del mar en una determinada época, no es accesible actualmente desde los dátum altimétricos locales
con su�ciente precisión, por lo que resulta imposible la uni�cación de los mismos. Al no existir un dátum
altimétrico global que nos permita obtener los valores absolutos de la ondulación del geoide, es necesario
emplear modelos geopotenciales como alternativa. Los modelos geopotenciales pueden dividirse en globales
y regionales. Los modelos globales vienen dados por los coe�cientes de Stokes correspondientes al desa-
rrollo del potencial en armónicos esféricos y algunas otras constantes que los determinan. Sus valores se
obtienen esencialmente mediante tres fuentes de datos. Los que proceden de la observación del movimiento
perturbado de los satélites arti�ciales de la Tierra que contribuye proporcionando los coe�cientes de menor
grado (mayor longitud de onda). La altimetría de satélite, que permite disponer de valores asociados a
los océanos, y por último de gravimetría terrestre (y muy recientemente aerotransportada) a partir de los
que se determinan los coe�cientes de mayor grado y por lo tanto de mayor resolución (menor longitud de
5
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
onda). Durante mucho tiempo el mejor Modelo Geopotencial Global (Earth Gravitational Model, EGM )
para �nes geodésicos fue el EGM96, de grado y orden 360, con una resolución de 55,5 kilómetros (Lemoine
et al., 1998). Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejoría
en las tres fuentes de datos mencionadas anteriormente, este modelo contiene coe�cientes adicionales hasta
el grado 2190 y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisión (Pavlis et al., 2008). A partir
de estos modelos geopotenciales globales es posible calcular las magnitudes gravimétricas derivadas, en
particular el geoide.
1.2. Justi�cación
Cuando en una región determinada se dispone de valores de gravedad y modelos digitales del terreno
de calidad es posible obtener modelos de super�cies geopotenciales más precisos y de mayor resolución
que los modelos globales. Estas super�cies equipotenciales locales ajustadas al dátum altimétrico nacional
o regional no son estrictamente hablando un geoide, aunque en la literatura cientí�ca abunda esta ter-
minología especi�cando a veces para ellos el término �local� como son los casos del IGG2005 (Corchete
et al., 2005), Ibergeo2006 (Sevilla, 2006), ITG2009 (Corchete, 2010) o del GEOID12A (Roman y Weston,
2012), adoptaremos en adelante esta terminología. Para su realización se parte de un modelo global que
constituye una primera aproximación, a partir de la cual mediante variaciones introducidas a la fórmula
de Stokes (que es la solución al problema de valores de contorno geodésico), se calcula una malla de valores
de ondulación del geoide para la citada región.
Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodésico de los Estados Unidos de América (National
Geodetic Survey, NGS ) ha estado desarrollando modelos del geoide para la región de los Estados Unidos
de América continentales y todos sus territorios desde la década de los noventa, también es cierto que las
zonas de Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses han quedado un poco rezagadas al momento
de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisión con estos modelos regionales del geoide. En estos
momentos la isla de Puerto Rico no cuenta con un modelo del geoide local por lo que siempre ha sido
necesario esperar que los modelos del geoide que desarrolla el NGS sean validados para los Estados Unidos
de América continentales y luego adaptados para esta región. Dada esta necesidad y ante la incertidumbre
de saber cuál sería el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado única y exclusivamente con
datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de geoide gravimétrico
como sistema de referencia para las altitudes ortométricas.
1.3. Objetivos
Los objetivos de esta tesis doctoral han sido divididos en dos secciones; objetivo general y los obje-
tivos especí�cos los cuales fueron necesarios completar para poder alcanzar el objetivo general de esta
investigación.
1.3.1. Objetivo General
� Desarrollar un modelo de geoide gravimétrico para Puerto Rico que pueda ser utilizado como un
sistema de referencia para la determinación de las altitudes ortométricas.
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
1.3.2. Objetivos Especí�cos
�Desarrollar una metodología que nos permita determinar las altitudes ortométricas con la mayor
precisión posible.
� Comprobar la precisión de los modelos geopotenciales globales y/o regionales disponibles para la
zona de Puerto Rico.
� Analizar y validar datos de gravedad terrestre existentes.
� Desarrollar una base de datos de anomalías de gravedad con�able que nos permita realizar otros
trabajos relacionados con medidas gravimétricas.
� Desarrollar la metodología para determinar anomalías aire libre partiendo de los datos de un modelo
digital del terreno.
� Validar el modelo del geoide gravimétrico utilizando estaciones permanentes del NGS las cuales
tienen valores o�ciales de su elevación y altitud elipsoidal.
1.4. Estructura de la tesis
Esta tesis doctoral está estructurada en seis capítulos. En el Capítulo 2 se presenta la metodología
relacionada con la determinación gravimétrica del geoide, la teoría del campo gravitatorio terrestre, del
campo de gravedad normal y del campo de gravedad anómalo. Además presentamos la metodología re-
lacionada con la determinación del geoide geométrico, sistemas de altitudes y dátum verticales. En el
Capítulo 3 se presenta una descripción del área de estudio y de las distintas fuentes de datos utilizadas
durante esta investigación. En el Capítulo 4 se presenta el análisis y validación de datos utilizados para la
comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una línea de nivelación,
la determinación de un modelo topo � batimétrico para la zona de estudio, el análisis y validación de los
datos de gravedad terrestre y la determinación de anomalías aire libre partiendo de los datos de un modelo
digital del terreno. En el Capítulo 5 presentamos la aplicación práctica para la determinación del modelo
gravimétrico del geoide donde implementamos distintas metodologías que van desde la aproximación plana
de la función de Stokes a las distintas modi�caciones del núcleo de la función de Stokes. Finalmente en el
Capítulo 6 se presentan las conclusiones y sugerimos varias líneas de investigación futuras que han sido
generadas a partir del desarrollo de un modelo gravimétrico del geoide como sistema de referencia para
las altitudes ortométricas en Puerto Rico.
7
Capítulo 2
Metodología
En este capítulo se presenta una descripción de la metodología utilizada para determinar el modelo
del geoide gravimétrico además de los conceptos básicos de la teoría del campo gravitatorio terrestre,
del campo de gravedad normal, el campo de gravedad anómalo y las reducciones a la gravedad. Además
presentamos una descripción de los modelos geopotenciales globales y regionales disponibles para la región
de Puerto Rico, la metodología relacionada al Segundo Método de Condensación de Helmert y a la Técnica
de Sustitución � Restitución. Finalmente se presenta la metodología relacionada con la determinación
geométrica del geoide la cual incluye una descripción de los diferentes sistemas de altitudes y de los
dátum vigentes en la zona de estudio.
2.1. Determinación gravimétrica del geoide
2.1.1. Campo gravitatorio terrestre
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en reposo sobre la super�cie terrestre son las resultantes de la
fuerza gravitacional y de la fuerza centrífuga de la rotación de la Tierra. Estas fuerzas son determinantes
al momento de de�nir o determinar la super�cie del geoide. El potencial gravitatorio W, se de�ne como
la suma de los potenciales de la fuerza gravitacional V, y de la fuerza centrífuga Φ y puede ser expresado
de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
W = V + Φ (2.1)
De acuerdo con la ley de gravitación de Newton el potencial gravitatorio se puede de�nir como:
V = G
∫ ∫ ∫v
ρ
ldv (2.2)
DondeG es la constante de gravitación de Newton con un valor aproximado de 6, 67428∗10−11m3kg−1s−1,
ρ es el valor promedio de la densidad de la Tierra, l es la distancia entre el elemento de masa de�nido
como dm y el punto de interés denominado como P de�nido por las coordenadas (X, Y, Z) ( Figura 2.1)
y dv es el elemento de volumen de un cuerpo sólido en la Tierra (Heiskanen y Moritz, 1967).
8
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.1: Potencial de un cuerpo sólido.
El potencial V es continuo en todo el espacio y se hace cero en el in�nito. Las primeras derivadas del
potencial, serían las componentes de la fuerza y también son continuas en el espacio, algo que no sucede con
las segundas derivadas. En puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna segunda derivada
tendrá una discontinuidad. Esto es así debido a que el potencial en el interior de las masas satisface la
Ecuación de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).
4V = −4πGρ (2.3)
Dónde:
4V =∂2V
∂x2+∂2V
∂y2+∂2V
∂z2(2.4)
El símbolo 4 representa el operador laplaciano y tiene la forma de:
∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2(2.5)
En el espacio donde la densidad ρ es cero, la Eq. 2.3 se convierte en:
4V = 0 (2.6)
Conocida como la Ecuación de Laplace. Sus soluciones se llaman funciones armónicas por lo que el
potencial gravitatorio es una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas,
porque allí satisface la Ecuación de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).
Las funciones de los armónicos esféricos pueden ser expresadas en coordenadas esféricas. (Ver Figura
2.2)
9
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.2: Sistema de coordenadas esféricas y rectangulares.
Si consideramos el radio vector r , la distancia polar θ y la longitud geocéntrica λ, podemos expresar
las coordenadas cartesianas por las siguientes ecuaciones:
x = r sin θ cosλ (2.7)
y = r sin θ sinλ (2.8)
z = r cos θ (2.9)
Si sustituimos las Eq. 2.7, la Eq. 2.8 y la Eq. 2.9 en la ecuación de Laplace 4V (Eq.2.4), podemos
obtener la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas (Heiskanen y Moritz, 1967).
4V =1
r2
∂
∂r
(r2 ∂V
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂V
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2V
∂λ2(2.10)
Cuya solución es el potencial V en términos de los armónicos esféricos, quedando expresado de la
siguiente manera:
V =GM
r
(1 +
∞∑n=2
n∑m=0
(ar
)n[Cmn R
mn (θ, λ) + Smn K
mn (θ, λ)]
)(2.11)
Donde si Cmn y Smn son constantes adimensionales, denominadas constantes de Stokes que determinan el
potencial y Rmn (θ, λ) yKmn (θ, λ) son funciones denominadas armónicos esféricos de super�cie, o armónicos
de Laplace, de�nidos como (Heiskanen y Moritz, 1967):
Rmn (θ, λ) = Pmn (cos θ) cosmλ (2.12)
Kmn (θ, λ) = Pmn (cos θ) sinmλ (2.13)
10
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Siendo Pmn (cos θ) las funciones de Legendre de grado n y orden m. Así pues podemos expresar el
potencial V como:
V =GM
r
(1 +
∞∑n=2
n∑m=0
(ar
)n[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ]Pmn (cos θ)
)(2.14)
Donde el termino n comienza en 2 debido a que el origen del sistema de coordenadas se encuentra
ubicado en el centro de masas de la Tierra.
El potencial de las fuerzas centrífugas debido a la rotación de la Tierra viene dado por la expresión
(Heiskanen y Moritz, 1967):
Φ =1
2ω2(x2 + y2
)(2.15)
Las fuerzas centrífugas no son conservativas ya que su potencial no cumple la ecuación de Laplace:
4Φ =∂2Φ
∂x2+∂2Φ
∂y2+∂2Φ
∂z2= 2ω2 (2.16)
Y si combinamos la Eq. 2.16 con la Ecuación de Poisson (Eq.2.3), obtenemos la Ecuación de Poisson
generalizada para el potencial gravitatorio de W (Heiskanen y Moritz, 1967).
4W = −4πGρ+ 2ω2 (2.17)
Las super�cies equipotenciales del campo gravitatorio terrestre vendrán dadas por la expresión:
W (x, y, z) = W0 = constante (2.18)
El geoide es una super�cie equipotencial y él mismo se de�ne como una prolongación del nivel medio del
mar hacia los continentes, pero este tema se discutirá detalladamente en la Sección 2.1.3.
Como hemos mencionado, el potencial gravitatorio terrestre W es la suma de los potenciales de la
fuerza gravitacional y de la fuerza centrífuga. El mismo quedaría de�nido de la siguiente manera (Heiskanen
y Moritz, 1967):
W = W (x, y, z) = V + Φ = G
∫ ∫ ∫v
ρ
ldv +
1
2ω2(x2 + y2
)(2.19)
Sustituyendo la Eq. 2.14 en la Eq. 2.19, podemos expresar el potencial gravitatorio W en términos de
los armónicos esféricos:
W (r, θ, λ) =GM
r
(1 +
∞∑n=2
n∑m=0
(ar
)n[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ]Pmn (cos θ)
)+
1
2ω2r2 sin2 θ (2.20)
Si introducimos en la Eq. 2.20 el término m, denominado Constante de Helmert:
m =ω2a3
GM(2.21)
La ecuación del potencial gravitatorio W en términos de los armónicos esféricos �nalmente quedaría
11
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
expresada de la siguiente manera:
W (r, θ, λ) =GM
r
(1 +
∞∑n=2
n∑m=0
(ar
)n[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ]Pmn (cos θ) +
1
2m( ra
)3
sin2 θ
)(2.22)
Por razones de cálculo resulta más conveniente expresar el potencial en función de los armónicos
esféricos de super�cie totalmente normalizados:
Pmn (cos θ) =
√(2− δ0,m) (2n+ 1)
(n−m)!
(n+m)!Pmn (cos θ) (2.23)
Y:
Cmn
Smn=
√1
(2− δ0,m) (2n+ 1)
(n+m)!
(n−m)!
{Cmn
Smn(2.24)
Siendo:
δ0,m
{= 1 sim = 0
= 0 sim 6= 0(2.25)
Con lo que la expresión del campo gravitatorio terrestre vendrá dada por:
W (r, θ, λ) =GM
r
(1 +
∞∑n=2
(ar
)n n∑m=0
[Cmn cosmλ+ Smn sinmλ
]Pmn (cos θ) +
1
2m( ra
)3
sin2 θ
)(2.26)
2.1.2. Campo gravitatorio normal
Tradicionalmente se ha de�nido la forma de la Tierra como una esfera, algo que podría entenderse
como una primera aproximación de la forma de la Tierra. Si consideráramos una segunda aproximación de
la forma de la Tierra, podríamos de�nirla como un elipsoide de revolución. Aunque se sabe que la Tierra
no es exactamente un elipsoide, considerarla como tal es muy práctico debido a la facilidad para manejar
matemáticamente el mismo. Adicionalmente, las diferencias entre el campo gravitatorio �real� y el del
campo �normal� del elipsoide son tan pequeñas que pueden permitir las linealización de las ecuaciones en
que intervenga tal diferencia.
Consideraremos un elipsoide cuya super�cie es equipotencial de su propio campo de gravedad, que
tiene la masa de la Tierra y gira con su velocidad angular. Todas las propiedades geométricas y físicas del
elipsoide normal quedan determinadas por el semieje mayor a, por el coe�ciente de segundo orden J2 para
cuyo valor se toma el coe�ciente de segundo grado y orden cero de la Tierra, la masa total de la Tierra
(M) y la velocidad angular ω (Heiskanen y Moritz, 1967).
Si consideramos un elipsoide S0 como:
x2 + y2
a2+z2
b2= 1 (2.27)
Por de�nición seria una super�cie equipotencial donde:
U = U (x, y, z) = U0 = constante (2.28)
12
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Y el componente del vector de la gravedad normal quedaría de�nido por:
−→γ =−−→gradU (2.29)
En la XVII Asamblea General de la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (International Union
of Geodesy and Geophysics, IUGG) fue adoptado como elipsoide internacional el Sistema Geodésico de
Referencia 1980 (Geodetic Reference System 1980, GRS80 ) (Moritz, 2000). En la Tabla 2.1 se presentan
los constantes que de�nen el elipsoide internacional GRS80 :
Tabla 2.1: Constantes del elipsoide internacional GRS80.Radio en el ecuador a = 6 378 137m
Constante gravitacional geocéntrica de la Tierra GM = 3 986 005 ∗ 108m3s−2
Factor de forma dinámica de la Tierra J2 = 108 263 ∗ 10−8
Velocidad angular de la Tierra ω = 7 292 ∗ 10−11rad s−1
La constante del factor de forma dinámica de la Tierra J2 se determina como ya dijimos como el
coe�ciente C20 de�nido como:
J2 =C −AMa2
(2.30)
Donde C representa el momento de inercia respecto al eje de Z, A es el resultado del promedio de los
momentos de inercia respecto a los ejes de X y Y, M es la masa total de la Tierra y a es el radio en el
ecuador (Heiskanen y Moritz, 1967).
Podemos de�nir α como el aplanamiento del elipsoide:
α =(a− b)a
(2.31)
La primera excentricidad e, está de�nida como:
e2 =a2 − b2
a2(2.32)
Como segunda excentricidad e′, la cual está de�nida como:
e′2 =a2 − b2
b2(2.33)
Finalmente podemos utilizar la abreviatura m′ para de�nir la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz,
1967):
m′ =ω2a2b
GM(2.34)
Como hemos mencionado previamente, el elipsoide de referencia es una super�cie con un potencial
de la gravedad normal constante. El potencial de la gravedad normal también puede ser expresado en
términos de los armónicos esféricos (Heiskanen y Moritz, 1967):
U =GM
r
(1−
∞∑n=1
J2n
(ar
)2n
P2n (cos θ)
)(2.35)
13
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Donde el término J2n puede ser determinado utilizando la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz,
1967):
J2n = (−1)n+1 3e2n
(2n+ 1) (2n+ 3)
(1− n+ 5n
J2
e2
)(2.36)
La gravedad normal en el ecuador γe y la gravedad normal en los polos γp pueden ser determinadas
utilizando las siguientes expresiones (Heiskanen y Moritz, 1967):
γe =GM
ab
(1−m′ − m′
6
e′q′0q0
)(2.37)
γp =GM
a2
(1 +
m′
3
e′q′0q0
)(2.38)
Donde los términos q0 y q′0 pueden de�nirse como (Heiskanen y Moritz, 1967):
q0 =1
2
[(1 +
3
e′2
)arctan e′ − 3
e′
](2.39)
q′0 = 3
(1 +
1
e′2
)(1− 1
e′2arctan e′
)− 1 (2.40)
Si relacionamos la gravedad normal en el polo γp y la gravedad normal en el ecuador γe, podemos
de�nir el aplanamiento gravimétrico β el cual puede ser expresado como (Heiskanen y Moritz, 1967):
β =γp − γeγe
(2.41)
Si introducimos la latitud geográ�ca sobre el elipsoide Φ, que se de�ne como el ángulo entre la normal
del elipsoide y el plano ecuatorial, podemos obtener la formula rigurosa para determinar la gravedad
normal sobre el elipsoide conocida como la Fórmula Somigliana de 1929 (Heiskanen y Moritz, 1967).
γ =aγe cos2 Φ + bγp sin2 Φ√a2 cos2 Φ + b2 sin2 Φ
(2.42)
Para efectos computacionales, la formula mayormente utilizada es la siguiente (Moritz, 2000):
γ = γe1 + k sin2 Φ√1− e2 sin2 Φ
(2.43)
Con un valor de k de�nido por (Moritz, 2000):
k =bγpaγe− 1 (2.44)
La fórmula de la gravedad normal puede ser expandida en la serie (Moritz, 2000):
γ = γe
(1 +
∞∑n=1
a2n sin2n Φ
)(2.45)
14
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Donde los términos a2n son de�nidos como (Moritz, 2000):
a2 =1
2e2 + k (2.46)
a4 =3
8e4 +
1
2e2k (2.47)
a6 =5
16e6 +
3
8e4k (2.48)
a8 =35
128e8 +
5
16e6k (2.49)
Al expandir la Eq. 2.45 , la misma queda expresada como (Moritz, 2000):
γ = γe(1 + a2 sin2 Φ + a4 sin4 Φ + a6 sin6 Φ + a8 sin8 Φ
)(2.50)
Sustituyendo los valores del GRS80 en la Eq. 2.50 , obtenemos la siguiente expresión (Moritz, 2000):
γGRS80 = γe(1 + 0, 005 279 0414 sin2 Φ + 0, 000 023 2718 sin4 Φ + 0, 000 000 1262 sin6 Φ + 0, 000 000 0007 sin8 Φ
)ms−2
(2.51)
En el caso del GRS80, γe toma un valor de 9,7803267715 m2s−2. Esta ecuación presenta un error rela-
tivo de 10−10, correspondiente a 10−3µms−2 = 10−4mGal (Moritz, 2000).
También podemos considerar la expansión convencional de la serie abreviada la cual podemos repre-
sentar de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
γ = γe(1 + β sin2 Φ + β1 sin2 2Φ
)(2.52)
Y los términos β y β1 en aproximación de segundo orden vienen dados por las siguientes expresiones:
β = 2m− 3
2J2 −
75
14J2m−
9
8J
2
2
117
56m2 (2.53)
β1 = − 9
32J
2
2 +3
4J2m+
9
32m2 (2.54)
Si sustituimos los parámetros del GRS80 en la Eq. 2.52 , obtenemos la ecuación abreviada de la
gravedad normal (Moritz, 2000).
γGRS80 = 9, 780 327(1 + 0, 005 3024 sin2 Φ− 0, 000 0058 sin2 2Φ
)ms−2 (2.55)
La cual tiene una precisión de 1µms−2 = 0, 1mGal (Moritz, 2000).
Si queremos obtener la gravedad normal en un punto de latitud Φ, situado a una altitud h por encima
del elipsoide, γh , podemos utilizar la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):
γh = γe
[1− 2
a
(1 + α+m′ − 2α sin2 Φ
)h+
3
a2h2
](2.56)
15
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Finalmente de�niremos la curvatura media del elipsoide, la cual viene dada por:
J =1
2
(1
M+
1
N
)(2.57)
Donde M y N son los radios principales de curvatura; M es el radio medio en la dirección del me-
ridiano y N es el radio de curvatura normal. Estos términos pueden ser expresados de la siguiente manera:
M =a(1− e2
)(1 + e2 sin2 Φ
) 32
(2.58)
N =a(
1 + e2 sin2 Φ) 1
2
(2.59)
Y el radio de curvatura en el polo puede ser expresado como:
c =a2
b2(2.60)
2.1.3. Campo de gravedad anómalo
Como hemos mencionado anteriormente, entre el potencial gravitatorioW y el potencial de la gravedad
normal U existe una pequeña diferencia que se puede designar como T (Heiskanen y Moritz, 1967), tal
que:
W (x, y, z) = U (x, y, z) + T (x, y, z) (2.61)
Donde T se llama el potencial anómalo o potencial perturbador. Si el potencial gravitatorioW de�nido
como el geoide se puede expresar de la siguiente manera:
W (x, y, z) = W0 (2.62)
Y consideramos el potencial normal U del elipsoide de referencia:
U (x, y, z) = W0 (2.63)
Si ambos tienen un mismo potencial U0 = W0, un punto P del geoide se puede proyectar como un
punto Q en el elipsoide por medio de la normal elipsóidica. La distancia de P a Q entre el geoide y el
elipsoide se llama ondulación del geoide y se designa como N. (Figura 2.3)
16
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.3: Geoide y elipsoide de referencia.
Si consideramos el vector de la gravedad −→g en el punto P y el vector de gravedad normal ~γQ en el
punto Q, la diferencia entre ambos vectores se puede de�nir como el vector de la anomalía de la gravedad
4−→g (Heiskanen y Moritz, 1967).
4−→g = −→gP − ~γQ (2.64)
Un vector está compuesto por su magnitud y dirección, por lo que la diferencia en la magnitud es lo
que se conoce como la anomalía de la gravedad 4g (Heiskanen y Moritz, 1967).
4g = gP − γQ (2.65)
También podemos comparar los vectores de gravedad ~g y de gravedad normal ~γ en el punto P, obte-
niendo el vector de la perturbación de la gravedad δ~g (Heiskanen y Moritz, 1967).
δ~g = ~gP − ~γP (2.66)
Y su diferencia en magnitud quedaría expresada como la perturbación de la gravedad δg (Heiskanen
y Moritz, 1967).
δg = gP − γP (2.67)
Lo más importante de la anomalía de la gravedad4g es que la misma puede ser obtenida directamente,
es decir, la gravedad g es medida sobre la super�cie de la Tierra y luego reducida al geoide y la gravedad
normal γ se calcula sobre el elipsoide.
Hay varias relaciones que se pueden hacer partiendo de las expresiones que acabamos de de�nir. El
potencial normal U en el punto P, lo podemos de�nir como (Heiskanen y Moritz, 1967):
UP = UQ +
(∂U
∂n
)Q
N = UQ − γN (2.68)
17
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
De la misma manera podemos de�nir el potencial gravitatorio W en el punto P como (Heiskanen y
Moritz, 1967):
WP = UP + TP = UQ − γN + TP (2.69)
Por lo que podemos concluir que:
WP = UQ = W0 (2.70)
Obteniendo:
T = γN (2.71)
Que también puede ser expresado de la siguiente manera:
N =T
γ(2.72)
Conocida como la Fórmula de Bruns la cual relaciona la ondulación del geoide con el potencial per-
turbador (Heiskanen y Moritz, 1967).
Puesto que:−→g =
−−→gradW (2.73)
−→γ =−−→gradU (2.74)
Podemos decir que:−→δg =
−−→grad (W − U) =
−−→gradT ≡
[∂T
∂x,∂T
∂y,∂T
∂z
](2.75)
Considerando que:
g = −∂W∂n
, γ = − ∂U∂n′
.= −∂U
∂n(2.76)
Ya que las direcciones normales n y n′ casi coinciden, podemos decir que la perturbación de la gravedad
viene dada por:
δg = gP − γP = −(∂W
∂n− ∂U
∂n′
).= −
(∂W
∂n− ∂U
∂n
)(2.77)
Quedando expresado de la siguiente manera:
δg = − ∂T∂n′
(2.78)
Dado que la altitud h se mide a lo largo de la normal, también podemos escribir la expresión de la
siguiente manera:
δg = −∂T∂h
(2.79)
Considerando que podemos de�nir la gravedad normal γ en el punto P como:
γP = γQ +∂γ
∂hN (2.80)
Tenemos entonces que:
−∂T∂h
= δg = gP − γP = gP − γQ −∂γ
∂hN (2.81)
18
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Si consideramos la de�nición de la anomalía de la gravedad 4g (Eq. 2.65) y teniendo en cuenta la
Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener la siguiente ecuación equivalente:
∂T
∂h− 1
γ
∂γ
∂h+4g = 0 (2.82)
Conocida como la Ecuación Fundamental de la Geodesia Física ya que relaciona la cantidad medida
4g con el potencial anómalo desconocido T. (Heiskanen y Moritz, 1967) Debido a que 4g es conocida
solo sobre la super�cie del geoide, esta ecuación solo puede usarse como una condición de contorno. Para
considerar esta ecuación no puede haber masas fuera del geoide, algo que no es posible, ya que las medidas
no se realizan sobre el geoide sino en la super�cie. Por esta razón es necesario eliminar el efecto de las
masas y reducir la gravedad al geoide utilizando algunas aproximaciones que serán discutidas más adelante.
Si en la expresión anterior se desprecian los términos de primer orden, es decir los términos del orden
de αT, αN , queda de la siguiente forma:
∂T
∂r+
2
RT +4g = 0 (2.83)
Resultando en la aproximación esférica de la condición de contorno fundamental (Heiskanen y Moritz,
1967).
Dónde:
4g +2T
r+∂T
∂r= 0 si r = R (2.84)
4T = 0 si r > R (2.85)
El signi�cado exacto de esta aproximación esférica debe ser cuidadosamente analizado ya que solo
debe usarse en ecuaciones que relacionan las pequeñas cantidades T, N, 4g, etc. Como el aplanamiento
α es muy pequeño, las formulas elipsódicas se pueden desarrollar en serie de potencias en función de α, y
entonces los términos que contienen αT y αN se desprecian (Heiskanen y Moritz, 1967).
Si consideramos las coordenadas esféricas, sobre el geoide tenemos que r = R y si designamos T (R, θ, λ)
simplemente como T, resolviendo la Eq. 2.83 podemos obtener la ecuación de Stokes:
T =R
4π
∫ ∫σ
4g S (ψ) dσ (2.86)
Dónde:
S (ψ) =1
sin ψ2
− 6 sinψ
2+ 1− 5 cosψ − 3 cosψ ln
(sin
ψ
2+ sin2 ψ
2
)(2.87)
Es la función de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967).
También podemos expresar la Eq.2.87 en términos de los polinomios de Legendre (Heiskanen y Moritz,
1967).
S (ψ) =∞∑n=2
2n+ 1
n− 1Pn (cosψ) (2.88)
19
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Finalmente, por la Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener:
N =R
4πγ
∫ ∫σ
4g S (ψ) dσ (2.89)
Conocida como la fórmula de Stokes o integral de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967). Esta fórmula
nos permite determinar el geoide utilizando datos gravimétricos.
2.1.4. Reducciones a la gravedad
El uso de la fórmula de Stokes para la determinación del geoide requiere que las anomalías de la
gravedad estén reducidas a la super�cie del geoide, y la condición impuesta para la obtención de la
Ecuación Fundamental de la Geodesia Física exige que el campo debe ser armónico en el exterior de las
masas que lo generan. Esto implica dos condiciones importantes: la gravedad debe referirse al geoide y no
puede haber masas fuera del geoide.
Esto requiere que las masas topográ�cas sean eliminadas (restituyendo el efecto que esto produce
condensándolas en una capa sobre el geoide o de alguna otra forma) y que la medida de gravedad que fue
realizada en la super�cie de la Tierra en un punto P, sea bajada al geoide a un punto conocido como P0
. (Ver Figura 2.4)
Figura 2.4: Reducción de la gravedad.
2.1.4.1. Reducción aire libre
La primera reducción que presentaremos es la reducción aire libre. La misma lo que pretende es
reducir la gravedad observada a la super�cie del geoide. Como se ha supuesto que no existen masas entre
la super�cie del terreno y el geoide, la estación P queda �al aire libre�. La misma puede ser expresada de
la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):
F.= − ∂g
∂HH (2.90)
Donde F es la reducción aire libre, H es la altura expresada en metros y g es la gravedad medida. Para
20
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
�nes prácticos se utiliza el gradiente de la gravedad normal, quedando expresada de la siguiente manera
(Heiskanen y Moritz, 1967):
F.= − ∂γ
∂HH = 0, 3086H (mGal) (2.91)
Esta reducción es la que da base a la anomalía aire libre (Heiskanen y Moritz, 1967):
4gAL = gP + 0, 3086H − γQ (2.92)
La anomalía aire libre lo que hace es aplicarle a la gravedad medida en P la reducción aire libre y
luego restarle la gravedad normal sobre el elipsoide γQ . Estas serán las anomalías que utilizaremos para
los propósitos de nuestra investigación.
2.1.4.2. Reducción de Bouguer
El propósito de la reducción de Bouguer es la eliminación de todas las masas topográ�cas, es decir
todas las masas exteriores que afectan al geoide. Primeramente de�niremos la lámina de Bouguer. Esta
lámina asume que alrededor de la estación donde se realiza la medida de gravedad existe una capa in�nita
completamente plana y horizontal y que las masas entre el geoide y la super�cie tienen una densidad
constante. (Ver Figura 2.5)
Figura 2.5: Lámina de Bouguer.
Podemos expresar el efecto gravitacional de la lámina de Bouguer de la siguiente manera (Heiskanen
y Moritz, 1967):
AB = 2πGρH (2.93)
Donde la densidad estándar se de�ne como ρ = 2, 67 gcm3 . Sustituyendo los valores numéricos de la
ecuación, obtenemos entonces (Heiskanen y Moritz, 1967):
AB = 0, 1119H (mGal) (2.94)
Donde la altura H esta expresada en metros.
21
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Al proceso de quitar la lámina de Bouguer y aplicar la reducción aire libre, podemos llamarlo como la
reducción de Bouguer completa (Heiskanen y Moritz, 1967).
gB = g −AB + F (2.95)
Sustituyendo los valores numéricos, podemos obtener (Heiskanen y Moritz, 1967):
gB = g + 0, 1967H (2.96)
Si �nalmente a la reducción de Bouguer le restamos el valor de la gravedad normal referida al elipsoide
de referencia, obtendremos la anomalía de Bouguer (Heiskanen y Moritz, 1967).
4gB = gB − γQ (2.97)
2.1.4.3. Corrección clásica por efectos de la topográ�ca del terreno
Las correcciones topográ�cas básicamente son un re�nado que considera las desviaciones topográ�cas
reales respecto a la lámina de Bouguer. El valor de la gravedad en un punto es in�uenciado por la topografía
circundante, por lo tanto es necesario compensar los excesos y defectos de las masas. (Ver Figura 2.6)
Figura 2.6: Correcciones Topográ�cas.
En términos generales, el terreno se descompone en prismas y aplicando algún tipo de algoritmo se
puede calcular la atracción de cada prisma hacia cada punto de interés. (Ver Figura 2.7).
22
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.7: Sistema de referencia para el cómputo de la Corrección Topográ�ca.
En nuestro caso hemos aplicado el algoritmo propuesto por Nagy et al. (2000), el cual nos permite
determinar los componentes para realizar el cómputo de la corrección topográ�ca.
CTi,j = GρL∑l=1
M∑m=1
2∑q=1
2∑r=1
2∑s=1
(−1)(q+r+s)
[ξq ln
∣∣∣∣ηr + ωqrslqs
∣∣∣∣+ ηr ln
∣∣∣∣ξq + ωqrslrs
∣∣∣∣− δs arctan
(ξqηrδsωqrs
)](2.98)
ξ1 = |xl − xi| −4x2
ξ2 = |xl − xi|+4x2
(2.99)
η1 = |ym − yj | −4y2
η2 = |ym − yj |+4y2
(2.100)
δ1 = p δ2 = Hl,m − (Hi,j − p) (2.101)
ωqrs =√ξ2q + η2
r + δ2s (2.102)
lrs =√η2r + δ2
s (2.103)
lqs =√ξ2q + δ2
s (2.104)
23
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Donde:
G: es la constante gravitacional de Newton
ρ: es la densidad de la corteza terrestre
xi, yj , Hi,j : son las coordenadas del punto donde se interesa calcular la corrección
xl, ym, Hl,m: son las coordenadas de los puntos del relieve, donde hay un total de l ∗ m puntos
4x ,4y: son los pasos de malla en la dirección de x, y
p: es la profundidad a considerar en el punto donde se interesa realizar la corrección
Con el advenimiento de los Modelos Digitales del Terreno (Digital Elevation Models, DEM ) ha sido posible
sustituir la metodología tradicional de las plantillas y tablas de Hayford y Bowie (1912) o las propuestas
por Hammer (1939), facilitando el proceso de calcular las correcciones topográ�cas mediante el método
de prismas. Para realizar esta operación, es necesario descomponer el terreno en tres zonas con diferentes
resoluciones. Para la Zona 1, de la cual podemos decir que es la zona de mayor in�uencia, tiene una
resolución de 0,00166667 segundos de arco y un radio de 1 kilómetro. La Zona 2 tiene una resolución
de 0,0166667 minuto de arco y un radio 5 kilómetros. Finalmente la Zona 3, tiene una resolución de
0,08333333 minutos de arco y un radio de 167 kilómetros. (Ver Figura 2.8).
Figura 2.8: Plantillas zona in�uencia correcciones topográ�cas.
Ya determinados los radios de in�uencia y la resolución de cada zona, se procede a preparar las mallas
digitales que contienen los datos de elevación del terreno a distintas resoluciones y se procede a ejecutar
el algoritmo. En términos generales, el algoritmo primeramente identi�ca las coordenadas del punto de
interés en las matrices de elevaciones, luego se trunca la matriz alrededor del punto en función del radio
de in�uencia y �nalmente se completa la ejecución del algoritmo.
La parte de mayor cuidado en la implementación de este algoritmo es poder identi�car los valores que
deben tomar las coordenadas de los prismas en función de la ubicación en el terreno donde se interesa
calcular la corrección. En la Figura 2.9 se presentan los diferentes casos que podemos encontrar al momento
de determinar las coordenadas verticales del prisma, según donde se encuentre el punto de interés, ya sea
en la parte continental o en la región oceánica.
24
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.9: Diferentes casos de las coordenadas verticales del prisma.
En todos los casos, el término δ1 se re�ere a la coordenada interior y el término δ2 a la coordenada
exterior. La Tabla 2.2 contiene los detalles de los valores asignados a las coordenadas δ1 y δ2.
Tabla 2.2: Valores de las coordenadas interiores e inferiores del prisma.Zona Oceánica Continental
Correción en P(I)δ1 = −HP (II)δ1 = −HP −Hi,j δ1 = 0
δ2 = 0 δ2 = −HP δ2 = Hi,j −HP
Corrección en Q0(I)δ1 = 0 (II)δ1 = −Hi,j δ1 = HP
δ2 = HP δ2 = 0 δ2 = Hi,j
Tras calcular el valor de la corrección topográ�ca, en posible determinar el efecto total de las masas
topográ�cas, quedando representado como (Heiskanen y Moritz, 1967):
AT = AB − CT (2.105)
2.1.4.4. Reducciones Isostáticas
El principio de la isostasia se basa en el concepto de que las masas topográ�cas no se encuentran
simplemente sobrepuestas sobre la corteza terrestre. Es decir, si las masas topográ�cas solamente existieran
sobre la super�cie, al realizar las reducciones de Bouguer, se eliminarían todas estas irregularidades del
campo graví�co por lo que las anomalías de Bouguer serían muy pequeñas, o tenderían a cero. El problema
surge en los lugares montañosos, donde ocurre exactamente lo contrario, donde las anomalías se encuentran
fuertemente relacionadas inversamente con la elevación. Esta situación ha generado el desarrollo de varias
teorías como las de J.H. Pratt - Hayford y la de G.B. Airy - Heiskanen. En las mismas se ha tratado de
25
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
explicar que en estos casos existe algún tipo de de�ciencia debajo de las montañas por lo que las masas
topográ�cas tienden a compensarse. En nuestro trabajo aplicaremos el Modelo de Airy � Heiskanen. El
principio del Modelo Airy � Heiskanen propone que bajo las montañas existen unas raíces y bajo los
océanos existen unas anti raíces. Partiendo de que la densidad en la corteza se puede de�nir con el valor
de ρ0 = 2, 67 gcm3 y que estas masas �otan sobre una capa más densa con un valor de ρ1 = 3, 27 g
cm3 .
Dado que la diferencia entre las densidades es 4ρ = 0, 6 gcm3 , si de�nimos a H como la altitud y t como el
espesor de la correspondiente raíz, podemos decir que para la zona terrestre (Heiskanen y Moritz, 1967):
t =ρ0
ρ1H = 4, 45H (2.106)
En el caso de los océanos, el problema se trata de una manera un poco diferente. Si de�nimos ρw =
1, 027 gcm3 como la densidad del océano, la anti raíz quedaría de�nida de la siguiente manera (Heiskanen
y Moritz, 1967):
t′
=ρ0 − ρwρ1 − ρ0
H′
= 2, 73H′
(2.107)
Donde H′es la profundidad del océano y t
′es la anti raíz.
Finalmente podemos de�nir el espesor de la corteza terrestre como T cuyo valor aproximado es T =
30 km , entonces el espesor de la corteza bajo las montañas quedaría de�nido como (Heiskanen y Moritz,
1967):
T +H + t (2.108)
Y el espesor de la corteza bajo los océanos quedaría de�nido por (Heiskanen y Moritz, 1967):
T −H′− t
′(2.109)
Ya de�nido el concepto de isostasia, podemos presentar las reducciones isostáticas. El objetivo de
estas reducciones es la regulación de la corteza terrestre utilizando un modelo de isostasia. En este caso
las masas topográ�cas no son completamente eliminadas como sucede en el caso de las reducciones de
Bouguer, sino que las masas topográ�cas son llevadas al interior del geoide para rellenar las de�ciencias
de las masas. En el caso del Modelo de Airy � Heiskanen, las masas topográ�cas se utilizan para rellenas
las raíces llevando la densidad de la corteza ρ0 = 2, 67 gcm3 a la densidad del manto ρ1 = 3, 27 g
cm3 .
Las reducciones isostáticas se pueden de�nir en tres etapas:
1. Eliminar el efecto gravitacional de la topografía.
2. Eliminar el efecto gravitacional de la compensación de las masas.
3. Realizar la reducción aire libre.
Para el cálculo de la corrección isostática usamos la misma fórmula de Nagy (Eq. 2.98) teniendo en cuenta
ahora que la densidad aplicada es la diferencia entre las densidades de la corteza y el manto (ρ1 − ρ0) y
en el caso de los océanos la diferencia hemos de considerar además las diferencias entre corteza y agua a
(ρ0 − ρW ).
26
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Finalmente podemos de�nir la reducción isostática como (Heiskanen y Moritz, 1967):
gI = gP −AT +AI + F (2.110)
Donde el término AI se re�ere a la atracción de la compensación isostática que realmente es negativa
y el término AT es el efecto total de las masas, producto de la combinación del efecto de la lámina de
Bouguer AB y de la Corrección Topográ�ca CT y F es la reducción aire libre.
Figura 2.10: Topografía y compensación Isostática Modelo Airy - Heiskanen.
Tanto para las estaciones en tierra como para las estaciones oceánicas, si a la reducción isostática
le restamos el valor de la gravedad normal referida al elipsoide de referencia, obtendremos la anomalía
isostática (Heiskanen y Moritz, 1967).
4gI = gI − γQ (2.111)
2.1.4.5. Corrección por el efecto indirecto
Cuando se realiza la eliminación o desplazamientos de masas utilizando las distintas técnicas de reduc-
ción de la gravedad, estas cambian el potencial gravitatorio y por lo tanto alteran el geoide. Este cambio
en el geoide es lo que se llama el efecto indirecto en las reducciones de la gravedad. Esto trae por efecto
que la super�cie calculada a partir de la fórmula de Stokes no determina el geoide, sino una super�cie
27
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
ligeramente diferente llamada cogeoide. Si de�nimos N c como la ondulación del cogeoide, entonces la
ondulación del geoide real N , se obtiene mediante la siguiente fórmula (Heiskanen y Moritz, 1967):
N = N c + δN (2.112)
Teniendo en cuenta que el efecto indirecto sobre N viene dado por (Heiskanen y Moritz, 1967):
δN =δW
γ(2.113)
Donde δW es la variación del potencial del geoide de las masas eliminadas o la diferencia entre este
y el de las masas restituidas. Según la metodología clásica δW se re�ere a la diferencia entre el potencial
de las masas topográ�cas calculadas en el punto P de la super�cie de la Tierra, menos el potencial de
las masas restituidas calculado en P', proyección de P sobre el geoide. El efecto indirecto en el Segundo
Método de Condensación de Helmert viene dado por las fórmulas propuestas por Wichiencharoen (1982),
quedando expresado de la siguiente manera:
NInd = −πGρH2P
γP− Gρ
6γP
∫ ∫σ
H3 −H3P
d3dσ +
3
40
Gρ
γP
∫ ∫σ
H5 −H5P
d5dσ (2.114)
Donde G es la constante de gravitación de Newton, ρ es el valor promedio de la densidad de la Tierra,
γP es la gravedad normal en el punto P , HP es la altura del punto denominado como P , H es la altura
del elemento de masa y d es la distancia entre el punto P y el elemento de masa. Para efectos de este
trabajo solo se consideraron el primer término de la lámina de Bouguer y segundo término del desarrollo
en serie binomial.
2.1.4.6. Corrección a la gravedad por efectos atmosféricos
En adición a las reducciones que se le realizan a la gravedad a efectos de trasladar las medidas realizadas
en la super�cie de la Tierra al geoide, es necesario realizar la corrección de la gravedad por efectos
atmosféricos. El efecto de esta reducción es la remoción de la atmosfera sobre la Tierra condensándola
de forma vertical en el interior del geoide. La Asociación Internacional de Geodesia (IAG, 1971)) publicó
una tabla con valores que permiten realizar la corrección atmosférica de la gravedad δg en función de la
elevación H sobre el nivel del mar. Los valores de δg se le suman al valor de la gravedad medida. Para
efectos de nuestro trabajo, ya que los datos medidos de gravedad no sobrepasan los 875 metros sobre el
nivel del mar, los valores correspondientes de las correcciones atmosféricas de la gravedad se presentan en
la Tabla 2.3 .
Tabla 2.3: Valores de las correcciones atmosféricas a la gravedad δg.H δg
(km) (mGal)
0 0,87
0,5 0,82
1,0 0,77
Mediante interpolación lineal es posible determinar la corrección atmosférica de la gravedad a las
medidas de gravedad realizadas sobre el terreno.
28
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
2.1.5. Modelos geopotenciales globales y regionales
Como hemos mencionado anteriormente, en términos generales el potencial gravitacional V en un
punto P (Eq. 2.14) de�nido por la distancia geocéntrica r, la co-latitud geocéntrica θ y la longitud λ,
puede ser expresado en términos de los armónicos esféricos:
V (r, θ, λ) =GM
r
(1 +
nmax∑n=2
n∑m=0
(ar
)n [Cmn cosmλ+ Smn sinmλ
]P (cos θ)
)(2.115)
Donde GM es la constante gravitacional geocéntrica, a es el factor de escala asociado a los coe�cientes
de los armónicos esféricos fuertemente normalizados Cmn y Smn . También hemos de�nido el potencial de la
gravedad normal U (Eq. 2.35) en términos de armónicos esféricos:
U =GM
r
(1−
∞∑n=1
J2n
(ar
)2n
P2n (cos θ)
)
Por lo tanto, de la misma manera el potencial anómalo T = V −U puede ser expresado en término de
los armónicos esféricos fuertemente normalizados:
T (r, θ, λ) = V − U =GM
r
∞∑n=2
(ar
)n n∑m=0
(Cmn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ) (2.116)
Considerando la Fórmula de Bruns (Eq. 2.72), obtenemos la ondulación del geoide N :
N (r, θ, λ) =GM
rγ
∞∑n=2
(ar
)n n∑m=0
(C ′ mn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ) (2.117)
Dónde el término C ′ mn es la diferencia:
C ′ mn = Cmn − Jmn (2.118)
Dónde:
Jmn = 0 sim 6= 0, o si n es impar (2.119)
Y en la práctica se toma hasta un valor 2n = 12.
A partir de la Eq. 2.82, Ecuación Fundamental de la Geodesia Física, podemos determinar las anomalías
de la gravedad 4g:
4g (r, θ, λ) =GM
r2
∞∑n=2
(n− 1)(ar
)n n∑m=0
(C ′mn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ) (2.120)
Los modelos geopotenciales permiten modelar los efectos del campo gravitacional de la Tierra utilizan-
do estas ecuaciones. Por lo tanto podemos determinar la ondulación del geoideN utilizando la siguiente
ecuación:
NMG =GM
rγ
nmax∑n=2
(ar
)n n∑m=0
(C ′mn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ) (2.121)
29
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Y de la misma manera, podemos determinar las anomalías de la gravedad 4g:
4gMG =GM
r2
nmax∑n=2
(n− 1)(ar
)n n∑m=0
(C ′mn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ) (2.122)
El inconveniente principal que tienen estos modelos es que están limitados en su resolución ya que el
valor de n no puede ser in�nito y este valor es el que determina la resolución del modelo, dada aproxima-
damente por:
Res =20000km
nmax(2.123)
Con el advenimiento del GNSS, se ha incrementado grandemente la necesidad de desarrollar modelos
del geoide regionales o globales altamente precisos. El GNSS nos proporciona altitudes elipsóidicas de
una manera altamente e�ciente y con gran precisión (algunos centímetros). Por lo tanto si disponemos de
modelos que nos proporcionen los valores de la ondulación del geoide con la misma precisión, podremos
calcular altitudes ortométricas precisas que es lo que se requiere en la mayor parte de los trabajos realizados
por las instituciones cartográ�cas y en la ingeniería civil.
En esta sección presentamos una descripción de los distintos modelos geopotenciales globales y regio-
nales disponibles para la región de Puerto Rico. Es importante mencionar que para la región de Puerto
Rico el modelo geopotencial regional vigente es el GEOID12A (Roman y Weston, 2012) Este modelo uti-
liza como referencia el Modelo Geopotencial Global de 2008 (Earth Gravitational Model 2008, EGM2008 )
(Pavlis et al., 2008) combinado con el Geoide Gravimétrico de los Estados Unidos de América de 2012
(United States Gravimetric Geoid 20012, USGG20012 ).
2.1.5.1. EGM96
El modelo geopotencial global más utilizado en los pasados años fue el Modelo Geopotencial Global
de 1996 (Earth Gravitational Model 1996, EGM96 ). (Figura2.11). Este modelo estaba expresado por los
coe�cientes del desarrollo armónico del potencial hasta el grado y orden de 360. El EGM96 (Lemoine et al.,
1998) fue el resultado del trabajo en conjunto de la Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía de los
Estados Unidos de América (National Imagery and Mapping Agency, NIMA), la Administración Nacional
de Aeronáutica y del Espacio (National Aeronautic and Space Administration, NASA) y la Universidad
Estatal de Ohio. La gran ventaja de este proyecto fue que por primera vez se utilizaron conjuntos nuevos
de datos de gravedad de diferentes regiones del mundo para desarrollar un modelo geopotencial global.
Para realizar este modelo se utilizaron datos de vuelos con instrumentos especializados para determinar la
gravedad en aéreas como Groenlandia, el Ártico y el Antártico. También se utilizaron datos gravimétricos
de regiones como África, Canadá, partes de Sur América, el sureste de Asia, el este de Europa y la antigua
Unión Soviética.
El EGM96 también incluyó datos de altimetría derivados del satélite geodésico de la Armada de los
Estados Unidos de América, GEOSAT, de estudios del Centro Nacional del Catastro y Topografía de
Dinamarca (National Survey and Cadastre of Demark) realizados por Andersen et al. (1996), Forsberg
(1987) y de los trabajos de Schoene (1996) sobre el Weddell Sea. En principio este modelo geopotencial
fue diseñado para computar ondulaciones del geoide teóricamente con una precisión aproximada de un
metro, con excepción de aquellas aéreas donde había poca densidad de datos gravimétricos. Todo ésto
utilizando el Sistema Geodésico Mundial de 1984 (World Geodetic System 1984, WGS 84 ) (Decker, 1986)
como el elipsoide de referencia.
30
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Este modelo tiene una resolución de 55,5 km y una precisión, que aunque depende mucho de la zona
geográ�ca podemos establecer aproximadamente del orden de los 50 cm.
Figura 2.11: EGM96. Fuente: J. Frawley (NASA GSFC)
2.1.5.2. EGM2008
La Agencia Nacional de Inteligencia-Geoespacial (National Geospatial-Inteligence Agency, NGA) antes
NIMA, reveló o�cialmente el modelo global más reciente y preciso del campo gravitacional de la Tierra:
el Modelo Geopotencial de la Tierra del 2008, EGM2008 (Pavlis et al., 2008). Este nuevo modelo geo-
potencial global no sólo describe el campo de la gravedad para el planeta entero, sino que su resolución
y precisión se aproximan a la precisión y resolución de los modelos regionales. De la misma manera que
el WGS84 sustituyó los marcos de referencias locales y regionales (dátum) proporcionando uniformidad
y una consistencia muy necesaria entre los usuarios del Departamento de Defensa, el EGM2008 permite
mejorar la precisión en la obtención de altitudes ortométricas mediante un modelo global. (Figura 2.12)
El EGM2008 es un modelo en armónicos esféricos del potencial gravitacional, desarrollado por la
combinación mínimo cuadrático del modelo gravitacional obtenido de la misión satelital ITC-GRACE03S
(Tapley et al., 2007), que proporciona las longitudes de onda larga y las anomalías de�nidas en una
malla equiangular de 5' de arco, obtenida a partir de datos terrestres, derivados de misiones satelitales
altimétricas sobre los océanos y campañas gravimétrica aerotransportadas. El EGM2008 es completo hasta
el grado y orden 2159 y tiene coe�cientes adicionales hasta el grado 2190 y orden 2159. Su resolución es
aproximadamente de 10 km y la precisión de la ondulación del geoide derivado de este modelo es de unos
10 cm en las zonas que han contribuido con datos abundantes, de calidad y con orografías no especialmente
complicadas a valores mucho más altos en otras zonas.
31
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.12: EGM2008. Fuente: U.S. National Geospatial-Intelligence Agency (NGA)
A partir de un modelo geopotencial pueden derivarse diferentes magnitudes geodésicas, entre ellas la
anomalía de altitud:
ξ (r, θ, λ) = N0 +GM
rγ
[L∑n=2
(ar
)n n∑m=0
(δCmn cosmλ+ δSmn sinmλ
)Pmn (cos θ)
](2.124)
Donde (r, θ, λ) son la distancia al centro de la Tierra, el complemento de latitud geocéntrica y la longitud,
a es un factor de escala asociado al valor de los coe�cientes, GM la constante gravitacional geocéntrica,
Pmn las funciones asociadas de Legendre de primera clase, de grado n y orden m, γ el valor medio de la
gravedad normal, (Cmn Smn ) las constantes de Stokes o coe�cientes del desarrollo armónico del potencial,
δCmn la diferencia entre los coe�cientes del potencial gravitacional terrestre y sus correspondiente del
campo de gravedad normal (solo de grado par y orden cero) y N0 una constante que depende de las
diferencia de masa y potencial del elipsoide de referencia y la Tierra. El valor de esta constante para este
modelo es N0 = −0, 403 cm. Para convertir las anomalías de altitud calculada a partir de la expresión
anterior en ondulación del geoide es necesario añadir la diferencia N − ξ,
N − ξ =4gBγ
H (2.125)
Esta magnitud puede calcularse a partir de los coe�cientes de su desarrollo en armónicos esféricos que
proporcionan también los desarrolladores del modelo hasta un grado y orden de 2160.
Recientemente, la comunidad cientí�ca ha mostrado un gran interés en la realización de estudios que
permitan evaluar y validar el modelo geopotencial global EGM2008 en diferentes partes del mundo. En los
estudios de Kotsakis et al. (2010) en Grecia, se encontró que al momento de determinar las ondulaciones del
geoide combinando datos obtenidos con el Sistema Global de Navegación por Satélite (Global Navigation
32
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Satellite System, GNSS ) y nivelación con los modelos geopotenciales, el EGM2008 presentó una notable
mejoría (sobre el 50%) en comparación con los resultados obtenidos utilizando los modelos geopotenciales
anteriores. De la misma manera, Jekeli et al. (2009a) en Corea del Sur encontró que al determinar las
ondulaciones del geoide utilizando datos de GNSS y nivelación combinados con el EGM2008, él mismo
mostró una desviación estándar de 18,5 cm, mientras que los resultados con el EGM96 mostraron una
desviación estándar de 27,4 cm. Los trabajos de Bursa et al. (2009) demuestran que a nivel global, el
modelo EGM2008 presenta una disminución de un 33,9% en su desviación estándar al momento de
compararla con la desviación estándar de su modelo predecesor, el EGM96. También se ha encontrado
que al comparar la precisión del EGM2008 con los modelos geopotenciales regionales, los resultados han
sido similares. Es el caso de los trabajos de Huang y Veronneau (2009) en Canadá, donde se encontró que
al combinar el EGM2008 con datos de GNSS y nivelación, su precisión era comparable con la del Modelo
Gravimétrico del Geoide de Canadá del 2005 (Canadian Gravimetric Geoid 2005, CGG05 ) (Huang y
Veronneau, 2005). Aunque este modelo geopotencial global todavía está limitado por errores de comisión
y omisión, se ha demostrado que el mismo es superior a los modelos anteriores, como el EGM96 en su
precisión y la resolución.
2.1.5.3. GEOID03
El Servicio Geodésico Nacional de los Estados Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS )
ha estado desarrollando modelos del geoide por los últimos 20 años. El GEOID90 (Milbert, 1991) y el
GEOID93 (Milbert y Schultz, 1993) fueron los primeros modelos con los que se intentó representar un
modelo del geoide para la región norteamericana. Para desarrollar ambos modelos se utilizaron únicamente
datos de gravedad y del terreno y no se intentó hacer una conversión entre los dátum o�ciales de Estados
Unidos de América, el Dátum de Norte América de 1983 (North American Datum of 1983, NAD 83 )
(Schwarz y Wade, 1990) y el Dátum Vertical el Norte América de 1988 (North American Vertical Datum
of 1988, NAVD88 ) (Zilkoski et al., 1992).
El desarrollo de estos modelos del geoide fue en paralelo con el desarrollo y mejoras realizadas al NAD83
y NAVD88. El NAD83 en sus orígenes fue desarrollado utilizando solamente coordenadas horizontales de
estaciones pasivas, es decir estaciones que habían sido establecidas con anterioridad. Con el advenimiento
del GNSS a mitad de los años 90, el NGS comenzó a realizar campañas para densi�car las estaciones con
observaciones de GNSS con el �n de establecer una Red de Referencia de Alta Precisión (High Accuracy
Reference Networks, HARN's) dando prioridad a las estaciones que se utilizaron para de�nir el NAD83
y el NAVD88.
EL NGS continuó en sus esfuerzos por mejorar los modelos del geoide existentes hasta que �nalmente
el GEOID96 (Smith y Milbert, 1999) fue publicado como el primer modelo del geoide híbrido. Esto es
combinando datos del geoide gravimétrico con altitudes elipsóidicas derivadas del GNSS referenciadas
al sistema de referencia NAD83. Posteriormente fue publicado el GEOID99 (Smith y Roman, 2001) el
cual incluyó los ajustes que se le habían realizado al NAD83 debido a la incorporación de las estaciones
permanentes de GNSS. Tras haber desarrollado estos modelos y gracias a que comenzaron a publicarse
los primeros datos de la misión satelital del Experimento de Clima y Recuperación Gravitacional (Gravity
Recovery and Climate Experiment, GRACE ) (Tapley et al., 2005)se hizo posible la incorporación de una
mayor cantidad de datos de gravedad a los próximos modelos a desarrollar.
El GEOID03 (Roman et al., 2004) es un modelo híbrido del geoide que combinó información gravimé-
trica del Geoide Gravimétrico de los Estados Unidos de América del 2003 (United States Gravimetric Geoid
33
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
of 2003, USGG2003 ) este referenciado al EGM96, con altitudes elipsóidicas obtenidas utilizando GNSS
referenciado al NAD83 y altitudes ortométricas referenciadas al NAVD88. (Figura 2.13) Como hemos
visto, este modelo fue un re�namiento de sus predecesores GEOID90, GEOID93, GEOID96 y GEOID99.
Las ondulaciones del geoide en el GEOID03 varían desde -50,01 metros en las costas del Océano Atlántico
hasta 3,43 metros en la zona de las Montañas Rocosas.
Figura 2.13: GEOID03. Fuente: National Geodetic Survey (NGS)
El modelo USGG2003, el cual se utilizó como referencia para desarrollar el GEOID03, es un modelo
puramente gravimétrico y cubre los Estados Unidos de América. Los datos que se utilizaron para desarro-
llar este modelo fueron los siguientes: 2,6 millones de medidas gravimétricas, datos de elevación digital con
una resolución de 30 segundos de arco, un modelo digital del terreno con una resolución de un segundo
de arco y el modelo geopotencial de la Tierra EGM96.
Los valores de la ondulación del geoide utilizando el modelo GEOID03 presentaron una mejora de un
50% cuando se compararon con los resultados obtenidos con su modelo predecesor, el GEOID99. En un
principio este modelo solamente estaba disponible para los 48 estados continentales de los Estados Unidos
de América. Ya que este modelo era un geoide híbrido, solamente se consideraron en un principio los datos
GNSS de las estaciones permanentes que estaban ubicadas en los 48 estados antes mencionados. Esto dio
como resultado una mejoría signi�cativa en la calidad de los resultados encontrados en esas regiones.
Después de realizar varias campañas de observaciones con GNSS y utilizar los datos de estaciones de
GNSS de operación continua, se incluyeron los estados de Alaska y Hawái y los territorios no incorporados
como Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses.
34
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
2.1.5.4. GEOID09
El modelo híbrido del GEOID09 (Roman et al., 2009) es una actualización del GEOID03 y al igual
que sus modelos predecesores combina información gravimétrica del Geoide Gravimétrico de los Estados
Unidos de América de 2009 (United States Gravimetric Geoid 2009, USGG2009 ) pero esta vez referenciado
al EGM2008. (Figura 2.14)
El USGG2009 (Roman et al., 2010b) se basa en una cuadrícula de gravedad de 1´x1´ derivada de
la base de datos de gravedad super�cial del NGS, de las anomalías derivadas de la altimetría del Centro
Nacional Danés de Datos Espaciales de 2008 (Danish National Space Center 2008 data set, DNSC08 )
(Andersen et al., 2010), del modelo digital de elevación del terreno de 3 segundos de arco de resolución
de la Misión Topográ�ca de Radar a Bordo del Transbordador (Shuttle Radar Topography Mision � 3 arc
seconds resolution, SRTM- 3 ) (Farr et al., 2007) para la reducción topográ�ca y del EGM2008 como un
modelo de referencia.
Figura 2.14: GEOID09. Fuente: National Geodetic Survey (NGS)
Como hemos mencionado anteriormente, el NGS ha estado desarrollando modelos del geoide para los
Estados Unidos de América durante casi dos décadas, pero los modelos anteriores se computaron mediante
la combinación de las anomalías de Faye (anomalías de la gravedad corregidas en la super�cie del terreno)
con modelos geopotenciales globales. La técnica utilizada fue la de sustitución-restitución. El grado más
alto de los últimos modelos geopotenciales desarrollados por el NGS nunca había superado el grado y
orden de 360. Las grandes longitudes de onda obtenidas mediante satélites contenidos en los modelos
anteriores estaban muy lejos de ser perfectas.
La misión satelital del Experimento de Clima y Recuperación Gravitacional (Gravity Recovery and
Climate Experiment, GRACE ) (Tapley et al., 2005) cambió todo esto, dando lugar a los modelos geo-
potenciales globales modernos como el EGM2008. Este modelo fue desarrollado gracias a la combinación
de los coe�cientes de menor grado altamente precisos del modelo geopotencial basado en GRACE, las
anomalías de gravedad derivadas de altimetría y de los modelos digitales de elevación de alta resolución.
35
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
2.1.5.5. GEOID12A
El modelo híbrido del geoide recientemente desarrollado por el NGS es el GEOID12A (Roman y
Weston, 2012). Este modelo remplaza al GEOID09 y sus diferencias provienen básicamente del geoide
gravimétrico utilizado como referencia y de los conjuntos de datos de control disponibles al momento de
generar los modelos. A diferencia del GEOID09, el GEOID12A utiliza como referencia el USGG2012.
Ambos modelos, el USGG2009 y USGG2012 utilizaron como referencia el EGM2008, sin embargo para
desarrollar el USGG2012 se utilizaron datos de la Agencia Espacial Europea (European, Space Agency,
ESA) de la campaña de Combinación de Gravedad Observada 02S (Gravity Observation Combination
02S, GOCO02S ) (Goiginger et al., 2011). Esta señal fue incorporada junto con los datos residuales de
un modelo digital del terreno con una resolución entre 3 y 5 segundos de arco. Algo que no sucedió
con el USGG2009. Por lo tanto el USGG2012 tiene incorporado un modelo del terreno mejor y más
consistente lo cual afecta las cortas longitudes de onda del campo gravitatorio de la Tierra. Dadas todas
estas condiciones, las expectativas generales son que el USGG2012 sea signi�cativamente mucho más
preciso que el USGG2009. (Figura 2.15)
Figura 2.15: GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS)
El contar con un modelo gravimétrico más preciso es muy importante ya que el geoide gravimétrico
determina la mayor parte de las características de un geoide híbrido. Las altitudes elipsóidicas obtenidas
en estaciones permanentes niveladas con GNSS nos muestran la separación existente entre el NAD83
y el NAVD88 en un punto discreto. Estas diferencias pueden ser utilizadas para generar una super�cie
de conversión que se solape efectivamente sobre el geoide gravimétrico en estas estaciones permanentes
niveladas con GNSS. El resultado es un modelo híbrido del geoide que se ajusta en estos puntos discretos
y a la vez mantiene las características de las cortas longitudes de onda determinadas por el modelo
gravimétrico del geoide en las estaciones permanentes niveladas con GNSS.
36
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Otra de las diferencias sustanciales que tiene el USGG2012 con el USGG2009 es que desde 2009 el
NGS ha estado realizando ajustes a los dátum nacionales existentes, el NAD83 y el NAVD88. El Ajuste
Nacional de 2011 (National Adjustment of 2011 ) (Dennis, 2011) afectó signi�cativamente los valores
de las altitudes elipsóidicas en toda la nación norteamericana. Dado que las estaciones permanentes
niveladas utilizando GNSS son determinadas considerando las diferencias entre las altitudes elipsóidicas
referenciadas al NAD83 y las altitudes ortométricas referenciadas al NAVD88, algún cambio en una de
estas altitudes afectará a los puntos de control que se utilizan para referenciar el geoide híbrido. Esto
claramente indica que si el GEOID09 fue desarrollado con los datos existentes en el 2009, los resultados
que se obtengan usando este modelo no considerarán los ajustes realizados recientemente por el NGS. La
recomendación que presenta el NGS es que si los datos disponibles son anteriores al 2009, se debe utilizar
el GEOID09, de lo contrario se debe usar el GEOID12A el cual se ajusta mejor a la posición real ya que
contiene los últimos ajustes realizados a los dátum existentes.
2.1.6. Segundo Método de Condensación de Helmert
Como hemos mencionado, el geoide en las aéreas continentales se comporta como una prolongación de
la super�cie del mar. Por otro lado, las medidas de gravedad no se realizan sobre el geoide sino sobre la
super�cie terrestre. Para satisfacer las condiciones de contorno, las anomalías de la gravedad tienen que
ser reducidas a nivel del geoide. Evidentemente la presencia de la topografía viola la condición de que las
funciones tienen que ser armónicas para poder realizar las reducciones de la gravedad. Para resolver esta
situación, una alternativa es aplicar el segundo método de condensación de Helmert. Básicamente este
método lo que hace es condensar todas las masas en una capa sobre el geoide, creando entonces una nueva
distribución de masas. De�niendo así lo que se conoce como el espacio de Helmert.
El espacio de Helmert di�ere del espacio real. El potencial gravitatorio de Helmert WHelm se puede
de�nir de la siguiente manera (Ellmann y Vanicek, 2007):
WHelm = W − δV T − δV a (2.126)
Donde el superíndice Helm indica que estamos en el espacio de Helmert. El término δV T representa
el residual del potencial de la topografía, de�nido como la diferencia entre el potencial de las masas
topográ�cas V t y el potencial de la capa condensada V ct (Heck, 2003):
δV T = V t − V ct (2.127)
De la misma manera el término δV a representa el residual del potencial atmosférico, de�nido como la
diferencia entre el potencial de las masas atmosféricas V a y el potencial de la capa atmosférica condensada
V ca (Heck, 2003):
δV a = V a − V ca (2.128)
Como hemos mencionado en la Sección 2.1.3, el potencial anómalo puede ser representado como la
diferencia el potencial de la gravedad real de la TierraW y el potencial de la gravedad normal U generado
por un elipsoide geocéntrico de referencia (Moritz, 2000). En el espacio de Helmert el potencial anómalo
THelm puede ser expresado entonces de la siguiente manera (Ellmann y Vanicek, 2007):
THelm = WHelm − U = T − δV T − δV a (2.129)
37
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Y dado que la condición de que la densidad de las masas sobre el geoide es igual a cero, se cumple
entonces la ecuación de Laplace (Vanicek y Martinec, 1994):
4THelm = 0 (2.130)
El efecto gravitatorio de la eliminación de las masas topográ�cas y su condensación sobre la super�cie
del geoide generan las anomalías de Faye. Efectivamente, dado que las anomalias reducidas viene dadas
por la expresion:
4g = gP + F − γQ −AB + CT +AC (2.131)
Dónde el término gP es la gravedad medida en el punto P, el término F es la reducción aire libre, γQes la gravedad normal sobre el elipsoide, AB es el efecto gravitacional de la lámina de Bouguer, CT es la
corrección topográ�ca y AC es la atraccion gravitacional de las masas condensadas sobre el geoide. En el
caso del Segundo Método de Condensación de Helmert, donde podemos decir que AC ∼= 2πGρH = −AB(Wang y Rapp, 1990), con lo cual las anomalías reducidas quedarían expresadas como:
4gFaye = gP + F − γ + CT = ∆gAL + CT (2.132)
Denominadas como las anomalías de Faye.
2.1.7. Técnica de Sustitución - Restitución
En términos generales, el campo gravitacional terrestre puede dividirse en tres componentes principales;
el espectro que abarca las largas longitudes de onda obtenidas mediante las observaciones con satélites,
el espectro de las medianas longitudes de onda obtenidas por las medidas realizadas sobre el terreno y
el espectro de las cortas longitudes de onda que están directamente relacionadas con la topografía del
terreno. En la técnica de Sustitución � Restitución, propuesta por Rapp y Rummel (1975), lo que interesa
es combinar los modelos geopotenciales globales desarrollados a partir de las observaciones con satélites
y datos medidos en el terreno, con los datos de gravedad existentes y la topografía del terreno para
determinar un modelo del geoide regional óptimo.
La técnica de sustitución � restitución a grandes rasgos se puede resumir en ocho pasos principales:
1. Esta técnica requiere que las medidas de gravedad realizadas sobre el terreno gP sean reducidas al
nivel del geoide. Primeramente se procede a realizarle la reducción por efectos atmosféricos δg a las
medidas de gravedad de P. Luego procedemos a aplicar la reducción aire libre (Eq. 2.91) la cual
esta expresada como ∂γ∂hHP = 0, 3086HP y �nalmente restamos el valor de la gravedad normal sobre
el elipsoide γQ. Obtenemos entonces las anomalías aire libre (Eq. 2.92), 4gAL , que al incluir la
reducción por efectos atmosféricos, las podemos expresar de la siguiente manera:
4gAL = gP + δg + 0, 3086HP − γQ (2.133)
2. Si a las anomalías aire libre le sumamos el efecto de corrección por topografía del terreno CT ,
aplicando la Eq. 2.132 obtenemos las anomalías de Faye, 4gFaye :
4gFaye = 4gAL + CT (2.134)
38
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
3. Para poder obtener unos valores de anomalías más suaves, es necesario restarle a los valores de las
anomalías calculadas, ya con todas sus reducciones, las anomalías aire libre obtenidas a partir de un
modelo geopotencial. Esta operación elimina el efecto que producen las largas longitudes de onda
en las anomalías de la gravedad. Como hemos mencionado las largas longitudes de onda se obtienen
mediante las observaciones con satélite añadiéndole la contribución de más cortas longitudes de onda
obtenidas a partir de las anomalías gravimétricas obtenidas de las bases de datos mundiales que son
heterogéneas y de precisiones muy diversas. Podemos predecir los valores de las anomalías aire libre
a partir de un modelo geopotencial aplicando la Eq. 2.122:
4gMG =GM
r2
nmax∑n=2
(n− 1)(ar
)n n∑m=0
(C ′mn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ)
4. Si a las anomalías de Faye le restamos las anomalías aire libre del modelo geopotencial, obtenemos
las anomalías residuales, 4gRes:
4gRes = 4gFaye −4gMG (2.135)
5. Aplicando la integral de Stokes (Eq. 2.89), podemos determinar la ondulación del geoide residual,
NRes (Heiskanen y Moritz, 1967):
NRes =R
4πG
∫ ∫σ
4g S (ψ) dσ (2.136)
6. Si aplicamos la Eq. 2.121 , podemos predecir la ondulación del geoide utilizando un modelo geopo-
tencial, NMG:
NMG =GM
rγ
nmax∑n=2
(ar
)n n∑m=0
(C ′mn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ)
7. Para completar el método de sustitución � restitución, es necesario considerar el efecto indirecto
(Eq. 2.114), que es consecuencia de la redistribución de masas causado por la eliminación o des-
plazamientos que conllevan las reducciones de gravedad que cambian el potencial graví�co y por
consiguiente el geoide (Heiskanen y Moritz, 1967). En el caso del Segundo Método de Condensación
de Helmert se utiliza la Eq. 2.114 propuesta por Wichiencharoen (1982).
NInd = −πGρH2P
γP− Gρ
6γP
∫ ∫σ
H3 −H3P
d3dσ +
3
40
Gρ
γP
∫ ∫σ
H5 −H5P
d5dσ
8. Finalmente si sumamos todos los términos podemos determinar el geoide gravimétrico, N :
N = NRes +NMG +NInd (2.137)
En caso de que la masa del elipsoide de referencia y el potencial sean diferentes a la masa y potencial del
geoide, entonces sería necesario aplicar el término de grado cero, N0 (Heiskanen y Moritz, 1967):
N0 =GδM
Rγ− δW
γ(2.138)
39
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Como podemos observar, en la técnica de sustitución � restitución lo que interesa hacer es eliminar el
efecto de las largas longitudes de onda de los valores de las anomalías de la gravedad, suavizar las mismas
para poder realizar los cómputos necesarios y �nalmente restablecer el efecto de las largas longitudes de
onda incluyendo el valor predicho de la ondulación del geoide obtenida a partir de un modelo geopotencial.
2.2. Determinación geométrica del geoide
2.2.1. Sistemas de Altitudes
La altitudes pueden clasi�carse en dinámicas, ortométricas y normales. Actualmente, con la llegada
del GNSS, hemos de considerar también las altitudes elipsóidicas, es decir la distancia de un punto en
la super�cie al elipsoide a lo largo de la normal a éste. Las altitudes dinámicas de�nen una super�cie
equipotencial del campo gravitatorio terrestre, de ahí su nombre, que proviene de su naturaleza física.
Las altitudes ortométricas se atienen al concepto geométrico de la altitud, es decir la distancia medida
a una super�cie de referencia. Para su determinación es imprescindible conocer el valor medio de la
gravedad a lo largo de la línea de la plomada, la cual no podemos obtener de una manera empírica,
por lo que se requiere necesariamente de un modelo. El tipo de modelo y los valores asociados al mismo
de�nen los diferentes sistemas de altitudes ortométricas: Helmert, Niethammer, Mader, Rasmayer, etc.
Esa imprescindible dependencia de un modelo de las altitudes ortométricas es lo que llevó a Molodensky
et al. (1962) a proponer un sistema de altitudes normales, caracterizadas esencialmente por no necesitar
de hipótesis en su de�nición. El problema fundamental de estas altitudes es que no se re�eren al geoide,
sino a una super�cie (no equipotencial) denominada cuasi geoide (también determinable sin hipótesis).
En este capítulo discutiremos los diferentes tipos de altitudes, los dátum verticales globales y locales y
terminaremos el mismo con el desarrollo de la metodología y una aplicación práctica para determinar las
altitudes ortométricas Helmert (1890) a lo largo de una línea de nivelación de vertical de alta precisión.
2.2.1.1. Número geopotencial
Las coordenadas geográ�cas, latitud y longitud, constituyen dos de las tres coordenadas espaciales de
un punto en el terreno conocido como P . Como tercera coordenada podemos tomar la altura ortométrica
del punto P o su potencial gravitatorio WP . Si de�nimos que el geoide es una super�cie equipotencial
cuyo valor Wo es contante, entonces se de�ne el número geopotencial como la diferencia entre el potencial
del geoide y el potencial en el punto de la super�cie P :∫ P
0
gdn = Wo −WP = CP (2.139)
Como diferencia de potencial, el número geopotencial CP es independiente del itinerario de nivelación
particular utilizado para relacionar el punto con el nivel del mar. Es el mismo para todos los puntos de
una super�cie de nivel; por lo tanto, puede considerarse como una medida natural de la altitud, aunque no
tenga dimensiones de longitud. El número geopotencial CP se mide en unidades geopotenciales (u.g.p.),
donde:
1u.g.p. = 1 kGal ∗metro = 1 000Gal ∗metro = 10m2s−2
40
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Como el valor de la gravedad (g) se aproxima a 0,98 kGal, entonces podemos decir que:
CP = g ∗H ∼= 0, 98H
De manera que los números geopotenciales en u.g.p. son casi iguales a las altitudes sobre el nivel del
mar en metros (Heiskanen y Moritz, 1967).
2.2.1.2. Altitudes dinámicas
Antes que la Asociación Internacional de Geodesia adoptara los números geopotenciales en 1955, unas
de las altitudes más utilizadas para algunas tareas especí�cas eran las altitudes dinámicas. Estas altitudes
se obtienen dividiendo el número geopotencial por un valor contante de la gravedad. Esta constante suele
ser la gravedad normal ( γo ) a una latitud estándar arbitraria, ordinariamente 45o. La altitud dinámica
matemáticamente se de�ne entonces como:
HDin =CPγo
(2.140)
Donde γ45o = 980,6199202 Gal para el elipsoide internacional GRS80 (Moritz, 2000). Las altitudes
dinámicas son muy simples de calcular, siempre y cuando se conozca el valor del número geopotencial. Pero
las altitudes dinámicas no tienen ningún signi�cado geométrico, ya que lo único que hacen, al dividir por
un valor de gravedad normal, es un cambio de escala y convertir el número geopotencial en una longitud
(Heiskanen y Moritz, 1967).
2.2.1.3. Altitudes elipsoidales
Haciendo referencia a la Figura 2.16 cuando establecemos la posición de un punto P por medio de
sus coordenadas ϕ, λ y H en la super�cie de la Tierra, podemos proyectarlo sobre el geoide. La distancia
H desde el punto P hasta el punto P0 sobre el geoide medida a lo largo de la línea de la plomada es
lo que conocemos como altitud ortométrica. Aunque este tipo de proyección es enteramente natural, el
geoide no es adecuado para realizar cálculos matemáticos. Es por esta razón que el punto P0 se proyecta
entonces sobre el elipsoide de referencia, según la recta normal elipsóidica, obteniendo así un punto Q0,
sobre el elipsoide. De esta manera el punto P en el terreno y el correspondiente Q0 sobre el elipsoide están
conectados por una doble proyección, es decir por dos proyecciones que se realizan una después de la otra
y que son totalmente análogas, la altitud ortométrica, H = PP0 y la ondulación de geoide, N = P0Q0.
Es mucho más simple proyectar el punto P desde la super�cie física de la Tierra directamente sobre el
elipsoide, según la recta normal elipsóidica, obteniendo así el punto Q. La distancia PQ = h es la altitud
geométrica sobre el elipsoide o altitud elipsóidica. Entonces el punto en el terreno P quedaría determinado
por h y las coordenadas geográ�cas ϕ, λ de Q sobre el elipsoide (Heiskanen y Moritz, 1967).
El elipsoide de revolución es una super�cie matemática que se aproxima muy bien a la super�cie de
la Tierra. Esta super�cie es la que genera una elipse cuando rota sobre su eje menor. El elipsoide es una
super�cie matemática conveniente la cual ha sido subdividida en latitud y longitud para formar un sistema
de coordenadas. Las distancias y el acimut pueden ser determinados utilizando esta super�cie con alta
precisión.
Hay que tener muy claro que existen elipsoides locales (no geocéntricos) y los elipsoides globales
(geocéntricos). En un principio se utilizaban los elipsoides locales por que el centro de masa de la Tierra
41
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.16: Sistemas de Altitudes.
no era accesible. Se determinaban de forma que se aproximaran a una región especí�ca de la super�cie.
Para dar un ejemplo, en el área continental de los Estados Unidos de América, el elipsoide que se utilizaba
era el de Clarke, que formaba parte del Dátum de América del Norte del 1927 (North American Datum
1927, NAD-27 ). El centro de un elipsoide local generalmente no coincide con el centro de masas de la
Tierra, usualmente esta desplazado alrededor de 100 metros respecto a este.
Los sistemas geodésicos de referencia modernos (ETRS89, ITRF ), utilizan como referencia un elipsoide
global centrado en el centro de masas de la Tierra, el GRS80. Las super�cies de estos elipsoides se
aproximan a la del geoide de tal forma que la diferencia entre ellos no llega a ser nunca mayor de 100
metros.
2.2.1.4. Altitudes ortométricas
La referencia para las altitudes ortométricas en cada país o región es el nivel medio del mar realizado
por un mareógrafo, asociado a una estación de referencia que constituye el dátum vertical. La super�cie
correspondiente al nivel medio del mar (super�cie donde el potencialW0 es contante), fue propuesta como
referencia para las altitudes por C.F. Gauss en 1828, quien en un principio la llamó �gura matemática de
la Tierra. Posteriormente J.F. Listing en el 1873 le llamo geoide. Esta de�nición ha resultado ser altamente
adecuada y hoy en día el geoide es la super�cie fundamental de la geodesia física. En la Figura 2.17 se
presenta la altitud ortométrica de un punto P como la distancia geométrica de ese punto al geoide, medido
a lo largo de la línea de la plomada (curva). Su signi�cado es puramente geométrico. Como establecen
42
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Heiskanen y Moritz (1967) podemos expresar la altura ortométrica de la siguiente manera:
HOrt =CPg
(2.141)
Donde CP es el valor del número geopotencial en P calculado a partir de los valores de gravedad
medidos a lo largo de la línea de nivelación y de los desniveles mediante la expresión:
4Ci,i+1 =gi + gi+1
24ni,i+1 (2.142)
Y g es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada:
g =1
HOrt
∫ HOrt
0
g(z)dz (2.143)
Figura 2.17: Altitudes Ortométricas.
2.2.1.5. Altitudes ortométricas Helmert
Para determinar la altitud ortométrica, es necesario saber con exactitud el valor medio de la gravedad
a lo largo de la línea de la plomada. Ya que esta medida es imposible de realizar, lo que se procede a hacer
es estimar su valor a partir de la gravedad observada en la super�cie de la Tierra. Para ello es necesario
utilizar ciertas aproximaciones como lo son las reducciones de la gravedad de Poincaré y Prey, también
conocida como reducción de Prey.
Esta reducción ya simpli�cada conduce a la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):
g(z) = g + 0, 0848 (H − z) (2.144)
43
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno. Introduciendo esta expresión en la ecuación
que de�ne el valor medio de la gravedad se llega inmediatamente a:
g = g + 0, 0424H (2.145)
Este valor de 0, 0424 se obtiene asumiendo una densidad ρ = 2, 67 gcm3 para la corteza terrestre y
que entre el punto de profundidad z y el punto P existe una placa plana e in�nita de espesor H. Esta
aproximación nos da un valor cercano al valor medio de la gravedad que se mediría en la parte superior
de la corteza terrestre, si esto fuera posible.
Las llamadas altitudes ortométricas Helmert (1890) se calculan entonces mediante la siguiente fórmula:
HHelm =CP
g + 0, 0424HHelm(2.146)
Donde sí CP se mide en unidades geopotenciales (u.g.p.) y g en Gal, H resultará en kilómetros
(Heiskanen y Moritz, 1967).
2.2.1.6. Altitudes normales
El campo gravitacional normal se de�ne como el campo gravitacional de un elipsoide normal que
contiene las masas totales de la Tierra (incluyendo su atmósfera) el cual rota a una velocidad angular
constante igual a la de la Tierra (Moritz, 2000), cuyo semieje mayor es igual al radio medio de la Tierra en
el ecuador y cuyo aplanamiento es consistente con el valor de la constante geodinámica terrestre C02 . Las
altitudes normales no necesitan considerar la hipótesis de la densidad de la corteza terrestre. La altitud
normal fue propuesta por Molodensky(1962). Esta reemplaza la gravedad media por la gravedad normal
medida a lo largo de una curva perpendicular a las super�cies equipotenciales del elipsoide normal:
HNorm =CPγ
(2.147)
Siendo:
γ =1
HNorm
∫ HNorm
0
γ(h)dh (2.148)
Al desarrollar esta expresión podemos obtener la HNorm como:
HNorm =CPγ
[1 +
(1 + α+m′ − 2αsen2Φ
) CPaγ
+
(CPaγ
)2]
(2.149)
Donde α es el aplanamiento del elipsoide (Eq. 2.31), m′ = ω2a2bGM (Eq. 2.34) y a es el semieje mayor
del elipsoide. La gravedad normal γ sobre el elipsoide para la latitud Φ, puede ser obtenida a partir de la
fórmula de la gravedad normal convencional (Eq 2.52) :
γ = γe(1 + βsen2Φ + β1sen
22Φ)
Donde γe es la gravedad normal en el ecuador, β es el aplanamiento gravimétrico (Eq. 2.53) y β1 es
un parámetro del elipsoide de referencia (Eq.2.54). (Heiskanen y Moritz, 1967) También puede obtenerse
utilizando la Eq. 2.51 la cual es más precisa.
44
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Para determinar la altitud normal debemos considerar un punto P sobre la super�cie de la Tierra.
Aunque se puede decir que este punto tiene un potencial WP , también va a tener cierto potencial UP ,
pero en términos generales no se puede considerar que WP sea igual a UP . No obstante, podemos decir
que existe un punto Q sobre la línea de la plomada de P tal que UQ es igual a WP , es decir el potencial
normal U en Q es igual al potencial real W en P. La altitud normal del punto P se de�ne como la altitud
geométrica que existe entre el punto Q y el elipsoide. (Heiskanen y Moritz, 1967) Esta super�cie que pasa
por el punto Q es la que Molodensky de�nió como el teluroide. Finalmente podemos decir que la distancia
existente entre el punto P y el punto Q, es conocida como la anomalía de la altura ζ . (Figura 2.18)
Figura 2.18: Altitudes Normales.
Podemos relacionar la anomalía de la altura ζ con la altura elipsóidica h de la siguiente manera:
ζ = h−HNorm (2.150)
Las altitudes normales son fáciles de calcular y no requieren que se conozca la densidad de la masa
interna de la Tierra, esto en virtud de la teoría de Molodensky. La diferencia entre las altitudes normales
y las altitudes ortométricas aumenta con el incremento en elevación. En los estudios de Marti (2002) se
demostró que las diferencias entre las altitudes normales y las altitudes ortométricas Helmert en los Alpes
Suizos, que son generalmente entre 2 cm, pueden exceder los 10 cm a más de 3000 metros de altura.
45
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
2.2.2. Dátum Verticales
Para determinar un dátum vertical, primero es necesario seleccionar el tipo de sistema de altitudes
que se utilizará y una super�cie de referencia compatible. Una vez que esto ha sido determinado y las
observaciones de las diferencias de altitudes han sido corregidas por errores sistemáticos que pudieran
afectar las observaciones, es posible determinar un dátum vertical. Para esto sería necesario realizar un
ajuste de mínimos cuadrados de las medidas de diferencia de altitud corregidas que minimice así el impacto
que los errores aleatorios pudieran tener en los cierres de las nivelaciones.
Sería ideal que al realizar este tipo de ajustes, se hicieran considerando los números geopotenciales,
pero esto no siempre es posible debido a la poca disponibilidad de observaciones gravimétricas. Además
es muy importante que cuando consideramos un ajuste de altitudes de múltiples puntos, todos estén
referenciados a la misma super�cie equipotencial.
Un sistema de altitudes depende de los datos que estén disponibles el momento de de�nirse el dátum. Si
al momento de de�nir un dátum no existen observaciones gravimétricas, entonces solamente las altitudes
elipsóidicas podrían ser determinadas. La elección de una super�cie de referencia es la guía al determinar
el sistema de altitudes. Por ejemplo, las altitudes ortométricas usan como referencia el geoide, las altitudes
normales el teluroide o el cuasi geoide y las altitudes elipsóidicas utilizan el elipsoide.
Aunque se pueden determinar las altitudes elipsóidicas utilizando GNSS, al día de hoy no es posible
observar directamente la super�cie de un dátum vertical en un sistema de altitudes físico. Si asumimos
que el geoide/cuasi geoide y el nivel promedio del mar en los océanos coinciden, es posible relacionar el
dátum vertical de un geoide/cuasi geoide utilizando observaciones del nivel promedio del mar.
2.2.2.1. Nivel promedio del mar
En una situación ideal, el dátum de referencia de un sistema de altitudes debería coincidir con el
geoide (altitudes ortométricas) o con el cuasi geoide o teluroide (altitudes normales). Pero ya que no hay
instrumentos que puedan medir directamente el valor absoluto del geopotencial de la super�cie terrestre,
no es posible observar físicamente el geoide. Considerando que en los océanos el geoide y el cuasi geoide
coinciden, éstos representan la super�cie equipotencial que más se aproxima al nivel promedio del mar
en los océanos abiertos. Por lo tanto, obtener medidas del nivel del mar con mareógrafos, es el método
más común para determinar el nivel promedio del mar y así poder determinar un dátum vertical. El nivel
promedio del mar tiene tres problemas principales: el nivel del mar es afectado por la presencia de olas
y otros fenómenos naturales, la presencia de la topografía submarina, y los cambios en el nivel del mar
causados por el cambio climático (Pugh, 2004).
Para determinar el nivel promedio del mar utilizando un mareógrafo, es necesario realizar observaciones
del nivel del mar por un periodo su�cientemente largo que tome en cuenta el ciclo completo de las mareas.
Los efectos mayores de las mareas son los causados por la Luna y el Sol y sus ciclos duran aproximadamente
un periodo de 18,6 años, pero son los efectos de las mareas diarias las que más se notan en las costas
(Melchior, 1983). Otros objetos celestiales como los planetas, tienen sus efectos en las mareas, pero los
mismos son menores que los efectos de la Luna y el Sol (Pugh, 2004). Por lo tanto, para determinar el
nivel promedio del mar independiente de los efectos de las mareas, es necesario realizar observaciones del
nivel del mar regularmente (cada hora) por lo menos por un periodo de 18,6 años.
46
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
2.2.2.2. Dátum vertical de Norte América de 1988
El Dátum Vertical de Norte América de 1998 (North American Vertical Datum of 1988, NAVD88 ) es el
dátum de control vertical utilizado actualmente para determinar las altitudes ortométricas en los Estados
Unidos de América. EL NAVD88 fue establecido en 1991 por el Servicio Nacional Geodésico de los Estados
Unidos de América (National Geodetic Survey, NGS ) a partir de un ajuste realizado a las observaciones
de nivelación geodésicas obtenidas en Canadá, Estados Unidos y México. Para establecer este dátum fue
necesario mantener �ja la altitud de la estación permanente asociada al mareógrafo primario, el cual estaba
referenciado a su vez al nivel promedio del mar del Dátum Internacional de los Grandes Lagos de 1985
(International Great Lakes Datum of 1985, IGLD85 ) en Rimouski, Quebec, Canadá. No fueron utilizadas
estaciones permanentes con elevación conocida asociadas a otros mareógrafos debido a que las diferencias
tan notables en la topografía marítima hacen que el nivel promedio del mar (super�cie equipotencial) no
sea el mismo en todos los mareógrafos (Zilkoski et al., 1992).
El NAVD88 es una gran herramienta ya que permite determinar las altitudes ortométricas Helmert,
las cuales nos ayudan a de�nir el geoide (que generalmente se aproxima al nivel promedio del mar) a partir
de la gravedad interpolada. Este dátum remplaza a su predecesor el Dátum Vertical Nacional Geodésico
de 1929 (National Geodetic Vertical Datum of 1929, NGVD29 ), y aunque las diferencias en elevación entre
ambos dátum no son muy signi�cativas, si presenta grandes mejoras en otras aéreas. Como por ejemplo
el NAVD88 permitió eliminar las discrepancias existentes por la inconsistencia de los dátum, removió los
efectos de los errores sistemáticos en las nivelaciones, remplazó los dátum anteriores NGVD29 y IGLD85
y los consolidó en un solo dátum, incorporó sobre 81,500 km de datos de nivelación nunca antes ajustados
y quizás lo más importante es que el NAVD88 permite determinar las altitudes ortométricas utilizando
los sistemas de posicionamiento global y los modelos geopotenciales de alta resolución.
2.2.2.3. Controles verticales en Puerto Rico
Las redes de nivelación son un conjunto de puntos con altitud conocida establecidos permanentemente
como marcas de referencia. Estas marcas pueden ser discos de bronce, hierro o aluminio típicamente con
un diámetro entre 8,9 a 10,2 centímetros de diámetro incrustadas en la roca viva, monumentos de cemento
o alguna estructura estable a la orilla de la carretera como puede ser la base de un puente. (Ver Figura
2.19) Es necesario que estos monumentos tengan un alto grado de estabilidad.
Los puntos con elevación conocida se establecen a intervalos de 1,0 a 3,0 kilómetros (con una distancia
promedio de no más de 1,6 km), usualmente en carreteras primarias y secundarias. Estas redes se observan
con técnicas de nivelación geométrica de alto grado de precisión, típicamente con un cierre entre 2 y 4
milímetros por kilómetro. Desafortunadamente el procedimiento de nivelación consume mucho tiempo y
el índice de progreso se determina por la habilidad y motivación de los observadores, por la congestión en
las vías de trá�co y por la pendiente del terreno.
La precisión de las redes de nivelación en los Estados Unidos de América fue de�nida por el Sub-
comité Federal de Controles Geodésicos (Federal Geodetic Control Subcomités, FGCC ) en el Manual de
Estándares y Especi�caciones para Redes de Control Geodésicas, publicado en el 1984 (Bossler, 1984).
La precisión de una red está dada por una constante multiplicada por la raíz cuadrada de la longitud de
la distancia nivelada. En el caso de la línea de nivelación vertical del Dátum Vertical de Puerto Rico de
2002 (Puerto Rico Vertical Datum 2002, PRVD02 ), que es de Primer Orden, Segunda Clase, su precisión
debería ser del orden de 0, 7√Lkmmm, siendo L la distancia entre la estación de origen del dátum a la
estación de interés expresada en kilómetros.
47
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.19: Estaciones permanentes con elevación conocida del PRVD02.
Hasta el día de hoy, en Puerto Rico se han de�nido tres dátum verticales, todos ellos diferentes pero
utilizando como referencia el Nivel Promedio del Mar. La primera nivelación fue establecida por el Servicio
Geológico de los Estados Unidos de América (United States Geological Service, USGS ) entre los años de
1928 al 1941. Estos trabajos fueron realizados con una precisión de 0, 2√Lkmmm, la cual es considerada
de Tercer Orden. Se establecieron un total de 709 estaciones permanentes en la isla de Puerto Rico y
21 en la isla vecina de Vieques. Las fuerzas de la naturaleza como las tormentas, erosión del terreno y
las actividades humanas como el desarrollo de carreteras e infraestructura, movimiento de tierras y el
vandalismo, destruyeron la mayoría de estos controles.
De 1982 a 1995 el NGS realizó una nivelación limitada de primer orden, segunda clase en algunos luga-
res estratégicos de Puerto Rico como lo son los aeropuertos, muelles y algunas represas. Estas nivelaciones
no superaron los 20 kilómetros cada una, por lo que se establecieron muy pocas estaciones permanentes.
Dado que los datos del USGS a diferencia a los del NGS no se encuentran publicados en línea, recuperar
las estaciones establecidas por el USGS es una tarea muy difícil.
2.2.2.4. Dátum Vertical de Puerto Rico de 2002
Como consecuencia del alto interés de las agencias federales del gobierno de los Estados Unidos de
América, del gobierno del Estado Libre Asociado de Puerto Rico y de agencias Municipales en desarrollar
trabajos relacionados con la seguridad pública, transporte, construcción y agricultura, se ha hecho necesa-
rio realizar mapas más precisos que ayuden al proceso de toma de decisiones. Para tratar de resolver esta
situación, el NGS propuso para Puerto Rico establecer una red de nivelación de alta precisión: el PRVD02.
Esta red consiste de 575 puntos de primer orden, segunda clase con elevación conocida. Los mismos se
encuentran distribuidos aproximadamente cada 1,6 kilómetros a lo largo de las carreteras públicas de la
isla de Puerto Rico y las islas de Vieques y Culebra. Se espera que al �nalizar todas las fases de este
proyecto se hayan cubierto un total de 925 kilómetros. El primer ajuste de esta red fue completado por
personal de NGS y publicado en el mes de agosto de 2013. (Ver Figura2.20)
48
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Figura 2.20: Red de Nivelación del PRVD02. Fuente: Agrimensor Héctor Sanabria, HLCM Group
Para efectos de esta investigación, se trabajó solamente con la primera fase de este proyecto la cual
constaba de una línea de nivelación de aproximadamente 160 km a lo largo de la zona norte de la isla
de Puerto Rico. Esta primera fase del proyecto fue realizada por personal de NGS durante los meses de
enero a mayo del 2002. (Ver Figura2.21) Interesa señalar que el punto de mayor elevación en esta línea de
nivelación es de 147,903 metros y el de menor elevación es de 1,004 metros.
Figura 2.21: Primer tramo del PRVD02 nivelado por personal del NGS. Fuente: Google Earth
Para determinar el dátum vertical, fue necesario utilizar un mareógrafo ubicado en uno de los muelles
de la ciudad de San Juan de Puerto Rico. El mareógrafo de referencia está identi�cado como el VM 1386 y
49
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
está a cargo del Centro de Operaciones, Productos y Servicios Oceanográ�cos del Gobierno de los Estados
Unidos de América. La estación permanente asociada a este mareógrafo esta designada como la 975 5371
A TIDAL. Este mareógrafo fue monitoreado por un periodo de 17 años, desde 1983 hasta el 2001. (Ver
Figura 2.22)
Figura 2.22: Estación de origen del PRVD02 - 975 5371 A TIDAL. Fuente: Google Earth
La altura ortométrica de esta estación fue computada en la primavera del 2003 utilizando valores de la
gravedad modelada. Finalmente el valor de la altitud ortométrica asignado a esta estación permanente fue
1,334 metros. Partiendo de esta estación y utilizando métodos de nivelación geométrica de alta precisión,
se determinaron los valores de elevación de las demás estaciones permanentes de la línea, que es parte del
PRVD02.
2.2.3. Determinación de la precisión de las altitudes ortométricas Helmert
calculadas
La altitud ortométrica HOrt viene dada por la Eq. 2.141 (Heiskanen y Moritz, 1967) y partiendo de
su derivación se obtiene:
dH =
(dCPg
)−(CPg2
)dg (2.151)
De la Eq. 2.141 también podemos deducir:
CP = Hg (2.152)
Si sustituimos la Eq. 2.152 en la Eq. 2.151 , podemos simpli�car la ecuación de la siguiente manera:
dH =
(dCPg
)−(H
g
)dg (2.153)
Donde el error de la altitud ortométrica se atiene a la siguiente expresión:
σ2H =
σ2CP
g2+
(H
g
)2
σ2g (2.154)
50
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Si consideramos que el número geopotencial CP es igual a la gravedad observada g multiplicada por
el desnivel dn:
dCP = gdn (2.155)
Podemos decir que:
σ2CP = g2σ2
n + dn2σ2g (2.156)
Teniendo en cuenta que dn en nuestro caso es mucho menor que los 100 metros y que σg es igual a
0, 1µms2 (Torge, 1991), podemos decir que:
dn2σ2g = 104 ∗ 10−14
(m2
s2
)2
= 10−10
(m2
s2
)2
(2.157)
Razón por la cual podemos despreciar este término.
Sustituyendo la Eq. 2.156 en la Eq. 2.154 y dado que el valor de(gg
)2
se aproxima a 1, la ecuación
quedaría expresada de la siguiente manera:
σ2H = σ2
n +
(H
g
)2
σ2g (2.158)
Dónde:
σ2H : error de la altitud ortométrica
σ2n : error relativo a la nivelación
σ2g : error del valor medio de la gravedad
Como hemos mencionado, el término σn se de�ne como el error relativo a la nivelación. En nuestro
caso, la línea de nivelación es una de Primer Orden, Segunda Clase, donde el máximo error permitido es
0, 7√Lkmmm (Bossler, 1984), donde L es la distancia nivelada entre las estaciones de referencia expresada
en kilómetros. El error relativo a la nivelación �nalmente quedaría expresado de la siguiente manera:
σ2n = (0, 7mm.)2 ∗ Lkm (2.159)
El término de la altitud ortométrica dividido entre el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea
de la plomada lo podemos expresar de la siguiente manera:
(H
g
)2
=
(Hm. ∗ 102
g cm.s2
)2
=
(Hm
gGal
)2
104s4 (2.160)
Donde la altitud ortométrica H debe estar expresadá en metros y el valor medio de la gravedad g enGal.
El error cometido cuando calculamos el valor medio de la gravedad (σg) utilizando solamente la apro-
ximación de Helmert va a depender de tres factores fundamentales: el error asociado a la gravedad medida
en la super�cie (σg), al error en el tratamiento de la topografía del terreno asociado a la reducción de
Prey (σt), y al error asociado al valor considerado constante de la densidad de la Tierra (σδρ), quedando
expresado de la siguiente manera:
σ2g = σ2
g + σ2t + σ2
δρ (2.161)
51
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Ya que los datos de gravedad están referenciados al IGNS71 cuya precisión es ±2µms−2 (Torge, 1991)
y que la altitud máxima en nuestro caso no sobrepasa los 200 metros, podemos acotar el error de σg por:(H
g
)σg <
(200
9
)2·10−6 (2.162)
Teniendo en cuenta estos valores, podemos considerar despreciable el error asociado a σg. Entonces la
Eq. 2.161 quedaría expresada de la siguiente manera:
σ2g = σ2
t + σ2δρ (2.163)
Para determinar el error asociado al valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada (σg),
primeramente tomaremos en cuenta los errores asociados al modelo de Prey (Heiskanen y Moritz, 1967)
por su consideración del relieve como una meseta plana (σt). En laTabla 2.4 podemos ver los resultados
de los estudios de Niethammer (1932) y Mader (1954) quienes computaron altitudes ortométricas a una
altitud de 2504 metros en Hochtor, los Alpes utilizando la aproximación de Helmert y los métodos más
precisos que tomaban en cuenta la topografía del terreno.
Tabla 2.4: Resultados Estudios de Helmert, Niethammer y Mader.Helmert g = 980 263 mGal
Niethammer g = 980 286 mGal
Mader g = 980 285 mGal
Claramente se puede apreciar que el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada
obtenido por Niethammer y Mader, en los que ambos consideraron el relieve del terreno, es muy próximo
mientras que el valor correspondiente a la reducción de Prey, que no considera el relieve del terreno (tal
como se emplea en el cálculo de las altitudes ortométricas Helmert) tiene una diferencia con ellos de 22,5
mGal.
Utilizando estos resultados como referencia y haciendo un reparto proporcional, encontramos que el
máximo error correspondiente a la altitud máxima en nuestra línea de nivelación, que es de 147,903 metros,
sería de 1,329 mGal. Redondeando al alza, tomamos 1,5 mGal como el valor máximo del error esperado
por no considerar el relieve de la topografía del terreno en nuestra línea.
Puesto que:
1, 5mGal = 1, 5 ∗ 10−3 cm
s2= 1, 5 ∗ 10−2mm
s2(2.164)
Por lo tanto, el error que considera el relieve del terreno sería equivalente a:
σ2t = (1, 5)2 ∗ 10−4mm
2
s4(2.165)
Para de�nir el error relativo por asumir que la densidad de la Tierra es constante (σδρ), modi�cando
la ecuación de la Lámina de Bouguer (Heiskanen y Moritz, 1967), se obtiene la siguiente expresión:
σδρ = 2πGδρH (2.166)
52
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Dónde:
G :constante gravitacional de la Tierra = 6, 67 ∗ 10−11kg−1m3s−2
δρ: error por asumir que la densidad de la Tierra es constante
Considerando que la mayor diferencia que hay en la corteza terrestre entre la densidad de la roca más
densa a la menos densa es de 0, 6 gcm3 (Heiskanen y Moritz, 1967), utilizaremos el valor promedio de
0, 3 gcm3 . Resolviendo y simpli�cando la Eq. 2.166 obtendremos la siguiente expresión:
σ2δρ = (12, 6 ∗Hkm)
210−4mm
2
s4(2.167)
Tras determinar las aproximaciones por considerar el relieve del terreno como una meseta plana (σt)
y por asumir que la densidad de la Tierra es constante (σδρ), sustituimos la Eq. 2.163 en la Eq. 2.158 y
obtenemos la ecuación que nos permitirá determinar el error de las altitudes ortométricas Helmert:
σ2H = σ2
n +
[(H
g
)2
∗(σ
2
t + σ2δρ
)](2.168)
Luego, sustituyendo en la Eq. 2.168 el error relativo a la nivelación (σn), Eq. 2.159, el término dela altitud ortométrica dividido entre el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada
elevados al cuadrado(Hg
)2
, Eq. 2.160 , además de las aproximaciones que presentamos para corregir los
errores por no considerar el relieve de la topografía del terreno (σt), Eq. 2.165 y por asumir que la densidadde la Tierra constante (σδρ), Eq. 2.167 , obtenemos la siguiente expresión:
σH =
√(((0, 7)2 ∗ Lkm) +
[(Hm
gGal
)2
104s4 ∗(
(1, 5)2 ∗ 10−4mm2
s4+ (12, 6 ∗Hkm)2 10−4
mm2
s4
)])(2.169)
La ecuación ya simpli�cada para determinar la desviación estándar de la altitud ortométrica expresada
en milímetros quedaría de la siguiente manera:
σH =
√√√√(((0, 7)2 ∗ Lkm) +
[(Hm
gGal
)2
∗(
(1, 5)2 + (12, 6 ∗Hkm)2)])
mm (2.170)
Dónde:
Lkm: distancia nivelada entre estaciones de referencia (kilómetros)
H: altura ortométrica (en metros o kilómetros, según sea el caso)
Para computar g en cada estación de referencia fue utilizada la Eq. 2.145 (Heiskanen y Moritz, 1967).
g = g + 0, 0424H
Dónde:
g0: gravedad observada en el punto P (Gal)
H: altitud ortométrica expresada en kilómetros
53
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
2.2.4. Ondulación del geoide geométrico
Como hemos visto en la Figura 2.16 la diferencia entre la altitud elipsóidica h y la altitud ortométrica
H es denominada como la ondulación del geoide geométrico(NGeo
)quedando expresado de la siguiente
manera:
NGeo = h−H (2.171)
Partiendo de los valores de las altitudes ortométricas Helmert calculadas y de las altitudes elipsóidica
determinadas con GNSS, utilizando la Eq. 2.171, se puede determinar los valores de la ondulación del geoi-
de geométrico. Para determinar la desviación estándar de la ondulación del geoide geométrico utilizamos
la siguiente expresión:
σNGeo =√
(σ2h + σ2
H) (2.172)
Dónde:
σNGeo : error de la ondulación del geoide geométrico (metros)
σ2h : varianza de la altitud elipsódica (metros)
σ2H : varianza de la altitud ortométrica (metros)
54
Capítulo 3
Descripción del área de estudio y
fuentes de datos
En este capítulo presentamos una descripción del área de estudio y de las distintas fuentes de datos
utilizadas para desarrollar nuestro modelo del geoide. Para los datos de gravedad terrestre y marina utiliza-
mos los datos publicados por el Bureau Gravimétrico Internacional (Bureau Gravimétrique International,
BGI ) y por la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (National Oceanic and Atmospheric Ad-
ministration, NOAA) adscrita al Departamento de Comercio de los Estados Unidos de América. Para
la zona marítima, utilizamos la base de datos de gravedad obtenida mediante altimétrica por satélite
desarrollada por Sandwell y Smith (2009) para el Instituto Oceanográ�co de la Universidad de California.
Como modelo digital del terreno ha sido necesario fusionar el modelo digital del terreno de la Misión
Topográ�ca de Radar a Bordo de un Transbordador (Shuttle Radar Topography Mission, SRTM ) con
una resolución de 3 segundos de arco, desarrollado por la Administración Nacional de Aeronáutica y del
Espacio (National Aeronautics and Space Administration, NASA) de los Estados Unidos de América, con
el Mapa General Batimétrico de los Océanos (General Bathymetric Chart of the Oceans, GEBCO08 ) con
una resolución de 30 segundos de arco, desarrollado por el Centro Oceanográ�co Británico (British Ocea-
nographic Data Centre, BODC ). Finalmente como modelo geopotencial, utilizamos el EGM2008 que como
hemos mencionado anteriormente, fue desarrollado por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial
(National Geospatial � Intelligence Agency, NGA) adscrita al Departamento de Defensa de los Estados
Unidos de América.
Para propósitos de esta investigación, nuestra área de estudio es la zona comprendida por la isla de
Puerto Rico y sus islas adyacentes, Mona, Vieques y Culebra. Las mismas se encuentran entre los paralelos
17,5 y 19,0 grados Norte y los meridianos 65,0 y 68,0 grados Oeste. Para efectos del cómputo del geoide,
es necesario abarcar 200 kilómetros adicionales alrededor de nuestra zona de estudio. Por esta razón fue
necesario descargar los datos de gravedad terrestre y marina, gravedad obtenida por altimetría por satélite
y datos de los modelos digitales del terreno y del modelo geopotencial global entre los paralelos 16,0 y
21,0 grados Norte y los meridianos 62,0 y 70,0 grados Oeste. Esto indica que nuestro estudio, aunque se
basa en un modelo del geoide para la región de Puerto Rico, necesitamos obtener datos de una porción
considerable del Océano Atlántico al norte de la isla y una parte del Mar Caribe al sur de Puerto Rico.
Adicional es necesario obtener datos de la región este de la República Dominicana y de algunas de las
Islas Vírgenes localizadas en el Mar Caribe.
55
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
3.1. Datos de gravedad terrestre y marítima (BGI y NOAA)
El Bureau Gravimétrico Internacional (BGI ) fue creado en el año 1951 como un servicio de la Asocia-
ción Internacional de Geodesia (International Association of Geodesy, IAG) durante la Asamblea General
de la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (International Union of Geophysics and Geodesy,
IUGG). La tarea principal del BGI era recolectar datos gravimétricos a nivel mundial con la intención
de generar una base de datos de gravedad digital que cualquier persona o entidad pública o privada pu-
diera tener aseso. Las evoluciones tecnológicas y cientí�cas que se produjeron en los últimos 50 años en
el área de la gravimetría, es decir las mejoras en los equipos, mayor capacidad para recolectar datos en
zonas marítimas, el desarrollo de gravímetros absolutos con mayor precisión, las misiones de gravedad
con satélites, etc., han aumentado signi�cativamente el número, la diversidad y la precisión de los datos
del campo de gravedad observables. A raíz de estas evoluciones, el BGI ha contribuido grandemente a
proporcionar bases de datos y servicios especí�cos a una amplia rama de la comunidad internacional que
interesa por medio de diferentes estudios determinar el campo de gravedad terrestre.
El BGI posee una base de datos de mediciones relativas que contiene más de 12 millones de obser-
vaciones compiladas y digitalizadas de gravedad terrestre, marina y aerotransportada. (BGI, 2012) Estos
datos han sido ampliamente utilizados para la de�nición de modelos del campo de gravedad de la Tierra
y para muchas otras aplicaciones en geodesia, la computación de las órbitas satelitales, oceanografía y la
geofísica entre otras ramas.
Para nuestro estudio, fue necesario acceder a la base de datos de gravedad terrestre del BGI y se
identi�có que para la zona delimitada por los paralelos 17,5 � 19,0 grados Norte y los meridianos 65,0 � 68,0
grados Oeste, existían un total de 1894 datos de gravedad terrestre. Los datos de gravedad terrestre fueron
descargados desde el siguiente enlace: http://bgi.obs-mip.fr/en/data-products/Gravity-Databases/Land-
Gravity-data
En la Figura 3.1 se puede ver un detalle de los datos de gravedad terrestres disponibles para la región
de Puerto Rico.
Figura 3.1: Datos de gravedad terrestres del BGI disponibles en la isla de Puerto Rico. Fuente: BureauGravimétrique International (BGI)
56
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
Los datos de gravedad terrestre disponibles provienen de 8 campañas realizadas entre los años de 1950
y 1967. En la Tabla 3.1 se presenta un detalle de las campañas gravimétricas las cuales provienen de
los datos descargados de la base de datos del BGI. En el Anexo 1 se encuentra un detalle de toda la
información disponible de las campañas gravimétricas documentadas en la página web del BGI.
Tabla 3.1: Datos de gravedad terrestre descargados de la página del BGI.Propietario Autor Año Puntos Medidos Puntos Utilizados
Hawaii Institute of GeophysicsN.C. Harding
1950 233 4C.M. Muckenfuss
Defense Mapping Agency1956 108 10
Topographic Center
Defense Mapping Agency1967 88 2
Topographic Center
Rice University V. Renard 1967 171 5
BGSAG. L. Shurbet
1956 378 378M. Ewing
NAVOCEANO 1963 22 22
USGS 490 490
USGS 1964 983 983
Aunque no existe información detallada de la metodología implementada para recolectar estos datos, ni
de los equipos utilizados, si tenemos conocimiento que los datos de gravedad terrestre están referenciados
a una estación de gravedad absoluta existente en la isla de Puerto Rico la cual forma parte de la red del
IGSN71 (International Gravity Standardization Network 1971 ) (Morelli et al., 1972), además se con�rmó
que el valor normal de la gravedad utilizando para determinar las anomalías de aire libre fue el de la
fórmula del sistema geodésico GRS1967. Los valores de la latitud, longitud y la elevación es muy probable
que hayan sido determinados utilizando los planos topográ�cos de 7,5 minutos publicados por el Servicio
Geológico de los Estados Unidos de América, (United States Geological Service, USGS ) en el 1922 y
posteriormente revisados en el 1960. Estos planos topográ�cos eran los únicos mapas topográ�cos de
referencia existentes al momento de realizar estos levantamientos gravimétricos.
Para validar estos datos, fue necesario determinar a qué dátum los mismos están referenciados y ver
si era necesario realizar algún tipo de transformación de dátum. Además fue necesario recalcular el valor
de las anomalías aire libre utilizando la fórmula de la gravedad normal del GRS80 y �nalmente validar
las altitudes publicadas por el BGI utilizando un modelo digital del terreno de alta precisión y métodos
de validación por colocación.
En el caso de los datos de gravedad marinos, utilizando el siguiente enlace: http://bgi.obs-mip.fr/en/data-
products/Gravity-Databases/Marine-Gravity-data se lograron descargar un total de 25330 datos prove-
nientes de 49 campañas gravimétricas realizadas entre los años 1959 y 1988. En la Figura 3.2 se muestra
un detalle de los datos de gravedad marino descargados de la base de datos del BGI.
En la búsqueda de datos adicionales, logramos acceder a la base de datos del Centro Nacional de Datos
Geofísicos (National Geophysical Data Center, NGDC ) de la NOAA. El GEODAS o Sistema de Datos
Geofísicos (Geophysical Data System) es un sistema de gestión de base de datos interactivo desarrolla-
do por el NGDC para su uso en la asimilación, almacenamiento y recuperación de datos geofísicos. El
57
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
Figura 3.2: Datos de gravedad marino del BGI disponibles para la región de Puerto Rico. Fuente: BureauGravimétrique International (BGI)
programa GEODAS maneja varios tipos de datos, incluyendo los datos de gravedad marinos, datos de
levantamientos aeromagnéticos y cuadrículas de batimetría / topografía. La base de datos marinos del
NGDC continuamente está evolucionando para crear nuevos conjuntos de herramientas que nos permitan
manejar de una forma efectiva todos estos datos.
Tomando esto en cuenta y considerando que era necesario ampliar nuestra zona de estudio, asesamos la
base de datos de la NOAA y encontramos que entre los paralelos 16,0 y 21,0 grados Norte y los meridianos
62,0 y 70,0 grados Oeste, había un total de 138583 datos marinos divididos en 81 campañas gravimétricas
realizadas entre 1961 y 1998. Estos datos pueden ser visualizados y descargados en el siguiente enlace:
http://maps.ngdc.noaa.gov/viewers/geophysics/. En la Figura 3.3 podemos encontrar un detalle de los
datos descargados de la página de la NOAA.
El problema principal al cual nos encontramos al analizar los datos marinos del BGI y los datos de
la NOAA era poder determinar su calidad y precisión. Al momento de descargar los datos de gravedad
marinos nos percatamos que no todos traían consigo la información necesaria para poder realizar las
correcciones correspondientes. Solamente teníamos los datos de la fecha de la campaña gravimétrica,
las coordenadas geográ�cas, el valor de la gravedad y en algunos casos el equipo utilizado. No había
información concreta si a estas medidas se le había realizado algún tipo de corrección y también se
desconocían los detalles de cómo se obtuvieron las coordenadas geográ�cas, la velocidad del barco al
momento de realizar las medidas, la profundidad del fondo submarino entre otras. Por estas razones,
decidimos no utilizar estos datos para los propósitos de nuestra investigación.
58
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
Figura 3.3: Datos de gravedad marinos disponibles en la página de NOAA. Fuente: National Oceanic andAtmospheric Administration (NOAA)
3.2. Datos de gravedad obtenida por altimetría por satélite (Sand-
well & Smith)
La super�cie del océano posee unas pequeñas protuberancias y depresiones que sobresalen o se sumer-
gen imitando la topografía del fondo del mar. Estas variaciones, demasiado pequeñas para ser percibidas
por el ojo humano, pueden ser medidas por un altímetro a bordo de un satélite. Los datos recogidos por la
Agencia Espacial Europea en la campaña del ERS-1, junto con los datos del satélite GEOSAT de la Mari-
na de Guerra de los Estados Unidos de América, han proporcionado mediciones detalladas de la altura de
la super�cie del mar en los océanos. Estos datos proporcionan la primera visión de las estructuras del suelo
del océano en muchas áreas remotas de la Tierra. El satélite GEOSAT fue lanzado en 1985 para trazar
la altura del geoide con una resolución horizontal aproximada de 10 a 15 km. y una resolución vertical de
0,03 m. El GEOSAT se colocó en una órbita casi polar para obtener la cobertura de alta latitud (± 72
grados de latitud) y orbita la Tierra 14,3 veces por día a una velocidad de aproximadamente 7 kilómetros
por segundo.
Como hemos mencionado anteriormente, la super�cie del océano se puede considerar aproximadamente
una "super�cie equipotencial" del campo gravitatorio de la Tierra. Como primera aproximación, esta
super�cie equipotencial de la Tierra se puede considerar como una esfera. Sin embargo debido a que la
Tierra gira alrededor de su eje, la super�cie equipotencial del océano forma un elipsoide de revolución
donde el diámetro polar es de 43 km menos que el diámetro ecuatorial. Si bien esta forma elipsoidal se
ajusta muy bien a la Tierra, la super�cie real del océano se desvía hasta 100 metros de este elipsoide ideal.
Esto evidencia la existencia de estas pequeñas protuberancias y depresiones que hemos mencionado.
Para determinar la topografía de la super�cie del océano, deben ser realizadas dos mediciones muy
precisas de la distancia entre el satélite y la super�cie. En primer lugar, es necesario poder determinar la
altura del satélite por encima del elipsoide. Esta distancia se mide mediante el seguimiento del satélite
59
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
desde una red globalmente distribuida de rayos láser y/o estaciones Doppler. En segundo lugar, es necesario
medir la altura del satélite por encima de la super�cie del océano. Esta medida se realiza con un radar
de microondas que funciona en un modo de pulso a una frecuencia de 13 GHz. (Para estos efectos, la
super�cie del océano es un buen re�ector a esta frecuencia, algo que no sucede en la super�cie terrestre)
Es necesario realizar algunas correcciones al tiempo de viaje del pulso para compensar las demoras por
efectos ionosféricos y atmosféricos. Además es necesario realizar las correcciones que consideran los efectos
de las mareas. Finalmente la diferencia entre la altura geocéntrica del satélite menos las sumas de las del
radio vector del elipsoide más la distancia del satélite al nivel medio del mar es aproximadamente igual a
la ondulación del geoide. Estos valores de la ondulación pueden invertirse mediante las fórmulas de Hotine
(1969) proporcionando las anomalías gravimétricas.
Utilizando la altimétrica por satélite suministrada por las campañas del ERS-1 y GEOSAT, Sandwell
y Smith desarrollaron para el Instituto Oceanográ�co de la Universidad de California una base de datos de
gravedad marina a nivel global (Sandwell y Smith, 2009). Como nuestro interés es desarrollar un modelo
del geoide con la mayor precisión posible y considerando que la altimetría por satélite provee unos datos
con una calidad aceptable para zonas marinas, procedimos a acceder la base de datos de Sandwell y Smith
en el siguiente enlace: http://topex.ucsd.edu/marine_grav/mar_grav.html
De esta página fueron descargados aproximadamente 160000 datos de anomalías aire libre con una
resolución aproximada de un minuto de acto existentes entre los paralelos 15,0 � 21,0 grados Norte y
entre los meridianos 63,0 � 70,0 grados Oeste. En la Figura 3.4 se presenta una imagen de los datos de
las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría con satélite disponibles para la región donde se
encuentra ubicada la isla de Puerto Rico:
Figura 3.4: Mapa de anomalías aire libre obtenidas mediante altimétrica con satélite. Fuente: Institutionof Oceanography, University of California San Diego
60
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
3.3. Modelo digital del terreno (SRTM3 )
Para poder realizar las correcciones topográ�cas e isostáticas, es necesario contar con un modelo
digital de elevaciones en el terreno y con un modelo batimétrico digital para las zonas marítimas. Para
estos efectos utilizamos el STRM3 desarrollado por la NASA y el GEBCO30 desarrollado por el Centro
Oceanográ�co Británico. Ambos modelos usan como referencia el sistema WGS84 y para la región de
Puerto Rico los mismos tienen una resolución de 3 segundos y 30 segundos de arco respectivamente.
El modelo digital del terreno desarrollado a partir de la Misión Topográ�ca de Radar a Bordo de un
Transbordador (Shuttle Radar Topography Mission, SRTM ) (Farr et al., 2007) resulto ser el modelo más
completo, con la mayor resolución accesible de un modelo de elevaciones digitales de la Tierra. El objetivo
de este proyecto fue obtener la base de datos topográ�cos digital de alta resolución más completa de
la Tierra. Este proyecto fue el resultado del trabajo en conjunto de la NASA, la Agencia Nacional Geo-
espacial de Inteligencia (National Geospatial-Intelligence Agency, NGA) y las agencias espaciales alemanas
e italianas.
El 11 de febrero de 2000, el SRTM fue lanzado al espacio a bordo del transbordador espacial Endea-
vour. Durante la misión del SRTM, un sistema de radares especialmente modi�cados voló a bordo del
transbordador espacial durante 11 días. Con este sistema de radares se reunieron los datos su�cientes que
se tradujeron en el mapa topográ�co más preciso y completo de la super�cie de la Tierra cuya resolución
en algunos lugares llega a alcanzar 1 segundo de arco (Rodriguez et al., 2005).
Los datos del radar del SRTM fueron procesados para ser adaptados para satisfacer las necesidades
de las comunidades de usuarios, civiles, militares y cientí�cos. Casi cualquier proyecto que requiere un
conocimiento preciso de la forma y de la altura de la super�cie de la Tierra, se puede bene�ciar de estos
datos. Algunos ejemplos son el control de inundaciones, conservación de suelos, reforestación, monitoreo
volcánico, la investigación sísmica y seguimiento de los movimientos de los glaciares.
El SRTM utilizó una técnica llamada interferometría de radar. En la interferometría de radar, dos
imágenes de radar son tomadas de lugares ligeramente diferentes. Las diferencias entre estas imágenes
permiten calcular la elevación de la super�cie. Para obtener dos imágenes de radar tomadas de diferentes
localizaciones simultáneamente, SRTM constaba con una antena de radar en la bodega de carga del
transbordador y una segunda antena de radar unida al extremo de un mástil que se extendía 60 metros
del transbordador.
El SRTM fue lanzado en una órbita con una inclinación de 57 grados. Los radares del SRTM pudieron
cubrir la mayor parte de la super�cie terrestre de la Tierra que se encuentra entre las latitudes de 60
grados Norte y 56 grados Sur. Esto signi�ca que cerca de un 80 por ciento de la super�cie terrestre de la
Tierra fue cubierto con el SRTM.
Para propósitos de nuestro estudio, fue necesario descargar los datos del SRTM existentes entre los
paralelos 15,0 y 21,0 grados Norte y entre los meridianos 63,0 y 70,0 grados Oeste. En la Figura 3.5
podemos ver un detalle del SRTM3 para la zona de estudio. Hay dos cosas importantes que queremos
mencionar, primeramente que el SRTM3 no posee datos en al mar por lo que es necesario combinar con un
modelo batimétrico y segundo, para asegurar que contábamos con el mejor modelo del SRTM3 disponible
para nuestra zona, decidimos utilizar la versión 2 del SRTM o la versión editada. Esta versión tiene una
resolución de 3 segundos de arco lo que es el equivalente a 90 metros y también se conoce como la versión
�nal del SRTM. Todos estos �cheros fueron descargados utilizando el siguiente enlace:
http://dds.cr.usgs.gov/srtm/version2_1/SRTM3/North_America/
61
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
En la página o�cial de la Misión Topográ�ca de Radar a Bordo de un Transbordador se pueden obtener
todos los detalles relacionados a esta campaña. (http://www2.jpl.nasa.gov/srtm/)
Figura 3.5: Datos existentes del modelo SRTM3 en la zona de estudio. Fuente: National Aeronautics andSpace Administration (NASA)
En la Tabla 3.2 se presenta el listado de los �cheros descargados con las imágenes en formato ráster
del SRTM3 disponibles para la zona de estudio.
Tabla 3.2: Ficheros descargados con los imagenes en formato ráster del SRTM3.N17W065.hgt N18W065.hgt
N17W066.hgt N18W066.hgt
N17W067.hgt N18W067.hgt
N17W068.hgt N18W068.hgt
3.4. Modelo digital de batimetría (GEBCO08 )
El Mapa General Batimétrico de los Océanos (General Bathymetric Chart of the Oceans, GEBCO08 )
con una resolución de 30 segundos de arco, fue desarrollado por el Centro Oceanográ�co Británico (British
Oceanographic Data Centre, BODC ) como un modelo digital del terreno para el océano y la tierra (BODC,
2010). La porción batimétrica de este modelo fue desarrollada combinando los datos de gravedad marinos
publicados por Sandwell y Smith (2009) entre las latitudes 80 grados norte y 81 grados Sur, con una base
de datos de sobre 290 millones de sondeos batimétricos. Con la base de datos de Sandwell y Smith fue
posible predecir las profundidades del fondo marino basándose en las anomalías de la gravedad obtenidas
mediante altimetría por satélite.
62
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
Para las zonas terrestres, gran parte de los datos fueron tomados del SRTM30 con una resolución de
30 segundos de arco. Para las altas latitudes donde el SRTM30 no poseía datos, fue necesario utilizar el
modelo del Servicio Geológico de los Estados Unidos de América el GTOPO30. Ya para las zonas cercanas
a la Antártida fue necesario utilizar datos de varias campañas realizadas utilizando altímetros láser. La
primera versión de este modelo, la versión 20091120 fue publicada en el año 2009. Desde entonces este
modelo ha sido modi�cado en cuatro ocasiones siendo la más reciente la versión 20100927.
Para efectos de nuestra investigación, fue necesario acceder el siguiente enlace para descargar los datos
correspondientes: http://www.gebco.net/data_and_products/gridded_bathymetry_data/
Se procedió a descargar los datos existentes del modelo batimétrico GEBCO08 entre los paralelos 15,0
y 21,0 grados Norte y entre los meridianos 63,0 y 70,0 grados Oeste. Para poder descargar dicho modelo,
es necesario registrarse en la página del BODC. En la Figura 3.6 se puede observar un detalle del modelo
batimétrico GEBCO08 para la zona de estudio.
Figura 3.6: Modelo batimétrico GEBCO08 para la zona de estudio. Fuente: British Oceanographic DataCentre (BODC)
3.5. Modelo geopotencial global (EGM2008 )
Como hemos mencionado anteriormente, el modelo geopotencial global que utilizaremos durante esta
investigación es el EGM2008. El mismo tiene una resolución de un grado y orden de 2159 y unos coe�cientes
adicionales del grado hasta 2190 y orden 2159 (Pavlis et al., 2008). En la Figura 3.7 se presenta una imagen
de una cuadrícula de anomalías aire libre derivadas del EGM2008 descargada desde la página web del
BGI. Los límites de la cuadrícula son los paralelos 15,0 y 21,0 grados Norte y los meridianos 70,0 y 63,0
grados Oeste.
63
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y FUENTES DE DATOS
Figura 3.7: Imagen de la cuadrícula de anomalías aire libre derivadas del EGM2008. Fuente: BureauGravimétrique International (BGI)
Para propósitos de esta investigación utilizamos el paquete de programas informáticos Gravsoft desa-
rrollado por Tscherning et al. (1994), en su interface de Python (Nielsen et al., 2012) para determinar los
valores de las anomalías aire libre del modelo EGM2008.
64
Capítulo 4
Análisis y Validación de Datos
4.1. Comprobación de la precisión de los modelos geopotenciales
globales a lo largo de una línea de nivelación
Recientemente fue publicado un nuevo modelo geopotencial global, el EGM2008. Este modelo ha
mostrado una notable mejoría en la calidad de sus tres fuentes de datos; las observaciones del movimiento
perturbado de los satélites arti�ciales, la altimetría por satélite y la gravimetría terrestre, por lo que se
ha conseguido mejorar su precisión y resolución. Esta mejoría en los modelos geopotenciales nos acerca
cada vez más al hecho de poder determinar las altitudes ortométricas a partir de la combinación de
los modelos geopotenciales con las altitudes elipsóidicas obtenidas con GNSS. En los últimos años, la
comunidad cientí�ca internacional ha incentivado trabajos de investigación que permitan comprobar la
precisión de este modelo en distintas partes del mundo y a la vez compararlo con sus predecesores. En
nuestro caso, nos dimos a la tarea de comprobar la precisión de este modelo geopotencial global y la
de su predecesor el EGM96 con los valores del geoide geométrico y con el modelo geopotencial regional
GEOID12A. Esto es necesario ya que eventualmente utilizaremos uno de estos modelos geopotenciales
para realizar las reducciones necesarias para determinar el modelo gravimétrico del geoide para la región
de Puerto Rico.
4.1.1. Determinación geométrica del geoide
En la Sección 2.2.4 mencionamos que para determinar la ondulación del geoide geométrico es necesario
utilizar los valores de las altitudes ortométricas y de las altitudes elipsóidicas con la mayor precisión posi-
ble. Tras determinar estas altitudes con su debida precisión, aplicando la Eq. 2.171 podemos determinar
los valores de la ondulación del geoide geométrico.
NGeo = h−H
Ya que contamos con los valores y la precisión de estas altitudes, aplicado la Eq. 2.172 podemos de-
terminar la precisión de la ondulación del geoide geométrico.
σNGeo =√
(σ2h + σ2
H)
65
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Lamentablemente en la región de Puerto Rico no contamos con altitudes ortométricas en las estaciones
permanentes de la línea de nivelación del PRVD02. Adicionalmente a esto, la mayoría de estas estaciones
permanentes existentes no han sido observadas con instrumentos de GNSS. Por lo tanto fue necesario
determinar las altitudes ortométricas y las altitudes elipsóidicas previamente para entonces poder deter-
minar el geoide geométrico y luego compararlo con los valores de la ondulación del geoide obtenida a
partir de los distintos modelos geopotenciales.
4.1.1.1. Recuperación e identi�cación de las estaciones permanentes
La primera tarea necesaria para determinar el geoide geométrico fue identi�car todas las estaciones
permanentes a lo largo de la línea de nivelación vertical del PRVD02 con elevación conocida que estu-
vieran disponibles para ser observadas con GNSS y para realizar medidas de gravedad. Como ya hemos
mencionado en la Sección 2.2.2.4, en sus orígenes esta línea de nivelación constaba con estaciones per-
manentes con elevación conocida aproximadamente cada un kilómetro a lo largo de sus 160 kilómetros.
Debido a los continuos desarrollos de construcción y al vandalismo, se tenía conocimiento que muchas de
estas estaciones habían sido destruidas. Por esta razón fue necesario coordinar varios trabajos de campo
para determinar el estado de las estaciones aún existentes.
Al primer problema con que nos enfrentamos fue la pobre calidad de las coordenadas geográ�cas
publicadas por el NGS. Estas coordenadas habían sido determinadas utilizando planos topográ�cos de
7,5 minutos. Solamente aquellas estaciones que habían sido observadas previamente con GNSS tenían
publicadas coordenadas precisas. Al momento de proyectar estas coordenadas en un sistema de información
geográ�ca, nos percatamos que la mayoría de las estaciones estaban desplazadas de su localización real.
Para corregir esta situación fue necesario visitar las estaciones permanentes utilizando como referencia
las hojas de datos que publica el NGS. Estas hojas contienen una descripción física de la localización
de la estación. Tras localizar e identi�car cada estación permanente, se procedió a asignarle coordenadas
geográ�cas con una precisión de ±10 metros (calidad aceptable para efectos de un sistema de información
geográ�ca) con un instrumento de GNSS manual. Posteriormente sería necesario coordinar una campaña
de observaciones con instrumentos de GNSS para poder determinar la altura elipsóidica y las coordenadas
geográ�cas con la mayor precisión posible (milimétrica). Es importante mencionar que cuando el NGS
estableció estas estaciones, no se consideró que todas estas estaciones se fueran a utilizar para realizar
observaciones con GNSS. Por lo tanto, no todas las estaciones permanentes recuperadas serían adecuadas
para ser observadas.
Otra problemática encontrada fue la desaparición o destrucción de muchas estaciones permanentes ya
sea por causas naturales como la erosión del terreno, los desarrollos urbanos o simplemente por vandalismo.
(Ver Figura 4.1 ) Al �nalizar el trabajo de recuperación, identi�camos 22 estaciones permanentes como
desaparecidas. Tras una segunda visita al campo, pasado solamente tres meses, encontramos que dos
estaciones adicionales habían sido destruidas para un total de 24 estaciones desaparecidas en un período
de siete años. En resumen, gracias a este trabajo de campo, fue posible recuperar un total 128 estaciones
permanentes con elevación conocida pertenecientes a la línea de nivelación del PRVD02.
66
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.1: Estaciones permanentes de la línea de nivelación del PRDV02 parcialmente destruidas.
4.1.1.2. Campaña de observaciones con instrumentos de GNSS y determinación de las
altitudes elipsoidales
Tras determinar que estaciones eran accesibles para hacer las observaciones con instrumentos de GNSS,
se procedió a realizar la campaña de observaciones. Se utilizaron un total de 13 antenas GNSS de doble
frecuencia, con�guradas para realizar lecturas cada segundo. Se estableció como norma que se realizarían
observaciones simultáneas con una duración de dos horas a dos horas y media, donde una antena perma-
necería �ja durante dos secciones consecutivas, mientras las demás antenas se trasladarían a la estación
más cercana.
Este procedimiento se realizó durante 9 días durante el mes de septiembre de 2009 y entre los meses
de diciembre de 2009 y enero de 2010. Al �nalizar la campaña de observaciones con GNSS, se lograron
realizar 18 secciones de observaciones y se observaron un total de 70 estaciones con elevación conocida.
Completadas las observaciones, fue necesario realizar un post procesamiento de datos preliminar para
determinar las coordenadas geográ�cas y las altitudes elipsóidicas. Para realizar el post proceso de las
observaciones de GNSS, se utilizó una de las herramientas que provee la página de procesamiento de
datos GNSS en línea del NGS. (http://www.ngs.noaa.gov/OPUS/) Esta página permite subir un �chero
en formato Rinex e indicando la altura y el tipo de la antena GNSS utilizada, nos permite obtener un
resultado de la posición geográ�ca y la altura elipsóidica del punto observado con una gran precisión.
Este programa en línea identi�ca que estaciones de referencia de operación continua estaban funcionando
simultáneamente al momento de realizar la observación y utilizando un proceso de triangulación y ajuste
de mínimos cuadrados, se determina la posición del receptor.
Como recomendación del NGS, los indicadores que determinan la calidad de la observación son los
siguientes; que el número de observaciones utilizadas sea mayor del 90%, que la cantidad de ambigüedades
corregidas sea mayor del 50% y que el valor de la solución tras realizar un ajuste por mínimos cuadrados
sea menor de 3 cm. En los casos que no se cumplía con algunos de los parámetros indicativos de calidad
67
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
de la observación, se procedió a repetir las observaciones aumentando el tiempo de la observación a tres
horas. Este procedimiento nos permitió determinar las coordenadas geográ�cas y las altitudes elipsóidicas
con una mayor precisión. En el Anexo 2 se encuentra el detalle de los resultados del post procesamiento
de datos de GNSS con el sistema OPUS.
Para efectos de la determinación geométrica del geoide fue necesario determinar las altitudes elipsódi-
cas con la mayor precisión posible. Para hacer esta operación se utilizó como referencia el marco NAD83
(CORS96/2007), época 2002,00. En este ajuste �nal se consideraron un total de 302 líneas base y utili-
zando la aplicación de Leica Geo O�ce (LGO) se post procesaron los datos determinando las coordenadas
con la mayor precisión posible en 70 estaciones de la línea de nivelación del PRVD02. Se encontró que el
valor de su desviación estándar máxima fue ±0,0053 metros. (Ver Tabla 4.1)
4.1.1.3. Campaña de observaciones gravimétricas y determinación de los valores de grave-
dad
Debido a que las estaciones permanentes de la línea de nivelación del PRVD02 no poseían datos de
gravedad, era imposible determinar los valores de las altitudes ortométricas. Como hemos mencionado,
para poder determinar el geoide geométrico es necesario tener valores de las altitudes ortométricas en las
estaciones permanentes. Por esta razón fue necesario realizar una campaña de medidas gravimétricas a lo
largo de la línea de nivelación. Previo a la campaña de observaciones, fue necesario determinar que estación
permanente que tuviera un valor de gravedad, de las cuatro existentes, podía ser utilizada como estación
de referencia. Por su accesibilidad fue seleccionada la estación SJ2, localizada en San Juan de Puerto Rico.
Esta estación tiene publicado un valor de gravedad modelada de 978664,2mGal. El mismo está referenciado
a la Red Internacional Estandarizada de Gravedad de 1971 (International Gravity Standarization Net of
1971, IGSN 71 ).
El equipo utilizado para realizar las observaciones gravimétricas fue un gravímetro relativo marca
LaCoste & Romberg, modelo G-1001 (Ver Figura 4.2) con una precisión de ±0,01 mGal. Este instrumento
está calibrado y tiene su punto de lectura en 2,4 y para poder operar el mismo, es necesario mantener su
temperatura interna en 53,8º C. Fue necesario establecer una estación de referencia la cual sería utilizada
posteriormente para realizar las correcciones por deriva. La misma fue ubicada en la ciudad de Toa Baja,
Puerto Rico y todos los días que se realizaron observaciones gravimétricas, se comenzó y terminó el circuito
de observaciones en esta estación.
Figura 4.2: Gravímetro LaCoste & Romberg modelo G-1001.
68
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla
4.1:
Valores
delasaltitudeselipsóidicas
consu
desviación
estánd
ar.
Estación
Latitud
Longitud
hcal
Desv.Est.
Estación
Latitud
Longitud
hcal
Desv.Est.
φλ
(metros)
±(m
etros)
φλ
(metros)
±(m
etros)
SJ2
18,46584056
-66,09513714
-24,807
0,0025
NC42
18,44546099
-66,44327953
-5,802
0,0030
SJNSH32
18,46837391
-66,12121112
-16,071
0,0010
G1003
18,44671381
-66,44927057
-15,734
0,0030
GUN
18,46799022
-66,12398185
-27,383
Fijo
NC44
18,44168025
-66,46557758
14,168
0,0030
SJNSH33
18,47045818
-66,12363326
-7,778
0,0016
MANATI2
18,43983438
-66,50123347
-21,674
0,0030
B1001
18,46035659
-66,08630114
-40,477
0,0020
P1003
18,47303417
-66,53366086
-42,922
0,0030
A1002
18,45824707
-66,09080752
-41,404
0,0021
Q1003
18,47893171
-66,53725554
-41,782
0,0030
DIAZ
18,44352291
-66,08002563
-36,852
0,0021
R1003
18,48652890
-66,54964281
-42,286
0,0032
C1002
18,43801638
-66,08382807
-37,754
0,0027
S1003
18,48788081
-66,56139506
-43,250
0,0031
PRMP3
18,43841475
-66,07089132
-36,055
0,0016
V1003
18,48471696
-66,59261598
-37,292
0,0030
SANABRIA
18,42288503
-66,14914749
-38,317
0,0023
U1003
18,48759682
-66,59907277
-35,932
0,0030
J1002
18,42084786
-66,16442388
-31,244
0,0024
X1003
18,49132341
-66,64000767
-41,593
0,0031
K1002
18,41898568
-66,17765741
-20,898
0,0027
A1004
18,48620019
-66,67089921
-41,447
0,0030
L1002
18,42011977
-66,19155678
-8,909
0,0024
D1004
18,46855099
-66,70937409
-39,775
0,0043
N1002
18,41322614
-66,21368589
2,259
0,0024
E1004
18,46694240
-66,71781719
-40,842
0,0041
NC81
18,41234797
-66,22693713
18,844
0,0026
F1004
18,45327505
-66,71832717
-37,651
0,0042
NC82
18,41497789
-66,23099312
9,593
0,0025
P1004
18,48684229
-66,78140053
-32,466
0,0042
S1002
18,42566170
-66,27654903
-29,799
0,0024
S1004
18,48738017
-66,80045538
-36,391
0,0042
T1002
18,42675105
-66,27971619
-21,701
0,0026
T1004
18,47725192
-66,80132912
4,053
0,0043
NC06
18,42522875
-66,28885291
-14,456
0,0025
V1004
18,48342210
-66,82365626
-38,190
0,0042
NC07
18,42644261
-66,29853269
2,769
0,0024
X1004
18,47590738
-66,84579684
9,072
0,0043
U1002
18,42433655
-66,30503734
10,109
0,0028
Y1004
18,47347478
-66,85698311
17,038
0,0042
V1002
18,42230198
-66,31264757
18,637
0,0027
G1005
18,48887403
-66,94887845
15,550
0,0043
W1002
18,42455449
-66,32740520
21,562
0,0027
J1005
18,48204130
-66,96417991
4,543
0,0047
Q1004
18,42894251
-66,33436847
16,174
0,0027
M1005
18,47299109
-66,99893954
63,974
0,0043
NC09
18,43122593
-66,33694229
5,595
0,0027
N1005
18,47179931
-67,00814005
65,337
0,0045
X1002
18,43197561
-66,34150319
-15,676
0,0027
Q1005
18,46824399
-67,03132739
83,247
0,0047
Y1002
18,42898203
-66,34851914
-19,447
0,0027
R1005
18,46436528
-67,04487713
87,060
0,0052
NC14
18,42779638
-66,36127158
-24,546
0,0037
AGUAUSCGB
18,45919733
-67,06521557
95,095
0,0053
C1003
18,43222398
-66,38330133
-8,912
0,0037
T1005
18,45631930
-67,07708704
97,498
0,0052
NC19
18,43703643
-66,39076217
28,658
0,0027
U1005
18,45316478
-67,09128110
104,039
0,0052
E1003
18,44156238
-66,41425306
-4,926
0,0030
VELEZ
18,44480003
-67,14692573
90,431
0,0053
BERRIO
S18,43978310
-66,42305694
0,636
0,0030
G1006
18,45557765
-67,16196889
-20,611
0,0053
F1003
18,44038773
-66,43589785
-0,016
0,0030
9759412TIDAL2
18,45733489
-67,16493391
-42,200
0,0052
69
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Se realizaron observaciones gravimétricas solamente en aquellas estaciones permanentes que habían sido
observadas previamente con GNSS. La campaña de observaciones gravimétricas duró un total de 7 días y
se realizaron lecturas de gravedad en 66 de las 70 estaciones disponibles. Tras realizar las observaciones
gravimétricas, fue necesario convertir estas lecturas en medidas de gravedad según la tabla de calibración
del instrumento, realizar la corrección por marea utilizando el programa ETGTAB (Wenzel, 1996) con
las ondas de marea correspondientes a las estaciones, recomendado por el Centro Internacional de Mareas
Terrestres (International Center for Earth Tides, ICET ), la corrección por altura del instrumento y
�nalmente la corrección por deriva. En el Anexo 3 se puede encontrar un detalle de las lecturas y las
correcciones realizadas a las medidas de gravedad.
4.1.1.4. Determinación de los valores de gravedad
Tras realizar todas las correcciones a las medidas de gravedad observadas, se procedió a computar los
valores de gravedad en cada una de las estaciones permanentes. Dado que el equipo LaCoste & Romberg es
un gravímetro relativo y no mide valores absolutos de gravedad, fue necesario determinar los incrementos
de las medidas de gravedad observada entre las estaciones para luego referenciarlos a la estación SJ2, de la
cual si conocemos su valor de la gravedad. En la Tabla 4.2 se presentan los resultados de los cómputos de
gravedad para las 66 estaciones permanentes con elevación conocida de la línea de nivelación del PRVD02.
4.1.1.5. Determinación de las altitudes ortométricas Helmert
A partir de las medidas de gravedad observadas en cada una de las estaciones y de los valores de ele-
vación, podemos calcular según la Eq. 2.142 los incrementos del número geopotencial entre dos estaciones
sucesivas. Para obtener el número geopotencial a partir de estos incrementos es necesario conocer su valor
absoluto en al menos uno de ellos. En nuestro caso hemos utilizado los datos de la estación de origen del
PRVD02, el 975 5371 A TIDAL. Esta estación es la única que tiene publicado el valor de la gravedad y
la altitud ortométrica. El valor de la gravedad modelada de la estación es 978,66850 Gal y el valor de la
altitud ortométrica es 1,334 metros. Partiendo de la Eq. 2.146 para determinar las altitudes ortométri-
cas Helmert, podemos determinar el valor del número geopotencial en la estación de origen utilizando la
siguiente expresión:
CP = HHelm ∗(g + 0, 0424HHelm
)(4.1)
Dónde:
C9755371ATIDAL = 1, 30554u, g.p.
Luego aplicando la Eq. 2.142, calculamos el valor del incremento del número geopotencial utilizando los
valores de los desniveles y de la gravedad media entre cada dos estaciones consecutivas. Para determinar
el desnivel entre dos estaciones, se consideró la diferencia entre los valores publicados de sus elevaciones
en kilómetros. Para determinar la gravedad media en cada par de estaciones, se promediaron los valores
de gravedad de las estaciones en Gal.
70
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla 4.2: Valores de gravedad en las estaciones permanentes del PRVD02.
EstaciónValor de Gravedad
EstaciónValor de Gravedad
(mGal) (mGal)
SJ2 978664,20 NC42 978662,63
SJNSH32 978659,01 G1003 978663,44
GUN 978661,23 NC44 978656,15
SJNSH33 978655,63 MANATI 2 978658,68
B1001 978669,72 P1003 978649,54
A1002 978670,19 Q1003 978647,97
DIAZ 978674,22 R1003 978643,83
C1002 978676,57 S1003 978641,91
PR MP 3 978675,76 V1003 978636,74
SANABRIA 978672,65 U1003 978634,85
J1002 978667,70 X1003 978631,57
K1002 978663,52 A1004 978631,75
L1002 978659,80 D1004 978633,16
N1002 978659,35 E1004 978633,85
NC81 978655,89 F1004 978636,59
NC82 978657,62 P1004 978627,26
S1002 978666,46 S1004 978628,38
T1002 978665,66 T1004 978621,86
NC06 978665,49 V1004 978629,87
NC07 978662,06 X1004 978621,77
U1002 978662,56 Y1004 978622,23
V1002 978662,87 G1005 978640,05
W1002 978664,15 J1005 978645,10
Q1004 978664,23 M1005 978634,26
NC09 978665,87 N1005 978634,94
X1002 978670,93 Q1005 978630,66
Y1002 978674,01 R1005 978629,56
NC14 978675,78 AGUA USCG B 978630,10
C1003 978670,33 T1005 978631,49
NC19 978660,40 U1005 978632,32
E1003 978666,22 VELEZ 978641,74
BERRIOS 978665,28 G1006 978663,29
F1003 978663,99 975 9412 TIDAL 2 978666,65
Conocido el número geopotencial de este punto inicial y los incrementos del valor del número geopo-
tencial entre los puntos adyacentes de la línea, obtuvimos los valores del número geopotencial en el resto
de las estaciones permanentes teniendo en cuenta que:
CQ = CP +4CPQ (4.2)
Al tener el valor del número geopotencial y ya que las altitudes que deseamos determinar son las altitudes
ortométricas Helmert, aplicando la Eq. 2.146 podemos obtener la siguiente expresión:
0, 0424H2 + gH − CP = 0 (4.3)
Como esta ecuación es una de segundo orden, primero fue necesario determinar el discriminante y luego
aplicar la fórmula cuadrática:
D = g2 + 4CP ∗ 0, 0424 (4.4)
71
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Al resolver la fórmula cuadrática se obtienen dos resultados para H.
H =
(−g ±
√D)
(2 ∗ 0, 0424)(4.5)
El primer resultado da un valor negativo, el cual se rechaza. Por lo que el valor de la altitud ortométrica
Helmert será el valor de H positivo. Este procedimiento se repitió para todos las estaciones de la línea de
nivelación. En el Anexo 4 se encuentra un detalle de los cómputos realizados para determinar las altitudes
ortométricas Helmert.
Tras computar los valores de las altitudes ortométricas, procedimos a compararlos con los valores la
elevación en cada una de las estaciones. La corrección ortométrica, es decir, la cantidad que hay que
añadir a los desniveles para obtener la altitud ortométrica, varía según la altura del punto observado
entre algunos milímetros en zonas llanas a varios decímetros en áreas montañosas. (Heiskanen y Moritz,
1967), (Mader, 1954), (Niethammer, 1932) Como era de esperar, dada la escasa elevación y el hecho de
que la línea esté orientada en la dirección este � oeste, las correcciones ortométricas son muy pequeñas.
Por debajo del milímetro en la mayor parte de las estaciones.
En la Tabla 4.3 se presentan las altitudes ortométricas Helmert calculadas para las estaciones de la
línea de nivelación del PRDV02, los valores de las elevaciones publicadas y la diferencia encontrada entre
estos dos valores. En la Figura 4.3 se muestra una grá�ca del per�l de las altitudes ortométricas a lo largo
de la Línea de Nivelación del PRDV02 donde se puede apreciar claramente la poca variación que hay en
la elevación del terreno lo que hace que las correcciones ortométricas sean mínimas.
Figura 4.3: Per�l de las altitudes ortométricas a lo largo de la Línea de Nivelación del PRVD02.
72
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla
4.3:
Valores
dela
elevaciónylasaltitudesortométricasHelmertcalculadas.
Estación
Desnivel
Alt.Ortométrica
Diferencia
Estación
Desnivel
Alt.Ortométrica
Diferencia
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
SJ2
18,344
18,344
0,000
NC42
37,154
37,154
0,000
SJNSH32
27,069
27,069
0,000
G1003
27,282
27,282
0,000
GUN
15,847
15,847
0,000
NC44
57,072
57,072
0,000
SJNSH33
35,479
35,479
0,000
MANATI2
21,221
21,221
0,000
B1001
2,569
2,569
0,000
P1003
1,004
1,004
0,000
A1002
1,588
1,588
0,000
Q1003
2,315
2,315
0,000
DIAZ
5,845
5,845
0,000
R1003
2,000
2,000
0,000
C1002
4,766
4,766
0,000
S1003
1,130
1,130
0,000
PRMP3
6,535
6,535
0,000
V1003
7,039
7,039
0,000
SANABRIA
3,927
3,927
0,000
U1003
8,489
8,489
0,000
J1002
10,954
10,954
0,000
X1003
3,028
3,028
0,000
K1002
21,336
21,336
0,000
A1004
3,021
3,021
0,000
L1002
33,307
33,307
0,000
D1004
4,350
4,350
0,000
N1002
44,328
44,328
0,000
E1004
3,261
3,261
0,000
NC81
60,945
60,945
0,000
F1004
6,074
6,074
0,000
NC82
51,743
51,743
0,000
P1004
12,156
12,156
0,000
S1002
12,507
12,507
0,000
S1004
8,251
8,252
0,001
T1002
20,687
20,687
0,000
T1004
48,451
48,451
0,000
NC06
27,831
27,831
0,000
V1004
6,349
6,350
0,001
NC07
45,150
45,150
0,000
X1004
53,431
53,431
0,000
U1002
52,438
52,438
0,000
Y1004
61,341
61,342
0,001
V1002
60,877
60,877
0,000
G1005
60,166
60,166
0,000
W1002
63,861
63,861
0,000
J1005
48,981
48,980
-0,001
Q1004
58,617
58,617
0,000
M1005
108,204
108,203
-0,001
NC09
48,099
48,099
0,000
N1005
109,558
109,558
0,000
X1002
26,817
26,817
0,000
Q1005
127,390
127,390
0,000
Y1002
22,909
22,909
0,000
R1005
131,073
131,073
0,000
NC14
17,921
17,921
0,000
AGUAUSCGB
138,982
138,982
0,000
C1003
33,617
33,617
0,000
T1005
141,364
141,364
0,000
NC19
71,354
71,354
0,000
U1005
147,903
147,903
0,000
E1003
37,894
37,894
0,000
VELEZ
134,320
134,319
-0,001
BERRIO
S43,368
43,368
0,000
G1006
23,621
23,619
-0,002
F1003
42,786
42,786
0,000
9759412TIDAL2
2,101
2,098
-0,003
73
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Para determinar la precisión de las altitudes ortométricas fue necesario aplicar la Eq. 2.170. En la
Tabla 4.4 se muestran los valores de la altitud ortométrica y su desviación estándar para cada una de
las estaciones del PRVD02. Como podemos apreciar, la desviación estándar de las altitudes ortométricas
varía desde ±1,1 milímetros en la estación más cercana al origen de la línea de nivelación hasta un valor
máximo de ±7,4 milímetros en la estación más alejada del origen de la línea. En el Anexo 5 podemos
encontrar un detalle del cómputo de la precisión de las altitudes ortométricas Helmert.
4.1.1.6. Determinación de la ondulación del geoide geométrico
Para computar los valores de la ondulación del geoide geométrico en cada una de las estaciones de
la línea de nivelación, fue necesario utilizar los valores de las altitudes ortométricas y de las altitudes
elipsóidicas. Aplicando la Eq. 2.171 podemos determinar la ondulación del geoide geométrico(NGeo
). En
la Tabla 4.5 podemos ver los valores de la ondulación del geoide geométrico en cada una de las estaciones
de la línea de nivelación del PRVD02.
Utilizando la Eq. 2.172 podemos determinar la precisión de la ondulación del geoide geométrico. La
misma fue computada considerando la desviación estándar máxima de la altitud elipsóidicas y de la
altitud ortométrica. Como hemos mencionado, el valor máximo de la desviación estándar de la altitud
elipsóidica fue de ±0,0053 metros mientras que la desviación estándar máxima de la altitud ortométrica
fue de ±0,0074 metros. Aplicando la Eq. 2.172:
σNGeo =
√((0, 0053)
2+ (0, 0074)
2)
Encontrando que la precisión de la ondulación del geométrico era:
σNGeo = ±0, 0091metros
Esto indica que la ondulación del geoide geométrico, computado utilizando los datos de campo, va a
tener una precisión que estará por debajo del centímetro. Precisión mucho mayor que la de los modelos
geopotenciales globales y regionales con los que en el mejor de los casos, se podría obtener una precisión
relativa de al menos ±2,8 cm. como era el caso del GEOID09 (Roman et al., 2010a).
4.1.2. Análisis de la precisión de los incrementos de la ondulación del geoide
Tras determinar los valores de la ondulación del geoide geométrico se procedió a determinar los valores
absolutos de la ondulación del geoide utilizando los distintos modelos geopotenciales. Para calcular la
ondulación de geoide con el EGM96 (Lemoine et al., 1998), se utilizó una aplicación desarrollada por la
Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía de los Estados Unidos de América llamada NIMA EGM96
Calculator (Ver. 1.0). Para determinar los valores de la ondulación de geoide con el EGM2008 (Pavlis
et al., 2008), se utilizó una aplicación en FORTRAN llamada hsynth_WGS84.exe. Los valores absolutos
de la ondulación del geoide del modelo geopotencial regional del GEOID12A (Roman y Weston, 2012)
fueron determinados utilizando una aplicación de la página web del NGS http://www.ngs.noaa.gov/cgi-
bin/GEOID_STUFF/geoid12_prompt1.prl.
En la Tabla 4.6 podemos ver un detalle de los resultados obtenidos para el cómputo de los valores de
la ondulación de geoide en la estación de origen del PRVD02 :
74
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla
4.4:
Valores
delasaltitudesortométricasconsu
desviación
estánd
ar.
Estación
Alt.Ortométrica
DesviaciónEstándar
Estación
Alt.Ortométrica
DesviaciónEstándar
(metros)
±(m
etros)
(metros)
±(m
etros)
SJ2
18,344
0,0011
NC42
37,154
0,0041
SJNSH32
27,069
0,0008
G1003
27,282
0,0042
GUN
15,847
0,0008
NC44
57,072
0,0043
SJNSH33
35,479
0,0009
MANATI2
21,221
0,0045
B1001
2,569
0,0012
P1003
1,004
0,0046
A1002
1,588
0,0012
Q1003
2,315
0,0047
DIAZ
5,845
0,0014
R1003
2,000
0,0047
C1002
4,766
0,0014
S1003
1,130
0,0048
PRMP3
6,535
0,0016
V1003
7,039
0,0050
SANABRIA
3,927
0,0016
U1003
8,489
0,0050
J1002
10,954
0,0018
X1003
3,028
0,0052
K1002
21,336
0,0020
A1004
3,021
0,0054
L1002
33,307
0,0021
D1004
4,350
0,0055
N1002
44,328
0,0024
E1004
3,261
0,0056
NC81
60,945
0,0025
F1004
6,074
0,0056
NC82
51,743
0,0025
P1004
12,156
0,0059
S1002
12,507
0,0029
S1004
8,252
0,0060
T1002
20,687
0,0029
T1004
48,451
0,0060
NC06
27,831
0,0030
V1004
6,350
0,0061
NC07
45,150
0,0031
X1004
53,431
0,0061
U1002
52,438
0,0032
Y1004
61,342
0,0062
V1002
60,877
0,0032
G1005
60,166
0,0066
W1002
63,861
0,0033
J1005
48,980
0,0066
Q1004
58,617
0,0034
M1005
108,203
0,0068
NC09
48,099
0,0034
N1005
109,558
0,0068
X1002
26,817
0,0034
Q1005
127,390
0,0069
Y1002
22,909
0,0035
R1005
131,073
0,0069
NC14
17,921
0,0036
AGUAUSCGB
138,982
0,0070
C1003
33,617
0,0037
T1005
141,364
0,0071
NC19
71,354
0,0038
U1005
147,903
0,0071
E1003
37,894
0,0039
VELEZ
134,319
0,0073
BERRIO
S43,368
0,0040
G1006
23,619
0,0074
F1003
42,786
0,0041
9759412TIDAL2
2,098
0,0074
75
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla
4.5:
Valores
dela
ondu
lación
delgeoide
geom
étrico
enlasestaciones
dela
línea
denivelación
delPRVD02.
Estación
Alt.Elipsoidal
Alt.Ortométrica
NGeo
Estación
Alt.Elipsoidal
Alt.Ortométrica
NGeo
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
SJ2
-24,807
18,344
-43,151
NC42
-5,802
37,154
-42,956
SJNSH32
-16,071
27,069
-43,140
G1003
-15,734
27,282
-43,016
GUN
-27,383
15,847
-43,230
NC44
14,168
57,072
-42,904
SJNSH33
-7,778
35,479
-43,257
MANATI2
-21,674
21,221
-42,895
B1001
-40,477
2,569
-43,046
P1003
-42,922
1,004
-43,926
A1002
-41,404
1,588
-42,992
Q1003
-41,782
2,315
-44,098
DIAZ
-36,852
5,845
-42,697
R1003
-42,286
2,000
-44,287
C1002
-37,754
4,766
-42,520
S1003
-43,250
1,130
-44,381
PRMP3
-36,055
6,535
-42,590
V1003
-37,292
7,039
-44,331
SANABRIA
-38,317
3,927
-42,244
U1003
-35,932
8,489
-44,421
J1002
-31,244
10,954
-42,198
X1003
-41,593
3,028
-44,621
K1002
-20,898
21,336
-42,234
A1004
-41,447
3,021
-44,468
L1002
-8,909
33,307
-42,216
D1004
-39,775
4,350
-44,126
N1002
2,259
44,328
-42,070
E1004
-40,842
3,261
-44,104
NC81
18,844
60,945
-42,101
F1004
-37,651
6,074
-43,726
NC82
9,593
51,743
-42,150
P1004
-32,466
12,156
-44,623
S1002
-29,799
12,507
-42,306
S1004
-36,391
8,252
-44,643
T1002
-21,701
20,687
-42,388
T1004
4,053
48,451
-44,398
NC06
-14,456
27,831
-42,287
V1004
-38,190
6,350
-44,540
NC07
2,769
45,150
-42,381
X1004
9,072
53,431
-44,360
U1002
10,109
52,438
-42,329
Y1004
17,038
61,342
-44,304
V1002
18,637
60,877
-42,240
G1005
15,550
60,166
-44,616
W1002
21,562
63,861
-42,299
J1005
4,543
48,980
-44,438
Q1004
16,174
58,617
-42,443
M1005
63,974
108,203
-44,229
NC09
5,595
48,099
-42,504
N1005
65,337
109,558
-44,221
X1002
-15,676
26,817
-42,493
Q1005
83,247
127,390
-44,143
Y1002
-19,447
22,909
-42,356
R1005
87,060
131,073
-44,013
NC14
-24,546
17,921
-42,466
AGUAUSCGB
95,095
138,982
-43,887
C1003
-8,912
33,617
-42,529
T1005
97,498
141,364
-43,866
NC19
28,658
71,354
-42,696
U1005
104,039
147,903
-43,864
E1003
-4,926
37,894
-42,820
VELEZ
90,431
134,319
-43,888
BERRIOS
0,636
43,368
-42,732
G1006
-20,611
23,619
-44,229
F1003
-0,016
42,786
-42,802
9759412TIDAL2
-42,200
2,098
-44,298
76
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla 4.6: Resultados del cómputo de los valores de la ondulación del geoide en la estación de origen dela línea de nivelación del PRVD02.
Estación de Origen 975 5371 A TIDAL
Latitud 18,45895453 NGeo. -42,978 metros
Longitud -66,11644616 NEGM96 -44,242 metros
Altitud Elipsóidica -41,644 metros NEGM2008 -45,199 metros
Altitud Ortométrica 1,334 metros NGEOID12A -42,985 metros
Dónde:
NEGM96: ondulación del geoide EGM96 (metros)
NEGM2008: ondulación del geoide EGM2008 (metros)
NGEOID12A:ondulación del geoide GEOID12A (metros)
En la Tabla 4.7 se muestran los valores absolutos de la ondulación de geoide obtenidos utilizando los
modelos geopotenciales globales y y el modelo geopotencial regional.
Cuando comparamos los valores de la ondulación del geoide obtenidos con los modelos geopotenciales
globales con el valor de la ondulación del geoide obtenido con el modelo geopotencial regional y el valor
de la ondulación del geoide geométrico, encontramos diferencias del rango de los dos metros. Puesto que
cada modelo tiene un origen (dátum) diferente, se procedió a analizar los incrementos de la ondulación
del geoide, es decir las diferencias de los valores de la ondulación del geoide entre cada par de estaciones
comenzando en la estación de origen del PRVD02. Al momento de realizar esta operación, el factor de
diferencia de dátum se elimina y no afecta el resultado. Tras determinar los valores de la ondulación
del geoide con cada uno de los modelos geopotenciales, se procedió a determinar las diferencias entre los
incrementos de la ondulación del geoide de cada uno de los modelos con los incrementos de la ondulación
del geoide geométrico utilizando las siguientes ecuaciones:
∇4NGeo−EGM96 = 4NGeo −4NEGM96 (4.6)
∇4NGeo−EGM2008 = 4NGeo −4NEGM2008 (4.7)
∇4NGeo−GEOID12A = 4NGeo −4NGEOID12A (4.8)
La precisión de cada modelo fue determinada utilizando la siguiente expresión que nos permite deter-
minar la desviación estándar de las diferencias de los incrementos de la ondulación de geoide para cada
uno de los casos:
σ∇4NGeo−Modelo =
√√√√(∑ (δi − δAve.)2
n
)(4.9)
Dónde:
δi : Diferencia de los incrementos de la ondulación del geoide entre estaciones de referencia (metros)
δAve. : Promedio de los diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide (metros)
n : Número de estaciones de referencia observadas (66)
77
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla
4.7:
Valores
dela
ondu
lación
delgeoide
enla
línea
denivelación
delPRVD02obtenida
conlosdistintosmodelos
geopotenciales.
Estación
NEGM
96
NEGM
2008
NGEOID
12A
Estación
NEGM
96
NEGM
2008
NGEOID
12A
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
SJ2
-44,406
-45,340
-43,112
NC42
-44,224
-45,123
-42,907
SJNSH32
-44,438
-45,403
-43,202
G1003
-44,266
-45,166
-42,953
GUN
-44,427
-45,396
-43,196
NC44
-44,204
-45,070
-42,864
SJNSH33
-44,481
-45,449
-43,252
MANATI2
-44,268
-45,092
-42,897
B1001
-44,301
-45,220
-42,988
P1003
-45,090
-46,007
-43,804
A1002
-44,252
-45,177
-42,944
Q1003
-45,238
-46,169
-43,969
DIAZ
-43,968
-44,869
-42,639
R1003
-45,457
-46,393
-44,200
C1002
-43,856
-44,758
-42,529
S1003
-45,530
-46,451
-44,267
PRMP3
-43,880
-44,763
-42,538
V1003
-45,569
-46,426
-44,256
SANABRIA
-43,505
-44,442
-42,230
U1003
-45,661
-46,512
-44,345
J1002
-43,458
-44,392
-42,186
X1003
-45,907
-46,671
-44,505
K1002
-43,417
-44,346
-42,140
A1004
-45,908
-46,577
-44,418
L1002
-43,433
-44,361
-42,155
D1004
-45,653
-46,174
-44,015
N1002
-43,303
-44,206
-41,999
E1004
-45,650
-46,142
-43,984
NC81
-43,287
-44,181
-41,976
F1004
-45,348
-45,809
-43,646
NC82
-43,336
-44,236
-42,031
P1004
-46,372
-46,673
-44,527
S1002
-43,556
-44,469
-42,272
S1004
-46,461
-46,691
-44,548
T1002
-43,580
-44,494
-42,298
T1004
-46,225
-46,441
-44,295
NC06
-43,557
-44,462
-42,265
V1004
-46,458
-46,594
-44,459
NC07
-43,589
-44,494
-42,298
X1004
-46,366
-46,406
-44,273
U1002
-43,555
-44,448
-42,252
Y1004
-46,352
-46,344
-44,207
V1002
-43,524
-44,404
-42,208
G1005
-47,034
-46,671
-44,521
W1002
-43,585
-44,464
-42,270
J1005
-46,920
-46,494
-44,344
Q1004
-43,679
-44,572
-42,379
M1005
-46,813
-46,268
-44,132
NC09
-43,727
-44,628
-42,434
N1005
-46,812
-46,241
-44,107
X1002
-43,748
-44,650
-42,455
Q1005
-46,793
-46,171
-44,040
Y1002
-43,700
-44,584
-42,388
R1005
-46,741
-46,102
-43,969
NC14
-43,697
-44,568
-42,370
AGUAUSCGB
-46,676
-46,030
-43,892
C1003
-43,823
-44,700
-42,493
T1005
-46,641
-46,001
-43,862
NC19
-43,993
-44,828
-42,617
U1005
-46,605
-45,982
-43,839
E1003
-44,075
-44,976
-42,757
VELEZ
-46,539
-46,080
-43,903
BERRIO
S-44,058
-44,946
-42,726
G1006
-46,785
-46,377
-44,203
F1003
-44,101
-44,983
-42,764
9759412TIDAL2
-46,826
-46,430
-44,261
78
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
En el Anexo 6 se presentan los cómputos del análisis de los incrementos para determinar la precisión de
los modelos del geoide a lo largo de la línea de nivelación. En la Tabla 4.8 se presenta un resumen de
los resultados encontrados al realizar el análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del
geoide en las estaciones permanentes de la línea de nivelación.
Tabla 4.8: Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulacióndel geoide.
∇4maximo ∇4mınimo σ
∇4NGeo−EGM96 0,370 metros 0,001 metros ± 0,055 metros
∇4NGeo−EGM2008 0,126 metros 0,001 metros ± 0,029 metros
∇4NGeo−GEOID12A 0,129 metros 0,001 metros ± 0,030 metros
Es notable resaltar que al igual que en los trabajos de Kotsakis et al. (2010), Jekeli et al. (2009a) y Bursa
et al. (2009), el EGM2008 supera notablemente la precisión del EGM96. De la misma manera podemos
decir que como en los trabajos de Huang y Veronneau (2009), el EGM2008 tiene una precisión comparable
con la de un modelo geopotencial regional, cumpliendo así con las expectativas de los desarrolladores
del EGM2008 que indicaron que este modelo comparará en su calidad con los modelos geopotenciales
regionales y locales (Pavlis et al., 2008).
4.1.3. Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las
distancias entre líneas observadas y las diferencias de elevación entre
estaciones permanentes
Una de las interrogantes planteadas al principio de la investigación era si la distancia entre las líneas
bases observadas y las diferencias en la altitud ortométrica entre las estaciones permanentes afectarían
de alguna manera los resultados del análisis de los incrementos de la ondulación del geoide. Para realizar
este análisis se consideraron 201 líneas base que fueron observadas con GNSS. Se procedió a determinar
las distancias existentes entre las estaciones que conformaban las líneas base que interesábamos analizar.
Luego se procedió a determinar las diferencias de la altitud ortométrica entre estas estaciones. Utilizando
los valores absolutos de la ondulación del geoide, tanto geométrico como el de los modelos geopotenciales,
se procedió a computar los incrementos de ondulación del geoide entre las estaciones. Finalmente compu-
tamos las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la
ondulación del geoide de los modelos geopotenciales.
Como podemos observar en la Figura 4.4 donde se muestran las diferencias en los incrementos de la
ondulación del geoide en función de la distancia entre las líneas base, analizando el comportamiento del
EGM96 (línea entrecortada), al calcular ∇4NGeo−EGM96
mientras mayor es la distancia entre las líneas
base, mayor es la diferencia entre los incrementos de las ondulación del geoide, algo que no sucede con el
EGM2008 (línea contínua).
79
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.4: Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las distancias entrelíneas base.
En el caso de la Figura 4.5 donde se presentan las diferencias de los incrementos de la ondulación
del geoide en función de las diferencias de altitud entre líneas base, si analizamos el comportamiento
del EGM96 (línea entrecortada) cuando calculamos el ∇4NeoGeo−EGM96, su comportamiento es muy
irregular, en contraste con el EGM2008 (línea contínua) que muestra un comportamiento muy regular,
sin importar las diferencias de altitud entre las líneas base.
Figura 4.5: Diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide en función de las diferencias dealtitud entre estaciones permanentes.
80
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Este análisis muestra lo sensible que era el modelo geopotencial EGM96 cuando se consideraba el
factor distancia y la diferencia en altitud entre líneas base. De la misma manera podemos decir que el
modelo geopotencial EGM2008 no se ve afectado por estas variaciones. En el Anexo 7 se encuentran los
resultados del análisis de los incrementos de la ondulación del geoide de los modelos EGM96 y EGM2008
considerando las distancias y las diferencias de alturas entre las líneas base.
4.1.4. Ajuste de los valores absolutos de la ondulación del geoide obtenido
utilizando los distintos modelos geopotenciales globales
Como habíamos mencionado anteriormente, los valores absolutos de la ondulación del geoide de los
distintos modelos geopotenciales di�eren unos de otros debido a que el origen o dátum de cada modelo
es diferente. Por esta razón fue necesario realizarle un ajuste a los valores absolutos obtenidos con los
modelos geopotenciales para corregir esta diferencia y así poder aplicarlos directamente. Las diferencias de
los valores absolutos de la ondulación del geoide fueron determinados utilizando las siguientes ecuaciones:
δi = NGeo −NEGM96 (4.10)
δi = NGeo −NEGM2008 (4.11)
Al determinar el promedio de las diferencias de los valores absolutos de la ondulación del geoide,
obtuvimos los siguientes resultados:
δAve.(NGeo −NEGM96
)= 1, 575metros
δAve.(NGeo −NEGM2008
)= 2, 125metros
Introduciendo este ajuste al valor absoluto de la ondulación del geoide obtenido utilizando los modelos
geopotenciales, obtenemos entonces:
NEGM96Adj. = NEGM96 + 1, 575metros
NEGM2008Adj. = NEGM2008 + 2, 125metros
El procedimiento utilizado para determinar la precisión de los valores ajustados de la ondulación
del geoide fue similar al procedimiento utilizado para determinar la precisión de los incrementos de la
ondulación del geoide. En este caso calculamos directamente las diferencias entre los valores absolutos de
la ondulación del geoide geométrico y los valores absolutos ajustados de la ondulación del geoide obtenido
con los modelos geopotenciales. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
σNEGM96Adj. = ±0, 302metros
σNEGM2008Adj. = ±0, 030metros
81
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Al determinar la precisión del GEOID12A utilizando los valores de la ondulación del geoide sin reali-
zarle ningún tipo de ajuste, encontramos que la misma fue:
σNGEOID12A. = ±0, 036metros
Lo que demuestra que efectivamente la precisión del modelo EGM2008 es comparable y como en
este caso superior con la precisión del modelo regional GEOID12A. En el Anexo 8 se presentan los
cómputos del análisis para determinar la precisión de los modelos GEOID12A y los modelos EGM96 y
EGM2008 ajustados. En las Figuras 4.6 y 4.7 se presentan las grá�cas con los resultados del ajuste de los
valores obtenidos de la ondulación del geoide utilizando los modelos geopotenciales EGM96 y EGM2008
respectivamente comparado a su vez con los valores obtenidos de la ondulación del geoide geométrico
(línea continua).
Figura 4.6: Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM96 Ajustado.
Podemos observar en la Figura 4.6 que el EGM96 Ajustado no coincide con la ondulación del geoide
geométrico. Un comportamiento completamente diferente al del EGM2008 Ajustado de la Figura 4.7
donde encontramos que tiene una precisión de ±0,030 metros. Cumpliendo así con las expectativas de
sus desarrolladores, que indicaban que el EGM2008 alcanzaría una precisión similar a la de los modelos
geopotenciales regionales (Pavlis et al., 2008) contrario a lo sucedido con el EGM96 que su precisión fue
de ±0,302 metros.
82
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.7: Per�l de la Ondulación del Geoide obtenido con el EGM2008 Ajustado.
4.2. Determinación del modelo digital topo-batimétrico para la
zona de estudio
Para realizar los trabajos de la determinación de un modelo del geoide gravimétrico es indispensable
contar con un modelo digital topo batimétrico con la mejor resolución posible. En nuestro estudio se
utilizó el mismo para realizar las correcciones topográ�cas y para determinar las correcciones isostáticas
que serán la base para poder emplear la metodología que nos permitirá determinar las anomalías aire libre
partiendo de un modelo digital del terreno. (Jekeli et al., 2009b) Como mencionamos en la Sección 3.3, el
modelo digital del terreno utilizado en nuestro estudio es el SRTM3. Tras descargar los �cheros existentes
para la región de Puerto Rico desde la página web de la NASA, fue necesario realizar un pre-procesamiento
del modelo que nos permitiera hacer un mosaico con todas las imágenes descargadas y que el mismo no
incluyera zonas con datos nulos o no data.
4.2.1. Pre-procesamiento del modelo digital del terreno SRTM3
Tras descargar los �cheros, encontramos que los mismos estaban en formato ráster. Por lo tanto fue
necesario combinar todas las capas y preparar un mosaico. Para esta operación se utilizó un programa
de manejo de información geográ�ca en formato libre llamado Quantum GIS. Una vez creado el mosaico,
fue convertido a formato ráster de Grass. El programa Grass, es también uno de formato libre pero
especializado en el procesamiento de imágenes y mapas. Se estableció un área de trabajo considerando
que siempre se mantuviera la misma resolución del paso de malla original igual a 0,000833333.
83
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
El problema principal que tenían los �cheros del SRTM3 eran las celdas con datos nulos. El SRTM3
identi�ca estas celdas con un valor de -32768,0000. Utilizando la aplicación r.�llnulls de Grass, fue posible
asignarle un valor de dato nulo a estas celdas y utilizando un proceso automático de interpolación lineal se
procedió a rellenar estas celdas considerando los valores de los datos vecinos. Esta operación nos permitió
obtener un modelo digital del terreno sin datos extremos ni datos nulos. En la Figura 4.8 se presenta la
imagen del SRTM3 en formato ráster tras el pre-procesamiento para la zona de Puerto Rico comprendida
entre los paralelos 17,5 � 19, 0 grados Norte y los meridianos 65,0 � 68,0 grados Oeste.
Figura 4.8: Modelo digital del terreno SRTM3 de Puerto Rico.
Para la exportación del �chero en formato ráster de Grass, se utilizó el programa Quantum GIS.
Mediante la aplicación de conversión de formato, se obtiene un �chero en formato vectorial (longitud,
latitud, elevación) que será el formato que utilizaremos a lo largo de nuestra investigación.
4.2.2. Generación de curvado a cota cero y extracción de las líneas de costa
Otro de los problemas a los cuales nos enfrentamos, es que el modelo SRTM3 de�ne los mares como
zonas con elevación de cero. Para poder realizar las operaciones de correcciones topográ�cas y las co-
rrecciones isostáticas es necesario contar con datos de profundidad en la zona marítima. Por esta razón
fue necesario eliminar estos datos de elevación cero para luego sustituirlos por valores de profundidad
obtenidos con un modelo digital de batimetría. Para realizar estas operaciones fue necesario utilizar el
paquete de programas informáticos de Global Mapper.
Primeramente se procedió a �ltrar el SRTM3 utilizando la línea de costa y generó un modelo digital
del terreno que solamente incluye datos de la zona terrestre. En la Figura 4.9 se presenta una imagen
del resultado tras realizar el �ltrado. Como se puede apreciar claramente en la �gura antes mencionada,
solamente contamos con datos de elevación en la zona terrestre, por lo que ahora si es posible combinar
este modelo con un modelo batimétrico sin entrar en con�ictos con los datos con valor de cero que habían
en la zona marítima.
84
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.9: Modelo SRTM3 tras el �ltrado.
4.2.3. Combinación del modelo digital del terreno SRTM3 y el modelo bati-
métrico GEBCO08
Como mencionamos en la Sección 3.4, para la parte oceánica se utilizó el modelo digital de batimetría
del BODC, el GEBCO08, el cual consta de una resolución de 30 segundos de arco. (Ver Figura 4.10)
Tal como sucedió con el modelo SRTM3, el cual estaba en formato ráster y tenía datos nulos, el modelo
GEBCO08 tenía zonas donde no había datos y estas zonas estaban identi�cadas como datos nulos. Fue
necesario pre-procesar este modelo realizado un re muestreo pero manteniendo la misma resolución de 30
segundos de arco. Mediante un proceso automático de interpolación lineal del programa Global Mapper, se
lograron rellenar las zonas identi�cadas con datos nulos lo que nos permitió contar con un modelo digital
de batimetría con datos en todas sus celdas.
Figura 4.10: Modelo digital de batimetría GEBCO08.
85
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Debido a que el modelo digital del terreno STRM3 tiene una resolución de 3 segundos de arco y el
GEBCO08 tiene una resolución de 30 segundos de arco, fue necesario remuestrear ambos modelos a una
misma resolución. Ya que deseamos mantener la mayor resolución posible en las zonas terrestres, decidimos
mantener el SRTM3 a una resolución de 3 segundos de arco y remuestrear el GEBCO08 de 30 segundos de
arco a una resolución de 3 segundos de arco. Ya con los dos modelos a una misma resolución, los mismos
fueron fusionados utilizando la aplicación de superposición de Global Mapper. La operación consistió en
sobreponer la imagen del SRTM3, que solo tiene datos terrestres, sobre la imagen del GEBCO08 el cual
consta con datos marinos y datos terrestres pero con menor resolución. Este procedimiento permitió
generar una imagen en la cual los datos terrestres pertenecen al modelo SRTM3 y en la zona marítima
datos del GEBCO08 a una resolución de 3 segundo de arco. En la Figura 4.11 se presenta una imagen del
resultado de la fusión de los modelos SRTM3 y GEBCO08 a una resolución de 3 segundos de arco.
Partiendo del modelo topo batimétrico fusionado, se procedió a exportar tres cuadriculas las cuales
serían utilizadas para realizar las correcciones topográ�cas y para las correcciones isostáticas. Por cuestión
de limitación en la capacidad de procesamiento de los ordenadores al momento realizar algunas operaciones
en el programa Matlab, fue necesario extraer tres cuadrículas en formato vectorial con un paso de malla
de 6 segundos de arco, 1 minuto y 5 minutos.
Figura 4.11: Fusión de los modelos SRTM3 y GEBCO08.
4.3. Validación de los datos de gravedad terrestre
Para implementar la mayoría de las aplicaciones geodésicas o geofísicas, es necesario contar con una
base de datos gravimétricos �able. Como hemos mencionado anteriormente, para realizar este trabajo
hemos tenido que acceder diferentes bases de datos las cuales contienen datos los cuales fueron obtenidos
en diferentes campañas en distintas épocas. Tanto las bases de datos del BGI como la del NOAA contienen
datos de gravedad recientes pero también poseen datos capturados a mediados del siglo XX antes de la
era del GNSS. Esto claramente indica la necesidad de realizar una revisión de dátum y veri�car si estos
86
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
datos están referenciados al elipsoide de referencia actual, el GSR80. Esta situación no acurre con la base
de datos de anomalías aire libre de Sandwell y Smith, la cual contiene datos obtenidos mediante altimetría
con satélite a partir de las campañas recientes del GEOSAT y del ERS-1. Para validar estos datos ha
sido necesario utilizar la validación por altimetría con SIG y la validación por colocación utilizando la
función de covarianza del potencial anómalo de Tscherning y Rapp (1974). Adicional a estas técnicas,
fue necesario aplicar varias de las técnicas propuestas por Sevilla et al. (1997a) para crear una base
de datos gravimétricos con�able como lo es la validación gra�ca inicial, la transformación de dátum, la
transformación de los datos al sistema de referencia del elipsoide actual y la búsqueda de observaciones
repetidas. En esta sección, también presentamos un resumen del análisis realizado para determinar la
calidad de los datos gravimétricos marinos descargados de la base de datos del BGI y de la página de la
NOAA.
4.3.1. Preparación de los datos
Previo a realizar la validación de datos de gravedad es necesario asegurarse que exista homogeneidad
entre los datos existentes y que se pueda garantizar la calidad de las observaciones gravimétricas. Para
estos efectos es necesario asegurarse que no existan observaciones repetidas, eliminar los posibles errores
groseros, asegurarse que todas las observaciones estén referenciadas al mismo dátum y que los datos
de gravedad estén referenciados al mismo elipsoide. En el caso de los datos de gravedad terrestre, la
información que provee el BGI permite realizar todos estos análisis previos. Aunque no se ofrecen detalles
especí�cos del tipo de instrumentación que se utilizó para realizar las observaciones gravimétricas ni de
cómo se determinaron las coordenadas geográ�cas y las altitudes, si tenemos las fechas de la campañas lo
que nos permite tener una idea como se determinaron las coordenadas geográ�cas y las altitudes.
Ya que las observaciones gravimétricas terrestres fueron obtenidas entre 1950 y 1967, entendemos
que estas observaciones fueron referenciadas utilizando los Cuadrángulos Topográ�cos de 7,5 minutos
desarrollados por el USGS. Estos planos topográ�cos fueron publicados en 1922 y los mismos se siguieron
utilizando hasta su revisión en el año 1960. Los planos revisados se utilizaron el hasta el año 2006 cuando
fueron sustituidos por los actuales modelos digitales de elevación del terreno. Esta información nos ayuda
a tener una idea de la precisión de las altitudes y de las coordenadas geográ�cas. En la Sección 4.3.2
discutiremos con más detalle los procedimientos utilizados para la validación por altimetría utilizando
SIG.
4.3.1.1. Validación grá�ca inicial
Inmediatamente fueron descargados los datos de las observaciones gravimétricas terrestres, las mismas
fueron organizadas en orden descendente considerando las longitudes y se le asignó un número identi-
�cador. Para realizar la validación gra�ca inicial, se gra�caron los 1894 datos de anomalías aire libre
publicadas por el BGI en función de los valores de las altitudes publicadas sin realizarle ningún tipo de
ajuste. (Ver Figura 4.12)
87
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.12: Grá�co inicial anomalías aire libre en función de las altitudes.
De este análisis inicial podemos identi�car claramente una observación que se encuentra completamente
fuera de la nube de puntos. Esta observación fue identi�cada y clasi�cada como una observación sospechosa
para luego analizarla con más detalle.
Como parte del proceso de validación gra�ca inicial, se procedió a subir los datos de anomalías aire
libre publicados por el BGI en una capa del programa Quantum GIS para determinar si había datos fuera
de la zona de trabajo. Esta capa fue superpuesta sobre el Modelo Digital del Terreno SRTM3 para la
zona de Puerto Rico. (Figura 4.13)
Figura 4.13: Vista inicial de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno.
88
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tras proyectar los puntos, fue posible detectar que la mayoría de las observaciones que se encontraban
en la zona costera, se encontraban fuera de los contornos del SRTM3. Ya que estos datos eran exclusivos
de observaciones gravimétricas terrestres, fue posible deducir que existía un problema de dátum ya que
era muy poco probable que todos estos fueran errores groseros.
4.3.1.2. Transformación de Dátum NAD27 a NAD83
Como mencionamos en la sección anterior, al realizar la validación grá�ca inicial y proyectar las
observaciones gravimétricas en un Quantum GIS, nos percatamos que la mayoría de los puntos que estaban
localizados en las costas se encontraban fuera del contorno del SRTM3. Dada la fecha en que estas
campañas gravimétricas fueron realizadas, era muy probable que los planos de donde se interpolaron las
coordenadas geográ�cas estuvieran referenciados al dátum NAD27, que era el dátum utilizado en Puerto
Rico hasta que se estableció como dátum o�cial el NAD83. Utilizando una de las aplicaciones geodésicas
disponible en la página web del NGS se procedió a transformar los datos del dátum NAD27 a dátum
NAD83. Accediendo al siguiente enlace: http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/nadcon.prl, fue posible realizar
la transformación de dátum.
Para realizar esta operación fue necesario preparar un �chero en formato de texto que incluya los
valores de las latitudes y longitudes en grados decimales y se tomó como valor positivo la latitud norte
y la longitud oeste. Tras realizar la transformación de los datos al dátum NAD83, podemos apreciar que
existe un desplazamiento promedio de � 220,533 metros en la latitud y -40,444 metros en la longitud. En
la Tabla 4.9 se presenta un resumen de los resultados de la transformación de los datos del dátum NAD27
a NAD83.
Tabla 4.9: Resumen transformación de Dátum NAD27 a NAD83.
Desplazamiento NAD27 - NAD83Longitud Latitud
MIN MAX MIN MAX
Rango Desplazamiento (metros) -42,158 -39,557 -221,684 -218,781
Rango Desplazamiento (segundos) -1,434 -1,347 -7,210 -7,116
Desplazamiento promedio (metros) -40,444 -220,533
Varianza del desplazamiento promedio 0,367 0,510
Desv. Est. desplazamiento promedio 0,606 0,714
Desplazamiento promedio (segundos) -1,377 -7,173
Varianza del desplazamiento promedio 0,000 0,001
Desv. Est. desplazamiento promedio 0,021 0,023
Número total de transformaciones 1894
Realizada la transformación de dátum, se procedió a proyectar nuevamente los datos de las observacio-
nes gravimétricas en Quantum GIS y se pudo ver claramente como todas las observaciones se encontraban
en el contorno del SRTM3. (Figura 4.14)
89
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.14: Vista �nal de los puntos de las anomalías aire libre sobre el terreno tras la corrección dedátum.
4.3.1.3. Transformación de las observaciones al Sistema GRS80
Uno de los problemas fundamentales al realizar trabajos con datos gravimétricos de distintas fuentes,
es determinar a qué sistema están referenciados. Los datos del BGI disponibles para la región de Puerto
Rico, como ya hemos mencionado anteriormente, fueron levantados por diferentes entidades privadas y
gubernamentales entre los años de 1950 y 1967. Ya que es necesario homogeneizar los mismos, se procedió
a recalcular el valor de la gravedad normal utilizando los parámetros de los sistemas geodésicos del GRS67
(IAG, 1971) y del GRS80 (Moritz, 2000). Este ejercicio nos permitió determinar a qué sistema estaban
referenciados los datos gravimétricos del BGI. Independientemente a que sistema geodésico estos datos
estuvieran referenciados, fue necesario recalcular el valor de la gravedad normal utilizando el sistema
geodésico de referencia actual, el GRS80.
Para transformar los datos de GRS67 a GRS80 o bien podemos utilizar la siguiente expresión (Moritz,
2000):
4gAL1980 −4gAL1967 = γ1980 − γ1967 =
(0, 8316 + 0, 0782 sin2 Φ− 0, 0007 sin4 Φ
)(4.12)
O también se pueden calcular directamente los valores de la gravedad normal del GRS80 utilizando
la Eq. 2.51:
γGRS80 = γe(1 + 0, 0052790414 sin2 Φ + 0, 0000232718 sin4 Φ + 0, 0000001262 sin6 Φ + 0, 0000000007 sin8 Φ
)ms−2
Donde γe es igual a 9,7803267715 m2s−2. Tal como hemos mencionado anteriormente, esta ecuacion
tiene una precisión de 10−10 o lo que es equivalente a 10−3mms−2 = 10−4mGal.
90
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
También se puede aplicar la Eq. 2.55, que es la serie convencional:
γGRS80 = 9, 780327(1 + 0, 0053024 sin2 Φ + 0, 0000058 sin2 2Φ
)ms−2
La cual tiene una precisón de solamente1mms−2 = 0, 1mGal
Ya que contamos con los valores de las coordenadas geográ�cas, la altitud y el valor de la gravedad,
podemos determinar los valores de la gravedad normal directamente y recalcular los valores de las anoma-
lías aire libre. En la Tabla 4.10 podemos apreciar los valores de las anomalías aire libre tras recalcular las
mismas aplicando las fórmulas correspondientes con los parámetros del GRS67 y GRS80 respectivamente.
Tabla 4.10: Tabla comparativa transformación de GRS67 a GRS80.
Longitud LatitudAltitud Gravedad 4gAL γGRS67 4g
ALGRS67 γGRS80 4gALGRS80
(metros) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
-67,2668 18,3562 14 978637,42 97,7 978544,061 97,67969547 978544,9961 96,7442728
Como podemos apreciar, los datos del BGI estaban referenciados al GRS67 por lo que fue necesario
recalcular todos los valores de la gravedad normal y los valores de las anomalías aire libre referenciados
al GRS80.
4.3.1.4. Búsqueda de observaciones repetidas
Esta operación consistió en comparar los datos del �chero descargado de la página del BGI y detectar
si las diferencias en sus coordenadas geográ�cas estaban por debajo de un límite de tolerancia previamente
establecido. Considerando la Metodología para la Creación de Bases de Datos Gravimétricos propuesta
por Sevilla et al. (1997a), se estableció que si dos observaciones mostraban una diferencia en su longitud
y latitud menor o igual a 0, 0005º serían considerados como observaciones repetidas.
Como hemos mencionado, los datos del �chero descargado de la página del BGI estaban organizados
en orden descendente con respecto a sus longitudes. Para poder detectar las observaciones repetidas,
fue necesario escribir una función en el programa de cálculo matemático Matlab. El mismo comparaba
las longitudes y latitudes de cada observación con la longitud y latitud de la observación anterior, se
determinaban las diferencias y se identi�caba si estas eran menores o iguales que el límite de tolerancia.
De esta manera seria posible determinar qué observaciones podrían ser consideradas como repetidas. Si
se detectaban dos observaciones como repetidas, se procedería a comparar los valores de las anomalías
residuales, es decir la diferencia entre las anomalías aire libre calculadas en ese punto con las anomalías aire
libre determinadas con el EGM2008. La observación que presentara el valor mayor de la anomalía residual,
se consideraría como sospechosa. Se decidió que este análisis fuera uno preliminar, donde solamente serían
identi�cados estas observaciones y clasi�cadas como sospechosas, luego tras realizar la validación por
altimetría, se procederá a determinar si estas observaciones eran �nalmente eliminadas. De este análisis
preliminar para determinar observaciones repetidas se identi�caron un total de 11 pares de observaciones
como sospechosas las cuales serían analizadas más adelante para �nalmente decidir cuáles de estas serían
�nalmente eliminadas.
91
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
4.3.2. Validación por altimetría
La validación por altimetría consistió en comparar los valores de las altitudes publicadas por el BGI
con los valores de las altitudes obtenidas con el modelo digital del terreno SRTM3. Para realizar este
análisis se siguió el siguiente procedimiento:
1. A partir del modelo digital del terreno SRTM3, mediante interpolación cúbica, se obtuvieron los
valores de las altitudes en las localizaciones donde se encontraban las observaciones descargadas de
la base de datos del BGI.
2. Se determinaron las diferencias entre las altitudes publicadas por el BGI con las altitudes obtenidas
a partir del SRTM3.
3. Para determinar el nivel de tolerancia que nos permitiría identi�car si una observación era conside-
rada como sospechosa a partir de la validación por altimetría, fue necesario considerar la precisión
de los cuadrángulos topográ�cos de donde se obtuvieron los valores de las altitudes publicadas por
el BGI. En el caso de los cuadrángulos topográ�cos, su precisión es la mitad de su intervalo de
cota, la cual es de 5 metros. Adicional a ésto, es necesario considerar que las medidas del SRTM3
son realizadas en la copa de los árboles y no exactamente sobre la super�cie de la Tierra. Consi-
derando la Metodología para la Creación de Bases de Datos Gravimétricos propuesta por Sevilla
et al. (1997a) se decidió establecer como nivel de tolerancia una diferencia entre ± 10 metros entre
la altitud publicada por el BGI y la obtenida a partir del SRTM3. Si una observación mostraba
una diferencia mayor de 10 metros entre la altitud publicada por el BGI y la obtenida a partir del
SRTM3, se consideraba como sospechosa. En la Tabla 4.11 se presenta un resumen de los resultados
obtenidos en el análisis de las altitudes.
Tabla 4.11: Resultados del análisis de la comparación de altitudes BGI � SRTM3.Altitudes BGI Altitudes SRTM3 Diferencias
(metros) (metros) (metros)
Promedio 122,0 125,319 -3,357
Desviación Estándar 160,2 159,220 23,259
Varianza 25653,4 25351,139 540,965
Máximo 925,2 924,156 510,213
Mínimo 0,0 -1,944 -287,645
Del análisis de validación por altimetría se encontraron 329 observaciones que tenían una diferencia mayor
de los 10 metros entre la altitud publicada por el BGI y la altitud obtenida a partir del SRTM3. Para
poder determinar si estas observaciones eran designadas como sospechosas, primeramente fue necesario
realizar un análisis visual. De este análisis pudimos encontrar que existía una observación que podría
ser considerada como un error grosero causado por alguna equivocación al momento de transcribir la
información medida en el campo. Llegamos a esta conclusión ya que la altitud publicada era 32 metros
y cuando veri�camos en los cuadrángulos topográ�cos de 7,5 minutos para esa zona en especí�co y en el
SRTM3, la altitud de esa localización era 320 metros. Este dato fue corregido.
Si consideramos que 329 datos de 1894 representan un 17% del total de las observaciones y que la
precisión planimétrica de los datos del BGI puede rondar entre los 200 metros (Furones y Capilla, 2008),
nos dimos a la tarea de analizar detalladamente si estas observaciones identi�cadas como sospechosas
fueron el resultado de algún tipo de error al momento de interpolar las coordenadas geográ�cas a partir de
92
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
los cuadrángulos topográ�cos de 7,5 minutos. En este caso nuestro interés era identi�car si las observaciones
que habían sido consideradas como sospechosos, al considerar un radio de 200 metros alrededor de estas,
poseían alguna localidad que tuviera una altitud que estuviera en el rango de ± 10 metros con respecto a
la altitud publicada por el BGI. Utilizando el programa Quantum GIS, y aplicando técnicas de algebra de
mapas, procedimos a realizar un análisis espacial. El procedimiento utilizado se describe a continuación:
1. Considerando solamente las observaciones que habían sido identi�cadas como sospechosas, se creó
una zona de amortiguamiento de 200 metros alrededor de estas observaciones. (Figura4.15)
Figura 4.15: Observación sospechosa con su zona de amortiguamiento.
2. Se procedió a sobreponer la capa que incluía las observaciones con sus zona de amortiguamiento sobre
el SRTM3. Se hizo un recorte el cual solamente se seleccionaban los lugares donde se encontraba
alguna celda del SRTM3 que tuviera una altitud que estuviera en el rango ± 10 metros cuando la
comparábamos con la altitud de la observación en consideración. (Figura 4.16)
Figura 4.16: Observación sospechosa con zonas del SRTM3 con diferencias entre ± 10 metros.
93
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Esta operación nos permitió identi�car 62 observaciones que no poseían ninguna localización a su
alrededor que estuviera en el rango de ± 10 metros del valor de la altitud publicado por el BGI. Estas
observaciones fueron consideradas como puntos extremos y fueron eliminadas.
Continuando con el análisis, identi�camos 266 observaciones que si tenían localizaciones en un radio
de 200 metros con elevaciones entre el rango de ± 10 metros del valor publicado por el BGI. Utilizando
el programa Grass y aplicando algebra de mapas se determinaron unos polígonos para estas aéreas y
utilizando Quantum GIS se procedió a calcular los centróides de dichos polígonos. (Figura 4.17)
Figura 4.17: Observación sospechosa con los centróides en las zonas de diferencias de ± 10 metros.
Ya teniendo las coordenadas de estos centróides, las mismas se establecieron como las posibles nue-
vas localizaciones de estas observaciones. Luego se procedió a determinar las anomalías aire libre y las
anomalías del EGM2008 en las nuevas localizaciones. Para determinar si �nalmente estas observaciones
eran reubicadas a una nueva localización, fue necesario comparar las anomalías residuales en estas nuevas
ubicaciones con las anomalías residuales de los puntos en su ubicación original. Si la anomalía residual
disminuía en la nueva ubicación, procedíamos a reubicar la observación, de lo contrario sería determinada
como sospechosa. En casos de que una observación tuviera más de una nueva localización, procederíamos
a seleccionar aquella que minimizara la anomalía residual. (Figura 4.17)
Finalmente encontramos 179 observaciones que al ser reubicadas a su nueva localización minimizaron
las diferencias entre las anomalías aire libre y las anomalías del EGM2008. Además encontramos 87
observaciones que no mejoraron al ser reubicadas por lo que se procedió a clasi�carlas como puntos
erróneos y fueron eliminadas. En resumen, podemos decir que de las 1894 observaciones de anomalías aire
libre descargadas originalmente de la pagina del BGI, 329 fueron identi�cadas con diferencias mayores a
los 10 metros entre el valor de la altitud publicada por el BGI y la obtenida con el SRTM3. De estas
329 observaciones, 149 se eliminaron por considerarse como puntos extremos o erróneos. Sin embargo, 180
observaciones que tenían diferencias mayores de los 10 metros pudieron ser corregidas o reubicadas, lo
que nos deja un balance �nal de 1745 observaciones de anomalías aire libre validadas por altimetría. En
la Tabla 4.12se presenta un resumen de los resultados �nales de la validación por altimetría.
94
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tabla 4.12: Resumen validación por altimetría.Puntos con diferencias mayores de 10 metros 329
Puntos extremos 62
Puntos Erróneos 87
Total Puntos Eliminados (Extremos y Erróneos) 149
Puntos corregidos 1
Puntos reubicados 179
Total Puntos Corregidos y Reubicados 180
Este análisis de validación por altimetría nos garantiza que las 1745 observaciones gravimétricas va-
lidadas no tendrán una diferencia que exceda los 10 metros entre la altitud publicada por el BGI y la
altitud determinada con el SRTM3. En la Tabla 4.13 se presenta un resumen del análisis de altitudes tras
la validación por altimetría.
Tabla 4.13: Resultados de la comparación de altitudes BGI � SRTM3 tras la validación por altimetría.Altitudes BGI Altitudes SRTM3 Diferencias
(metros) (metros) (metros)
Promedio 114,5 116,779 -2,281
Desviación Estándar 154,6 154,200 3,869
Varianza 23912,9 23777,506 14,9721
Máximo 925,2 924,156 9,921
Mínimo 0,0 -1,944 -9,985
4.3.2.1. Resultado de la Búsqueda Final de Observaciones Repetidas
Tal como mencionamos en la Sección 4.3.1.4, tras realizar la validación por altimetría, era necesario
realizar un segundo análisis de búsqueda de observaciones repetidas para determinar cuáles �nalmente
serían eliminadas. De los 11 pares de observaciones que se detectaron e identi�caron como repetidas en el
análisis preliminar, se identi�caron 2 pares de observaciones en las cuales al menos una de sus observaciones
había sido clasi�cada como puntos extremos en la validación por altimetría. Es decir, la diferencia entre
la altitud publicada por el BGI y la altura determinada con el SRTM3 era mayor de los 10 metros y
no existía ningún lugar en un radio de 200 metros que tuviera esa altitud. Estos puntos extremos habían
sido eliminados en el procedimiento de validación por altimetría. Las restantes 9 pares de observaciones
identi�cadas como repetidas en el análisis preliminar fueron analizadas comparando los valores de las
anomalías residuales. Finalmente fueron eliminadas las 9 observaciones que presentaron una anomalía
residual mayor. Al realizar un segundo análisis de búsqueda de observaciones repetidas, encontramos que
había 2 pares de observaciones adicionales en las cuales al menos una de estas observaciones había sido
reubicada en la validación por altimetría. Las observaciones que se habían reubicado fueron consideradas
como sospechosas y se eliminaron.
En resumen, tras hacer el segundo análisis de búsqueda de observaciones repetidas, se eliminaron 9
observaciones que habían sido considerados como sospechosos en el análisis preliminar y 2 observaciones
adicionales las cuales habían sido reubicadas en la validación por altimetría, para un total de 11 obser-
vaciones eliminadas. Finalmente, de las 1745 observaciones validadas por altimetría, luego de eliminar los
11 puntos repetidos, tenemos un total de 1734 observaciones gravimétricas, lo que corresponde a un 92%
95
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
de los datos. Estas observaciones validadas serían utilizadas para realizar la validación matemática por
colocación.
4.3.3. Validación matemática de las anomalías residuales utilizando coloca-
ción
Los procedimientos de validación lo que buscan es garantizar que los datos que poseemos cumplan con
unos requisitos mínimos de calidad. Aunque existen varios paquetes informáticos que permiten realizar
este tipo de procedimientos, los mismos sirven para realizar una validación preliminar, pero si queremos
obtener una validación más robusta, es necesario utilizar algún tipo de modelo que considere alguna
función de covarianza. La validación matemática por colocación nos permite utilizar las características
estadísticas de los datos y utilizando una función, podemos predecir valores en las ubicaciones donde
tenemos datos observados y así poder comprobar su calidad. Ya que este proceso utiliza una función
de covarianza que se supone es representativa de las características estadísticas de las observaciones, al
predecir un valor en una ubicación donde ya conocemos su valor, si las diferencias sobrepasan un valor
previamente determinado, procedemos a considerar este punto como sospecho y considerar su eliminación.
Este proceso es uno repetitivo que se realiza hasta que no encontremos grandes diferencias entre los datos
que se predicen y nuestras observaciones. Mediante este procedimiento podemos garantizar que poseemos
una base de datos con�able.
Uno de los problemas principales que tiene la validación matemática por colocación es que los datos de
las anomalías aire libre y las anomalías de Bouguer están directamente relacionados con la altitud. Esto
produce que la validación por colocación no ofrezca unos resultados �ables por la alta correlación que
existe entre las anomalías y la altura. Para poder corregir esta situación, es necesario eliminar todos los
efectos de la topografía del terreno antes de realizar algún tipo de proceso de validación por colocación. En
nuestro caso, contamos con datos de gravedad, a los cuales se le han realizado una serie de reducciones que
eliminan prácticamente todos estos efectos causados por la topografía del terreno. Finalmente es necesario
restarle a las anomalías reducidas las anomalías aire libre de un modelo geopotencial, lo que nos permitiría
obtener unas anomalías residuales las cuales son mucho más suaves y fáciles de manejar.
Una de las funciones de covarianza más utilizada es la función de covarianza del potencial anómalo
de Tscherning y Rapp (1974). Esta función de covarianza local es una aproximación del desarrollo de la
función de covarianza global en armónicos esféricos.
COV(ψ, r, r
′)
= αN∑i=2
σerri
(R2
rr′
)Pi (cosψ) +
∞∑i=N+1
σ2i
A
(i− 1) (i− 2) (i+ 4)
(R2B
rr′
)i+1
Pi (cosψ)
(4.13)
Donde α es un factor de escala determinado a partir de las observaciones, R es el radio de la Tierra,
RB es el radio de la esfera de Bjerhammar, y el término A es una constante en unidades de(ms2
). Esta
función de covarianza será el modelo de función que utilizaremos en nuestra validación por colocación.
Para determinar los parámetros desconocidos, primeramente se debe calcular una función de covarianza
empírica.
COVest
(ψ, r, r
′)
=1
M
M∑n=1
4g (P )4g (Q) (4.14)
Donde M es el número de productos a partir de i's intervalos de muestra.
96
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Estas fórmulas son calculadas utilizando los programas de Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su
modalidad de Python (Nielsen et al., 2012). Primeramente es necesario ejecutar el programa PyGrasoft
Launcher que es el programa que contiene el directorio con todos los programas que pueden ser ejecutados
por Gravsoft desde la plataforma de Python. (Figura 4.18)
Figura 4.18: Directorio de los programas de Gravsoft en la plataforma de Python. Fuente: PyGravsoft
Luego se procede a seleccionar el programa EMPCOV, el cual permite calcular la función empírica
la cual será la primera aproximación de la función de covarianza que será implementada para realizar
el procedimiento de colocación. (Figura 4.19) En este cálculo de la covarianza empírica es necesario
considerar que la zona de estudio no sea demasiado extensa, que los datos estén distribuidos de la manera
más homogénea posible y que la muestra no incluya datos sospechosos que no hayan sido eliminados en
las validaciones previas.
Figura 4.19: Programa EMPCOV para determinar la ecuación de covarianza empírica. Fuente: PyGravsoft
97
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
De esta función de covarianza empírica obtenemos un valor de covarianza el cual esta referenciado a
la altitud promedio de la zona de estudio. Estos resultados son utilizados como entrada en el próximo
programa que se ejecuta, COVFIT. (Figura 4.20) Este programa resuelve la función de covarianza del
potencial anómalo y se obtienen los factores α, A y RB . Pero para efectos prácticos, el factor A se
sustituye por la varianza de la anomalía de la gravedad a altitud cero ya que esta cantidad es mucho más
signi�cativa.
Figura 4.20: Programa COVFIT empleado para resolver la función de covarianza. Fuente: PyGravsoft
Finalmente se ejecuta el programa GEOCOL en el cual a partir de la función de covarianza y de los
parámetros obtenidos en el programa COVFIT, se obtienen los valores de las anomalías residuales en los
puntos donde ya tenemos datos observados. (Figura 4.21)
A partir de los resultados obtenidos a partir de la colocación, los mismos son comparados con los datos
observados en esos mismos puntos, se determinan las diferencias y si esta sobrepasa un valor previamente
establecido, se considera que esa observación es sospechosa y se elimina.
4.3.3.1. Resultados de la validación por colocación
Para poder realizar la validación por colocación, primeramente fue necesario implementar todas las
reducciones a la gravedad que han sido discutidas en la Sección 2.1.4. Al valor de la gravedad publicado
por el BGI fue necesario aplicarle la corrección por efectos atmosféricos δg. Adicionalmente a esto fue
necesario recalcular el valor de la gravedad normal γQ utilizando los parámetros del GRS80. Ya con estos
valores fue posible recalcular las anomalías aire libre a partir de la Eq. 2.133.
4gAL = gP + δg + 0, 3086H − γQ
98
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.21: Programa GEOCOL para realizar el procedimiento de colocación. Fuente: PyGravsoft
Para eliminar todos los efectos de la topografía del terreno, fue necesario aplicar la corrección clásica
por efectos del terreno (Eq.2.98) utilizando un programa en Matlab. Tras realizar esta corrección, se
procedió a calcular las anomalías de Faye aplicando la Eq. 2.132.
4gFaye = 4gAL + CT
Para obtener las anomalías residuales, las cuales serán las anomalías que se utilizaran para realizar
la validación por colocación, fue necesario determinar la anomalía aire libre del modelo geopotencial
EGM2008 para luego restarlas a las anomalías de Faye. (Eq. 2.135)
4gRes = 4gFaye −4gMG
99
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Para realizar esta operación, se utilizó el programa GEOEGM de Gravsoft en su modalidad de Python,
en el cual se introduce un �chero con los valores de las anomalías de Faye, sus coordenadas geográ�cas y
la altitud de cada localización y el programa calcula el valor de la anomalía residual. (Figura 4.22)
Figura 4.22: Programa GEOEGM para calcular los valores de las anomalías residuales. Fuente: PyGravsoft
Para realizar la validación por colocación, a partir de las anomalías residuales, fue necesario dividir
nuestros datos en dos muestras homogéneas. Esto nos permitiría hacer una validación cruzada, es decir
con la Muestra A podemos predecir los valores de las anomalías residuales en estaciones ubicadas en la
Muestra B, de las cuales conocemos su valor real y viceversa.
Al ejecutar los programas EMPCOV, COVFIT y GEOCOL, en la primera iteración, el programa
GEOCOL identi�co una serie de observaciones, que a partir de los criterios del programa, eran considera-
dos como puntos repetidos. Para evitar posibles con�ictos en el proceso de validación decidimos señalar
estas observaciones como sospechosas. Estos pares de puntos fueron analizados de la misma manera que se
describe en la Sección 4.3.1.4 y se procedió a determinar que observación tenía un valor mayor de la ano-
malía residual y se procedió a eliminar. En total, en esta primera iteración se eliminaron 16 observaciones
identi�cadas como repetidas.
100
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Para identi�car los errores groseros en el proceso de validación fue necesario utilizar la siguiente
condición:
|4gres −4gpred| > k√σ2 (4gres −4gpred) + σ2
4g (4.15)
Donde 4gres es el valor de la anomalía residual, 4gpred es el valor de la anomalía residual predicha en
la misma ubicación, k es una constante que aunque en la literatura generalmente se recomienda utilizar
un valor entre 2,5 y 3 (Furones y Capilla, 2008), nosotros tratando de ser más restrictivos le asignamos un
valor de 2. El termino σ24g es la varianza error de la observación y σ2 (4gres −4gpred) es la estimación
del error medio cuadrático de la diferencia entre 4gres −4gpred.
Si el valor de |4gres −4gpred| es mayor que k√σ2 (4gres −4gpred) + σ2
4g se considera esa observa-
ción como sospechosa y se procede a eliminar. Este proceso se repitió hasta que no se encontró ningún
punto que cumpliera con esta condición. En la Tabla 4.14 se presenta un resumen de los resultados
obtenidos en el procedimiento de validación por colocación.
Tabla 4.14: Resumen del resultado de la validación por colocación.Total de Observaciones 1734
Observaciones Repetidas 16
Observaciones Eliminadas 45
Total de Observaciones Eliminadas 61
Total de Observaciones Validadas 1673
Como podemos observar, fueron validados un total de 1673 datos de los 1894 datos originales que
fueron descargados de la página del BGI, lo que representa un 88% del total de los datos. Finalizado
el procedimiento de validación por colocación podemos decir que contamos con una base de datos gra-
vimétricos con�able lo que nos permitirá utilizar estas observaciones para la determinación del geoide
gravimétrico. En la Tabla 4.15 se muestran los estadísticos de los datos validados por altimetría y por
colocación.
Tabla 4.15: Estadísticos �nales de las observaciones validadas por altimetría y por colocación.Altitud 4gAL CT 4gFaye 4gEGM2008 4gRes
(metros) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 107,1 130,775 9,934 140,710 131,928 8,781
Desviación Estándar 144,6 26,827 3,691 27,790 28,403 9,813
Varianza 20915,8 719,709 13,621 772,266 806,731 96,298
Máximo 875,1 233,881 31,326 245,205 227,972 55,426
Mínimo 0,0 74,527 4,675 86,158 74,799 -27,154
101
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
4.3.4. Análisis de los datos de gravedad marinos
Al momento de analizar datos gravimétricos marítimos, uno de los problemas que más afectan estas
medidas son los errores relacionados al momento de determinar las correcciones de Eötvös. (Sevilla et al.,
1997b). La corrección de Eötvös viene dada por la siguiente expresión (Telford y Sheri�, 1990):
δgEotvos = 4, 040V sinα cosφ+ 0, 001211V 2 (mGal) (4.16)
Donde V es la velocidad de la embarcación expresada en kilómetros por hora, α es el azimut de la
embarcación y φ es la latitud. Como podemos apreciar, esta corrección toma en consideración las coorde-
nadas geográ�cas de la localización donde se realiza la medida y la velocidad del barco. En la actualidad
con el advenimiento del GNSS, es posible obtener coordenadas geográ�cas con una gran precisión, el pro-
blema surge cuando tenemos medidas de gravedad que fueron realizadas en la era previa al GNSS como
es el caso de la mayoría de los datos descargados de la pagina del BGI y de la NOAA.
Como mencionamos en la Sección 3.1, de la base de datos del BGI logramos descargar 25330 datos de
gravedad marinos procedentes de 49 campañas gravimétricas entre los años de 1959 y 1988. El problema
principal con estos datos, aparte de no estar distribuidos uniformemente y tener muchísimas zonas sin
datos gravimétricos, es que solamente tenemos acceso a la fecha de la campaña, la empresa encargada de
recopilar los datos, los valores de la longitud, latitud, gravedad y los valores de las anomalías aire libre
y Bouguer. De estos datos no poseemos información de que equipo se utilizó al momentos de realizar las
medidas de gravedad ni de la velocidad del barco y la precisión de las coordenadas geográ�cas. Tampoco
se indica que correcciones se realizaron al momento de calcular las anomalías aire libre o Bouguer. Esta
carencia de información, nos limita grandemente la posibilidad de recalcular los valores de las anomalías
aire libre y realizar las correcciones por deriva y Eötvös. En el caso de los datos de la NOAA, la situación
no es muy diferente. De la página de la NOAA se descargaron un total de 138583 datos marinos divididos
en 81 campañas gravimétricas realizadas entre 1961 y 1998. La mayoría de los datos descargados de la
página del BGI están incluidos en la base de datos de la NOAA y aunque estos datos tienen información
adicional, no contamos con información detallada para todas las campañas para realizar las correcciones
antes mencionadas.
Para tener una idea de la calidad de los datos gravimétricos marinos, tomamos una muestra de los datos
de gravedad en los cruces en las líneas que tenían un mismo itinerario. En la Tabla 4.16 mostramos algunos
de los resultados encontrados. De este análisis encontramos diferencias que variaban desde 0,5 mGal en
cruces en una línea con un mismo itinerario hasta los 85,5 mGal en cruces de la misma línea. En el Anexo 9
se puede encontrar la información relacionada con las campañas gravimétricas incluidas en el muestreo. Al
analizar detalladamente las campañas incluidas en el muestreo, nos percatamos que en el caso de campañas
MW8908 y RC2605, las cuales mostraron las mayor diferencia en los cruces en un mismo itinerario, era
las únicas en las que se indicaba que equipo se utilizo para realizar las medidas gravimétricas y como se
determinaron las coordenadas geográ�cas. En las demás campañas de este muestreo no contábamos con
esa información. Esta situación no es muy diferente a la encontrada en las demás campañas sin cruces en
un mismo itinerario.
Tras analizar los datos gravimétricos marítimos y ante la carencia de información al momento de
intentar realizar las correcciones correspondientes, a la mala distribución espacial de los datos y a las
diferencias encontradas en algunos cruces de líneas con un mismo itinerario, se decidió descartar los
datos de gravedad marítima del BGI y de la NOAA. Estos serán sustituidos por los datos de la malla
102
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
de anomalías aire libre desarrollada por Sandwell y Smith. Esta malla proporciona datos de anomalías
aire libre distribuidos uniformemente en toda la zona marítima los cuales fueron obtenidos a partir de
altimetría por satélite.
Tabla 4.16: Muestreo de los cruces de líneas en un mismo itinerario.
Campaña Longitud LatitudGravedad Diferencia
(mGal) (mGal)
MW8908-66,48350 18,73040 978508,2
0,5-66,48322 18,73023 978508,7
MW8908-66,27168 18,53030 978592,0
85,5-66,27205 18,53000 978506,5
P485CB-66,86072 17,76786 978501,2
8,7-66,85980 17,76810 978509,9
P485CB-67,08344 17,70100 978493,8
2,5-67,08268 17,70085 978491,3
P385CB-65,26647 18,17545 978657,6
1,5-65,26686 18,17520 978656,1
P285CB-66,42136 18,67590 978561,3
3,7-66,42106 18,67570 978565,0
U371CB-66,64398 18,59858 978572,8
4,1-66,64437 18,59880 978576,9
CH057L01-66,17800 18,60387 978633,9
12,1-66,17930 18,60010 978621,8
CH057L01-66,12010 18,53328 978644,8
7,5-66,12350 18,53191 978652,3
CH046L01-67,53350 18,29350 978601,0
1,3-67,53730 18,29167 978599,7
CH044L01-65,17680 18,19426 978670,1
10,7-65,17660 18,19260 978659,4
CH034L01-65,96190 19,21201 978295,6
5,2-65,96250 19,20753 978300,8
RC2605-65,69215 17,66142 978576,3
51,5-65,69221 17,66271 978627,8
RC2605-65,69429 17,81901 978565,1
61,3-65,69454 17,81932 978626,4
RC2605-65,57698 17,76721 978544,8
75,3-65,57743 17,76654 978469,5
RC2605-65,74763 17,84011 978538,5
63,4-65,74753 17,83946 978475,1
RC2605-65,76196 17,84527 978532,4
71,9-65,76209 17,84427 978460,5
RC2605-65,36038 17,88011 978454,2
34,9-65,35928 17,87933 978489,1
103
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
4.4. Determinación de las anomalías de Faye
Como mencionamos en la sección anterior, como alternativa ante la pobre calidad de los datos gravi-
métricos marinos y ante la necesidad de tener datos para las zonas terrestres de la República Dominicana
y de las Islas Vírgenes Estadounidenses, fue necesario acceder a la base de datos de anomalías aire libre
obtenidos mediante altimétrica por satélite desarrollado por Sandwell y Smith (2009) para el Instituto
Oceanográ�co de la Universidad de California. Esta malla ofrece datos de anomalías aire libre tanto en
las zonas marinas como para zonas terrestres. Información muy útil ya que para calcular el geoide es
necesario tener datos no solamente del área donde se computara el geoide, sino de una zona que abarque
un radio de cerca de 200 kilómetros alrededor de cada uno de las estaciones donde interesamos calcular
el geoide. Por esta razón fue necesario incluir la región este de la República Dominicana y algunas de las
Islas Vírgenes Estadounidenses. De esta base de datos fueron descargados cerca de 160000 datos entre los
paralelos 15,0 � 21,0 grados Norte y entre los meridianos 63,0 � 70,0 grados Oeste. La resolución de este
�chero era de de 0,0167 minuto de arco en la longitud y 0,0157 minutos de arco en la latitud, por lo que
se hizo necesario remuestrearlo para así tener una resolución uniforme tanto en la longitud como en la
latitud.
Para realizar esta operación se utilizó el programa de información geográ�ca ArcGIS. Primeramente se
creó un �chero con los valores de las anomalías aire libre en formato shape. Los �cheros tipo shape son unos
archivos informáticos utilizados para representar información en los sistemas de información geográ�ca.
Estos �cheros tienen un formato vectorial de almacenamiento digital donde se guarda la localización de
los elementos geográ�cos y los atributos asociados a ellos. En este caso tenemos guardados los datos de
la longitud, latitud y anomalía aire libre para cada estación de la malla. Para remuestrear esta malla,
fue necesario convertir la misma a formato ráster, es decir, tipo imagen. Utilizando herramientas de
análisis geoestadístico del programa ArcGIS, se procedió a aplicar una interpolación automática de kriging
ordinario. (Ver Figura 4.23).
Figura 4.23: Interpolación kriging de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría por satélite.
104
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Tras la interpolación kriging, para determinar los valores de cada celda se creó un �chero en formato
ráster el cual tuviera una resolución uniforme tanto en la longitud como en la latitud. En este caso se
remuestrearon los datos para que cada celda tuviera una resolución de 0,016666666667 minuto de arco. Ya
en formato ráster, se subió esta imagen como una capa en ArcGIS y haciendo una operación de conversión
de formato ráster a punto se le asignó a cada celda el valor de la anomalía aire libre a un punto central.
Utilizando el programa Quantum GIS y aplicando una operación de conversión, se procedió a extraer las
coordenadas geográ�cas de cada una de las estaciones, obteniendo así un �chero en formato vectorial el
cual contiene los valores de las nuevas coordenadas geográ�cas y el valor de la anomalía aire libre a una
resolución de 1 minuto de arco.
Utilizando el �chero en formato vectorial con las anomalías aire libre, el próximo paso a realizar fue
identi�car qué puntos de la malla quedaban en la zona terrestre y cuales quedaban en la zona marítima.
Para esta operación fue necesario crear dos �cheros en formato ráster: uno que de�nieran las zonas
terrestres y otro que de�niera las zonas marítimas. Sobreponiendo la imagen ráster de la zona terrestre
sobre la capa de anomalías aire libre en formato vectorial, se procedió a realizar un recorte para extraer
los puntos que estaban ubicados en la zona terrestre. (Ver Figura 4.24)
Figura 4.24: Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona terrestre.
Ya en formato ráster, se subió esta imagen como una capa en ArcGIS y haciendo una operación de
conversión de formato ráster a punto se le asignó a cada celda el valor de la anomalía aire libre a un punto
central. Finalmente utilizando el programa Quantum GIS y aplicando una operación de conversión, se
extrajeron las coordenadas geográ�cas de cada una de las estaciones, obteniendo así un �chero en formato
vectorial el cual contiene los valores de las nuevas coordenadas geográ�cas y el valor de la anomalía aire
libre a una resolución de 1 minuto de arco. De la misma manera, esta operación fue realizada utilizando
la imagen ráster de la zona marítima para determinar los puntos con valores de anomalías aire libre que
estuvieran en esta zona. (Ver Figura 4.25)
105
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.25: Recorte para extraer los puntos con valores de anomalías aire libre para la zona marítima.
Tras realizar estos recortes, fue necesario hacer un análisis visual para determinar si todos los puntos
de la malla habían sido clasi�cados como estaciones marítimas o terrestres. Encontramos varios errores
en algunas estaciones que no habían sido clasi�cadas, las mismas no habían sido incluidas en ninguno
de los dos recortes. Se encontraron un total de 14 estaciones con estas características. Tras el análisis
visual, nos percatamos que todas estas estaciones correspondían a localizaciones en la zona este de la
República Dominicana en las cual habían varios lagos los cuales no habían sido incluidos en la imagen
ráster terrestre y si quedaban dentro de sus límites territoriales. Ya identi�cadas estas estaciones, las
mismas fueron reubicadas como parte de la zona terrestre. En la Tabla 4.17 se presenta un resumen de
los valores de las anomalías aire libre obtenidas con altimetría por satélite.
Tabla 4.17: Resumen del resultado de los valores de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetríapor satélite.
Zona Marítima Zona MarítimaMona
República Islas Vírgenes
Exterior Cómputo Geoide Dominicana Estadounidenses
(mGal) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
Promedio -65,331 46,047 98,804 71,563 132,526
Máximo 159,243 146,031 105,317 121,308 158,476
Mínimo -364,817 -159,629 82,668 -34,962 35,933
La zona de Puerto Rico no fue incluida en este resumen ya que para esta región se utilizara otro
método para determinar los valores de las anomalías aire libre. Ya clasi�cadas las localizaciones de las
estaciones con valores de anomalías aire libre, se procedió a determinar los valores de las profundidades de
las estaciones en la zona marítima y los valores de las altitudes en las estaciones de la zona terrestre. Para
determinar las profundidades se utilizó interpolación cúbica a partir del modelo batimétrico GEBCO08
con una resolución de 30 segundos de arco. Tras determinar las profundidades y realizar un análisis visual,
106
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
se identi�caron 184 estaciones en la zona marítima que presentaban valores positivos. Estas estaciones
estaban localizadas en las zonas costeras. El GEBCO08 al tener una resolución de 30 segundos de arco,
presenta problemas para determinar las profundidades en localizaciones que están en las zonas donde
se de�nen las costas. Estas estaciones se analizaron con el SRTM3 para determinar si realmente eran
errores producidos al momento de realizar los recortes. Del análisis con el SRTM3 se determinó que estas
estaciones efectivamente estaban en la zona marítima por lo que eran errores de interpolación causados por
la resolución del modelo batimétrico. Se procedió a corregir el valor de la profundidad de estas estaciones
y se le asignó un valor de cero. Finalizado este procedimiento, se procedió a determinar las altitudes de
las estaciones que estaban ubicadas en la zona terrestre. Mediante interpolación cúbica, se obtuvieron las
altitudes utilizando el SRTM3. Al �nalizar estas operaciones, fue posible tener una malla con los valores
de las anomalías aire libre y los valores de las altitudes en las estaciones en zonas terrestres y de las
profundidades en las estaciones en zonas marítimas. En la Tabla 4.18 se puede ver un resumen de los
resultados del proceso de interpolación de las altitudes y de las profundidades.
Tabla 4.18: Resumen de la interpolación de las altitudes y las profundidades.Zona Marítima Zona Marítima Puerto
MonaRepública Islas Vírgenes
Exterior Cómputo Geoide Rico Dominicana Estadounidenses
(metros) (metros) (metros) (metros) (metros) (metros)
Promedio -3963,929 -793,120 234,806 53,113 96,709 69,198
Máximo 0,000 0,000 1214,438 77,427 629,598 519,914
Mínimo -8625,895 -4552,542 -2,2682 2,403 -2,035 -0,022
Ya teniendo una malla de anomalías aire libre se procedió a determinar la zona donde �nalmente se
computaría el modelo del geoide. Para estos efectos, se seleccionó un área que abarcaría 10 kilómetros a
partir de los límites marítimos terrestres de Puerto Rico y sus islas adyacentes, Mona, Vieques y Culebra.
En la Tabla 4.19 se presentan los límites de la malla donde se computara el geoide.
Tabla 4.19: Límites de la malla para el cómputo del geoide.Longitud Latitd
Esquina Superior Izquierda -68,05836667 18,61250000
Esquina Inferior Derecha -65,10836667 17,82916667
Paso de Malla 0,01666667
De la misma manera se determinó la zona de la malla exterior de in�uencia que sería considerada para
el cómputo del geoide. Como ya hemos mencionado esta zona abarca alrededor de 200 kilómetros a partir
de los límites de la zona de la malla del cómputo del geoide. En la Tabla 4.20 se presentan los límites de
la malla exterior.
Tabla 4.20: Límites de la malla exterior.Longitud Latitd
Esquina Superior Izquierda -69,99170000 20,44583333
Esquina Inferior Derecha -62,99170000 16,01250000
Paso de Malla 0,01666667
Finalizado el procedimiento de determinar las mallas de las zonas de trabajo y los valores de las
anomalías aire libre para toda la zona de estudio, se procedió calcular la corrección clásica por efectos
107
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
de la topografía del terreno (Eq. 2.98) en todas las localizaciones terrestres utilizando un programa en
Matlab. En la Tabla 4.21 se presenta un resumen de los resultados obtenidos a partir del cómputo de las
correcciones topográ�cas.
Tabla 4.21: Resumen del resultado del cómputo de las correcciones topográ�cas.Puerto
MonaRepública Islas Vírgenes
Rico Dominicana Estadounidenses
(mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 11,665 8,257 4,856 14,737
Máximo 46,608 10,336 41,787 48,060
Mínimo 4,676 6,602 1,152 3,687
Utilizando las anomalías aire libre y las correcciones topográ�cas, aplicando la Eq.2.132 fue posible
determinar las anomalías de Faye para las localizaciones terrestres de la isla de Mona, la República
Dominicana y las Islas Vírgenes Estadounidenses. En la Tabla 4.22 se presenta un resumen de los resultados
obtenidos a partir del cálculo de las anomalías de Faye. Para el caso especí�co de Puerto Rico y de las
islas de Vieques y Culebra, ya que contamos con datos de anomalías aire libre obtenidas a partir de
medidas realizadas en el terreno, y queremos tener datos con la mayor precisión posible, no se utilizarán
las anomalías aire libre de la base de datos de Sandwell y Smith obtenidas por altimetría por satélite, sino
que utilizaremos un método alterno propuesto por Jekeli et al. (2009b) para determinar las anomalías aire
libre a partir de la topografía del terreno.
Tabla 4.22: Resumen del resultado del cálculo de las anomalías de Faye.
MonaRepública Islas Vírgenes
Dominicana Estadounidenses
(mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 107,061 76,419 147,263
Máximo 114,427 136,254 194,039
Mínimo 90,294 -22,065 45,588
4.5. Extrapolación de anomalías de aire libre a partir de datos de
un modelo digital del terreno
Como hemos mencionado en las secciones anteriores, para desarrollar un modelo del geoide gravimétrico
de alta precisión es necesario contar con una buena y densa base de datos gravimétricos y un modelo digital
del terreno de alta resolución. A diferencia de las redes de datos gravimétricos, que en muchas ocasiones,
como en nuestro caso, son muy limitadas y con poca resolución, los modelos digitales del terreno actuales
son mucho más accesibles y tienen una mejor resolución, como es el caso del SRTM3. La alta relación
linear existente entre anomalías aire libre y las altitudes nos permiten densi�car anomalías aire libre
partiendo de un modelo digital del terreno (Jekeli et al., 2009b). Combinando datos de la topografía del
terreno con datos gravimétricos, no solo mantenemos las características de los datos gravimétricos en las
largas longitudes de onda, sino que la alta resolución de las anomalías aire libre obtenidas a partir de un
modelo digital del terreno(4gAL MDT
)nos permite compensar las de�ciencias ante la poca resolución de
los datos gravimétricos.
108
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Para determinar las anomalías aire libre a partir de un modelo digital del terreno partiremos de la
expresión de las anomalías isostáticas (Eq.2.111):
4gI = gI − γQ
Las reducciones isostáticas (Eq. 2.110) están de�nidas como:
gI = gP −AT +AI + F
Donde el término gP es la gravedad medida en un punto P , AT es la combinación del efecto de
la corrección topográ�ca (CT ) y de la reducción por lámina de Bouguer (AB), AI es la compensación
isostática y F es la reducción aire libre. Asumiendo en principio que las anomalías isostáticas están
compensadas y que son exactamente iguales a cero:
0 = 4gI = gP + CT −AB +AI + 0, 3086HP − γQ (4.17)
Considerando la de�nición de las anomalías aire libre (Eq. 2.92), obtenemos que:
0 = 4gI = 4gAL + CT −AB +AI (4.18)
Finalmente podemos decir:
4gAL MDT = − (CT −AB +AI) (4.19)
Por lo que es posible, a partir de esta hipótesis, determinar las anomalías aire libre partiendo de la
combinación de las correcciones topográ�cas, de la reducción por la lámina de Bouguer y de las correc-
ciones isostáticas. Aplicando la Eq. 2.98 se determinaron las correcciones topográ�cas e isostáticas. Luego
utilizando la Eq. 2.93 se procedió a calcular la reducción por el efecto de la lámina de Bouguer. Final-
mente, utilizando la Eq. 4.19 se calcularon las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno
con lo que obtuvimos:
4gAL MDT = − (CT −AB +AI)
En la Tabla 4.23 se muestra un resumen de los resultados obtenidos del cómputo de las anomalías aire
libre a partir de un modelo digital del terreno(4gAL MDT
)en las estaciones terrestres donde se realizara
el cómputo del geoide.
Tabla 4.23: Resumen del cómputo de las anomalías aire libre a partir de un modelo digital del terreno.Altitud CT AI AB 4gAL
MDT
(metros) (mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 234,8 11,665 78,359 26,275 -63,749
Desviación Estándar 228,4 5,348 9,408 25,560 29,290
Varianza 52173,0 28,602 88,510 653,290 857,921
Máximo 1214,3 46,608 114,364 135,896 51,280
Mínimo -2,3 4,676 67,595 -0,254 -125,414
109
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Estas anomalías se calcularon para la malla correspondiente a toda la región de estudio. En aquellos
puntos en donde contábamos con anomalías aire libre observadas y validadas, se calcularon las diferencias
entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno(4gAL MDT
)y las anomalías aire libre
validadas (4gAL). En la Tabla 4.24 presenta un resumen del resultado de la interpolación las anomalías
aire libre a partir de un modelo digital del terreno en las estaciones con datos de gravedad medida y las
diferencias encontradas con los valores de las anomalías aire libre validadas.
Tabla 4.24: Resumen del cálculo de las anomalías aire libre a partir del modelo digital del terreno en lasestaciones con valores de gravedad.
4gALMDT 4gAL Diferencias
(mGal) (mGal) (mGal)
Promedio -82,424 130,775 213,702
Desviación Estándar 22,885 26,827 14,501
Varianza 523,703 719,709 210,284
Máximo 9,828 233,881 259,337
Mínimo -125,525 74,527 170,615
En la Figura 4.26 se muestran las diferencias entre ambas anomalías aire libre (las medidas y calculadas
bajo la hipótesis de compensación isostáticas perfecta) en función de la altura.
Figura 4.26: Diferencias entre las anomalías aire libre medidas y las anomalías aire libre determinadasapartir del Modelo Digital del Terreno en funcion de la altitud.
Como era de esperar esta correlación es una línea de pendiente cero que mani�esta el valor aproximado
de la anomalía isostática si esta fuera constante para toda la región de estudio. El valor del mejor ajuste
110
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
global es de 213,7023 mGal. En la Tabla 4.25 se presenta un resumen de los resultados de las anomalías
aire libre ajustadas obtenidas a partir de un modelo digital del terreno y sus diferencias con los valores
de las anomalías aire libre validadas.
Tabla 4.25: Resumen del cómputo del ajuste global de las anomalías aire libre a partir del modelo digitaldel terreno.
4gALMDTAjustadas 4gAL Diferencias
(mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 131,279 130,775 0,000
Desviación Estándar 22,885 26,827 14,501
Varianza 523,703 719,709 210,284
Máximo 223,530 233,881 45,635
Mínimo 88,178 74,527 -43,087
En la Figura 4.27 se presenta un histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir
del modelo digital del terreno y las anomalías aire libre validadas en las localizaciones donde había datos
de gravedad medidos.
Figura 4.27: Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital delterreno y las anomalías aire libre validadas � Ajuste Global.
Podemos observar que la varianza de las diferencias del ajuste global es bastante alta. Tratando de
conseguir un mejor resultado, se decidió realizar un ajuste por zonas, asumiendo que la anomalía isostática
varía lentamente de una a otra. Para realizar este ajuste fue necesario transformar las coordenadas geo-
grá�cas al Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (Universal Transverse Mercator,
UTM ). La isla de Puerto Rico se encuentra ubicada en los Husos 19 y el 20, aunque la mayor parte de
la isla se encuentra localizada en el Huso 19. Por esta razón se dividió la isla en seis zonas geográ�cas
en la parte ubicada en el Huso 19 (tres zonas en la parte norte y tres zonas en la parte sur) y dos zonas
geográ�cas en el Huso 20 (una en la parte norte y otra en la parte sur) para un total de 8 zonas.
111
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Ya que tenemos datos de dos fuentes independientes, las anomalías aire libre validadas y las anomalías
aire libre obtenidas a partir de un modelo digital del terreno, se procedió a determinar dentro de que zona
geográ�ca quedaban las anomalías de cada uno de los conjuntos de datos. En las Figuras 4.28 y 4.29 se
muestra un ejemplo de los datos existentes en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3 y 20S � 1.
Figura 4.28: Representación de las anomalías aire libre calculadas en las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3y 20S � 1.
Figura 4.29: Representación de las anomalías aire libre calculadas a partir del modelo digital del terrenoen las zonas 19N � 1, 19S � 2, 19N � 3 y 20S � 1.
Para realizar el ajuste por mínimos cuadrados a las anomalías aire libre obtenidas a partir de un modelo
digital del terreno es necesario considerar los datos de las anomalías aire libre calculadas existentes en
cada zona. (Ver Figura 4.30)
112
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.30: Representación de la combinación de las anomalías para realizar el ajuste por zonas.
Siguiendo el trabajo realizado por Jekeli et al. (2009b)en la realización de un geoide para Corea, hemos
ajustado las anomalías obtenidas por el modelo digital de gran resolución a la red de las anomalías medidas
de baja resolución. Para ello calculamos los parámetros del plano que mejor se ajustan a las anomalías
medidas y luego ajustamos a este plano las anomalías calculadas. Este desplazamiento re�eja como en el
caso anterior el valor en cada zona de la anomalía isostática. (Ver Figura 4.31)
Figura 4.31: Anomalías aire libre determinadas a partir del modelo digital del terreno (puntos negros) encuadrícula ajustadas en función al plano formado por las anomalías aire libre medidas (círculos).
La ecuación de un plano es:
z = a+ bx+ cy (4.20)
Donde z representa los datos de anomalía de la gravedad y (x, y) sus coordenadas planas.
113
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Entonces podemos estimar los parámetros ξ = (a, b, c), a partir de las anomalías η = (z1, z2, ..., zn)T
mediante la expresión:
ξ =(ATA
)−1AT η (4.21)
Donde
A =
1 x1 y1
. . .
. . .
. . .
1 xn yn
(4.22)
Si reemplazamos en las expresiones anteriores los datos de las anomalías calculadas por los de las
observadas obtendremos ξo = (a', b', c')correspondiente a estas mediante la expresión análoga a la anterior:
ξo =(ATo Ao
)−1ATo ηo (4.23)
Entonces simplemente sustituimos los parámetros (a, b, c) y (a, b, c) en la Eq. 4.20 quedando expresado
de la siguiente manera:
4gAL MDTAjustadas = 4gAL MDT + (a′ − a) + [(b′ − b) ∗ x] + [(c′ − c) ∗ y] (4.24)
Ya ajustada la malla de anomalías aire libre obtenidas a partir del modelo digital del terreno, se
procedió a determinar los valores de las anomalías aire libre en cada una de las localizaciones donde había
datos medidos. Finalmente, se calcularon las diferencias con las anomalías aire libre validadas. En la Tabla
4.26 se presenta un resumen de los resultados obtenidos a partir del nuevo ajuste.
Tabla 4.26: Resumen del cómputo del ajuste por zonas de las anomalías aire libre a partir del modelodigital del terreno.
4gALMDTAjustadas 4gAL Diferencias
(mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 128,498 130,775 2,780
Desviación Estándar 25,323 26,827 8,865
Varianza 641,244 719,709 78,594
Máximo 227,182 233,881 33,819
Mínimo 63,934 74,527 -29,728
Podemos observar que en este ajuste se disminuye el valor de la desviación estándar cuando lo compa-
ramos con el ajuste global y se reduce signi�cativamente la varianza. Cuando realizamos un histograma de
las diferencias podemos ver que las diferencias muestras una distribución normal presentando un pequeño
sesgo de 2,780 mGal. (Fig. 4.32)
114
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.32: Histograma de las diferencias entre las anomalías aire libre a partir del modelo digital delterreno y las anomalías aire libre validadas- Ajuste por Zonas.
Podemos a�rmar que el ajuste por zonas geográ�cas es mucho mejor que el ajuste global por lo que
se decidió este ajuste para ser el que �nalmente se le aplique a la malla de anomalías aire libre obtenidas
a partir de un modelo digital del terreno. En la Tabla 4.27 se presenta un resumen de los resultados
obtenidos tras el ajuste por zonas geográ�cas en la malla de anomalías aire libre obtenidas a partir de un
modelo digital del terreno.
Tabla 4.27: Resumen del ajuste por zonas geográ�cas de la malla de anomalías aire libre obtenidas a partirde un modelo digital del terreno.
4gALMDTAjustadas
(mGal)
Promedio 143,319
Desviación Estándar 31,415
Varianza 986,898
Valor Máximo 249,142
Valor Mínimo 76,523
4.5.1. Valor medio de las anomalías aire libre ajustadas
Ya calculadas y ajustadas las anomalías aire libre obtenidas a partir de un modelo digital del terreno
para todas las estaciones donde se va a calcular el geoide, fue necesario combinarlas con las anomalías
aire libre validadas obtenidas con datos medidos sobre el terreno. Primeramente fue necesario preparar
una malla que incluyera todos los datos de anomalías aire libre disponibles. (Ver Figura 4.33)
115
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Figura 4.33: Malla con todos los datos de anomalías aire libre.
Podemos observar que aunque tenemos una malla con valores de anomalías aire libre obtenidas a partir
de un modelo digital del terreno, también contamos con una cantidad considerable de anomalías aire libre
validadas obtenidas con datos de gravedad. Como valor medio hemos asignado a cada elemento de la malla
de valores de anomalías que hemos de utilizar en los cálculos del geoide, el valor del punto medio de la
recta de regresión que de su representación frente a la altura produce. (Ver Figura 4.34)
Figura 4.34: Localizaciones con valores de anomalías aire libre calculadas a un radio de 1 minuto de arcode un punto de la malla.
Tras identi�car que localizaciones con valores de anomalías aire libre se encontraban a un radio de un
minuto de arco de cada una de las estaciones de la malla, se procedió a convertir todas las anomalías aire
libre en anomalías de Faye. (Eq. 2.132)
4gFaye = 4gAL + CT
116
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Las anomalías de Faye presentan un comportamiento más lineal cuando se gra�can en función de
las altitudes que las anomalías aire libre. Esta característica nos ayudará enormemente al momento de
determinar el valor medio de las anomalías ya que el mismo se determinará a partir de un análisis de
regresión lineal para cada conjunto de datos incluidos en el radio de 1 minuto de arco. (Figura 4.35)
Figura 4.35: Datos utilizados para realizar la regresión lineal y determinar el valor medio de la anomalíade Faye en función de la altitud del punto de la malla.
El objetivo del análisis de regresión lineal es determinar la línea que mejor se ajusta al conjunto de
datos y determinar el valor de la anomalía de Faye que le corresponde a la estación de la malla en función
de la altitud. Ya que las anomalías aire libre fueron calculadas a partir de un modelo digital del terreno,
entendemos que este es el mejor método para determinar el valor medio.
Solamente para efectos de este procedimiento, se calcularon las correcciones topográ�cas en las es-
taciones en la zona marítima. El objetivo es que cuando se determine el valor medio en las estaciones
que estén cercanas a las costas y estas tengan que considerar estaciones en el mar, las anomalías de Faye
presenten un comportamiento lineal y no se afectara el análisis de regresión lineal. Se procedió a preparar
una malla con las anomalías de Faye para toda la zona del cómputo del geoide. Como este procedimiento
es repetitivo y propenso a errores, se preparó un programa en C+ el cual dentro de una plataforma de
ArcGIS determinaba que localizaciones con valores de anomalías de Faye estaban dentro de una zona de
amortiguamiento con un radio de 1 minuto de arco alrededor de cada una de las estaciones de la malla
donde se computaría el geoide.
Tras determinar que localizaciones con datos de anomalías de Faye afectaban cada punto de la malla,
se realizó una regresión lineal para un polinomio de primer grado para cada conjunto de datos.
Admitiendo que las anomalías aire libre se correlacionan linealmente con la altura:
4gi = a+ bHi (4.25)
117
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
Entonces: 4g1
.
.
.
4gn
=
1 H1
. .
. .
. .
1 Hn
(a
b
)=⇒4 = Aξ (4.26)
De donde:
ξ =
(a
b
)=(ATA
)−1AT4 (4.27)
Finalmente para cada punto de la cuadrícula podemos obtener el valor medio de la anomalía de Faye
mediante la siguiente ecuación:
4gFaye = a+ bH (4.28)
Aplicando la Eq. 4.28 es posible determinar los valores medios de las anomalías de Faye para cada
conjunto de localizaciones incluidas dentro de la zona de 1 minuto de arco en función de la altitud del
punto de interés en la malla. En la Figura 4.36 se muestra un ejemplo del proceso para determinar la
anomalía de Faye para un punto de la malla donde se computó el geoide.
Figura 4.36: Análisis de regresión lineal para un punto de la malla.
En el ejemplo de la Figura 4.36, se está considerando el punto de malla 50733. Este punto tiene una
altitud STRM3 de 29,4118 metros y un valor de anomalía de Faye MDT de 135,936 mGal. Tras realizar la
regresión lineal considerando las 25 localizaciones con valores de anomalías de Faye que estaban a un radio
118
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE DATOS
de 1 minuto de arco de este punto, se determinó que el valor para la anomalía de Faye correspondiente
para esta localización es 128,988 mGal.
Este procedimiento se realizó para todos los puntos de la malla y tras obtener los valores medios de
las anomalías de Faye, se realizó un recorte para seleccionar solamente los datos en las zonas terrestres
para la región de Puerto Rico. Estas anomalías medias de Faye, combinadas con las anomalías de Faye
de la República Dominicana y las Islas Vírgenes Estadounidenses y las anomalías aire libre en las zonas
marítimas, fueron las que �nalmente se utilizaron para determinar las anomalías residuales y realizar el
cómputo del geoide. En la Tabla 4.28 se presenta un resumen del resultado �nal del cómputo del valor
medio de las anomalías de Faye.
Tabla 4.28: Resumen del cómputo del valor medio de las anomalías de Faye.4gFaye 4gFaye Diferencias
(mGal) (mGal) (mGal)
Puerto Rico Mona Puerto Rico Mona Puerto Rico Mona
Promedio 154,984 107,061 155,326 105,877 -0,342 1,184
Desviación Estándar 33,335 5,606 33,462 6,748 4,572 2,849
Varianza 1111,252 31,427 1119,681 45,533 20,904 8,117
Valor Máximo 269,082 114,427 262,567 112,441 27,703 6,255
Valor Mínimo 88,307 90,294 87,927 84,039 -28,311 -4,855
119
Capítulo 5
Determinación del modelo del
geoide gravimétrico
Tras determinar las anomalías de Faye para todas las zonas terrestres y las anomalías de aire libre en las
zonas marítimas, fue posible determinar el modelo del geoide gravimétrico para la zona de Puerto Rico. El
modelo del geoide fue calculado para una malla con una resolución de 1' x 1' entre los límites18, 6125000◦ ≤φ ≤ 17, 82916667◦ Norte y −68, 05836667◦ ≤ λ ≤ −65, 10836667◦ Oeste. El sistema de coordenadas
geodésicas utiliza como referencia para el cómputo del geoide el elipsoide GRS80. En la Figura 5.1 se
presenta una imagen de la zona del cómputo del modelo del geoide gravimétrico.
Figura 5.1: Zona de cómputo del modelo del geoide gravimétrico.
Se determinaron las anomalías aire libre del modelo EGM2008 para �nalmente obtener las anomalías
residuales en las zonas terrestres. En el caso de las zonas marítimas, se calcularon las anomalías aire
libre del modelo EGM2008 y estas fueron restadas directamente a las anomalías aire libre para obtener
las anomalías residuales. Ya determinadas las anomalías residuales para toda la malla de la zona de
cómputo del geoide, se procedió a resolver la integral de Stokes considerando diferentes modi�caciones
al núcleo de la función de Stokes, los que nos permitió calcular el valor de N - residual. Tras computar
120
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
el efecto indirecto y la aportación del modelo EGM2008 en todas las estaciones de la malla, fue posible
determinar el modelo del geoide para cada una de las modi�caciones a la función de Stokes. Utilizando las
estaciones de referencia establecidas en la isla por el Servicio Geodésico Nacional de los Estados Unidos de
América (National Geodetic Survey, NGS ), las cuales poseen valores de elevación y altitud elipsoidal, fue
posible determinar el valor aproximado del geoide geométrico. Finalmente a partir de los valores del geoide
geométrico, se determinó la `precisión'de los distintos modelos del geoide gravimétrico y se seleccionó el
modelo que mejor se ajustaba a la región de Puerto Rico.
5.1. Preparacion de la malla de anomalías residuales
Tal como hemos mencionado anteriormente, para determinar el modelo del geoide gravimétrico hemos
utilizado la técnica de sustitución � restitución. Esta técnica implica eliminar la aportación del modelo
geopotencial a las anomalías de la gravedad. Como hemos presentado en el capítulo anterior, para las
zonas terrestres, las anomalías de la gravedad han sido reducidas considerando la reducción aire libre y la
corrección clásica del terreno. En la Tabla 5.1 se presenta el resumen de los resultados obtenidos después
de determinar las anomalías de Faye en las zonas terrestres.
Tabla 5.1: Anomalías de Faye para la zona terrestre.Puerto
MonaRepública Islas Vírgenes
Rico Dominicana Estadounidenses
(mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 155,326 105,877 76,419 147,263
Máximo 262,567 112,441 136,252 194,039
Mínimo 87,927 84,039 -22,065 45,587
Tras calcular las anomalías de Faye, fue necesario determinar las anomalías aire libre del modelo
EGM2008 utilizando la aplicación GEOEGM de Gravsoft en su modalidad de Python. En la Tabla 5.2 se
presenta un resumen del resultado del las anomalías aire libre del modelo EGM2008.
Tabla 5.2: Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona terrestre.Puerto
MonaRepública Islas Vírgenes
Rico Dominicana Estadounidenses
(mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 149,051 81,912 72,079 129,271
Máximo 230,633 85,538 124,757 158,641
Mínimo 71,329 75,333 -41,060 26,484
Ya determinadas las anomalías de Faye y las anomalías aire libre del modelo EGM2008, fue posible
calcular las anomalías residuales para las zonas terrestres. En la Tabla 5.3 se presentan los resultados del
cómputo de las anomalías residuales.
121
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Tabla 5.3: Anomalías residuales para la zona terrestre.Puerto
MonaRepública Islas Vírgenes
Rico Dominicana Estadounidenses
(mGal) (mGal) (mGal) (mGal)
Promedio 6,274 23,966 4,340 17,992
Máximo 74,583 31,935 51,463 62,420
Mínimo -48,722 4,314 -8,134 -1,442
Como podemos apreciar, los valores de las anomalías residuales son mucho más suaves que los valores
de las anomalías de Faye. La razón principal es que a estas anomalías se le han eliminado los efectos de
la topografía del terreno mediante la corrección topográ�ca y las largas longitudes de onda del potencial
anómalo mediante las anomalías del modelo geopotencial.
En el caso de las zonas marítimas, no es necesario realizar la corrección por efectos de la topografía del
terreno ni la reducción al geoide debido que ya tenemos las anomalías en la super�cie que nos interesa. En
este caso trabajamos directamente con las anomalías aire libre. En la Tabla 5.4 presentamos un resumen
de los valores de las anomalías aire libre obtenidas mediante altimetría por satélite tanto para la zona
marítima exterior como para la zona marítima donde se realizara el cómputo del geoide.
Tabla 5.4: Anomalías aire libre para la zona marítima.Zona Marítima Zona Marítima
exterior Cómputo Geoide
(mGal) (mGal)
Promedio -65,330 46,047
Máximo 159,243 146,031
Mínimo -364,817 -159,629
Para determinar las anomalías aire libre del modelo EGM2008 en las zonas marítimas se utilizó la
aplicación GEOEGM de Gravsoft. En la Tabla 5.5 se presenta el resumen de los resultados de cálculo de
las anomalías aire libre del modelo EGM2008.
Tabla 5.5: Anomalías aire libre del modelo EGM2008 para la zona marítima.Zona Marítima Zona Marítima
exterior Cómputo Geoide
(mGal) (mGal)
Promedio -65,142 46,857
Máximo 159,280 139,047
Mínimo -363,556 -161,542
Tras determinar las anomalías aire libre y las anomalías aire libre del modelo EGM2008, se procedió a
calcular las anomalías residuales. En la Tabla 5.6 se presenta el resumen de los resultados obtenidos para
el cálculo de las anomalías residuales.
122
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Tabla 5.6: Anomalías residuales para la zona marítima.Zona Marítima Zona Marítima
exterior Cómputo Geoide
(mGal) (mGal)
Promedio -0,189 -0,810
Máximo 75,765 42,604
Mínimo -37,936 -43,169
Ya determinadas las anomalías residuales para las zonas terrestres y marítimas, se procedió a preparar
las respectivas mallas que se utilizarían para calcular el geoide. La Malla de 1' contiene las anoma-
lías residuales para la zona comprendida entre los límites20, 44583333◦ ≤ φ ≤ 16, 01250000◦ Norte y
−69, 99170000◦ ≤ λ ≤ −62, 99170000◦ Oeste. La Malla 1' Zona Cómputo Geoide incluye las anomalías
residuales exclusivamente de la zona donde se interesa calcular el modelo del geoide. En la Tabla 5.7 se
presenta un resumen de las anomalías residuales para cada una de las mallas.
Tabla 5.7: Valores anomalías residuales de las mallas utilizadas para el cómputo del geoide.Malla Malla 1 min.
1 min. Zona Cómputo Geoide
(mGal) (mGal)
Promedio 0,145 1,515
Máximo 75,765 74,583
Mínimo -48,722 -48,722
5.2. Solución de la integral de Stokes
5.2.1. Aproximación Plana
Para solucionar la integral de Stokes, se proponen distintas modi�caciones al núcleo de la función
de Stokes. La primera de las modi�caciones que vamos a presentar es la aproximación plana propuesta
por Schwarz et al. (1990). En esta aproximación se basa en que, dado que en el método de sustitución -
restitución aplicamos la integral de Stokes a un entorno pequeño de la estación σc y por lo tanto a un
ángulo ψ pequeño el primer término de la función de Stokes (Eq. 2.87) es el dominante. Eliminando todos
los términos excepto el primero, queda expresada de la siguiente manera:
S (ψ) =1
sin ψ2
(5.1)
Introduciendo la Eq. 5.1 en la ecuación de la integral de Stokes (Eq. 2.89), obteniendo:
Nres (P ) =R
4πγ
∫ ∫σc
4gR (Q)
sinψPQ
2
dσc (Q) (5.2)
Si tomamos como valor de la distancia que une el punto de cálculo P con el elemento de super�cie
de integración en Q, el de la cuerda del arco sostenido por el arco, haciendo una aproximación, de nuevo,
válida solo para cortas distancias, tendremos que:
d = 2Rm sinψPQ
2(5.3)
123
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Introduciendo este valor en la Eq. 5.2, obtenemos:
Nres (P ) =R2
2πγ
∫ ∫σc
4gR (Q)
ddσc (Q) (5.4)
Si de�nimos R2dσc = dE, siendo E el área donde la integral será evaluada, obtenemos entonces la
ecuación la aproximación plana de la integral de Stokes (Schwarz et al., 1990):
Nres (P ) =1
2πγ
∫ ∫E
4gR (Q)
ddE (5.5)
El hecho de usar esta aproximación plana en vez de la integral con coordenadas esféricas presenta un
error que puede ser determinado con la siguiente expresión (Schwarz et al., 1990):
eN =ψrd.PQ
2csc
ψPQ2
(5.6)
Para determinar el radio medio Rm, es necesario determinar la latitud media de la zona de trabajo
φm y los radios de curvatura M y N :
Rm =√M N (5.7)
M =a(1− e2
)(1 + e2 sin2 φm
) 32
(5.8)
N =a(
1 + e2 sin2 φm) 1
2
(5.9)
En estos cálculos utilizaremos los parámetros del elipsoide de referencia GRS80 :
a = 6378137, e2 = 0, 0066943800229
Para calcular el valor de ψPQ, utilizamos la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):
cosψPQ = sinφP sinφ(i,j) + cosφP cosφ(i,j) cos(λ(i,j) − λP
)(5.10)
Tomando en consideración que φP , λP son las coordenadas del punto P donde calculamos la ondu-
lación del geoide y φi, λ(i,j), son las coordenadas del punto exterior (i, j) de la integral. Para realizar
estos cómputos es necesario considerar un sistema de coordenadas geocéntrico, por lo tanto es necesario
transformar nuestras coordenadas geodésicas a coordenadas geocéntricas utilizando la siguiente expresión:
tanφgeoc = (1− f)2
tanφgeodesica (5.11)
Dado que la integral de Stokes es singular en el origen, es necesario dividir la misma en dos partes:
una que considera la contribución del propio punto P y otra que considera la contribución del resto de los
puntos exteriores. La contribución de los puntos (i, j) de la malla, excluido el punto de cálculo P, puede
ser determinada mediante la siguiente expresión:
N′
res (P ) =4X4Y
2πγP
∑i=1
∑j=1
4g(i,j)
d(i,j)DondeP 6= (i, j) (5.12)
124
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Y la contribución del punto P, puede ser determinada con la siguiente expresión:
NP =
√4X4Y√πγP
4gP (5.13)
Donde �nalmente el valor de la ondulación del geoide residual en P se ha obtenido sumando la con-
tribución de los puntos donde P 6= (i, j) y la contribución del punto P.
Nres (P ) = N′
res (P ) +NP (5.14)
Para determinar el paso de malla utilizaremos las siguientes expresiones:
4X = 4λ = Rm cosφmα (5.15)
4Y = 4φ = Rmα (5.16)
Con un paso de malla:
α = 1′ = 0, 016666666667 grados = 0, 0002908882086715394rd.
5.2.2. Modi�caciones del núcleo de Stokes
Se han presentado muchas alternativas para la alteración del núcleo de Stokes, fundamentalmente para
minimizar el error de omisión debido a la limitación de la integral a un entorno próximo a la estación.
Las más conocidas son las propuestas por Molodensky et al. (1962), Wong y Gore (1969), Vanicek y
Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998) entre otras, que serán las ensayadas en aquí. Todas estas
son aproximaciones deterministas asociadas a los métodos de sustitución � restitución. No se han tomado
en consideración en este trabajo las modi�caciones estocásticas.
Para tener en cuenta estas modi�caciones al núcleo de Stokes, es necesario escribir la integral de Stokes
(Eq. 2.89) en su forma más explícita, introduciendo un sistema de coordenadas adecuado sobre la esfera.
N =R
4πG
∫ ∫σ
4g S (ψ) dσ
El uso de las coordenadas polares con origen en el punto P ofrece la ventaja de que el ángulo ψ, que
es el argumento de la función de Stokes, es una coordenada que representa la distancia esférica. La otra
coordenada sería el acimut α, medido desde el norte. Si tenemos un punto P que coincide en el polo norte,
donde ψ y α son idénticas a φ y λ, el elemento de ángulo sólido viene dado por:
dσ = sinψ dψ dα (5.17)
Puesto que todos los puntos de la esfera son equivalentes, esta relación se veri�ca para un origen
arbitrario P. De la misma forma tenemos: ∫ ∫σ
=
∫ 2π
α=0
∫ π
ψ=0
(5.18)
125
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Sustituyendo las Eq. 5.17 y Eq. 5.18 en la integral de Stokes (Eq. 2.89), obtenemos:
N =R
4πG
∫ 2π
α=0
∫ π
ψ=0
4g (ψ, α) S (ψ) sinψ dψ dα (5.19)
Como una forma explícita de la integral de Stokes.
Para considerar la in�uencia de las zonas distantes sobre la fórmula de Stokes, podemos designar la
función de Stokes como S (cosψ) en vez de S (ψ) y descomponer la integral de Stokes en dos partes,
obteniendo:
N =R
4πG
∫ ψ0
ψ=0
∫ 2π
α=0
4g (ψ, α) S (cosψ) sinψ dψ dα+R
4πG
∫ π
ψ=ψ0
∫ 2π
α=0
4g (ψ, α) S (cosψ) sinψ dψ dα
(5.20)
Si introducimos la función discontinua:
S (cosψ) =
{0 si 0 ≤ ψ ≤ ψ0
S (cosψ) si ψ0 ≤ ψ ≤ π(5.21)
La función S (cosψ) puede desarrollarse en serie de los polinomios de Legendre:
S (cosψ) =∞∑n=0
2n+ 1
2QnPn (cosψ) (5.22)
Dónde:
Qn =
∫ π
ψ0
S (cosψ)Pn (cosψ) sinψ dψ (5.23)
Esta ecuación determina los Qn como funciones del radio límite ψ0. Finalmente, si ψ0 = 0, la función
S (cosψ) se reduce a la función de Stokes S (cosψ) para todos los valores de ψ, quedando expresada:
S (cosψ) =∞∑n=0
2n+ 1
2QnPn (cosψ) = S (cosψ) =
∞∑n=2
2n+ 1
n− 1Pn (cosψ) (5.24)
Los coe�cientes de truncación esférica pueden calcularse mediante la siguiente evaluación numérica
(Moritz, 1980):
Qn = 4
∫ 1
−1
Pn (1− 2z)S(1− z2
)zdz (5.25)
Donde Pn son los Polinomios de Legendre de grado n, S la función de Stokes y z = cos ψ2 . Estos
coe�cientes pueden evaluarse también mediante los algoritmos de Paul (1973), que es el procedimiento
seguido en este trabajo.
126
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
5.2.2.1. Modi�cación de L. Wong y R. Gore
Una de las modi�caciones del núcleo de Stokes más utilizada es la modi�cación de Wong y Gore
(1969) o núcleo esferoidal de Stokes. Esta modi�cación consiste en remover los polinomios de Legendre de
menor grado (2 ≤ n ≤ P ) del núcleo esférico de Stokes, lo que permite reducir la magnitud del error de
truncamiento.
SP (cosψ) = S (cosψ)−P∑n=2
2n+ 1
n− 1Pn (cosψ) (5.26)
=∞∑
n=P+1
2n+ 1
n− 1Pn (cosψ) para 0 ≤ ψ ≤ π (5.27)
Donde P corresponde al grado del núcleo esferoidal o modi�cación de Wong y Gore, que en nuestro caso
coincide con el grado máximo del modelo geopotencial, es decir 2159. Un punto crítico en la aplicación de
estos modelos es la elección de ψ0 radio que debe considerar las cortas longitudes de onda que buscamos
añadir a partir de las anomalías del modelo y a su vez debe hacer despreciable el error de omisión
consecuencia de la truncación de la integral al entorno de la estación. Siguiendo la experiencia de otros
autores y nuestra propia experiencia empírica, hemos elegido como valor el de 1 minuto de arco.
5.2.2.2. Modi�cación de P. Vanicek y A. Kleusberg
Vanicek y Kleusberg (1987)aplicaron la modi�cación propuesta por Molodensky et al. (1962) del núcleo
esférico de Stokes al núcleo esferoidal de Stokes propuesto por Wong y Gore (1969). Esta modi�cación lo
que hace es minimizar el error de truncamiento en el límite superior. Bajo este esquema, la modi�cación
de Molodensky del núcleo esferoidal de Stokes queda de�nido como:
SLP (cosψ) =
{SP (cosψ)−
∑Lk=2
2k+12 tk (cosψ0)Pk (cosψ) para 0 ≤ ψ ≤ ψ0
0 paraψ0 ≤ ψ ≤ π(5.28)
Donde los coe�cientes de truncamiento Qn (ψ0) y tk (ψ0)y enk (ψ0) son determinados mediante:
Qn (ψ0) =L∑k=2
2k + 1
2tk (ψ0) enk (ψ0) (5.29)
= Qn (ψ0)−L∑k=2
2k + 1
k − 1enk (ψ0) para (2 ≤ n ≤ L) (5.30)
enk (ψ0) =
∫ π
ψ0
Pk (cosψ)Pn (cosψ) sinψ dψ (5.31)
Y los coe�cientes enk (ψ0) pueden obtenerse mediante los algoritmos de Paul (1973), antes citados.
Los coe�cientes tk (ψ0) se obtienen resolviendo el sistema lineal de ecuaciones dado en la Eq. 5.28.
127
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
5.2.2.3. Modi�cación de W. E. Featherstone, J.D. Evans y J.G. Olliver
Featherstone et al. (1998) presentó una modi�cación determinística del núcleo de Stokes el cual con-
sistió en aplicar la modi�cación del núcleo esférico de Stokes propuesta por Meissl (1971):
S (cosψ) =
{S (cosψ)− S (cosψ0) para 0 ≤ ψ ≤ ψ0
0 paraψ0 ≤ ψ ≤ π(5.32)
al núcleo esferoidal de Stokes propuesto por Vanicek y Kleusberg (1987). El núcleo de Stokes modi�cado
propuesto por Featherstone et al. (1998) puede ser expresado de la siguiente manera:
SLP (cosψ) =
{SLP (cosψ)− SLP (cosψ0) para 0 ≤ ψ ≤ ψ0
0 paraψ0 ≤ ψ ≤ π(5.33)
Donde el coe�ciente tk (ψ0) (2 ≤ n ≤ L) es determinado en función de ψ0 y es utilizado para computar
SLP (cosψ). De la misma manera, SLP (cosψ0) puede ser evaluado y restado en la región 0 ≤ ψ ≤ ψ0.
5.2.3. Resultados de la solución de la integral de Stokes - N residual
Lo métodos utilizados para determinar el valor de N - residual fueron la aproximación plana de la
función de Stokes (Geoide AP) y las modi�caciones al núcleo de Stokes propuestas por Wong y Gore
(1969), (Geoide WG), por Vanicek y Kleusberg (1987), (VK) y la propuesta por Featherstone et al. (1998),
(FEO). A partir estas modi�caciones, se procedió a resolver la integral de Stokes utilizando programación
en C+ y Matlab. En la Tabla 5.8 se presenta un resumen de los resultados de la solución de la integral de
Stokes � N residual.
Tabla 5.8: Resultados de la solución de la integral de Stokes � N residual.NResidualAP NResidualW G NResidual V K NResidual F E O
(metros) (metros) (metros) (metros)
Promedio 0,090 0,048 0,001 0,060
Máximo 0,342 0,207 0,173 0,329
Mínimo -0,172 -0,075 -0,129 -0,245
5.3. Cómputo del efecto indirecto
Siguiendo la metodología propuesta por Furones y Capilla (2008), partiendo de la Eq. 2.114 propuesta
por Wichiencharoen (1982), se determinó el efecto indirecto pero solamente considerando los primeros dos
terminos de la ecuación:
NInd = −πGρH2P
γP− Gρ
6γP
∫ ∫σ
H3 −H3P
d3dσ (5.34)
Para determinar la distancia se utilizó la Eq. 5.3 tal y como se hizo para resolver la aproximación plana
de la función de Stokes. La solución numérica de la Eq. 5.34 aproximada hasta el tercer grado, quedaría
expresada de la siguiente manera:
NInd = −πGρH2P
γP− Gρ4X4Y
6γP
∑∑ H3 −H3P
d3dσ (5.35)
128
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Donde 4X y 4Y corresponden al paso de malla del modelo digital del terreno:
α = 1′ = 0, 016666666667 grados = 0, 0002908882086715394rd.
Primeramente se calculó la aportación del primer término de la fórmula del efecto indirecto, el cual
es el término que más aporta. Luego se procedió a determinar el valor del segundo término variando la
zona de in�uencia entre 25, 50, 75 y 100 kilómetros a partir de la estación donde se interesa calcular el
geoide. En la Tabla 5.9 se presenta el resultado de la aportación del primer término y del segundo término
variando el radio de in�uencia.
Tabla 5.9: Resultados de la aportación del primer término y del segundo término variando el radio dein�uencia (25, 50, 75 y 100 km).
Primer Término
Segundo Segundo Segundo Segundo
Término Término Término Término
25 km 50 km 75 km 100 km
(metros) (metros) (metros) (metros) (metros)
Promedio -0,024 0,000 0,001 0,002 0,003
Máximo 0,000 0,082 0,083 0,083 0,084
Mínimo -0,456 -0,151 -0,159 -0,161 -0,162
Tras calcular la aportación de cada uno de los términos, se procedió a computar el efecto indirecto
total. En la Tabla 5.10se presenta un resumen del resultado del cómputo del efecto indirecto considerando
los distintos radios de in�uencia..
Tabla 5.10: Resultado del cómputo del efecto indirecto total variando los radios de in�uencia.Efecto Indirecto Efecto Indirecto Efecto Indirecto Efecto Indirecto
Radio 25 km Radio 50 km Radio 75 km Radio 100 km
(metros) (metros) (metros) (metros)
Promedio -0,024 -0,023 -0,022 -0,021
Máximo 0,013 0,016 0,017 0,019
Mínimo -0,565 -0,576 -0,580 -0,582
Tras determinar el efecto indirecto considerando los radios de in�uencia, se procedió a determinar cuál
era la distancia adecuada a considerar para el cómputo �nal del efecto indirecto. En la Tabla 5.11 se
presenta un resumen de la aportación de cada una de las zonas de in�uencia.
Tabla 5.11: Aportación de las zonas de in�uencia en el cómputo del efecto indirecto.50 km - 25 km 75 km - 50 km 100 km - 75 km
(metros) (metros) (metros)
Promedio 0,001 0,001 0,001
Máximo 0,010 0,011 0,005
Mínimo -0,012 -0,004 -0,006
Como podemos apreciar, tanto en la zona entre los 25 km y 50 km y la zona entre los 50 km y 75 km
los valores máximos se encuentran por encima del centímetro, lo que no nos vale para nuestro trabajo.
Lo contrario ocurre en la zona entre los 75 km y 100 km en la cual obtenemos valores máximos que
129
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
se encuentran por debajo del centímetro por lo que consideramos que el radio de in�uencia de los 100
kilómetros como el más adecuado para realizar el cómputo del geoide.
5.4. Contribución del modelo geopotencial EGM2008
Para determinar los valores absolutos de la ondulación de geoide con el EGM2008 fue necesario
utilizar un programa en FORTRAN cuya aplicación en Windows es hsynth_WGS84.exe. La misma fue
desarrollada por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA), agencia encargada de trabajar
en el desarrollo del modelo geopotencial EGM2008 (Pavlis et al., 2008). Utilizando la Eq. 2.121, esta
aplicación nos permite determinar los valores de la ondulación del geoide del modelo geopotencial.
NMG =GM
rγ
nmax∑n=2
(ar
)n n∑m=0
(C ′mn cosmλ+ Smn sinmλ
)P (cos θ)
En las Figuras 5.2 y 5.3 se presentan varias imágenes del procedimiento para determinar la ondulación
del geoide con el modelo geopotencial.
Figura 5.2: Vista parcial del cómputo de la ondulación del geoide con el modelo EGM2008.
130
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Figura 5.3: Vista parcial del resultado �nal del cómputo de la ondulación del geoide con el modeloEGM2008.
En la Tabla 5.12 se presenta un resumen de los resultados del cálculo de la ondulación del geoide del
modelo EGM2008.
Tabla 5.12: Aportación del modelo EGM2008 para el cómputo del geoide.Malla 1 min.
Zona Cómputo Geoide
(metros)
Promedio -44,462
Máximo -40,661
Mínimo -51,869
131
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
5.5. Cómputo de los modelos del geoide gravimétrico
Al utilizar la técnica de sustitución � restitución para determinar el modelo del geoide gravimétrico,
tras eliminar de las anomalías de gravedad el efecto de las largas longitudes de onda del potencial anómalo
mediante las anomalías del modelo geopotencial global, para realizar el cómputo del N residual es necesario
restituir la aportación del modelo. Por esta razón, tras determinar los valores del N residual, el efecto
indirecto de la topografía del terreno y la aportación del modelo geopotencial EGM2008, aplicando la Eq.
2.137 se puede determinar el valor de la ondulación del geoide en todas las estaciones de la zona cómputo
con cada uno de los modelos del geoide gravimétrico.
N = NRes +NMG +NInd
En la Tabla 5.13 se muestra un resumen del resultado obtenido luego del cómputo de los distintos
modelos del geoide gravimétrico.
Tabla 5.13: Resultados del cómputo de la ondulación del geoide para los modelos del geoide gravimétrico.NGeoideAP NGeoideW G NV K NF E O
(metros) (metros) (metros) (metros)
Promedio -44,393 -44,435 -44,483 -44,423
Máximo -40,358 -40,498 -40,616 -40,360
Mínimo -52,137 -52,146 -52,169 -52,195
5.6. Validación de los modelos del geoide gravimétrico
Una vez determinados los distintos modelos del geoide gravimétrico, fue necesario validar los mismos
utilizando datos independientes. De la base de datos del NGS, se identi�caron las estaciones de referencia
que tenían publicados sus valores de altitud elipsoidal y elevación (que en este caso se toma como la altitud
ortométrica) (Roman et al., 2013). En el caso de Puerto Rico, no contamos con estaciones de referencia
con valores de altitudes ortométricas, sino que las estaciones de referencia solamente tienen valores de
elevación. Estas elevaciones fueron determinadas mediante nivelación de alta precisión y luego ajustadas
por personal del NGS antes de ser incorporadas al datum local de Puerto Rico, el PRVD02. En la Tabla
5.14 se muestran las estaciones de referencia del NGS utilizadas para realizar la validación de los modelos
del geoide gravimétrico.
Para determinar la `precisión' de nuestros modelos, es necesario compararlos con el geoide geométrico
determinado a partir de datos medidos en el terreno. (Como utilizaremos la elevación en lugar de la altitud
ortométrica para calcular la ondulación del geoide, emplearemos el termino `precisión'). En adición, es
nuestro interés comparar la `precisión' de los modelos del geoide gravimétrico con el modelo geopotencial
regional vigente para Puerto Rico y las Islas Vírgenes Estadounidenses, el GEOID12A (Figura 5.4) y el
modelo geopotencial global, el EGM2008.
132
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Tabla
5.14:Estacionesde
referencia
delNGSutilizadaspara
valid
arlosmodelos
delgeoide.
PID
Estación
Longitd
Latitud
Elevación
hh−H
PID
Estación
Longitd
Latitud
Elevación
hh−H
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
(metros)
TV1513
9755371ATIDAL
-66,11644
18,45895
1,334
-41,639
-42,973
TV1182
TUNA
-66,64016
18,49273
22,421
-22,118
-44,539
AA9178
AGUAUSCGA
-67,06665
18,46207
128,689
84,740
-43,949
DE5545
VELEZ
-67,14692
18,44480
134,321
90,419
-43,902
AA9179
AGUAUSCGB
-67,06521
18,45920
138,982
95,091
-43,891
AA7661
ZSUA
-65,99356
18,43029
1,890
-40,494
-42,384
DE5485
BERRIOS
-66,42306
18,43978
43,368
0,649
-42,719
AA7662
ZSUB
-65,99227
18,43128
2,397
-40,009
-42,406
TV1514
BQNA
-67,14586
18,48910
71,693
26,895
-44,798
AB9769
CPD93
-67,11348
18,50025
58,343
13,435
-44,908
TV1515
BQNB
-67,13362
18,49203
68,676
23,880
-44,796
DH3639
FSJN
-66,08424
18,46296
6,540
-36,503
-43,043
DE5557
BQNCRESET
-67,12093
18,49815
63,020
18,191
-44,829
DH3640
FSJS
-66,08419
18,46271
6,920
-36,121
-43,041
DE5469
DIAZ
-66,08002
18,44352
5,845
-36,804
-42,649
DK7434
E1009
-67,15394
18,38607
7,367
-35,593
-42,960
AB9843
ELOJO
-66,38641
18,01233
54,455
15,361
-39,094
DO1305
GPS54
-67,14394
18,21185
6,658
-34,102
-40,760
DE5506
F1004
-66,71833
18,45328
6,074
-37,568
-43,642
DO1323
R1013
-67,04567
17,97212
1,444
-38,506
-39,950
DE5550
G1006
-67,16197
18,45558
23,621
-20,566
-44,187
DO1298
C1012
-66,61337
17,98738
7,215
-32,461
-39,676
DE5560
GUN
-66,12398
18,46799
15,847
-27,367
-43,214
DO1392
T1022
-66,14042
18,11201
418,962
380,557
-38,405
DE5532
M1005
-66,99894
18,47299
108,204
64,074
-44,130
DO1110
F1016
-66,03771
18,26521
77,648
37,806
-39,842
AB9831
MANATI2
-66,50123
18,43983
21,221
-21,674
-42,895
AB9844
COCO
-66,24813
18,00203
45,410
6,525
-38,885
AB9832
MONTEREY
-66,33296
18,42863
58,450
16,082
-42,368
AB9841
LAJAS2
-66,95919
18,07199
87,909
48,397
-39,512
TV1290
NOVA2
-66,80094
18,47387
83,536
39,327
-44,209
AB9842
MAGAS
-66,76658
18,01451
8,450
-31,138
-39,588
DE5493
P1003
-66,53366
18,47303
1,004
-42,794
-43,798
TV1521
MAZC
-67,14994
18,25489
6,368
-34,847
-41,215
DE5512
P1004
-66,78140
18,48684
12,156
-32,369
-44,525
TV1211
PSEARP
-66,56323
18,00874
8,053
-31,471
-39,524
DE5508
Q1004
-66,33437
18,42894
58,617
16,237
-42,380
AB9318
PSEE
-66,55920
18,00792
8,020
-31,503
-39,523
AB9830
QUEBRAS2
-66,92832
18,46522
125,714
81,785
-43,929
AB9749
PSEF
-66,55445
18,00645
8,020
-31,495
-39,515
TV1527
SANJUANSIGAPTARP
-66,09822
18,45731
2,317
-40,605
-42,922
AB9838
UTUADO
-66,71646
18,27112
166,476
126,392
-40,084
DE5470
SANABRIA
-66,14915
18,42289
3,927
-38,305
-42,232
DK7451
9759394ATIDAL
-67,15939
18,21784
1,452
-39,458
-40,910
TV1528
SIGC
-66,09119
18,45813
1,512
-41,420
-42,932
133
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Figura 5.4: Descripción del GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS )
En el Anexo 10 se encuentran los valores de la ondulación del geoide en las estaciones de validación
del NGS. En la Tabla 5.15 se presenta un resumen de los resultados de los valores de la ondulación del
geoide geométrico y los resultados de la interpolación de los distintos modelos del geoide gravimétrico en
las estaciones de validación del NGS.
Tabla 5.15: Valores de la ondulación del geoide en las estaciones de validación del NGS.NGeo NGEOID12A NEGM2008 NGeoideAP NGeoideW G NV K NF E O
(metros) (metros) (metros) (metros) (metros) (metros) (metros)
Promedio -42,259 -42,284 -44,462 -44,318 -44,380 -44,450 -44,361
Máximo -38,405 -38,446 -40,701 -40,461 -40,567 -40,690 -40,460
Mínimo -44,908 -44,890 -47,039 -46,997 -47,011 -47,016 -47,075
En la Figura 5.5 se presenta una imagen que muestra la localización de las estaciones de referencia
utilizadas en el proceso de validación de los modelos del geoide gravimétrico.
Figura 5.5: Estaciones de referencia del NGS utilizadas para la validación de los modelos del geoide.
134
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Como mencionamos en la Sección 4.1.2, puesto que cada modelo del geoide tiene un dátum diferente,
para determinar la `precisión' de los modelos del geoide se procedió a determinar las diferencias entre los
incrementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de cada
uno de los modelos utilizando las siguientes ecuaciones:
∇4NGeo−GEOID12A = 4NGeo −4NGEOID12A (5.36)
∇4NGeo−EGM2008 = 4NGeo −4NEGM2008 (5.37)
∇4NGeo−GeoideAP = 4NGeo −4NGeoideAP (5.38)
∇4NGeo−GeoideW G = 4NGeo −4NGeoideW G (5.39)
∇4NGeo−V K = 4NGeo −4NV K (5.40)
∇4NGeo−F E O = 4NGeo −4NF E O (5.41)
La `precisión' de cada modelo fue determinada utilizando la Eq. 4.9:
σ∇4NGeo−Modelo =
√√√√(∑ (δi − δAve.)2
n
)(5.42)
Donde:
δi : Diferencia de los incrementos de la ondulación del geoide entre estaciones de referencia (metros)
δAve. : Promedio de los diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide (metros)
n : Número de estaciones de validación (45)
Utilizando las 45 estaciones de validación de la red de nivelación del PRVD02 y tras establecer un total de
990 líneas base, se procedió a realizar dos análisis para determinar la `precisión' de los modelos del geoide.
El primer análisis consistió en analizar las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide
geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos gravimétricos,
EGM2008 y GEOID12A) en función de las distancias entre las estaciones de validación. Para realizar este
análisis primeramente fue necesario determinar las distancias entre las estaciones de validación para luego
analizar la `precisión' de los modelos del geoide en los siguientes tramos: 0 - 5 km, 6 - 10 km, 11 - 25 km,
26 - 50 km, 51 - 75 km, 76 - 100 km y 101 - 126 km. En este análisis se encontró que en los tramos entre los
0 - 5 km, el modelo con mejor `precisión' es el GEOID12 A (0,014 metros). Esto representa un 4,6% del
total de los tramos considerados. También se encontró que en los tramos entre los 6 - 10 km, el modelo con
la mejor `precisión' es el EGM2008 (0,016 metros), representando un 4,2% de los tramos considerados.
Sin embargo, a partir de los 11 kilómetros, el modelo que presenta la mejor `precisión' es el modelo con la
modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. Es decir, en el análisis de la`precisión' de los
modelos en función de la distancia entre estaciones de validación, en un 91,1% de los tramos considerados,
el modelo del geoide gravimétrico con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore
supera en su `precisión' a los demás modelos del geoide gravimétrico y a los modelos geopotenciales
regional y global. En el Anexo 11 se encuentran las tablas con un resumen de los resultados encontrados
tras realizar el análisis de la `precisión' de los modelos del geoide en función de las distancias entre las
estaciones de validación. En el segundo análisis realizado, en el que se consideraron las 990 líneas base
135
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
previamente establecidas, se determinaron las diferencias entre los incrementos de la ondulación del geoide
geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos modelos (modelos gravimétricos,
EGM2008 y GEOID12A). En la Tabla 5.16 se presenta un resumen de los resultados encontrados en el
análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del geoide considerando las 990 líneas base.
Tabla 5.16: Resumen de los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulacióndel geoide.
∇4Promedio ∇4maximo ∇4mınimo σ
(metros) (metros) (metros) (metros)
∇4NGeo−GEOID12A 0,050 0,269 0,000 ±0,057∇4NGeo−EGM2008 0,043 0,165 0,000 ±0,031∇4NGeo−GeoideAP 0,055 0,184 0,000 ±0,039∇4NGeo−GeoideW G 0,038 0,134 0,000 ±0,027∇4NGeo−V K 0,049 0,205 0,000 ±0,037∇4NGeo−F E O 0,076 0,299 0,000 ±0,095
Como podemos apreciar, el modelo con la mejor `precisión' es el obtenido a partir de la modi�cación
del núcleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. El mismo presenta una `precisión' de 0,027 metros. Este
modelo supera tanto al modelo geopotencial regional GEOID12A, como al modelo geopotencial global
EGM2008, los cuales presentaron una `precisión' de 0,057 y 0,031 metros respectivamente cuando los
comparamos con los valores de los incrementos de la ondulación del geoide geométrico. En el Anexo 12
se encuentra la tabla con los resultados del análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación
del geoide considerando las 990 líneas base.
5.7. Ajuste del modelo gravimétrico del Geoide WG
Tras seleccionar el modelo del geoide desarrollado a partir de la modi�cación del núcleo de Stokes
propuesta por Wong y Gore como el modelo que mejor se ajusta a la región de Puerto Rico y tomando
en consideración las 45 estaciones de referencia del NGS utilizadas para validar los modelos del geoide
gravimétrico, se procedió a realizar un ajuste por mínimos cuadrados utilizando las diferencias entre los
valores de la ondulación del geoide geométrico y los valores de la ondulación del Geoide WG obtenidos en
las estaciones de validación. A partir de este ajuste, se determinó aplicarle un desplazamiento al modelo
del Geoide WG de 2,1219 metros. En la Tabla 5.17se presenta un resumen de los resultados obtenidos a
partir del ajuste realizado a la malla del modelo del Geoide WG.
Tabla 5.17: Resultados del ajuste por mínimos cuadrados del modelo del Geoide WG.NGeoideW GAdj.
(metros)
Promedio -42,313
Máximo -38,376
Mínimo -50,024
Finalmente, utilizando los valores ajustados del modelo del Geoide WG, se aplicó una interpolación
kriging lo que nos permitió visualizar las isolíneas del modelo del geoide. A partir del kriging, se procedió
a dibujar las isolíneas del modelo del Geoide WG ajustado. En la Figura 5.6 se presenta el modelo �nal
del Geoide WG ajustado con sus isolíneas a un intervalo de 0,5 metros.
136
CAPÍTULO 5. DETERMINACIÓN DEL MODELO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO
Figura5.6:
Vista
�nal
delmodelodelGeoideWG
ajustado.
137
Capítulo 6
Conclusiones y Trabajos Futuros
6.1. Conclusiones
A lo largo de esta investigación, hemos estado trabajando en distintas técnicas para desarrollar un
modelo del geoide gravimétrico para Puerto Rico que sirva de sistema de referencia para determinar las
altitudes ortométricas, encontrando que aunque en la región de Puerto Rico no contamos con una gran
densidad de datos gravimétricos, la implementación de la metodología alterna propuesta por Jekeli et al.
(2009b) nos permitió desarrollar una malla de anomalías aire libre obtenidas a partir de un modelo digital
del terreno que combinadas con las anomalías aire libre medidas hace posible determinar un modelo del
geoide gravimétrico cuya `precisión' es superior a los modelos del geoide regionales y globales existentes.
Uno de los objetivos especí�cos de esta tesis era desarrollar la metodología necesaria que nos permita
determinar las altitudes ortométricas con la mayor precisión posible. Tras desarrollar esta metodología y
luego de realizar trabajos de campo a lo largo de la línea de nivelación existente en Puerto Rico al momento
de realizar esta investigación, encontramos que la precisión de altitudes ortométricas varía desde ± 1,1
milímetros en las estaciones más cercanas al origen de la línea de nivelación hasta un valor máximo de
± 7,4 milímetros en la estación más alejada del origen de la línea. El desarrollar esta metodología nos
permitirá determinar las altitudes ortométricas en todas las estaciones de la red de nivelación del PRVD02
tan pronto estas se doten con medidas de gravedad.
Tras determinar las altitudes ortométricas en las estaciones permanentes disponibles de la línea de
nivelación y tras realizar varias campañas para determinar las altitudes elipsoidales en estas estaciones,
fue posible determinar la ondulación del geoide geométrico y comprobar la precisión de los modelos
geopotenciales globales EGM2008 y EGM96 mediante un análisis de las diferencias de los incrementos de
la ondulación del geoide. Se encontró que la precisión del EGM2008 era 0,029 metros en comparación con
la precisión de su predecesor, el EGM96, que presento una precisión de 0,055 metros. De la misma manera
se encontró que la precisión del EGM2008 era superior a la del modelo regional GEOID12A, el cual
presento una precisión de 0,030 metros, cumpliendo así con una de las expectativas de sus desarrolladores
en presentar un modelo geopotencial global que igualara y en algunos casos superara los modelos regionales
del geoide.
Como parte de los trabajos relacionados con la tesis, fue necesario analizar y validar los datos de
gravedad terrestre existentes en la región de Puerto Rico. Utilizando validación por altimetría con métodos
de SIG y validación matemática por colocación con el programa Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su
138
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
modalidad en Python (Nielsen et al., 2012), fue posible validar 1673 datos de anomalías aire libre de
un total de 1894 observaciones obtenidas de la base de datos del BGI. Luego, tras aplicar la corrección
topográ�ca utilizando el método de prismas propuesto por (Nagy et al., 2000) y restarle la contribución
del modelo EGM2008, fue posible obtener una base de datos anomalías residuales �able.
Ante la poca densidad de datos de gravedad existentes, fue necesario emplear un método alternativo
para obtener valores de anomalías aire libre. Utilizando la base de datos de anomalías aire libre de Sandwell
y Smith (2009), obtenidas mediante altimetría por satélite y empleando una metodología propuesta por
Jekeli et al. (2009b) se procedió a determinar las anomalías aire libre a partir de los datos de un modelo
digital del terreno. Estas anomalías fueron ajustadas considerando las diferencias entre estas y las ano-
malías aire libre medidas y validadas. Tras aplicar un ajuste de mínimos cuadrados por zonas geográ�cas,
fue posible obtener una malla de datos de anomalías aire libre uniforme a partir de un modelo digital del
terreno. Ya que contábamos con datos medidos en el terreno ya validados, se procedió a combinar estas
anomalías con las anomalías aire libre obtenidas a partir del modelo digital del terreno. Considerando
que las anomalías de Faye presentan un comportamiento mucho más lineal que las anomalías aire libre
cuando se gra�can en función de las altitudes, se procedió determinar las anomalías de Faye en todas los
puntos de la malla y utilizando métodos de regresión lineal, se procedió a determinar los valores medios
de las anomalías de Faye en función de la altura y de los valores de las anomalías de Faye de los puntos
que se encontraban en un radio de 1 minutos de arco del punto de malla donde �nalmente se calculó el
modelo del geoide. Esta metodología nos permitió obtener malla de anomalías de Faye �suavizada� que
combinaba los datos de anomalías validadas con las obtenidas a partir del modelo digital del terreno, la
cual fue la que se utilizó �nalmente para determinar los modelos del geoide.
A partir de la malla de anomalías de Faye, se procedió a determinar el efecto indirecto de la topografía
del terreno y la contribución del modelo geopotencial EGM2008, para obtener las anomalías residuales en
la zona de cálculo. Tras determinar las anomalías residuales, aplicando varias técnicas para determinar el
geoide, entre las que se encuentran la aproximación plana de la función de Stokes y las modi�caciones del
núcleo de Stokes, fue posible determinar varios modelos del geoide gravimétrico.
Utilizando 45 estaciones permanentes de la red de nivelación del PRVD02, tomando los valores pu-
blicados de su altitud elipsoidal y elevación como los valores para determinar la ondulación del geoide
geométrico (Roman et al., 2013), se procedió a determinar la `precisión' de los modelos del geoide gravimé-
trico. Tras establecer un total de 990 líneas base, se realizaron dos análisis para determinar la `precisión'
de los modelos del geoide. En el primer análisis, que consistió en analizar las diferencias entre los in-
crementos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los
distintos modelos (modelos gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A) en función de las distancias entre las
estaciones de validación, se encontró que el modelo con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesto
por Wong y Gore presentó la mejor `precisión' en un 91,1% de los tramos analizados. En un segundo
análisis, en el que se consideraron las 990 líneas base, se determinaron las diferencias entre los incremen-
tos de la ondulación del geoide geométrico y los incrementos de la ondulación del geoide de los distintos
modelos (modelos gravimétricos, EGM2008 y GEOID12A), encontrando que el modelo que presenta la
mayor `precisión' también era el geoide con la modi�cación del núcleo de Stokes propuesto por Wong y
Gore. En este análisis, el modelo del geoide gravimétrico de Wong y Gore presento una `precisión' de
0,027 metros en comparación con la `precisión' del modelo EGM2008 que fue de 0,031 metros mientras
que la `precisión' del modelo regional GEOID12A fue de 0,057 metros. Finalmente podemos decir que la
metodología aquí presentada es una adecuada ya que fue posible obtener un modelo del geoide gravimé-
139
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
trico que presenta una mayor `precisión' que los modelos geopotenciales disponibles, incluso superando la
precisión del modelo geopotencial global EGM2008.
6.2. Trabajos Futuros
Después de completar los trabajos relacionados con esta investigación, entendemos que es posible me-
jorar en varias aéreas como lo son la cantidad y calidad de datos gravimétricos existentes, la combinación
de la malla de anomalías aire libre desarrollada con otros datos procedentes de otras campañas gravimé-
tricas y el empleo otras técnicas para determinar el modelo delo geoide gravimétrico. A continuación se
presenta un detalle de las posibles líneas de investigación futura:
1. Realizar levantamientos de datos gravimétricos en las estaciones permanentes de la red
de nivelación PRVD02 : Una vez se tengan datos de gravedad medidos en las estaciones permanentes
de la red de nivelación del PRVD02, se procedería a determinar los valores de las altitudes ortométricas
en todas estas estaciones para así poder calcular las diferencias con los valores de elevación publicados
por el NGS y determinar cuan �able es utilizar los valores de las elevaciones como altitudes ortométricas
para validar los modelos del geoide, tal y como propone Roman et al. (2013) en su trabajo presentado en
la Reunión de las Américas de la Unión Americana de Geofísica celebrada en Cancún, México.
2. Incorporar medidas de otras campañas gravimétricas: Para crear una mejor base de datos
de datos gravimétricos, sería necesario considerar los datos gravimétricos obtenidos en otras campañas
como lo son los datos de gravedad aerotransportada. Luego se procedería a combinar estos datos con los
datos gravimétricos medidos sobre el terreno y los datos obtenidos mediante la campaña de Sandwell y
Smith, lo que permitiría contar una base de datos más robusta y así poder para re calcular los distintos
modelos del geoide.
3. Desarrollar una nueva malla de anomalías aire libre más robusta para volver a calcular
los distintos modelos del geoide gravimétrico: Ya considerando la posibilidad de tener una mayor
densidad de datos gravimétricos, sería posible prepara una malla con datos de anomalías residuales más
�able y emplear otras técnicas para determinar el geoide como lo son las propuestas por Vanicek y
Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998), las cuales varían el núcleo de Stokes. Habría que investigar
en estos casos el radio del núcleo de Stokes ψo más adecuado para estos nuevos datos.
140
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145
Anexos
147
Anexo 1
Información de las campañas de los datos de gravedad terrestres descargados de lapágina web del BGI
149
************ Survey : 19990002 ************
233 points
geographical extension longitude : 7.48 31.71
latitude : -4.36 3.42
owner : HAWAII INSTITUTE OF GEOPHYSICS
title : WORLD GRAVITY SURVEYS 1949 - 1950
authors : N. C. HARDING C. M. MUCKENFUSS
compilation date : 1950-11-01
************ Survey : 19990014 ************
108 points
geographical extension longitude : 12.09 33.81
latitude : 0.69 7.65
owner : DEFENSE MAPPING AGENCY TOPOGRAPHIC CENTER
title : GRAVIMETRIC MEASUREMENTS
compilation date : 1956-11-01
************ Survey : 19990021 ************
88 points
geographical extension longitude : -8.18 -3.49
latitude : -3.48 8.25
owner : DEFENSE MAPPING AGENCY TOPOGRAPHIC CENTER
title : THE AMERICAN SECONDARY CALIBRATION LINE
compilation date : 1967-11-01
************ Survey : 19990031 ************
171 points
geographical extension longitude : -6.53 -6.44
latitude : 1.83 1.85
owner : RICE UNIVERSITY
title : VIRGIN BANK, CORRELATION OF MAGNETISM AND GRAVITY WITH
GEOLOGY LAND DATA
authors : V. RENARD
compilation date : 1967-11-01
************ Survey : 32910001 ************
378 points
geographical extension longitude : -6.73 -6.56
latitude : 1.80 1.85
owner : BGSA
title : GRAVITY RECONNAISSANCE SURVEY OF PUERTO RICO
authors : G. L. SHURBET M. EWING
compilation date : 1956-11-01
************ Survey : 32910002 ************
22 points
geographical extension longitude : -6.61 -6.53
latitude : 1.81 1.85
owner : NAVOCEANO
title : COASTAL GRAVITY SURVEY, EAST PUERTO RICO
compilation date : 1963-11-01
************ Survey : 32910003 ************
490 points
geographical extension longitude : -6.72 -6.60
latitude : 1.79 1.84
owner : USGS
title : PUERTO RICO GRAVITY STATIONS
************ Survey : 32910004 ************
983 points
geographical extension longitude : -6.73 -6.58
latitude : 1.82 1.85
owner : USGS
title : GRAVITY DATA, PUERTO RICO
compilation date : 1964-11-01
Anexo 2
Resultados del post procesamiento de datos GNSS utilizando OPUS
155
Domingo, 6 de septiembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
2 GUN SAN JUAN 6-Sep 1.859 Elvis/Cheo TRM_R6 Base 18 28 4.76607 66 7 26.33270 -27.340 95% 86% 0.017
3 SJNHS 33 SAN JUAN 6-Sep 1.5 Judysmar/ Roberto LEIATX1230 18 28 13.65021 66 7 25.07710 -7.632 94% 78% 0.021
6 SJ 2 SAN JUAN 6-Sep 1.5 Edgardo Romero LEIATX1230 18 27 57.02731 66 5 42.48791 -24.710 68% 70% 0.021
15 PR MP 3 SAN JUAN 6-Sep 2 Eladio TRM_R6 Rover 18 26 18.29441 66 4 15.20718 -36.018 96% 90% 0.016
2 GUN -2 SAN JUAN 6-Sep 1.5 Judysmar/Roberto LEIATX1230 18 28 4.76554 66 7 26.33391 -27.329 92% 81% 0.023
4 SJNHS 32 SAN JUAN 6-Sep 1.523 Elvis/Cheo TRM_R6 Base 18 28 6.14698 66 7 16.35790 -16.098 95% 80% 0.022
9 B 1001 SAN JUAN 6-Sep 2 Eladio TRM_R6 Rover 18 27 37.28483 66 5 10.68837 -40.510 81% 82% 0.022
Lunes, 7 de septiembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
15 PR MP 3 -2 SAN JUAN 7-Sep 1.5 Eladio LEIATX1230 18 26 18.29467 66 4 15.20707 -35.940 93% 91% 0.015
14 DIAZ SAN JUAN 7-Sep 1.788 Olga/Mireily/Cacho/Eladio TRM_R6 Base 18 26 36.68375 66 4 48.09222 -36.854 96% 100% 0.014
14 DIAZ -2 SAN JUAN 7-Sep 1.788 Olga/Mireily/Cacho/Eladio TRM_R6 Base 18 26 36.68374 66 4 48.09190 -36.835 96% 92% 0.016
9 B 1001 -2 SAN JUAN 7-Sep 1.5 Cacho LEIATX1230 18 27 37.28584 66 5 10.68454 -40.416 92% 77% 0.013
10 A 1002 SAN JUAN 7-Sep 1.5 Eladio LEIATX1230 18 27 29.68963 66 5 26.90325 -41.341 91% 83% 0.016
17 C 1002 SAN JUAN 7-Sep 2 Angel Castellano TRM_R6 Rover 18 26 16.86068 66 5 1.77823 -37.768 58% 80% 0.020
20 SANABRIA CATANO 7-Sep 1.5 Juan LEIATX1230 18 25 22.38746 66 8 56.93180 -37.856 93% 76% 0.010
14 DIAZ -3 SAN JUAN 7-Sep 1.788 Olga/Mireily/Cacho/Eladio TRM_R6 Base 18 26 36.68354 66 4 48.09268 -36.904 95% 86% 0.016
21 J 1002 BAYAMON 7-Sep 1.5 Cacho LEIATX1230 18 25 15.05290 66 9 51.92547 -31.235 78% 68% 0.016
Sabado, 12 de septiembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
20 SANABRIA -2 CATANO 12-Sep 1.633 Wilfredo Flores LEIATX1230 GG 18 25 22.38725 66 8 56.93138 -38.305 98% 100% 0.017
21 J 1002 -2 BAYAMON 12-Sep 1.548 Wilfredo Flores LEICA AX1202 GG 18 25 15.05259 66 9 51.92915 -31.259 82% 79% 0.019
22 K 1002 BAYAMON 12-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/Az 18 25 8.35342 66 10 39.54953 -21.115 66% 81% 0.024
23 L 1002 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ Az 18 25 12.43220 66 11 29.60568 -8.793 76% 75% 0.023
25 N 1002 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Carlos TPSHIPER_PLUS/ RR 18 24 47.61543 66 12 49.26864 2.265 93% 100% 0.015
26 NC 81 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 24 44.45337 66 13 36.97536 18.989 94% 57% 0.022
27 NC 82 TOA BAJA 12-Sep 1.5 Saul TRM33429.00+GP /Am 18 24 53.92163 66 13 51.57510 9.637 99% 92% 0.014
29 Q 1002 TOA BAJA 12-Sep 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ RB 18 25 6.84321 66 15 5.03548 -27.635 90% 96% 0.015
31 R 1002 DORADO 12-Sep 1.5 Ruben LEIATX1230 18 25 10.32331 66 15 57.08038 -25.847 76% 89% 0.014
32 S 1002 DORADO 12-Sep 1.5 Judysmar LEIATX1230 18 25 32.38320 66 16 35.57615 -29.745 98% 92% 0.016
33 T 1002 DORADO 12-Sep 1.521 Jose Rojas South 4294 18 25 36.30579 66 16 46.98010 -21.447 82% 65% 0.022
34 NC 06 DORADO 12-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 25 30.82486 66 17 19.86947 -14.476 98% 90% 0.017
35 NC 07 DORADO 12-Sep 1.556 Ricardo South 4223 S 18 25 35.19558 66 17 54.71617 2.874 85% 90% 0.017
34 NC 06 -2 DORADO 12-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 25 30.82431 66 17 19.87237 -14.463 97% 89% 0.018
36 U 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/Az 18 25 27.61104 66 18 18.13951 10.060 97% 73% 0.016
37 V 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ Az 18 25 20.28724 66 18 45.53805 18.570 73% 65% 0.016
38 W 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Carlos TPSHIPER_PLUS/ RR 18 25 28.39823 66 19 38.65868 21.604 86% 88% 0.019
39 Q 1004 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Saul TRM33429.00+GP /Am 18 25 44.19489 66 20 3.72517 16.230 97% 82% 0.015
41 X 1002 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ RB 18 25 55.11369 66 20 29.41101 -15.674 94% 89% 0.017
42 Y 1002 VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Ruben LEIATX1230 18 25 44.33846 66 20 54.67725 -19.643 73% 86% 0.017
40 NC 09 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 25 52.41488 66 20 12.99412 5.634 93% 97% 0.016
45 NC 19 VEGA BAJA 12-Sep 1.583 Ricardo South 4223 S 18 26 13.33381 66 23 26.74033 28.756 87% 86% 0.015
39 Q 1004 -2 VEGA ALTA 12-Sep 1.5 Saul TRM33429.00+GP /Am 18 25 44.19484 66 20 3.72577 16.190 98% 91% 0.017
47 E 1003 VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/Az 18 26 29.62626 66 24 51.31252 -4.876 94% 71% 0.016
48 BERRIOS VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 26 23.22054 66 25 23.00837 0.659 96% 76% 0.019
49 F 1003 VEGA BAJA 12-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ Az 18 26 25.39771 66 26 9.23159 -0.056 87% 76% 0.019
50 NC 42 MANATI 12-Sep 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ RR 18 26 43.66111 66 26 35.81085 -5.822 96% 71% 0.020
51 G 1003 MANATI 12-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 26 48.17173 66 26 57.37657 -15.629 79% 69% 0.018
52 NC 44 MANATI 12-Sep 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ RB 18 26 30.05020 66 27 56.08689 14.107 97% 59% 0.020
55 MANATI 2 MANATI 12-Sep 1.5 Judysmar /Eladio LEIATX1230 18 26 23.40546 66 30 4.45062 -21.774 84% 65% 0.020
58 P 1003 BARCELONETA 12-Sep 1.599 Jose Rojas South 4294 18 28 22.92335 66 32 1.18990 -42.945 97% 63% 0.020
59 Q 1003 BARCELONETA 12-Sep 1.431 Ricardo South 4223 S 18 28 44.15672 66 32 14.12718 -41.793 93% 78% 0.021
Domingo, 13 de septiembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
58 P 1003 -2 BARCELONETA 13-Sep 1.5 Angelica TRM33429.00+GP/Az 18 28 22.92447 66 32 1.17886 -42.732 98% 78% 0.019
60 R 1003 BARCELONETA 13-Sep 1.5 Cristopher TRM33429.00+GP /Am 18 29 11.50606 66 32 58.71700 -42.256 87% 75% 0.022
61 S 1003 BARCELONETA 13-Sep 1.5 Joel TRM33429.00+GP/R 18 29 16.37212 66 33 41.02244 -43.093 98% 90% 0.021
63 V 1003 ARECIBO 13-Sep 1.5 Alexander TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 4.98301 66 35 33.41824 -37.184 94% 82% 0.021
64 U 1003 ARECIBO 13-Sep 1.5 Javier TPSHIPER_PLUS/ RR 18 29 15.34963 66 35 56.66243 -35.765 92% 84% 0.021
67 X 1003 ARECIBO 13-Sep 1.54 Joseph South 4294 18 29 28.76512 66 38 24.03596 -41.386 70% 81% 0.025
68 TUNA ARECIBO 13-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 29 33.83657 66 38 24.56216 -22.082 95% 78% 0.019
69 A 1004 ARECIBO 13-Sep 1.34 Yaimarie South 4223S 18 29 10.32161 66 40 15.23601 -41.285 93% 86% 0.016
71 C 1004 ARECIBO 13-Sep 1.5 Katherine TPSHIPER_PLUS/ Az 18 28 20.82183 66 42 3.69417 -43.239 94% 85% 0.019
68 TUNA -2 ARECIBO 13-Sep 1.5 Cacho TRM_R6 Base 18 29 33.83673 66 38 24.57150 -22.291 91% 76% 0.025
73 E 1004 ARECIBO 13-Sep 1.5 Joel TRM33429.00+GP/R 18 28 0.98768 66 43 4.14502 -40.903 95% 71% 0.030
Martes, 15 de septiembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
117 G 1006 AGUADILLA 15-Sep 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/R 18 27 20.08142 67 9 43.08896 -20.625 96% 97% 0.013
113 VELEZ AGUADILLA 15-Sep 1.5 Victor/Ruben TPSHIPER_PLUS/ RR 18 26 41.28182 67 8 48.93274 90.395 90% 95% 0.017
108 U 1005 MOCA 15-Sep 1.5 Issac TRM33429.00+GP /Am 18 27 11.39525 67 5 28.61234 104.017 98% 95% 0.014
107 T 1005 MOCA 15-Sep 1.5 Angel TPSHIPER_PLUS/ Az 18 27 22.75124 67 4 37.51362 97.489 89% 100% 0.012
105 AGUA USCG B AGUADILLA 15-Sep 1.5 Jose TPSHIPER_PLUS/ RB 18 27 33.11247 67 3 54.77528 95.098 88% 88% 0.021
104 R 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Apu/Norma TRM33429.00+GP/Az 18 27 51.71736 67 2 41.55788 87.064 99% 100% 0.016
113 VELEZ -2 AGUADILLA 15-Sep 1.5 Victor/Ruben TPSHIPER_PLUS/ RR 18 26 41.28118 67 8 48.93750 90.347 90% 75% 0.029
103 Q 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Cheo/Josue TRM33429.00+GP/R 18 28 5.68106 67 1 52.77701 83.427 81% 61% 0.023
101 N 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Issac/Ivys/Itzel TRM33429.00+GP /Am 18 28 18.47943 67 0 29.30432 65.456 98% 86% 0.017
100 M 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Angel/Judysmar/Ruben TPSHIPER_PLUS/ Az 18 28 22.76983 66 59 56.18142 64.036 95% 88% 0.019
97 J 1005 ISABELA 15-Sep 1.5 Apu/Taco TRM33429.00+GP/Az 18 28 55.35169 66 57 51.05102 4.334 91% 66% 0.021
96 G 1005 QUEBRADILLAS 15-Sep 1.5 Jose TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 19.94913 66 56 55.95994 15.672 94% 85% 0.019
Martes, 22 de septiembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
96 G 1005 -2 QUEBRADILLAS 22-Sep 1.5 Edwin TRM33429.00+GP/R 18 29 19.94881 66 56 55.96232 15.664 99% 88% 0.013
88 Y 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Apu TRM33429.00+GP/Az 18 28 24.51090 66 51 25.13937 17.145 98% 89% 0.011
85 V 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Maria/ Marcel TPSHIPER_PLUS/ Az 18 29 0.32149 66 49 25.16335 -38.086 94% 88% 0.016
84 U 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 17.75053 66 48 39.84637 -35.290 93% 92% 0.018
80 P 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ RR 18 29 12.63430 66 46 53.04265 -32.387 95% 90% 0.013
73 E 1004 -2 ARECIBO 22-Sep 1.5 Eladio/Robert TRM33429.00+GP /Am 18 28 0.99477 66 43 4.14269 -40.805 97% 97% 0.016
80 P 1004 -2 HATILLO 22-Sep 1.5 Victor TPSHIPER_PLUS/ RR 18 29 12.63430 66 46 53.04174 -32.391 94% 93% 0.016
87 X 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Taco TRM33429.00+GP/R 18 28 33.26804 66 50 44.86956 9.142 98% 93% 0.015
82 T 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Eladio TRM33429.00+GP/Az 18 28 38.11062 66 48 4.78567 4.258 97% 89% 0.019
81 S 1004 HATILLO 22-Sep 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ RB 18 29 14.57107 66 48 1.64018 -36.307 83% 85% 0.025
74 F 1004 ARECIBO 22-Sep 1.5 Maria/ Marcel TPSHIPER_PLUS/ Az 18 27 11.79223 66 43 5.97828 -37.607 94% 91% 0.016
72 D 1004 ARECIBO 22-Sep 1.5 Robert/Josue TRM33429.00+GP /Am 18 28 6.78946 66 42 33.75304 -39.822 89% 79% 0.022
Nota: Las observaciones realizadas los dias 6, 7, 12 y 13 de septiembre se hicieron comenzando en el punto de origen de la red de nivelacion. Las observaciones realizadas el 15 de sept.
se realizaron comenzando desde el final de la linea de nivelacion. Las observaciones del dia 22 de sept. se hicieron amarrando las observaciones del 13 de sept. con las del 15 de sept.
Leyenda
Primera seccion de observacion OBS USED Usable/ total observation in your data file
Segunda seccion de observacion # FIXED AMB Fixed / total ambiguites in your data file
Tercera seccion de observacion OVERALL RMS (m) The formal statistical root mean square (RMS) errror of your solution
LAT Latitud What to look for in a quality solution:W LON Longitud oeste
EL HGT(m) Altura elipsoidal While there are no absolute rules, most accurate OPUS solution reports contain the following:
ephemeris used = precise or rapid
> 90% observations used
> 50% ambiguities fixed
overall RMS < 3 cm
peak to peak errors < 5 cm.
your antenna type and antenna height are correct
22 de diciembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
119 975 9412 TIDAL 2 AGUADILLA 22-Dic 1.5 Eladio/Roberto TRM33429.00+GP /Am 18 27 26.40737 67 9 53.76178 -42.123 99% 87% 0.012
107 T 1005 MOCA 22-Dic 1.546 Elvis TRM_R6 Base 18 27 22.75142 67 4 37.51321 97.489 95% 92% 0.013
105 AGUA USCG B AGUADILLA 22-Dic 1.5 E. Tacoronte TPSHIPER_PLUS/ RB 18 27 33.11181 67 3 54.77721 95.089 90% 87% 0.015
96 G 1005 QUEBRADILLAS 22-Dic 1.5 Apu TRM33429.00+GP/R 18 29 19.94951 66 56 55.96020 15.640 99% 95% 0.011
81 S 1004 HATILLO 22-Dic 1.5 Ruben TPSHIPER_PLUS/ Az 18 29 14.56958 66 48 1.64106 -36.479 85% 76% 0.025
72 D 1004-1 ARECIBO 22-Dic 1.5 Josue TRM33429.00+GP/Az 18 28 6.78548 66 42 33.74552 -39.468 94% 72% 0.023
23 de diciembre de 2009
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
72 D 1004-2 ARECIBO 23-Dic 1.5 Josue TRM33429.00+GP/Az 18 28 6.78505 66 42 33.74900 -39.422 95% 72% 0.022
103 Q 1005 ISABELA 23-Dic 1.5 Feliz Ortiz TRM33429.00+GP /Am 18 28 5.68046 67 1 52.77907 83.404 87% 68% 0.026
23 de enero de 2010
ID NAME COUNTY Fecha Hi Observador Antena LAT W LON EL HGT(m) OBS USED # FIXED AMB OVERALL RMS (m)
22 K 1002 BAYAMON 23-Ene 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/R 18 25 8.35036 66 10 39.56331 -20.674 73% 78% 0.024
37 V 1002 VEGA ALTA 23-Ene 1.5 David TPSHIPER_PLUS/ Az R 18 25 20.28866 66 18 45.53080 18.758 85% 85% 0.018
42 Y 1002 VEGA BAJA 23-Ene 1.5 Josue TRM33429.00+GP /Am 18 25 44.33558 66 20 54.67437 -18.941 76% 68% 0.023
55 MANATI 2-A MANATI 23-Ene 1.5 Juan Aviles TRM33429.00+GP/Az 18 26 23.40539 66 30 4.44098 -21.672 94% 77% 0.021
43 NC 14 VEGA BAJA 23-Ene 1.5 Cheo TRM33429.00+GP/R 18 25 40.06893 66 21 40.57776 -24.510 99% 97% 0.016
44 C 1003 VEGA BAJA 23-Ene 1.84 Victor TRM_R6 Base 18 25 56.00752 66 22 59.88401 -8.850 91% 80% 0.021
51 G 1003 MANATI 23-Ene 1.5 MC Rolan TPSHIPER_PLUS/ Az R 18 26 48.17184 66 26 57.37472 -15.725 83% 83% 0.023
55 MANATI 2-B MANATI 23-Ene 1.5 Judysmar / Luz Nieves TRM33429.00+GP/Az 18 26 23.40701 66 30 4.44145 -21.786 91% 83% 0.025
72 D 1004-3 ARECIBO 23-Dic 1.5 Josue TRM33429.00+GP /Am 18 28 6.78397 66 42 33.74205 -39.575 87% 63% 0.033
NOTA:
Unica seccion del dia
Primera seccion del dia
Segunda seccion del dia
Puntos que se repitieron de una seccion a otra
Anexo 3
Resultados de la campaña de medidas gravimétricas
161
Fe
cha
Alt
ura
de
l In
st.
(m)
0.1
94
21
00
.00
00
02
14
6.6
81
.02
25
6
8 -
En
ero
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10
Est
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TC
UT
CP
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rom
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illi
ga
ls
Ye
syV
33
18
.43
25
42
71
-66
.22
59
01
69
-37
.65
85
.20
22
1.6
0.2
16
26
10
18
.50
14
:53
21
53
.93
01
4:5
52
15
3.9
35
14
:58
21
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73
21
72
.10
61
84
.28
19
69
78
,63
4.9
4
57
9.0
38
00
.05
79
03
80
0.0
36
10
62
22
01
.79
97
55
81
22
01
.73
71
82
9.6
31
00
97
8,6
64
.57
Anexo 4
Cómputos para determinar las altitudes ortométricas Helmert
167
Datos Origen PRVD02
975 5371 A TIDAL Altura dinamica Cp / 980,6294
Altura Ortometrica 1,334 metros γ45° 980,62940
Valor Gravedad 978,66850 Gal 0,0424
Cota geopotencial 0,0848
Cp = H*(g+0,0424H) 1,30554
Estacion Latitud Longitud h Elevacion Gravedad Gravedad
(decimal) (decimal) (m) (m) (mGal) (Gal)
SJ2 18,46584092 -66,09513553 -24,807 18,344 978664,200 978,66420
SJNSH32 18,46837416 -66,12121053 -16,071 27,069 978659,008 978,65901
GUN 18,46799022 -66,12398185 -27,383 15,847 978661,227 978,66123
SJNSH33 18,47045839 -66,12363253 -7,778 35,479 978655,625 978,65563
B1001 18,46035718 -66,08630126 -40,477 2,569 978669,723 978,66972
A1002 18,45824712 -66,09080646 -41,404 1,588 978670,186 978,67019
DIAZ 18,44352291 -66,08002591 -36,852 5,845 978674,217 978,67422
C1002 18,43801686 -66,08382729 -37,754 4,766 978676,569 978,67657
PR MP 3 18,43841511 -66,07089088 -36,055 6,535 978675,760 978,67576
SANABRIA 18,42288513 -66,14914774 -38,317 3,927 978672,649 978,67265
J1002 18,42084794 -66,16442476 -31,244 10,954 978667,699 978,66770
K1002 18,41898621 -66,17765648 -20,898 21,336 978663,523 978,66352
L1002 18,42012006 -66,19155713 -8,909 33,307 978659,804 978,65980
N1002 18,41322651 -66,21368573 2,259 44,328 978659,346 978,65935
NC81 18,41234816 -66,22693760 18,844 60,945 978655,887 978,65589
NC82 18,41497823 -66,23099308 9,593 51,743 978657,616 978,65762
S1002 18,42566200 -66,27654893 -29,799 12,507 978666,459 978,66646
T1002 18,42675161 -66,27971669 -21,701 20,687 978665,656 978,66566
NC06 18,42522913 -66,28885263 -14,456 27,831 978665,488 978,66549
NC07 18,42644322 -66,29853227 2,769 45,150 978662,062 978,66206
U1002 18,42433640 -66,30503875 10,109 52,438 978662,556 978,66256
V1002 18,42230241 -66,31264744 18,637 60,877 978662,872 978,66287
W1002 18,42455506 -66,32740519 21,562 63,861 978664,152 978,66415
Q1004 18,42894266 -66,33436866 16,174 58,617 978664,231 978,66423
NC09 18,43122636 -66,33694281 5,595 48,099 978665,867 978,66587
X1002 18,43197603 -66,34150306 -15,676 26,817 978670,931 978,67093
Y1002 18,42898211 -66,34852066 -19,447 22,909 978674,009 978,67401
NC14 18,42779693 -66,36127160 -24,546 17,921 978675,779 978,67578
C1003 18,43222431 -66,38330111 -8,912 33,617 978670,326 978,67033
NC19 18,43703717 -66,39076120 28,658 71,354 978660,403 978,66040
E1003 18,44156285 -66,41425348 -4,926 37,894 978666,218 978,66622
BERRIOS 18,43978324 -66,42305720 0,636 43,368 978665,283 978,66528
F1003 18,44038825 -66,43589766 -0,016 42,786 978663,995 978,66399
NC42 18,44546142 -66,44328079 -5,802 37,154 978662,627 978,66263
G1003 18,44671440 -66,44927076 -15,734 27,282 978663,440 978,66344
NC44 18,44168061 -66,46557969 14,168 57,072 978656,150 978,65615
MANATI 2 18,43983457 -66,50123376 -21,674 21,221 978658,680 978,65868
P1003 18,47303436 -66,53366111 -42,922 1,004 978649,537 978,64954
Q1003 18,47893242 -66,53725755 -41,782 2,315 978647,968 978,64797
R1003 18,48652946 -66,54964361 -42,286 2,000 978643,829 978,64383
S1003 18,48788114 -66,56139512 -43,250 1,130 978641,910 978,64191
0,0424H2+ gH - Cp=0
D = g^2 + 4*Cp*0,0424
H1,2 = (-g-/+sqrt(D)) / (2*0,0424)
Desniveles Gravedad Media Incrementos Cota Geopotencial Altitud Dinamica
(km) (Gal) Cota Geopotencial u.g.p. (km)
0,017010 978,66635 16,647 17,953 1,83073E-05
0,008725 978,66160 8,539 26,491 2,70148E-05
-0,011222 978,66012 -10,983 15,509 1,58153E-05
0,019632 978,65843 19,213 34,722 3,54079E-05
-0,032910 978,66267 -32,208 2,514 2,56385E-06
-0,000981 978,66995 -0,960 1,554 1,58481E-06
0,004257 978,67220 4,166 5,720 5,83332E-06
-0,001079 978,67539 -1,056 4,664 4,75647E-06
0,001769 978,67616 1,731 6,396 6,52194E-06
-0,002608 978,67420 -2,552 3,843 3,91914E-06
0,007027 978,67017 6,877 10,720 1,09321E-05
0,010382 978,66561 10,161 20,881 2,12933E-05
0,011971 978,66166 11,716 32,596 3,32403E-05
0,011021 978,65957 10,786 43,382 4,42392E-05
0,016617 978,65762 16,262 59,645 6,08227E-05
-0,009202 978,65675 -9,006 50,639 5,16393E-05
-0,039236 978,66204 -38,399 12,240 1,2482E-05
0,008180 978,66606 8,005 20,246 2,06456E-05
0,007144 978,66557 6,992 27,237 2,77753E-05
0,017319 978,66378 16,949 44,187 4,50596E-05
0,007288 978,66231 7,132 51,319 5,2333E-05
0,008439 978,66271 8,259 59,578 6,0755E-05
0,002984 978,66351 2,920 62,498 6,3733E-05
-0,005244 978,66419 -5,132 57,366 5,84996E-05
-0,010518 978,66505 -10,294 47,073 4,80026E-05
-0,021282 978,66840 -20,828 26,245 2,67632E-05
-0,003908 978,67247 -3,825 22,420 2,2863E-05
-0,004988 978,67489 -4,882 17,538 1,78849E-05
0,015696 978,67305 15,361 32,900 3,35496E-05
0,037737 978,66536 36,932 69,832 7,1211E-05
-0,033460 978,66331 -32,746 37,086 3,78181E-05
0,005474 978,66575 5,357 42,443 4,32812E-05
-0,000582 978,66464 -0,570 41,873 4,27003E-05
-0,005632 978,66331 -5,512 36,361 3,70796E-05
-0,009872 978,66303 -9,661 26,700 2,72274E-05
0,029790 978,65980 29,154 55,854 5,69576E-05
-0,035851 978,65741 -35,086 20,768 2,11787E-05
-0,020217 978,65411 -19,785 0,983 1,00239E-06
0,001311 978,64875 1,283 2,266 2,31074E-06
-0,000315 978,64590 -0,308 1,958 1,99638E-06
-0,000870 978,64287 -0,851 1,106 1,12814E-06
Altitud Dinamica Discriminante H1 Altitud Ortometrica Elevacion Diferencias
(m) (m) (m) (m)
18,307 957790,869 -23081,772 18,344 18,344 -0,000012
27,015 957783,028 -23081,669 27,069 27,069 0,000060
15,815 957778,256 -23081,622 15,847 15,847 0,000122
35,408 957778,204 -23081,602 35,479 35,479 0,000106
2,564 957781,056 -23081,669 2,569 2,569 0,000006
1,585 957795,143 -23081,840 1,588 1,588 -0,000013
5,833 957800,248 -23081,897 5,845 5,845 -0,000018
4,756 957806,316 -23081,972 4,766 4,766 -0,000036
6,522 957808,120 -23081,992 6,535 6,535 -0,000041
3,919 957803,850 -23081,943 3,927 3,927 -0,000027
10,932 957797,127 -23081,855 10,954 10,954 -0,000015
21,293 957789,919 -23081,757 21,336 21,336 0,000022
33,240 957784,180 -23081,676 33,307 33,307 0,000079
44,239 957781,921 -23081,638 44,328 44,328 0,000113
60,823 957780,845 -23081,608 60,945 60,945 0,000126
51,639 957777,626 -23081,579 51,743 51,743 0,000225
12,482 957781,460 -23081,664 12,507 12,507 0,000055
20,646 957790,685 -23081,767 20,687 20,687 -0,000008
27,775 957790,921 -23081,763 27,831 27,831 -0,000013
45,060 957790,279 -23081,738 45,150 45,150 -0,000017
52,333 957788,619 -23081,711 52,438 52,438 0,000020
60,755 957790,813 -23081,729 60,877 60,877 -0,000043
63,733 957792,870 -23081,750 63,861 63,861 -0,000109
58,500 957793,329 -23081,761 58,617 58,617 -0,000125
48,003 957793,262 -23081,771 48,099 48,099 -0,000128
26,763 957796,287 -23081,829 26,817 26,817 -0,000224
22,863 957803,606 -23081,921 22,909 22,909 -0,000327
17,885 957807,523 -23081,973 17,921 17,921 -0,000375
33,550 957806,523 -23081,945 33,617 33,617 -0,000376
71,211 957797,739 -23081,802 71,354 71,354 -0,000284
37,818 957788,166 -23081,720 37,894 37,894 0,000024
43,281 957793,850 -23081,783 43,368 43,368 -0,000089
42,700 957791,577 -23081,756 42,786 42,786 -0,000038
37,080 957788,043 -23081,719 37,154 37,154 0,000040
27,227 957785,862 -23081,703 27,282 27,282 0,000078
56,958 957784,467 -23081,656 57,072 57,072 0,000059
21,179 957773,858 -23081,564 21,221 21,221 0,000320
1,002 957764,031 -23081,466 1,004 1,004 0,000411
2,311 957753,765 -23081,341 2,315 2,315 0,000416
1,996 957748,127 -23081,273 2,000 2,000 0,000423
1,128 957742,054 -23081,201 1,130 1,130 0,000429
V1003 18,48471750 -66,59261618 -37,292 7,039 978636,736 978,63674
U1003 18,48759712 -66,59907290 -35,932 8,489 978634,845 978,63485
X1003 18,49132364 -66,64000999 -41,593 3,028 978631,570 978,63157
A1004 18,48620045 -66,67089889 -41,447 3,021 978631,751 978,63175
D1004 18,46855140 -66,70937472 -39,775 4,350 978633,160 978,63316
E1004 18,46694299 -66,71781741 -40,842 3,261 978633,852 978,63385
F1004 18,45327528 -66,71832753 -37,651 6,074 978636,588 978,63659
P1004 18,48684254 -66,78140085 -32,466 12,156 978627,263 978,62726
S1004 18,48738044 -66,80045585 -36,391 8,251 978628,382 978,62838
T1004 18,47725295 -66,80132935 4,053 48,451 978621,864 978,62186
V1004 18,48342264 -66,82365649 -38,190 6,349 978629,869 978,62987
X1004 18,47590779 -66,84579710 9,072 53,431 978621,765 978,62177
Y1004 18,47347525 -66,85698316 17,038 61,341 978622,230 978,62223
G1005 18,48887486 -66,94887783 15,550 60,166 978640,047 978,64005
J1005 18,48204214 -66,96418084 4,543 48,981 978645,102 978,64510
M1005 18,47299124 -66,99894004 63,974 108,204 978634,263 978,63426
N1005 18,47179984 -67,00814009 65,337 109,558 978634,939 978,63494
Q1005 18,46824457 -67,03132752 83,247 127,390 978630,657 978,63066
R1005 18,46436593 -67,04487719 87,060 131,073 978629,556 978,62956
AGUA USCG B 18,45919748 -67,06521596 95,095 138,982 978630,103 978,63010
T1005 18,45631984 -67,07708700 97,498 141,364 978631,487 978,63149
U1005 18,45316535 -67,09128121 104,039 147,903 978632,324 978,63232
VELEZ 18,44480016 -67,14692605 90,431 134,320 978641,736 978,64174
G1006 18,45557786 -67,16196924 -20,611 23,621 978663,290 978,66329
975 9412 TIDAL 2 18,45733538 -67,16493383 -42,200 2,101 978666,651 978,66665
0,005909 978,63932 5,783 6,889 7,02515E-06
0,001450 978,63579 1,419 8,308 8,4722E-06
-0,005461 978,63321 -5,344 2,964 3,02232E-06
-0,000007 978,63166 -0,007 2,957 3,01533E-06
0,001329 978,63246 1,301 4,258 4,34162E-06
-0,001089 978,63351 -1,066 3,192 3,25484E-06
0,002813 978,63522 2,753 5,945 6,06212E-06
0,006082 978,63193 5,952 11,897 1,21317E-05
-0,003905 978,62782 -3,822 8,075 8,2347E-06
0,040200 978,62512 39,341 47,416 4,83525E-05
-0,042102 978,62587 -41,202 6,214 6,33656E-06
0,047082 978,62582 46,076 52,289 5,33224E-05
0,007910 978,62200 7,741 60,030 6,12162E-05
-0,001175 978,63114 -1,150 58,880 6,00436E-05
-0,011185 978,64257 -10,946 47,934 4,88812E-05
0,059223 978,63968 57,958 105,892 0,000107984
0,001354 978,63460 1,325 107,217 0,000109335
0,017832 978,63280 17,451 124,668 0,000127131
0,003683 978,63011 3,604 128,273 0,000130806
0,007909 978,62983 7,740 136,013 0,000138699
0,002382 978,63080 2,331 138,344 0,000141077
0,006539 978,63191 6,399 144,743 0,000147602
-0,013583 978,63703 -13,293 131,450 0,000134047
-0,110699 978,65251 -108,336 23,114 2,35709E-05
-0,021520 978,66497 -21,061 2,053 2,09406E-06
7,025 957736,093 -23081,123 7,039 7,039 0,000431
8,472 957729,419 -23081,041 8,489 8,489 0,000456
3,022 957723,458 -23080,975 3,028 3,028 0,000481
3,015 957720,428 -23080,938 3,021 3,021 0,000486
4,342 957722,205 -23080,958 4,350 4,350 0,000483
3,255 957724,081 -23080,982 3,261 3,261 0,000478
6,062 957727,902 -23081,025 6,074 6,074 0,000472
12,132 957722,463 -23080,954 12,156 12,156 0,000487
8,235 957713,785 -23080,853 8,252 8,251 0,000542
48,353 957715,173 -23080,830 48,451 48,451 0,000466
6,337 957709,641 -23080,805 6,350 6,349 0,000529
53,322 957717,358 -23080,851 53,431 53,431 0,000407
61,216 957711,196 -23080,769 61,342 61,341 0,000576
60,044 957728,892 -23080,983 60,166 60,166 0,000010
48,881 957749,418 -23081,242 48,980 48,981 -0,000641
107,984 957753,587 -23081,233 108,203 108,204 -0,000899
109,335 957743,866 -23081,114 109,558 109,558 -0,000350
127,131 957743,297 -23081,090 127,390 127,390 -0,000331
130,806 957738,640 -23081,030 131,073 131,073 -0,000022
138,699 957739,411 -23081,031 138,982 138,982 -0,000078
141,077 957741,696 -23081,056 141,364 141,364 -0,000244
147,602 957744,955 -23081,089 147,903 147,903 -0,000486
134,047 957752,731 -23081,196 134,319 134,320 -0,001095
23,571 957764,662 -23081,451 23,619 23,621 -0,002462
2,094 957785,473 -23081,723 2,098 2,101 -0,002739
Anexo 5
Cómputos para determinar la precisión de las altitudes ortométricas Helmert
175
Distancia calculada desde el punto de origen de la red PRVD02
Origen 975 5371 A TIDAL 18 27 32,23631(N) 66 06 59,20616(W) 1,334
Estacion Latitud Longitud Distancia Distancia H
(m) (km) (m)
1 SJ2 18° 27' 57.02600" N 66° 05' 42.49370" W 2376,322 2,376 18,344
2 SJNSH32 18° 28' 06.14606" N 66° 07' 16.36002" W 1157,715 1,158 27,069
3 GUN 18° 28' 04.76480" N 66° 07' 26.33465" W 1278,198 1,278 15,847
4 SJNSH33 18° 28' 13.64944" N 66° 07' 25.07974" W 1482,414 1,482 35,479
5 B1001 18° 27' 37.28373" N 66° 05' 10.68412" W 3187,913 3,188 2,569
6 A1002 18° 27' 29.68946" N 66° 05' 26.90708" W 2709,286 2,709 1,588
7 DIAZ 18° 26' 36.68249" N 66° 04' 48.09228" W 4209,310 4,209 5,845
8 C1002 18° 26' 16.85896" N 66° 05' 01.78104" W 4152,477 4,152 4,766
9 PR MP 3 18° 26' 18.29311" N 66° 04' 15.20874" W 5322,148 5,322 6,535
10 SANABRIA 18° 25' 22.38609" N 66° 08' 56.93098" W 5279,469 5,279 3,927
11 J1002 18° 25' 15.05228" N 66° 09' 51.92595" W 6593,808 6,594 10,954
12 K1002 18° 25' 08.34846" N 66° 10' 39.56668" W 7834,870 7,835 21,336
13 L1002 18° 25' 12.43116" N 66° 11' 29.60439" W 9024,150 9,024 33,307
14 N1002 18° 24' 47.61410" N 66° 12' 49.26922" W 11451,812 11,452 44,328
15 NC81 18° 24' 44.45270" N 66° 13' 36.97367" W 12761,602 12,762 60,945
16 NC82 18° 24' 53.92039" N 66° 13' 51.57523" W 13043,167 13,043 51,743
17 S1002 18° 25' 32.38212" N 66° 16' 35.57649" W 17309,714 17,310 12,507
18 T1002 18° 25' 36.30377" N 66° 16' 46.97829" W 17611,909 17,612 20,687
19 NC06 18° 25' 30.82350" N 66° 17' 19.87047" W 18591,320 18,591 27,831
20 NC07 18° 25' 35.19339" N 66° 17' 54.71768" W 19568,904 19,569 45,150
21 U1002 18° 25' 27.61157" N 66° 18' 18.13442" W 20287,567 20,288 52,438
22 V1002 18° 25' 20.28714" N 66° 18' 45.53124" W 21119,795 21,120 60,877
23 W1002 18° 25' 28.39618" N 66° 19' 38.65873" W 22608,256 22,608 63,861
24 Q1004 18° 25' 44.19305" N 66° 20' 03.72648" W 23259,057 23,259 58,617
25 NC09 18° 25' 52.41333" N 66° 20' 12.99226" W 23493,688 23,494 48,099
26 X1002 18° 25' 55.11218" N 66° 20' 29.41147" W 23960,903 23,961 26,817
27 Y1002 18° 25' 44.33529" N 66° 20' 54.66889" W 24738,895 24,739 22,909
28 NC14 18° 25' 40.06695" N 66° 21' 40.57768" W 26091,591 26,092 17,921
29 C1003 18° 25' 56.00633" N 66° 22' 59.88480" W 28344,303 28,344 33,617
30 NC19 18° 26' 13.33113" N 66° 23' 26.74382" W 29078,564 29,079 71,354
31 E1003 18° 26' 29.62456" N 66° 24' 51.31103" W 31517,065 31,517 37,894
32 BERRIOS 18° 26' 23.21915" N 66° 25' 23.00498" W 32457,805 32,458 43,368
33 F1003 18° 26' 25.39581" N 66° 26' 09.23225" W 33807,256 33,807 42,786
34 NC42 18° 26' 43.65957" N 66° 26' 35.80632" W 34556,272 34,556 37,154
35 G1003 18° 26' 48.16973" N 66° 26' 57.37405" W 35182,794 35,183 27,282
36 NC44 18° 26' 30.04890" N 66° 27' 56.07928" W 36929,295 36,929 57,072
37 MANATI 2 18° 26' 23.40378" N 66° 30' 04.44050" W 40701,474 40,701 21,221
38 P1003 18° 28' 22.92302" N 66° 32' 01.17910" W 44095,143 44,095 1,004
39 Q1003 18° 28' 44.15416" N 66° 32' 14.11995" W 44501,487 44,501 2,315
40 R1003 18° 29' 11.50403" N 66° 32' 58.71412" W 45855,556 45,856 2,000
41 S1003 18° 29' 16.37091" N 66° 33' 41.02220" W 47103,889 47,104 1,130
42 V1003 18° 29' 04.98104" N 66° 35' 33.41751" W 50373,698 50,374 7,039
43 U1003 18° 29' 15.34855" N 66° 35' 56.66196" W 51072,953 51,073 8,489
44 X1003 18° 29' 28.76428" N 66° 38' 24.02762" W 55413,304 55,413 3,028
45 A1004 18° 29' 10.32067" N 66° 40' 15.23716" W 58638,517 58,639 3,021
46 D1004 18° 28' 06.78357" N 66° 42' 33.74674" W 62636,815 62,637 4,350
47 E1004 18° 28' 00.99263" N 66° 43' 04.14189" W 63526,055 63,526 3,261
48 F1004 18° 27' 11.79019" N 66° 43' 05.97782" W 63579,393 63,579 6,074
49 P1004 18° 29' 12.63225" N 66° 46' 53.04191" W 70299,646 70,300 12,156
50 S1004 18° 29' 14.56861" N 66° 48' 01.63937" W 72312,764 72,313 8,252
51 T1004 18° 28' 38.10690" N 66° 48' 04.78482" W 72367,035 72,367 48,451
52 V1004 18° 29' 00.31956" N 66° 49' 25.16252" W 74744,668 74,745 6,350
53 X1004 18° 28' 33.26658" N 66° 50' 44.86863" W 77058,603 77,059 53,431
978.668,5000 978,668500 978,725062
H Gravedad Gravedad Valor medio Gravedad Sigma
(km) (mGal) (Gal) (Gal) (mm)
0,018343988 978.664,2000 978,664200 978,664978 1,079447499
0,027069060 978.659,0083 978,659008 978,660156 0,754380926
0,015847122 978.661,2271 978,661227 978,661899 0,791781298
0,035479106 978.655,6251 978,655625 978,657129 0,854167645
0,002569006 978.669,7226 978,669723 978,669832 1,249837083
0,001587987 978.670,1859 978,670186 978,670253 1,152196086
0,005844982 978.674,2171 978,674217 978,674465 1,436190203
0,004765964 978.676,5692 978,676569 978,676771 1,426452706
0,006534959 978.675,7604 978,675760 978,676037 1,614915816
0,003926973 978.672,6485 978,672649 978,672815 1,608407917
0,010953985 978.667,6989 978,667699 978,668163 1,797567892
0,021336022 978.663,5229 978,663523 978,664428 1,959640274
0,033307079 978.659,8040 978,659804 978,661216 2,103483669
0,044328113 978.659,3455 978,659346 978,661225 2,369945973
0,060945126 978.655,8867 978,655887 978,658471 2,502837923
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0,052438020 978.662,5563 978,662556 978,664780 3,154143459
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0,058616875 978.664,2305 978,664231 978,666716 3,377420040
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0,022908673 978.674,0093 978,674009 978,674981 3,481858288
0,017920625 978.675,7790 978,675779 978,676539 3,575702909
0,033616624 978.670,3259 978,670326 978,671751 3,727140273
0,071353716 978.660,4032 978,660403 978,663429 3,776870875
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0,043367911 978.665,2830 978,665283 978,667122 3,988650026
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0,037154040 978.662,6272 978,662627 978,664203 4,115353186
0,027282078 978.663,4403 978,663440 978,664597 4,152277623
0,057072059 978.656,1499 978,656150 978,658570 4,254969452
0,021221320 978.658,6799 978,658680 978,659580 4,465961680
0,001004411 978.649,5371 978,649537 978,649580 4,648292427
0,002315416 978.647,9677 978,647968 978,648066 4,669661774
0,002000423 978.643,8291 978,643829 978,643914 4,740172153
0,001130429 978.641,9100 978,641910 978,641958 4,804259414
0,007039431 978.636,7357 978,636736 978,637034 4,968221890
0,008489456 978.634,8452 978,634845 978,635205 5,002591058
0,003028481 978.631,5702 978,631570 978,631699 5,210809968
0,003021486 978.631,7507 978,631751 978,631879 5,360307359
0,004350483 978.633,1601 978,633160 978,633345 5,540043675
0,003261478 978.633,8524 978,633852 978,633991 5,579228608
0,006074472 978.636,5875 978,636588 978,636845 5,581575900
0,012156487 978.627,2634 978,627263 978,627779 5,869171764
0,008251542 978.628,3816 978,628382 978,628731 5,952597352
0,048451466 978.621,8643 978,621864 978,623919 5,955356925
0,006349529 978.629,8689 978,629869 978,630138 6,051857736
0,053431407 978.621,7652 978,621765 978,624031 6,145467744
54 Y1004 18° 28' 24.50921" N 66° 51' 25.13920" W 78234,333 78,234 61,342
55 G1005 18° 29' 19.94649" N 66° 56' 55.96243" W 87982,503 87,983 60,166
56 J1005 18° 28' 55.34868" N 66° 57' 51.04767" W 89574,498 89,574 48,980
57 M1005 18° 28' 22.76793" N 66° 59' 56.18233" W 93224,754 93,225 108,203
58 N1005 18° 28' 18.47751" N 67° 00' 29.30417" W 94194,648 94,195 109,558
59 Q1005 18° 28' 05.67835" N 67° 01' 52.77862" W 96639,508 96,640 127,390
60 R1005 18° 27' 51.71499" N 67° 02' 41.55765" W 98068,165 98,068 131,073
61 AGUA USCG B 18° 27' 33.11039" N 67° 03' 54.77605" W 100216,101 100,216 138,982
62 T1005 18° 27' 22.74949" N 67° 04' 37.51334" W 101471,312 101,471 141,364
63 U1005 18° 27' 11.39321" N 67° 05' 28.61197" W 102973,118 102,973 147,903
64 VELEZ 18° 26' 41.28009" N 67° 08' 48.93262" W 108862,720 108,863 134,319
65 G1006 18° 27' 20.07953" N 67° 09' 43.08801" W 110437,665 110,438 23,619
66 975 9412 TIDAL 2 18° 27' 26.40560" N 67° 09' 53.76206" W 110749,803 110,750 2,098
0,061341576 978.622,2305 978,622230 978,624831 6,192415563
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0,048980359 978.645,1016 978,645102 978,647178 6,625563687
0,108203101 978.634,2631 978,634263 978,638851 6,762422421
0,109557650 978.634,9389 978,634939 978,639584 6,797606733
0,127389669 978.630,6569 978,630657 978,636058 6,887317250
0,131072978 978.629,5558 978,629556 978,635113 6,938493338
0,138981922 978.630,1035 978,630103 978,635996 7,015206151
0,141363756 978.631,4869 978,631487 978,637481 7,059326398
0,147902514 978.632,3241 978,632324 978,638595 7,112491979
0,134318905 978.641,7363 978,641736 978,647431 7,310203335
0,023618538 978.663,2904 978,663290 978,664292 7,356345426
0,002098261 978.666,6511 978,666651 978,666740 7,366641963
Anexo 6
Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide para determinar la precisión delos modelos del geoide a lo largo de la línea de nivelación
181
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2 T
IDA
L 2
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Anexo 7
Análisis de los incrementos de la ondulación del geoide de los modelos EGM96 yEGM2008 considerando las diferencias de alturas y distancias entre líneas base
189
Linea Base ΔHHelm
Diferencia de Altitud Ngeo-EGM08 Ngeo-EGM96
(m) (m) (m) (m)
A1003 - X1003 -0,007 0,007 0,059 0,154
P1003 - S1003 -0,126 0,126 0,011 0,015
BERRIOS - F1003 0,582 0,582 0,033 0,027
NC42 - E1003 -0,740 0,740 0,011 0,013
NC07 - N1002 0,822 0,822 -0,024 -0,026
C1002 - SANABRIA 0,839 0,839 0,040 0,075
S1003 - R1003 -0,870 0,870 -0,036 -0,021
P1003 - R1003 -0,996 0,996 -0,025 -0,006
NC06 - X1002 1,014 1,014 0,018 0,015
A1004 - R1003 1,021 1,021 0,002 0,269
X1003 - R1003 1,028 1,028 -0,056 0,116
DIAZ - C1002 1,079 1,079 -0,067 -0,066
Y 1004 - G1005 1,176 1,176 -0,015 -0,370
N1005 - M1005 1,355 1,355 -0,019 0,007
V1003 - U1003 -1,450 1,450 0,005 -0,001
Q1004 - NC44 1,545 1,545 -0,038 -0,065
J1002 - S1002 -1,553 1,553 0,032 0,011
D1004 - F1004 -1,724 1,724 -0,035 -0,095
A1004 - S1003 1,891 1,891 0,038 0,290
X1003 - S1003 1,898 1,898 -0,020 0,137
DIAZ - SANABRIA 1,918 1,918 -0,027 0,009
P1004 - A1004 -2,017 2,017 -0,028 -0,276
P1003 - X1003 -2,024 2,024 0,031 -0,122
F1004 - S1004 -2,177 2,177 0,035 -0,196
A1002 - B1001 2,197 2,197 0,064 0,081
C1002 - B1001 2,197 2,197 0,064 0,081
D1004 - 975 9412 TIDAL 2 2,252 2,252 -0,083 -1,000
Q1004 - V1002 -2,260 2,260 -0,036 -0,049
GUN - SJ2 -2,497 2,497 -0,023 -0,058
W1002 - V1002 2,984 2,984 0,001 0,002
E1004 - V1004 -3,088 3,088 -0,016 -0,372
C1002 - A1002 3,178 3,178 0,053 0,076
R1005 - VELEZ -3,246 3,246 -0,103 0,077
P1004 - S1004 3,905 3,905 0,002 -0,069
X1002 - Y1002 3,908 3,908 -0,071 -0,089
V1003 - X1003 4,011 4,011 0,045 -0,048
V1003 - A1004 4,018 4,018 -0,014 -0,202
DIAZ - A1002 4,257 4,257 -0,013 0,011
F1003 - E1003 4,892 4,892 0,025 0,044
NC06 - Y1002 4,922 4,922 -0,053 -0,074
T1004 - X1004 -4,980 4,980 -0,003 -0,179
V1003 - R1003 5,039 5,039 -0,011 0,068
Q1004 - W1002 -5,244 5,244 -0,036 -0,050
X1003 - U1003 -5,461 5,461 -0,041 0,046
A1004 - U1003 -5,468 5,468 0,018 0,200
BERRIOS - E1003 5,474 5,474 0,057 0,070
NC06 - L1002 -5,476 5,476 0,030 0,053
V1004 - P1004 -5,807 5,807 0,004 0,169
V1003 - S1003 5,909 5,909 0,025 0,089
V1003 - P1003 6,035 6,035 0,014 0,074
F1004 - P1004 -6,082 6,082 0,033 -0,127
975 9412 TIDAL 2 - S1004 -6,153 6,153 0,083 0,709
Q1004 - U1002 6,179 6,179 0,010 0,010
BERRIOS - NC42 6,214 6,214 0,047 0,058
C1003 - G1003 6,335 6,335 0,022 0,045
R1003 - U1003 -6,489 6,489 0,016 -0,069
NC06 - K1002 6,495 6,495 0,063 0,087
U1005 - T1005 6,539 6,539 -0,017 -0,034
NC07 - NC82 -6,593 6,593 0,027 0,022
SANABRIA - J1002 -7,027 7,027 0,004 0,001
T1002 - NC07 7,144 7,144 -0,007 -0,016
NC06 - T1002 7,144 7,144 0,069 0,078
S1003 - U1003 -7,359 7,359 -0,020 -0,090
NC82 - N1002 7,415 7,415 -0,051 -0,048
P1003 - U1003 -7,485 7,485 -0,010 -0,076
NC19 - W1002 7,493 7,493 -0,033 0,011
D1004 - P1004 -7,806 7,806 -0,002 -0,222
R1005 - AGUA USCG B -7,909 7,909 -0,054 -0,061
U1002 -V1002 -8,439 8,439 -0,046 -0,059
SANABRIA - S1002 -8,580 8,580 0,035 0,011
E1004 - P1004 -8,895 8,895 -0,012 -0,203
U1005 - AGUA USCG B 8,921 8,921 -0,024 -0,047
NC81 -NC82 9,202 9,202 -0,005 0,001
GUN - PR MP 3 9,312 9,312 -0,007 -0,093
NC14 - G1003 -9,361 9,361 -0,048 -0,019
NC42 - G1003 9,872 9,872 0,018 0,019
R1005 - T1005 -10,291 10,291 -0,046 -0,047
J1002 - K1002 -10,382 10,382 0,082 0,077
NC19 - V1002 10,477 10,477 -0,032 0,013
Q1004 - NC09 10,518 10,518 0,005 0,013
E1003 - G1003 10,612 10,612 0,007 0,006
L1002 -N1002 -11,021 11,021 0,009 -0,016
G1005 - J1005 11,186 11,186 -0,001 -0,064
GUN - SJNSN32 -11,222 11,222 -0,097 -0,101
U1002 - W1002 -11,423 11,423 -0,047 -0,061
PR MP 3 - SJ2 -11,809 11,809 -0,016 0,035
NC07 - L1002 11,843 11,843 -0,033 -0,010
L1002 -K1002 11,971 11,971 0,033 0,034
Q1004 - NC19 -12,737 12,737 -0,003 -0,061
NC09 - V1002 -12,778 12,778 -0,041 -0,062
GUN - B1001 13,278 13,278 -0,008 -0,058
NC14 - D1004 13,570 13,570 0,053 -0,297
U1005 - VELEZ 13,584 13,584 -0,074 0,090
BERRIOS - NC44 -13,704 13,704 0,047 0,025
F1003 - NC44 -14,286 14,286 0,015 -0,001
Q1004 - BERRIOS 15,249 15,249 -0,085 -0,090
NC06 - S1002 15,324 15,324 0,012 0,020
F1003 - G1003 15,504 15,504 0,032 0,050
NC14 - C1003 -15,696 15,696 -0,070 -0,064
NC09 - W1002 -15,762 15,762 -0,041 -0,063
NC07 - NC81 -15,795 15,795 0,032 0,021
Q1004 - F1003 15,831 15,831 -0,052 -0,063
NC42 - MANATI 2 15,933 15,933 -0,030 -0,105
BERRIOS - G1003 16,086 16,086 0,064 0,076
NC06 - N1002 -16,497 16,497 0,039 0,037
NC81 - N1002 16,617 16,617 -0,056 -0,047
E1003 - MANATI 2 16,673 16,673 -0,041 -0,118
U1005 - R1005 16,830 16,830 0,029 0,013
NC06 - NC07 -17,319 17,319 0,063 0,063
SANABRIA - K1002 -17,409 17,409 0,086 0,078
N1005 - Q1005 -17,832 17,832 -0,008 -0,059
NC82 - L1002 18,436 18,436 -0,059 -0,031
U1002 - NC19 -18,916 18,916 -0,014 -0,072
NC19 - U1002 18,916 18,916 0,014 0,072
E1003 - NC44 -19,178 19,178 -0,010 -0,045
Q1005 - M1005 19,187 19,187 -0,011 0,066
GUN - SJNSN33 -19,632 19,632 -0,026 -0,027
NC42 - NC44 -19,918 19,918 0,001 -0,032
NC06 - NC09 -20,268 20,268 0,051 0,047
Q1004 - E1003 20,723 20,723 -0,028 -0,020
NC09 - X1002 21,282 21,282 -0,034 -0,033
Q1004 - NC42 21,463 21,463 -0,038 -0,032
BERRIOS - MANATI 2 22,147 22,147 0,017 -0,047
J1002 - L1002 -22,353 22,353 0,049 0,043
N1002 - K1002 22,992 22,992 0,024 0,050
T1002 - N1002 -23,641 23,641 -0,031 -0,042
NC07 - K1002 23,814 23,814 0,000 0,024
NC06 - NC82 -23,912 23,912 0,090 0,085
SJNSH32 - B1001 24,500 24,500 0,089 0,043
NC06 - U1002 -24,607 24,607 0,056 0,044
NC09 - Y1002 25,190 25,190 -0,104 -0,121
U1002 - X1002 25,621 25,621 -0,039 -0,030
G1003 - P1003 26,278 26,278 0,069 0,086
NC81 - L1002 27,638 27,638 -0,065 -0,031
PR MP 3 - SJNSN33 -28,944 28,944 -0,018 0,067
C1003 - D1004 29,266 29,266 0,123 -0,233
SANABRIA - L1002 -29,380 29,380 0,053 0,044
U1002 - Y1002 29,529 29,529 -0,109 -0,118
G1003 - NC44 -29,790 29,790 -0,017 -0,051
NC82 - K1002 30,407 30,407 -0,027 0,002
NC06 - Q1004 -30,786 30,786 0,046 0,034
T1002 - NC82 -31,056 31,056 0,020 0,006
Q1004 - G1003 31,335 31,335 -0,021 -0,014
Q1004 - X1002 31,800 31,800 -0,029 -0,020
NC07 - S1002 32,643 32,643 -0,050 -0,042
NC06 - V1002 -33,046 33,046 0,011 -0,014
NC06 - NC81 -33,114 33,114 0,095 0,084
J1002 - N1002 -33,374 33,374 0,058 0,027
X1002 - V1002 -34,060 34,060 -0,007 -0,029
J1002 - NC07 -34,196 34,196 0,082 0,053
E1003 - Q1003 35,579 35,579 0,085 0,115
Q1004 - Y1002 35,708 35,708 -0,099 -0,108
NC44 - MANATI 2 35,851 35,851 -0,031 -0,073
NC06 - W1002 -36,030 36,030 0,010 -0,016
NC42 - P1003 36,150 36,150 0,086 0,104
T1004 - P1004 36,295 36,295 -0,007 0,078
E1003 - P1003 36,890 36,890 0,075 0,091
W1002 - X1002 37,044 37,044 0,008 0,031
V1002 - Y1002 37,968 37,968 -0,064 -0,060
NC82 - S1002 39,236 39,236 -0,077 -0,064
T1004 - S1004 40,200 40,200 -0,005 0,009
T1002 - NC81 -40,258 40,258 0,026 0,006
SANABRIA - N1002 -40,401 40,401 0,062 0,028
F1003 - Q1003 40,471 40,471 0,110 0,159
J1002 - NC82 -40,789 40,789 0,109 0,075
BERRIOS - Q1003 41,052 41,052 0,143 0,186
P1004 - X1004 -41,275 41,275 0,004 -0,257
BERRIOS - P1003 42,363 42,363 0,133 0,162
F1004 - T1004 -42,377 42,377 0,040 -0,205
D1004 -T1004 -44,101 44,101 0,005 -0,300
NC19 - X1002 44,537 44,537 -0,025 0,042
X1004 - S1004 45,180 45,180 -0,002 0,188
F1004 - X1004 -47,357 47,357 0,037 -0,384
SANABRIA - NC82 -47,816 47,816 0,113 0,076
P1004 - G1005 -48,010 48,010 -0,005 -0,669
G1005 - M1005 -48,037 48,037 0,016 -0,166
NC81 - S1002 48,438 48,438 -0,083 -0,064
NC19 - Y1002 48,445 48,445 -0,096 -0,047
D1004 -X1004 -49,081 49,081 0,002 -0,479
P1004 - Y1004 -49,185 49,185 0,010 -0,299
N1005 - G1005 49,392 49,392 -0,035 0,173
J1002 - NC81 -49,991 49,991 0,114 0,074
V1004 - G1005 -53,816 53,816 -0,001 -0,500
NC44 - Q1003 54,757 54,757 0,095 0,160
V1004 - Y1004 -54,992 54,992 0,014 -0,130
NC44 - P1003 56,068 56,068 0,085 0,136
SANABRIA - NC81 -57,018 57,018 0,118 0,075
E1004 - Y 1004 -58,080 58,080 -0,002 -0,502
J1005 - M1005 -59,223 59,223 0,017 -0,102
N1005 - J1005 60,577 60,577 -0,036 0,109
G1005 - Q1005 -67,224 67,224 0,027 -0,232
J1005 - Q1005 -78,409 78,409 0,028 -0,168
R1005 - G1006 107,454 107,454 -0,059 0,172
G1006 - VELEZ -110,700 110,700 -0,045 -0,096
G1006 - AGUA USCG B -115,363 115,363 0,005 -0,233
T1005 - G1006 117,745 117,745 -0,013 0,219
U1005 - G1006 124,284 124,284 -0,030 0,185
T1005 - S1004 133,112 133,112 0,087 0,957
D1004 - AGUA USCG B -134,631 134,631 -0,094 -1,261
D1004 - T1005 -137,013 137,013 -0,087 -1,248
975 9412 TIDAL 2 - T1005 -139,265 139,265 -0,003 -0,247
Linea Base Distancia Linea Base Ngeo-EGM08 Ngeo-EGM96
(m) (m) (m)
GUN - SJNSN33 276,333 -0,026 -0,027
GUN - SJNSN32 295,931 -0,097 -0,101
Q1004 - NC09 371,385 0,005 0,013
NC09 - X1002 489,388 -0,034 -0,033
NC81 -NC82 518,137 -0,005 0,001
A1002 - B1001 530,179 0,064 0,081
NC42 - G1003 647,955 0,018 0,019
DIAZ - C1002 729,950 -0,067 -0,066
V1003 - U1003 752,730 0,005 -0,001
X1002 - Y1002 811,898 -0,071 -0,089
Q1004 - X1002 825,747 -0,029 -0,020
U1002 -V1002 835,004 -0,046 -0,059
Q1004 - W1002 881,538 -0,036 -0,050
BERRIOS - E1003 950,670 0,057 0,070
NC06 - T1002 979,894 0,069 0,078
N1005 - M1005 980,676 -0,019 0,007
NC06 - NC07 1031,579 0,063 0,063
T1004 - S1004 1125,571 -0,005 0,009
NC09 - Y1002 1248,252 -0,104 -0,121
NC09 - W1002 1249,288 -0,041 -0,063
S1003 - R1003 1250,138 -0,036 -0,021
NC06 - S1002 1300,851 0,012 0,020
BERRIOS - F1003 1358,153 0,033 0,027
NC81 - N1002 1403,541 -0,056 -0,047
J1002 - K1002 1413,286 0,082 0,077
L1002 -K1002 1473,892 0,033 0,034
Q1004 - Y1002 1495,392 -0,099 -0,108
U1005 - T1005 1539,479 -0,017 -0,034
F1003 - G1003 1576,745 0,032 0,050
W1002 - V1002 1578,951 0,001 0,002
SANABRIA - J1002 1629,636 0,004 0,001
W1002 - X1002 1701,298 0,008 0,031
NC06 - U1002 1712,886 0,056 0,044
G1005 - J1005 1784,260 -0,001 -0,064
G1003 - NC44 1810,722 -0,017 -0,051
NC82 - N1002 1838,863 -0,051 -0,048
D1004 - F1004 1937,311 -0,035 -0,095
DIAZ - A1002 1988,265 -0,013 0,011
T1002 - NC07 1988,355 -0,007 -0,016
G1006 - VELEZ 1990,111 -0,045 -0,096
P1004 - S1004 2013,264 0,002 -0,069
R1005 - AGUA USCG B 2223,164 -0,054 -0,061
BERRIOS - NC42 2226,799 0,047 0,058
P1003 - R1003 2253,911 -0,025 -0,006
F1003 - E1003 2290,223 0,025 0,044
NC07 - S1002 2324,355 -0,050 -0,042
C1002 - A1002 2357,484 0,053 0,076
T1004 - P1004 2357,544 -0,007 0,078
U1002 - W1002 2363,293 -0,047 -0,061
NC14 - C1003 2378,424 -0,070 -0,064
NC42 - NC44 2392,468 0,001 -0,032
Q1004 - V1002 2409,615 -0,036 -0,049
L1002 -N1002 2459,400 0,009 -0,016
N1005 - Q1005 2480,576 -0,008 -0,059
C1002 - B1001 2486,487 0,064 0,081
NC06 - V1002 2534,889 0,011 -0,014
NC09 - V1002 2750,210 -0,041 -0,062
U1005 - AGUA USCG B 2833,152 -0,024 -0,047
J1002 - L1002 2867,832 0,049 0,043
BERRIOS - G1003 2873,473 0,064 0,076
SANABRIA - K1002 3042,898 0,086 0,078
GUN - SJ2 3055,923 -0,023 -0,058
NC42 - E1003 3096,484 0,011 0,013
F1003 - NC44 3138,623 0,015 -0,001
Q1004 - U1002 3140,427 0,010 0,010
X1002 - V1002 3231,264 -0,007 -0,029
A1003 - X1003 3311,331 0,059 0,154
V1003 - S1003 3315,798 0,025 0,089
P1003 - S1003 3358,593 0,011 0,015
U1002 - NC19 3455,841 -0,014 -0,072
Q1005 - M1005 3461,033 -0,011 0,066
R1005 - T1005 3516,924 -0,046 -0,047
V1004 - Y1004 3688,433 0,014 -0,130
E1003 - G1003 3742,830 0,007 0,006
NC44 - MANATI 2 3772,350 -0,031 -0,073
SJNSH32 - B1001 3792,683 0,089 0,043
J1005 - M1005 3805,881 0,017 -0,102
NC81 - L1002 3835,873 -0,065 -0,031
N1002 - K1002 3859,623 0,024 0,050
V1002 - Y1002 3861,400 -0,064 -0,060
U1002 - X1002 3944,266 -0,039 -0,030
PR MP 3 - SJ2 3971,710 -0,016 0,035
S1003 - U1003 3979,250 -0,020 -0,090
GUN - B1001 4068,702 -0,008 -0,058
NC06 - W1002 4073,835 0,010 -0,016
NC82 - L1002 4205,297 -0,059 -0,031
X1003 - U1003 4342,704 -0,041 0,046
V1004 - P1004 4478,702 0,004 0,169
SANABRIA - L1002 4491,084 0,053 0,044
BERRIOS - NC44 4496,759 0,047 0,025
V1003 - R1003 4542,856 -0,011 0,068
NC19 - Y1002 4551,135 -0,096 -0,047
U1002 - Y1002 4622,516 -0,109 -0,118
T1004 - X1004 4698,906 -0,003 -0,179
N1005 - J1005 4779,730 -0,036 0,109
NC06 - Q1004 4826,223 0,046 0,034
X1004 - S1004 4954,394 -0,002 0,188
NC82 - S1002 4956,330 -0,077 -0,064
U1005 - R1005 5056,003 0,029 0,013
V1003 - X1003 5058,136 0,045 -0,048
NC06 - NC09 5123,688 0,051 0,047
R1003 - U1003 5221,629 0,016 -0,069
NC19 - X1002 5234,101 -0,025 0,042
J1002 - N1002 5272,712 0,058 0,027
T1002 - NC82 5310,103 0,020 0,006
E1003 - NC44 5421,884 -0,010 -0,045
NC81 - S1002 5445,022 -0,083 -0,064
G1005 - M1005 5572,021 0,016 -0,166
NC06 - X1002 5612,194 0,018 0,015
NC82 - K1002 5652,603 -0,027 0,002
T1002 - NC81 5799,751 0,026 0,006
U1005 - VELEZ 5950,526 -0,074 0,090
Q1004 - NC19 6024,645 -0,003 -0,061
NC42 - MANATI 2 6153,718 -0,030 -0,105
NC06 - NC82 6217,416 0,090 0,085
NC06 - Y1002 6317,224 -0,053 -0,074
V1003 - P1003 6359,391 0,014 0,074
GUN - PR MP 3 6493,519 -0,007 -0,093
N1005 - G1005 6538,235 -0,035 0,173
PR MP 3 - SJNSN33 6604,366 -0,018 0,067
J1002 - NC81 6671,596 0,114 0,074
NC06 - NC81 6695,184 0,095 0,084
NC19 - W1002 6834,464 -0,033 0,011
SANABRIA - N1002 6902,053 0,062 0,028
P1004 - X1004 6908,116 0,004 -0,257
J1002 - NC82 7063,273 0,109 0,075
E1004 - P1004 7067,425 -0,012 -0,203
P1003 - U1003 7093,959 -0,010 -0,076
C1002 - SANABRIA 7100,966 0,040 0,075
T1002 - N1002 7135,037 -0,031 -0,042
C1003 - G1003 7151,117 0,022 0,045
NC07 - NC82 7247,590 0,027 0,022
J1005 - Q1005 7255,007 0,028 -0,168
U1005 - G1006 7472,645 -0,030 0,185
A1004 - U1003 7587,159 0,018 0,200
F1004 - P1004 7627,850 0,033 -0,127
DIAZ - SANABRIA 7651,175 -0,027 0,009
NC07 - NC81 7723,431 0,032 0,021
D1004 - P1004 7871,920 -0,002 -0,222
NC44 - P1003 7985,307 0,085 0,136
NC06 - N1002 8051,902 0,039 0,037
P1004 - Y1004 8118,734 0,010 -0,299
BERRIOS - MANATI 2 8258,535 0,017 -0,047
V1003 - A1004 8269,182 -0,014 -0,202
SANABRIA - NC81 8301,224 0,118 0,075
X1003 - S1003 8310,874 -0,020 0,137
NC19 - V1002 8412,104 -0,032 0,013
Q1004 - E1003 8554,031 -0,028 -0,020
NC44 - Q1003 8621,217 0,095 0,160
SANABRIA - NC82 8691,451 0,113 0,076
T1005 - G1006 8967,232 -0,013 0,219
G1005 - Q1005 9002,637 0,027 -0,232
NC07 - N1002 9082,776 -0,024 -0,026
F1004 - T1004 9159,932 0,040 -0,205
NC19 - U1002 9164,881 0,014 0,072
E1003 - MANATI 2 9190,491 -0,041 -0,118
975 9412 TIDAL 2 - T1005 9280,943 -0,003 -0,247
G1003 - P1003 9377,886 0,069 0,086
Q1004 - BERRIOS 9445,832 -0,085 -0,090
F1004 - S1004 9460,183 0,035 -0,196
NC14 - G1003 9529,160 -0,048 -0,019
X1003 - R1003 9558,049 -0,056 0,116
D1004 -T1004 9759,909 0,005 -0,300
Y 1004 - G1005 9853,997 -0,015 -0,370
NC42 - P1003 10022,747 0,086 0,104
G1006 - AGUA USCG B 10228,480 0,005 -0,233
NC06 - L1002 10294,842 0,030 0,053
Q1004 - F1003 10800,393 -0,052 -0,063
R1005 - VELEZ 10994,960 -0,103 0,077
NC07 - L1002 11323,591 -0,033 -0,010
E1004 - V1004 11326,253 -0,016 -0,372
P1003 - X1003 11412,548 0,031 -0,122
F1003 - Q1003 11524,890 0,110 0,159
A1004 - S1003 11566,200 0,038 0,290
Q1004 - NC42 11649,863 -0,038 -0,032
NC06 - K1002 11768,094 0,063 0,087
J1002 - S1002 11857,879 0,032 0,011
BERRIOS - P1003 12249,035 0,133 0,162
Q1004 - G1003 12296,707 -0,021 -0,014
R1005 - G1006 12406,771 -0,059 0,172
NC07 - K1002 12797,092 0,000 0,024
A1004 - R1003 12805,957 0,002 0,269
BERRIOS - Q1003 12817,220 0,143 0,186
E1003 - P1003 13085,089 0,075 0,091
V1004 - G1005 13238,684 -0,001 -0,500
SANABRIA - S1002 13463,259 0,035 0,011
E1003 - Q1003 13634,881 0,085 0,115
F1004 - X1004 13694,989 0,037 -0,384
Q1004 - NC44 13932,752 -0,038 -0,065
J1002 - NC07 14182,023 0,082 0,053
D1004 -X1004 14431,937 0,002 -0,479
P1004 - A1004 14567,402 -0,028 -0,276
E1004 - Y 1004 14716,664 -0,002 -0,502
P1004 - G1005 17688,798 -0,005 -0,669
T1005 - S1004 29419,757 0,087 0,957
C1003 - D1004 34677,733 0,123 -0,233
NC14 - D1004 37046,955 0,053 -0,297
D1004 - AGUA USCG B 37600,223 -0,094 -1,261
975 9412 TIDAL 2 - S1004 38639,090 0,083 0,709
D1004 - T1005 38863,806 -0,087 -1,248
D1004 - 975 9412 TIDAL 2 48134,170 -0,083 -1,000
Anexo 8
Análisis para determinar la precisión del modelo GEOID12A y de los modelos EGM96 yEGM2008 ajustados a lo largo de la línea de nivelación
201
Estacion NGeo
EGM 96 NGeo
-NEGM96
NEGM96
Adj. Diferencia
(m) (m) (m) (m) (m)
SJ2 -43,151 -44,406 1,255 -42,831 0,320 -0,121 0,015
SJNSH32 -43,140 -44,438 1,298 -42,863 0,277 -0,164 0,027
GUN -43,230 -44,427 1,197 -42,852 0,378 -0,063 0,004
SJNSH33 -43,257 -44,481 1,224 -42,906 0,351 -0,090 0,008
B1001 -43,046 -44,301 1,255 -42,726 0,320 -0,121 0,015
A1002 -42,992 -44,252 1,260 -42,677 0,315 -0,126 0,016
DIAZ -42,697 -43,968 1,271 -42,393 0,304 -0,137 0,019
C1002 -42,520 -43,856 1,336 -42,281 0,239 -0,202 0,041
PR MP 3 -42,590 -43,880 1,290 -42,305 0,285 -0,156 0,024
SANABRIA -42,244 -43,505 1,261 -41,930 0,314 -0,127 0,016
J1002 -42,198 -43,458 1,260 -41,883 0,315 -0,126 0,016
K1002 -42,234 -43,417 1,183 -41,842 0,392 -0,049 0,002
L1002 -42,216 -43,433 1,217 -41,858 0,358 -0,083 0,007
N1002 -42,070 -43,303 1,233 -41,728 0,342 -0,099 0,010
NC81 -42,101 -43,287 1,186 -41,712 0,389 -0,052 0,003
NC82 -42,150 -43,336 1,186 -41,761 0,390 -0,051 0,003
S1002 -42,306 -43,556 1,250 -41,981 0,325 -0,116 0,013
T1002 -42,388 -43,580 1,192 -42,005 0,383 -0,058 0,003
NC06 -42,287 -43,557 1,270 -41,982 0,305 -0,136 0,018
NC07 -42,381 -43,589 1,208 -42,014 0,368 -0,073 0,005
U1002 -42,329 -43,555 1,226 -41,980 0,350 -0,091 0,008
V1002 -42,240 -43,524 1,284 -41,949 0,291 -0,150 0,023
W1002 -42,299 -43,585 1,286 -42,010 0,289 -0,152 0,023
Q1004 -42,443 -43,679 1,236 -42,104 0,339 -0,102 0,010
NC09 -42,504 -43,727 1,223 -42,152 0,352 -0,089 0,008
X1002 -42,493 -43,748 1,255 -42,173 0,320 -0,121 0,015
Y1002 -42,356 -43,700 1,344 -42,125 0,231 -0,210 0,044
NC14 -42,466 -43,697 1,231 -42,122 0,345 -0,096 0,009
C1003 -42,529 -43,823 1,294 -42,248 0,281 -0,160 0,026
NC19 -42,696 -43,993 1,297 -42,418 0,278 -0,163 0,027
E1003 -42,820 -44,075 1,255 -42,500 0,320 -0,121 0,015
BERRIOS -42,732 -44,058 1,326 -42,483 0,249 -0,192 0,037
F1003 -42,802 -44,101 1,299 -42,526 0,276 -0,165 0,027
NC42 -42,956 -44,224 1,268 -42,649 0,307 -0,134 0,018
G1003 -43,016 -44,266 1,250 -42,691 0,326 -0,115 0,013
NC44 -42,904 -44,204 1,300 -42,629 0,275 -0,166 0,028
MANATI 2 -42,895 -44,268 1,373 -42,693 0,202 -0,239 0,057
P1003 -43,926 -45,090 1,164 -43,515 0,411 -0,030 0,001
Q1003 -44,098 -45,238 1,140 -43,663 0,435 -0,006 0,000
R1003 -44,287 -45,457 1,170 -43,882 0,405 -0,036 0,001
S1003 -44,381 -45,530 1,149 -43,955 0,426 -0,015 0,000
V1003 -44,331 -45,569 1,238 -43,994 0,337 -0,104 0,011
U1003 -44,421 -45,661 1,240 -44,086 0,336 -0,105 0,011
X1003 -44,621 -45,907 1,286 -44,332 0,289 -0,152 0,023
A1004 -44,468 -45,908 1,440 -44,333 0,136 -0,305 0,093
D1004 -44,126 -45,653 1,527 -44,078 0,048 -0,393 0,154
E1004 -44,104 -45,650 1,546 -44,075 0,029 -0,412 0,170
F1004 -43,726 -45,348 1,622 -43,773 0,047 -0,394 0,155
P1004 -44,623 -46,372 1,749 -44,797 0,174 -0,267 0,071
S1004 -44,643 -46,461 1,818 -44,886 0,243 -0,198 0,039
T1004 -44,398 -46,225 1,827 -44,650 0,252 -0,189 0,036
V1004 -44,540 -46,458 1,918 -44,883 0,343 -0,098 0,010
X1004 -44,360 -46,366 2,006 -44,791 0,431 -0,010 0,000
Y1004 -44,304 -46,352 2,048 -44,777 0,473 0,032 0,001
G1005 -44,616 -47,034 2,418 -45,459 0,843 0,402 0,161
J1005 -44,438 -46,920 2,482 -45,345 0,907 0,466 0,217
M1005 -44,229 -46,813 2,584 -45,238 1,009 0,568 0,322
N1005 -44,221 -46,812 2,591 -45,237 1,016 0,575 0,331
Q1005 -44,143 -46,793 2,650 -45,218 1,075 0,634 0,401
R1005 -44,013 -46,741 2,728 -45,166 1,153 0,712 0,507
AGUA USCG B-43,887 -46,676 2,789 -45,101 1,213 0,772 0,597
T1005 -43,866 -46,641 2,775 -45,066 1,200 0,759 0,575
U1005 -43,864 -46,605 2,741 -45,030 1,166 0,725 0,526
VELEZ -43,888 -46,539 2,651 -44,964 1,076 0,635 0,404
G1006 -44,229 -46,785 2,556 -45,210 0,981 0,540 0,291
975 9412 TIDAL 2-44,298 -46,826 2,528 -45,251 0,952 0,511 0,262
1,575 0,441 6,023
0,091
σ 0,302
Estacion NEGM08
NGeo
NGeo
-NEGM08
NEGM08
Adj. Diferencia
(m) (m) (m) (m) (m)
SJ2 -45,340 -43,151 2,189 -43,215 0,064 0,014 0,000
SJNSH32 -45,403 -43,140 2,263 -43,278 0,138 0,088 0,008
GUN -45,396 -43,230 2,166 -43,271 0,041 -0,009 0,000
SJNSH33 -45,449 -43,257 2,192 -43,324 0,067 0,017 0,000
B1001 -45,220 -43,046 2,174 -43,095 0,049 0,000 0,000
A1002 -45,177 -42,992 2,185 -43,052 0,060 0,010 0,000
DIAZ -44,869 -42,697 2,172 -42,744 0,047 -0,003 0,000
C1002 -44,758 -42,520 2,238 -42,633 0,113 0,063 0,004
PR MP 3 -44,763 -42,590 2,173 -42,638 0,048 -0,001 0,000
SANABRIA -44,442 -42,244 2,198 -42,317 0,073 0,023 0,001
J1002 -44,392 -42,198 2,194 -42,267 0,069 0,020 0,000
K1002 -44,346 -42,234 2,112 -42,221 0,013 -0,036 0,001
L1002 -44,361 -42,216 2,145 -42,236 0,020 -0,030 0,001
N1002 -44,206 -42,070 2,136 -42,081 0,011 -0,038 0,001
NC81 -44,181 -42,101 2,080 -42,056 0,045 -0,005 0,000
NC82 -44,236 -42,150 2,086 -42,111 0,040 -0,010 0,000
S1002 -44,469 -42,306 2,163 -42,344 0,038 -0,012 0,000
T1002 -44,494 -42,388 2,106 -42,369 0,019 -0,030 0,001
NC06 -44,462 -42,287 2,175 -42,337 0,050 0,000 0,000
NC07 -44,494 -42,381 2,113 -42,369 0,013 -0,037 0,001
U1002 -44,448 -42,329 2,119 -42,323 0,007 -0,043 0,002
V1002 -44,404 -42,240 2,164 -42,279 0,039 -0,010 0,000
W1002 -44,464 -42,299 2,165 -42,339 0,040 -0,009 0,000
Q1004 -44,572 -42,443 2,129 -42,447 0,004 -0,046 0,002
NC09 -44,628 -42,504 2,124 -42,503 0,001 -0,048 0,002
X1002 -44,650 -42,493 2,157 -42,525 0,032 -0,017 0,000
Y1002 -44,584 -42,356 2,228 -42,459 0,103 0,053 0,003
NC14 -44,568 -42,466 2,102 -42,443 0,024 -0,026 0,001
C1003 -44,700 -42,529 2,171 -42,575 0,046 -0,003 0,000
NC19 -44,828 -42,696 2,132 -42,703 0,007 -0,043 0,002
E1003 -44,976 -42,820 2,156 -42,851 0,031 -0,018 0,000
BERRIOS -44,946 -42,732 2,214 -42,821 0,089 0,039 0,002
F1003 -44,983 -42,802 2,181 -42,858 0,056 0,006 0,000
NC42 -45,123 -42,956 2,167 -42,998 0,042 -0,008 0,000
G1003 -45,166 -43,016 2,150 -43,041 0,024 -0,025 0,001
NC44 -45,070 -42,904 2,166 -42,945 0,041 -0,008 0,000
MANATI 2 -45,092 -42,895 2,197 -42,967 0,072 0,022 0,000
P1003 -46,007 -43,926 2,081 -43,882 0,044 -0,005 0,000
Q1003 -46,169 -44,098 2,071 -44,044 0,054 0,004 0,000
R1003 -46,393 -44,287 2,106 -44,268 0,019 -0,031 0,001
S1003 -46,451 -44,381 2,070 -44,326 0,055 0,005 0,000
V1003 -46,426 -44,331 2,095 -44,301 0,030 -0,019 0,000
U1003 -46,512 -44,421 2,091 -44,387 0,035 -0,015 0,000
X1003 -46,671 -44,621 2,050 -44,546 0,075 0,026 0,001
A1004 -46,577 -44,468 2,109 -44,452 0,017 -0,033 0,001
D1004 -46,174 -44,126 2,048 -44,049 0,077 0,027 0,001
E1004 -46,142 -44,104 2,038 -44,017 0,087 0,037 0,001
F1004 -45,809 -43,726 2,083 -43,684 0,042 -0,007 0,000
P1004 -46,673 -44,623 2,050 -44,548 0,075 0,025 0,001
S1004 -46,691 -44,643 2,048 -44,566 0,077 0,027 0,001
T1004 -46,441 -44,398 2,043 -44,316 0,082 0,033 0,001
V1004 -46,594 -44,540 2,054 -44,469 0,071 0,021 0,000
X1004 -46,406 -44,360 2,046 -44,281 0,079 0,029 0,001
Y1004 -46,344 -44,304 2,040 -44,219 0,085 0,035 0,001
G1005 -46,671 -44,616 2,055 -44,546 0,070 0,021 0,000
J1005 -46,494 -44,438 2,056 -44,369 0,069 0,019 0,000
M1005 -46,268 -44,229 2,039 -44,143 0,086 0,037 0,001
N1005 -46,241 -44,221 2,020 -44,116 0,105 0,055 0,003
Q1005 -46,171 -44,143 2,028 -44,046 0,097 0,048 0,002
R1005 -46,102 -44,013 2,089 -43,977 0,036 -0,013 0,000
AGUA USCG B -46,030 -43,887 2,143 -43,905 0,017 -0,032 0,001
T1005 -46,001 -43,866 2,135 -43,876 0,010 -0,040 0,002
U1005 -45,982 -43,864 2,118 -43,857 0,007 -0,043 0,002
VELEZ -46,080 -43,888 2,192 -43,955 0,067 0,018 0,000
G1006 -46,377 -44,229 2,148 -44,252 0,023 -0,027 0,001
975 9412 TIDAL 2 -46,430 -44,298 2,132 -44,305 0,006 -0,043 0,002
Average 2,125 0,050 0,061
0,001
σ 0,030
Estacion Latitud Longitud h H NGeo
NGeoid12
Diferencia
(m) (m) (m) (m) (m)
975 5371 A TIDAL 18,458955 -66,116446 -41,644 1,334 -42,978 -42,985 0,007 -0,056 0,003
SJ2 18,465841 -66,095137 -24,807 18,344 -43,151 -43,112 0,039 -0,024 0,001
SJNSH32 18,468374 -66,121211 -16,071 27,069 -43,140 -43,202 0,062 -0,001 0,000
GUN 18,467990 -66,123982 -27,383 15,847 -43,230 -43,196 0,034 -0,029 0,001
SJNSH33 18,470458 -66,123633 -7,778 35,479 -43,257 -43,252 0,005 -0,058 0,003
B1001 18,460357 -66,086301 -40,477 2,569 -43,046 -42,988 0,057 -0,005 0,000
A1002 18,458247 -66,090808 -41,404 1,588 -42,992 -42,944 0,048 -0,015 0,000
DIAZ 18,443523 -66,080026 -36,852 5,845 -42,697 -42,639 0,058 -0,005 0,000
C1002 18,438016 -66,083828 -37,754 4,766 -42,520 -42,529 0,009 -0,054 0,003
PR MP 3 18,438415 -66,070891 -36,055 6,535 -42,590 -42,538 0,052 -0,011 0,000
SANABRIA 18,422885 -66,149147 -38,317 3,927 -42,244 -42,230 0,013 -0,049 0,002
J1002 18,420848 -66,164424 -31,244 10,954 -42,198 -42,186 0,012 -0,051 0,003
K1002 18,418986 -66,177657 -20,898 21,336 -42,234 -42,140 0,094 0,031 0,001
L1002 18,420120 -66,191557 -8,909 33,307 -42,216 -42,155 0,061 -0,002 0,000
N1002 18,413226 -66,213686 2,259 44,328 -42,070 -41,999 0,071 0,008 0,000
NC81 18,412348 -66,226937 18,844 60,945 -42,101 -41,976 0,125 0,062 0,004
NC82 18,414978 -66,230993 9,593 51,743 -42,150 -42,031 0,119 0,056 0,003
S1002 18,425662 -66,276549 -29,799 12,507 -42,306 -42,272 0,034 -0,029 0,001
T1002 18,426751 -66,279716 -21,701 20,687 -42,388 -42,298 0,091 0,028 0,001
NC06 18,425229 -66,288853 -14,456 27,831 -42,287 -42,265 0,022 -0,041 0,002
NC07 18,426443 -66,298533 2,769 45,150 -42,381 -42,298 0,084 0,021 0,000
U1002 18,424337 -66,305037 10,109 52,438 -42,329 -42,252 0,077 0,015 0,000
V1002 18,422302 -66,312648 18,637 60,877 -42,240 -42,208 0,032 -0,031 0,001
W1002 18,424554 -66,327405 21,562 63,861 -42,299 -42,270 0,029 -0,034 0,001
Q1004 18,428943 -66,334368 16,174 58,617 -42,443 -42,379 0,064 0,002 0,000
NC09 18,431226 -66,336942 5,595 48,099 -42,504 -42,434 0,070 0,007 0,000
X1002 18,431976 -66,341503 -15,676 26,817 -42,493 -42,455 0,037 -0,025 0,001
Y1002 18,428982 -66,348519 -19,447 22,909 -42,356 -42,388 0,032 -0,031 0,001
NC14 18,427796 -66,361272 -24,546 17,921 -42,466 -42,370 0,097 0,034 0,001
C1003 18,432224 -66,383301 -8,912 33,617 -42,529 -42,493 0,035 -0,027 0,001
NC19 18,437036 -66,390762 28,658 71,354 -42,696 -42,617 0,079 0,016 0,000
E1003 18,441562 -66,414253 -4,926 37,894 -42,820 -42,757 0,063 0,000 0,000
BERRIOS 18,439783 -66,423057 0,636 43,368 -42,732 -42,726 0,006 -0,056 0,003
F1003 18,440388 -66,435898 -0,016 42,786 -42,802 -42,764 0,038 -0,025 0,001
NC42 18,445461 -66,443280 -5,802 37,154 -42,956 -42,907 0,049 -0,014 0,000
G1003 18,446714 -66,449271 -15,734 27,282 -43,016 -42,953 0,064 0,001 0,000
NC44 18,441680 -66,465578 14,168 57,072 -42,904 -42,864 0,040 -0,023 0,001
MANATI 2 18,439834 -66,501233 -21,674 21,221 -42,895 -42,897 0,002 -0,061 0,004
P1003 18,473034 -66,533661 -42,922 1,004 -43,926 -43,804 0,122 0,059 0,003
Q1003 18,478932 -66,537256 -41,782 2,315 -44,098 -43,969 0,129 0,066 0,004
R1003 18,486529 -66,549643 -42,286 2,000 -44,287 -44,200 0,087 0,024 0,001
S1003 18,487881 -66,561395 -43,250 1,130 -44,381 -44,267 0,114 0,051 0,003
V1003 18,484717 -66,592616 -37,292 7,039 -44,331 -44,256 0,075 0,012 0,000
U1003 18,487597 -66,599073 -35,932 8,489 -44,421 -44,345 0,077 0,014 0,000
X1003 18,491323 -66,640008 -41,593 3,028 -44,621 -44,505 0,116 0,053 0,003
A1004 18,486200 -66,670899 -41,447 3,021 -44,468 -44,418 0,050 -0,013 0,000
D1004 18,468551 -66,709374 -39,775 4,350 -44,126 -44,015 0,110 0,048 0,002
E1004 18,466942 -66,717817 -40,842 3,261 -44,104 -43,984 0,120 0,057 0,003
F1004 18,453275 -66,718327 -37,651 6,074 -43,726 -43,646 0,080 0,017 0,000
P1004 18,486842 -66,781401 -32,466 12,156 -44,623 -44,527 0,096 0,033 0,001
S1004 18,487380 -66,800455 -36,391 8,252 -44,643 -44,548 0,095 0,033 0,001
T1004 18,477252 -66,801329 4,053 48,451 -44,398 -44,295 0,103 0,041 0,002
V1004 18,483422 -66,823656 -38,190 6,350 -44,540 -44,459 0,081 0,018 0,000
X1004 18,475907 -66,845797 9,072 53,431 -44,360 -44,273 0,087 0,024 0,001
Y1004 18,473475 -66,856983 17,038 61,342 -44,304 -44,207 0,097 0,034 0,001
G1005 18,488874 -66,948878 15,550 60,166 -44,616 -44,521 0,095 0,032 0,001
J1005 18,482041 -66,964180 4,543 48,980 -44,438 -44,344 0,093 0,031 0,001
M1005 18,472991 -66,998940 63,974 108,203 -44,229 -44,132 0,097 0,034 0,001
N1005 18,471799 -67,008140 65,337 109,558 -44,221 -44,107 0,114 0,051 0,003
Q1005 18,468244 -67,031327 83,247 127,390 -44,143 -44,040 0,103 0,040 0,002
R1005 18,464365 -67,044877 87,060 131,073 -44,013 -43,969 0,044 -0,019 0,000
AGUA USCG B 18,459197 -67,065216 95,095 138,982 -43,887 -43,892 0,005 -0,058 0,003
T1005 18,456319 -67,077087 97,498 141,364 -43,866 -43,862 0,004 -0,058 0,003
U1005 18,453165 -67,091281 104,039 147,903 -43,864 -43,839 0,025 -0,038 0,001
VELEZ 18,444800 -67,146926 90,431 134,319 -43,888 -43,903 0,015 -0,048 0,002
G1006 18,455578 -67,161969 -20,611 23,619 -44,229 -44,203 0,026 -0,036 0,001
975 9412 TIDAL 2 18,457335 -67,164934 -42,200 2,098 -44,298 -44,261 0,038 -0,025 0,001
0,063 0,088
0,001
σ 0,036
Anexo 9
Información de las campañas de los datos de gravedad marítimos descargados de lapágina web de la NOAA
209
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De
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std
1,9
61
1,9
42
1,9
34
1,9
70
1,9
46
1,9
37
1,9
98
Var
3,8
45
3,7
70
3,7
40
3,8
82
3,7
88
3,7
52
3,9
91
Anexo 11
Resultados del Análisis de la 'precisión' de los modelos del geoide en función de lasdistancias entre las estaciones de validación
225
Tramo entre 0 – 5 km. (46 tramos de 990) 4,6%
Δ(h-H)-
ΔGeoid12A Δ(h-H)-
ΔEGM08 Δ(h-H)-
ΔGeoideAP Δ(h-H)-
ΔGeoideWG Δ(h-H)-
ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
Suma de las diferencias 0,726 0,929 0,992 0,891 1,182 1,255
Promedio 0,016 0,020 0,022 0,019 0,026 0,027
Máximo 0,057 0,064 0,063 0,057 0,096 0,084
Mínimo 0,000 0,000 0,001 0,001 0,000 0,000
Desviación Estándar 0,015 0,017 0,017 0,017 0,025 0,023
‘Precisión’ 0,014 0,017 0,017 0,017 0,024 0,023
Tramo entre 6 – 10 km. (42 tramos de 990) 4,2%
Δ(h-H)-
ΔGeoid12A Δ(h-H)-
ΔEGM08 Δ(h-H)-
ΔGeoideAP Δ(h-H)-
ΔGeoideWG Δ(h-H)-
ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
Suma de las diferencias 0,649 1,003 1,963 1,216 1,857 2,693
Promedio 0,015 0,024 0,047 0,029 0,044 0,064
Máximo 0,090 0,059 0,124 0,081 0,152 0,172
Mínimo 0,001 0,001 0,005 0,002 0,000 0,002
Desviación Estándar 0,019 0,016 0,034 0,017 0,038 0,049
‘Precisión’ 0,019 0,016 0,033 0,017 0,037 0,048
Tramo entre 11 – 25 km. (94 tramos de 990) 9,5%
Δ(h-H)-
ΔGeoid12A Δ(h-H)-
ΔEGM08 Δ(h-H)-
ΔGeoideAP Δ(h-H)-
ΔGeoideWG Δ(h-H)-
ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
Suma de las diferencias 4,117 3,260 4,364 2,532 3,692 6,922
Promedio 0,044 0,035 0,046 0,027 0,039 0,074
Máximo 0,205 0,117 0,166 0,102 0,180 0,269
Mínimo 0,000 0,001 0,001 0,000 0,001 0,002
Desviación Estándar 0,052 0,022 0,042 0,022 0,033 0,060
‘Precisión’ 0,052 0,021785 0,042 0,021777 0,033 0,059
Tramo entre 26 – 50 km. (214 tramos de 990) 21,6%
Δ(h-H)-
ΔGeoid12A Δ(h-H)-
ΔEGM08 Δ(h-H)-
ΔGeoideAP Δ(h-H)-
ΔGeoideWG Δ(h-H)-
ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
Suma de las diferencias 11,501 8,469 12,762 7,142 10,346 18,257
Promedio 0,054 0,040 0,060 0,033 0,048 0,085
Máximo 0,223 0,114 0,184 0,114 0,132 0,278
Mínimo 0,000 0,001 0,002 0,000 0,001 0,001
Desviación Estándar 0,062 0,027 0,045 0,023 0,031 0,068
‘Precisión’ 0,062 0,027 0,045 0,023 0,031 0,068
Tramo entre 51 – 75 km. (276 tramos de 990) 27,9%
Δ(h-H)-
ΔGeoid12A Δ(h-H)-
ΔEGM08 Δ(h-H)-
ΔGeoideAP Δ(h-H)-
ΔGeoideWG Δ(h-H)-
ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
Suma de las diferencias 13,127 13,051 15,120 11,931 13,893 18,303
Promedio 0,048 0,047 0,055 0,043 0,050 0,066
Máximo 0,203 0,130 0,156 0,134 0,170 0,299
Mínimo 0,000 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000
Desviación Estándar 0,048 0,033 0,037 0,031 0,035 0,053
‘Precisión’ 0,048 0,033 0,036 0,031 0,035 0,053
Tramo entre 76 – 100 km. (153 tramos de 990) 15,5%
Δ(h-H)-
ΔGeoid12A Δ(h-H)-
ΔEGM08 Δ(h-H)-
ΔGeoideAP Δ(h-H)-
ΔGeoideWG Δ(h-H)-
ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
Suma de las diferencias 7,769 7,632 8,371 6,750 9,216 12,364
Promedio 0,051 0,050 0,055 0,044 0,060 0,081
Máximo 0,219 0,158 0,135 0,116 0,205 0,212
Mínimo 0,000 0,001 0,000 0,001 0,000 0,001
Desviación Estándar 0,055 0,034 0,033 0,030 0,046 0,053
‘Precisión’ 0,054 0,034 0,033 0,030 0,045 0,052
Tramo entre 101 – 126 km. (165 tramos de 990) 16,7%
Δ(h-H)-
ΔGeoid12A Δ(h-H)-
ΔEGM08 Δ(h-H)-
ΔGeoideAP Δ(h-H)-
ΔGeoideWG Δ(h-H)-
ΔVK Δ(h-H)-ΔFEO
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
Suma de las diferencias 11,569 7,770 10,465 6,915 8,763 15,459
Promedio 0,070 0,047 0,063 0,042 0,053 0,094
Máximo 0,269 0,165 0,140 0,104 0,177 0,218
Mínimo 0,000 0,000 0,003 0,000 0,000 0,001
Desviación Estándar 0,073 0,035 0,038 0,024 0,042 0,051
‘Precisión’ 0,072 0,035 0,037 0,024 0,042 0,050
Anexo 12
Resultado del Análisis de las diferencias de los incrementos de la ondulación del geoideconsiderando las 990 líneas base
231
Distancias Δ(h-H)-ΔGeoid12A
Δ(h-H)-ΔEGM2008
Δ(h-H)-ΔGeoideAP
Δ(h-H)-ΔGeoideWG
Δ(h-H)-ΔVKΔ(h-H)-ΔFEO
(km) (m) (m) (m) (m) (m) (m)
1 FSJ N FSJ S 0,028 0,003 0,003 0,004 0,003 0,004 0,004
2 MONTEREY Q 1004 0,153 0,003 0,004 0,003 0,003 0,004 0,004
3 ZSU A ZSU B 0,175 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001
4 AGUA USCG A AGUA USCG B 0,354 0,004 0,003 0,007 0,006 0,003 0,008
5 PSE ARP PSE E 0,436 0,001 0,003 0,002 0,003 0,002 0,002
6 PSE E PSE F 0,529 0,012 0,014 0,011 0,013 0,015 0,014
7 SAN JUAN SIG APT ARP SIG C 0,748 0,005 0,006 0,004 0,008 0,005 0,005
8 CP D 93 BQN C RESET 0,820 0,057 0,064 0,063 0,057 0,073 0,072
9 SIG C FSJ S 0,898 0,011 0,015 0,003 0,011 0,008 0,006
10 SIG C FSJ N 0,910 0,008 0,012 0,001 0,007 0,004 0,002
11 PSE ARP PSE F 0,964 0,013 0,017 0,013 0,016 0,018 0,016
12 975 5371 A TIDAL GUN 1,283 0,029 0,044 0,024 0,034 0,031 0,026
13 BQN B BQN A 1,333 0,006 0,004 0,018 0,004 0,031 0,029
14 BQN C RESET BQN B 1,503 0,048 0,039 0,039 0,052 0,017 0,023
15 SAN JUAN SIG APT ARP FSJ S 1,599 0,006 0,009 0,001 0,002 0,003 0,000
16 SAN JUAN SIG APT ARP FSJ N 1,605 0,003 0,006 0,005 0,001 0,000 0,003
17 975 9394 A TIDAL GPS 54 1,765 0,047 0,016 0,023 0,008 0,018 0,013
18 975 5371 A TIDAL SAN JUAN SIG APT ARP 1,933 0,007 0,011 0,002 0,007 0,003 0,003
19 G 1006 VELEZ 1,991 0,016 0,012 0,061 0,032 0,068 0,084
20 SIG C DIAZ 2,009 0,019 0,023 0,033 0,038 0,048 0,053
21 FSJ S DIAZ 2,181 0,008 0,008 0,030 0,027 0,040 0,048
22 FSJ N DIAZ 2,209 0,011 0,011 0,034 0,031 0,044 0,051
23 CP D 93 BQN B 2,315 0,009 0,025 0,024 0,005 0,056 0,049
24 SAN JUAN SIG APT ARP DIAZ 2,460 0,014 0,017 0,029 0,030 0,043 0,048
25 P 1004 NOVA 2 2,518 0,000 0,000 0,027 0,012 0,008 0,022
26 975 5371 A TIDAL SIG C 2,668 0,002 0,017 0,006 0,015 0,008 0,009
27 BQN C RESET BQN A 2,818 0,042 0,035 0,021 0,056 0,014 0,006
28 GUN SAN JUAN SIG APT ARP 2,968 0,022 0,055 0,026 0,041 0,035 0,029
29 975 5371 A TIDAL FSJ N 3,429 0,010 0,005 0,007 0,008 0,004 0,007
30 975 5371 A TIDAL FSJ S 3,431 0,013 0,002 0,003 0,004 0,000 0,003
31 GUN SIG C 3,632 0,027 0,061 0,030 0,049 0,039 0,035
32 CP D 93 BQN A 3,637 0,015 0,029 0,042 0,001 0,087 0,078
33 BQN A G 1006 4,101 0,019 0,030 0,012 0,026 0,065 0,028
34 975 5371 A TIDAL DIAZ 4,212 0,021 0,006 0,027 0,023 0,040 0,045
35 GUN FSJ N 4,233 0,019 0,049 0,031 0,042 0,035 0,033
36 GUN FSJ S 4,242 0,016 0,046 0,027 0,039 0,031 0,029
37 MAZ C 975 9394 A TIDAL 4,244 0,050 0,001 0,007 0,009 0,006 0,009
38 MAZ C GPS 54 4,833 0,003 0,015 0,016 0,017 0,012 0,004
39 BQN A VELEZ 4,933 0,003 0,018 0,049 0,006 0,003 0,055
40 MANATI 2 P 1003 5,038 0,004 0,012 0,034 0,010 0,027 0,059
41 BQN B G 1006 5,042 0,025 0,034 0,031 0,022 0,096 0,057
42 975 5371 A TIDAL SANABRIA 5,296 0,012 0,016 0,055 0,037 0,040 0,065
43 GUN DIAZ 5,382 0,008 0,038 0,003 0,011 0,009 0,019
44 BQN B VELEZ 5,442 0,009 0,022 0,031 0,009 0,028 0,026
45 GUN SANABRIA 5,681 0,017 0,028 0,031 0,003 0,009 0,039
46 C 1012 PSE ARP 5,817 0,046 0,042 0,039 0,047 0,047 0,036
47 C 1012 PSE E 6,174 0,045 0,039 0,037 0,044 0,044 0,034
48 BQN C RESET G 1006 6,421 0,023 0,005 0,009 0,030 0,079 0,035
49 AGUA USCG A CP D 93 6,520 0,023 0,011 0,045 0,018 0,011 0,058
50 BQN C RESET VELEZ 6,542 0,039 0,017 0,070 0,062 0,011 0,049
51 VELEZ E 1009 6,580 0,090 0,009 0,063 0,002 0,013 0,086
52 C 1012 PSE F 6,589 0,033 0,025 0,026 0,031 0,029 0,020
53 SAN JUAN SIG APT ARP SANABRIA 6,604 0,005 0,027 0,057 0,044 0,044 0,068
54 AGUA USCG B CP D 93 6,845 0,019 0,008 0,053 0,024 0,008 0,065
55 AGUA USCG A BQN C RESET 6,998 0,034 0,053 0,109 0,075 0,062 0,129
56 CP D 93 VELEZ 7,111 0,018 0,047 0,007 0,004 0,084 0,023
57 CP D 93 G 1006 7,137 0,034 0,059 0,055 0,027 0,152 0,106
58 M 1005 AGUA USCG B 7,164 0,001 0,001 0,036 0,020 0,036 0,048
59 M 1005 AGUA USCG A 7,252 0,003 0,004 0,044 0,027 0,039 0,056
60 SIG C SANABRIA 7,270 0,010 0,033 0,061 0,052 0,049 0,074
61 AGUA USCG B BQN C RESET 7,308 0,038 0,056 0,116 0,081 0,065 0,137
62 QUEBRAS 2 M 1005 7,506 0,007 0,046 0,007 0,027 0,050 0,002
63 F 1004 P 1004 7,636 0,004 0,019 0,005 0,027 0,000 0,028
64 DIAZ SANABRIA 7,653 0,009 0,010 0,028 0,014 0,000 0,020
65 G 1006 E 1009 7,784 0,074 0,003 0,124 0,034 0,080 0,169
66 AGUA USCG A BQN B 7,818 0,014 0,014 0,069 0,023 0,045 0,107
Desde Hasta
67 AGUA USCG B BQN B 8,095 0,010 0,017 0,076 0,029 0,048 0,114
68 FSJ S SANABRIA 8,167 0,001 0,018 0,058 0,042 0,040 0,068
69 FSJ N SANABRIA 8,178 0,002 0,021 0,062 0,045 0,044 0,072
70 BERRIOS MANATI 2 8,255 0,004 0,030 0,036 0,026 0,024 0,028
71 AGUA USCG A VELEZ 8,691 0,005 0,036 0,039 0,014 0,073 0,080
72 AGUA USCG B VELEZ 8,776 0,001 0,039 0,046 0,020 0,076 0,088
73 AGUA USCG A BQN A 8,888 0,008 0,018 0,088 0,019 0,076 0,136
74 F 1004 NOVA 2 9,019 0,004 0,019 0,022 0,039 0,008 0,006
75 AGUA USCG B BQN A 9,143 0,004 0,021 0,095 0,025 0,079 0,143
76 DIAZ ZSU A 9,249 0,010 0,005 0,018 0,012 0,024 0,029
77 TUNA F 1004 9,349 0,002 0,001 0,068 0,010 0,022 0,085
78 DIAZ ZSU B 9,367 0,007 0,007 0,017 0,010 0,023 0,028
79 Q 1004 BERRIOS 9,444 0,008 0,035 0,014 0,019 0,008 0,018
80 MONTEREY BERRIOS 9,596 0,005 0,031 0,010 0,016 0,004 0,014
81 AGUA USCG A G 1006 10,091 0,011 0,048 0,100 0,045 0,141 0,164
82 AGUA USCG B G 1006 10,225 0,015 0,051 0,107 0,052 0,144 0,172
83 FSJ S ZSU A 10,228 0,002 0,013 0,012 0,015 0,016 0,019
84 FSJ N ZSU A 10,243 0,001 0,016 0,015 0,018 0,020 0,022
85 FSJ S ZSU B 10,318 0,001 0,015 0,013 0,017 0,017 0,019
86 FSJ N ZSU B 10,332 0,004 0,018 0,017 0,021 0,021 0,023
87 SIG C ZSU A 10,766 0,009 0,028 0,015 0,026 0,024 0,024
88 SIG C ZSU B 10,865 0,012 0,030 0,016 0,028 0,025 0,025
89 SAN JUAN SIG APT ARP ZSU A 11,454 0,004 0,022 0,010 0,017 0,019 0,019
90 P 1003 TUNA 11,456 0,003 0,041 0,021 0,025 0,005 0,014
91 BQN A E 1009 11,501 0,093 0,027 0,112 0,008 0,016 0,141
92 SAN JUAN SIG APT ARP ZSU B 11,558 0,007 0,024 0,012 0,020 0,020 0,020
93 BQN B E 1009 11,989 0,099 0,031 0,094 0,012 0,016 0,112
94 BERRIOS P 1003 12,251 0,000 0,018 0,002 0,016 0,003 0,030
95 AGUA USCG B E 1009 12,413 0,089 0,048 0,017 0,017 0,063 0,002
96 M 1005 CP D 93 12,468 0,020 0,007 0,089 0,044 0,028 0,114
97 AGUA USCG A E 1009 12,513 0,085 0,045 0,025 0,011 0,061 0,005
98 BQN C RESET E 1009 12,955 0,051 0,008 0,133 0,064 0,002 0,135
99 M 1005 BQN C RESET 13,180 0,037 0,057 0,152 0,102 0,101 0,185
100 975 5371 A TIDAL ZSU A 13,363 0,011 0,011 0,008 0,011 0,016 0,016
101 CP D 93 E 1009 13,409 0,108 0,056 0,070 0,007 0,071 0,063
102 975 5371 A TIDAL ZSU B 13,469 0,014 0,013 0,010 0,013 0,017 0,016
103 NOVA 2 QUEBRAS 2 13,484 0,008 0,036 0,018 0,039 0,018 0,010
104 M 1005 BQN B 14,376 0,011 0,018 0,113 0,050 0,084 0,163
105 GUN ZSU A 14,397 0,018 0,033 0,015 0,024 0,015 0,010
106 R 1013 LAJAS 2 14,402 0,013 0,024 0,054 0,071 0,008 0,048
107 QUEBRAS 2 AGUA USCG B 14,470 0,008 0,045 0,029 0,006 0,014 0,046
108 GUN ZSU B 14,496 0,015 0,031 0,014 0,021 0,014 0,009
109 E 1009 MAZ C 14,609 0,115 0,035 0,042 0,005 0,012 0,100
110 QUEBRAS 2 AGUA USCG A 14,610 0,004 0,042 0,037 0,000 0,011 0,053
111 EL OJO COCO 14,684 0,036 0,035 0,008 0,027 0,042 0,003
112 TUNA P 1004 14,926 0,002 0,020 0,063 0,037 0,021 0,057
113 M 1005 BQN A 15,615 0,005 0,022 0,131 0,046 0,115 0,191
114 P 1004 QUEBRAS 2 15,698 0,008 0,036 0,009 0,027 0,026 0,013
115 MANATI 2 TUNA 15,807 0,001 0,029 0,055 0,015 0,031 0,073
116 M 1005 VELEZ 15,938 0,002 0,040 0,082 0,040 0,112 0,136
117 SANABRIA ZSU A 16,453 0,001 0,005 0,046 0,027 0,024 0,049
118 MAGAS C 1012 16,499 0,027 0,003 0,046 0,015 0,010 0,062
119 SANABRIA ZSU B 16,595 0,002 0,003 0,045 0,024 0,023 0,049
120 COCO T 1022 16,728 0,055 0,072 0,005 0,026 0,007 0,010
121 TUNA NOVA 2 17,104 0,002 0,020 0,090 0,050 0,030 0,079
122 M 1005 G 1006 17,323 0,014 0,052 0,144 0,072 0,180 0,220
123 Q 1004 MANATI 2 17,663 0,004 0,005 0,022 0,007 0,016 0,010
124 PSE F EL OJO 17,802 0,008 0,026 0,024 0,015 0,026 0,046
125 MONTEREY MANATI 2 17,814 0,001 0,001 0,025 0,010 0,020 0,014
126 PSE E EL OJO 18,299 0,004 0,040 0,013 0,028 0,042 0,032
127 PSE ARP EL OJO 18,723 0,005 0,043 0,011 0,031 0,044 0,030
128 E 1009 975 9394 A TIDAL 18,736 0,065 0,034 0,049 0,014 0,006 0,109
129 F 1016 ZSU A 18,959 0,064 0,036 0,009 0,005 0,031 0,054
130 M 1005 E 1009 19,015 0,088 0,049 0,019 0,038 0,099 0,051
131 F 1016 ZSU B 19,100 0,061 0,034 0,007 0,003 0,030 0,053
132 E 1009 GPS 54 19,423 0,112 0,050 0,026 0,022 0,023 0,096
133 SANABRIA MONTEREY 19,423 0,002 0,014 0,002 0,003 0,025 0,023
134 SANABRIA Q 1004 19,573 0,001 0,018 0,001 0,001 0,029 0,027
135 P 1003 F 1004 19,623 0,001 0,042 0,047 0,036 0,017 0,071
136 QUEBRAS 2 CP D 93 19,934 0,027 0,053 0,082 0,018 0,022 0,111
137 T 1022 F 1016 20,220 0,105 0,117 0,029 0,023 0,101 0,031
138 UTUADO F 1004 20,279 0,067 0,062 0,023 0,049 0,031 0,066
139 DIAZ F 1016 20,347 0,054 0,041 0,010 0,007 0,007 0,025
140 QUEBRAS 2 BQN C RESET 20,663 0,030 0,011 0,145 0,075 0,051 0,183
141 NOVA 2 M 1005 20,906 0,001 0,010 0,011 0,013 0,068 0,007
142 SANABRIA F 1016 21,137 0,063 0,031 0,038 0,021 0,007 0,004
143 VELEZ MAZ C 21,143 0,205 0,044 0,105 0,003 0,001 0,186
144 LAJAS 2 MAGAS 21,367 0,018 0,060 0,105 0,098 0,038 0,067
145 MAGAS PSE ARP 21,537 0,073 0,045 0,007 0,032 0,057 0,026
146 Q 1004 P 1003 21,609 0,008 0,017 0,012 0,003 0,011 0,048
147 MONTEREY P 1003 21,762 0,005 0,013 0,008 0,000 0,007 0,044
148 QUEBRAS 2 BQN B 21,880 0,018 0,028 0,106 0,023 0,034 0,160
149 MAGAS PSE E 21,966 0,072 0,042 0,009 0,029 0,055 0,028
150 SIG C F 1016 22,207 0,073 0,064 0,023 0,031 0,056 0,078
151 F 1004 QUEBRAS 2 22,213 0,004 0,017 0,004 0,000 0,026 0,016
152 SAN JUAN SIG APT ARP F 1016 22,320 0,068 0,058 0,019 0,023 0,051 0,073
153 G 1006 MAZ C 22,377 0,189 0,032 0,166 0,029 0,069 0,269
154 MAGAS PSE F 22,475 0,060 0,028 0,020 0,016 0,040 0,043
155 GUN MONTEREY 22,499 0,019 0,014 0,029 0,000 0,034 0,062
156 FSJ S F 1016 22,527 0,062 0,049 0,020 0,020 0,047 0,072
157 FSJ N F 1016 22,556 0,065 0,052 0,024 0,024 0,051 0,076
158 GUN Q 1004 22,638 0,016 0,010 0,032 0,004 0,038 0,066
159 MANATI 2 F 1004 22,975 0,003 0,030 0,013 0,025 0,010 0,012
160 P 1004 M 1005 23,019 0,001 0,010 0,016 0,001 0,077 0,015
161 975 5371 A TIDAL MONTEREY 23,113 0,010 0,030 0,052 0,035 0,066 0,088
162 975 5371 A TIDAL F 1016 23,115 0,075 0,047 0,017 0,016 0,047 0,070
163 QUEBRAS 2 BQN A 23,121 0,012 0,024 0,124 0,019 0,065 0,189
164 QUEBRAS 2 VELEZ 23,195 0,009 0,006 0,075 0,013 0,062 0,134
165 975 5371 A TIDAL Q 1004 23,255 0,013 0,034 0,056 0,038 0,070 0,092
166 BERRIOS TUNA 23,669 0,003 0,059 0,020 0,041 0,008 0,044
167 C 1012 EL OJO 24,189 0,041 0,001 0,050 0,016 0,003 0,066
168 UTUADO NOVA 2 24,271 0,071 0,081 0,001 0,088 0,039 0,072
169 GUN F 1016 24,344 0,046 0,003 0,007 0,018 0,016 0,044
170 AGUA USCG B MAZ C 24,442 0,204 0,083 0,059 0,022 0,075 0,098
171 AGUA USCG A MAZ C 24,685 0,200 0,080 0,066 0,016 0,072 0,105
172 QUEBRAS 2 G 1006 24,695 0,007 0,006 0,137 0,045 0,129 0,218
173 UTUADO P 1004 24,975 0,071 0,081 0,028 0,076 0,030 0,094
174 GPS 54 LAJAS 2 24,987 0,130 0,036 0,025 0,052 0,009 0,010
175 SAN JUAN SIG APT ARP MONTEREY 24,994 0,003 0,041 0,054 0,041 0,069 0,091
176 SAN JUAN SIG APT ARP Q 1004 25,137 0,006 0,045 0,058 0,045 0,073 0,095
177 VELEZ 975 9394 A TIDAL 25,299 0,155 0,043 0,112 0,012 0,007 0,194
178 QUEBRAS 2 E 1009 25,405 0,081 0,003 0,012 0,011 0,049 0,048
179 SIG C MONTEREY 25,742 0,008 0,047 0,059 0,050 0,074 0,097
180 SIG C Q 1004 25,885 0,011 0,051 0,062 0,053 0,078 0,101
181 VELEZ GPS 54 25,934 0,202 0,059 0,089 0,019 0,011 0,182
182 TUNA UTUADO 25,953 0,069 0,061 0,091 0,039 0,009 0,151
183 BQN A MAZ C 26,076 0,208 0,062 0,154 0,003 0,004 0,241
184 P 1003 P 1004 26,201 0,005 0,061 0,042 0,063 0,017 0,043
185 BQN B MAZ C 26,455 0,214 0,066 0,135 0,007 0,027 0,212
186 G 1006 975 9394 A TIDAL 26,466 0,139 0,031 0,173 0,020 0,075 0,278
187 FSJ N MONTEREY 26,541 0,000 0,035 0,059 0,042 0,069 0,095
188 FSJ S MONTEREY 26,543 0,003 0,032 0,056 0,039 0,066 0,091
189 FSJ N Q 1004 26,684 0,003 0,039 0,063 0,046 0,073 0,099
190 FSJ S Q 1004 26,685 0,000 0,036 0,059 0,042 0,070 0,095
191 975 9394 A TIDAL LAJAS 2 26,685 0,083 0,020 0,002 0,044 0,026 0,003
192 DIAZ MONTEREY 26,763 0,011 0,024 0,025 0,012 0,026 0,044
193 DIAZ Q 1004 26,910 0,008 0,028 0,029 0,015 0,030 0,047
194 G 1006 GPS 54 27,199 0,186 0,047 0,150 0,012 0,057 0,265
195 BQN C RESET MAZ C 27,252 0,166 0,027 0,175 0,059 0,010 0,235
196 CP D 93 MAZ C 27,584 0,223 0,091 0,111 0,002 0,083 0,163
197 NOVA 2 AGUA USCG B 27,951 0,000 0,009 0,048 0,033 0,032 0,055
198 NOVA 2 AGUA USCG A 28,086 0,004 0,006 0,055 0,039 0,029 0,063
199 P 1003 NOVA 2 28,220 0,005 0,061 0,069 0,075 0,025 0,065
200 EL OJO T 1022 28,300 0,019 0,037 0,013 0,002 0,049 0,007
201 GPS 54 R 1013 28,641 0,117 0,012 0,029 0,019 0,001 0,038
202 AGUA USCG B 975 9394 A TIDAL 28,652 0,154 0,082 0,066 0,031 0,069 0,106
203 MAZ C LAJAS 2 28,664 0,133 0,021 0,009 0,035 0,021 0,006
204 AGUA USCG B GPS 54 28,764 0,201 0,098 0,043 0,039 0,087 0,094
205 AGUA USCG A 975 9394 A TIDAL 28,900 0,150 0,079 0,073 0,025 0,066 0,114
206 SANABRIA BERRIOS 28,988 0,007 0,017 0,012 0,019 0,021 0,009
207 AGUA USCG A GPS 54 29,027 0,197 0,095 0,050 0,033 0,084 0,101
208 M 1005 MAZ C 29,051 0,203 0,084 0,022 0,043 0,111 0,049
209 UTUADO MAGAS 29,054 0,018 0,032 0,085 0,031 0,063 0,091
210 MANATI 2 UTUADO 29,493 0,070 0,032 0,036 0,024 0,040 0,079
211 P 1003 UTUADO 29,634 0,066 0,020 0,070 0,013 0,014 0,137
212 F 1004 M 1005 29,711 0,003 0,029 0,011 0,026 0,076 0,013
213 975 9394 A TIDAL R 1013 29,883 0,070 0,004 0,052 0,027 0,019 0,051
214 R 1013 MAGAS 29,923 0,005 0,036 0,051 0,028 0,046 0,019
215 MANATI 2 P 1004 30,042 0,001 0,049 0,008 0,052 0,010 0,016
216 P 1004 AGUA USCG B 30,123 0,000 0,009 0,020 0,021 0,041 0,033
217 BQN A 975 9394 A TIDAL 30,230 0,158 0,061 0,161 0,006 0,010 0,249
218 P 1004 AGUA USCG A 30,243 0,004 0,006 0,028 0,027 0,038 0,041
219 TUNA QUEBRAS 2 30,578 0,006 0,016 0,072 0,010 0,048 0,069
220 BQN B 975 9394 A TIDAL 30,644 0,164 0,065 0,142 0,002 0,021 0,221
221 BQN A GPS 54 30,864 0,205 0,077 0,138 0,014 0,008 0,237
222 UTUADO QUEBRAS 2 31,110 0,063 0,045 0,019 0,049 0,057 0,082
223 BQN B GPS 54 31,209 0,211 0,081 0,119 0,010 0,039 0,208
224 BERRIOS F 1004 31,217 0,001 0,060 0,049 0,051 0,014 0,041
225 BQN C RESET 975 9394 A TIDAL 31,467 0,116 0,026 0,182 0,050 0,004 0,243
226 GUN BERRIOS 31,737 0,024 0,045 0,018 0,016 0,030 0,048
227 CP D 93 975 9394 A TIDAL 31,810 0,173 0,090 0,118 0,007 0,077 0,171
228 MANATI 2 NOVA 2 31,873 0,001 0,049 0,035 0,064 0,001 0,006
229 BQN C RESET GPS 54 31,963 0,163 0,042 0,159 0,042 0,021 0,231
230 CP D 93 GPS 54 32,265 0,220 0,106 0,096 0,015 0,095 0,159
231 PSE F COCO 32,433 0,044 0,009 0,032 0,012 0,068 0,043
232 975 5371 A TIDAL BERRIOS 32,449 0,005 0,001 0,042 0,019 0,062 0,074
233 M 1005 GPS 54 32,860 0,200 0,099 0,007 0,060 0,123 0,045
234 PSE E COCO 32,939 0,032 0,005 0,021 0,001 0,083 0,028
235 Q 1004 TUNA 33,060 0,005 0,024 0,033 0,022 0,016 0,062
236 M 1005 975 9394 A TIDAL 33,078 0,153 0,083 0,030 0,052 0,105 0,058
237 QUEBRAS 2 MAZ C 33,113 0,196 0,038 0,029 0,016 0,061 0,052
238 NOVA 2 CP D 93 33,127 0,019 0,017 0,100 0,057 0,040 0,121
239 MONTEREY TUNA 33,213 0,002 0,028 0,030 0,025 0,012 0,058
240 MAZ C R 1013 33,355 0,120 0,003 0,045 0,036 0,013 0,042
241 PSE ARP COCO 33,367 0,031 0,008 0,019 0,004 0,086 0,026
242 UTUADO PSE ARP 33,405 0,055 0,013 0,092 0,001 0,006 0,118
243 UTUADO C 1012 33,416 0,009 0,029 0,132 0,046 0,052 0,154
244 UTUADO PSE E 33,693 0,054 0,010 0,094 0,002 0,008 0,120
245 NOVA 2 BQN C RESET 33,891 0,038 0,047 0,163 0,114 0,033 0,192
246 UTUADO LAJAS 2 33,919 0,000 0,028 0,020 0,068 0,024 0,025
247 UTUADO PSE F 34,085 0,042 0,004 0,105 0,015 0,023 0,134
248 SAN JUAN SIG APT ARP BERRIOS 34,358 0,002 0,010 0,044 0,025 0,065 0,077
249 SANABRIA T 1022 34,619 0,042 0,086 0,009 0,044 0,094 0,035
250 P 1004 CP D 93 35,090 0,019 0,017 0,073 0,045 0,049 0,099
251 SIG C BERRIOS 35,104 0,003 0,016 0,048 0,034 0,070 0,083
252 NOVA 2 BQN B 35,182 0,010 0,008 0,124 0,062 0,016 0,170
253 MONTEREY ZSU A 35,845 0,001 0,019 0,044 0,024 0,050 0,073
254 P 1004 BQN C RESET 35,867 0,038 0,047 0,136 0,102 0,024 0,170
255 FSJ N BERRIOS 35,871 0,005 0,004 0,049 0,026 0,065 0,081
256 FSJ S BERRIOS 35,875 0,008 0,001 0,046 0,023 0,062 0,077
257 MONTEREY ZSU B 35,981 0,004 0,017 0,042 0,022 0,049 0,072
258 Q 1004 ZSU A 35,993 0,002 0,023 0,047 0,027 0,054 0,076
259 MONTEREY F 1016 36,113 0,065 0,017 0,035 0,019 0,018 0,019
260 Q 1004 ZSU B 36,130 0,001 0,021 0,046 0,025 0,053 0,076
261 DIAZ BERRIOS 36,228 0,016 0,007 0,015 0,004 0,022 0,030
262 BERRIOS UTUADO 36,242 0,066 0,002 0,071 0,002 0,017 0,107
263 QUEBRAS 2 GPS 54 36,258 0,193 0,053 0,014 0,033 0,072 0,048
264 Q 1004 F 1016 36,259 0,062 0,013 0,039 0,022 0,022 0,023
265 NOVA 2 BQN A 36,456 0,004 0,012 0,142 0,058 0,047 0,199
266 F 1004 AGUA USCG B 36,634 0,004 0,028 0,026 0,006 0,040 0,062
267 NOVA 2 VELEZ 36,676 0,001 0,030 0,093 0,053 0,044 0,143
268 F 1004 AGUA USCG A 36,793 0,000 0,025 0,033 0,000 0,038 0,069
269 COCO F 1016 36,795 0,050 0,045 0,024 0,003 0,094 0,020
270 QUEBRAS 2 975 9394 A TIDAL 36,803 0,146 0,037 0,037 0,025 0,055 0,060
271 P 1004 BQN B 37,190 0,010 0,008 0,097 0,050 0,007 0,148
272 SANABRIA MANATI 2 37,231 0,003 0,013 0,023 0,008 0,045 0,037
273 UTUADO M 1005 37,357 0,070 0,091 0,012 0,075 0,107 0,080
274 DIAZ T 1022 37,452 0,051 0,076 0,019 0,030 0,093 0,055
275 LAJAS 2 C 1012 37,798 0,009 0,057 0,151 0,114 0,028 0,129
276 TUNA M 1005 37,943 0,001 0,030 0,079 0,037 0,098 0,072
277 NOVA 2 G 1006 38,175 0,015 0,042 0,155 0,085 0,111 0,227
278 BERRIOS P 1004 38,198 0,005 0,079 0,043 0,078 0,014 0,012
279 P 1004 BQN A 38,478 0,004 0,012 0,115 0,046 0,038 0,177
280 NOVA 2 E 1009 38,540 0,089 0,039 0,030 0,050 0,031 0,058
281 T 1022 ZSU A 38,683 0,041 0,081 0,037 0,017 0,069 0,084
282 SAN JUAN SIG APT ARP T 1022 38,697 0,037 0,059 0,048 0,000 0,050 0,103
283 C 1012 COCO 38,704 0,077 0,034 0,059 0,044 0,039 0,062
284 975 5371 A TIDAL T 1022 38,704 0,030 0,070 0,046 0,007 0,053 0,100
285 T 1022 ZSU B 38,838 0,044 0,083 0,036 0,020 0,070 0,084
286 P 1004 VELEZ 38,877 0,001 0,030 0,066 0,041 0,035 0,121
287 SIG C T 1022 38,880 0,032 0,053 0,052 0,008 0,045 0,109
288 FSJ S T 1022 39,490 0,043 0,068 0,049 0,002 0,053 0,103
289 FSJ N T 1022 39,516 0,040 0,065 0,053 0,001 0,049 0,107
290 GUN T 1022 39,666 0,059 0,114 0,022 0,041 0,084 0,074
291 GUN MANATI 2 39,959 0,020 0,015 0,054 0,011 0,054 0,077
292 BERRIOS NOVA 2 40,082 0,005 0,079 0,071 0,091 0,022 0,034
293 MAGAS EL OJO 40,247 0,068 0,002 0,004 0,001 0,013 0,003
294 P 1004 G 1006 40,333 0,015 0,042 0,128 0,072 0,103 0,205
295 E 1009 LAJAS 2 40,576 0,018 0,014 0,051 0,030 0,032 0,106
296 Q 1004 F 1004 40,638 0,007 0,025 0,035 0,032 0,006 0,023
297 975 5371 A TIDAL MANATI 2 40,689 0,009 0,029 0,078 0,045 0,085 0,102
298 MONTEREY T 1022 40,700 0,040 0,100 0,007 0,041 0,119 0,012
299 MONTEREY F 1004 40,789 0,004 0,029 0,039 0,036 0,010 0,027
300 Q 1004 T 1022 40,805 0,043 0,104 0,010 0,045 0,123 0,008
301 P 1004 E 1009 40,910 0,089 0,039 0,003 0,038 0,023 0,036
302 SANABRIA P 1003 40,986 0,007 0,001 0,011 0,003 0,018 0,021
303 P 1003 QUEBRAS 2 41,680 0,003 0,025 0,051 0,035 0,043 0,055
304 F 1004 CP D 93 42,047 0,023 0,036 0,078 0,018 0,049 0,127
305 UTUADO AGUA USCG B 42,378 0,071 0,090 0,048 0,055 0,071 0,128
306 LAJAS 2 PSE ARP 42,498 0,055 0,015 0,112 0,066 0,019 0,093
307 SAN JUAN SIG APT ARP MANATI 2 42,602 0,002 0,040 0,080 0,052 0,089 0,106
308 UTUADO AGUA USCG A 42,669 0,067 0,087 0,056 0,049 0,068 0,135
309 F 1004 BQN C RESET 42,800 0,034 0,028 0,142 0,075 0,025 0,199
310 LAJAS 2 PSE E 42,934 0,054 0,018 0,114 0,069 0,016 0,095
311 GUN P 1003 43,260 0,024 0,027 0,020 0,000 0,027 0,018
312 SIG C MANATI 2 43,347 0,007 0,046 0,084 0,060 0,093 0,111
313 LAJAS 2 PSE F 43,458 0,042 0,032 0,125 0,082 0,001 0,109
314 QUEBRAS 2 LAJAS 2 43,896 0,063 0,017 0,039 0,019 0,081 0,057
315 Q 1004 UTUADO 44,028 0,074 0,037 0,058 0,017 0,025 0,089
316 F 1004 BQN B 44,060 0,014 0,011 0,102 0,023 0,007 0,176
317 975 5371 A TIDAL P 1003 44,081 0,005 0,017 0,044 0,034 0,059 0,044
318 FSJ N MANATI 2 44,108 0,001 0,034 0,085 0,053 0,089 0,109
319 FSJ S MANATI 2 44,112 0,004 0,031 0,081 0,049 0,085 0,105
320 MONTEREY UTUADO 44,151 0,071 0,033 0,061 0,013 0,021 0,093
321 NOVA 2 MAZ C 44,201 0,204 0,074 0,011 0,055 0,043 0,042
322 DIAZ MANATI 2 44,483 0,012 0,023 0,051 0,022 0,045 0,058
323 AGUA USCG B LAJAS 2 44,537 0,071 0,062 0,068 0,013 0,095 0,103
324 M 1005 LAJAS 2 44,836 0,070 0,063 0,032 0,008 0,132 0,055
325 AGUA USCG A LAJAS 2 44,885 0,067 0,059 0,075 0,019 0,093 0,111
326 TUNA AGUA USCG B 45,032 0,002 0,029 0,043 0,017 0,062 0,023
327 BERRIOS F 1016 45,115 0,070 0,048 0,025 0,003 0,014 0,005
328 TUNA AGUA USCG A 45,158 0,002 0,026 0,035 0,010 0,059 0,016
329 MANATI 2 QUEBRAS 2 45,188 0,007 0,013 0,017 0,025 0,017 0,003
330 UTUADO EL OJO 45,265 0,050 0,030 0,081 0,030 0,049 0,088
331 F 1004 VELEZ 45,268 0,005 0,011 0,071 0,014 0,036 0,150
332 F 1004 BQN A 45,316 0,008 0,007 0,120 0,019 0,039 0,205
333 PSE F T 1022 45,367 0,011 0,063 0,037 0,013 0,075 0,053
334 BERRIOS ZSU A 45,370 0,006 0,012 0,034 0,008 0,046 0,059
335 BERRIOS ZSU B 45,504 0,009 0,014 0,032 0,006 0,045 0,058
336 GPS 54 MAGAS 45,570 0,112 0,024 0,080 0,046 0,047 0,057
337 UTUADO GPS 54 45,674 0,130 0,008 0,005 0,016 0,015 0,034
338 R 1013 C 1012 45,805 0,022 0,033 0,097 0,043 0,036 0,081
339 PSE E T 1022 45,811 0,023 0,077 0,026 0,026 0,090 0,039
340 UTUADO MAZ C 45,860 0,133 0,007 0,010 0,033 0,004 0,030
341 VELEZ LAJAS 2 46,002 0,072 0,023 0,114 0,032 0,020 0,191
342 SAN JUAN SIG APT ARP P 1003 46,011 0,002 0,028 0,046 0,041 0,062 0,047
343 PSE ARP T 1022 46,201 0,024 0,080 0,024 0,029 0,093 0,037
344 EL OJO F 1016 46,402 0,086 0,080 0,015 0,024 0,052 0,024
345 NOVA 2 GPS 54 46,522 0,201 0,089 0,005 0,072 0,054 0,038
346 F 1004 E 1009 46,612 0,085 0,020 0,008 0,011 0,023 0,064
347 MONTEREY EL OJO 46,686 0,021 0,063 0,020 0,043 0,070 0,005
348 Q 1004 EL OJO 46,702 0,024 0,067 0,023 0,046 0,074 0,001
349 P 1004 MAZ C 46,719 0,204 0,074 0,038 0,043 0,034 0,064
350 SIG C P 1003 46,749 0,003 0,034 0,050 0,050 0,067 0,052
351 F 1004 G 1006 46,847 0,011 0,023 0,133 0,045 0,103 0,233
352 BERRIOS T 1022 47,158 0,035 0,069 0,003 0,025 0,115 0,026
353 UTUADO 975 9394 A TIDAL 47,202 0,083 0,008 0,018 0,024 0,002 0,022
354 975 9394 A TIDAL MAGAS 47,324 0,065 0,040 0,103 0,054 0,065 0,070
355 NOVA 2 975 9394 A TIDAL 47,400 0,154 0,073 0,018 0,064 0,037 0,051
356 FSJ N P 1003 47,466 0,005 0,022 0,051 0,042 0,062 0,050
357 FSJ S P 1003 47,472 0,008 0,019 0,047 0,039 0,059 0,047
358 E 1009 R 1013 47,482 0,005 0,038 0,003 0,041 0,024 0,058
359 Q 1004 P 1004 47,641 0,003 0,044 0,030 0,059 0,006 0,005
360 BERRIOS EL OJO 47,741 0,016 0,032 0,010 0,027 0,066 0,019
361 NOVA 2 LAJAS 2 47,762 0,071 0,053 0,020 0,020 0,063 0,048
362 G 1006 LAJAS 2 47,780 0,056 0,011 0,175 0,064 0,048 0,275
363 MONTEREY P 1004 47,793 0,000 0,048 0,033 0,063 0,010 0,002
364 UTUADO E 1009 47,968 0,018 0,042 0,031 0,038 0,008 0,130
365 SANABRIA COCO 48,005 0,013 0,014 0,014 0,018 0,087 0,025
366 DIAZ P 1003 48,014 0,016 0,011 0,017 0,012 0,019 0,001
367 UTUADO R 1013 48,176 0,013 0,004 0,035 0,003 0,017 0,072
368 MONTEREY COCO 48,329 0,015 0,028 0,012 0,016 0,112 0,001
369 Q 1004 COCO 48,390 0,012 0,032 0,015 0,019 0,116 0,002
370 MANATI 2 PSE ARP 48,434 0,015 0,019 0,057 0,022 0,046 0,039
371 MANATI 2 PSE E 48,469 0,016 0,022 0,058 0,025 0,048 0,041
372 MANATI 2 PSE F 48,571 0,028 0,036 0,069 0,038 0,063 0,055
373 MAZ C MAGAS 48,588 0,115 0,039 0,096 0,063 0,059 0,061
374 P 1004 GPS 54 49,035 0,201 0,089 0,023 0,060 0,046 0,060
375 UTUADO CP D 93 49,087 0,090 0,098 0,101 0,031 0,079 0,193
376 F 1004 MAGAS 49,109 0,085 0,094 0,063 0,080 0,093 0,025
377 MANATI 2 EL OJO 49,113 0,020 0,062 0,045 0,053 0,090 0,009
378 P 1003 M 1005 49,126 0,004 0,071 0,058 0,062 0,093 0,058
379 UTUADO VELEZ 49,419 0,072 0,051 0,094 0,035 0,005 0,216
380 F 1004 LAJAS 2 49,496 0,067 0,034 0,042 0,019 0,055 0,042
381 Q 1004 NOVA 2 49,522 0,003 0,044 0,057 0,071 0,014 0,017
382 UTUADO BQN C RESET 49,642 0,033 0,034 0,164 0,026 0,006 0,265
383 MONTEREY NOVA 2 49,673 0,000 0,048 0,061 0,075 0,018 0,020
384 P 1004 LAJAS 2 49,858 0,071 0,053 0,048 0,008 0,055 0,070
385 P 1004 975 9394 A TIDAL 49,917 0,154 0,073 0,046 0,052 0,028 0,073
386 TUNA CP D 93 49,975 0,021 0,037 0,010 0,008 0,070 0,042
387 BERRIOS PSE E 50,183 0,012 0,008 0,023 0,001 0,025 0,013
388 BERRIOS PSE F 50,199 0,024 0,006 0,034 0,012 0,040 0,027
389 BERRIOS PSE ARP 50,220 0,011 0,011 0,021 0,004 0,022 0,011
390 BQN B LAJAS 2 50,262 0,081 0,045 0,144 0,042 0,048 0,218
391 CP D 93 LAJAS 2 50,386 0,090 0,070 0,121 0,037 0,104 0,168
392 BQN C RESET LAJAS 2 50,426 0,033 0,006 0,184 0,094 0,030 0,240
393 BQN A LAJAS 2 50,451 0,075 0,041 0,163 0,038 0,017 0,246
394 UTUADO BQN B 50,466 0,081 0,073 0,125 0,026 0,023 0,242
395 F 1004 MAZ C 50,669 0,200 0,055 0,033 0,016 0,035 0,036
396 TUNA BQN C RESET 50,758 0,036 0,027 0,073 0,065 0,003 0,114
397 R 1013 PSE ARP 51,242 0,068 0,009 0,058 0,005 0,011 0,045
398 NOVA 2 MAGAS 51,265 0,089 0,113 0,085 0,119 0,101 0,019
399 UTUADO G 1006 51,353 0,056 0,039 0,156 0,004 0,073 0,299
400 UTUADO BQN A 51,444 0,075 0,069 0,143 0,030 0,008 0,271
401 R 1013 PSE E 51,660 0,067 0,006 0,059 0,002 0,009 0,047
402 MANATI 2 C 1012 51,744 0,061 0,061 0,096 0,070 0,093 0,075
403 P 1003 PSE ARP 51,779 0,011 0,007 0,023 0,012 0,019 0,020
404 P 1003 PSE E 51,846 0,012 0,010 0,024 0,015 0,022 0,018
405 C 1012 T 1022 51,945 0,022 0,038 0,063 0,018 0,046 0,073
406 P 1003 PSE F 51,986 0,024 0,024 0,036 0,028 0,037 0,003
407 TUNA BQN B 52,095 0,012 0,012 0,034 0,013 0,014 0,091
408 BERRIOS COCO 52,122 0,020 0,003 0,002 0,000 0,108 0,016
409 F 1004 PSE ARP 52,132 0,012 0,049 0,070 0,047 0,036 0,051
410 SANABRIA EL OJO 52,136 0,023 0,049 0,022 0,046 0,045 0,028
411 R 1013 PSE F 52,149 0,055 0,008 0,071 0,012 0,007 0,062
412 DIAZ COCO 52,262 0,004 0,004 0,014 0,004 0,086 0,045
413 F 1004 PSE E 52,354 0,013 0,052 0,071 0,051 0,039 0,053
414 F 1004 GPS 54 52,393 0,197 0,070 0,017 0,033 0,046 0,032
415 SANABRIA TUNA 52,427 0,004 0,042 0,032 0,022 0,014 0,035
416 Q 1004 PSE F 52,474 0,032 0,041 0,047 0,031 0,048 0,045
417 MONTEREY PSE F 52,509 0,029 0,037 0,044 0,028 0,044 0,041
418 Q 1004 PSE E 52,552 0,020 0,027 0,036 0,018 0,033 0,031
419 MONTEREY PSE E 52,589 0,017 0,023 0,033 0,015 0,029 0,027
420 P 1004 MAGAS 52,603 0,089 0,113 0,057 0,107 0,093 0,003
421 Q 1004 PSE ARP 52,665 0,019 0,024 0,035 0,015 0,030 0,029
422 F 1004 PSE F 52,673 0,025 0,066 0,083 0,064 0,054 0,068
423 MANATI 2 M 1005 52,685 0,000 0,059 0,024 0,052 0,067 0,001
424 MANATI 2 F 1016 52,691 0,066 0,018 0,061 0,029 0,038 0,033
425 MONTEREY PSE ARP 52,703 0,016 0,020 0,031 0,012 0,026 0,025
426 975 5371 A TIDAL COCO 52,735 0,025 0,002 0,041 0,019 0,046 0,090
427 MANATI 2 T 1022 52,786 0,039 0,099 0,032 0,052 0,138 0,002
428 QUEBRAS 2 MAGAS 53,007 0,081 0,077 0,066 0,079 0,120 0,009
429 F 1004 C 1012 53,038 0,058 0,091 0,109 0,095 0,083 0,087
430 SAN JUAN SIG APT ARP COCO 53,102 0,018 0,013 0,043 0,026 0,043 0,093
431 TUNA BQN A 53,390 0,006 0,008 0,052 0,009 0,017 0,120
432 SIG C COCO 53,416 0,023 0,019 0,047 0,034 0,038 0,098
433 BERRIOS QUEBRAS 2 53,429 0,003 0,043 0,052 0,051 0,040 0,025
434 F 1004 975 9394 A TIDAL 53,470 0,150 0,054 0,040 0,025 0,029 0,045
435 GUN COCO 53,506 0,004 0,042 0,017 0,015 0,077 0,064
436 P 1003 EL OJO 53,596 0,016 0,050 0,012 0,043 0,063 0,049
437 MANATI 2 ZSU A 53,624 0,002 0,018 0,069 0,034 0,069 0,087
438 VELEZ R 1013 53,697 0,085 0,047 0,060 0,038 0,012 0,144
439 MANATI 2 ZSU B 53,758 0,005 0,016 0,068 0,032 0,068 0,086
440 TUNA VELEZ 53,772 0,003 0,010 0,003 0,003 0,014 0,065
441 FSJ S COCO 54,133 0,012 0,004 0,044 0,023 0,046 0,093
442 FSJ N COCO 54,157 0,015 0,007 0,048 0,027 0,042 0,096
443 BERRIOS C 1012 54,233 0,057 0,031 0,060 0,044 0,069 0,047
444 AGUA USCG B R 1013 54,261 0,084 0,086 0,014 0,058 0,088 0,056
445 TUNA PSE ARP 54,488 0,014 0,048 0,001 0,037 0,015 0,034
446 GUN TUNA 54,567 0,021 0,014 0,001 0,025 0,023 0,004
447 AGUA USCG A R 1013 54,586 0,080 0,083 0,021 0,052 0,085 0,063
448 TUNA PSE E 54,643 0,015 0,051 0,003 0,040 0,017 0,031
449 P 1003 C 1012 54,715 0,057 0,049 0,062 0,059 0,066 0,016
450 COCO ZSU A 54,748 0,014 0,009 0,032 0,008 0,062 0,074
451 TUNA PSE F 54,886 0,027 0,065 0,014 0,053 0,032 0,017
452 TUNA MAGAS 54,887 0,087 0,093 0,006 0,069 0,072 0,060
453 MAGAS COCO 54,904 0,104 0,037 0,012 0,028 0,029 0,000
454 COCO ZSU B 54,911 0,011 0,011 0,031 0,006 0,063 0,073
455 MANATI 2 MAGAS 55,035 0,088 0,064 0,049 0,054 0,103 0,013
456 G 1006 R 1013 55,206 0,069 0,035 0,121 0,007 0,056 0,227
457 TUNA G 1006 55,249 0,013 0,022 0,065 0,035 0,082 0,148
458 975 5371 A TIDAL TUNA 55,423 0,008 0,058 0,023 0,060 0,054 0,030
459 TUNA E 1009 55,541 0,087 0,019 0,060 0,001 0,001 0,021
460 MANATI 2 COCO 55,600 0,016 0,027 0,037 0,026 0,131 0,013
461 M 1005 R 1013 55,975 0,083 0,087 0,023 0,078 0,124 0,007
462 P 1003 AGUA USCG B 56,146 0,005 0,070 0,021 0,042 0,057 0,009
463 QUEBRAS 2 R 1013 56,277 0,076 0,041 0,016 0,052 0,073 0,010
464 P 1003 AGUA USCG A 56,290 0,001 0,067 0,014 0,035 0,055 0,002
465 TUNA C 1012 56,327 0,060 0,090 0,040 0,084 0,061 0,003
466 M 1005 MAGAS 56,642 0,088 0,123 0,073 0,106 0,170 0,012
467 P 1003 MAGAS 56,672 0,084 0,052 0,016 0,044 0,076 0,046
468 P 1003 ZSU A 57,231 0,006 0,006 0,036 0,024 0,043 0,028
469 P 1003 F 1016 57,276 0,070 0,030 0,027 0,018 0,011 0,026
470 Q 1004 C 1012 57,329 0,065 0,066 0,074 0,063 0,077 0,065
471 975 5371 A TIDAL EL OJO 57,329 0,011 0,033 0,032 0,008 0,004 0,093
472 SAN JUAN SIG APT ARP TUNA 57,355 0,001 0,069 0,025 0,066 0,057 0,033
473 P 1003 ZSU B 57,357 0,009 0,004 0,034 0,022 0,042 0,027
474 MONTEREY C 1012 57,376 0,062 0,062 0,070 0,059 0,073 0,061
475 NOVA 2 PSE ARP 57,555 0,016 0,068 0,092 0,087 0,044 0,045
476 NOVA 2 C 1012 57,673 0,062 0,110 0,131 0,134 0,091 0,081
477 TUNA LAJAS 2 57,713 0,069 0,033 0,111 0,029 0,033 0,127
478 P 1003 T 1022 57,815 0,035 0,087 0,002 0,041 0,112 0,056
479 GUN EL OJO 57,816 0,040 0,077 0,009 0,043 0,036 0,067
480 NOVA 2 PSE E 57,824 0,017 0,071 0,093 0,090 0,047 0,047
481 UTUADO COCO 57,896 0,086 0,005 0,073 0,002 0,091 0,091
482 DIAZ EL OJO 57,909 0,032 0,039 0,006 0,031 0,044 0,048
483 P 1004 PSE ARP 58,005 0,016 0,068 0,064 0,075 0,036 0,023
484 SIG C TUNA 58,089 0,006 0,075 0,029 0,075 0,062 0,039
485 SAN JUAN SIG APT ARP EL OJO 58,156 0,018 0,022 0,034 0,002 0,001 0,096
486 NOVA 2 PSE F 58,194 0,029 0,085 0,105 0,103 0,062 0,062
487 E 1009 MAGAS 58,213 0,000 0,074 0,054 0,068 0,070 0,039
488 P 1004 PSE E 58,259 0,017 0,071 0,066 0,078 0,038 0,025
489 P 1004 C 1012 58,369 0,062 0,110 0,103 0,122 0,083 0,059
490 BQN A R 1013 58,517 0,088 0,065 0,109 0,033 0,009 0,199
491 P 1004 PSE F 58,613 0,029 0,085 0,077 0,091 0,053 0,040
492 BQN B R 1013 58,618 0,094 0,069 0,090 0,029 0,040 0,170
493 SIG C EL OJO 58,626 0,013 0,016 0,039 0,007 0,004 0,102
494 AGUA USCG B MAGAS 58,715 0,089 0,122 0,037 0,086 0,134 0,037
495 FSJ N TUNA 58,788 0,002 0,063 0,030 0,067 0,058 0,037
496 FSJ S TUNA 58,795 0,005 0,060 0,026 0,064 0,054 0,033
497 AGUA USCG A MAGAS 59,066 0,085 0,119 0,030 0,079 0,131 0,044
498 BQN C RESET R 1013 59,096 0,046 0,030 0,130 0,023 0,023 0,193
499 CP D 93 R 1013 59,227 0,103 0,094 0,066 0,034 0,096 0,121
500 DIAZ TUNA 59,396 0,013 0,052 0,004 0,037 0,014 0,015
501 FSJ S EL OJO 59,453 0,024 0,031 0,036 0,004 0,004 0,096
502 FSJ N EL OJO 59,473 0,021 0,028 0,039 0,001 0,001 0,100
503 MANATI 2 AGUA USCG B 59,594 0,001 0,058 0,012 0,031 0,031 0,049
504 BERRIOS MAGAS 59,669 0,084 0,034 0,014 0,028 0,079 0,016
505 MANATI 2 AGUA USCG A 59,758 0,003 0,055 0,020 0,025 0,028 0,057
506 TUNA EL OJO 59,829 0,019 0,091 0,010 0,068 0,058 0,063
507 TUNA MAZ C 60,012 0,202 0,054 0,101 0,006 0,013 0,121
508 SANABRIA F 1004 60,203 0,006 0,043 0,036 0,033 0,035 0,050
509 F 1004 EL OJO 60,341 0,017 0,092 0,059 0,079 0,080 0,022
510 P 1003 COCO 60,501 0,020 0,015 0,003 0,016 0,105 0,046
511 BERRIOS M 1005 60,922 0,004 0,089 0,059 0,078 0,091 0,027
512 LAJAS 2 EL OJO 60,989 0,050 0,058 0,101 0,097 0,025 0,063
513 P 1003 CP D 93 61,289 0,024 0,078 0,031 0,018 0,065 0,056
514 GPS 54 C 1012 61,450 0,139 0,021 0,126 0,062 0,037 0,119
515 NOVA 2 R 1013 61,558 0,084 0,077 0,034 0,091 0,055 0,000
516 TUNA GPS 54 61,732 0,199 0,069 0,086 0,023 0,024 0,117
517 PSE F F 1016 61,790 0,094 0,054 0,009 0,010 0,025 0,022
518 P 1003 BQN C RESET 62,064 0,033 0,014 0,095 0,040 0,008 0,128
519 PSE E F 1016 62,160 0,082 0,040 0,003 0,004 0,010 0,008
520 SANABRIA UTUADO 62,278 0,073 0,019 0,059 0,016 0,005 0,116
521 EL OJO ZSU A 62,372 0,022 0,044 0,024 0,019 0,020 0,077
522 PSE ARP F 1016 62,496 0,081 0,037 0,004 0,007 0,008 0,006
523 VELEZ MAGAS 62,542 0,090 0,083 0,009 0,066 0,058 0,125
524 EL OJO ZSU B 62,545 0,025 0,046 0,022 0,021 0,022 0,077
525 QUEBRAS 2 C 1012 62,757 0,054 0,074 0,113 0,095 0,109 0,072
526 GUN F 1004 62,779 0,023 0,015 0,067 0,036 0,044 0,089
527 TUNA 975 9394 A TIDAL 62,817 0,152 0,053 0,109 0,015 0,007 0,130
528 Q 1004 QUEBRAS 2 62,851 0,011 0,008 0,039 0,032 0,032 0,007
529 MONTEREY QUEBRAS 2 63,002 0,008 0,012 0,042 0,035 0,036 0,011
530 SANABRIA PSE F 63,133 0,031 0,023 0,046 0,031 0,018 0,018
531 975 9394 A TIDAL C 1012 63,214 0,092 0,037 0,149 0,070 0,054 0,132
532 SANABRIA PSE E 63,355 0,019 0,009 0,035 0,018 0,003 0,004
533 P 1003 LAJAS 2 63,375 0,066 0,008 0,089 0,054 0,038 0,113
534 P 1003 BQN B 63,378 0,015 0,053 0,055 0,012 0,010 0,105
535 MANATI 2 LAJAS 2 63,408 0,070 0,004 0,056 0,044 0,065 0,054
536 UTUADO T 1022 63,442 0,031 0,067 0,068 0,028 0,098 0,081
537 975 5371 A TIDAL F 1004 63,559 0,006 0,059 0,091 0,070 0,076 0,115
538 SANABRIA PSE ARP 63,582 0,018 0,006 0,033 0,015 0,001 0,002
539 P 1004 R 1013 63,748 0,084 0,077 0,007 0,079 0,047 0,022
540 F 1004 R 1013 63,773 0,080 0,058 0,012 0,052 0,047 0,006
541 QUEBRAS 2 PSE ARP 63,813 0,008 0,032 0,073 0,047 0,062 0,036
542 MAZ C C 1012 64,105 0,142 0,036 0,142 0,079 0,048 0,124
543 QUEBRAS 2 PSE E 64,144 0,009 0,035 0,075 0,050 0,065 0,038
544 G 1006 MAGAS 64,485 0,074 0,071 0,070 0,034 0,010 0,208
545 QUEBRAS 2 PSE F 64,581 0,021 0,049 0,086 0,064 0,080 0,052
546 P 1003 BQN A 64,660 0,009 0,049 0,074 0,016 0,022 0,134
547 P 1003 VELEZ 64,832 0,006 0,031 0,025 0,022 0,019 0,079
548 Q 1004 MAGAS 64,938 0,092 0,069 0,027 0,047 0,087 0,002
549 MANATI 2 CP D 93 64,994 0,020 0,066 0,065 0,007 0,039 0,114
550 MONTEREY MAGAS 65,018 0,089 0,065 0,024 0,044 0,083 0,002
551 CP D 93 MAGAS 65,335 0,108 0,130 0,016 0,062 0,142 0,102
552 GPS 54 PSE ARP 65,470 0,185 0,021 0,087 0,014 0,010 0,083
553 SAN JUAN SIG APT ARP F 1004 65,482 0,001 0,070 0,093 0,077 0,079 0,118
554 BQN C RESET MAGAS 65,589 0,051 0,066 0,079 0,004 0,069 0,174
555 MANATI 2 BQN C RESET 65,753 0,037 0,002 0,128 0,050 0,034 0,186
556 BQN B MAGAS 65,813 0,099 0,105 0,040 0,056 0,086 0,151
557 GPS 54 PSE E 65,902 0,184 0,018 0,089 0,017 0,008 0,085
558 P 1003 E 1009 66,219 0,084 0,022 0,038 0,024 0,006 0,007
559 SIG C F 1004 66,225 0,004 0,076 0,097 0,085 0,084 0,123
560 GUN UTUADO 66,319 0,090 0,047 0,090 0,013 0,014 0,155
561 BQN A MAGAS 66,324 0,093 0,101 0,058 0,060 0,055 0,180
562 P 1003 G 1006 66,371 0,010 0,019 0,086 0,010 0,086 0,162
563 GPS 54 PSE F 66,430 0,172 0,004 0,100 0,031 0,008 0,100
564 975 5371 A TIDAL UTUADO 66,751 0,061 0,003 0,114 0,021 0,045 0,181
565 FSJ N F 1004 66,964 0,004 0,064 0,098 0,078 0,079 0,121
566 FSJ S F 1004 66,969 0,007 0,061 0,094 0,074 0,076 0,118
567 MANATI 2 BQN B 67,025 0,011 0,041 0,089 0,002 0,017 0,164
568 SANABRIA P 1004 67,141 0,002 0,062 0,031 0,060 0,035 0,021
569 MAGAS T 1022 67,151 0,049 0,035 0,017 0,003 0,035 0,010
570 975 9394 A TIDAL PSE ARP 67,233 0,138 0,005 0,110 0,022 0,008 0,096
571 P 1004 EL OJO 67,335 0,021 0,111 0,053 0,106 0,080 0,007
572 DIAZ F 1004 67,413 0,015 0,053 0,064 0,047 0,036 0,070
573 NOVA 2 EL OJO 67,531 0,021 0,111 0,081 0,118 0,088 0,016
574 975 9394 A TIDAL PSE E 67,665 0,137 0,002 0,112 0,025 0,010 0,098
575 M 1005 C 1012 67,707 0,061 0,120 0,119 0,121 0,159 0,074
576 TUNA T 1022 67,718 0,038 0,128 0,023 0,066 0,107 0,070
577 BERRIOS AGUA USCG B 67,844 0,005 0,088 0,023 0,057 0,054 0,021
578 MAZ C PSE ARP 67,848 0,188 0,006 0,103 0,031 0,002 0,087
579 BERRIOS AGUA USCG A 68,006 0,001 0,085 0,016 0,051 0,052 0,029
580 MANATI 2 VELEZ 68,189 0,002 0,019 0,058 0,012 0,045 0,137
581 975 9394 A TIDAL PSE F 68,194 0,125 0,012 0,123 0,038 0,025 0,112
582 MAZ C PSE E 68,275 0,187 0,003 0,104 0,034 0,004 0,090
583 MANATI 2 BQN A 68,286 0,005 0,037 0,107 0,006 0,048 0,192
584 C 1012 F 1016 68,305 0,127 0,079 0,035 0,041 0,055 0,042
585 975 5371 A TIDAL PSE F 68,425 0,019 0,007 0,008 0,006 0,022 0,047
586 TUNA F 1016 68,498 0,067 0,011 0,006 0,044 0,007 0,040
587 SAN JUAN SIG APT ARP UTUADO 68,527 0,068 0,008 0,116 0,028 0,048 0,184
588 TUNA COCO 68,568 0,017 0,056 0,018 0,041 0,100 0,060
589 TUNA ZSU A 68,628 0,003 0,047 0,014 0,049 0,038 0,014
590 GUN PSE F 68,638 0,048 0,051 0,015 0,028 0,009 0,021
591 975 5371 A TIDAL PSE E 68,646 0,007 0,007 0,020 0,020 0,037 0,061
592 TUNA ZSU B 68,752 0,006 0,045 0,013 0,047 0,037 0,013
593 MAZ C PSE F 68,801 0,175 0,011 0,116 0,048 0,019 0,104
594 GUN PSE E 68,850 0,036 0,037 0,004 0,015 0,006 0,035
595 975 5371 A TIDAL PSE ARP 68,871 0,006 0,010 0,021 0,023 0,040 0,063
596 SANABRIA C 1012 68,994 0,064 0,048 0,073 0,062 0,048 0,038
597 SANABRIA NOVA 2 69,062 0,002 0,062 0,058 0,072 0,043 0,044
598 GUN PSE ARP 69,068 0,035 0,034 0,003 0,012 0,008 0,038
599 MANATI 2 E 1009 69,199 0,088 0,010 0,005 0,014 0,032 0,052
600 M 1005 PSE ARP 69,230 0,015 0,078 0,080 0,074 0,113 0,038
601 SIG C UTUADO 69,262 0,063 0,014 0,120 0,036 0,053 0,190
602 GUN P 1004 69,443 0,019 0,034 0,062 0,063 0,044 0,061
603 P 1003 MAZ C 69,491 0,199 0,013 0,080 0,019 0,018 0,107
604 M 1005 PSE E 69,583 0,016 0,081 0,082 0,077 0,115 0,040
605 SAN JUAN SIG APT ARP PSE F 69,612 0,026 0,004 0,010 0,013 0,025 0,050
606 MANATI 2 G 1006 69,796 0,014 0,007 0,120 0,020 0,113 0,221
607 SAN JUAN SIG APT ARP PSE E 69,844 0,014 0,018 0,022 0,026 0,040 0,065
608 DIAZ PSE F 69,883 0,040 0,013 0,018 0,016 0,018 0,002
609 BERRIOS LAJAS 2 69,919 0,066 0,026 0,091 0,070 0,041 0,082
610 DIAZ UTUADO 69,928 0,082 0,009 0,087 0,002 0,005 0,136
611 R 1013 EL OJO 69,943 0,063 0,034 0,047 0,027 0,033 0,016
612 M 1005 PSE F 70,041 0,028 0,095 0,093 0,090 0,130 0,054
613 SAN JUAN SIG APT ARP PSE ARP 70,076 0,013 0,021 0,023 0,029 0,043 0,067
614 FSJ S UTUADO 70,121 0,074 0,001 0,117 0,025 0,045 0,184
615 FSJ N UTUADO 70,124 0,071 0,002 0,121 0,029 0,049 0,188
616 DIAZ PSE E 70,131 0,028 0,001 0,007 0,003 0,003 0,017
617 SIG C PSE F 70,194 0,021 0,010 0,015 0,022 0,030 0,056
618 975 5371 A TIDAL P 1004 70,277 0,010 0,078 0,086 0,097 0,075 0,087
619 Q 1004 M 1005 70,348 0,004 0,054 0,046 0,059 0,082 0,009
620 DIAZ PSE ARP 70,377 0,027 0,004 0,006 0,000 0,000 0,019
621 SIG C PSE E 70,429 0,009 0,024 0,026 0,035 0,045 0,070
622 MONTEREY M 1005 70,499 0,001 0,058 0,049 0,062 0,087 0,013
623 SIG C PSE ARP 70,664 0,008 0,027 0,027 0,038 0,048 0,072
624 F 1004 COCO 70,675 0,019 0,057 0,050 0,051 0,122 0,025
625 P 1003 GPS 54 70,736 0,196 0,028 0,064 0,002 0,029 0,103
626 AGUA USCG B C 1012 71,001 0,062 0,119 0,083 0,101 0,123 0,026
627 FSJ S PSE F 71,076 0,032 0,005 0,012 0,011 0,022 0,050
628 FSJ N PSE F 71,092 0,029 0,002 0,015 0,014 0,026 0,054
629 FSJ S PSE E 71,312 0,020 0,009 0,023 0,024 0,037 0,064
630 FSJ N PSE E 71,328 0,017 0,012 0,027 0,027 0,041 0,068
631 AGUA USCG A C 1012 71,340 0,058 0,116 0,076 0,095 0,121 0,018
632 GUN NOVA 2 71,480 0,019 0,034 0,089 0,075 0,053 0,083
633 FSJ S PSE ARP 71,548 0,019 0,012 0,025 0,027 0,040 0,066
634 FSJ N PSE ARP 71,564 0,016 0,015 0,028 0,030 0,043 0,070
635 MANATI 2 MAZ C 71,568 0,203 0,025 0,046 0,009 0,044 0,048
636 UTUADO F 1016 71,753 0,136 0,050 0,097 0,005 0,002 0,112
637 F 1004 T 1022 71,935 0,036 0,129 0,045 0,077 0,129 0,015
638 P 1003 975 9394 A TIDAL 71,960 0,149 0,012 0,087 0,010 0,012 0,116
639 TUNA R 1013 72,090 0,082 0,057 0,056 0,042 0,026 0,079
640 SAN JUAN SIG APT ARP P 1004 72,208 0,003 0,089 0,088 0,104 0,079 0,090
641 975 5371 A TIDAL NOVA 2 72,294 0,010 0,078 0,113 0,109 0,084 0,109
642 E 1009 C 1012 72,375 0,027 0,071 0,100 0,084 0,060 0,023
643 MANATI 2 GPS 54 72,504 0,200 0,040 0,030 0,008 0,056 0,044
644 SIG C P 1004 72,945 0,008 0,095 0,092 0,112 0,084 0,095
645 AGUA USCG B PSE ARP 73,016 0,016 0,077 0,044 0,054 0,077 0,010
646 BERRIOS CP D 93 73,208 0,024 0,096 0,030 0,033 0,063 0,086
647 AGUA USCG A PSE ARP 73,346 0,012 0,074 0,037 0,047 0,074 0,018
648 AGUA USCG B PSE E 73,389 0,017 0,080 0,046 0,057 0,079 0,008
649 FSJ N P 1004 73,656 0,000 0,083 0,093 0,105 0,079 0,093
650 FSJ S P 1004 73,662 0,003 0,080 0,089 0,101 0,076 0,089
651 AGUA USCG A PSE E 73,719 0,013 0,077 0,038 0,050 0,076 0,016
652 MANATI 2 975 9394 A TIDAL 73,809 0,153 0,024 0,053 0,000 0,038 0,057
653 AGUA USCG B PSE F 73,868 0,029 0,094 0,057 0,070 0,094 0,006
654 BERRIOS BQN C RESET 73,971 0,033 0,032 0,093 0,024 0,011 0,158
655 AGUA USCG A PSE F 74,197 0,025 0,091 0,050 0,064 0,091 0,001
656 DIAZ P 1004 74,214 0,011 0,072 0,059 0,074 0,036 0,042
657 SAN JUAN SIG APT ARP NOVA 2 74,222 0,003 0,089 0,115 0,116 0,087 0,112
658 975 5371 A TIDAL C 1012 74,273 0,052 0,032 0,018 0,025 0,007 0,027
659 GUN C 1012 74,431 0,081 0,076 0,042 0,059 0,039 0,001
660 F 1004 F 1016 74,895 0,069 0,012 0,074 0,054 0,028 0,045
661 SIG C NOVA 2 74,961 0,008 0,095 0,119 0,124 0,092 0,117
662 BERRIOS BQN B 75,252 0,015 0,071 0,053 0,028 0,007 0,135
663 E 1009 PSE ARP 75,277 0,073 0,029 0,061 0,036 0,013 0,013
664 SAN JUAN SIG APT ARP C 1012 75,522 0,059 0,021 0,016 0,018 0,004 0,031
665 LAJAS 2 COCO 75,667 0,086 0,023 0,093 0,070 0,067 0,067
666 E 1009 PSE E 75,682 0,072 0,032 0,063 0,039 0,016 0,011
667 FSJ N NOVA 2 75,683 0,000 0,083 0,120 0,117 0,087 0,115
668 FSJ S NOVA 2 75,689 0,003 0,080 0,116 0,114 0,084 0,112
669 PSE F ZSU A 75,786 0,030 0,018 0,000 0,004 0,006 0,031
670 DIAZ C 1012 75,888 0,073 0,038 0,045 0,048 0,047 0,017
671 PSE F ZSU B 75,961 0,033 0,020 0,002 0,006 0,005 0,031
672 VELEZ C 1012 75,999 0,063 0,080 0,037 0,081 0,047 0,062
673 PSE E ZSU A 76,078 0,018 0,004 0,011 0,009 0,021 0,046
674 SIG C C 1012 76,123 0,054 0,015 0,012 0,010 0,001 0,036
675 E 1009 PSE F 76,191 0,060 0,046 0,074 0,052 0,031 0,004
676 DIAZ NOVA 2 76,199 0,011 0,072 0,086 0,086 0,044 0,064
677 PSE E ZSU B 76,254 0,021 0,006 0,010 0,007 0,020 0,045
678 QUEBRAS 2 EL OJO 76,317 0,013 0,075 0,062 0,078 0,106 0,006
679 PSE ARP ZSU A 76,358 0,017 0,001 0,013 0,012 0,023 0,048
680 BERRIOS VELEZ 76,443 0,006 0,049 0,023 0,038 0,021 0,109
681 BERRIOS BQN A 76,517 0,009 0,067 0,072 0,032 0,024 0,164
682 PSE ARP ZSU B 76,533 0,020 0,003 0,011 0,010 0,022 0,047
683 F 1004 ZSU A 76,580 0,005 0,048 0,083 0,060 0,060 0,099
684 F 1004 ZSU B 76,713 0,008 0,046 0,081 0,057 0,059 0,098
685 FSJ S C 1012 77,010 0,065 0,030 0,014 0,021 0,007 0,030
686 FSJ N C 1012 77,025 0,062 0,027 0,011 0,017 0,004 0,034
687 Q 1004 LAJAS 2 77,086 0,074 0,009 0,078 0,051 0,049 0,064
688 MONTEREY LAJAS 2 77,196 0,071 0,005 0,081 0,054 0,045 0,068
689 Q 1004 AGUA USCG B 77,251 0,003 0,053 0,010 0,038 0,046 0,039
690 MONTEREY AGUA USCG B 77,401 0,000 0,057 0,013 0,042 0,050 0,035
691 Q 1004 AGUA USCG A 77,417 0,007 0,050 0,002 0,032 0,044 0,046
692 BERRIOS E 1009 77,427 0,084 0,040 0,040 0,040 0,009 0,023
693 MONTEREY AGUA USCG A 77,567 0,004 0,054 0,006 0,035 0,048 0,043
694 MANATI 2 R 1013 77,623 0,083 0,028 0,001 0,027 0,057 0,006
695 P 1003 R 1013 77,719 0,079 0,016 0,035 0,016 0,030 0,065
696 CP D 93 C 1012 77,815 0,081 0,127 0,031 0,077 0,131 0,039
697 G 1006 C 1012 77,983 0,047 0,068 0,024 0,049 0,020 0,146
698 P 1004 COCO 78,046 0,015 0,076 0,045 0,078 0,122 0,003
699 BERRIOS G 1006 78,048 0,010 0,037 0,084 0,006 0,089 0,193
700 BQN C RESET C 1012 78,182 0,024 0,063 0,033 0,020 0,058 0,111
701 UTUADO ZSU A 78,409 0,072 0,014 0,105 0,011 0,029 0,165
702 VELEZ PSE ARP 78,519 0,017 0,038 0,002 0,034 0,001 0,098
703 UTUADO ZSU B 78,566 0,075 0,016 0,104 0,008 0,028 0,165
704 NOVA 2 COCO 78,581 0,015 0,076 0,072 0,090 0,130 0,019
705 BQN B C 1012 78,621 0,072 0,102 0,007 0,072 0,076 0,088
706 VELEZ PSE E 78,910 0,018 0,041 0,000 0,037 0,003 0,096
707 BQN A C 1012 79,302 0,066 0,098 0,012 0,076 0,044 0,117
708 VELEZ PSE F 79,407 0,030 0,055 0,011 0,050 0,018 0,082
709 BERRIOS MAZ C 79,513 0,199 0,005 0,082 0,035 0,020 0,077
710 SANABRIA MAGAS 79,555 0,091 0,051 0,026 0,047 0,058 0,025
711 P 1004 T 1022 79,564 0,040 0,148 0,040 0,104 0,129 0,013
712 CP D 93 PSE ARP 79,859 0,035 0,085 0,009 0,030 0,085 0,076
713 CP D 93 PSE E 80,233 0,036 0,088 0,007 0,033 0,087 0,073
714 BQN C RESET PSE ARP 80,276 0,022 0,021 0,072 0,028 0,012 0,147
715 BERRIOS GPS 54 80,292 0,196 0,010 0,066 0,018 0,032 0,073
716 G 1006 PSE ARP 80,510 0,001 0,026 0,063 0,002 0,067 0,182
717 NOVA 2 T 1022 80,601 0,040 0,148 0,067 0,116 0,137 0,009
718 BQN C RESET PSE E 80,652 0,021 0,024 0,070 0,025 0,014 0,145
719 CP D 93 PSE F 80,712 0,048 0,102 0,004 0,046 0,102 0,059
720 BQN B PSE ARP 80,812 0,026 0,060 0,032 0,024 0,029 0,125
721 G 1006 PSE E 80,901 0,002 0,029 0,062 0,005 0,065 0,180
722 BQN C RESET PSE F 81,133 0,009 0,038 0,059 0,012 0,029 0,131
723 BQN B PSE E 81,191 0,027 0,063 0,031 0,027 0,031 0,122
724 G 1006 PSE F 81,398 0,014 0,043 0,050 0,018 0,049 0,165
725 BQN A PSE ARP 81,569 0,020 0,056 0,051 0,028 0,002 0,153
726 BERRIOS 975 9394 A TIDAL 81,638 0,149 0,006 0,089 0,026 0,015 0,085
727 BQN B PSE F 81,676 0,039 0,077 0,020 0,041 0,046 0,108
728 BQN A PSE E 81,951 0,021 0,059 0,049 0,031 0,000 0,151
729 MAGAS F 1016 82,000 0,154 0,082 0,011 0,026 0,065 0,020
730 C 1012 ZSU A 82,016 0,063 0,043 0,026 0,035 0,023 0,012
731 C 1012 ZSU B 82,191 0,066 0,045 0,028 0,038 0,024 0,011
732 P 1004 F 1016 82,348 0,065 0,031 0,069 0,081 0,028 0,017
733 SANABRIA QUEBRAS 2 82,416 0,010 0,026 0,040 0,033 0,062 0,034
734 BQN A PSE F 82,438 0,033 0,073 0,038 0,044 0,015 0,137
735 M 1005 EL OJO 82,604 0,020 0,121 0,069 0,105 0,157 0,008
736 Q 1004 CP D 93 82,647 0,016 0,061 0,043 0,014 0,055 0,104
737 MONTEREY CP D 93 82,799 0,019 0,065 0,040 0,018 0,059 0,100
738 GPS 54 EL OJO 83,170 0,180 0,022 0,076 0,045 0,034 0,054
739 Q 1004 BQN C RESET 83,409 0,041 0,003 0,106 0,043 0,019 0,176
740 P 1004 ZSU A 83,428 0,001 0,067 0,077 0,087 0,059 0,071
741 P 1004 ZSU B 83,555 0,004 0,065 0,076 0,084 0,058 0,070
742 MONTEREY BQN C RESET 83,560 0,038 0,001 0,103 0,040 0,015 0,172
743 NOVA 2 F 1016 83,912 0,065 0,031 0,096 0,093 0,036 0,039
744 BERRIOS R 1013 83,934 0,079 0,002 0,037 0,001 0,033 0,035
745 R 1013 COCO 84,508 0,099 0,001 0,038 0,001 0,075 0,019
746 GUN MAGAS 84,641 0,108 0,079 0,005 0,044 0,049 0,064
747 Q 1004 BQN B 84,685 0,007 0,036 0,067 0,009 0,001 0,153
748 975 5371 A TIDAL MAGAS 84,691 0,079 0,035 0,028 0,010 0,018 0,090
749 MONTEREY BQN B 84,837 0,010 0,040 0,063 0,012 0,003 0,149
750 975 9394 A TIDAL EL OJO 84,922 0,133 0,038 0,099 0,053 0,051 0,066
751 GUN QUEBRAS 2 84,929 0,027 0,002 0,071 0,036 0,071 0,073
752 MAZ C EL OJO 85,168 0,183 0,037 0,092 0,062 0,046 0,058
753 NOVA 2 ZSU A 85,394 0,001 0,067 0,105 0,099 0,068 0,093
754 NOVA 2 ZSU B 85,524 0,004 0,065 0,103 0,096 0,067 0,092
755 975 5371 A TIDAL QUEBRAS 2 85,729 0,002 0,042 0,095 0,070 0,102 0,099
756 Q 1004 VELEZ 85,828 0,002 0,014 0,036 0,019 0,029 0,127
757 Q 1004 BQN A 85,948 0,001 0,032 0,085 0,013 0,032 0,182
758 MONTEREY VELEZ 85,978 0,001 0,018 0,033 0,022 0,025 0,123
759 MONTEREY BQN A 86,099 0,004 0,036 0,082 0,016 0,028 0,178
760 SAN JUAN SIG APT ARP MAGAS 86,158 0,086 0,024 0,030 0,003 0,014 0,093
761 Q 1004 E 1009 86,697 0,092 0,005 0,027 0,021 0,017 0,041
762 LAJAS 2 T 1022 86,753 0,031 0,095 0,088 0,095 0,074 0,056
763 SIG C MAGAS 86,820 0,081 0,018 0,035 0,006 0,009 0,099
764 MONTEREY E 1009 86,844 0,089 0,009 0,030 0,024 0,013 0,037
765 DIAZ MAGAS 86,892 0,100 0,041 0,002 0,032 0,058 0,045
766 AGUA USCG B EL OJO 87,323 0,021 0,120 0,033 0,085 0,121 0,040
767 Q 1004 G 1006 87,447 0,018 0,002 0,098 0,013 0,097 0,210
768 MONTEREY G 1006 87,597 0,015 0,006 0,094 0,010 0,093 0,207
769 AGUA USCG A EL OJO 87,630 0,017 0,117 0,026 0,078 0,118 0,047
770 SAN JUAN SIG APT ARP QUEBRAS 2 87,655 0,005 0,053 0,097 0,077 0,105 0,102
771 FSJ S MAGAS 87,718 0,092 0,033 0,032 0,005 0,018 0,093
772 FSJ N MAGAS 87,730 0,089 0,030 0,035 0,002 0,014 0,096
773 Q 1004 MAZ C 88,327 0,207 0,030 0,068 0,016 0,028 0,059
774 SIG C QUEBRAS 2 88,396 0,000 0,059 0,101 0,085 0,110 0,108
775 MONTEREY MAZ C 88,465 0,204 0,026 0,072 0,019 0,024 0,063
776 QUEBRAS 2 COCO 88,491 0,023 0,040 0,054 0,051 0,148 0,009
777 Q 1004 GPS 54 88,901 0,204 0,045 0,052 0,001 0,040 0,055
778 MONTEREY GPS 54 89,035 0,201 0,041 0,056 0,002 0,036 0,059
779 FSJ N QUEBRAS 2 89,126 0,008 0,047 0,102 0,078 0,106 0,106
780 FSJ S QUEBRAS 2 89,131 0,011 0,044 0,098 0,074 0,102 0,102
781 DIAZ QUEBRAS 2 89,609 0,019 0,036 0,068 0,047 0,062 0,054
782 SANABRIA M 1005 89,910 0,003 0,072 0,047 0,059 0,112 0,036
783 Q 1004 975 9394 A TIDAL 90,296 0,157 0,029 0,075 0,007 0,023 0,067
784 MONTEREY 975 9394 A TIDAL 90,431 0,154 0,025 0,079 0,010 0,019 0,071
785 Q 1004 R 1013 90,797 0,087 0,033 0,023 0,020 0,041 0,017
786 MONTEREY R 1013 90,901 0,084 0,029 0,027 0,017 0,037 0,021
787 E 1009 EL OJO 91,208 0,068 0,072 0,050 0,067 0,057 0,042
788 QUEBRAS 2 T 1022 92,094 0,032 0,112 0,049 0,077 0,155 0,001
789 GUN M 1005 92,384 0,020 0,044 0,078 0,062 0,121 0,076
790 975 5371 A TIDAL M 1005 93,194 0,009 0,088 0,102 0,096 0,152 0,101
791 VELEZ EL OJO 93,721 0,022 0,081 0,013 0,065 0,045 0,128
792 MAGAS ZSU A 93,931 0,090 0,046 0,020 0,020 0,034 0,074
793 MAGAS ZSU B 94,104 0,093 0,048 0,018 0,022 0,035 0,073
794 CP D 93 EL OJO 94,117 0,040 0,128 0,020 0,061 0,129 0,105
795 SANABRIA LAJAS 2 94,126 0,073 0,009 0,079 0,052 0,020 0,091
796 BQN C RESET EL OJO 94,628 0,017 0,064 0,083 0,003 0,055 0,177
797 SAN JUAN SIG APT ARP M 1005 95,121 0,002 0,099 0,104 0,103 0,155 0,105
798 M 1005 COCO 95,131 0,016 0,086 0,061 0,078 0,198 0,012
799 BQN B EL OJO 95,350 0,031 0,103 0,044 0,055 0,073 0,154
800 G 1006 EL OJO 95,700 0,006 0,069 0,074 0,033 0,023 0,212
801 SIG C M 1005 95,862 0,007 0,105 0,108 0,112 0,160 0,110
802 BQN A EL OJO 96,245 0,025 0,099 0,062 0,059 0,042 0,183
803 FSJ N M 1005 96,586 0,001 0,093 0,109 0,104 0,156 0,108
804 FSJ S M 1005 96,592 0,004 0,090 0,105 0,101 0,152 0,104
805 QUEBRAS 2 F 1016 96,691 0,073 0,005 0,078 0,054 0,054 0,030
806 SANABRIA AGUA USCG B 96,823 0,002 0,071 0,011 0,039 0,076 0,012
807 SANABRIA AGUA USCG A 96,988 0,006 0,068 0,003 0,033 0,073 0,020
808 R 1013 T 1022 97,074 0,044 0,071 0,033 0,025 0,082 0,009
809 DIAZ M 1005 97,087 0,012 0,082 0,075 0,074 0,112 0,057
810 GPS 54 COCO 97,618 0,216 0,013 0,068 0,018 0,076 0,057
811 GUN LAJAS 2 98,681 0,090 0,019 0,109 0,055 0,011 0,131
812 QUEBRAS 2 ZSU A 98,786 0,009 0,031 0,086 0,059 0,086 0,083
813 QUEBRAS 2 ZSU B 98,918 0,012 0,029 0,085 0,057 0,085 0,083
814 975 5371 A TIDAL LAJAS 2 98,955 0,061 0,025 0,133 0,089 0,021 0,156
815 M 1005 T 1022 99,240 0,039 0,158 0,056 0,103 0,205 0,001
816 975 9394 A TIDAL COCO 99,364 0,169 0,003 0,090 0,026 0,093 0,070
817 GUN AGUA USCG B 99,389 0,019 0,043 0,042 0,042 0,085 0,027
818 MAZ C COCO 99,471 0,219 0,002 0,083 0,035 0,087 0,061
819 GUN AGUA USCG A 99,537 0,023 0,040 0,034 0,036 0,082 0,020
820 LAJAS 2 F 1016 99,809 0,136 0,022 0,116 0,073 0,027 0,087
821 975 5371 A TIDAL AGUA USCG B 100,183 0,010 0,087 0,065 0,076 0,116 0,053
822 AGUA USCG B COCO 100,267 0,015 0,085 0,025 0,057 0,162 0,037
823 975 5371 A TIDAL AGUA USCG A 100,334 0,006 0,084 0,058 0,070 0,113 0,046
824 AGUA USCG A COCO 100,560 0,019 0,082 0,017 0,051 0,159 0,044
825 SAN JUAN SIG APT ARP LAJAS 2 100,615 0,068 0,036 0,135 0,095 0,024 0,160
826 SIG C LAJAS 2 101,326 0,063 0,042 0,140 0,104 0,029 0,165
827 DIAZ LAJAS 2 101,728 0,082 0,019 0,106 0,066 0,019 0,112
828 SAN JUAN SIG APT ARP AGUA USCG B 102,107 0,003 0,098 0,067 0,083 0,119 0,056
829 SANABRIA CP D 93 102,188 0,017 0,079 0,042 0,015 0,084 0,077
830 FSJ S LAJAS 2 102,212 0,074 0,027 0,137 0,093 0,021 0,159
831 FSJ N LAJAS 2 102,219 0,071 0,030 0,140 0,097 0,024 0,163
832 SAN JUAN SIG APT ARP AGUA USCG A 102,259 0,001 0,095 0,060 0,077 0,117 0,049
833 SIG C AGUA USCG B 102,849 0,008 0,104 0,072 0,091 0,124 0,062
834 SANABRIA BQN C RESET 102,953 0,040 0,015 0,105 0,042 0,011 0,149
835 SIG C AGUA USCG A 103,001 0,004 0,101 0,064 0,085 0,121 0,054
836 FSJ N AGUA USCG B 103,582 0,000 0,092 0,072 0,084 0,120 0,060
837 FSJ S AGUA USCG B 103,587 0,003 0,089 0,069 0,080 0,116 0,056
838 FSJ N AGUA USCG A 103,733 0,004 0,089 0,065 0,078 0,117 0,052
839 FSJ S AGUA USCG A 103,738 0,007 0,086 0,061 0,074 0,113 0,048
840 DIAZ AGUA USCG B 104,047 0,011 0,081 0,038 0,053 0,076 0,009
841 M 1005 F 1016 104,152 0,066 0,041 0,085 0,080 0,105 0,032
842 DIAZ AGUA USCG A 104,204 0,015 0,078 0,031 0,047 0,073 0,001
843 SANABRIA BQN B 104,238 0,008 0,054 0,066 0,010 0,028 0,126
844 GUN CP D 93 104,530 0,000 0,051 0,011 0,018 0,093 0,038
845 E 1009 COCO 104,899 0,104 0,037 0,042 0,040 0,099 0,039
846 AGUA USCG B T 1022 105,112 0,040 0,157 0,020 0,083 0,169 0,047
847 GUN BQN C RESET 105,309 0,057 0,013 0,074 0,039 0,020 0,110
848 975 5371 A TIDAL CP D 93 105,367 0,029 0,095 0,013 0,052 0,124 0,012
849 AGUA USCG A T 1022 105,370 0,036 0,154 0,012 0,077 0,166 0,054
850 SANABRIA VELEZ 105,400 0,001 0,032 0,035 0,019 0,000 0,100
851 SANABRIA BQN A 105,504 0,002 0,050 0,084 0,014 0,003 0,155
852 975 5371 A TIDAL BQN C RESET 106,144 0,028 0,031 0,051 0,005 0,051 0,084
853 SANABRIA E 1009 106,211 0,091 0,023 0,028 0,022 0,012 0,014
854 M 1005 ZSU A 106,271 0,002 0,077 0,093 0,086 0,136 0,086
855 M 1005 ZSU B 106,402 0,005 0,075 0,092 0,084 0,135 0,085
856 GUN BQN B 106,630 0,009 0,026 0,035 0,013 0,037 0,087
857 GPS 54 T 1022 106,726 0,161 0,059 0,063 0,044 0,083 0,047
858 CP D 93 COCO 106,983 0,004 0,093 0,028 0,033 0,170 0,102
859 SANABRIA G 1006 107,020 0,017 0,020 0,097 0,013 0,068 0,184
860 VELEZ COCO 107,056 0,014 0,046 0,021 0,038 0,086 0,125
861 SANABRIA R 1013 107,269 0,086 0,015 0,024 0,019 0,012 0,044
862 SAN JUAN SIG APT ARP CP D 93 107,298 0,022 0,106 0,015 0,059 0,128 0,009
863 SANABRIA MAZ C 107,390 0,206 0,012 0,069 0,017 0,001 0,086
864 975 5371 A TIDAL BQN B 107,459 0,020 0,070 0,011 0,047 0,068 0,061
865 BQN C RESET COCO 107,537 0,053 0,029 0,091 0,024 0,097 0,174
866 SANABRIA GPS 54 107,721 0,203 0,027 0,054 0,000 0,011 0,082
867 GUN BQN A 107,916 0,015 0,022 0,053 0,017 0,006 0,116
868 MAZ C T 1022 107,945 0,164 0,074 0,078 0,061 0,094 0,051
869 SIG C CP D 93 108,035 0,027 0,112 0,019 0,067 0,132 0,003
870 GUN VELEZ 108,047 0,018 0,004 0,004 0,022 0,009 0,061
871 SAN JUAN SIG APT ARP BQN C RESET 108,074 0,035 0,042 0,048 0,002 0,054 0,081
872 BQN B COCO 108,347 0,005 0,068 0,052 0,028 0,114 0,151
873 975 9394 A TIDAL T 1022 108,420 0,114 0,075 0,086 0,052 0,100 0,059
874 975 5371 A TIDAL BQN A 108,741 0,014 0,066 0,030 0,051 0,037 0,090
875 FSJ N CP D 93 108,744 0,019 0,100 0,020 0,060 0,128 0,005
876 FSJ S CP D 93 108,751 0,016 0,097 0,016 0,056 0,124 0,009
877 SIG C BQN C RESET 108,811 0,030 0,048 0,044 0,010 0,059 0,075
878 975 5371 A TIDAL VELEZ 108,826 0,011 0,048 0,019 0,056 0,040 0,035
879 G 1006 COCO 109,019 0,030 0,034 0,083 0,006 0,019 0,208
880 GUN E 1009 109,157 0,108 0,005 0,059 0,025 0,021 0,025
881 SANABRIA 975 9394 A TIDAL 109,172 0,156 0,011 0,076 0,008 0,007 0,094
882 DIAZ CP D 93 109,300 0,008 0,089 0,014 0,029 0,084 0,057
883 BQN A COCO 109,306 0,011 0,064 0,070 0,032 0,083 0,180
884 SAN JUAN SIG APT ARP BQN B 109,388 0,013 0,081 0,009 0,054 0,072 0,058
885 FSJ N BQN C RESET 109,523 0,038 0,036 0,044 0,003 0,055 0,077
886 FSJ S BQN C RESET 109,529 0,041 0,033 0,047 0,001 0,051 0,081
887 LAJAS 2 ZSU A 109,601 0,072 0,014 0,125 0,078 0,005 0,141
888 GUN G 1006 109,610 0,034 0,008 0,066 0,010 0,059 0,144
889 LAJAS 2 ZSU B 109,768 0,075 0,012 0,123 0,076 0,004 0,140
890 975 5371 A TIDAL E 1009 109,875 0,079 0,039 0,082 0,059 0,053 0,051
891 DIAZ BQN C RESET 110,072 0,049 0,025 0,077 0,028 0,011 0,128
892 SIG C BQN B 110,127 0,018 0,087 0,005 0,062 0,076 0,052
893 975 5371 A TIDAL G 1006 110,401 0,005 0,036 0,042 0,025 0,027 0,118
894 SAN JUAN SIG APT ARP BQN A 110,670 0,007 0,077 0,027 0,057 0,041 0,087
895 AGUA USCG B F 1016 110,684 0,065 0,040 0,048 0,060 0,069 0,016
896 SAN JUAN SIG APT ARP VELEZ 110,748 0,004 0,059 0,022 0,063 0,044 0,032
897 FSJ N BQN B 110,841 0,010 0,075 0,004 0,055 0,072 0,054
898 FSJ S BQN B 110,848 0,007 0,072 0,008 0,051 0,068 0,058
899 AGUA USCG A F 1016 110,895 0,069 0,037 0,041 0,054 0,066 0,024
900 GUN MAZ C 110,960 0,223 0,040 0,100 0,020 0,010 0,125
901 DIAZ BQN B 111,377 0,001 0,064 0,038 0,024 0,028 0,106
902 E 1009 T 1022 111,408 0,049 0,109 0,037 0,066 0,106 0,049
903 SIG C BQN A 111,409 0,012 0,083 0,023 0,066 0,045 0,081
904 GUN GPS 54 111,482 0,220 0,055 0,084 0,003 0,002 0,121
905 SIG C VELEZ 111,491 0,009 0,065 0,026 0,072 0,048 0,026
906 R 1013 F 1016 111,521 0,149 0,046 0,062 0,002 0,019 0,039
907 975 5371 A TIDAL MAZ C 111,532 0,194 0,004 0,124 0,054 0,041 0,151
908 CP D 93 T 1022 111,551 0,059 0,165 0,033 0,059 0,177 0,112
909 SAN JUAN SIG APT ARP E 1009 111,781 0,086 0,050 0,085 0,066 0,056 0,054
910 975 5371 A TIDAL GPS 54 112,004 0,191 0,011 0,108 0,037 0,030 0,147
911 GUN R 1013 112,004 0,103 0,043 0,055 0,016 0,003 0,083
912 FSJ N BQN A 112,125 0,004 0,071 0,023 0,059 0,041 0,083
913 FSJ S BQN A 112,131 0,001 0,068 0,026 0,055 0,037 0,087
914 BQN C RESET T 1022 112,188 0,002 0,101 0,096 0,002 0,104 0,184
915 975 5371 A TIDAL R 1013 112,212 0,074 0,001 0,079 0,018 0,029 0,109
916 FSJ N VELEZ 112,232 0,001 0,053 0,026 0,064 0,044 0,028
917 FSJ S VELEZ 112,237 0,002 0,050 0,023 0,061 0,040 0,032
918 SAN JUAN SIG APT ARP G 1006 112,325 0,012 0,047 0,040 0,031 0,024 0,115
919 SIG C E 1009 112,528 0,081 0,056 0,089 0,074 0,061 0,059
920 DIAZ BQN A 112,654 0,007 0,060 0,056 0,028 0,003 0,135
921 VELEZ T 1022 112,655 0,041 0,118 0,026 0,063 0,093 0,135
922 DIAZ VELEZ 112,666 0,010 0,042 0,007 0,034 0,000 0,079
923 GUN 975 9394 A TIDAL 112,893 0,173 0,039 0,107 0,011 0,016 0,134
924 SIG C G 1006 113,068 0,007 0,053 0,036 0,040 0,019 0,110
925 BQN B T 1022 113,173 0,050 0,140 0,057 0,054 0,121 0,161
926 AGUA USCG B ZSU A 113,213 0,001 0,076 0,057 0,066 0,100 0,038
927 FSJ N E 1009 113,298 0,089 0,044 0,090 0,067 0,056 0,057
928 FSJ S E 1009 113,301 0,092 0,041 0,086 0,063 0,053 0,054
929 AGUA USCG B ZSU B 113,346 0,004 0,074 0,055 0,063 0,099 0,037
930 AGUA USCG A ZSU A 113,373 0,005 0,073 0,050 0,059 0,097 0,030
931 SAN JUAN SIG APT ARP MAZ C 113,381 0,201 0,015 0,126 0,061 0,045 0,154
932 975 5371 A TIDAL 975 9394 A TIDAL 113,426 0,144 0,005 0,131 0,045 0,047 0,159
933 AGUA USCG A ZSU B 113,506 0,008 0,071 0,048 0,057 0,096 0,029
934 DIAZ E 1009 113,607 0,100 0,033 0,056 0,036 0,013 0,006
935 FSJ N G 1006 113,802 0,015 0,041 0,035 0,032 0,024 0,112
936 FSJ S G 1006 113,808 0,018 0,038 0,039 0,029 0,027 0,116
937 SAN JUAN SIG APT ARP R 1013 113,816 0,081 0,012 0,081 0,025 0,032 0,112
938 SAN JUAN SIG APT ARP GPS 54 113,828 0,198 0,000 0,110 0,044 0,033 0,150
939 SIG C MAZ C 114,127 0,196 0,021 0,130 0,069 0,049 0,160
940 BQN A T 1022 114,255 0,044 0,136 0,075 0,057 0,090 0,190
941 DIAZ G 1006 114,259 0,026 0,030 0,069 0,002 0,067 0,163
942 SIG C R 1013 114,514 0,076 0,018 0,085 0,033 0,037 0,117
943 G 1006 T 1022 114,550 0,025 0,106 0,088 0,031 0,026 0,218
944 SIG C GPS 54 114,570 0,193 0,006 0,114 0,052 0,038 0,156
945 DIAZ R 1013 114,807 0,095 0,005 0,052 0,005 0,011 0,064
946 FSJ S MAZ C 114,952 0,207 0,006 0,127 0,058 0,041 0,154
947 FSJ N MAZ C 114,952 0,204 0,009 0,131 0,062 0,045 0,158
948 DIAZ MAZ C 114,981 0,215 0,002 0,097 0,031 0,001 0,106
949 SAN JUAN SIG APT ARP 975 9394 A TIDAL 115,255 0,151 0,016 0,133 0,052 0,050 0,163
950 DIAZ GPS 54 115,347 0,212 0,017 0,081 0,014 0,010 0,102
951 FSJ S R 1013 115,406 0,087 0,003 0,082 0,022 0,029 0,112
952 FSJ S GPS 54 115,410 0,204 0,009 0,112 0,041 0,030 0,150
953 FSJ N GPS 54 115,411 0,201 0,006 0,115 0,045 0,033 0,153
954 FSJ N R 1013 115,414 0,084 0,006 0,086 0,026 0,032 0,115
955 SIG C 975 9394 A TIDAL 115,999 0,146 0,022 0,137 0,060 0,055 0,168
956 CP D 93 F 1016 116,616 0,046 0,048 0,004 0,036 0,077 0,082
957 DIAZ 975 9394 A TIDAL 116,792 0,165 0,001 0,104 0,022 0,007 0,115
958 FSJ S 975 9394 A TIDAL 116,835 0,157 0,007 0,135 0,049 0,047 0,162
959 FSJ N 975 9394 A TIDAL 116,836 0,154 0,010 0,138 0,053 0,051 0,166
960 GPS 54 F 1016 117,109 0,266 0,058 0,091 0,021 0,018 0,077
961 BQN C RESET F 1016 117,332 0,103 0,016 0,067 0,021 0,004 0,153
962 MAZ C F 1016 117,584 0,269 0,043 0,107 0,038 0,006 0,081
963 BQN B F 1016 118,495 0,055 0,023 0,028 0,031 0,021 0,131
964 CP D 93 ZSU A 118,506 0,018 0,084 0,004 0,042 0,108 0,028
965 CP D 93 ZSU B 118,635 0,015 0,082 0,003 0,039 0,107 0,029
966 975 9394 A TIDAL F 1016 118,707 0,219 0,042 0,114 0,029 0,000 0,090
967 E 1009 F 1016 118,721 0,154 0,008 0,066 0,043 0,005 0,019
968 VELEZ F 1016 118,887 0,064 0,001 0,003 0,040 0,007 0,104
969 BQN C RESET ZSU A 119,277 0,039 0,020 0,059 0,016 0,035 0,100
970 BQN C RESET ZSU B 119,406 0,042 0,018 0,060 0,018 0,034 0,100
971 BQN A F 1016 119,691 0,061 0,019 0,046 0,035 0,010 0,159
972 BQN B ZSU A 120,576 0,009 0,059 0,020 0,036 0,052 0,077
973 G 1006 F 1016 120,656 0,080 0,011 0,059 0,009 0,075 0,188
974 BQN B ZSU B 120,705 0,006 0,057 0,021 0,034 0,051 0,078
975 VELEZ ZSU A 121,811 0,000 0,037 0,011 0,046 0,024 0,051
976 BQN A ZSU A 121,849 0,003 0,055 0,038 0,040 0,021 0,106
977 VELEZ ZSU B 121,946 0,003 0,035 0,010 0,044 0,023 0,051
978 BQN A ZSU B 121,979 0,000 0,053 0,039 0,038 0,020 0,106
979 R 1013 ZSU A 122,393 0,085 0,010 0,071 0,008 0,012 0,093
980 R 1013 ZSU B 122,563 0,088 0,012 0,069 0,005 0,011 0,092
981 E 1009 ZSU A 122,662 0,090 0,028 0,074 0,048 0,037 0,035
982 E 1009 ZSU B 122,802 0,093 0,026 0,073 0,046 0,036 0,034
983 G 1006 ZSU A 123,418 0,016 0,025 0,050 0,014 0,044 0,134
984 G 1006 ZSU B 123,552 0,019 0,023 0,052 0,012 0,045 0,135
985 MAZ C ZSU A 123,737 0,205 0,007 0,116 0,043 0,025 0,135
986 MAZ C ZSU B 123,889 0,208 0,009 0,114 0,041 0,024 0,134
987 GPS 54 ZSU A 123,976 0,202 0,022 0,100 0,026 0,014 0,131
988 GPS 54 ZSU B 124,131 0,205 0,024 0,098 0,024 0,012 0,130
989 975 9394 A TIDAL ZSU A 125,448 0,155 0,006 0,123 0,034 0,031 0,144
990 975 9394 A TIDAL ZSU B 125,602 0,158 0,008 0,121 0,032 0,030 0,143
Sumatoria 49,458 42,114 54,038 37,378 48,949 75,253
Promedio 60,389 0,050 0,043 0,055 0,038 0,049 0,076
Maximo 125,602 0,269 0,165 0,184 0,134 0,205 0,299
Minimo 0,028 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
DesvStd 33,432 0,057 0,031 0,039 0,027 0,037 0,058
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