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Abstract—En el presente documento se detallaran los pasos
para la modelación y simulación de una barra sometida a un
flujo de calor, tarea correspondiente a una de las tareas del
módulo integración I de ingeniería en Mecatrónica, en donde se
verá un cálculo asociado estado estacionario y luego el método
numérico de diferencias finitas para describir temperaturas en el
tiempo.
I. INTRODUCCIÓN
n proceso o sistema en ingeniería puede estudiarse en
forma experimental o en forma analítica, la primera
implica realización de pruebas y toma de decisiones y la
segunda implica la realización de cálculos, el proceso
experimental suele ser caro para sistemas complejos, en
cambio el procedimiento analítico, el cual por lo demás pude
ser numérico, tiene la ventaja que es más rápido y barato en
algunos casos.
Lo que hay que tener en cuenta es que los resultados
obtenidos analíticamente y numéricamente están sujetos a la
exactitud de las suposiciones, de las aproximaciones y de las
idealizaciones tomadas en cuenta para realizar los cálculos.
En este caso se modelará un sistema en el que se produce
transferencia de calor, calor que se define como “la forma de
la energía que se puede transferir de un sistema a otro como
resultado de la diferencia en la temperatura”.
El problema que se tratará en este documento se relaciona con
la transferencia de calor, ciencia que determina el tiempo en
donde hay un intercambio de temperaturas o razones de
transferencia de energía, para el cual se resolverá de manera
discreta por medio del método de diferencias finitas.
II. PROBLEMA A RESOLVER
El sistema a resolver corresponde a una placa de plomo que se
encuentra en un ambiente con temperatura de 25° C, a la cual
se le aplica un flujo de calor constante de 15 W en una cara de
la placa.
Se pretende describir la temperatura de una cantidad de puntos
de la placa, y el comportamiento de ésta en el tiempo.
Las dimensiones de la placa son:
1 metro de largo.
1 cm de espesor.
10 cm de ancho.
El problema se expresa en la siguiente figura:
Fig. 1 Esquema del problema a resolver.
Para abordar este problema se deben reconocer los fenómenos
que se están produciendo, la transferencia de calor se puede
presentar en 3 formas:
Conducción: Es un proceso de transmisión de calor basado en
el contacto directo entre los cuerpos, sin intercambio de
materia, por el que el calor fluye desde un cuerpo de mayor
temperatura a otro de menor temperatura que está en contacto
con el primero
Radiación: La radiación a la transmisión de calor entre dos
cuerpos los cuales, en un instante dado, tienen temperaturas
distintas, sin que entre ellos exista contacto ni conexión por
otro sólido conductor. Es una forma de emisión de ondas
electromagnéticas que emana todo cuerpo que esté a mayor
temperatura que el cero absoluto.
Convección: se caracteriza porque se produce por medio de un
fluido (líquido o gas) que transporta el calor entre zonas con
diferentes temperaturas
Con los datos proporcionados para el problema, se pueden
identificar transferencia de calor por medio de dos formas,
conducción y convección, la primera se produce en el contacto
directo de una fuente de flujo de calor de 15 W en un extremo,
y la segunda es la convección con el aire del ambiente a 25°C.
III. ENFOQUE ANALÍTICO
Para la solución de los distintos análisis, se deben considerar
las propiedades o parámetros del sistema, las cuales se
Tareas Taller de integración I –Tarea térmica
José Quintanilla Acevedo1, Nicolás Vicencio Mora
2
Facultad de Ingeniería, Universidad de Talca, Curicó [email protected] [email protected]
Ingeniería en Mecatrónica
Chile
U
2
presentan a continuación:
Constante Térmica Plomo:
*
+
Calor específico Plomo:
[
]
Densidad Plomo:
[
]
Difusidad Térmica de plomo:
*
+
(Cengel, 2007)
Coeficiente de convección aire :
*
+
Flujo entrada al material:
[ ] *
+
Temperatura aire o ambiente:
Para la estimación analítica del problema se tomará como
referencia el análisis de superficies extendidas o bien llamadas
aletas, estas son de uso común en la práctica para mejorar la
transferencia de calor para incrementar la razón de
transferencia.
Se elige este análisis ya que el caso es muy cercano a la
aplicación de estas generalmente solo una superficie tiene
consigo un flujo de calor el cal de debe disipar el cual es
transferido a la aleta, cosa que sucede en el problema, ya que
se tiene un flujo de calor constante hacia la placa.
Como se trata de este tipo de análisis se deben tener
suposiciones claras, cosa común en el análisis de transferencia
de calor, en este tipo de análisis se presentan las suposiciones
siguientes:
En el análisis de aletas se considera una operación
estacionaria sin generación de calor en la aleta y se supone
que la conductividad térmica del material permanece constante
(Cengel, 2007).
Flujo Unidimensional:
se toma en cuenta que las magnitudes de las medidas de la
placa son comparablemente grandes porque el largo de 1
metro es una medida demasiado mayor a su ancho y espesor
de 0,1 y 0,01 metros, por lo cual es entendible que la dirección
sea a lo largo de la placa que será representada como la
dirección “x”. Lo que corresponde a dejar la extensa ecuación
de calor por conducción así:
No hay generación interna de calor.
Para aletas de sección transversal uniforme se tiene la
distribución de temperaturas es:
( ) (
) ( )
(
)
Donde los elementos de la ecuación son iguales a :
( )
Donde es la temperatura de la base de la aleta.
La transferencia de calor en la aleta está dado por la siguiente
expresión:
(
)
(
)
Donde
√
√
También es una constante y corresponde al área
transversal y es el perímetro de la pieza y es el largo a
analizar.
Con estas relaciones entregadas por la literatura[1], es posible
encontrar una solución analítica para encontrar temperaturas
en puntos de la placa. Se puede encontrar temperatura en la
base de la aleta:
√
(
)
(
)
3
Reemplazando los paramentos del problema antes
mencionados, con un perímetro de aleta de 22 cm, y L=1
debido a las dimensiones, se tiene que:
√
√ (
)
(
)
Despejando desde
La temperatura en la base es:
Ya con esta temperatura adquirida se está en condiciones de
encontrar la temperatura en distintos puntos de la barra ya que
se presenta la relación antes mencionada:
Por ejemplo para el final de la barra con x=1:
( ) (
) ( )
(
)
[ ]
Esto quiere decir que en la aleta más exactamente en su punto
final la temperatura es la temperatura del ambiente.
Si se hace un pequeño barrido de puntos se podrá comprobar
que a medida el largo avanza hay menos temperatura.
Distancia "x" Temperatura en °C
0 78.75
0.2 36
0.5 26.02
0.8 25.09
1 25
IV. SOLUCIÓN NUMÉRICA
Los problemas de transferencia de calor casi siempre se
clasifican como estacionarios o transitorios, el termino
estacionario implica que no hay cambio con el tiempo en
todos los puntos del sistema, al contrario de un análisis
transitorio que implica la variación con el tiempo de las
variables, durante la transferencia de calor transitoria, la
temperatura suele variar con el tiempo como con la posición.
Para los efectos de simulación se intentara aproximar la
ecuación de calor unidimensional:
Para discretizar esta ecuación, se debe recurrir a algún método
numérico,en donde se acostumbra el reemplazo de ecuaciones
diferenciales por ecuaciones algebraicas.
Existe un popular método que reemplaza las derivadas por
diferencias, método llamado diferencias finitas, este método
puede ser aplicado para problemas de transferencia de calor en
estado estacionario y de forma diferente para problemas de
régimen transitorio. Para problemas de estado estacionario se
aplica una doferenciacion del problema en el sentido de las
variables espaciales, que es valida para cualquier instante del
estado estacionario, sin embargo en régimen transitorio, se
produce una diferenciación con respecto al tiempo y al
espacio.
Fig. 2 formulación en diferencias finitas en r. transitorio.
Ahora para proceder con el método hay que tener en cuenta
que se tiene una segunda derivada, por lo cual se debe realizar
dos veces la diferenciación.
Se debe aplicar el método en la primera derivada, definiendo
como el número del nodo a analizar.
(
)
Ahora cada gradiente se expresa, como función de las
temperaturas nodales.
4
Al sustituir los dos gradientes en la primera aproximación
queda lo siguiente:
( )
Ya discretizado el espacio, la ecuación debe discretearse en el
tiempo, esto se hará con el método explicito, el cual representa
a la derivada con respecto al tiempo en forma de diferencia
hacia adelante. El entero se introduce en la diferenciación
para lo que se debe tomar en cuenta que . Tomando
en cuenta esto la aproximación por diferencias finitas para la
derivada respecto del tiempo se expresa como:
El superíndice se sirve para denotar la dependencia con
respecto al tiempo y la derivada respecto al tiempo se expresa
como la diferencia de las temperaturas asociadas con los
tiempos ( ) y ( ), donde . Lo que conlleva a que temperaturas deben ser
medidas o muestreadas con un intervalo de desfase entre
cada tiempo de muestra.
Tomando en cuenta el tiempo la relación se debe incluir a la
ecuación final:
( )
Quedando finalmente:
Equivalente a:
( )
Ahora despejando la variable de temperatura:
( ) (
)
Desde esta ecuación se define el número discreto de Fourier,
que es adimensional:
( )
Quedando finalmente para un sistema unidimensional en la
coordenada x, o sea :
(
) ( )
Esta última formula es explicita ya que las temperaturas
nodales desconocidas se determinan desde las temperaturas
nodales conocidas del tiempo anterior, además es factorizada
así, por que más adelante se verá una interesante propiedad de
estabilidad en la cual se deben tener un coeficiente de .
Se definirá un espaciamiento de , un número par
que permitirá conocer la temperatura en la última parte de la
barra.
Como el valor
no está disponible en un principio se debe
aplicar un balance de energía alrededor el nodo 1. Este balance
viene dado por:
Por lo que el balance se expresa de la siguiente forma:
Despejando el valor de inicio:
(
) ( )
Para realizar el código se debe seguir el siguiente
procedimiento:
Evaluando dentro de un ciclo o bucle de iteraciones.
5
Ahora para elección de normalmente se tienen que tener
en cuenta la presicion requerida, sin embargo se debe ser
cuidadoso ya que al hacer la elección, se debe tener en cuenta
el cual debe ser elegido mediante un criterio de
estabilidad, para evitar resultados erróneos el valor de
debe mantenerse por debajo de cierto limite, el cual depende
de y algunos de los parámetros.
El criterio se determina requiriendo que el coeficiente
asociado con el nodo de interés en el tiempo anterior mayor o
igual a 0, esto se hace reuniendo todos los términos que
incluyen .
Entonces para la forma de diferencias finitas de un nodo
unidimensional, que es el caso tratado se debe cumplir que:
( )
Lo que significa:
Para forzar al límite el sistema, para describir temperaturas, se
elegirá un numero de Fourier de 0.5, para el cual se tendrá el
tiempo superior de :
( )
( )
( )
[ ]
Definiendo entonces el número de Fourier y el flujo de calor
como sigue:
Y la fórmula para el primer nodo:
(
) ( )
Arroja los siguientes resultados en código C.
TABLA I
RESULTADOS SOLUCIÓN EXPLICITA FO=1/2.
(s)
0 25 25 25 25 25 25
828 109.99 25 25 25 25 25
1656 109.99 67.49 25 25 25 25
2484 152.48 67.49 46.25 25 25 25
3312 152.48 99.36 46.25 35.62 25 25
4140 184.35 99.36 67.49 35.62 30.31 25
4968 184.35 125.92 67.49 48.90 30.31 27.66
Se puede observar que el cálculo de temperaturas es igual en
tiempos sucesivos para el mismo nodo, esto corresponde a un
vicio del algoritmo al escoger el número de Fourier máximo
permitido por el criterio de estabilidad antes mencionado,
comportamiento que no se asemeja al comportamiento real de
transferencia de calor, ya que ante un flujo constante al menos
los nodos más cercanos a la conducción deben cambiar de
forma continua con el tiempo.
Para mejorar estos resultados y eliminar la deformación
expuesta se debiera reducir e valor de Fo, se probará un
numero de Fourier reducido a la mitad Fo=1/4, para lo cual se
se usara el mismo espaciamiento en x:
( )
( )
[ ]
TABLA I
RESULTADOS SOLUCIÓN EXPLICITA FO=1/4.
(s)
0 25 25 25 25 25 25
414 67.49 25 25 25 25 25
828 88.74 35.62 25 25 25 25
1242 104.67 46.25 27.66 25 25 25
1656 117.95 56.21 31.64 25.66 25 25
2070 129.57 65.50 36.29 26.99 25.17 25
2484 140 74.22 41.27 28.86 25.58 25.04
Como se observa el paso de tiempo se reduce a la mitad, no
así las temperaturas en el tiempo, el cambio solo fue que el
algoritmo está siendo más fino en su respuesta, lo que prueba
que para un número pequeño de Fo la precisión de los cálculos
mejora, pero se debe aumentar la cantidad de puntos a analizar
si se quiere analizar un lapso de tiempo específico.
V. CONCLUSIÓN
La técnica numérica aproximada de diferencias finitas sirve
frente a casos con complejidades geométricas en problemas
de transferencia de calor, aun así en este documento se llevó a
cabo un sistema muy básico de transferencia de calor, en
primer lugar se conoció el concepto de cómo se tratan los
ejercicios en forma estacionaria, los cuales entregan datos solo
cuando el sistema no cambia sus variables en el tiempo, y
aunque en el caso analítico se estudió la convección, fue una
manera de expresar con algún método la transferencia de calor
en estado estable de la barra propuesta y dejar a entrever que
los datos entregados en modo estable muchas veces
corresponden a datos máximos de transferencia o temperatura
que suelen ser tomados en cuenta en cálculos de productos o
prestaciones con el simple trabajo de reemplazar valores en
correlaciones que están plasmadas en los textos.
En segunda instancia se hicieron suposiciones más estrictas
respecto a la barra, asignándola solo con transferencia de calor
por conducción, lo cual fue hecho para expresar de manera
más sencilla el método de diferencias finitas que de todos
modos es aplicable para sistemas donde, no solo exista
conducción, si no también convección y radiación o
combinaciones, solo que habría que reescribir la
diferenciación en el espacio en caso de un análisis estacionario
6
o una diferenciación en el sentido del espacio y el tiempo, que
es lo que se hizo en las últimas páginas.
Se pudo aprender mucho de la literatura, nunca se había
mencionado el método de diferencias finitas en los cursos de
termodinámica y transferencia de calor, por lo cual fue una
buena ocasión para conocer el método y saber todo lo que está
detrás de los simuladores mecánicos, como por ejemplo el
software Ansys que a veces trabaja con estos métodos pero
aplicados en forma no tan solo unidimensional si no que hasta
en tres dimensiones de nodos, por ultimo destacar que todos
los métodos discretos que se han visto en las distintas tareas
son aplicables, precisamente por su condición discreta a
sistemas de control y de soluciones tecnológicas.
.
VI. BIBLIOGRAFÍA
Cengel, Y. A. (2007). transferencia de calor y masa.
McGRAW-HIL.
incropera, F. (1999). Fundamentos de transferencia de calor.
Pearson.
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