1
DINAgraveMICA
1r batxilleratLurdes Morral
2
Sentit
Mogravedul
Direccioacute
Elements dels vectors forccedila
bull Mogravedul o intensitat eacutes la longitud del vector bull Direccioacute eacutes la recta que conteacute el vector Indica la seva
inclinacioacutebull Sentit indicat per la fletxa bull Punt drsquoaplicacioacute punt on comenccedila el vector
Una forccedila eacutes una magnitud vectorial La seva unitat en el SI eacutes
el Newton (N)
Dinamogravemetre aparell per mesurar forces
3
Forces concurrents soacuten aquelles les direccions de les quals es tallen en algun punt
Mateixa direccioacute i sentit
Mateixa direccioacute i sentits oposats
El mogravedul eacutes la suma dels mograveduls
El mogravedul eacutes la diferegravencia dels mograveduls
F1 = 6 N
F2 = 5 N
R = 11 N
R = 2 NF2 = 4 N
F1 = 6 N
Suma de forces concurrents amb la mateixa direccioacute (4t)
4
Regla del paralmiddotlelogram
F1
rarr
F2
rarr Rrarr
Rrarr
F2
rarr
F1
rarr
Suma de forces concurrents amb diferent direccioacute (4t)
22
21 FFR +=
Teorema de Pitagravegores
2 forces
Meacutes de 2 forces
Si soacuten perpendiculars
5
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
fffR 321 +++=rarrrarrrarrrarr
En general
F1
rarr
F1
rarr
F1
rarr
F2
rarrF2
rarr
F2
rarr
F3
rarr Rrarr
Rrarr
Rrarr
bull
bull
bull
Composicioacute de forces
6
El mogravedul de la resultant eacutes la suma dels mograveduls de les dues forces
El seu sentit eacutes el de la forccedila meacutes intensa i el seu mogravedul eacutes la diferegravencia de mograveduls
El mogravedul direccioacute i sentit de la forccedila resultant queden determinats gragraveficament a partir de la regla del paralmiddotlelogramNumegravericament cal descomposar els vectors en les seves components
El mogravedul de la forccedila resultant es pot calcular gragraveficament mitjanccedilant la regla del paralmiddotlelogram i numegravericament per mitjagrave del teorema de Pitagravegores
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
7
Descomposicioacute de forces (batx)
bull
bull
Coordenades cartesianes components drsquouna forccedila
X
Y
bull Cada component
Frarr
Fx
rarr
Fy
rarr
FFF yx
rarrrarrrarr+=
jFiFF yx
rarrrarrrarr+=
bull Es pot escriure el vector com a suma de dos vectors dirigits sobre els eixos X i Y
Frarr
bull El mogravedul del vector Frarr
| |Frarr
F = FF 2y
2x +=
α
Fx = F cos α Fy = F sin α
rarri
rarrj
bull Es pot expressar de 2 formesFrarr
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
2
Sentit
Mogravedul
Direccioacute
Elements dels vectors forccedila
bull Mogravedul o intensitat eacutes la longitud del vector bull Direccioacute eacutes la recta que conteacute el vector Indica la seva
inclinacioacutebull Sentit indicat per la fletxa bull Punt drsquoaplicacioacute punt on comenccedila el vector
Una forccedila eacutes una magnitud vectorial La seva unitat en el SI eacutes
el Newton (N)
Dinamogravemetre aparell per mesurar forces
3
Forces concurrents soacuten aquelles les direccions de les quals es tallen en algun punt
Mateixa direccioacute i sentit
Mateixa direccioacute i sentits oposats
El mogravedul eacutes la suma dels mograveduls
El mogravedul eacutes la diferegravencia dels mograveduls
F1 = 6 N
F2 = 5 N
R = 11 N
R = 2 NF2 = 4 N
F1 = 6 N
Suma de forces concurrents amb la mateixa direccioacute (4t)
4
Regla del paralmiddotlelogram
F1
rarr
F2
rarr Rrarr
Rrarr
F2
rarr
F1
rarr
Suma de forces concurrents amb diferent direccioacute (4t)
22
21 FFR +=
Teorema de Pitagravegores
2 forces
Meacutes de 2 forces
Si soacuten perpendiculars
5
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
fffR 321 +++=rarrrarrrarrrarr
En general
F1
rarr
F1
rarr
F1
rarr
F2
rarrF2
rarr
F2
rarr
F3
rarr Rrarr
Rrarr
Rrarr
bull
bull
bull
Composicioacute de forces
6
El mogravedul de la resultant eacutes la suma dels mograveduls de les dues forces
El seu sentit eacutes el de la forccedila meacutes intensa i el seu mogravedul eacutes la diferegravencia de mograveduls
El mogravedul direccioacute i sentit de la forccedila resultant queden determinats gragraveficament a partir de la regla del paralmiddotlelogramNumegravericament cal descomposar els vectors en les seves components
El mogravedul de la forccedila resultant es pot calcular gragraveficament mitjanccedilant la regla del paralmiddotlelogram i numegravericament per mitjagrave del teorema de Pitagravegores
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
7
Descomposicioacute de forces (batx)
bull
bull
Coordenades cartesianes components drsquouna forccedila
X
Y
bull Cada component
Frarr
Fx
rarr
Fy
rarr
FFF yx
rarrrarrrarr+=
jFiFF yx
rarrrarrrarr+=
bull Es pot escriure el vector com a suma de dos vectors dirigits sobre els eixos X i Y
Frarr
bull El mogravedul del vector Frarr
| |Frarr
F = FF 2y
2x +=
α
Fx = F cos α Fy = F sin α
rarri
rarrj
bull Es pot expressar de 2 formesFrarr
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
3
Forces concurrents soacuten aquelles les direccions de les quals es tallen en algun punt
Mateixa direccioacute i sentit
Mateixa direccioacute i sentits oposats
El mogravedul eacutes la suma dels mograveduls
El mogravedul eacutes la diferegravencia dels mograveduls
F1 = 6 N
F2 = 5 N
R = 11 N
R = 2 NF2 = 4 N
F1 = 6 N
Suma de forces concurrents amb la mateixa direccioacute (4t)
4
Regla del paralmiddotlelogram
F1
rarr
F2
rarr Rrarr
Rrarr
F2
rarr
F1
rarr
Suma de forces concurrents amb diferent direccioacute (4t)
22
21 FFR +=
Teorema de Pitagravegores
2 forces
Meacutes de 2 forces
Si soacuten perpendiculars
5
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
fffR 321 +++=rarrrarrrarrrarr
En general
F1
rarr
F1
rarr
F1
rarr
F2
rarrF2
rarr
F2
rarr
F3
rarr Rrarr
Rrarr
Rrarr
bull
bull
bull
Composicioacute de forces
6
El mogravedul de la resultant eacutes la suma dels mograveduls de les dues forces
El seu sentit eacutes el de la forccedila meacutes intensa i el seu mogravedul eacutes la diferegravencia de mograveduls
El mogravedul direccioacute i sentit de la forccedila resultant queden determinats gragraveficament a partir de la regla del paralmiddotlelogramNumegravericament cal descomposar els vectors en les seves components
El mogravedul de la forccedila resultant es pot calcular gragraveficament mitjanccedilant la regla del paralmiddotlelogram i numegravericament per mitjagrave del teorema de Pitagravegores
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
7
Descomposicioacute de forces (batx)
bull
bull
Coordenades cartesianes components drsquouna forccedila
X
Y
bull Cada component
Frarr
Fx
rarr
Fy
rarr
FFF yx
rarrrarrrarr+=
jFiFF yx
rarrrarrrarr+=
bull Es pot escriure el vector com a suma de dos vectors dirigits sobre els eixos X i Y
Frarr
bull El mogravedul del vector Frarr
| |Frarr
F = FF 2y
2x +=
α
Fx = F cos α Fy = F sin α
rarri
rarrj
bull Es pot expressar de 2 formesFrarr
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
4
Regla del paralmiddotlelogram
F1
rarr
F2
rarr Rrarr
Rrarr
F2
rarr
F1
rarr
Suma de forces concurrents amb diferent direccioacute (4t)
22
21 FFR +=
Teorema de Pitagravegores
2 forces
Meacutes de 2 forces
Si soacuten perpendiculars
5
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
fffR 321 +++=rarrrarrrarrrarr
En general
F1
rarr
F1
rarr
F1
rarr
F2
rarrF2
rarr
F2
rarr
F3
rarr Rrarr
Rrarr
Rrarr
bull
bull
bull
Composicioacute de forces
6
El mogravedul de la resultant eacutes la suma dels mograveduls de les dues forces
El seu sentit eacutes el de la forccedila meacutes intensa i el seu mogravedul eacutes la diferegravencia de mograveduls
El mogravedul direccioacute i sentit de la forccedila resultant queden determinats gragraveficament a partir de la regla del paralmiddotlelogramNumegravericament cal descomposar els vectors en les seves components
El mogravedul de la forccedila resultant es pot calcular gragraveficament mitjanccedilant la regla del paralmiddotlelogram i numegravericament per mitjagrave del teorema de Pitagravegores
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
7
Descomposicioacute de forces (batx)
bull
bull
Coordenades cartesianes components drsquouna forccedila
X
Y
bull Cada component
Frarr
Fx
rarr
Fy
rarr
FFF yx
rarrrarrrarr+=
jFiFF yx
rarrrarrrarr+=
bull Es pot escriure el vector com a suma de dos vectors dirigits sobre els eixos X i Y
Frarr
bull El mogravedul del vector Frarr
| |Frarr
F = FF 2y
2x +=
α
Fx = F cos α Fy = F sin α
rarri
rarrj
bull Es pot expressar de 2 formesFrarr
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
5
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
fffR 321 +++=rarrrarrrarrrarr
En general
F1
rarr
F1
rarr
F1
rarr
F2
rarrF2
rarr
F2
rarr
F3
rarr Rrarr
Rrarr
Rrarr
bull
bull
bull
Composicioacute de forces
6
El mogravedul de la resultant eacutes la suma dels mograveduls de les dues forces
El seu sentit eacutes el de la forccedila meacutes intensa i el seu mogravedul eacutes la diferegravencia de mograveduls
El mogravedul direccioacute i sentit de la forccedila resultant queden determinats gragraveficament a partir de la regla del paralmiddotlelogramNumegravericament cal descomposar els vectors en les seves components
El mogravedul de la forccedila resultant es pot calcular gragraveficament mitjanccedilant la regla del paralmiddotlelogram i numegravericament per mitjagrave del teorema de Pitagravegores
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
7
Descomposicioacute de forces (batx)
bull
bull
Coordenades cartesianes components drsquouna forccedila
X
Y
bull Cada component
Frarr
Fx
rarr
Fy
rarr
FFF yx
rarrrarrrarr+=
jFiFF yx
rarrrarrrarr+=
bull Es pot escriure el vector com a suma de dos vectors dirigits sobre els eixos X i Y
Frarr
bull El mogravedul del vector Frarr
| |Frarr
F = FF 2y
2x +=
α
Fx = F cos α Fy = F sin α
rarri
rarrj
bull Es pot expressar de 2 formesFrarr
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
6
El mogravedul de la resultant eacutes la suma dels mograveduls de les dues forces
El seu sentit eacutes el de la forccedila meacutes intensa i el seu mogravedul eacutes la diferegravencia de mograveduls
El mogravedul direccioacute i sentit de la forccedila resultant queden determinats gragraveficament a partir de la regla del paralmiddotlelogramNumegravericament cal descomposar els vectors en les seves components
El mogravedul de la forccedila resultant es pot calcular gragraveficament mitjanccedilant la regla del paralmiddotlelogram i numegravericament per mitjagrave del teorema de Pitagravegores
Forccedila neta o resultant drsquoun sistema de forces
7
Descomposicioacute de forces (batx)
bull
bull
Coordenades cartesianes components drsquouna forccedila
X
Y
bull Cada component
Frarr
Fx
rarr
Fy
rarr
FFF yx
rarrrarrrarr+=
jFiFF yx
rarrrarrrarr+=
bull Es pot escriure el vector com a suma de dos vectors dirigits sobre els eixos X i Y
Frarr
bull El mogravedul del vector Frarr
| |Frarr
F = FF 2y
2x +=
α
Fx = F cos α Fy = F sin α
rarri
rarrj
bull Es pot expressar de 2 formesFrarr
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
7
Descomposicioacute de forces (batx)
bull
bull
Coordenades cartesianes components drsquouna forccedila
X
Y
bull Cada component
Frarr
Fx
rarr
Fy
rarr
FFF yx
rarrrarrrarr+=
jFiFF yx
rarrrarrrarr+=
bull Es pot escriure el vector com a suma de dos vectors dirigits sobre els eixos X i Y
Frarr
bull El mogravedul del vector Frarr
| |Frarr
F = FF 2y
2x +=
α
Fx = F cos α Fy = F sin α
rarri
rarrj
bull Es pot expressar de 2 formesFrarr
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
8
bull La suma de dues forces jFiFF y1x11
rarrrarrrarr+=
jFiFF y2x22
rarrrarrrarr+=
j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121
rarrrarrrarrrarr+++=+
Suma de forces mitjanccedilant components
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
9
Lrsquoallargament de les molles eacutes proporcional al pes que hi
pengem
La llei de Hooke diu que quan srsquo aplica una forccedila a una molla li provoca una
deformacioacute directament proporcional al valor drsquoaquesta forccedila
Llei de Hooke
F = k ∆sdot l= k sdot ( l ndashlo )
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
10
La primera llei de Newton o llei drsquoinegravercia
Si sobre un cos no actua cap forccedila o la resultant de les forces que hi actuen eacutes zero el cos resta indefinidament en el seu estat de repograves o de moviment rectilini i uniforme se srsquoestava movent
Quan el cotxe arrenca et quedes enganxarsquot en el seient ja que tendeixes a seguir en
repograves
Quan el cotxe frena et desplaces cap a davant ja que tendeixes a estar en
moviment
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
11
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una forccedila resultant no nulmiddotla el cos adquireix una acceleracioacute drsquoigual direccioacute i sentit que la forccedila aplicada Lrsquoacceleracioacute adquirida eacutes proporcional a la forccedila neta i la constant de proporcionalitat eacutes la massa del cos
amF
=sumararr
Frarr
FR = m a
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
12
Tercera llei de Newton Principi drsquoaccioacute i reaccioacute
Quan un cos A exerceix una forccedila sobre un altre cos B el cos B exerceix sobre el cos A una forccedila oposada eacutes a dir drsquoigual mogravedul i direccioacute perograve de sentit contrari
- Prarr
Prarr
Prarr
Nrarr
Srsquoanomena forccedila normal (N) a la forccedila de reaccioacute drsquoun pla
sobre uncos que estagrave sobre drsquoell Eacutes una forccedila perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfiacutecie
El pes (P) drsquoun cos eacutes la forccedila amb que la Terra lrsquoatrau
Quan un cos cau per accioacute del seu propi pes es mou amb lrsquoacceleracioacute de la gravetat a = g = 98 ms2 Tenint en compte el principi fonamental
de la dinagravemica
F = m sdot a rarr P = m sdot g
No srsquoanulmiddotlen perquegrave actuen sobre cossos diferents
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
13
La forccedila normal
Quan un cos estagrave damunt drsquouna superfiacutecie fa una forccedila sobre ella a consequumlegravencia del pes Per la 3ordf llei de Newton la superfiacutecie fa una forccedila igual perograve de sentit contrari sobre el cos que anomenem forccedila normal
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Sense que srsquoaixequi
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
14
El fregament eacutes una forccedila que sempre srsquooposa al moviment
Prarr
Nrarr
FmotorrarrFf
rarr
Ff = μc middot N
Forccedila de fregament
Fmotor-Ff = m middot a
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
15
Resolucioacute de problemes
Esquema de les forces que actuen
Descomposicioacute de les forces en la direccioacute x (tangencial -la del moviment) i en la direccioacute y (normal o perpendicular)
Suma de forces en la direccioacute normal Cagravelcul de la Normal
Cagravelcul de la Forccedila de fregament (sempre en contra del sentit del moviment)
Segona llei de Newton en el sentit del moviment tenint com a sentit positiu aquell en el qual en mogravebil comenccedilaragrave a moures
Cagravelcul de lacceleracioacute
Amb lacceleracioacute (constant) puc calcular la posicioacute velocitatenergia mecagravenica potencial i cinegravetica en qualsevol moment o en qualsevol punt
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
16
La forccedila normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
El cos adquireix un MRUA drsquoacceleracioacute
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
v
m
Fa =
N minus P = 0 rArr N = m g
F = m a
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
17
La forccedila normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfiacutecie horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v
α
F forccedila aplicada
Fx = F cos α Fy = F sin α
sum f = m a rArr F = m aix xx x
sum f = m a rArr N + F minus P = 0iy yy
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
m
Fax =
N = P- Fy
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
18
La forccedila normal-3
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
N = Py
Y
XN
Pxα
Py
P = m gα
v o = 0
Px = mg sin α Py = mg cos α
sum f = m a rArr P = m aix xx x
mg sin α = m a x a = g sin αx
sum f = m a rArr N - P = 0iy y yv
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Sense forces externes
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
19
La forccedila normal-4
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
rArrsum f = m a rArr N minus P = 0iy y y N = Py
Lrsquoacceleracioacute del cos seragrave
YX
N
Pxα
Py
P = m gα
v
F
Per a que el cos pugi F gt P x
Px = mg sin α Py = mg cos α
ix xx x
mg sin α = m a xF minus
sum f = m a rArr F minus P = m a
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax minus=
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
20
La forccedila normal-5
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
v
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F + mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr F + Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N minus Py = 0 rArr N = PyF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αsin1
gmFm
ax +=
Px
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
21
La forccedila normal-6
Cossos sobre una superfiacutecie inclinada
Amb forces externes
Y
XN
αPy
P = m gα
F
Px = mg sin α Py = mg cos α
F cos β minus mg sin α = m ax
Σfix = m ax rArr Fx minus Px = m ax
Σfiy = m ay rArr N +Fyminus Py = 0 rArr
N = Py- Fy= mg cos α-F sin βF forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
( )αβ sincos1
gmFm
ax minus=
Px
FxFy
vFx = F cos β Fy = F sin β
β
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
22
La tensioacute
Forccedila que experimenten les cordes quan srsquoestiren en aplicar una forccedila com per exemple un pes
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
23
Forccedila de fregament-1
micro le microc e max
Coeficient de fregament cinegraveticbull
El coeficient de fregament estagravetic eacutes sempre meacutes gran que el dinagravemic
X
Y v
F
N minus P = 0 rArr N = P = m g
F minus F = m af
F = micro Nf
rArr F minus micro N = m a x
P = m g
N
Ff
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
)(1
gmFm
a microminus=
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
24
YX
N
αPy
P = m gα
v
Ff
yN minus P = 0 rArr N = P = m g cos α
y
ma = ( F minus mg sin α minus micro mg cos α )1
fF = microm g cos αF minus P - F = m ax f x
F minus P minus microm g cos α = m ax
Px
F
F forccedila aplicada
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Forccedila de fregament-1
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
25
Cal seguir els seguumlents passos
1-Elegir un sentit logravegic del moviment Si al final lrsquoacceleracioacute obtinguda eacutes negativa significa que el sentit correcte eacutes el contrari i caldragrave fer de nou els cagravelculs
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paralmiddotleles ni perpendiculars al desplaccedilament del cos Despreciar les politges en els cagravelculs
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les que van en contra
4-Si hi ha varis cossos units cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos per separat posant per cada cos una equacioacute on nomeacutes hi hagi les forces directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direccioacute amb que es mou el cos
5-El sistema drsquoequacions obtingut es resolt fagravecilment sumant totes les equacions
Cossos units
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
26
Cossos units-1 Magravequina drsquoAtwood
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
27
Cossos units-2
Cos 1
Cos 2
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
28
Cossos units-3
Cos 1
Cos 2
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
29
Dinagravemica del moviment circular
rarrv1rarr
Fc
rarrFc
rarrv2
rarrv3
rarrFc
rarrv4
rarrFc
R
vmam ncF
2
=sdot=
Forccedila centriacutepeta forccedila que cal aplicar a un cos perquegrave segueixi una trajectograveria circular
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
30
Dinagravemica del moviment circular
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
31
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
1) Cos amb corda
Fc = TN = mg
Eix Y
Eix X
TR
vm =
2
2) Cotxe
mgR
vm sdot= micro
2
Fc = Ff
N minus P = 0 rArr N = m g
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Ybull
Fc = Ff = m an
Forces en la direccioacute de lrsquoeix Xbull
Ff = micro NmicroRgv =
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
32
3) Cos amb corda (con)
Eix Y
Eix XR
vmTF xc
2
==
Ty = mg
Tx= T sinα
Ty = T cos α
gmcosTR
vmsin T
2
=α
=αRg
vtg
2
=α
4) Cotxe amb peralt
Eix Y
Eix X
Ny = mg
Nx= N sinαR
vmNF xc
2
==
Ny = N cos α
Rg
vtg
2
=α
Dinagravemica del moviment circular horitzontal
gmcosNR
vmsin N
2
=α
=α
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
33
Dinagravemica del moviment circular vertical
R
vmmgTFc
2
=minus=
Rv
mTFc2
==
R
vmmgTFc
2
=+= V min quan T=0
Rgv =
T seragrave magravexima
Punt baix A
Punt alt B
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
34
Srsquoanomena quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa drsquoun cos per la seva velocitat
rarrrarr
= v middot m p
Eacutes el producte drsquoun escalar positiu (massa) per un vector (velocitat) Eacutes per tant un altre vector amb la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector velocitat
En el SI srsquoexpressa en kgmiddotmmiddots-1
m
v p
Quantitat de moviment
Definicioacute
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
35
Relacioacute amb la forccedila resultant
Relacioacute entre la forccedila resultant constant aplicada a un cos i la seva quantitat de moviment
ΔtpΔ
F F
rarrrarrrarr
=sum=ammiddot F
=sum
tv
a a m ∆∆==
Si lrsquoacceleracioacute eacutes constant
Substituint( )
tp
tp - p
t
vm - vm
tv-vm
tv
mmiddot F ooo
∆∆=
∆=
∆=
∆=
∆∆=sum
Quantitat de moviment
2ordf llei de Newton
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
36
Lrsquoequacioacute anterior eacutes una forma alternativa drsquoenunciar la segona llei de Newton El seu interegraves radica en quegrave
ΔtpΔ
F
rarrrarr
=sum
Srsquoacosta meacutes a la formulacioacute original de Newton
Eacutes vagravelida tant per a la mecagravenica clagravessica com per a la relativista
La resultant de totes les forces aplicades a un cos eacutes igual al quocient entre la variacioacute de la seva quantitat de moviment i lrsquointerval de temps transcorregut
Quantitat de moviment
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
37
Conservacioacute de la quantitat de moviment drsquouna partiacutecula
Lrsquoequacioacutetp
F∆∆=sum
rarrrarr
constant p 0 p 0 tp
0 F si =rarr=∆rarr=sum∆∆rarr=
rarrrarrrarr
permet formular
Si la forccedila resultant que actua sobre un cos eacutes zero la quantitat de moviment del cos es manteacute constant
Quantitat de moviment
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
38
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Lrsquoimpuls mecagravenic que una forccedila constant F doacutena a un cos eacutes el producte de la forccedila pel temps que hi actua
t middot F I ∆=rarrrarr
Eacutes una magnitud vectorial producte del vector forccedila per lrsquoescalar positiu ∆t Teacute per tant la mateixa direccioacute i el mateix sentit que el vector forccedila
En el SI el seu mogravedul srsquoexpressa en Nmiddots
Impuls mecagravenic
(La pilota canvia la direccioacute de moviment i el mogravedul de la velocitat Per tant varia la quantitat de moviment)
(Si acompanyem la pilota lrsquoimpuls eacutes major)
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
39
Considerem una forccedila constant F que actua un temps ∆t sobre un cos
Representem la forccedila en ordenades i el temps en abscisses
t
F
to t∆t
F
Lrsquoimpuls que proporciona la forccedila ve donat per la superfiacutecie del rectangle ombrejat
ombrejada Agraverea )t - (t middot F t middot F I 0 ==∆=
Impuls mecagravenic
Impuls mecagravenic drsquouna forccedila constant
Si la forccedila eacutes variable igualment lrsquoimpuls seragrave lrsquoagraverea sota la corba o recta
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
40
Lrsquoimpuls drsquouna forccedila eacutes lrsquoagraverea continguda sota la corba F-tLa forccedila eacutes constant
La forccedila eacutes variable
Una forccedila variable es pot substituir per una forccedila mitjana que provoca el mateix impuls (les agraverees sota els dos gragravefics soacuten iguals)
Impuls mecagravenic
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
41
Relacioacute entre lrsquoimpuls mecagravenic i la quantitat de moviment
m
vo v
∆t
F
deΔtpΔ
F
rarrrarr
= tmiddotF p ∆=∆
i com t middot F I ∆=rarrrarr
p I
∆=srsquoobteacute
En la deduccioacute anterior srsquoha suposat que la forccedila F eacutes constant i que el moviment eacutes unidimensional El resultat perograve pot extendrersquos a una forccedila variable i a un moviment tridimensional
Lrsquoimpuls mecagravenic proporcionat a un cos eacutes igual a la variacioacute que experimenta la seva quantitat de moviment
rarrrarrrarrrarr
∆== p p - p I 0
Impuls mecagravenic
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
42
Forces internes i forces externes
Les forces que actuen sobre un conjunt de n partiacutecules poden ser de dos tipus
1 Forces internes Soacuten les forces drsquointeraccioacute entre les partiacutecules
Poden ser gravitatograveries electrostagravetiques de contacte hellip
Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton) de manera que quan es considera el sistema de dues partiacutecules les forces internes srsquoanulmiddotlen
2 Forces externes Soacuten exercides per agents exteriors al sistema
Sistemes de partiacutecules
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
43
Conservacioacute de la quantitat de moviment
Considerem dos cossos que es troben aiumlllats del seu entorn Sobre el sistema de dos cossos no hi actuen doncs forces externes nomeacutes les forces internes drsquointeraccioacute
Forccedila que actua sobre el cos 1 (deguda a 2)tp
F 11
∆∆
=rarr
rarr
21 F - Frarrrarr
= rarr
Forccedila que actua sobre el cos 2 (deguda a 1)
tp
F 22
∆∆
=rarr
rarr
Segons la tercera llei de Newton
rarrt
p -
t
p 21
∆∆
=∆
∆rarrrarr
0 tp
tp 21 =
∆∆
+∆
∆rarrrarr
rarr
rarr 0 t
p p( 21 =∆+∆
rarrrarr)
rarr constant p p 21 =+rarrrarr
0 p p( 21 =+∆rarrrarr) rarr
m1
m2F1
F2
Sistemes de partiacutecules
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
44
Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol de partiacutecules i constitueix el principi de conservacioacute de la quantitat de moviment per a un sistema de partiacutecules
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de partiacutecules eacutes zero la quantitat de moviment del sistema es manteacute constant
sum =rarr=∆rarr=rarrrarrrarr
constant p 0 p 0 F exteriors
cte=+++=+++=rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrn21n21 vm vm vm p p p pon
Sistemes de partiacutecules
Per 2 cossos
vm vm vm vm 2211022011
rarrrarrrarrrarr+=+
Aplicacioacute xocs
Top Related