UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
DISEÑO DE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA DEL ESTUDIO
DE MATEMATICA EN LA
ENSEÑANZA MEDIA UTILIZANDO UN PROCESADOR
SIMBÓLICO
AUTORES:
ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS
DANIEL ENRIQUE PONCE DE LEÓN YÁÑEZ
BÁRBARA ELIZABETH QUILA MIRANDA
Profesor Guía:
Máximo González Sasso
Propósito:
Tesis para obtener el grado de
Licenciado en Educación de Física y
Matemática.
Santiago, Chile
2010
© 191774 ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS
DANIEL ENRIQUE PONCE DE LEÓN YÁÑEZ
BÁRBARA ELIZABETH QUILA MIRANDA
Se autoriza la reproducción parcial o total de esta obra, con fines
académicos, por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y cuando se incluya la cita bibliográfica del documento
DISEÑO DE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA DEL ESTUDIO DE
MATEMATICA EN LA ENSEÑANZA MEDIA UTILIZANDO UN PROCESADOR
SIMBÓLICO.
!
ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS
DANIEL ENRIQUE PONCE DE LEÓN YÁÑEZ
BÁRBARA ELIZABETH QUILA MIRANDA
Este trabajo de Graduación fue elaborado bajo la supervisión del profesor guía Sr. Máximo González Sasso del Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación y ha sido aprobado por los miembros de la comisión Calificadora, Sr. Juan Manuel Guajardo Rubilar y Sra. Gloria Verónica Peters Valencia.
_____________________________ Sra. Gloria Verónica Peters Valencia
Profesora Correctora
_____________________________ Sr. Juan Manuel Guajardo Rubilar
Profesor Corrector
__________________________ Sr. Bernardo Carrasco Puentes
Director (s)
_______________________ Sr. Máximo González Sasso
Profesor Guía
AGRADECIMIENTOS
Dedicado a mis padres y hermanos, quienes han aportado con su inmensa
paciencia y amor para que esta etapa llegue a su fin, apoyándome siempre en los momentos difíciles y
celebrando cada triunfo conseguido.
Gracias por el enorme sacrificio que han realizado
durante muchos años en pos de mi educación, enseñándome desde el momento mismo de nacer hasta el
día de hoy, aportando directamente a mi crecimiento como persona.
. A la familia y amigos, preocupados siempre de mi
progreso, entregando a cada instante aliento necesario para llevar a cabo este
enorme desafío.
A los profesores que contribuyeron a mi formación, entregando las herramientas
que me permitirán enfrentar los nuevos desafíos que trae esta nueva etapa.
Y a las personas maravillosas que conocí en este camino
con quienes compartí muchas experiencias que fortalecen el desarrollo profesional
Muchas Gracias
Elizabeth Barra Villalobos
AGRADECIMIENTOS
Veinte años de estudios que finalizan, los cuales sin la ayuda y apoyo de
muchos y muchas esto no hubiera sido posible, en estas pequeñas palabras
expreso mi gratitud a tan enorme tarea.
A toda mi familia, a mis padres y mi mama por esforzarse en muchos sentidos
para que tuviera la mejor educación, pero además por su apoyo constante,
cariño y por sobre todo la confianza que depositaron en mí, este triunfo es de
ellos también.
A mis hermanos por la ayuda recibida durante todos estos años, desde
enseñarme a leer, hasta simplemente comprenderme. A todos los profesores que dedicaron su tiempo para
entregarme los conocimientos y consejos para poder desenvolverme.
Seguramente serán el ejemplo que tendré en muchos momentos.
A mis amigos y compañeros que han pasado por mi vida,
por sus palabras de apoyo en momentos buenos y sobretodo en los malos.
Simplemente a cualquier persona que al enterarse de esto, que no haya
nombrado pero que sonría por mí. Muchas gracias.
Daniel Ponce de León Yáñez
AGRADECIMIENTOS
“Yo sé que mi Redentor vive, y al fin se levantará sobre el polvo”. Job 19:25
Con todo cariño dedico este trabajo de titulación a mi
familia: mi mamá, mi papá, mis hermanos, mis abuelas, quienes siempre me
apoyaron, no tan sólo en esta etapa, sino también en todos los años de estudio de
la carrera y de enseñanza escolar; mis papas me enseñaron a leer,
siempre me decían que tenía que hacer las tareas, me iban a dejar al bus en la
mañana, gracias a ellos pude surgir y seguir mis estudios.
A mi familia le debo estar hoy en estas instancias, en especial a Dios, que me
da entendimiento, fuerzas y vida, para ser un aporte en la sociedad
educacional.
A profesores y amigos, gracias por sus consejos en toda la carrera y también
quienes hicieron posible esta tesis.
Bárbara Quila Miranda
i
Tabla de Contenido
Resumen……………………………………………………………………… 1
Abstracts……………………………………………………………………….2
Introducción………………………………………………………………….. 3
1. Cambio concepción del aprendizaje escolar
1.1.- Escuela tradicional hacia la
enseñanza Constructivista……………………………………… 6
1.2.- Aprendizaje de la Matemática………………………………….. 9
1.3.- Facilitar el aprendizaje de la Matemática………………………11
1.4.- Utilización de T.I.C.s…………………………………………….. 12
1.5.- Procesador Simbólico…………………………………………… 14
2. Aprendizaje en el curriculum nacional
2.1.- Decreto 220………………………………………………………. 15
2.2.- Mapa de progreso……………………………………………….. 18
3. Metodología
3.1.- Presentación de la Encuesta………………………………….. 22
3.2.- Datos de los Colegios encuestados………………………….. 23
3.3.- Escalas de apreciación…………………………………………. 24
3.3.1.- Las Nuevas Tecnologías y su Globalización……….. 25
3.3.2.- Mi Relación con la Tecnología………………………… 29
3.3.3.- El uso de las NTIC´s en la escuela…………………… 37
3.4.- Preguntas……………………………………………………….. 44
ii
4. Diseño Curricular de propuesta didáctica de la enseñanza en el ámbito
de la selección temática.
4.1.- Consideraciones Generales de la propuesta didáctica………48
4.2.- Diseño Curricular de La Primera Unidad a tratar
Función Cuadrática…………………………………………………… 50
4.3.- Diseño Curricular de La Segunda Unidad a tratar
Función Exponencial…………………………………………………. 73
4.4.- Diseño Curricular de La Tercera Unidad a tratar
Función Logarítmica………………………………………………….. 91
5. Propuesta de Actividades en Maple 9.
5.1.- Consideraciones Generales…………………………………… 110
5.2.- Función Cuadrática correspondiente a
Tercer Año de Enseñanza Media…………………………………… 111
5.3.- Función Exponencial correspondiente a
Cuarto Año de Enseñanza Media…………………………………… 137
5.4.- Función Logarítmica correspondiente a
Cuarto Año de Enseñanza Media…………………………………… 174
Conclusión……………………………………………………………………. 197
Bibliografía…………………………………………………………………….203
Bibliografía en línea…………………………………………………………..205
Anexo 1.- Encuesta…………………………………………………………. 206
Anexo 2.- Glosario…………………………………………………………… 211
iii
ÌNDICE DE TABLAS
Cuadro 1. Propuesta de actividades para el estudio
de las características de la función cuadrática…………………….. 57
Cuadro 2. Propuesta de actividades para el
estudio del vértice y extremos de la función cuadrática……………….. 62
Cuadro 3. Propuesta de actividades para el análisis
de la traslación en la función cuadrática…………………………………. 66
Cuadro 4. Propuesta de actividades para el análisis del
discriminante de la ecuación cuadrática y su
relación con la función cuadrática…………………………………………71
Cuadro 5. Propuesta de actividades para el estudio
de las características de la función
exponencial…………………………………………………………………….80
Cuadro 6. Propuesta de actividades para el estudio de
las propiedades de la función exponencial y el Número e………………..83
Cuadro 7. Propuesta de actividades para el estudio
del sistema de ecuaciones exponenciales……………………………….. .87
Cuadro 8. Propuesta de aplicaciones para
la función exponencial……………………………………………………… .90
Cuadro 9. Propuesta de actividades para el estudio
de las características de la Función
Logaritmo……………………………………………………………………… 99
Cuadro 10. Propuesta de actividades para el estudio
de las propiedades de la Función Logaritmo…………………………….. 102
Cuadro11. Propuesta de actividades para la resolución de
las ecuaciones e inecuaciones que involucren logaritmos…………….. 105
Cuadro 12. Propuesta de actividades de aplicación
de la función logaritmo……………………………………………………… 108
iv
Cuadro 13. Tabla comparativa de la función exponencial……………… 148
Cuadro 14. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva……………. 165
Cuadro 15. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva……………. 166
Cuadro 16. Depósito en el interés compuesto…………………………… 168
Cuadro17. Depósito en el interés compuesto……………………………. 171
Cuadro 18. Tabla comparativa de la función logarítmica……………….. 190
v
Índice de Ilustraciones
Figura 1. Tecnología como herramienta de desarrollo…………………. 25
Figura 2. El uso de tecnologías genera cambios……………………….. 25
Figura 3. La implementación de TIC´s mejora calidad de vida………… 26
Figura 4. Las clases siguen el enfoque tradicional…………………….. 26
Figura 5. Nuevas exigencias impuestas por el uso de TIC´s………….. 27
Figura 6. Mayor conectividad gracia a la tecnología……………………. 27
Figura 7. Adquisición de nuevas competencias………………………… 28
Figura 8. Acceso a la información………………………………………… 28
Figura 9. La tecnología genera independencia…………………………. 29
Figura 10. Visión personal sobre el uso de tecnologías………………… 30
Figura 11. Utilización de TIC´s para la
adquisición de conocimientos……………………………………………… 31
Figura 12. Percepción sobre el uso de tecnología en el
quehacer cotidiano………………………………………………………….. 31
Figura 13. Dificultad en el aprendizaje de las TIC´s…………………….. 32
Figura 14. Confianza en el uso de las TIC´s……………………………… 32
Figura 15. Seguridad al usar aparatos tecnológicos…………………… 33
Figura 16. Necesidad de usar la tecnología……………………………… 34
Figura 17. Brecha social y la tecnología…………………………………. 35
Figura 18. Necesidad de usar la tecnología……………………………… 36
Figura 19. Adquisición de tecnologías en las escuelas…………………. 37
Figura 20. Contribución del uso de las TIC´s en el
proceso de enseñanza y aprendizaje…………………………………….. 37
Figura 21. Capacitación docente en el área de TIC´s…………………… 38
Figura 22. La escuela disminuye la brecha digital………………………. 39
vi
Figura 23. Cambios métodos de enseñanza
a partir de la incorporación de TIC´s al aula……………………………… 40
Figura 24. Existencia de recursos TIC´s en el aula…………………….. 41
Figura 25. Incorporación de TIC´s en el proceso de aprendizaje……… 41
Figura 26. Motivación docente se refleja en la
innovación de las clases…………………………………………………… 42
Figura 27. Disposición de incluir recursos TIC´s en el aula
por parte de los y las docentes……………………………………………..43
Figura 28. Mapa Conceptual Función Cuadrática………………………. 54
Figura 29. Mapa conceptual Función Exponencial……………………… 77
Figura 30. Mapa conceptual Función Logaritmo…………………………. 95
Figura 31. Trayectoria haz de luz de una bengala………………………. 112
Figura 32. Función f(x)=x2………………………………………………….. 114
Figura 33. Función f(x)=x2+2x+3…………………………………………… 118
Figura 34. Función f(x)=-4x2+7x+6………………………………………… 119
Figura 35. Monotonía de la función f(x)=x2+2x…………………………… 121
Figura 36. Traslación de la función f(x)=x2……………………………….. 125
Figura 37. Animación de la traslación
horizontal de la función f(x)=x2………………………………………………127
Figura 38. Animación de la traslación
vertical de la función f(x)=x2………………………………………………… 128
Figura 39. Animación de la traslación
vertical de la función f(x)=x2………………………………………………… 129
Figura 40. El ave se sumerge en el mar y sale nuevamente………….. 131
Figura 41. El ave toca en un punto el mar…………………………………132
Figura 42. El ave no se sumerge en el mar………………………………..133
Figura 43. Discriminante menor que cero………………………………….135
Figura 44. “El ajedrez y los granos de trigo”……………………………….139
Figura 45.Función Exponencial en puntos……………………………….. 140
vii
Figura 46. Base mayor que 1………………………………………………..141
Figura 47. Base mayor que 1………………………………………………. 141
Figura 48. Base entre 0 y 1………………………………………………….143
Figura 49. Base entre 0 y 1………………………………………………….143
Figura 50. Función Exponencial con base mayor que 1………………… 145
Figura 51. Función Exponencial con base entre 0 y 1……………………147
Figura 52. Reciprocidad de la Función Exponencial…………………….. 149
Figura 53. Corte de la Función Exponencial en el eje
de las Ordenadas……………………………………………………………. 150
Figura 54. Asíntota……………………………………………………………152
Figura 55. Conclusión de la reciprocidad de la función
Exponencial…………………………………………………………………. 153
Figura 56. Conclusión del corte de la función exponencial
en el eje de las ordenadas………………………………………………….. 154
Figura 57. Conclusión de la asíntota de la función exponencial……….. 155
Figura 58.Función Exponencial ex………………………………………… 158
Figura 59. Masa en función del tiempo………………………………….. 167
Figura 60. Interés en función del tiempo………………………………….. 171
Figura 61. Bacterias en función del tiempo………………………………. 173
Figura 62. Cuadrados de los primeros números naturales…………….. 176
Figura 63.Pares que se pueden escribir
como expresión exponencial………………………………………………. 177
Figura 64Curvas para base 2, 3 ,4 y 5……………………………………..179
Figura 65.Función acotada a [2,3]…………………………………………. 181
Figura 66. Acotación de función al punto y=17………………………….. 181
Figura 67.Curva de función logaritmo……………………………………... 183
Figura 68.Curva de función logaritmo cuya
base está comprendida entre 0 y 1…………………………………………184
viii
Figura 69.Curva de función logaritmo en que
base es mayor que 1…………………………………………………………185
Figura 70.Función logaritmo (Ejercicio)…………………………………… 186
Figura 71.Función logaritmo (Ejercicio)…………………………………… 187
Figura 72. Función logaritmo (Ejercicio)………………………………….. 188
Figura 73. Función logaritmo v/s Función Exponencial…………………. 190
Figura 74. Función logaritmo ponderada…………………………………. 192
Figura 75. Función logaritmo más una constante..………………………. 193
1
RESUMEN
Este seminario presenta una propuesta metodológica del estudio
específico de unidades correspondiente al estudio de funciones, utilizando el
procesador simbólico Maple en su versión 9.
El proceso de enseñanza-aprendizaje tiene que responder a los
constantes cambios en nuestra sociedad, y en el mundo actual, es necesaria su
adaptación a las TIC’s, como herramienta facilitadora del aprendizaje, en este
caso, matemático.
En base al Marco Curricular vigente este seminario entrega una
propuesta en específico de los niveles Tercero y Cuarto año de Enseñanza
Media para el subsector de Matemática, con una metodología cualitativa
considerando como referencia inicial las características presentes dentro del
sistema escolar chileno.
En base a lo anterior, este seminario, como validación adjunta una
encuesta realizada a una variedad de profesores para detectar falencias u otras
características, relacionada con el uso de TIC’s en su labor docente.
El diseño de esta Propuesta Metodológica consiste en tres unidades
especificas (función cuadrática, exponencial, y logarítmica) con un diseño
curricular y un marco referencial de los procesos de enseñanza aprendizaje
clase a clase, además de una variedad de actividades utilizando el software.
2
ABSTRACT
The teaching-learning process has to respond to the constant changes
in our society and in today's world, it is necessary to adapt ICTs as a of
facilitator learning tool.
This seminar presents a methodological proposal based on the Third
and Fourth secondary of the current Curriculum for the Mathematics subject,
using the symbolic processor Maple 9.
The design of this proposed method has to do with three specific units
(quadratic, exponential, and logarithmic) with a curriculum desing and a
framework of teaching-learning processes class to class, besides a variety of
activities using the software.
Keywords: Maple 9, proposal, math, symbolic processor.
3
INTRODUCCIÓN
El proceso de enseñanza-aprendizaje ha sido objeto de investigación
por parte de los educadores, generando así diversas teorías, pasando de la
escuela tradicional hasta las corrientes pedagógicas contemporáneas, las que
buscan responder a las nuevas necesidades presentes en la sociedad y el
nuevo mundo.
Los conceptos de mundialización y globalización se han hecho
presentes en la actual sociedad chilena debido a las relaciones bilaterales que
se han iniciado con diversas naciones, como son los Tratados de Libre
Comercio, y con ello, llegan a Chile nuevas visiones y paradigmas que afectan
culturalmente nuestra sociedad, además de las nuevas tecnologías, y por ende,
oportunidades de crecimiento y desarrollo, lo que se traduce en un cambio en
todo tipo de organizaciones.
La escuela no puede excluirse de este cambio, puesto que es el
principal lugar donde se transmite información, y la influencia de la globalización
radica en la cultura, las nuevas tecnologías y el rápido acceso a la información,
por lo que la escuela debe considerar estas variables dentro de la práctica
docente.
Es por este motivo que se define como objetivo diseñar una propuesta
metodológica del estudio matemático para la Enseñanza Media utilizando un
procesador simbólico.
4
Para cumplir con el objetivo, consideraremos a estudiantes y docentes
que ya conocen las propiedades del procesador a nivel usuario, es decir, que
han trabajado anteriormente con dicha herramienta, además el establecimiento
cuenta con la licencia para trabajar y por ello, su laboratorio de computación
tiene los equipos con el procesador incluido.
Se ha dividido el trabajo en cinco capítulos, en el primero se analizan
los cambios que han surgido en la concepción del aprendizaje escolar y cómo
se incorporan herramientas que facilitan el proceso formativo de los
estudiantes; y se añade un historial del procesador simbólico.
Seguido de ello, en el capítulo dos, se describirá el Marco Curricular
que rige la educación en Chile, entiéndase Decreto 220 y los nuevos Mapas de
Progreso, donde se relacionan los Contenidos Mínimos Obligatorios y los
Objetivos Fundamentales con las actividades propuestas, además de identificar
los aprendizajes esperados presentes en la matriz curricular, y por último
reconocer los criterios presentes en los Mapas de Progreso, los cuales facilitan
la evaluación de los aprendizajes que obtienen los estudiantes al desarrollar las
actividades propuestas.
En el tercer capítulo, se trabaja con una metodología cualitativa que
permite conocer las opiniones y la relación de los(as) docentes del subsector de
matemática con respecto a la utilización de las TIC´s en el aula, como la
influencia que ésta tiene en la sociedad actual, para esto se diseñó una
encuesta, la que recoge la información antes señalada, a través de tres escalas
de apreciación y algunas preguntas de desarrollo, dejando como variable a
considerar en este instrumento la edad de los(as) participantes.
5
En el cuarto capítulo, se diseñará una propuesta de actividades para
que los y las docentes utilicen en sus respectivas clases, las cuales contarán
con las planificaciones para tres unidades, que son: Función Cuadrática,
Función Exponencial y Función Logarítmica, además de un Marco Referencial
del Proceso de Enseñanza Aprendizaje para cada clase.
Por otra parte, en el capítulo quinto se muestra la propuesta de
actividad para que sea aplicada en una clase utilizando el procesador simbólico.
Finalmente, se describen las conclusiones obtenidas al realizar las
actividades y analizar la coherencia y pertinencias de éstas con el Marco
Curricular. Se identifican las ventajas y desventajas de la utilización de
herramientas que faciliten el aprendizaje matemático, específicamente el uso de
procesadores simbólicos. Se invita a los lectores, especialmente a los docentes
a incorporar TIC´s a la práctica pedagógica para la formación de los
estudiantes y así desarrollar competencias que son necesarias para su
participación activa en la sociedad actual y considerar la incorporación de
procesadores simbólicos y/o software educativos dentro de la formación del
futuro docente.
Por otro lado, debemos reconocer primero que los jóvenes están
estimulados desde temprana edad por el uso de las tecnologías, ya que en
todos los hogares existen televisores, computadores, videos juegos, etc., luego
ellos requieren de nuevas estrategias en cuanto a la enseñanza que deben
emplear los docentes para generar aprendizajes significativos y para la vida, es
decir que puedan utilizar en su vida cotidiana.
6
Capítulo 1: Cambio de la concepción del aprendizaje escolar
1.1.- Escuela Tradicional hasta la Enseñanza Constructivista.
A partir de la enseñanza tradicional en los colegios, se han construido
diversas metodologías de enseñanza-aprendizaje en el aula, gracias a
investigaciones y estudios con varios autores, ya que se busca avanzar en la
construcción de un nuevo Modelo o Método Pedagógico, centrado en la
edificación de conocimientos destinados al alumno(a).
a) Teorías Conductuales del Aprendizaje
Enfoque Tradicional: Teoría Conductual y Humanista.
Tradicional se entiende como el método para disciplinar la mente.
Entre los años 1960 y 1980 aparece la psicología educacional, en la cual
existen dos corrientes: Conductivismo y Humanista.
En la Teoría Conductista se enfatiza el aprendizaje como un cambio en
la conducta. A nivel educativo implica el énfasis en los resultados y no en el
proceso. Es lineal, simplista, no sirve para esta época, ni para resolver
problemas de aprendizaje actual.
En la Teoría Humanista se valora el papel de la experiencia como
fuente de aprendizaje, es decir, es un proceso de integración de la experiencia
personal en el aprendizaje, a partir de la reflexión.
La teoría conductual aparece con estudios que se realizaron con
animales, con el psicólogo Pavlov, años más tarde, 1960, otros psicólogos
7
empezaron a aplicar técnicas conductuales en clínicas y centros educacionales,
y también se realizaron experimentos sobre la conducta observable.
Principios del Conductismo:
1.- La conducta está manejada por leyes.
2.- La conducta es un fenómeno observable.
3.- Las conductas adaptativas son adquiridas a través del aprendizaje.
4.- Las metas conductuales han de ser concretas e individualizadas.
En suma, la teoría conductual se define como un cambio permanente
en el comportamiento del ser humano.
En el año 1960, se presenta la Teoría de aprendizaje, que trae consigo
dos corrientes pedagógicas: Corriente Tecnológica y Corriente Personalizada,
que tenían como base la teoría Humanista.
A partir de los años 1990, se avanza hacia otra perspectiva: el
aprendizaje por reestructuración.
b) Teorías Constructivistas del Aprendizaje
Desde 1970, se comenzó a cambiar la disposición de la psicología
hacia una orientación cognitivista. Más enfocado al funcionamiento de
procesos mentales y en los aspectos cognitivos, sociales y afectivos del
comportamiento humano. Así nació la teoría constructivista que, está orientada
a estudiar los procesos de pensamiento, percepción, memoria, atención,
razonamiento que tiene el ser humano. Esto ayudó a estudiar no tan solo la
conducta humana, sino que también cómo procesa la información el ser
humano; porque hubo un cambio en la estructura cognitiva.
8
Se pueden diferenciar diversos modelos dentro de la teoría
constructivista:
a.- Teoría Cognitivista
b.- Aprendizaje Significativo
c.- Teoría Cognitivo – Social del Aprendizaje
Teoría Cognitivista: Jean Piaget afirma que el conocimiento no se
adquiere solamente socializando, sino que también el conocimiento se genera
en una construcción mental que realiza el individuo, a partir del funcionamiento
de procesos de asimilación, acomodación y equilibración. Es decir, el
aprendizaje se produce en el individuo, cuando se promueve un desequilibrio
entre asimilación y acomodación; cuando ingresa la información se produce un
desequilibrio en el ser humano (asimilación), porque la asimilación de nueva
información está modificando y transformando las estructuras mentales
(acomodación); luego se ingresa a la etapa de equilibrio, en donde el sujeto ya
aprendió la nueva información y existe un equilibrio entre asimilación y
acomodación.
Aprendizaje Significativo: Gracias al autor D. Ausubel. La teoría
constructivista está centrada en la persona, según Ausubel los aprendizajes o
experiencias previas deben ir ligadas a los contenidos nuevos, para que se
genere la construcción de aprendizaje, mediante el Aprendizaje Significativo, es
decir, que para el individuo el aprendizaje es significativo cuando puede enlazar
sus ideas previas con las nuevas, que es totalmente distinto al aprendizaje
memorístico, en el cual no se integra la comprensión, sino que utiliza la
memorización. Tipos de Aprendizaje Significativo: Aprendizaje
Representacional, Aprendizaje de Conceptos y Aprendizaje Proposicional.
9
Teoría Cognitivo – Social del Aprendizaje: Con la ayuda del
psicólogo L. S. Vygotsky que, planteó la relación entre aprendizaje y desarrollo,
considerando que éstos intervienen mutuamente, se acuña el concepto de:
Zona de Desarrollo Próximo. La Zona de Desarrollo Próximo es la distancia
que existe entre el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad que
tiene el individuo de actuar sólo, y el nivel de desarrollo potencial, determinado
por la capacidad de actuar bajo supervisión.
1.2.- Aprendizaje de la Matemática.
En las aulas lo que se requiere es entregar educación de calidad, para
esto recurrimos al constructivismo, y así trabajar con los alumnos(as) para
desarrollar habilidades de aprendizaje significativas y construir conocimientos
necesarios en la sociedad actual.
Este trabajo está enfocado a crear actividades matemáticas, las que
vamos a enfocar en el ámbito de la enseñanza constructivista en el área misma
de la matemática.
La matemática juega un rol importante, en el desarrollo del alumno(a),
no sólo en el aula, sino también en la vida del ser humano ya que siempre ha
estado ligada a la matemática; se ha utilizado desde tiempos antiguos en los
gobiernos como sistema de contabilización, en censos, para resolver problemas
de la vida diaria, en el manejo de información. Tal como dice Travels (1991):
“Las competencias matemáticas son un requisito esencial en la preparación de
la vida del ser humano”, para desenvolverse de manera integrada en la
sociedad, desarrollar el pensamiento lógico, la adquisición de estrategias
cognitivas y destrezas intelectuales.
10
Revisemos algunas implicancias constructivistas en el área de las
matemáticas, es decir, las bases del constructivismo:
• El conocimiento matemático es construido, a través de un proceso
de abstracción reflexiva.
• Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de
construcción.
• Las estructuras cognitivas están en desarrollo continuo. La
actividad con propósito induce la transformación de las estructuras
existentes1.
El aprendizaje de la Matemática en las aulas, lleva a que el o la
estudiante aplique conocimientos previos y nuevos en diferentes retos o
problemas, y que también logre asociarlos con situaciones cotidianas, cercanas
a su entorno, para hacer más fácil la incorporación del aprendizaje, ya que “El
curriculum de Matemática tiene como propósito que los alumnos y alumnas
adquieran los conocimientos básicos de la disciplina, a la vez que desarrollen el
pensamiento lógico, la capacidad de deducción, la precisión, las capacidades
para formular y resolver problemas y las habilidades necesarias para modelar
situaciones o fenómenos”2 para mejorar el uso de conceptos matemáticos y
comprender fenómenos.
1 Kilpatrick, Gómez y Rico (1995)
2 Mapas de Progreso de Aprendizaje de Matemáticas, Gobierno de Educación.
11
1.3.- Facilitar el Aprendizaje de la Matemática
Para facilitar el aprendizaje, el o la docente debe ser un ente activo, en
búsqueda de nuevos ejercicios y problemas, debe realizar una clase interesante
para sus alumnos(as), ya que la manera de enseñar está cambiando, ahora el
profesor que desarrolla competencias en los estudiantes, trabaja con ellos, no le
entrega el material listo sino que promueve que el o la estudiante construya su
conocimiento, indague, investigue, etc.
Para crear una clase hoy, con el fin de que el alumno desarrolle
competencias y habilidades de aprendizaje, se requiere más que una clase en
la cual el docente expone los contenidos y da instrucciones, sino también que
genere actividades que incorporen nuevas técnicas de aprendizaje, y añadir las
llamadas T.I.C.: Tecnologías de Información y Comunicación a la enseñanza de
la matemática.
En la actualidad, los(as) docentes de matemáticas tienen a disposición
herramientas, con las cuales pueden realizar sus clases de forma dinámica,
interesante para los y las estudiantes, con tal de facilitar un aprendizaje
significativo, trabajando con guías construidas por el profesor, ayudándose con
los textos de estudio y con los planes y programas, utilizando recursos
tecnológicos como: video, computador, internet, plataformas de moodle en
Internet, entre otros.
12
1.4.- Utilización de las T.I.C.s.
Cada vez los y las alumnos (as) llevan a sus colegios aparatos
tecnológicos más avanzados, con las últimas versiones, incorporándolos a su
vida. También los colegios insertan estas tecnologías con uso educativo.
Entonces la práctica pedagógica debe cambiar en torno a los avances
tecnológicos que surgen en el mundo, creando ambientes de aprendizaje más
atractivos, más relacionados a los que viven los(as) estudiantes, para generar
construcción del conocimiento en el alumno, con aprendizajes activos,
autónomos y colaborativos.
Pero al hacer uso de estas tecnologías, el docente debe poseer las
siguientes competencias esenciales para el uso efectivo de las TIC como
herramientas de aprendizaje:
• Competencias Pedagógicas: que le permitan asumir el proceso de
enseñanza – aprendizaje, de forma continua, sistemática y organizada.
• Colaboración y trabajo en red: el profesor facilita la colaboración y
el trabajo en red, entre comunidades locales y mundiales.
• Aspectos sociales: planifica y promueve un uso adecuado y
seguro de las TIC.
• Aspectos Técnicos: selecciona los recursos tecnológicos más
adecuados para trabajar en clases.
13
Así las TIC son utilizadas “como herramientas de apoyo al aprender;
como medios de construcción que facilitan la integración entre lo conocido y lo
nuevo; como extensoras y amplificadoras de la mente, para expandir las
potencialidades del procesamiento cognitivo y facilita la construcción de
aprendizajes significativos; como herramientas que participan en un conjunto
metodológico orquestado, con mapas conceptuales, proyectos, trabajo
colaborativo”.3
El uso de las TIC tiene como objetivos que los estudiantes desarrollen
competencias, mejoren las habilidades de investigación, sea una verdadera
ayuda en la sala de clases, y que logren aprovechar las ventajas que trae
consigo el uso de estas. Pero se deben establecer criterios sobre su uso
adecuado, saber cuáles ocupar. Existen distintos tipos de procesadores,
software para distintos ámbitos de la enseñanza.
3 Propuesta Pedagógica Basada en el Constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la Enseñanza y el
Aprendizaje de la Matemática”, Sandra Castillo.
14
1.5.- Procesador Simbólico.
Para realizar este trabajo utilizamos un Procesador Simbólico.
Maple 9 es una herramienta matemática, que realiza en forma
electrónica: cálculos, texto, gráficos, imágenes, etc.
Maple 9 se originó en 1981, por el Grupo de Cálculo Simbólico en la
Universidad de Waterloo, en Waterloo, Ontario, Canadá.
La nominación de su nombre se debe a que, Maple nació en Canadá, y
en la bandera de Canadá hay una hoja de arce, que en inglés se escribe Maple.
Hasta el momento existen 28 versiones de Maple, llegando a la versión
Maple 13. Se continúa trabajando en nuevas versiones.
El procesador Maple realiza cálculos que, van desde operaciones
básicas a cálculos de límites, derivadas e integrales en una y varias variables,
también realiza gráficos, animaciones, soluciona sistemas de ecuaciones,
agrupa términos polinomiales, simplifica, desarrolla términos en serie, etc. Hay
que tener en cuenta que Maple es un procesador, como todos, sensible, es
decir, cuando se quiere ejecutar alguna operación, las indicaciones deben ser
precisas y sin errores de escritura. Este procesador es útil también en el ámbito
educacional, permitiendo que los usuarios exploren y resuelvan problemas
matemáticos, con mayor comprensión.
15
Capítulo 2: Aprendizaje en el Currículo Nacional
2.1.- Decreto 220
En el año 1998, se firma un decreto en el que se establecen
claramente los Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos
Obligatorios (CMO) tanto para la Educación General Básica como para la
Educación Media, lo que corresponde a lo mínimo que deben estudiar los
alumnos y alumnas chilenos, y así trabajar el problema de la equidad de la
educación.
Se entiende por Objetivos Fundamentales4, a las habilidades y
capacidades que los estudiantes deben lograr al finalizar cada año escolar y
constituyen el fin “que orienta al conjunto del proceso de enseñanza –
aprendizaje” (decreto 220,capitulo 1). Se distinguen dos tipos de objetivos: los
Objetivos Fundamentales Verticales (OFV) y los Objetivos Fundamentales
Transversales (OFT). Los primeros están relacionados directamente a los
niveles, demanda del aprendizaje y experiencias de cada sector y sub-sector
curricular de la Enseñanza Media. Además, dentro de los Objetivos
Fundamentales Verticales es necesario distinguir a los Objetivos Terminales,
que corresponden a los aprendizajes que los(as) alumnos(as) logran al finalizar
los cuatro años de escolaridad en Enseñanza Media, (pero que en el marco
curricular sólo se establecen para la Educación Técnico-Profesional).
Los OFT, se relacionan con el área formativa de los estudiantes y son
de carácter general y comprensivo. Estos objetivos incluyen cuatro
4 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de
Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago.
16
dimensiones, que son: Crecimiento y Autoafirmación Personal, Desarrollo del
Pensamiento, Formación Ética, Persona y Entorno.
Los Contenidos Mínimos Obligatorios corresponden “al conjunto de
saberes conceptuales y capacidades de desempeño práctico”, que incluyen
tanto el conocimiento como las aplicaciones prácticas, para cada sector y
subsector, además están presentes el conocimiento, las habilidades y las
actitudes que son necesarias que los(as) alumnos(as) logren durante el tiempo
que pertenecen al sistema escolar.
Otra característica importante de este Marco Curricular es la flexibilidad
que posee, ya que permite que los establecimientos diseñen sus propios planes
y programas de estudio, los cuales son presentados al Ministerio de Educación
para su posible autorización, donde se detallan los objetivos, contenidos,
actividades y evaluación que tienen como propósito articular las experiencias de
aprendizajes y ayudar al profesor a desarrollar una práctica docente que genere
significado a los contenidos.
En otro punto, el Marco Curricular se convierte en una herramienta útil
para los docentes y su práctica en aula, por el desglose de los contenidos que
se deben trabajar con los estudiantes. Es por esto que en el proceso de
planificación de unidades y/o clases, los profesores deben contextualizar los
objetivos, contenidos, evaluaciones y actividades a la realidad presente en cada
sala de clase, y tiene la posibilidad de agregar nuevas herramientas que
permitan realizar el proceso de enseñanza aprendizaje significativamente tanto
para los estudiantes como para el docente.
A partir de este punto, podemos relacionar el Marco Curricular a las
actividades propuestas en este trabajo, que se basa en el estudio de funciones
como: Cuadráticas, Exponenciales y Logarítmicas.
17
Se aprecia que existen distintos niveles, en este caso se trabaja para 3º
y 4º año de Enseñanza Media, para ambos niveles establecemos que los
Objetivos Fundamentales Transversales están relacionados con el ámbito del
Desarrollo el Pensamiento, los contenidos están dirigidos a las habilidades
referidas del pensamiento lógico y generalización, lo primero viene dado con las
actividades que buscan lograr aprendizajes a través de algoritmos,
procedimientos rutinarios, aplicar leyes y principios. En el caso de la
generalización, se propone que los estudiantes utilizando un procesador
simbólico puedan observar ciertos patrones que permitan modelar
comportamientos característicos de cada función, relacionarlas con
conocimientos que ya poseen o bien con otras disciplinas y poder así, obtener
sus propias conclusiones, además de aplicaciones que buscan explicar
fenómenos presentes en la vida cotidiana.
18
2.2.- Mapas de Progreso del Aprendizaje
El currículo que rige la educación chilena establece que los alumnos y
alumnas logren el aprendizaje de los conocimientos matemáticos específicos y
la adquisición de habilidades que permitan enfrentar los nuevos requerimientos
de la sociedad moderna, desarrollar el pensamiento lógico, la capacidad de
deducción, resolver problemas, modelar situaciones y fenómenos.
Actualmente se ha diseñado un documento llamado “Mapas de
Progreso del Aprendizaje”5, el donde se detallan las secuencias en las cuales
se debe desarrollar cada dominio o área que son fundamentales en la
formación de los estudiantes para cada sector curricular.
Los mapas de progreso constituyen un complemento al Marco
Curricular ya presente en el sistema educativo nacional, y pretende relacionar
el currículo con las evaluaciones, en otras palabras, entrega a los docentes,
orientaciones sobre los temas que son pertinentes evaluar además de los
criterios que permiten observar y cualificar el proceso de aprendizaje de los
estudiantes para determinar su progreso.
Los Mapas de Progreso de Aprendizaje consisten en 7 niveles desde 1º
Básico hasta 4º Medio (con excepción de inglés que cuenta con 5 niveles)6, en
los cuales se detallan los aprendizajes que deben obtener los estudiantes al
término de cada año escolar, por ejemplo en el nivel 1, están descritos los
aprendizajes que se esperan desarrollar en niñas y niños al final del 2º Básico,
y por otra parte, el nivel 7 comprende los aprendizajes para los estudiantes que
egresen.
5 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje. Sector Matemáticas.
Chile: Santiago. 6 Idem.
19
Además, los aprendizajes en matemática se organizan en cuatro
Mapas de Progreso, que son:
• Geometría7: describe el progreso de las competencias
relacionadas con la comprensión, medición y modelamiento de las formas,
transformaciones, la posición y el espacio.
• Números y Operaciones8: describe el desarrollo del concepto de
cantidad y de número y la competencia en el uso de técnicas mentales y
escritas para calcular y resolver problemas que involucran distintos tipos de
números.
• Datos y Azar9: describe el progreso de las habilidades para
organizar y representar información disponible, para describir y analizar
situaciones, hacer interpretaciones de sucesos en los que interviene el azar y la
incertidumbre
• Algebra10, describe el progreso de la capacidad para utilizar
símbolos en la representación de generalidades y el modelamiento de
situaciones y fenómenos así como también el desarrollo de la argumentación
matemática.
7 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Geometría, Sector
Matemáticas. Chile: Santiago. 8 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Números y Operaciones,
Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 9 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Datos y Azar.
Matemáticas. Chile: Santiago.Santiago 10
MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago.
20
Los cuatros mapas de progreso, constituyen el complemento al
currículo de matemática para los escolares chilenos, para efectos de este
trabajo detendremos el análisis en el Mapa de Progreso de Álgebra, puesto que
las actividades propuestas se basan en el lenguaje simbólico y en la explicación
de algunos fenómenos simples a partir del estudio de funciones.
Existen tres dimensiones en las cuales se puede evaluar el aprendizaje
que se relacionan entre sí, además de estar presentes en los mapas de
progreso anteriormente descritos. Estas son:
• Comprensión y uso del lenguaje algebraico11: Esta dimensión
hace referencia al desarrollo de las habilidades que permitan interpretar el
significado de las expresiones algebraicas, utilizando las convenciones del
algebra, representarlas de diversas maneras y usarlas en la designación de
números, variables, constantes u otros objetos matemáticos.
• Comprensión y uso de relaciones algebraicas12: Se refiere a la
habilidad para establecer relaciones entre expresiones simbólicas mediante
igualdades, ecuaciones, inecuaciones o funciones y a la capacidad para aplicar
las reglas y procedimientos que permitan transformarlas en expresiones
equivalentes.
11
Mineduc. Unidad de Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago 12
Idem
21
• Razonamiento Matemático13: Involucra habilidades relacionadas
con el reconocimiento y descripción de regularidades, el modelamiento de
situaciones o fenómenos y la argumentación matemática.
Las habilidades antes descritas se encuentran distribuidas en cada
mapa, y a su vez en cada nivel de aprendizaje; entregando a los y las docentes
ejemplos de tareas que desarrollan los y las estudiantes, considerando también
tipos de evaluaciones que permitan apreciar el proceso de aprendizaje.
13Mineduc. Unidad de Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago
22
Capítulo 3: Metodología
3.1.- Presentación de la Encuesta
Nuestra tesis consiste en diseñar actividades utilizando un software
educativo, para ello utilizaremos una metodología cualitativa, es decir, que se
analizará las características presentes en el sistema escolar chileno y su
relación con las TIC´s, para fundamentar y respaldar el trabajo, realizamos una
encuesta, destinada a docentes del sector de Matemática, con el objetivo de
identificar sus habilidades, sus conocimientos y el manejo que poseen sobre las
TIC´s., y la incorporación de éstas en los establecimientos educacionales.
La encuesta está destinada a docentes que ejercen su labor en la
región Metropolitana, la que cuenta con tres etapas. La primera tiene como
objetivo obtener información de los establecimientos.
En la segunda etapa, se encuentra una escala de apreciación que
consta de una serie de indicadores que pretende establecer las distintas ideas
sobre la relación con la tecnología, para finalizar en el tercer ítem, con
preguntas que buscan indagar sobre la metodología utilizada en el quehacer
docente en relación al uso de la tecnología.
La encuesta se realizó a 15 profesores y profesoras del área de
Matemáticas, de distintos establecimientos educacionales de la Región
Metropolitana, cuyos resultados de esta encuesta se analizarán a continuación:
23
3.2.- Datos de los Colegios encuestados
En esta etapa, la encuesta pretende recoger datos sobre el
establecimiento en el cual desarrollan la labor docente los profesores(as)
encuestados, donde se obtuvieron las siguientes coincidencias:
• Dependencia del Establecimiento: Particular subvencionado
• Modalidad de estudio: Científico - Humanista
• Tipo de Jornada: Completa
• Composición del alumnado por sexo: Mixto
Por otra parte, la variable a considerar en este sondeo es la Edad,
puesto que se contó con la presencia de diversas personas cuyas edades
fluctúan entre los 24 y 55 años, originándose distintas visiones sobre las TIC´s y
su relación con ellas.
El detalle de la edad de la población es el siguiente:
• 20 a 29 años: 6 personas
• 30 a 39 años: 4 personas
• 40 a 50 años: 3 personas
• 50 a 60 años: 2 personas
Se establece como variable la edad ya que permite recoger distintas
apreciaciones en cuanto a la utilización de TIC´s para el proceso de
aprendizaje, específicamente si los y las docentes encuestadas las incorporan
dentro de su labor pedagógica.
24
3.3.- Escala de Apreciación
Al o la docente se le pide contestar tres escalas de apreciación
marcando su calificación personal.
Cada escala construida tiene como finalidad identificar la opinión de los
y las docentes con respecto a tres ámbitos relacionados con el uso de TIC´s,
que son:
• Las Nuevas Tecnologías y la Globalización
• Mi relación con la Tecnología
• El Uso de las NTIC´s en la escuela.
Para cada indicador, los encuestados y encuestadas contarán con tres
opciones representadas por un número, cuales son:
• Totalmente de acuerdo (3)
• De Acuerdo (2)
• Medianamente de Acuerdo (1)
• En Desacuerdo (0)
25
3.3.1.- Las Nuevas Tecnologías y su Globalización
a) La tecnología es una herramienta que permite desarrollo en el país.
!
Figura 1. Tecnología como herramienta de desarrollo
En un 60%, los y las docentes están totalmente de acuerdo con que la
tecnología es una herramienta que permite el desarrollo del país. El 33% está
de acuerdo, y existe aproximadamente un 7% que esta medianamente de
acuerdo con el indicador.
b) El uso de las nuevas tecnologías generan cambios en la sociedad.
Figura 2. El uso de tecnologías genera cambios
Aproximadamente, el 47% de los encuestados dice estar totalmente de
acuerdo con que el uso de las nuevas tecnologías genera cambios en la
sociedad. Mientras que el 33 % está de acuerdo y el 13% medianamente de
acuerdo.
26
c) Mejora la calidad de vida de las personas con la implementación de TIC`s.
Figura 3. La implementación de TIC´s mejora calidad de vida
El 40% de los encuestados, señala que está de acuerdo con que la
tecnología mejora la calidad de las personas con la implementación de las
Nuevas Tecnologías de Información y Comunicación. Mientras que el 47% está
totalmente de acuerdo, y otro 13% está medianamente de acuerdo, lo que
demuestra que la totalidad de los y las encuestadas están de acuerdo con
implementar TIC´s a la labor docente y que muchos ya utilizan en sus clases
pero de manera esporádica.
d) A pesar de los cambios tecnológicos en Chile, las clases siguen el enfoque
tradicional
!
Figura 4. Las clases siguen el enfoque tradicional
!
El 30% de los encuestados, señala que está de acuerdo con que las
cosas siguen igual a pesar de los cambios tecnológicos; el 50% dice que está
totalmente de acuerdo; y el 20% dice que está medianamente de acuerdo.
27
e) Las TIC`s impondrán nuevas exigencias para la sociedad chilena.
!
Figura 5. Nuevas exigencias impuestas por el uso de TIC´s
En el gráfico se muestra que el 60% de los encuestados, está de
acuerdo con que las TIC´s impondrán nuevas exigencias para la sociedad
chilena. Mientras que el resto está totalmente de acuerdo, por lo que se
requieren de competencias específicas para el desarrollo de las personas
dentro de la sociedad del conocimiento.
f) El uso de las nuevas tecnologías permite la conexión con otras naciones.
!
Figura 6. Mayor conectividad gracia a la tecnología.
Se puede apreciar del gráfico que un importante 70% de los
encuestados, señala que está totalmente de acuerdo con que la utilización de
las Nuevas Tecnologías permite la conexión con otras naciones. El resto está
de acuerdo y por lo mismo es necesario implementar las TIC´s dentro de la
escuela.
28
g) Las personas deben adquirir competencias para desarrollarse de manera
óptima en la Sociedad.
!
!
Figura 7.Adquisición de nuevas competencias
Según lo observado, un 60% de los encuestados estima que el
desarrollo de manera óptima en la sociedad se logra mediante la adquisición
de competencias, y el 40% está de acuerdo.
h) Se tiene acceso rápido a la información.
!
Figura 8. Acceso a la información
Según el gráfico, el 80% de los encuestados rotula que está totalmente
de acuerdo que la tecnología permite rápido acceso a la información, el 13%
está de acuerdo y 7% restante está medianamente de acuerdo.
29
3.3.2.- Mi Relación con la Tecnología
a) La tecnología me permite ser independiente.
Figura 9. La tecnología genera independencia
En el gráfico anterior observamos que el 47% de los docentes
encuestados están completamente de acuerdo y el 33% de acuerdo al hecho de
la independencia que genera la tecnología para la labor en el aula, ya que
permite generar sus materiales, guías, clases, trabajo de los estudiantes ritmo
propio., además del 7% que están medianamente de acuerdo. El 13% restante
estima que la tecnología quita independencia en el campo profesional, puesto
que se requiere de otros actores de la escuela y ciertos recursos que no todos
los profesores y profesoras del país cuentan en sus respectivos lugares de
trabajo.
30
b) Me entretengo al utilizar tecnologías.
Figura 10. Visión personal sobre el uso de tecnologías
En el gráfico se observa que el 40% dice estar totalmente de acuerdo
con el indicador que busca captar la percepción del encuestado o encuestada
sobre el bienestar que le provoca la utilización de la tecnología, el 30% está de
acuerdo y el 30% restante está medianamente de acuerdo, por lo que se
observa una visión positiva sobre el uso de tecnologías por parte de los y las
encuestadas y en consecuencia, existe predisposición positiva de utilizarlas en
las salas de clases.
31
c) Utilizo las T.I.C.`s para adquirir conocimientos.
Figura 11. Utilización de TIC´s para la adquisición de conocimientos
En este caso, los docentes encuestados en su totalidad utilizan las
herramientas TIC´s para adquirir conocimientos, que permitan mejorar su
práctica en aula, además de buscar material, nuevas metodologías, etc. El
gráfico arroja que el 47% está totalmente de acuerdo al igual que aquellos
docentes que están de acuerdo, el 33% está medianamente de acuerdo y el
20% restante está medianamente de acuerdo.
d) Me complica utilizar tecnologías en mi quehacer cotidiano.
Figura 12. Percepción sobre el uso de tecnología en el quehacer cotidiano.
En el gráfico que observamos, ocurre que el 27% de los docentes
encuestados está de acuerdo, 53% medianamente de acuerdo con las
complicaciones que genera la utilización de tecnologías en el quehacer
pedagógico, y existe un 20% que no está de acuerdo con este indicador.
32
e) Es complicado aprender a utilizar las nuevas tecnologías.
Figura 13. Dificultad en el aprendizaje de las TIC´s
El 7% de los encuestados está totalmente de acuerdo con la existencia
de complicaciones en el aprendizaje de nuevas tecnologías, se agregan 33%
que está de acuerdo, 47% medianamente de acuerdo y 13% en desacuerdo.
f) No confío en las TIC`s porque fallan cuando se necesitan.
Figura 14. Confianza en el uso de las TIC´s
Existe 13% de los(as) docentes que están de acuerdo y 33%
medianamente de acuerdo, lo que significa que sienten desconfianza al utilizar
tecnologías en sus clases puesto que ocurren fallas técnicas provenientes por
la falta de mantención de los equipos y/o falta de inversión en recursos de
calidad. El 53% no se siente identificado con la expresión porque
constantemente utilizan recursos Tic’s en la preparación y ejecución de las
clases.
33
g) Siento miedo de echar a perder los aparatos tecnológicos.
Figura 15.Seguridad al usar aparatos tecnológicos
Este gráfico arroja que el 20% de los y las docentes encuestados están
de acuerdo y 60% medianamente de acuerdo con el temor que existe de utilizar
aparatos tecnológicos porque se pueden averiar, además tenemos el 20% de
los encuestados que no se sienten identificados con este indicador. Estos datos
pueden deberse a la edad de los encuestados puesto que existen muchos
profesores que son mayores y su relación con las tecnologías son de nivel
usuario en muchas ocasiones.
34
h) No necesito de la tecnología.
Figura 16. Necesidad de usar la tecnología
El 7% de los(as) encuestado(a)s siente que no es necesaria la
tecnología para su vida y su labor profesional, además 33% esta de acuerdo y
el 20% medianamente de acuerdo, pero el 40% no se siente representado. A
partir de dichos datos podemos observar que dentro de la muestra existe un
porcentaje elevado de docentes que piensan que la tecnología no es útil para la
práctica en el aula, y se debe principalmente a la diferencia de edad, mientras
más joven es el docente utiliza más recursos Tic’s en sus clases.
35
i) La tecnología aumenta las desigualdades sociales.
Figura 17. Brecha social y la tecnología
Un importante porcentaje de encuestados y encuestadas están de
acuerdo con el hecho de que la tecnología aumenta las desigualdades (60%)
dejando un 20% para quienes estén totalmente de acuerdo y otro 20% para los
que creen estar medianamente de acuerdo. Estos resultados se presentan
debido a la diferencia que existe en cuanto a recursos e infraestructura y su
repartición en la sociedad actual, por un lado, se pueden observar colegios en
donde hay escasa inversión en lo que respecta a las tecnologías. Esta situación
queda en evidencia ya que; en muchos de estos casos los establecimientos no
cuentan con laboratorios de computación y no existen equipos para cada
alumno(a), en cambio, se pueden observar colegios en donde se presenta la
situación contraria, es decir, que invierten en equipos de última generación con
aplicaciones y programas orientados al aprendizaje.
36
j) Utilizo internet para descargar música, conversar con otras personas, jugar,
etc.
Figura 18. Utilización de las TIC´s
En el siguiente gráfico observamos el porcentaje mayor de docentes de
matemática (47%) que está de acuerdo con la utilización que se da a internet,
es decir que genera gran impacto en la comunicación, interacción entre
personas, etc., a la vez un 33% está medianamente de acuerdo con esta
afirmación mientras que los docentes en desacuerdo son 7% y 13% están
totalmente de acuerdo. Esto es consecuencia de la masificación de internet en
la sociedad chilena, además que históricamente el uso que se le da a esta
herramienta es de entretención, por lo mismo se debe aprender a utilizar
internet como un instrumento que permite un trabajo más agradable tanto para
los(as) estudiantes como para quienes ejercen como profesor, además que
permite tener contacto directo con los y las estudiantes a través de plataformas,
etc.
37
3.3.3.- El uso de las NTIC´s en la escuela
a) La escuela debe adquirir aparatos tecnológicos.
!
Figura 19. Adquisición de tecnologías en las escuelas.
Según lo observado en el gráfico, el 73% de los encuestados (as) dice
estar totalmente de acuerdo con que los establecimientos educacionales deben
adquirir aparatos tecnológicos para su implementación en las aulas y en
laboratorios de computación. El 27% está de acuerdo.
b) El uso de las TIC`s contribuye al proceso de enseñanza y aprendizaje"!
!
Figura 20. Contribución del uso de las TIC´s en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Como se puede apreciar, todos los encuestados piensan que el uso de
las NTIC´s contribuye al proceso de enseñanza y aprendizaje en las aulas,
solamente que el 60% de ellos está totalmente de acuerdo, y el restante 40%
está de acuerdo.
38
c) El sistema educativo se preocupa de capacitar a los docentes en cuanto al
uso de las TIC`s.
!
Figura 21. Capacitación docente en el área de TIC´s
Consta que el 41% de los encuestados (as), señala que está
medianamente de acuerdo con que el sistema educativo se ocupa de capacitar
a los docentes en cuanto a la utilización de las TIC´s. Un 33% dice estar
totalmente de acuerdo, otro 13% está de acuerdo, y otro 13% está en
desacuerdo. Se concluye que, en las escuelas no siempre capacitan a sus
profesores (as).
39
d) La escuela disminuye la brecha digital presente en la sociedad actual.
!
Figura 22. La escuela disminuye la brecha digital !
Se puede apreciar del gráfico que, el 46% está totalmente de acuerdo,
el 27% de los encuestados(as) dice estar de acuerdo con la afirmación, la
escuela estrecha la brecha digital actual instaurada en la sociedad, pero
también otro 27% está medianamente de acuerdo, de ello se desprende que
aun falta más aporte de los centros educacionales para fortalecer la
implementación de los instrumentos tecnológicos, con software educativos.
40
e) La integración curricular de las TIC`s requiere de un cambio integral de los
métodos de enseñanza"!
!
!
Figura 23. Cambios métodos de enseñanza a partir de la incorporación de TIC´s al aula.!
Un importante 60% de los encuestados (as) señala que está de
acuerdo que la integración curricular de las NTIC´s necesita de un cambio
integral de los métodos de enseñanza, mientras que el 40% restante está
totalmente de acuerdo. Se concluye que los(as) docentes están de acuerdo
que debe existir un cambio en los métodos de enseñanza-aprendizaje en el
aula incluyendo las TIC’s dentro del curriculum escolar, para una mejor
incorporación en las planificaciones de las clases.
41
f) Las escuelas cuentan con recursos tecnológicos necesarios para el
aprendizaje"!
!
Figura 24.Existencia de recursos TIC´s en el aula.
El 54% de los encuestados (as) señala que está medianamente de
acuerdo con que las escuelas cuentan con recursos tecnológicos necesarios
para el aprendizaje, el 33% señala que está de acuerdo, y el 13% está en
desacuerdo.
g) Se incorpora tecnologías en los procesos de aprendizajes.
Figura 25. Incorporación de TIC´s en el proceso de aprendizajes.
En el siguiente gráfico, se desprende que el 40% está de acuerdo con
que la tecnología se incorpora en los procesos de aprendizajes y el 60% esta
medianamente de acuerdo lo que significa que es necesario incluir cambio en la
práctica docente.
42
h) Profesores motivados con su trabajo innovan más en sus métodos de
enseñanza.
!
Figura 26. Motivación docente se refleja en la innovación de las clases.
!
El 73% de los y las docentes encuestadas están totalmente de
acuerdo con la idea sobre la motivación que se requiere para enfrentar la labor
docente y cómo afecta en la innovación, además el 27% restante están de
acuerdo con este indicador.
Lo más importante a rescatar, es el hecho de que todos coinciden que
la motivación genera cambios en los métodos de enseñanza, por lo que se
necesitan docentes que disfruten su labor además que sean creativos e
innovadores en la sala de clases y con ello se logren aprendizajes significativos
para los y las estudiantes.
43
i) Los docentes están dispuestos a utilizar recursos TIC`s en el aula.9
!
!
Figura 27. Disposición de incluir recursos TIC´s en el aula por parte de los y las docentes.
En cuanto a la disposición de los y las docentes encuestadas de utilizar
recursos TIC´s en el aula, se observa que el 40% está de acuerdo, el 27% de
los(as) encuestados(as) concuerdan medianamente con este indicador. El 33%
restante está totalmente de acuerdo, con lo cual podemos concluir que aún
existe reticencia a incluir elementos tecnológicos para el desarrollo de la labor
docente tanto para la enseñanza como para el proceso de aprendizaje, lo que
se atribuye a la falta de recursos en la escuela ya sean, tiempo, formación
docente y constante capacitación, etc.
!
44
3.4.- Preguntas
En esta etapa de la encuesta se construyen preguntas para los y las
docentes, con el fin de conocer más detalladamente su opinión sobre las TIC´s
y la labor docente.
3.4.1.- ¿Qué recursos utiliza en su labor docente?
Hay que considerar que todos los encuestados marcaron más de una
opción.
Todos los encuestados (as) ocupan Power Point y Computador, para
desarrollar sus clases. El 90% de los encuestados (as) utilizan proyector en el
aula. El 50% usa Internet para la búsqueda de información. El 40% ha utilizado
Reproductor (mp3, CD, mp4,etc.), en sus clases. El 40% ha ocupado algún
software educativo en sus clases. La herramienta menos utilizada por los
docentes corresponde al laboratorio de computación, representado por un
30%.
3.4.2.- ¿Cuáles son los software que más conoces?
Los software más conocidos por los encuestados (as) son: Cabri,
Geogebra y Maple. El software más utilizado por ellos es el Geogebra, para
Geometría.
Otros software educativos conocidos por los encuestados (as) son: Exp
Maple, Excel, Wires, Conejo Lector, y Graphmatica.
45
Existen profesores que no conocen algún procesador simbólico
(software educativo), por lo que sólo utilizan el computador y proyector para
algunas de sus clases.
3.3.3.- Si tuvieras que enseñar funciones en matemáticas, ¿utilizarías recursos
TIC´s? ¿Por qué?
Con respecto a esta interrogante existe unanimidad en las personas
encuestadas de utilizar recursos TIC´s para el estudio de funciones, puesto que
permiten visualizar claramente los conceptos matemáticos asociados a este eje
temático; por ejemplo se pueden verificar distintas situaciones con menor
tiempo como es el caso de la relación funcional de las variables para llegar así
la generalización de modo mas eficiente y eficaz.
Además permiten comprender y analizar las características de las
funciones, así como las aplicaciones para los modelos matemáticos que
explican los fenómenos que ocurren en la cotidianeidad de la vida.
Finalmente, los profesores y profesoras que fueron encuestados creen
que la utilización de recursos TIC´s en el aula genera aprendizajes de manera
más eficiente y eficaz puesto que se logran los objetivos planteados para las
clases con menor inversión de tiempo.
46
3.3.4.- ¿Qué se entiende por laboratorio?
Al igual que en la pregunta anterior, también existe unanimidad en las
personas encuestadas sobre la inclusión de laboratorios en las clases de
matemáticas, en cualquiera de sus ejes temáticos, en muchos casos ya utilizan
este sistema, especialmente para las unidades: ecuaciones de la recta,
geometría y más sobre triángulos rectángulos.
La inclusión de diversos laboratorios permite visualizar en forma
concreta el trabajo que se realiza en la clase usando la pizarra, conectando con
otros conocimientos, facilitando así el aprendizaje de los alumnos y alumnas ya
que se practican y ejerciten los contenidos; y con ello se desarrollan habilidades
de análisis necesarias para la comprensión de fenómenos y modelos
matemáticos.
En conclusión, la totalidad de los encuestados piensan y/o utilizan
algún tipo de laboratorio –incluyendo computadores- para enfrentar ciertas
unidades, además de la ganancia de tiempo, se logran aprendizajes de
importancia puesto que se trabaja con el “ensayo y error” ya que se permite
cambiar datos, estudiar los conceptos matemáticos para ciertas condiciones y
así llegar a la generalización a través de la inducción de los conocimientos
además de relacionarlos con los aprendizajes previos ya sean estos en
matemática como con los aprendizajes de otros sectores.
47
3.3.5.- ¿Es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC´s en las carreras de
pedagogía?
En cuanto a esta pregunta, la totalidad de las personas encuestadas
estiman que es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC´s en las carreras
de pedagogía, en especial el trabajo con software educativo necesario para
desarrollar un proceso de enseñanza y aprendizaje más innovador, de
acuerdo a los nuevos tiempos y necesidades de la sociedad actual.
También se deja en claro que el uso de las TIC´s no debe reemplazar
el trabajo directo del profesor en el aula, sólo son herramientas en pos del
aprendizaje significativo.
Finalmente, se debe considerar el perfeccionamiento en esta área de
los docentes de todos los sectores y sub-sectores, debido a que se encuentran
en un estado de constante cambio, además de insistir en la inversión en
recursos tales como computadores, software educativo, entre otros.
48
Capitulo 4
Diseño Curricular de propuesta didáctica de la enseñanza en el
ámbito de la selección temática:
4.1.- Consideraciones Generales de la propuesta didáctica.
Objetivo General:
Diseñar actividades metodológicas, para desarrollar en el aula, en el sub
- sector de Matemática, para el o la docente y para el alumno(a), utilizando un
procesador simbólico, correspondiente a contenidos de Tercer y Cuarto Año de
Enseñanza Media.
Nos referimos a contenidos sobre las siguientes Unidades:
1. Función Cuadrática correspondiente a Tercer Año de Enseñanza
Media;
2. Función Exponencial correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza
Media;
3. Función Logarítmica correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza
Media.
Cada unidad posee un diseño curricular, es decir, una planificación
general y clase a clase, para describir la propuesta. A continuación se presenta
el formato del diseño curricular que comprende cada propuesta:
49
Detalle de la Planificación
1.-.Curso.
2.- Sub-Sector.
3.- Nombre de la Unidad.
4.- Tiempo estimado para la Unidad.
5.- Registro de contenidos ejes temáticos y Presentación de la Unidad.
6.- Aprendizajes Esperados u Objetivos Específicos.
7.- Objetivos Fundamentales Verticales (O.F.V.)
8.- Objetivos Fundamentales Transversales (O.F.T.)
9.- Nivel de Mapa de Progreso.
10.- Mapa Conceptual de La Unidad.
11.- CLASE: planificación de cada clase, según el siguiente criterio:
11.1.- Breve Descripción de la actividad.
11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
11.3.- Detalles de Contenidos.
11.4.- Horas estimadas para la clase.
11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos.
b) Indicaciones al docente.
c) Programación de la clase.
50
4.2.- Diseño Curricular de La Primera Unidad a Tratar:
FUNCIÓN CUADRÁTICA
1.-.Curso: Tercer Año de Enseñanza Media
2.- Sub-Sector: Matemática
3.- Nombre de la Unidad: Función Cuadrática
4.- Tiempo estimado para la unidad: 10 horas pedagógicas.
5.- Registro de contenidos ejes temáticos:
• Función Cuadrática y sus gráficos correspondientes.
• Análisis de traslaciones
• Análisis del discriminante y su relación con las ecuaciones
cuadráticas.
• Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esta
función.
• Aplicaciones: movimiento parabólico, movimiento armónico.
• Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y
gráfica.
Presentación de la Unidad
Esta unidad está centrada en el estudio de la función cuadrática, de
modo que los estudiantes desarrollen tanto un trabajo cuantitativo como
cualitativo de dicha función y sus propiedades, además de contextualizar cada
tema con la cotidianeidad y así explicar fenómenos que comúnmente ocurren
en nuestro alrededor.
Luego, se continuará con el trabajo de la Función Cuadrática,
analizando sus propiedades y cómo estas explican fenómenos físicos como el
movimiento parabólico de un proyectil, entre otras.
51
En esta unidad, se enfatizará el trabajo de los alumnos y alumnas
utilizando un procesador simbólico, Maple 9, con el fin de incentivar el auto-
descubrimiento y deducción de las propiedades asociadas al estudio de la
función cuadrática, siempre guiados por el profesor. Además cada estudiante
creará un portafolio en el que guardará cada trabajo realizado y constituirá
evidencia del proceso de aprendizaje.
6.- Aprendizajes Esperados:
Los alumnos y alumnas:
• Conocen y utilizan procedimientos de cálculo algebraico con
expresiones en las que intervienen raíces cuadradas.14
• Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de
segundo grado; explicitan sus procedimientos de solución y analizan la
existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas. 15
• Conocen la parábola como un lugar geométrico, reconocen su
gráfica e identifican aquéllas que corresponden a una función cuadrática;
identifican algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos
ámbitos de las nuevas tecnologías. 16
• Identifican el potencial de las funciones estudiadas para reflejar
distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos. 17
14 MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 15 Ídem. 16 Ídem. 17 Ídem.
52
7.- Objetivos Fundamentales Verticales:
Los y las estudiantes, serán capaces de:
• Conocer y utilizar el concepto de Función Cuadrática, mejorando
el rigor y precisión de análisis, de formulación, verificación y/o
refutación de hipótesis.18
• Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de
problemas y análisis de situaciones concretas. 19
• Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus
propias capacidades. 20
• Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca
respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. 21
• Usar programas computaciones de manipulación algebraica y
gráfica.
18 MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 19 Ídem. 20 Ídem. 21 Ídem.
53
8.- Objetivos Fundamentales Transversales
• Desarrollo del pensamiento: enfocado a actividades que suponen
una selección y organización de información; y las de resolución
de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de
contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o
procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y
principios, por un lado, y de generalización, por otro lado, el
desarrollo del pensamiento también contribuye a tomar decisiones
en la sociedad.22
• Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, planteando
actitudes de rigor y perseverancia, originalidad y capacidad de
recibir y aceptar consejos y críticas, en el aula. 23
• Crecimiento y autoafirmación personal: enfocados al interés que
estudiante posee, por relacionar lo aprendido con la realidad
diaria. 24
22 MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 23 Ídem. 24 Ídem.
54
9.- Nivel de Mapa de Progreso:
Los contenidos tratados en esta planificación están incluidos
dentro del Mapa de Aprendizaje en el ámbito del Álgebra, puesto que se
trabaja utilizando símbolos que permiten modelar situaciones.25
Específicamente, se trabaja en el nivel 6, cuyos indicadores
permiten diseñar actividades que ayuden al estudiante a analizar
distintas situaciones en las que esté presente la función cuadrática
variando algunos parámetros utilizando un software educativo. 26
10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Cuadrática
Figura 28. Mapa Conceptual Función Cuadrática.
25 MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 26 Ídem.
55
11.- CLASE 1
11.1.- Breve Descripción de la actividad.
Las actividades diseñadas tienen como finalidad que los y las
estudiantes incorporen el concepto de Función Cuadrática, utilizando
una actividad introductoria, que consiste en una situación conocida, como
es el lanzamiento de bengalas. Este ejemplo, pretende mostrar el gráfico
asociado a una función cuadrática y encontrar la función que describe la
trayectoria del haz de luz, para luego formalizar el concepto y su
representación gráfica.
Además, se incluyen ejercicios para los y las estudiantes; y se
finaliza con las conclusiones obtenidas al término de la actividad.
11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
El o la docente requiere identificar los conocimientos adquiridos
por los y las estudiantes, y compararlos con los que previamente se
establecieron para esta actividad, que son:
• Concepto de Función.
• Operaciones algebraicas
• Uso de Maple 9
Si se considera que algunos de estos aprendizajes no están
presentes, se recomienda realizar un breve repaso algebraico.
56
11.3.- Detalles de Contenidos.
• Objetivos
• Actividad Introductoria
• Definición de Función Cuadrática
• Representación Gráfica
• Ejercicios
• Conclusiones.
11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos:
Al finalizar la clase los y las estudiantes serán capaces de:
• Definir el concepto de función cuadrática.
• Identificar distintas expresiones que representan la
función cuadrática.
• Comparar gráficos y describir las características de
cada parábola.
• Resolver ejercicios.
11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector.
b) Indicaciones al docente: Esta actividad está orientada principalmente
para que el o la docente inicie el contenido de Función Cuadrática, en
especial se recomienda que utilice herramientas TIC´s, como por
ejemplo, un procesador simbólico.
57
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
1
Inicio: Motivación
En esta etapa, el o la docente
presentará la unidad,
entregando claramente los
objetivos propuestos, además
de los aprendizajes que se
espera que logren los
estudiantes y los conocimientos
previos que requieren para esta
actividad.
Se iniciará la actividad
programada con el ejemplo de
la bengala, específicamente
con la pregunta ¿qué camino
recorre el haz de luz? y ¿cuál
es el dibujo que forma en el aire
su trayectoria?
En esta etapa, el
estudiante medita y
responde a las
interrogantes que se
plantea sobre el camino
que recorre el haz de
luz.
Compara sus
respuestas con lo
observado en la
animación, y por último
busca otros ejemplos
en donde esté presente
la parábola.
2 horas
58
Las respuestas aparecen
después que se muestre la
animación preparada, para
luego presentar la parábola y
afirmar que corresponde a la
curva asociada a una función
cuadrática.
Desarrollo: Formalización de
Contenidos
Esta segunda etapa consiste en
la formalización del ejemplo
anterior, es decir se define el
concepto de función cuadrática
y se establece que el gráfico
asociado a esta función es la
parábola –representación
gráfica- Además, cómo varía la
excentricidad de la parábola
con la variación del coeficiente
cuadrático y se estudia la
concavidad. Se continúa la
clase, identificando la forma
estándar de la función
cuadrática, haciendo un
recorrido detallado de las
operaciones algebraicas
involucradas, reconociendo el
gráfico, además de otras
Durante esta etapa, las
y los estudiantes
identificarán distintas
formas en que es
posible encontrar una
función cuadrática,
además analizan
distintos gráficos y con
ello responden las
interrogantes que el
profesor plantee tanto
de manera oral como
en la guía de trabajo.
Por otra parte, los
alumnos contaran con
una breve guía de
ejercicios con los
cuales establecerá sus
propias conclusiones
59
formas de función cuadrática.
Durante el desarrollo de esta
etapa, el o la docente evaluará
formativamente el proceso, a
través de preguntas
motivadoras.
sobre el tema analizado
en clases.
Los ejercicios
desarrollados durante la
jornada serán
guardados en el
portafolio con el nombre
Tarea 1
Cierre: Conclusiones
Para finalizar esta jornada, se
concluirá a partir de los
resultados obtenidos en los
ejercicios y de los contenidos
analizados en clases
Compararán las
conclusiones obtenidas
propiamente con las
que establecerá el o la
docente al finalizar la
jornada.
Cuadro 1: Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función
cuadrática.
60
12.- CLASE 2
12.1.- Breve Descripción de la actividad.
Las actividades diseñadas tienen como objetivo analizar algunas
propiedades que presenta la Función Cuadrática, es decir verificar la
existencia de un vértice, valores extremos y la monotonía.
Se iniciará con un problema que graficarán utilizando el software y
a partir de ello, se responderán las interrogantes planteadas; seguido de
ello se comenzará con la formalización de los contenidos.
Además, se incluyen ejercicios para los y las estudiantes; y se
finaliza con las conclusiones obtenidas al término de la actividad.
12.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Definición de Función Cuadrática.
• Operaciones algebraicas.
• Parábola.
• Uso de Maple 9.
12.3.- Detalles de Contenidos.
• Objetivos
• Actividad Introductoria
• Vértice
• Máximos y Mínimos
• Intervalos de Crecimiento
• Ejercicios
• Conclusiones
61
12.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
12.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Al finalizar la clase los y las estudiantes serán capaces de:
• Deducir la expresión que permite calcular el vértice la
parábola
• Calcular el vértice de la parábola
• Identificar máximos y mínimos
• Identificar los Intervalos de Crecimiento
• Resolver ejercicios y problemas que involucren
vértices, máximos y mínimos.
12.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector.
b) Indicaciones al docente: Estas actividades están dirigidas hacia el o la
docente en las que introduce el tema de la parábola, además los
alumnos y alumnas contarán con computadores –idealmente individual-
para que sigan el desarrollo de las actividades y creen su portafolio.
En el caso de que no sea posible disponer de computadores para
los y las estudiantes, se trabajará de manera expositiva por parte del
profesor dejando instancias para que las alumnas y alumnos trabajen
individualmente en sus cuadernos.
62
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio: Motivación
La primera etapa de la clase,
estará a cargo del profesor,
quien iniciará con un breve
recuento de los contenidos
analizados en la jornada
anterior, anexando nuevos
ejemplos y situaciones
motivadoras para los
estudiantes, dejando tiempo
para la evaluación formativa a
través de preguntas.
Los y las estudiantes se
concentrarán en las
nuevas actividades que
mostrará el o la docente,
además tendrán un rol
activo al deducir los
posibles métodos de
resolución de la situación
planteada y sus
respuestas.
2
Desarrollo: Formalización de
Contenidos
En esta etapa, se desarrollarán
los contenidos que son: vértices,
máximos y mínimos; y los
intervalos de Crecimiento,
recalcando la importancia tanto
del cálculo como el análisis, ya
que permite explicar fenómenos
de la vida cotidiana como
pueden ser el movimiento de un
cuerpo, la producción en la
economía.
Esta es la etapa en el que
el rol del estudiante es
completamente activa
puesto, que desarrollen
junto al profesor los
ejemplos, aclarando las
dudas tanto de concepto
como de operaciones
algebraicas.
2 horas
63
Se considera la evaluación
formativa a través de preguntas
como la utilización del
procesador simbólico
privilegiando los ejemplos que
involucren cálculo o gráficos
como aquellos problemas que
consideren análisis de situación
puesto que permite la conexión
con aprendizajes previos de
otros subsectores del
aprendizaje.Se destinará tiempo
para el trabajo de los alumnos y
alumnas con una pequeña guía
de ejercicios.
Además trabajarán
individualmente en el
desarrollo de una guía que
incluye ejercicios y
problemas de aplicación.
Cierre: Conclusiones
Para finalizar esta jornada, se
concluirá a partir de los
resultados obtenidos en los
ejercicios y de los contenidos
analizados en clases
Compararán las
conclusiones obtenidas
propiamente con las que
establecerá el o la docente
al finalizar la jornada.
Cuadro 2: Propuesta de actividades para el estudio del vértice y extremos de la función
cuadrática.
64
13.- CLASE 3
13.1.- Breve Descripción de la actividad:
El objetivo de esta clase es el análisis de las traslaciones de
la parábola en el eje X, en el eje Y y en ambos sentidos, utilizando el
procesador simbólico que permite animar este movimiento de la parábola
respecto del sistema de referencia.
Como todas las clases anteriores, incluyen los contenidos,
ejemplos y ejercicios que permitan construir el aprendizaje a través de la
observación y el análisis.
13.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Sistema de Referencia
• Gráfico de funciones
• Completar Cuadrado de Binomio
• Uso de Maple 9
13.3.- Detalles de Contenidos.
• Objetivos
• Actividad Introductoria
• Traslación Horizontal
• Traslación Vertical
• Traslación General
• Ejercicios
• Conclusiones.
65
13.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas
13.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
.
• Determinar la función que rige una parábola dada, a
partir de su gráfica.
• Resolver ejercicios en que estén involucradas
traslaciones de parábolas
13.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector.
b) Indicaciones al docente: Esta orientado hacia la clase con TIC´s debido a
la existencia de animaciones que generalizan las traslaciones, además
permiten observar las características de la función cuando su vértice no
está en el origen.
66
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula Tiempo
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
3
Inicio: Articulación de contenidos
El docente destinará algunos
minutos para el trabajo del
estudiante con el fin de que
observen y concluyan lo que
ocurre con algunas funciones
cuadráticas, ,
y .
Graficarán en el
procesador simbólico
dos funciones, y
observarán lo que
ocurren con las
parábolas.
Anotarán las
conclusiones y
observaciones que
realizaron.
2 horas
67
Desarrollo: Formalización de
Contenidos
En esta etapa, el profesor o
profesora recogerá las
conclusiones de la actividad
realizada y comenzará a
formalizar, las traslaciones
horizontales, verticales y
traslación general, además
ejemplificará y resolverá
problemas. Entregará una breve
guía de ejercicios para que
resuelvan y la conserven en sus
portafolios.
En una primera
instancia compararán
las conclusiones
obtenidas con la
generalización del
docente.
Resolverán los
ejercicios y guardarán
en su portafolio
68
Cierre: Conclusiones
Este capítulo se cerrará revisando
algunos de los ejercicios además,
el o la docente entregará las
conclusiones finales.
En esta etapa el
estudiante escuchará y
comparará finalmente
las conclusiones de los
ejercicios
Cuadro 3: Propuesta de actividades para el análisis de la traslación en la función cuadrática
69
14.- CLASE 4
14.1.- Breve Descripción de la actividad:
Esta clase está dirigida hacia el análisis del discriminante, las
soluciones de la ecuación cuadrática y las relaciones que tienen con el
gráfico de la función asociada a la ecuación dada.
Se seguirá el mismo procedimiento, es decir se indicarán los
objetivos, actividad motivadora, contenido, ejercicios y conclusiones.
14.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Resolución de ecuaciones de 2º grado
• Operaciones algebraicas
• Parábola
• Uso de Maple 9
14.3.- Detalles de Contenidos.
• Objetivos
• Actividad Introductoria
• Discriminante
• Ejercicios
• Conclusiones.
14.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
70
14.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Al finalizar la clase los y las estudiantes serán capaces de:
• Analizar el gráfico de la función cuadrática y
relacionarlo con las soluciones de la ecuación de 2º
grado
14.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector,
b) Indicaciones al docente: El docente expondrá utilizando TIC´s y
recordará nuevamente la importancia de trabajar y guardar los trabajos,
los cuales al final tendrán una calificación.
71
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio: Motivación
Se realizará un breve resumen
de las conclusiones de la clase
anterior.
Se resolverán algunas
ecuaciones de segundo grado.
Los y las estudiantes
utilizarán la fórmula que
permite encontrar las
soluciones de las
ecuaciones planteadas.
4
Desarrollo: Formalización de
Contenidos
Primero, se define el
discriminante de la ecuación
cuadrática.
El desarrollo del contenido
comenzará con las soluciones
de las ecuaciones planteadas en
la etapa anterior, las cuales
tendrán raíces iguales y reales,
raíces distintas y reales, y las
raíces que no pertenecen a los
números reales.
Participarán
respondiendo las
preguntas que el o la
docente realizará.
Resolverán los ejercicios
planteados y analizarán
gráficos, encontrarán las
soluciones de la
ecuación de 2º grado.
Guardarán el trabajo en
su portafolio.
2 horas
72
Se basará inicialmente, en el
ejemplo del ave, y relacionará
las soluciones de la ecuación
cuadrática con el discriminante y
a su vez con los cortes con el
eje X.
Se plantea una breve guía en la
cual los y las estudiantes
aplicarán los contenidos
estudiados en esta jornada.
Cierre: Conclusiones
Para finalizar esta jornada, se
concluirá a partir de los
resultados obtenidos en los
ejercicios y de los contenidos
analizados en clases.
Compararán las
conclusiones
establecidas por el o la
docente con las
obtenidas propiamente.
Cuadro 4: Propuesta de actividades para el análisis del discriminante de la ecuación cuadrática
y su relación con la función cuadrática.
73
4.3.- Diseño Curricular de La Segunda Unidad a Tratar:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
1.-.Curso: Cuarto Año de Enseñanza Media
2.- Sub-Sector: Matemática
3.- Nombre de la Unidad: Función Exponencial.
4.- Tiempo estimado para la unidad: 8 horas pedagógicas.
5.- Registro de contenidos temáticos ejes27:
• Funciones exponenciales y sus gráficos correspondientes.
• Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de la función
exponencial.
• Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Plantear y
problemas sencillos que involucren el cálculo de interés
compuesto.
• Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esta
función.
• Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y
gráfica.
27
MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago
74
Presentación de la Unidad
Esta unidad tratará el estudio de La Función Exponencial, analizando
sus restricciones, observando y comparando el comportamiento de la función
Exponencial en gráficos, de modo que el o la estudiante pueda comprobar los
contenidos temáticos ejes de esta unidad.
Luego, se enfatizará en algunas aplicaciones físicas que utilizan la
función Exponencial, analizando sus propiedades y la importancia que tiene la
Matemática en la vida diaria y en los fenómenos físicos.
En esta segunda unidad, el trabajo de exposición de la clase y la
construcción de instrucciones matemáticas, de parte del o la docente y de los
alumnos(as), se basará en la utilización del procesador simbólico: Maple 9, con
el objetivo de entregar material, para que el(la) docente y el(la) estudiante,
puedan interactuar en un mundo tecnológico, y así motivar la enseñanza en los
alumnos, ya que cada día adquieren más conocimiento en este aspecto,
entonces, el o la docente se acerca al mundo tecnológico para que las clases
sean más llamativas, visuales, en las que permitan al o la alumno(a) puedan
interactuar en el aula, a través de la clase expositiva y de procesos de
construcción de aprendizaje, con la entrega de ejercicios y la evaluación de
estos.
75
6.- Aprendizajes Esperados:
Los alumnos y alumnas serán capaces de:
• Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función
exponencial.28
• Clasificar las relaciones entre los gráficos, los exponentes y los
parámetros de la función Exponencial. 29
• Modelar situaciones o fenómenos naturales o sociales. 30
7.- Objetivos Fundamentales Verticales:
Los y las estudiantes, serán capaces de:
• Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al
análisis de situaciones y a la resolución de problemas.31
• Analizar las propias aproximaciones a la resolución de problemas
matemáticos. 32
• Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y
que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la
necesidad de resolver problemas prácticos, pero también
planteándose problemas propios. 33
• Construir aprendizajes realizando gráficos, resolviendo
ecuaciones, a través de un software educativo, para que el o la
estudiante se relacione en el mundo de las Nuevas Tecnologías
de Información y Comunicación.
28 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 29 Ídem. 30 Ídem. 31 Ídem. 32 Ídem. 33 Ídem.
76
8.- Objetivos Fundamentales Transversales:
• Desarrollo del pensamiento: enfocado a actividades que suponen
una selección y organización de información; y las de resolución
de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de
contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o
procedimientos rutinarios, también a la aplicación de leyes y
principios. El desarrollo del pensamiento también contribuye a
tomar decisiones en la sociedad.34
• Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, planteando
actitudes de rigor y perseverancia, originalidad y capacidad de
recibir y aceptar consejos y críticas, en el aula. 35
• Crecimiento y autoafirmación personal: enfocados al interés que el
o la estudiante posee, por relacionar lo aprendido con la realidad
diaria. 36
34
MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 35
Ídem. 36
Ídem.
77
9.- Nivel de Mapa de Progreso:
La planificación de la Función Exponencial se realizó en conjunto con los
Mapas de Progreso. Ésta pertenece al Mapa de Progreso de Algebra, ya que
describe el progreso de la capacidad de utilización de símbolos y el desarrollo
matemático.37
Cada nivel de aprendizaje se relaciona con los contenidos ejecutados, en
tanto esta unidad corresponde al nivel 5, ya que, se reconoce la función, con
representación gráfica; resuelve sistemas de ecuaciones en forma algebraica. 38
10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Exponencial
Figura 29. Mapa conceptual Función Exponencial
37 MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago, 2009. 38 Ídem.
78
11.- CLASE 1
11.1.- Breve Descripción de la actividad.
Se pretende incorporar la definición de Función Exponencial a
través de una historia y después se incorpora el concepto, sus condiciones, su
comportamiento, y sus respectivos ejercicios. Se finaliza la clase con una
retroalimentación de lo ya aprendido.
11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Clasificación de los números
• Potencias y sus propiedades.
• Concepto de Función.
• Uso de Maple 9.
11.3.- Detalles de Contenidos.
• Actividad Introductoria a la Función Exponencial
• Definición de La Función Exponencial
• Función Exponencial con base mayor que 1.
• Función Exponencial con base entre 0 y 1.
• Establecer dominio y recorrido de la Función
Exponencial.
11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas
79
11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Identificar el concepto de Función Exponencial.
• Analizar expresiones algebraicas.
• Determinar dominio y recorrido de la Función
Exponencial.
• Comparar gráficos.
• Resolver ejercicios.
11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, Internet al
finalizar la clase.
b) Indicaciones al docente: Los contenidos de esta clase, se muestran con
el procesador Maple 9, y los ejercicios de la clase, se les pide a los y las
estudiantes que los realicen con el mismo procesador. El docente debe
solicitar a los alumnos (as), al finalizar la clase, que envíen sus tareas de
la clase por Internet de forma individual, ordenadas en una carpeta
llamada portafolio, con fecha del día respectivo y con nombre de la
actividad.
80
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio:
Se plantean los objetivos la
clase.
Motivación.
Se muestra una historia que se
llama: El ajedrez y los granos de
trigo, para introducir el concepto
de Función Exponencial y para
llamar la atención de los y las
estudiantes. Se plantean
preguntas.
Atienden a la motivación
para interiorizarse en el
tema de La función
Exponencial y
responden algunas
preguntas del docente.
1
Desarrollo: Formalización de
Contenidos.
Se define el concepto de
Función Exponencial, mostrando
un ejemplo, y se analiza el
comportamiento de esta función,
es decir, cuando se le asigna un
valor a la base de la función
Exponencial.
Toman atención a la
explicación, realizan
preguntas y contestan
interrogantes que el o la
docente realiza cuando
presenta los contenidos,
de forma individual y
grupal.
2 horas
81
También identifican los
tipos de Función,
cuando su base cambia
Cierre: Conclusiones
Se plantean ejercicios
para resolver en clases.
La evaluación de los
ejercicios se realiza con análisis
de gráficos.
1) Para la base
perteneciente al intervalo [0,1],
se muestra el comportamiento
de las funciones en un gráfico.
2) Para la base mayor
que 1, se muestra el
comportamiento de las funciones
en un gráfico.
Realizan el desarrollo de
ejercicios:
1) Ejercicios: con
función exponencial de
base > 1.
2) Ejercicios con función
exponencial de base
entre 0 y 1
Deben trabajar
individualmente, para
después compartir
opiniones entre ellos
mismos.
Cuadro 5: Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función
Exponencial.
82
2.12.- CLASE 2
12.2.- Breve Descripción de la actividad.
Se comienza con un resumen de la clase anterior, después se
introduce una propiedad de la función exponencial, definiciones y se estima el
número e. Para finalizar con la realización de ejercicios.
12.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Potencias y sus propiedades.
• Definición de La Función Exponencial.
• Uso de Maple 9.
12.3.- Detalles de Contenidos.
• Reciprocidad de la Función Exponencial.
• Corte en el eje de ordenada.
• Asíntotas.
• Número e.
12.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
12.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Analizar expresiones algebraicas.
• Comparar funciones.
• Estimar el número e
83
12.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje.
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, Internet al
finalizar la clase.
b) Indicaciones al docente: Esta clase se realiza en el laboratorio de
computación, cada alumno(a) trabaja con el procesador simbólico. El
docente debe solicitar a los alumnos(as) que envíen sus tareas de la
clase por Internet (minutos antes de finalizar la clase), ordenadas en una
carpeta llamada portafolio, con fecha del día respectivo y con nombre de
la actividad.
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
2
Inicio:
Articulación de contenidos
revisados en clase precedente.
Se repasa el concepto de
Función Exponencial, con un
cuadro comparativo, para
recordar si la función es
creciente o decreciente.
Revisan sus apuntes
anteriores, para recordar
los contenidos
examinados en la clase
anterior. 2 horas
84
Desarrollo: Formalización de
Contenidos.
Se analiza la reciprocidad que
posee la Función Exponencial,
con un gráfico. Luego se
examina el punto de Corte en el
eje de ordenada y después se
estudia la Asíntota. Se termina
con la presentación del concepto
de Número e y luego la función
del Número e.
Toman atención a la
explicación, realizan
preguntas y contestan
interrogantes que el o la
docente realiza cuando
presenta los contenidos.
Interpretan y analizan
los cambios que ocurren
en las funciones, cuando
varían las constantes.
85
Cierre: Conclusiones
Se plantean ejercicios
para resolver en clases, la
evaluación de estos se realiza
tomando un ejemplo de cada
tema:
1) Reciprocidad: se toma
una función y su recíproca; y se
muestra en un gráfico que son
simétricas con respecto al eje y.
2) Corte en el eje de
ordenada: se escoge una
función, multiplicándola por
constantes; y se comprueba que
la función corta al eje y.
3) Asíntota: se escoge
una función, sumándoles
constantes; y se muestra en un
gráfico.
4) Estimación del número e: se
estima con un valor para la
expresión del número e.
Después el docente concluye
cada ítem con ejercicios y una
retroalimentación.
Realizan el desarrollo de
ejercicios:
1) Reciprocidad de la
Función: Comprobar y
graficar dos funciones
con su inverso
multiplicativo.
2) Corte en el eje de
ordenada: Graficar
funciones.
3) Asíntota: Graficar
funciones.
4) Estimación del
número e: Estimar el
valor de e, para ciertos
valores de x.
Cuadro 6: Propuesta de actividades para el estudio de las propiedades de la función
Exponencial y del Número “e”.
86
13.- CLASE 3
13.2.- Breve Descripción de la actividad.
Se repasa la función Exponencial. El tema de la clase es:
Sistemas de Ecuaciones Exponenciales, se dan ejemplos; para comenzar la
realización de los ejercicios.
13.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Potencias y sus propiedades.
• Función Exponencial.
• Uso de Maple 9.
13.3.- Detalles de Contenidos.
• Ecuaciones Exponenciales.
13.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
13.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Analizar ecuaciones exponenciales.
13.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector,
cuadernos.
87
b) Indicaciones al docente: En esta clase, se explicará: Sistema de
Ecuaciones utilizando el procesador simbólico, y se mostrarán los
ejercicios, para que los y las estudiantes los resuelvan en sus cuadernos.
Al finalizar la clase el o la docente debe pedir los ejercicios resueltos a
los y las estudiantes, y debe resolver algunos ejercicios como
retroalimentación
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio:
Articulación de contenidos
revisados en clases
precedentes, sobre la Función
Exponencial.
Revisan sus apuntes
anteriores, para comenzar
la clase.
Desarrollo: Formalización de
Contenidos:
El docente explica el Sistema
de Ecuaciones Exponenciales,
resolviendo ejemplos.
Toman atención a la
explicación, realizan y
contestan interrogantes,
con un rol activo.
3
Cierre: Conclusiones
Se plantean ejercicios para
resolver en clases. El docente
finaliza la clase con una
retroalimentación: explica
algunos ejercicios.
Desarrollan ejercicios:
1) Transformar la base de
una potencia.
2) Resolver sistema de
ecuaciones.
2 horas
Cuadro 7 : Propuesta de actividades para el estudio del Sistema de ecuaciones Exponenciales.
88
2.14.- CLASE 4
2.14.1.- Breve Descripción de la actividad.
La matemática se incorpora a la Física. Para añadir el
concepto de función Exponencial a la vida cotidiana, se utilizan dos ejemplos
para mostrar en clase, tales como: el interés compuesto y la descomposición
radiactiva. Con ejercicios y conclusiones.
2.14.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Potencias y sus propiedades.
• Función exponencial.
• Uso de Maple 9.
2.14.3.- Detalles de Contenidos.
• Aplicación Física: Sustancia Radiactiva.
• Aplicación a la Economía: Interés Compuesto.
• Solución a ejercicio de Bacteria.
2.14.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
89
2.14.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Analizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la
Función Exponencial.
• Modelar fenómenos naturales a través de la Función
Exponencial.
2.14.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, Internet al
finalizar la clase.
b) Indicaciones al docente: En esta clase se muestran dos ejemplos de
aplicaciones físicas que utilizan la función exponencial. El docente debe
solicitar a los alumnos(as) que envíen sus tareas de la clase por Internet,
ordenadas en una carpeta llamada portafolio, con fecha del día
respectivo y con nombre de la actividad.
90
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio:
Articulación de contenidos
revisados en clases
precedentes, sobre La Función
Exponencial.
Revisan sus apuntes
anteriores.
Desarrollo: Formalización de
Contenidos:
Aplicaciones Matemáticas para
la física: se analizará la
construcción de dos
aplicaciones en la vida diaria.
Atender a la explicación,
realizar y contestar
interrogantes, con un rol
activo.
4
Cierre: Conclusiones
Evaluación del ejercicio:
Aplicación Bacteria. El
docente explica esta
aplicación. Al finalizar la clase
se refuerza la utilidad que tiene
La función Exponencial.
Desarrollan el ejercicio:
Aplicación Bacteria.
Determinar la función que
representa el número de
bacterias después de x
horas si se sabe que
inicialmente había 20000
bacterias y que la
población se cuadruplica
cada hora.
2 horas
Cuadro 8 : Propuesta de aplicaciones para la función exponencial.
91
4.4.- Diseño Curricular de La Tercera Unidad a Tratar:
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
1.-.Curso (Año): Cuarto Año de Enseñanza Media
2.- Sub-Sector: Matemática
3.- Nombre de la Unidad: Función Logarítmica
4.- Tiempo Estimado para la Unidad: 8 horas Pedagógicas.
5.- Registro de Contenidos Temáticos ejes39:
• Funciones logarítmicas, sus gráficos correspondientes.
• Modelación de fenómenos naturales a través de esta función.
• Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de la función
logaritmo.
• Análisis y comparación de escalas logarítmicas. Plantear y
resolver problemas sencillos que involucren el cálculo en escalas
logarítmicas.
• Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y
gráfica.
39
MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago.
92
Presentación de la Unidad
Esta unidad está centrada en el estudio de La Función Logaritmo de
modo que lo(a)s estudiantes desarrollen tanto un trabajo cuantitativo como
cualitativo de dicha función y sus propiedades, además de contextualizar cada
tema con la cotidianeidad y así explicar fenómenos que comúnmente ocurren
en nuestro alrededor.
Durante la unidad, se enfatiza en que los alumnos y alumnas
fundamentalmente trabajen con el procesador simbólico, en algunos casos para
ser guiados por el profesor, otro momento para comprobar la enunciación
formal de los contenidos, y en otros casos para el desarrollo de los ejercicios.
La recopilación de las actividades será principalmente de manera digital en un
portafolio y constituirá evidencia del proceso de aprendizaje y llevará
calificación adjunta.
6.- Aprendizajes Esperados:
Los alumnos y alumnas serán capaces de:
• Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función
Logarítmica.40
• Clasificar las relaciones entre los gráficos, y los parámetros en la
función Logarítmica. 41
• Modelar situaciones o fenómenos naturales. 42
40 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 41 ídem. 42 Ídem.
93
7.- Objetivos Fundamentales Verticales
Los y las estudiantes, serán capaces de:
• Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al
análisis de situaciones y a la resolución de problemas. 43
• Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y
que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la
necesidad de resolver problemas prácticos, pero también
planteándose problemas propios. 44
• Construir aprendizajes realizando gráficos, resolviendo
ecuaciones, a través de un software educativo, para que el o la
estudiante se relacione en el mundo de las Nuevas Tecnologías
de Información y Comunicación.
43 MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 44 Ídem.
94
8.- Objetivos Fundamentales Transversales
• Desarrollo del pensamiento: orientado a actividades para una
selección y organización de información; y las de resolución de
problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de
contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o
procedimientos frecuentes, también a la aplicación de leyes y
principios. El desarrollo del pensamiento también contribuye a
tomar decisiones en la sociedad.45
• Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, con
compromiso, planteando cualidades de rigor y perseverancia,
originalidad y capacidad de recibir y aceptar consejos y críticas, en
el aula. 46
• Crecimiento y autoafirmación personal: conducentes al interés que
el o la estudiante posee, para que pueda relacionar lo aprendido
con la realidad del día a día. 47
45
MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 46 Ídem. 47
Ídem.
95
9.- Nivel de Mapa de Progreso:
La planificación de la Función Logarítmica corresponde al Mapa de
Progreso de Algebra, ya que detalla el progreso de la capacidad de utilización
de símbolos y el desarrollo matemático.48
Cada nivel de aprendizaje se relaciona con los contenidos ejecutados, en
tanto esta unidad corresponde al nivel 5, ya que, se reconoce la función, con
representación gráfica; resuelve sistemas de ecuaciones en forma algebraica. 49
10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Logarítmica
Figura 30: Mapa conceptual Función Logaritmo.
48.MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago, 2009. 49.Ídem.
96
11.- CLASE 1
11.1.- Breve Descripción de la actividad.
Se pretende incorporar la definición de Función Logarítmica, a
través de una interrogante matemática, creando la necesidad de solución
mediante logaritmo, luego se incorpora formalmente el concepto y sus
condiciones, se define cada término de la Función y su comportamiento. Se
finaliza la clase con una retroalimentación de lo ya aprendido.
11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Clasificación de los números.
• Potencias y sus propiedades.
• Función Exponencial.
• Uso de Maple 9.
11.3.- Detalles de Contenidos.
• Actividad Introductoria a la Función Logarítmica.
• Definición de La Función Logarítmica.
• Función Logarítmica con base mayor que 1.
• Función Logarítmica con base entre 0 y 1.
11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
97
11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Definir el concepto de Función Logarítmica.
• Analizar expresiones algebraicas.
• Comparar gráficos.
• Resolver ejercicios.
11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector.
b) Indicaciones al docente: Los contenidos de esta clase, se muestran
con el procesador simbólico Maple 9, y los ejercicios de la clase, se
les pide a los y las estudiantes que los realicen con el mismo
procesador. El docente debe solicitar a los alumnos (as) que envíen
sus tareas de la clase por Internet, ordenadas en una carpeta llamada
portafolio, con fecha del día respectivo.
98
c) Programación de la clase
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio:
Se plantea el objetivo de la
clase, definir el concepto de
logaritmo.
Motivación.
Se presenta una interrogante
con la cual se guía al alumno a
llegar a una solución como
introducción a la Función
Logaritmo.
Atienden a la motivación,
discuten entre ellos y
responden algunas
preguntas del docente.
1
Desarrollo: Formalización de
Contenidos.
Se define el concepto de
Función Logaritmo, mostrando
ejemplos con los casos
posibles, y se analiza el
comportamiento de esta
función, es decir, si le
asignamos un valor a la base
“a”, se estudiarán las
características de dicho caso.
Se ejemplifica en los dos casos
posibles.
Comprueban con el
procesador simbólico los
casos posibles,
cambiando los parámetros
característicos de cada
caso.
2 horas
99
Cierre: Conclusiones
Se plantean ejercicios
para resolver en clases.
La evaluación de los
ejercicios se realiza con el
análisis de gráficos
1) Para la base
perteneciente al intervalo [0,1],
se muestra el comportamiento
de las funciones en un gráfico,
observando que es
decreciente, con dominio en
los reales positivos y recorrido
en los reales.
2) Para la base mayor
que 1, se observa que la
función es creciente, con
dominio en los reales positivos
y recorrido en los reales.
Desarrollo de ejercicios:
1) Ejercicios: con función
logarítmica de base > 1.
2) Ejercicios con función
logarítmica de base entre
0 y 1
Cuadro 9: Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función
Logarítmica.
100
12.- CLASE 2
12.1.- Breve Descripción de la actividad:
Se comienza con un resumen de la clase anterior, después se
introduce algunas propiedades de la función logarítmica, asíntota y el caso del
logaritmo natural.
12.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Potencias y sus propiedades.
• Definición de la Función Exponencial.
• Definición de la Función Logaritmo.
• Uso de Maple 9.
12.3.- Detalles de Contenidos.
• Dominio de la Función Logaritmo.
• Propiedad de simetría de la Función Logaritmo con la
Función Exponencial (funciones inversas una de la
otra).
• Corte en el eje de abscisa.
• Asíntotas.
• Logaritmo natural.
12.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
101
12.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos:
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Analizar expresiones algebraicas.
• Comparar funciones.
• Resolver ejercicios.
• Identificar el logaritmo natural.
12.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector.
b) Indicaciones al docente: Esta clase se realiza en el laboratorio de
computación, cada alumno(a) o grupo trabaja con el procesador
simbólico los contenidos de la clase.
102
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio:
Articulación de contenidos
revisados en clases
precedentes. Se repasa el
concepto de Función
Logaritmo, con un cuadro
comparativo para recordar si la
función es creciente o
decreciente.
Atienden, reconocen y
comprueban, a través del
software, propiedades
presentadas. 2
Desarrollo: Formalización de
Contenidos.
Se analiza una propiedad de
Simetría de la Función
logaritmo y la función
exponencial con respecto a la
función y=x a través de
gráficos.
Se reconocen la función
exponencial y logaritmo como
funciones inversas entre sí.
Luego se analiza el corte en el
eje de las abscisas si se le
pondera o agrega una
constante.
Comprueban con el
procesador simbólico la
simetría utilizando bases
de distinto valor (positivo),
le adicionan y ponderan
una constante.
2 horas
103
Cierre:
Conclusiones de cada tema.
Evaluación de los ejercicios.
Desarrollo de ejercicios:
1) Propiedad de simetría
(relación inversa entre sí
de función logaritmo y
exponencial.
2) Constante Multiplicativo
y la adición.
3) Logaritmo natural y
base relación con “e” .
Cuadro 10: Propuesta de actividades para el estudio de propiedades del Logaritmo Natural.
104
13.- CLASE 3
13.1.- Breve Descripción de la actividad.
Se repasa la Función Logarítmica y sus propiedades. El tema
de esta clase es: resolver ecuaciones logarítmicas de distintas características,
algunos ejemplos, para finalizar con la resolución de ejercicios.
13.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Potencias y sus propiedades.
• Función Exponencial y Logaritmo.
• Ecuaciones Exponenciales.
• Uso de Maple 9.
13.3.- Detalles de Contenidos.
• Ecuaciones Logarítmicas
13.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
13.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Resolver ecuaciones logarítmicas y analizar
soluciones.
105
13.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, cuaderno,
calculadora portátil.
b) Indicaciones al docente: En esta clase, se explicará: Cómo resolver
algunos tipos de ecuaciones logarítmicas utilizando el procesador
simbólico para el análisis gráfico, y se mostrarán los ejercicios, para que
los y las estudiantes los resuelvan en sus cuadernos. Al finalizar la clase
el o la docente debe pedir los ejercicios resueltos a los y las estudiantes,
y debe resolver algunos ejercicios con y sin ayuda del computador.
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
3
Inicio:
Articulación de contenidos
revisados en clases
precedentes, sobre la Función
Logarítmica.
Atienden y comprueban a
través del software
propiedades presentadas.
2 horas
106
Desarrollo: Formalización de
Contenidos:
Resolución, el docente
presenta ejemplos de
resolución de ecuaciones que
intervengan logaritmos.
Comprueban resultados
mediante el análisis
gráfico, guiados por el
profesor.
Cierre: Conclusiones
Se plantean ejercicios
para resolver en clases.
Evaluación de los ejercicios.
La evaluación de los
ejercicios se realiza en el
procesador simbólico.
Desarrollo de ejercicios:
1) Transforman
expresiones para cambio
de base.
2) Determinan qué
logaritmo es mayor o
menor.
3) Resuelven
inecuaciones.
4) Determinar dominio y
recorrido.
Cuadro 11: Propuesta de actividades para el estudio de Ecuaciones Logarítmicas.
107
14.- CLASE 4
14.1.- Breve Descripción de la actividad.
La matemática se incorpora a la Física. Para añadir el
concepto de función Logarítmica a la vida cotidiana, se utilizan ejemplos para
mostrar en clase, como es la escala Richter en distintos casos, con ejercicios y
conclusiones.
14.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.
• Función Logarítmica.
• Propiedades de logaritmo.
• Uso de Maple 9.
14.3.- Detalles de Contenidos.
• Repaso de la Función Logaritmo
• Aplicación Física: Escala Richter.
14.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.
14.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos.
Los y las estudiantes serán capaces de:
• Modelar fenómenos naturales a través de la función
logarítmica.
108
14.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de
Enseñanza Aprendizaje:
a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector.
b) Indicaciones al docente: En esta clase se muestran ejemplos de algunas
aplicaciones físicas que utilizan la función logarítmica.
c) Programación de la clase:
Actividades a Desarrollar en el Aula
Clase Actividades del Docente Actividades del
Estudiante
Tiempo
Inicio:
Articulación de contenidos
revisados en clases
precedentes, sobre La Función
Logaritmo.
Alumnos y alumnas
realizan un resumen con
las curvas y parámetros
involucrados en la función
logaritmo (asíntota, corte).
4
Desarrollo: Formalización de
Contenidos.
Aplicaciones en la Física
Atienden a las
características de la
Escala Richter.
Modelan el
comportamiento mediante
función logaritmo.
2 horas
109
Cierre: Conclusiones
Evaluación del ejercicio:
Escala Richter. El docente
explica esta aplicación.
Desarrollo de ejercicios:
Escala Richter
Determinan valores de
dicha escala para distintos
tipos de terremotos.
Cuadro 12 : Propuesta de actividades para el estudio de las aplicaciones en la función
Logarítmica.
110
Capítulo 5: Propuesta
Consideraciones Generales
Objetivo General:
Diseñar actividades metodológicas, para desarrollar en el aula, en el sub
- sector de Matemática, para el o la docente y para el alumno(a), utilizando un
procesador simbólico, correspondiente a contenidos de Tercer y Cuarto Año de
Enseñanza Media.
Específicamente, se proponen actividades para el estudio de las
siguientes funciones:
1. Función Cuadrática correspondiente a Tercer Año de Enseñanza
Media;
2. Función Exponencial correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza
Media;
3. Función Logarítmica correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza
Media.
Cada clase establece claramente los objetivos a lograr, actividades
introductorias a la función respectiva para luego formalizar los contenidos
además de problemas y ejercicios para los estudiantes y con ello logren los
aprendizajes esperados para la jornada a través de la obtención de propias
conclusiones y la comparación de las mismas con las entregadas por el docente
al finalizar cada sesión.
111
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Clase 1
Objetivos
> `Objetivos`;
> `1. Reconocer el concepto de función cuadrática`;
> `2. Identificar la representación gráfica de la función
cuadrática`;
Actividad Introductoria
> `Imaginemos que se lanza una bengala.`;
> `Si dibujáramos con un lápiz el camino que recorrería el
haz de luz`;
>`¿Qué dibujo veríamos?`;
> `Para responder esta interrogante, miremos la siguiente
animación:`;
>restart: with(plots):
>a1:=pointplot({[0,0]}, symbol=circle, color=[black],
tickmarks=[0,0]):
>a2:=pointplot({[0,0],[10,400]}, symbol=circle,
color=[black,red], tickmarks=[0,0]):
>a3:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800]},symbol=circle,
color=[black,red,navy],tickmarks=[0,0]):
>a4:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600]},
symbol=circle, color = [black, red, navy, yellow],
tickmarks=[0,0]):
>a5:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600],
[40,200]},symbol=circle,
color=[black,red,navy,yellow,kakhi],tickmarks=[0,0]):
112
>a6:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600],[40,200],
[60,0]},symbol=circle,color=[black,red,navy,yellow,kakhi.gr
een], tickmarks=[0,0]):
>display({a1,a2,a3,a4,a5,a5},insequence=true);
> `Si uniéramos los puntos con una línea continua, ¿qué
veríamos?:`;
>plot(-
2*x^2+5*x,x=0..3,y=0..4,color=green,tickmarks=[0,0],thickne
ss=3);
Figura 31. Trayectoria haz de luz de una bengala
> `La curva que observamos se conoce con el nombre de
"Parábola"`;
> `y corresponde al gráfico que se obtiene de una Función
Cuadrática`;
> `Un ejercicio para tí, ¿Dónde has visto esta figura en
otro lugar?`;
Definición
> `DEFINICIÓN`;
> `Se llama función de 2º grado o función cuadrática a la
función de la forma:`;
113
> f(x)=a*x^2+b*x+c;
>`Expresión que corresponde a la función cuadrática
completa`;`donde a, b y c números reales y a distinto de
0`;
Representación Gráfica
> `REPRESENTACIÓN GRÁFICA`;
> `como vimos en la introducción la trayectoria que sigue
el haz de luz en el aire`;
> `corresponde a una "Parábola"`;
> `cuyo gráfico es:`;
> restart:
>plot(-2*x^2+5*x, x=0..3, y=0..4, color=green,
tickmarks=[0,0],thickness=3);
> `La función cuadrática asociada a este gráfico es:`;
> f(x)=-2*x^2+5*x; `donde`;
> a=-2; `es el coeficiente cuadrático de la función`;
> b=5; `es el coeficiente lineal de la función cuadrática`;
> c=0; `es el término independiente de la función`;
> `En este caso, el valor de a es menor que cero (a < 0)`;
> `Luego, ¿Cómo es el gráfico?`;
> `Vemos que la parábola es "invertida"`;
> `Miremos el siguiente ejemplo:`;
> `la parábola cuya función está dada por:`;
> f(x)=x^2;donde:`;a=1;b=0;c=0;
> `Su gráfico es:`;restart:
>plot(x^2,x=5..5,y=0..4, color=green, tickmarks=[0,0],
thickness=3);
114
Figura 32. Función f(x)=x2
> `Vemos que el gráfico muestra que la parábola es
simétrica al eje X`;
> `En este caso vemos que el valor de a es positivo (a >
0)`;
> `Finalmente, el gráfico para este caso es una parábola
derecha`;
> `y el gráfico muestra que la parábola es simétrica al eje
X`;
> `Luego podemos concluir que dependiendo del valor del
coeficiente cuadrático de la función, es el gráfico que
presenta`;
> `Además, el valor de a depende de la abertura de la
parábola, lo que se conoce como excentricidad`;
Forma Estándar de la Función Cuadrática
> `Forma Estándar de la Función Cuadrática`;
> `Para efectos interpretativos de la expresión:`;
> `Conviene expresarla de modo distinto`;
115
> `Para esto factorizamos por a, ya que a distinto de
cero`;
> `Entonces dividimos el primer y segundo miembro de
f ( x )`;
> f(x)=a*[x^2+(b/a)*x]+c;
>`Podemos ver que la expresión que se encuentra en el
paréntesis`;
>`Se puede escribir como cuadrado perfecto, es decir`;
> f(x)=a*[x+(b/2*a)]^2-(b^2/(4*a^2))+c;
>`Ahora definiremos tres constantes a, h, k, de modo
siguiente:`;
>a = a;h = -b/(2*a);k = c - b^2/(4*a^2);
>`De manera que f ( x ) adopta la siguiente expresión:
>`Diremos que es la forma estándar de la función
cuadrática`;
> f(x) = a*(x-h)^2+k;
Ejercicios
I. Grafica las siguientes funciones. Además encuentra el dominio y
recorrido de cada una:
a)
b)
c)
• Conclusión
> `La función cuadrática es de la forma`;
> f(x)=a*x^2+b*x+c;
> `Cuya representación gráfica es una parábola`;
116
Clase 2
Objetivos
> `Objetivos`;
> `1. Encontrar y analizar la expresión que permita
calcular las coordenadas del vértice de la función`;
> `2. Identificar los puntos máximos y mínimos de una
función cuadrática`;
> `3. Determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función cuadrática`;
Actividad Introductoria
> `En las prácticas de golf un jugador intenta alcanzar el
green con un lanzamiento de la pelota, la cual describe una
trayectoria parabólica. La altura de la pelota se puede
obtener a partir de la siguiente función cuadrática:`;
> h(t)=-5*t^2+50*t;
> `En la que h corresponde la altura y t el tiempo medido
en segundos desde el cual fue lanzada la pelota`;
> `Si graficamos la función h, ¿Qué característica tiene la
curva?`;
> `Respecto del gráfico, analiza y responde las siguientes
preguntas:`;
> `1. ¿Qué es el eje de simetría?`;
> `2. ¿En qué punto intercepta el eje de simetría a la
parábola?`;
> `3. ¿Qué punto considerarías el vértice de la parábola?
¿Por qué?`;
117
> `4. ¿Qué sucede con la pelota en el intervalo de tiempo 0
y 5 segundos ?`;
> `5. ¿Qué sucede con la pelota en el intervalo de tiempo 5
y 10 segundos ?`;
> `Vemos que la parábola es simétrica con respecto a un
eje, además existe un punto en la curva que llamaremos
Vértice`;
Vértice
> `VÉRTICE`;
> `Recordemos que la función cuadrática es de la forma:`;
> f(x)=a*x^2+b*x+c;
> `y su forma estándar es:`;
> f(x)=a(x-h)^2+k;
> `Ahora, vamos a demostrar que el vértice de la parábola
es:`; V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a));
> restart: `Sea la función:`;
> f(x)=a*x^2+b*x+c;
> `Factorizando por a, se tiene:`;
> f(x)=a(x^2+(b*x)/a+c/a);
> `Sumando y restando el término `;b^2/(4*a^2);
> f(x)=a*((x^2+(b/a)*x+(b*(1/(2*a))^2)-(b/(2*a))^2+c/a));
> `Completando Cuadrado de Binomio, tenemos:`;
> f(x)=a*(((x+b/(2*a))^2-(b/(2*a))^2+c/a));
> `Sumando los términos libres, queda:`;
> f(x)=a*((x+b/(2*a))^2-(b^2-(4*a*c))/(4*a^2));restart:
> `Resolviendo el paréntesis se obtiene la siguiente
expresión:`;
118
> f(x)=a*((x+b/(2*a))^2-(b^2-(4*a*c))/(4*a));`donde`;
> h=-b/(2*a); k=-(b^2-4*a*c)/(4*a);
> `Luego, reemplazando h y k en la función f(x), se
tiene:`;
> f(x):=a*(x-h)^2+k;f(x):=a*(x-h)^2+k;
> `V(h,k)=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a))`;
> `Ejemplo 1`;`Sea la función`;
> f(x)=x^2+2*x+3;`Sabemos que el vértice se puede
determinar utilizando la expresión`;
> `V(h,k)=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a))`;a:=1; b:=2;c:=3;
> h:=-b/(2*a);k:=-(b^2-4*a*c)/(4*a);
> `Luego, el vértice de la parábola es:`;
> V:=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a);
>plot(x^2+2*x+3, x=-4..3, y=0..10, color=[navy],
tickmarks=[0,0]);
Figura 33. Función f(x)=x2+2x+3
Extremos
> `MÁXIMO Y MÍNIMO`;
> `Como ya vimos en la sección anterior, el vértice de la
parábola está dado por:`;
> V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a));`rec(f) =[-00,0]`;
119
> `Este punto puede ser: mínimo o máximo’;’ En qué
situaciones se habla de máximo?, mínimo?`;
> `Analizaremos los siguiente ejemplos:`;
> `1. Sea la función`;f(x)=7*x+6-4*x^2;
> `Donde:’; a:=-4;b:=7;c:=6;
> h:=-b/(2*a);k:=-(b^2-4*a*c)/(4*a);f(x):=a*(x-h)^2+k;
> V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)));
> `Si graficamos f, tenemos`;
>plot(7*x+6-4*x^2, x=-2..3, y=0..10, tickmarks=[0,0],
color=navy, thickness=3);
Figura 34. Función f(x)=-4x2+7x+6
> `En el gráfico vemos que la parábola es invertida
puesto que a=-4`; `además, el vértice es:`;
> V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)));
> `Por lo tanto, el vértice de la parábola corresponde a un
Máximo Relativo de la función f.`;
> `Ejemplo 2`;
> `Un ganadero quiere construir un corral rectangular de
1000 metros de cercado`;
> ` ¿Cuáles deben ser las dimensiones del corral para que
el área cercada sea máxima?`;
120
> `Solución`;
> `Llamaremos a al ancho y l al largo’;’ luego el área está
dado por la expresión`;A=a*l;
> `Como dato, tenemos el perímetro`; `P=1000 m`;
> `Por lo tanto`; restart: P=2*a+2*l;
> 1000=2*a+2*l;
> `Despejando l de la expresión anterior, tenemos`;
> l=1/2*(1000-2*a);
> `Sustiyendo l en el área, se tiene, `;
> A=a*1/2*(1000-2*a);
> A=500*a-a^2;
> `Ahora tenemos una función cuadrática, que permite
calcular el área del corral`;
> `Primero, determinamos el vértice`;
> a:=-1;b:=500;c:=0;
> V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)));
> `Como el coeficiente cuadrático es menor que cero,
entonces tiene un máximo relativo`;
> plot(500*a-a^2,color=navy,a=0..100);
> `Luego, las dimensiones del corral son: `;
> a:=7/8;
> l=1/2*(1000-2*a);
Monotonía
> `Sea f una función definida en un intervalo,`;` y sean X1
y x2`;
> `dos valores cualesquiera en ese intervalo, entonces`;
> `(i) f es creciente si`;
> x1<x2; `entonces`; f(x1)<f(x2);
121
> `por ejemplo`;
> f(x)=x^2+2*x;
>plot(x^2+2*x, x=-3..2, y=-1..3, color=navy,
tickmarks=[0,0]);
Figura 35. Monotonía de la función f(x)=x2+2x
> `(ii) f es decreciente si`;
> x2<x1; `entonces`; f(x2)<f(x1);
Ejercicios
I. Encuentra el vértice de las siguientes funciones y comprueba utilizando
el método gráfico
a)
b)
c)
122
II. Encuentra el mayor intervalo sobre la cual la función dada sea creciente
y el mayor intervalo en el cual es decreciente
a)
b)
III. Grafica las siguientes funciones y responde las siguientes preguntas:
a) Encuentra el vértice las funciones dadas
b) ¿Cuál de las funciones presente un máximo? ¿Cuál de ellas tiene un
mínimo?
c) ¿Qué puedes concluir al finalizar la actividad? Justifica.
IV. Problema
a) Suponga que se lanza una pelota que viaja de acuerdo la función:
Donde S(t) se mide la altura que alcanza la pelota sobre el suelo al cabo de t
segundos de ser lanzada.
¿Cuántos segundos tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
¿Cuál es la altura máxima?
123
Conclusión
> `Sea la función cuadrática f de la forma: `;
> f(x)=a*x^2+b*x+c;
>`Entonces`;
> `El vértice de la función está dado por la expresión: `
> V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a));
> `Y a partir del vértice podemos reconocer gráficamente la
monotonía de la función`:
> `Es decir, verificar en que intervalos la función crece y
en cuales está decrece`;
> `En otras palabras:`;
> `f es creciente si`;
> `Para todo x1,x2 e A: x1<x2, entonces f(x1)<f(x2)`;
>`f es decreciente si`;
>`Para todo x1,x2 e A: x2<x1, entonces f(x2)<f(x1)`;
>`Por último, si el gráfico de la función corresponde a una
parábola que es cóncava hacia arriba (a>0), entonces se
dice que el vértice es un Mínimo Relativo`;
>`Si la curva que presenta la función cuadrática es cóncava
hacia abajo(a<0), entonces ésta tiene un Máximo Relativo
que corresponde al vértice de la parábola`;
124
Clase 3
Objetivos
> `Objetivos`;
> `1. Caracterizar distintas traslaciones que presenta la
función cuadrática`;
Actividad Introductoria
Grafica las siguientes funciones
Ahora, responde las siguientes preguntas a partir del gráfico.
a) ¿Qué ocurre con los gráficos?
b) ¿Cuál es el eje de simetría para cada caso?
c) ¿Qué ocurre con los máximos o mínimos que presentan cada función?
Traslación Horizontal
> restart: with(plots):
>a1:=plot([x^2],x=-10..10, y=0..5, color=[cyan],
thickness=2, tickmarks=[0,0]):
>a2:=plot([x^2,(x-4)^2],x=-10..10, y=0..5,
color=[cyan,navy], thickness=[2,3], tickmarks=[0,0]):
> display({a1,a2}, insequence=true);
125
Figura 36. Traslación de la función f(x)=x2
> `¿Qué relación existen entre ambas parábolas?`;
> `Vemos en el gráfico, que la curva verde es la que tiene
centro en (0,0),`;`en cambio la parábola dibujada en azul
tiene su vértice en el punto (4,0)`;
> `Y corresponde a la traslación de la primera parábola a
lo largo del eje X en cuatro unidades’;’ generalizando la
expresión anterior`;
> `Definamos la función:`; f:=x->(x-h)^2;donde h es un
número real `;
> `Si h > 0, ¿qué ocurre con la parábola?`;
> `Para resumir, miremos la siguiente animación:`;
> restart:with(plots):
>a:=plot(x^2, x=-10..10, y=0..25, color=[green]
tickmarks=[2,4]):
>b:=plot([x^2,(x-2)^2], x=-5..8, y=0..25,
color=[green,navy], tickmarks=[2,4], thickness=[2,2],
linestyle=[3,1]):
126
>c:=plot([x^2,(x-2)^2,(x-5)^2], x=-10..15, y=0..25,
color=[green,navy,red],tickmarks=[2,4],thickness=[2,2,3],li
nestyle=[3,3,1]):
> display({a,b,c}, insequence=true);
Traslación Vertical
> `Considemos la función`;f(x) = x^2; plot(x^2,x=-
5..5,color=navy,tickmarks=[0,0]);
>`Ahora, ¿qué ocurre si movemos esta parábola
horizontalmente?`; `Para analizar lo que ocurre generaremos
la siguiente animación:`;
> restart: with(plots):
> a1:=plot(x^2,x=-10..10, color=[green],tickmarks=[0,0]):
>a2:=plot([x^2,x^2-10], x=-10..10, color=[green,navy],
tickmarks=[0,0]):
>a3:=plot( [x^2, x^2-10, x^2-20], x=-10..10,
color=[green,navy,red],tickmarks=[0,0]):
> display({a1,a2,a3},insequence=true);
127
Figura 37. Animación de la traslación horizontal de la función f(x)=x2
> `En el ejemplo anterior, vemos que el gráfico de la
función se traslada en sentido vertical, en comparación a
la función original`;
>`Por lo que se puede decir que si k<0, entonces la
dirección de traslación de la parábola es eje Y negativo`;
> `Ahora, ¿qué ocurre si k>0?
>restart:
>with(plots):
> a1:=plot(x^2,x=-10..10, color=[green],tickmarks=[2,4]):
>a2:=plot([x^2,x^2+10], x=-10..10, color=[green,navy],
tickmarks=[2,4]):
>a3:=plot([x^2, x^2+10, x^2+20], x=-10..10,
color=[green,navy,red],tickmarks=[0,0]):
> display({a1,a2,a3},insequence=true);
128
Figura 38. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x2
Traslación General
> `Sea la función f definida como: `; f(x)=(x-2)^2+5;
> ` ¿Cómo se traslada la función f con respecto a la x^2?`;
> `La respuesta a esta interrogante tenemos la siguiente
animación: `
> restart:with(plots):
>a1:=plot(x^2, x=-10..10, y=-1..30, color=green,
tickmarks=[0,0],):
>a2:=plot([ x^2, (x-2)^2], x=-10..10, y=-1..30,
color=[green,navy],thickness=[2,2,3], linestyle=[3,3,1],
tickmarks=[0,0],):
>a3:=plot([ x^2, (x-2)^2, (x-2)^2+5], x=-10..7, y=-1..30,
color=[green,navy,red], tickmarks=[0,0], thickness=[2,2,3],
linestyle=[3,3,1]):
> display({a1,a2,a3},insequence=true);
129
Figura 39. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x2
> `Reconocemos el gráfico dibujado en verde a la función
canónica:`;f(x)=x^2;
> `A partir de ello, vemos que la función graficada en
azul, presenta una traslación de tipo horizontal, dos
unidades hacia la derecha`;
> `En cambio la curva roja, se traslado en dos sentidos, es
decir subió 5 unidades y avanzó 2`;
Ejercicios
I. Hallar el vértice de las siguientes funciones
a)
b)
c)
130
Conclusión
> `Si h<0, entonces la función presenta una traslación
horizontal que corresponde el movimiento hacia la izquierda
en comparación a la función: `;
> f(x)=x^2;
> `Si h>0, entonces la función presenta una traslación
horizontal que corresponde el movimiento hacia la derecha`;
> `Si la función cuadrática es de la forma: `;
> f(x)=x^2+k;`con k real’;’ se dice que se traslada
verticalmente`;
131
Clase 4
Objetivos
> `Objetivos`;
> `1.Relacionar el discriminante de la ecuación cuadrática
con las raíces de la función cuadrático `;
Actividad Introductoria
Consideremos un ave que vuela a cierta altura sobre el nivel del mar, luego
tiene tres opciones posibles de vuelo
1. El ave se lanza desde una altura, se sumerge en el agua y siguiendo una
trayectoria parabólica emerge, que está dada por la expresión:
> h1=t^2-8*t+9;
>plot(t^2-8*t+9, t=0..10, y=(-10..10),color=[blue],
linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);
Figura 40. El ave corta en dos puntos el mar
132
2. El ave se lanza y solo toca el agua para luego elevarse nuevamente, dada
por la expresión:
> h2=t^2-8*t+16;
>plot( t^2-8*t+16, t=0..10, y=0..20,color=[green],
linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);
Figura 41. El ave corta en un punto el mar
133
3. El ave sigue un movimiento parabólico y en ningún instante toca el agua.
> h3=t^2-8*t+20;
>plot(t^2-8*t+20, t=0..10, y=0..20, color=[cyan],
linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);
Figura 42. El ave no se sumerge en el mar
¿Qué diferencias notas en los tres casos anteriores?
Discriminante
> `Sea la función cuadrática escrita de forma general:`;
f(x)=a*x^2+b*x+c;
> `Los puntos en los cuales la parábola corta el eje X, en
otras palabras y=0,`;
134
> `Se obtiene al resolver la ecuación
cuadrática`;ax^2+bx+c=0;
> `Dependiendo de la soluciones, sabremos si se corta el
eje X en dos puntos, uno o ninguno`;
> `En otras palabras dependerá de lo que llamaremos
Discriminante, que denotaremos por "d"`;
> `Y lo definiremos como:`;
> d:=b^2-4*a*c;
> `Veamos algunos ejemplos:`;
> f(x)=x^2-8*x+9;
> a:=1:b:=-8:c:=9:
> d:=b^2-4*a*c;
> `Como el determinante es menor que cero, entonces la
parábola no corta el eje x. `;
> `Comprobemos: `;
> `Busquemos los puntos: `;eq:=x^2-8*x+9;
> sols:={solve(eq,x)};
>plot(x^2-8*x+20, x=0..10, y=0..20,color=[cyan],
linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);
135
Figura 43. Discriminante menor que cero
Ejercicios
I. Estudie el signo de cada una de las siguientes funciones:
a) y=2*x^2-5*x+2
b) y=-x^2+4*x-4
c) y=-x^2-3*x
II. ¿Para qué valores de x la función f(x)=-x(x+2) asume valores
positivo?
III. Determine k de modo que -2*x^2+6*x+(k-1)<0, para todo x real.
136
Conclusión
> `Si el discriminante d es menor que cero, la función
cuadrática no admite raíces reales`;
> `es decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 no tiene
soluciones reales`;
> `y la parábola no intercepta el eje X`;
> `Si el discriminante d es igual que cero, la función
cuadrática admite una raíz real`;
> `en decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 tiene dos ráices
reales e iguales.`;
> `y la parábola intercepta en un punto el eje X`;
> `Si el discriminante d es mayor que cero, la función
cuadrática admite dos raíces reales`;
> `en decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 tiene soluciones
reales y distintas`;
> `y la parábola intercepta en dos puntos el eje X`;
137
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Clase 1
Objetivos
> `Objetivos`;
> `Definir el concepto de Función Exponencial.`;
> `Determinar dominio y recorrido de la Función Exponencial`
> `Analizar expresiones algebraicas.`;
> `Comparar gráficos.`;
> `Resolver ejercicios, según la base.`;
Actividad Introductoria
> `Actividad Introductoria`
> `El ajedrez y los granos de trigo.`;
> `Historia: Un rey quiso premiar las dotes adivinatorias
de un sacerdote.`;
> `El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera
casilla de un tablero de ajedrez,`;
> `4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez
por cada nueva casilla. `;
> `El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote,
hasta que comprobó la magnitud de su petición,`;
> `una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo
el reino.`;
> `¿Cómo se puede escribir matemáticamente la petición del
sacerdote?`;
> `Veamos:`;
> `Si por la primera casilla pide 2 granos de trigo.`;
138
> 2=`2`^1;
> `Por la segunda casilla pide 4 granos.`;
> 4=`2`^2;
> `Por la tercera casilla pide 8 granos.`;
> 8=`2`^3;
> `Por la cuarta casilla pide 16 granos. Tenemos:`;
> 16=`2`^4;
> `Vemos que si al número 2 lo elevamos al número de
casillas (número natural), resultan los granos de trigos
dados,`;
> `así se cumple que la cantidad de trigos por casilla es
el doble de la cantidad de trigo anterior,`; `entonces la
petición se puede escribir como:`;
> restart: F:=n->2^n: f(n)=F(n);
> `De esta manera se puede formular otras preguntas como:
¿Cuántos granos de trigo corresponden a 8 casillas?`;
> f(8)=`2`^8;
> f(8)=F(8);
> `¿Cuántos granos de trigo corresponden a 20 casillas?`;
> f(20)=`2`^20;
> plot(F,
0..6,0..30,thickness=4,color=aquamarine,tickmarks=[0,6]);
139
Figura 44. “El ajedrez y los granos de trigo”
> `¿Cuál es el dominio de esta función, si el número de
casillas de un tablero de ajedrez es de 64?`;
> `Como n es la variable dependiente, tiene como dominio a
los números naturales en el intervalo: [1,64].`;
Función Exponencial
Introducción
> `La Función Exponencial es del tipo:`;f(x)=b^x; b<>1;
b>0;
> `Donde b es la base, que pertenece a los números
reales.`;
> `Donde x es el exponente, un número real.`;
> `Tal como se muestra:`;
140
> restart: with(plots): f:=x->2^x: pointplot({[-6,f(-
6)],[-5,f(-5)],[-4,f(-4)],[-3,f(-3)],[-2,f(-2)],[-1,f(-
1)],[0,f(0)],[1,f(1)],[2,f(2)],[3,f(3)],[4,f(4)],[5,f(5)],[
6,f(6)]},ytickmarks=[f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)],xt
ickmarks=[-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6],
title=`f(x)=2^x`);
Figura 45. Función Exponencial en puntos
> `Va a depender del valor que se le asigne a x`;
> `Por ejemplo: si x=4, y será 16.`;
> `El comportamiento de la función exponencial va a
depender de:`;
> `Base > 1`;
> `0 > Base > 1`;
141
Base: b > 1.
> `Grafiquemos las funciones:`;
> restart: P:=x->4^x: p(x)=P(x); p:=x->4^x:
> plot(p,-4..4,0..4,color=khaki,thickness=4);
Figura 46. Base mayor que 1
> restart: T:=x->9^x: t(x)=T(x); t:=x->9^x:
> plot(t,-3..3,0..8,color=magenta,thickness=4);
Figura 47. Base mayor que 1
> `¿Qué puede concluir de estos gráficos?`;
142
> `Conclusión:`;
> `El dominio de la función son todos los números reales y
el recorrido de ésta son los reales positivos.`;
> `En los dos casos se trata de una función creciente,`;
`cuando su base es mayor que 1.`;
> `Se observa que la curva intersecta al eje de ordenadas en
y=1.`;
Ejercicios: con función exponencial de base > 1.
> restart: `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e
indique su dominio y su recorrido.`; `Utilizando
plot(k).`;
•
•
•
•
•
Base: 0 < b < 1.
> `Grafiquemos las funciones:`;
> restart: a:=x->(1/5)^x: a(x)=A(x); a:=x->(1/5)^x:
plot(a,-1.5..1.5,0..5,color=aquamarine,thickness=3);
143
Figura 48. Base entre 0 y 1
> v:=x->(1/6)^x: v(x)=V(x); v:=x->(1/6)^x:
> plot(v,-2..2,0..10 ,color=navy,thickness=3);
Figura 49. Base entre 0 y 1
> `¿Qué puede concluir de estos gráficos?`;
> `Conclusión:`;
> `El dominio de la función son todos los números reales y
el recorrido de ésta son los reales positivos.`;
144
> `En los dos casos se trata de una función decreciente,`;
`cuando su base está entre 0 y 1.`;
> `Se observa que la curva intersecta al eje de ordenadas en
y=1.`;
Ejercicios con función exponencial de base entre 0 y 1.
> `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e indique
su dominio y su recorrido.`; `Utilizando plot(c)`;
> restart: C:=x->(1/2)^x: c(x)=C(x); c:=x->(1/2)^x:
•
•
•
•
•
•
145
Conclusión
Ejercicios: con función exponencial de base > 1
> `En el siguiente gráfico se puede observar las funciones
de este ejercicio:`;
> with(plots):
> a1:=plot(2^x,x=-5..5,y=0..15,color=gray,title=`2^x`):
> a2:=plot(3^x,x=-5..5,y=0..15,color=green,title=`3^x`):
> a3:=plot(5^x,x=-5..5,y=0..15,color=orange,title=`5^x`):
> a4:=plot(8^x,x=-5..5,y=0..15,color=pink, title=`8^x`):
> a5:=plot(10^x,x=-5..5,y=0..15,color=pink, title=`10^x`):
> display([a1,a2,a3,a4,a5],insequence=true,thickness=3);
Figura 50. Función Exponencial con base mayor que 1
> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los
números reales, y el recorrido son los reales positivos;`;
`si aumenta la base, el comportamiento de la función
siempre es creciente.`;
> `Antes del punto (0,1), la función crece más lento.`;
> `Después del punto (0,1), la función crece más rápido.`;
146
Ejercicios con función exponencial de base entre 0 y 1.
> `En el siguiente gráfico se puede observar las funciones
de este ejercicio:`;
> restart: with(plots):
> a1:=plot((1/2)^x,x=-
4..4,y=0..12,color=gray,title=`(1/2)^x`):
> a2:=plot((1/3)^x, x=-4..4, y=0..12, color=green,
title=`(1/3)^x`):
> a3:=plot((1/4)^x,x=-4..4, y=0..12, color=cyan,
title=`(1/4)^x`):
> a4:=plot((1/7)^x,x=-4..4, y=0..12, color=violet,
title=`(1/7)^x`):
> a5:=plot((1/8)^x,x=-4..4, y=0..12, color=violet,
title=`(1/8)^x`):
> a6:=plot((1/20)^x,x=-4..4, y=0..12, color=pink,
title=`(1/20)^x`):
> display([a1,a2,a3,a4,a5,a6],insequence=true,thickness=3);
147
Figura 51. Función Exponencial con base entre 0 y 1
> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los
números reales, y el recorrido son los reales positivos;`;
`si disminuye la base, el valor de la función siempre es
decreciente.`;
> `Antes del punto (0,1), la función decrece más rápido.`;
> `Después del punto (0,1), la función decrece más lento.`;
148
Clase 2
Objetivos
> `Objetivos`;
> `Analiza expresiones algebraicas.`;
> `Comparar funciones.`;
> `Estimar número e`;
Función Exponencial
Cuadro Comparativo
Criterio 0 < Base < 1 Base > 1
Función Decreciente Creciente
Cuadro 13. Tabla comparativa de la función exponencial
Propiedad
> `Se ha comprobado que el dominio de la Función Exponencial
son todos los números reales.`; `El recorrido de la función
exponencial son los números reales positivos.`;
> `Veamos la siguiente propiedad:`;
> restart:`Las funciones:`;T:=x->2^x: t(x)=T(x);
> restart: M:=x->(1/2)^x: m(x)=M(x);
> restart: t:=x->2^x: m:=x->(1/2)^x:
> plot({t,m},-5..5,y=0..11,thickness=5,tickmarks=[5,5]);
149
Figura 52. Reciprocidad de la Función Exponencial
> `Las curvas son simétricas con respecto al eje de
ordenadas.`;
> `Entonces, si se tienen dos Funciones Exponenciales, y
ambas bases son el inverso multiplicativo de la otra,`; `se
cumple que sus curvas son simétricas con respecto al eje de
ordenadas (reciprocidad).`;
Ejercicio
> `Ejercicios: Compruebe graficando dos funciones con su
inverso multiplicativo.`;
Corte en el eje de ordenada.
> `Observemos lo que pasa con las siguientes funciones:`;
> restart: Z:=x->3*(3^x): z(x)=Z(x); c(x)=3*(4^x);
v(x)=3*(5^x); b(x)=3*(6^x);
150
> z:=x->3*(3^x): c:=x->3*(4^x): v:=x->3*(5^x): b:=x-
>3*(6^x): with(plots): a1:=plot(3*(3^x),x=-3..3,y=0..8,
color=gray,title=`3*(3^x)`): a2:=plot(3*(4^x), x=-3..3,
y=0..8, color=green, title=`3*(4^x)`): a3:=plot(3*(5^x),
x=-3..3,y=0..8, color=cyan, title=`3*(5^x)`):
a4:=plot(3*(6^x), x=-3..3,y=0..8,color=violet,
title=`3*(6^x)`): display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,
thickness=3,thickness=5);
Figura 53. Corte de la Función Exponencial en el eje de las Ordenadas
> `Con los gráficos, ¿qué concluye?, ¿qué tienen en común
las funciones?`;
> `Se observa que todas las funciones cortan al eje de
ordenadas en el punto [0,3].`;
> `Si se tiene una constante que multiplica a la función
exponencial,`; `entonces la curva interceptará al eje de
ordenadas en ese valor.`;
151
Ejercicio
> `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones,
multiplicándolo la misma constante 4, y luego la constante
7.`;
•
•
•
•
•
•
Asíntotas
> `Observemos lo que pasa con estas funciones:`;
> with(plots):
> a1:=plot(3*(3^x)+2,x=-
5..5,y=0..12,color=gray,title=`3*(3^x)+2`):
> a2:=plot(3*(4^x)+2,x=-
5..5,y=0..12,color=green,title=`3*(4^x)+2`):
> a3:=plot(3*(5^x)+2,x=-
5..5,y=0..12,color=cyan,title=`3*(5^x)+2`):
> a4:=plot(2*(3^x)+2,x=-
5..5,y=0..12,color=violet,title=`3*(6^x)+2`):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=4);
152
Figura 54. Asíntota
> `¿Qué tienen en común las funciones?`;
> `Se observa que todas las funciones tienen asíntota 2`;
> `Si se tiene una constante que es sumada a la función
exponencial,`; `entonces la curva tendrá como asíntota ese
valor.`;
Ejercicio
> `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones, sumándoles
la misma constante 5, y luego la constante 8.`;
•
•
•
•
•
•
153
Conclusiones:
* Propiedad
> restart:z:=x->5^x: Z(x)=z(x);
> restart: u:=x->(1/5)^x: U(x)=u(x);
> restart: z:=x->5^x: u:=x->(1/5)^x:
> plot({z,u},-5..5,y=0..19,thickness=5,tickmarks=[5,5]);
Figura 55. Conclusión de la reciprocidad de la función exponencial
> `Estas dos funciones, son simétricas con respecto al eje
y.`;
* Corte en el eje de ordenada.
> restart: Z:=x->4*(3^x): z(x)=Z(x); c(x)=7*(3^x);
> z:=x->4*(3^x): c:=x->7*(3^x): with(plots):
a1:=plot(4*(3^x),x=-3..3,y=0..8,color=gray,
title=`3*(3^x)`): a2:=plot(7*(3^x),x=-3..3,y=0..8,
color=violet, title=`7*(3^x)`): display([a1,a2],
insequence=true,thickness=3,thickness=5);
154
Figura 56. Conclusión del corte de la función exponencial en el eje de las ordenadas
> `La Función Exponencial, intersecta al eje de ordenada y
dependerá de la constante multiplicativa.`;
* Asíntotas
> with(plots): a1:=plot((9^x)+5,x=-
5..5,y=0..12,color=gray,title=`(9^x)+5`):
> a2:=plot((9^x)+8,x=-
5..5,y=0..12,color=green,title=`(4^x)+8`):
> display([a1,a2],insequence=true,thickness=5);
155
Figura 57. Conclusión de la asíntota de la función exponencial
> `La función exponencial, tiene asíntota 5 y 8, según la
constante sumativa.`;
Número e
Concepto
> `El valor de "e" está determinado matemáticamente por la
siguiente expresión:`;
> f(x)=(1+1/x)^x;
> `Cuando el valor de x tiende al infinito.`;
> `Este valor sirve en aplicaciones matemáticas.`;
> `Para saber el valor de e, se dan variados valores de x de
forma creciente,`; `hasta encontrar un número que varíe,
sus decimales, en cantidades pequeñas.`; `Por ejemplo,
iniciemos con este valor:`;
156
> x:=5;
> (1.+1/x)^x;
> `Elevemos el valor a x`;
> x:=20;
> (1.+1/x)^x;
> `Como vemos el valor de e va en aumento y con más
decimales.`;
Ejercicio
> `Estime el valor de e, con los siguientes valores para
x:`;
•
•
• ...
• 000000
• 0000000
> `Utilizando la expresión:`;
> d:=(1.+1/x)^x;
Conclusión
157
> `Conclusión:`;
> `Como vemos para estimar e, el valor de x es:`;
> x:=100000000000;
> restart:
> d:=(1.+1/x)**x;
> x:=100000000000;
> Digits:=14: d: e:=d;
> `Un número racional.`;
158
La función
> `La función:`;
> restart: e^x;
> `Tiene la propiedad de que en cada punto de su gráfico,`;
`la pendiente de la tangente es igual al valor de la
función en ese punto.`;
> `Veamos en el gráfico:`;
> restart: with(plots): F:=x->2.71828^x: f(x)=e^x;
pointplot({[-4,F(-4)],[-3,F(-3)],[-2,F(-2)],[-1,F(-
1)],[0,F(0)],[1,F(1)],[2,F(2)],[3,F(3)],[4,F(4)]},ytickmark
s=[F(0),F(1),F(2),F(3),F(4)],xtickmarks=[-4,-3,-2,-
1,0,1,2,3,4]);
Figura 58. Función Exponencial ex
> `Se tiene que, para:`;
> x:=1;
> e;
159
Clase 3
Objetivos
> `Objetivos`;
> `Analizar y asimilar Ecuaciones exponenciales.`;
> `Resolver ejercicios de sistema de ecuaciones.`;
De la función exponencial
> `Recordemos la función exponencial:`;
> `La base puede pertenecer al rango [0,1] o bien mayor que
1.`;
> f(x)=4^x; k(x)=(1/3)^x; `o bien`; k(x)=3^(-x);
> `Por propiedad de las potencias,`;
> `ahora la base es mayor que 1, pero con exponente
negativo.`;
Ecuaciones Exponenciales.
> `Ecuaciones Exponenciales`;
> `Son aquellas en la cual, la incógnita se encuentra en el
exponente. Ejemplos:`;
> 2^s=8;
> 3^(2*s)=3;
> 4^(4*s)=16;
> (b^(2*s))*b=b^(3*s+1);
> `La incognita es "s".`;
> `Para resolver estas ecuaciones, se aplican las
propiedades de las potencias y sus operatorias.`;
160
> `Es fundamental la utilización de la igualdad de las
potencias,`; `"dos potencias son iguales si las bases son
iguales y sus exponentes son iguales".`;
> `Luego se resuelve la ecuación de Primer o segundo grado
que quede en los exponentes, al igualar los exponentes.`;
`Tomemos el primer ejemplo:`;
> 2^s=8;
> `se sabe que:`; `8=2`^3; (2^s=`2 `^3);
> `Entonces se igualan los exponentes y se obtiene el valor
de la incógnita:`;s=3;
Ejercicios Con una incógnita
Transforme las siguientes expresiones a la base que se indica:
• a la base 2.
• a la base 5.
• a la base (3).
• a la base
Encuentre el valor de la incógnita:
Ejemplo:
> 3^(g/2)=729;
> solve({3^(g/2)=729});
•
•
•
•
161
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Con dos incógnitas:
Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas.
Ejercicios:
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
> `Ejemplo`;
> (2^u)-4^(2*y)=0 ,u-y=15;
> solve({(2^u)-4^(2*y)=0,u-y=15});
162
•
•
•
•
Conclusiones: Solucionario.
Con una incógnita
Transforme las siguientes expresiones a la base que se indica:
• a la base 2, es:
• a la base 5, es:
• a la base (3), es:
• a la base (1/2), es:
Encuentre el valor de la incógnita:
> solve({3^(g/2)=729});
> solve({3^(-9+v) = 1/81});
> solve({40^(4+c) = 40});
> solve({625^r = 5^(1/3)});
> solve({1/7 = 2401^(-5*g)*2401});
> solve({4^w = 4096});
> solve({7^(3*w+2) = 1});
> solve({11^(-4+w) = 1});
163
> solve({1 = 344^(s-6)});
> solve({32^(w+4) = 4^(5+w)});
> solve({4^7 = 4^(5+2*w)});
> solve({64^(-1+5*w)*64^(5*w-4) = 64^(6*w+7)});
> solve({(1/7)^(w-7) = 7^(7*w-7)});
> solve({625^w = 25^(2*w-3)*(1/25)^(w+3)});
> solve({4^(5*w-4) = 128^(-2+4*w)});
> solve({4^(6*w)*1 = 256*(1/16)^w});
> solve({81^w*(1/9)^5 = 3*27^w});
Con dos incógnitas: Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas.
Ejercicios: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
> solve({(2^u)-4^(2*y)=0,u-y=15});
> solve({2^(2*x)*2^(5*y) = 2, 2^(-x+y) = 8});
> solve({2^(-4*x)*2^(-m) = 4^(-4), 5^m*25^(-x) = 25^x});
> solve({3^(r-r)*3^s = 27, 4^(-r)*64^r = (1/2)^(2*s)});
> solve({8^m*(1/2)^5 = 16^p, 3^p*(1/9)^(-m) = (1/27)^4});
164
Clase 4
Objetivos
> `Objetivos`;
> `Analizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la
Función Exponencial`;
> `Modelar fenómenos naturales a través de la Función
Exponencial`;
De la función exponencial
> `Recordemos la función exponencial:`;
> f(x)=b^x; b<>1; b>0;
> `La base puede pertenecer al rango [0,1] o bien mayor que
1.`;
> f(x)=4^x;
> k(x)=(1/3)^x; `o bien`; k(x)=3^(-x);
> `Por propiedad de las potencias,`;
> `ahora la base es mayor que 1, pero con exponente
negativo.`;
Sustancia Radioactiva
> `Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo
radiaciones y transformándose en otras sustancias.`;
> `Veamos un ejemplo:`;
> `Una sustancia radiactiva pierde el 10% de su masa cada
hora,`;
> `es decir, después de una hora queda solo el 90%, de la
cantidad inicial.`;
> `Por ejemplo, si se parte con:`; `400 gramos`;
165
> `El 10% es`;
> Digits:=2:400*0.1; `gramos`;
> `Entonces dentro de una hora habrá:`;
> Digits:=3: (400*0.9); `gramos.`;
> `Es decir,`; `400 ! 0,9`;
> `Luego en la 2º hora se pierden:`;
> Digits:=2: l:=(400*0.9): l*0.1; gramos;
> `Porque pierde masa con respecto a la masa que queda y no
de la masa inicial.`;
> `y quedan`;
> Digits:=3: b:=(400*0.9): b*0.9; gramos;
> `Es decir,`; `400 ! 0,9 ! 0,9`;
> `Entonces a la hora 3º, quedará el 90% de 324 gramos.`;
> Digits:=4: m:=(400*0.9): m*0.9*0.9; `gramos.`;
> `Es decir,`; `400 ! 0,9 ! 0,9 ! 0,9`;
> `Así sucesivamente cada hora.`;
> `Si se realiza una tabla con estos datos se tiene:`;
Hora Masa (gramos) Pérdida de masa
0 400
1 360 40
2 324 36
3 291,6 32,4
4 262,44 29,16
5 236,196 26,244
6 212,5764 23,6196
7 191,31876 21,25764
Cuadro 14. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva
166
Hora
Masa
(gramos) Pérdida de masa
Masa que queda (forma
numérica)
0 400 400
1 360 40 400 x 0,9
2 324 36 400 x 0,9 x 0,9
3 291,6 32,4 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9
4 262,44 29,16 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9
5 236,196 26,244 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9
6 212,5764 23,6196
400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9
x 0,9
7 191,31876 21,25764
400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9
x 0,9 x 0,9
Cuadro 15. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva
> `Veamos, en la primera hora de descomposición quedó el
90%: 360 gramos.`;
> `Como se puede observar, la cantidad de masa que queda en
determinada hora,`; `es el resultado de la multiplicación
de la masa inicial por 0,9,`; `0,9 se multiplica por si
mismo tantas veces indique la hora.`;
> `Ejemplo: en 4 horas la masa resultante es:`;
> Digits=2: h[4]=expand(400*0.9*0.9*0.9*0.9); restart:
h[4]=`400*0.9*0.9*0.9*0.9`;
> `Esta operación puede ser definida en una función, donde
la variable x indica las horas,`; `se tiene la variable y
que indica la cantidad de masa desintegrada en x horas.`;
> f(x)=400*(0.9^x); ` Por ejemplo en horas 4.`;
> F:=x->400*(0.9^x):f(4)=F(4); plot(F,0..60, color=cyan,
thickness=3);
167
Figura 59. Masa en función del tiempo de una sustancia radioactiva
> `Porque se perdieron por descomposición radioactiva 10%, y
queda el 90%.`;
Conclusión
> `Conclusión:`;
> `Las sustancias radiactivas que se desintegran, reducen su
masa,`;` es por esto que la función, en este caso, es del
tipo exponencial decreciente.`;
> `Es decreciente, porque la base de la potencia pertenece a
[0,1],`; `que es 0,9.`;
Interés Compuesto
> `Un caballero quiere depositar su dinero en el banco para
mayor seguridad.`;
> `$10.000.000.-`;
> `por 6 meses`;
> `Va al banco, le dicen que el interés para depositar en
ese tiempo es del 2%,`;
168
> `es decir, el interés se aplica al valor inicial, y el
próximo interés se aplica al nuevo valor.`;
> `Del banco le entregan la siguiente información:`;
Mes Depósito inicial
Interés
desarrollado Interés Depósito final
0 10000000
1 10000000 10000000x0,02 200000 10200000
2 10200000 10200000x0,02 204000 10404000
3 10404000 10404000x0,02 208080 10612080
4 10612080 10612080x0,02 212242 10824322
5 10824322 10824322x0,02 216486 11040808
6 11040808 11040808x0,02 220816 11261624
Cuadro 16. Depósito en el interés compuesto
> `Al finalizar el período el caballero se llevará
$11.486.857.-`;
> `Al caballero le gustó la oferta y deposita el dinero.`;
> `Pero la secretaria del banco le explica de otra manera:`;
> `Para calcular el interés de cada mes.`;
> `En el primer mes el interés es de:`; 10000000*0.02;
pesos;
> `entonces, el dinero en el primer mes será de:`;
> Digits:=3: 10000000*1.02;
> `Para calcular esto:`;
> `Se debe sumar el 2% de interés al valor inicial. es
decir, multiplicar por 1,02`;
169
> `10.000.000 x (1+0,02)`;
> `10.000.000 x 1,02`;
> Digits:=3: 10000000 * 1.02;
> `En el segundo mes, el interés será:`; 10200000*0.02;
pesos;
> `entonces, el dinero en el segundo mes será de:`;
> Digits:=5: 10200000*1.02;
> `Para calcular esto:`;
> `Se debe sumar el 2% de interés a 10200000, es decir,
multiplicar por 1,02.`;
> `10.200.000 x (1+0,02)`;
> `10.200.000 x 1,02`;
> 10200000 * 1.02;
> `Pero el valor 10.200.000 proviene de otra operación:`;
> `10.000.000 x (1+0,02)`=10200000;
> `reemplazamos en`; `10.200.000 x (1+0,02)`;
> `la cifra 10.200.000`; `10.000.000 x (1+0,02) x
(1+0,02)`;
> `10.000.000 x (1+0,02)`^2;
> 10000000*(1+0.02)^2;
> `Se obtiene una potencia de base mayor que 1`;
> `y de exponente 2 que, corresponde a los 2 meses.`;
> `En el tercer mes, el interés será:`; 10404000*0.02;
pesos;
> `entonces, matemáticamente será de:`;
> Digits:=6: 10404000*1.02;
> `Para calcular esto:`;
170
> `Se debe sumar el 2% de interés a 10404000, es decir,
multiplicar por 1,02`;
> `10.404.000 x (1+0,02)`;
> `10.404.000 x 1,02`;
> 10404000 * 1.02;
> `Pero el valor 10.404.000 proviene de otra operación:`;
> `10.000.000 x (1+0,02)`^2=10404000;
> `reemplazamos en`; `10.404.000 x (1+0,02)`;
> `la cifra 10.404.000`; `10.000.000 x (1+0,02) x
(1+0,02) x (1+0,02)`;
> `10.000.000 x (1+0,02)`^3;
> 10000000*(1+0.02)^3;
> `Se obtiene una potencia de base mayor que 1`;
> `y de exponente 3 que, corresponde a los 3 meses`;
> `Asi se obtiene una fórmula para tener el depósito de cada
mes.`;
> `10.000.000 x (1+0,02)`^3;
> K*(1+i)^t;
> donde;
> `K= capital inicial`; `i= interés`; `t= tiempo en
meses`;
> `Entonces, el caballero quiere saber cuánto dinero tendrá
en 9 meses, con el mismo interés.`;
> `La secretaria le señala que haga uso de la fórmula.`;
> restart: c[f]:=t->K*(1+i)^t: C[f](t)=c[f](t);
> K:=10000000: i:=0.02: C[f](t)=K*(1+i)^t;
> restart: K:=10000000: i:=0.02: c[f]:=t->K*(1+i)^t:
C[f](t)=c[f](t): C[f](9)=c[f](9);
171
Mes Depósito
Inicial Fórmula Desarrollada Forma Exponencial Depósito
Final
0 10000000 1 10000000 10000000x1,02 10000000x1,02 10200000 2 10200000 10000000x1,02x1,02 10000000x1,022 10404000 3 10404000 10000000x1,02x1,02x1,02 10000000x1,023 10612080 4 10612080 10000000x1,02x1,02x1,02x1,02 10000000x1,024 10824322
5 10824322 10000000x1,02x1,02x1,02x1,02x
1,02 10000000x1,025 11040808
6 11040808
10000000x1,02x1,02x1,02x1,02x1,02x1,02
10000000x1,026 11261624 Cuadro 17. Depósito en el interés compuesto
> `Esta fórmula es la llamada interés compuesto.`;
> `De esta manera se puede observar que la ecuación es
exponencial.`;
> `Veamos en un gráfico:`;
> C[ci]:=10000000: i:=0.02: C[f]:=t->10000000*(1+0.02)^t:
plot(C[f],0..180,0..149000000, tickmarks=[3,4]);
Figura 60. Interés en función del tiempo
172
Ejercicio: Bacteria
> `Determine la función que representa el número de
bacterias que hay en una población después de x horas,`;
`si se sabe que inicialmente había 20000 bacterias y que la
población se cuadruplica cada hora.`;
Solución a ejercicio de Bacteria.
> `En una hora se tiene:`;
> `20000!4`=80000;
> `A las dos horas:`;
> `20000!4*4=20000!4`^2=320000;
> `A las tres horas:`;
> `20000*4*4*4=20000*4`^3=1280000;
> `Después de n horas:`;
> 20000*4^n;
> `Entonces, teniendo a n como el número de horas que
transcurren desde el momento inicial, se tiene que la
cantidad de bacteria se representa por la siguiente
función:`;
> r(n)=20000*4^n; r:=n->20000*4^n:
> `Si queremos saber el número total de bacterias, en la
hora octava, reemplazamos n por 8`;
> r(8):=20000*4^8;
> L(n)=20000*4^n; l:=n->20000*4^n: plot(l,0..3,0..1000000,
xtickmarks=4);
173
Figura 61. Bacterias en función del tiempo
Conclusión.
> `Analizamos 2 aplicaciones, pero existen muchas otras de
las que se puede hacer uso de las Matemáticas.`;
> `En especial la Función Exponencial.`;
> `En la cual, la base puede pertenecer al rango:`;
> [0,1];
> `o bien, la base puede ser`;
> base>1;
> `Según este criterio, la función será creciente o
decreciente.`;
174
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Clase 1
Objetivo
> `Objetivos`;
> `Definir el concepto de Función Logarítmica.`;
> `Analizar expresiones algebraicas.`;
> `Comparar gráficos`;
Actividad introductoria
Introducción
> `Actividad Introductoria`;
> `Logaritmo al Rescate`;
> `Cuando se resuelven ecuaciones exponenciales existe
siempre la posibilidad de que algunos números enteros
queden expresados de forma exponencial.`;
Ejemplo 1
> 8=`2`^3; 9=`3`^2; 144=`12`^2;
> 531441=`3`^12;
> `Éstos números enteros mostrados en el ejemplo anterior
(8, 9, 144, 531441) comparten la misma característica.`;
> `Se pueden escribir como potencia de otros números
enteros.`;
> `Por esto hay ciertos números enteros que se pueden
escribir con distinta base entera.`;
175
Ejemplo 2
> 64=`8`^2;
> 64=`4`^3;
> 64=`2`^6;
Análisis
> `Puede notar que algunos números enteros son expresados
como potencias (generalmente son los cuadrados y cubos de
los primeros números enteros.`;
Ejemplo 3: "Los de base 2"
> `Para el caso de números "de base 2" se tiene el conjunto
de los siguientes pares ordenados.`;
> restart; C:=[[n,2^n] $n=1..10];
> `Representados gráficamente uno por uno tenemos:`;
> with (plots):
> C1:=[[n,2^n] $n=0..1]: C2:=[[n,2^n]$n=0..2]:
C3:=[[n,2^n]$n=0..3]: C4:=[[n,2^n]$n=0..4]:
C5:=[[n,2^n]$n=0..5]: C6:=[[n,2^n] $n=0..6]:
C7:=[[n,2^n]$n=0..7]: C8:=[[n,2^n]$n=0..8]:
C9:=[[n,2^n]$n=0..9]: C10:=[[n,2^n]$n=0..10]:
> a1:=plot(C1,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a2:=plot(C2,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a3:=plot(C3,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a4:=plot(C4,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a5:=plot(C5,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a6:=plot(C6,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a7:=plot(C7,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a8:=plot(C8,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a9:=plot(C9,x=0..10,y=0..100,style=point):
176
> a10:=plot(C10,x=0..10,y=0..100,style=point):
> display([a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10],insequence=true,
title=`Pares ordenados de los cuadrados de los primeros 10
naturales`);
Figura 62. Cuadrados de los primeros números naturales
> `Cada par ordenado representa a: Abscisa como exponente en
base dos, y Ordenada a el valor correspondiente`;
Ejemplo 4: "Cuadrados, cubos..."
> `Por supuesto, podemos seguir encontrando números que
cumplan la condición de ser expresados como expresión
exponencial, pero tomando no sólo los de "base 2"`;
> `Pueden ser los de "base 3"`;
> E:=[[n,3^n] $n=1..10];
> F:=[[n,4^n] $n=1..10];
> G:=[[n,5^n] $n=1..10];
177
> `Gráficamente tenemos de lo anterior`;
> with (plots):
> E1:=[[n,2^n]$n=0..10]: E2:=[[n,3^n] $n=0..10]:
E3:=[[n,4^n] $n=0..10]: E4:=[[n,5^n] $n=0..10]:
> a1:=plot(E1,x=0..10,y=0..100,style=point):
> a2:=plot([E1,E2],x=0..10,y=0..100,style=point):
> a3:=plot([E1,E2,E3],x=0..10,y=0..100,style=point):
> a4:=plot([E1,E2,E3,E4],x=0..10,y=0..100,style=point):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,title=`Pares que se
pueden escribir como expresión exponencial`);
Figura 63. Pares que se pueden escribir como expresión exponencial.
> `Cada par ordenado corresponde a: Abscisa como exponente
en base dos, tres, cuatro y cinco; y Ordenada al valor
correspondiente`;
178
> `Como usted podrá notar son prácticamente no más de 20 los
pares ordenados que cumplen la condición necesaria`;
Extensión
> `Ahora la pregunta es la siguiente`;
> `¿Se podrán escribir todos los números de forma
exponencial?`;
> `Como sabemos al notar que los siguientes pares
ordenados:`;
> C:=[[n,2^n] $n=1..10]; E:=[[n,n^3] $n=1..10]; F:=[[n,n^4]
$n=1..10]; G:=[[n,n^5] $n=1..10];
> `Sólo fueron generados por las siguientes funciones:`;
> :restart: c(x)='2'^x; e(x)='3'^x; f(x)='4'^x; g(x)='5'^x;
c:=x->2^x: e:=x->3^x: f:=x->4^x: g:=x->5^x:
> `Y al graficarlas tenemos que:`;
> with(plots):
> a1:=plot(2^x,x=0..10,y=0..100):
> a2:=plot([3^x,2^x],x=0..10,y=0..100):
> a3:=plot([4^x,3^x,2^x],x=0..10,y=0..100):
> a4:=plot([5^x,4^x,3^x,2^x],x=0..10,y=0..100):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,title=`Curvas de
c(x), e(x), f(x), g(x)`);
179
Figura 64. Curvas para base 2, 3 ,4 y 5.
> `Cada función corresponde a curvas de la forma "n elevado
a x"`;
> `Se pueden extraer varias cosas importantes de lo
anterior`;
> `-En particular, cualquier número entre 0 y 100 se puede
escribir como expresión exponencial (de base 2, 3, 4, y 5)
ya que son funciones continuas.`;
> `-Existen valores reales que no se habían considerado
anteriormente (ya que sólo se habían tomado pares
ordenados)`;
> `-En general, cualquier número se puede escribir como
expresión exponencial.`;
> `-El dominio de todas estas funciones son los reales, y el
recorrido es el intervalo entre cero e infinito (sin
incluir el cero).
> `A medida que uno se va acercando al valor 17 en el eje y
se tiene que siempre se encontrará (en base 3 en este caso)
un valor real`;
180
> `En otras palabras para:`;
> f:=x->3^x;
> `f(2)`=f(2);
> `f(3)`=f(3);
> `Luego podemos decir que existe un valor x, tal que
f(x)=17`;
> `f(x)=17`; 3^x=17;
> `Para saber el valor de x cuando esta en el exponente
cuando la base es 3 y el resultado es 17, es necesario usar
lo que llamaremos logaritmo`;
> `En este caso se dirá que el valor de x es el logaritmo de
17 en base 3`;
> `Este valor x es real, ya que gráficamente se muestra que
la función no muestra discontinuidades`;
> `Por el momento sólo podemos decir que el valor de x varía
entre 9 y 27`;
Extendiendo Análisis
> `Si considera la función f(x)`=x^3;
> restart: with(plots):
> a1:=plot(3^x,x=0..10,y=0..100):
> t1:=textplot([4.1,95,`3^x`]):
> b1:=display([a1,t1]):
> display({a1,b1},insequence=true);
181
Figura 65. Función acotada a [2,3]
> `Si la función estudiada se acota al intervalo [2,3] se
observa que no presenta discontinuidades`;
> a1:=plot(3^x,x=0..10,y=0..100):
> a2:=plot(3^x,x=1..8,y=3..50):
> a3:=plot(3^x,x=2..3,y=9..27):
> display([a1,a2,a3],insequence=true);
Figura 66. Acotación de función al punto y=17.
> `A medida que se va acercando al valor 17 en el eje y se
tiene que siempre se encontrará (en base 3 en este caso) un
182
valor real`;
> `En otras palabras para:`;
> f:=x->3^x;
> `f(2)`=f(2);
> `f(3)`=f(3);
> `Luego podemos decir que existe un valor x, tal que
f(x)=17`;
> `f(x)=17`; 3^x=17;
> `Para saber el valor de x cuando está en el exponente
cuando la base es 3 y el resultado es 17, es necesario usar
lo que llamaremos logaritmo`;
> `En este caso se dirá que el valor de x es el logaritmo de
17 en base 3`;
> `Este valor x es real, ya que gráficamente se muestra que
la función no muestra discontinuidades`;
> `Por el momento sólo podemos decir que el valor de x varía
entre 9 y 27`;
Función Logaritmo
Introducción
> `La Función Logarítmica es del tipo:`; f(x)=`log[a]`(x);
a>0;
> `El comportamiento de la Función Logarítmica dependerá de
dos casos:`;
> `Primer caso:`; a>1;
> `Segundo caso:`; `0<a<1`;
183
Base entre 0 y 1
> `Consideremos la Función Logaritmo siguiente con base
0,5`;
> restart: P:=x->log[1/2](x); plot(P,-1..10, thickness=4,
tickmarks=[10,10]);
Figura 67. Curva de función logaritmo.
> `Se observa que la función intercepta al eje x en 1`;
> `Observemos otra función con un valor "a" entre 0 y 1`;
> Q:=x->log[1/8](x); plot(Q,-1..10,thickness=4,
tickmarks=[10,10], color=blue);
> `Nuevamente se observa que la curva intersecta en el punto
(0,1)`; `Observe la siguiente función con valor "a" entre 0
y 1`; with(plots): a1:=plot(log[0.1](x),x=-1..10,y= 3..8,
color=gray,title= `a=0,1`):
> a2:=plot(log[0.3](x),x=-1..10,y=-3..8, color=green,
title=`a=0,3`): a3:=plot(log[0.7](x),x=-1..10,y=-3..8,
color=orange,title=`a=0,7`):
> a4:=plot(log[0.9](x),x=-1..10,y=-3..8,color=pink,
title=`a=0,9`):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);
184
Figura 68.Curva de función logaritmo en que varía su base entre 0 y 1.
> `Se concluye que el dominio de estas funciones son los
reales positivos, y el recorrido todos los reales.`;
> `Notar que para x=0, siempre el valor de la imagen será
1`;
Base mayor que 1
> `Observe la siguiente función`;
> restart: R:=x->log[2](x); plot(R,-1..10, thickness=4,
tickmarks=[10,10]);
> `Nuevamente se observa que la curva intersecta a la
abscisa en el punto 1`;
> `Con un valor "a" igual a 10 se tiene`;
> restart: R:=x->log[10](x); plot(R,-1..10, thickness=4,
tickmarks=[10,10],color=blue);
> `Analicemos en conjunto para a=(2,7,10,100)`;
> with(plots):
185
> a1:=plot(log[2](x),x=-1..5,y=-8..8,color=gray,
title=`a=2`):
> a2:=plot(log[7](x),x=-1..5,y=-8..8,color=green,
title=`a=7`):
> a3:=plot(log[10](x),x=-1..5,y=-8..8,color=orange,
title=`a=10`):
> a4:=plot(log[100](x),x=-1..5,y=-8..8,color=pink,
title=`a=100`):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);
Figura 69. Curva de función logaritmo en que su es mayor que 1.
Ejercicios
Base entre 0 y 1
> `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e indique
su dominio y su recorrido.`; `Utilice plot(c)`;
> c:=x->log[1/6](x);
> plot(c,-1..10);
> restart; p:=x->log[1/60](x); q:=x->log[1/30](x); r:=x-
>log[1/7](x);
186
> `En el siguiente gráfico se puede observar las funciones
anteriores:`;
> with(plots):
> a1:=plot(log[1/6](x),x=-1..4,y=-5..10,color=gray,
title=`log[1/6](x)`):
> a2:=plot(log[1/60](x),x=-1..4,y=-5..10,color=green,
title=`log[1/60](x)`):
> a3:=plot(log[1/30](x),x=-1..4,y=-5..10,color=cyan,
title=`log[1/30](x)`):
> a4:=plot(log[1/7](x),x=-1..4,y=-5..10,color=violet,
title=`log[1/7](x)`):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);
Figura 70. Función logaritmo (Ejercicio)
187
Figura 71. Función logaritmo (Ejercicio)
> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los
números reales positivos, y el recorrido son los reales`;
`Se concluye que la función en cualquiera de estos casos,
es decreciente`;
188
Base mayor que 1
> `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e indique
su dominio y su recorrido.`;
> restart; c:=x->log[5](x);
> plot(c,-1..10);
> d:=x->log[25](x); e:=x->log[50](x); f:=x->log[300](x);
> with(plots):
> a1:=plot(log[5](x),x=-1..5,y=-10..15,color=gray,
title=`log[5](x)`):
> a2:=plot(log[25](x),x=-1..5,y=-10..15,color=green,
title=`log[25](x)`):
> a3:=plot(log[50](x),x=-1..5,y=-10..15,color=orange,
title=`log[50](x)`):
> a4:=plot(log[300](x),x=-1..5,y=-10..15,color=pink,
title=`log[300](x)`):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);
Figura 72. Función logaritmo (Ejercicio)
189
> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los
números reales positivos, y el recorrido son los reales;`;
`Si aumenta la base, el comportamiento de la función
siempre es creciente.`;
Conclusiones
> `Cuando 0<a<1:`; `Dom: Reales positivos, Rec: Reales, y
función es decreciente`;
> `Cuando 1>a:`; `Dom: Reales positivos, Rec: Reales y
función es creciente`;
Clase 2
Objetivos
> ` Objetivos`;
> ` Analizar expresiones algebraicas.`;
> ` Comparar funciones.`;
> ` Resolver ejercicios.`;
> ` Identificar el logaritmo natural.`;
Cuadro Comparativo
190
Cuadro 18. Tabla comparativa de la función logarítmica
> `Se ha comprobado que el dominio de la Función Logarítmica
son todos los números reales.`; `El recorrido de la función
exponencial son los números reales.`;
> `Analicemos lo siguiente`;
> restart: `Se tiene las siguientes dos funciones:`; f:=x-
>10^x; g:=x->log[10](x); h:=x->x:
> plot({f,g,h},-10..10,y=-10..10,thickness=3, tickmarks
=[5,5]);
Figura 73. Función logaritmo v/s Función Exponencial
> `Observar que: Las curvas son simétricas con respecto a la
función h(x)=x`;
191
> `Esta propiedad muestra que dos funciones, una exponencial
y otra logarítmica, que contengan la misma base siempre
serán simétricas con respecto a la función anteriormente
citada`;
> `Por lo anterior se muestra gráficamente que ambas
funciones son la inversa una de la otra.`;
> `Ejercicios: Compruebe graficando funciones logarítmica y
exponenciales con misma base`; `Relacione lo anterior con
el inicio de la unidad (Actividad introductoria)`;
Corte en el eje de la ordenada
> `Observar las siguientes funciones`;
> restart: f:=x->5*log[2](x); g:=x->5*log[3](x); h:=x-
>5*log[4](x); i:=x->5*log[5](x);
> f:=x->5*log[2](x): g:=x->5*log[3](x): h:=x->5*log[4](x):
i:=x->5*log[5](x): with(plots): a1:=plot(5*log[2](x),x=-
10..10,y=-10..10,color=gray,title=`5*log[2](x)`):
a2:=plot(5*log[3](x),x=-10..10,y=-
10..10,color=green,title=`5*log[3](x))`):
a3:=plot(5*log[4](x),x=-10..10,y=-
10..10,color=cyan,title=`5*log[3](x)`):
a4:=plot(5*log[5](x),x=-10..10,y=-
10..10,color=violet,title=`5*log[3](x)`):
display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3,thickness
=5);
192
Figura 74. Función logaritmo ponderada.
> `Note que todas las funciones anteriores cortan al eje de
las abscisas en el [1,0]. Saque las conclusiones
respectivas`;
> `Si se tiene una constante que multiplica a la Función
Logarítmica, el punto de corte no se verá alterado, ¿en qué
se diferencia con la función exponencial?.`;
193
Asíntotas
> `Observe las siguientes Funciones Logarítmicas`;
> restart: f:=x->log[2](x)+4; g:=x->log[3](x)+4; h:=x-
>log[4](x)+4; i:=x->log[5](x)+4;
> with(plots):
> a1:=plot(log[2](x)+1,x=-10..10,y=10..10,color=gray,
title=`log[2](x)+4`):
> a2:=plot(log[3](x)+1,x=-10..10,y=-10..10,color=green,
title=`log[3](x)+4`):
> a3:=plot(log[4](x)+1,x=-10..10,y=-10..10,color=cyan,
title=`log[4](x)+4`):
> a4:=plot(log[5](x)+4,x=-10..10,y=-10..10,color=violet,
title=`log[5](x)+4`):
> display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=4);
Figura 75. Función logaritmo más una constante.
194
> `Notar que:`; `La asíntota sigue estando en el eje de las
ordenadas, independiente de si se le agregue una constante
(Compruebe con valores constantes mayores, probablemente
deberá usar mayores valores extremos para la visualización
en el gráfico)`; `Ejercicio: Verifique que sucede con el
punto de corte en la abscisa`; `Compare con lo estudiado
con la Función Exponencial.`;
Clase 3
Objetivos
> `Objetivos`;
> `Resolver ecuaciones logarítmicas.`;
> `Analizar soluciones de ecuaciones logarítmicas `;
> `Ejercicios propuestos`;
> `Afirme si es verdadero o falso las siguientes enunciados
(gráficamente)`; `log[5]`(sqrt(3))>`log[5]`(sqrt(2));
`log[0,1]`(sqrt(3))>`log[0,1]`(sqrt(2));
`log[2]`(sqrt(5))>`log[2]`(sqrt(5));
> `Afirme si es verdadero o falso las siguientes
afirmaciones (gráficamente)`; `Si log[5](x)>0, entonces
x>1`; `Si log[3](x)>1, entonces x>3`; `Si log[2](x)>1,
entonces 0<x<2`; `Si log[0,5](x)<0, entonces x>1`;
> `Resuelta las siguientes inecuaciones`;
`log[2](x)<log[2](5/3)`; `log[1/2](x)>log[1/2](7)`;
`log[2](x)>log[2](3.14)`;
195
> `Dé el dominio de la función en cada caso (graficando las
funciones)`; `f(x)=log[1/2](log[2](x^2-1))`;
`f(x)=log(log(x^2+x+2)`; `f(x)=log(log(6x^2-13x+7)`;
`f(x)=sqrt(log[10](x^2-x-1))`;
Clase 4
Objetivos
> `Objetivos`;
> `Analizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la
Función Logarítmica `;
> `Modelar fenómenos naturales a través de la Función
Logarítmica`;
Escala Richter (Aplicación)
> `La escala que ha sido desarrollada para medir terremotos
se le conoce como la escala Richter. La magnitud de un
terremoto medida por la escala Richter está dada por la
expresión:`;
> `R=log`(E/I[o]);
> `Donde "E" es la magnitud de las vibraciones del terremoto
medido y "Io" es la magnitud de la unidad de un terremoto
estándar (medida con un sismómetro).`;
> `Un sismo imperceptible tiene una magnitud 3 grados
Richter, y un terremoto puede ser considerado con una
magnitud 7.2`;
196
> `Usando la definición de la Escala de Richter:`;
> `3.0=log`(E[tip]/I[o]);
> `7.2=log`(E[terr]/I[o]);
> `Por propiedad de logaritmo:`;
> `7.2=log E(terr) -log Io`;`3.0=log E(tip) -log Io`;
> `Luego:`;
> `4.2=log E(terr)-log E(tip)`;
> `Usando la misma propiedad:`;
> `4.2=log`(E[terr]/E[tip]);
> ` log `(E[terr]/E[tip])=10^(4.2);
> ` log `(E[terr]/E[tip])=15849;
> `Un terremoto de 7.2 es 15849 veces más intenso que uno de
3.0`;
> `Ejercicios:`;
> `Determine cuantas veces más intenso es un terremoto con
respecto a otro`;
> `a) 3.0 Richter - 9.5 Richter (Valdiva 1960)`; `b) 3.0
Richter - 8.8 Richter (Cobquecura 2010)`; `c) 7.2 Richter -
8.8 Richter (Cobquecura 2010)`;
197
Conclusiones
La incorporación de las TIC´s en las escuelas, en los hogares, ha
transformado la vida de las personas; en la actualidad, los jóvenes tienen
Internet en sus casas, manejan celulares con las últimas innovaciones, están
actualizados con los nuevos aparatos tecnológicos. Es por esto, nuestro interés
en el diseño de propuestas metodológicas en el ámbito de las matemáticas,
utilizando un procesador simbólico, es decir, una herramienta matemática. Así,
teniendo esta tecnología, como futuros docentes:
• Estamos más cerca del mundo en el cual viven los jóvenes de hoy,
estamos más relacionados con la actualidad tecnológica, sabemos qué es lo
que les llama la atención, el hecho de que los(as) estudiantes conozcan más
tecnología que nosotros los docentes, es un desafío, para implementar ésta en
las clases.
• Además facilita la transferencia e incorporación del aprendizaje, al
utilizar TIC´s, porque, los(as) jóvenes se interesan más, investigan, trabajan,
lográndose los objetivos propuestos.
En suma, nuestro trabajo quiere facilitar herramientas de aprendizaje,
en donde, el alumno(a) pueda construir competencias y desarrollar habilidades,
para que llegue a descubrir el gusto de la experiencia matemática, mediante la
utilización de un procesador simbólico, permitiendo que la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas sea atractiva, eficaz, significativa y cumpla los
objetivos formulados.
198
Para sustentar nuestro trabajo, es necesario poseer bases teóricas del
aprendizaje, es por esto que, revisamos algunos modelos de enseñanza,
partiendo del enfoque Conductual, que se refiere a disciplinar la mente y la
conducta; llegando a la Teoría Constructivista, que trata de la construcción de
aprendizajes en el alumno, para que pueda realizar conexiones cognitivas que
le permitan desarrollar operaciones mentales, utilizando sus conocimientos
anteriores para relacionarlos con los nuevos, revisamos que el individuo que
aprende debe construir los conceptos a través de la interacción con los objetos
y con otros sujetos.
Teniendo una base teórica constructivista, que también se encuentra
en la matemática educativa, nos queremos enfocar a la enseñanza matemática
en el aula, revisando la manera de entregar y facilitar el aprendizaje, que el
docente transfiere en el aula, esto lleva a que el docente realice un esfuerzo,
para que éste se convierta en un organizador, coordinador, asesor del proceso
de adquisición del conocimiento para el alumno(a), esto lleva a revisar las
prácticas docentes y a añadir nuevas técnicas de aprendizaje, llegando a la
inminente incorporación de las Tecnologías de Información y Comunicación a la
enseñanza de las matemáticas. Esta incorporación nos lleva a la utilización del
procesador simbólico: Maple 9, como herramienta para el aprendizaje, porque
es un procesador diseñado para cálculos y nosotros lo adecuamos para el
proceso de enseñanza en la educación.
La manera de hacer matemáticas, está regida por el Marco Curricular,
regulado por los Objetivos Fundamentales Transversales en el Decreto 220 y
complementado por los Mapas de Progresos, en el caso de nuestro trabajo
utilizamos el Mapa de Progreso de Álgebra, que nos orientó en la evaluación de
los aprendizajes adecuados a la edad de los(as) estudiantes, es decir, la
199
indicación del nivel de logro, también nos entregó criterios de observación y
descripción cualitativa del aprendizaje obtenido.
Por otra parte, incluimos en este trabajo la encuesta realizada a
profesores y profesoras de matemática que actualmente están ejerciendo la
labor docente en la Región Metropolitana, logrando obteniendo su percepción
en cuanto a la incorporación de las TIC´s en el aula, encontrando distintas
visiones, las cuales varían de acuerdo a la edad del entrevistado, puesto que si
mayor son los años de vida de la persona, más le dificultaba incluir las TIC´s en
sus clases debido a la gran experiencia con que cuentan para hacer las clases.
En cambio, si el encuestado(a) es más joven, le es más fácil, ya que se
encuentra con disposición favorable para incorporar las herramientas
tecnológicas.
Además identificamos diversas razones por las cuales no se utiliza
TIC´s en las salas de clases, de las cuales destacamos dos:
• La primera es el tiempo que se requiere invertir para planificar
clases con algún programa computacional, ya que es necesario un cambio de
visión y metodología de la enseñanza para el aprendizaje, además de
actualizaciones y capacitaciones constantes, debido a los frecuentes cambios y
actualizaciones tecnológicas que ocurren en la sociedad, idea que reconocimos
al realizar las planificaciones ya que se necesita de actividades que realmente
sean significativas y no todas logran este objetivo.
• El segundo motivo es la falta de recursos tecnológicos de calidad,
puesto que no todos los establecimientos cuentan con este tipo de herramientas
y programas computacionales y educacionales. Aunque también hay que
200
señalar que actualmente se observa una fuerte inversión del Estado, para la
incorporación y mejora de tecnología y capacitación de los docentes.
Con la utilización del Procesador Simbólico, construimos actividades
motivadoras para los alumnos(as), de manera de presentar una clase con este
procesador, con animaciones, gráficos, para hacer una clase más clara y
llamativa, realizamos clases de ejercicios y llevamos la matemática al ámbito
físico, es decir, las aplicaciones.
Construir las actividades, fue un camino de largo estudio, ya que
debimos aprender la utilización de Maple 9, comenzamos trabajando con
operaciones sencillas, nos instruimos sobre los comandos de ejecución para
realizar las operaciones matemáticas, aprendimos a construir gráficos,
animaciones, entre otras.
Después empezamos a planificar las clases: primero estableciendo
objetivos de éstas, luego trabajamos actividades exploratorias previas para
introducir los contenidos de la clase, es decir, queríamos lograr el aprendizaje
significativo: relacionar las ideas previas que posee el alumno(a) con la
presentación del nuevo contenido, para que procediéramos a la explicación de
conceptos de manera formal y de explicitar sus clasificaciones; después
generamos las actividades a desarrollar en clases de forma individual y grupal,
utilizando la evaluación formativa; a cada estudiante se le solicita el envío de su
trabajo en Maple 9 y para finalizar cada clase se retroalimentaba lo aprendido.
201
Las ventajas que trae consigo la utilización de este procesador son las
siguientes:
• Planificar clases atractivas para los alumnos(as), facilitando la
atención de éstos, para que estén más dispuestos a entender las materias,
debido a la existencia de una mayor interacción para obtener mejores
resultados,
• Al docente se le es más fácil la entrega de conocimiento, ya que la
clase ya está planificada con el procesador, está a solo un paso de hacer “clic”
y además solo necesita los elementos tecnológicos para implementarla,
• Aprovecha los tiempos, es decir, al presentar gráficos en el
procesador sólo tenemos que ejecutar la operación, pero si lo realizamos en
papel, resulta una trabajo demoroso, imperfecto y defectuoso,
• Maple 9 es una gran calculadora, por lo cual, desarrolla ejercicios
de forma eficaz y eficiente,
• Maple 9 es un software matemático, que adaptamos para la
utilización en la educación, lo que quiere decir, que no tan sólo se puede usar
en matemáticas, sino que también en otras ramas educativas, como tal vimos
en las aplicaciones físicas, económicas, entre otras.
Como desventaja, podemos señalar que, con este procesador, hay que
tener mucho cuidado al ejecutar las operaciones, es decir, es muy sensible
cuando se quiere realizar alguna operación, las indicaciones deben ser claras y
precisas, cualquier error de escritura, sea una coma, un paréntesis, el
procesador no podrá presentar la solución del problema.
202
El procesador es una T.I.C., por ende está relacionado al mundo de los
jóvenes que día a día actualizan su manera de estar comunicados con el
mundo, permitiendo combinar los datos de forma numérica, simbólica y gráfica,
tratando a las matemáticas de manera global.
Esta propuesta contempla el diseño de actividades que están pensadas
principalmente para trabajar con el procesador simbólico Maple 9, pero que
pueden ser aplicadas a cualquier procesador o software matemático.
El aprendizaje obtenido al finalizar este trabajo es de gran importancia
para nuestra labor docente puesto que aprendimos a utilizar un software que no
fue diseñado para la educación, sino que lo orientamos y usamos como una
herramienta facilitadora del aprendizaje. Además durante el desarrollo del
trabajo, reconocimos las necesidades tecnológicas presentes en la sociedad
actual las cuales no están relacionadas con la falta de herramientas, sino con la
utilidad que se les brinda.
Por último, el término de este seminario no representa que acabe el
estudio y la profundización de los conocimientos, sino es el comienzo de un
nuevo viaje lleno de aprendizajes que debemos transmitir a aquellos
estudiantes que encontraremos a lo largo de nuestra experiencia laboral como
docentes.
203
Bibliografía
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Barcelona, 2002.
• Castillo, Sandra. Documento de: “Propuesta Pedagógica basada en el
Constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la Enseñanza y el
Aprendizaje de las Matemáticas”.
• Cox, Cristián. Políticas educacionales en el cambio de siglo: La reforma
del sistema escolar de Chile. Ministerio de Educación. Chile: Santiago,
2003.
• González, Patrício; Soto Jorge. Matemática. Tercer Año Medio. Editorial
Marenostrum. ISBN: 956-294-137-X. España. 2006-2007.
• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Teixeira, José; Machado, Nilson; Cintra,
Márcio; Da Silveira, Luiz; Santos, Antonio. Matemática. 1º serie. 2º Grau.
IBS 85-7056-565-8. Brasil: São Paulo, 1994.
• Litwin, Edith; Maggio, Mariana; Lipsman, Marilina. Tecnologías en las
aulas. Las nuevas tecnologías en las prácticas de la enseñanza. Casos
para el análisis. Madrid, 2004.
• MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje:
Algebra, Sector Matemáticas. ISBN: 978-956-292-224-1. Chile:
Santiago, 2009.
204
• MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector
Matemáticas. ISBN 956-7933-56-1. Unidad de Curriculum y Evaluación.
Chile: Santiago, 2001.
• MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector
Matemáticas. ISBN 956-7933-86-3. Unidad de Curriculum y Evaluación.
Chile: Santiago, 2001.
• Oliva, Gustavo. La centralidad del alumno en el sistema educativo.
Gobierno, estructura y financiamiento de la educación. Argentina: Santa
Fe, 2002.
206
Anexo1: Encuesta
Estimado (a) Docente:
La presente encuesta tiene por objetivo conocer su opinión acerca del uso las
Nuevas Tecnologías de Comunicación e Información (TIC`s) y como afectan
nuestro entorno, para este fin se incluyen tres escalas de apreciación y
preguntas.
Parte I
Edad :_______________________________
Dependencia :_______________________________
Modalidad de Estudio :_______________________________
Tipo de Jornada :_______________________________
Composición del alumnado por sexo :_______________________________
Parte II
Marca con una X la alternativa que represente tu opinión con respecto a los
indicadores que se establecen a continuación:
Totalmente de acuerdo 3
De acuerdo 2
Medianamente de acuerdo 1
En desacuerdo 0
207
Las Nuevas Tecnologías y la Globalización
Indicadores 3 2 1 0
1. La tecnología es una herramienta que permite desarrollo
en el país
2. El uso de las nuevas tecnologías generan cambios en la
sociedad
3. Mejora la calidad de vida de las personas con la
implementación de NTIC`s
4. A pesar de los cambios tecnológicos en Chile, las cosas
siguen siendo igual
5. Las NTIC`s impondrán nuevas exigencias para la
sociedad chilena
6. El uso de las nuevas tecnologías permite la conexión con
otras naciones
7. Las personas deben adquirir competencias para
desarrollarse de manera óptima en la Sociedad
8. Se tiene acceso rápido a la información
Mi Relación con la Tecnología
Indicadores 3 2 1 0
1. La tecnología me permite ser independiente.
2. Me entretengo al utilizar tecnología.
3. Utilizo las NTIC`s para adquirir conocimientos.
4. Me complica utilizar tecnologías en mi quehacer
cotidiano.
5. Es complicado aprender a utilizar las nuevas tecnologías.
208
6. No confío en las NTIC`s porque fallan cuando se
necesitan.
7. Siento miedo de echar a perder los aparatos
tecnológicos.
8. No necesito de la tecnología.
9. La tecnología aumenta las desigualdades sociales.
10. Utilizo internet para descargar música, conversas con
otras personas, jugar, etc.
El uso de las NTIC`s en la escuela
Indicadores 3 2 1 0
1. La escuela debe adquirir aparatos tecnológicos.
2. El uso de las NTIC`s contribuye al proceso de enseñanza
y aprendizaje.
3. El sistema educativo se preocupa de capacitar a los
docentes en cuanto al uso de las TIC`s.
4. La escuela disminuye la brecha digital presente en la
sociedad actual.
5. La integración curricular de las NTIC`s requiere de un
cambio integral de los métodos de enseñanza.
6. Las escuelas cuentan con recursos tecnológicos
necesarios para el aprendizaje.
7. Se incorpora tecnologías en los procesos de aprendizajes
8. Profesores motivados con su trabajo innovan más en sus
métodos de enseñanza
9. Los docentes están dispuestos a utilizar recursos TIC`s
en el aula
209
Parte III
1. ¿Qué recursos TIC´s utilizas en tu labor docente?
2. CD-ROM
3. Computador
4. Power Point
5. Laboratorio de Computación
6. Proyector
7. Internet
8. Software Educativos
2. ¿Qué Software Educativo usted conoce?
3. Si usted tuviera que enseñar en matemática funciones, ¿utilizarías
recursos TIC`s?.¿Por qué?
210
4. ¿Qué entiende usted por laboratorio?
5. ¿Usted piensa que es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC`s
en las carreras de pedagogías?
211
Anexo 2: Glosario
Definición de los comandos utilizados en la propuesta de actividades
con Maple 9.
Comando Definición
; Para realizar cualquier operación, debe ir al final
^ Elevado a algo
[] Subíndice
:= Definición
:=`x` Borra el valor asignado a la variable x
Animate Animación
Digits:=4 Cantidad de decimales
Display Animación
evalf() Expresado en números
Exp( ) Número e elevado a
Expand( ) Expande la expresión
f:= Dada una función
factor() Factoriza
P(x):= Define un polinomio con coeficientes enteros
plot({función,x}) Para hacer gráficos
restart: No considera lo anterior
S:={} Soluciones de las raíces
Simplify Simplifica la expresión
Solve Resolver
Sqrt Raíz cuadrada
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