UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS
POR:
DEMETRIO WENHAM V.
.
CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDÉZ PEREIRA
PANAMÁ, 2009
MONOGRAFÍA PRESENTADA COMO UN
REQUISITO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE
LICENCIATURA EN MATEMÁTICA
Distribución de los Números Primos
Dedicatoria
Primeramente dedico este trabajo a YHWH porque Él me ha sabido guiar durante
toda mi vida y particularmente en la elaboración de este trabajo. También a mi
madre, abuelos y familiares que me han sabido educar de la mejor manera para
poder llegar a esto. Además a mis compañeros que me han apoyado y soportado
durante el transcurso de la carrera.
Tópicos de la Teoría Elemental de Números
Distribución de los Números Primos
Agradecimientos
Agradezco a YHWH por haberme dado la vida y por darme la sabiduría para
afrontar los retos que me ha deparado estudiar en esta carrera. De igual forma al
Dr. Jaime Gutiérrez que supo guiar adecuadamente a sus estudiantes durante el
transcurso del seminario. Finalmente a todos los profesores que han tenido el
interés de que los estudiantes aprendan y sigan interesados en elevar el nivel
matemático en cada uno de ellos.
Tópicos de la Teoría Elemental de Números
Distribución de los Números Primos
Índice
Introducción
1. Reseña histórica
2. Teorema del número primo
2.1. Enunciado del teorema
2.2. Prueba elemental (esbozo).
2.2.1 Plan de la demostración
2.3. Prueba analítica.
2.3.1 Plan de la demostración
2.4. Algunos teoremas equivalentes al teorema del número primo.
2.5. Una Propiedad interesante de /
3. Teorema escondido de Platón sobre distribución de números primos.
Conclusión
Recomendaciones
Bibliografía
Tópicos de la Teoría Elemental de Números
Distribución de los Números Primos
Introducción
Entre las muchas cuestiones en las que están implicados los números primos,
una de las más interesantes concierne a su distribución entre los números enteros.
Este trabajo se basa en la distribución de los números primos, se presenta como
los matemáticos a través de la historia se han interesado por este tema desde los
chinos, egipcios hasta los matemáticos modernos como es el caso de Fermat
Euler, Gauss y Legendre. Estos dos últimos conjeturaron que la función
es la que cuenta cuantos números primos aproximadamente hay en
un intervalo hasta x, que fue demostrado por Hadamard y de la Vallée Poussin y
de manera elemental por Erdros y Selberg y que se conoce como teorema de
distribución de los números primos o (PNT) que son las siglas en ingles “Prime
Number Theorem”. También existe otro teorema que estaba de manera implícita
en el libro “Leyes” de Platón y a este teorema se le conoce como teorema oculto
de Platón sobre distribución números de primos que se presentara junto al
teorema de los números primos.
Tópicos de la Teoría Elemental de Números
Distribución de los Números Primos
Capítulo 1.
Reseña Histórica
En la historia han ocurrido diversos sucesos en los cuales los números
primos forman parte de los temas más importantes e imponentes en la teoría de
números. Como plato principal la distribución de los números primos a sido
estudiada por diversos matemáticos al pasar del tiempo, exactamente, no se
conoce desde cuando empezó todo esto del encanto por los números primos y su
distribución, pero, se tienen hallazgos importantes las cuales pueden definir más o
menos o más bien tener una aproximación de cuando empezó el estudio de los
números primos.
En la antigüedad
En la antigüedad podemos rescatar más precisamente hace 35 000 años a. C. que
el hombre de aquella época ya podía diferenciar ya en la nomenclatura los
números primos, el hallazgo de un hueso de babuino da a pensar esta teoría. El
hueso de Ishango pudo ser tallado para establecer un sistema numérico.
Las tres columnas de muescas agrupadas asimétricamente implican que la
herramienta era más bien funcional que decorativa.
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La columna central comienza con 3 muescas y luego duplica su número. El mismo
proceso se repite con el número 4, que se duplica a 8 muescas, y luego se invierte
el proceso con el número 10, que es dividido por la mitad resultando en 5
muescas. Por esto se llega a la conclusión de que estos números no pueden ser
puramente arbitrarios, sino que sugieren algún atisbo de cálculos de multiplicación
y división por dos. El hueso puede haber sido usado por lo tanto como una
herramienta para llevar a cabo procedimientos matemáticos simples.
Además, el número de muescas de ambos lados de la columna central podría
indicar una mayor capacidad de conteo. Tanto los números de la columna
izquierda como los de la derecha son todos números impares (9, 11, 13, 17, 19 y
21). Los números de la columna izquierda son todos los números primos
comprendidos entre 10 y 20 (que conforman un primo cuádruple), mientras que los
de la columna derecha consisten en 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 y 20 - 1. Los números
de cada una de estas columnas suman 60, y la sumatoria de los números de la
columna central es 48. Ambos resultados son múltiplos de 12, lo que vuelve a
sugerir la existencia de un entendimiento de la multiplicación y la división
Fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt parecen aislar
cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este
hecho como la prueba del conocimiento de los números primos.
En la matemática egipcia, estos sólo operaban con las llamadas fracciones
unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1 ( , por lo que las
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fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como suma de inversos de
naturales, a ser posible sin repetición ( en lugar de ). Para ello
seguramente hacía falta disponer de una tabla de los primeros números primos.
La civilización china parece que fue la primera cultura en estar interesada en la
aritmética modular. Existe una hipótesis, documentada por Joseph Needham,
según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron estudiados por esta
civilización.
Así pues, matemáticos chinos formularon la hipótesis (a veces conocida como
hipótesis china) de que p es primo si y sólo si 2p ≡ 2 (mod p) (donde el símbolo ≡
significa congruencia según el módulo indicado). Es verdad que, si p es primo,
entonces 2p ≡ 2 (mod p) (este es un caso especial del pequeño teorema de
Fermat), pero el recíproco (si 2p ≡ 2 (mod p), entonces p es primo) no lo es, por lo
que la hipótesis es falsa.
Antigua Grecia (periodo helenístico)
La matemática griega hace referencia a la matemática escrita en griego desde el
600 a.C. hasta el 300 d.C. Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas
a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero
estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. La matemática griega del
periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas
helenísticas.
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Escuela Pitagórica
Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Thales (hacia 624 a.C –
546 a.C) y Pitágoras (hacia 582 a.C. - 507 a.C.).
Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas
probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias. Según la
leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemática, geometría y
astronomía de los sacerdotes egipcios.
Los matemáticos de la Escuela Pitagórica estaban interesados en los números por
su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de
primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.
Euclides
Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C.,
ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos.
En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números
primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza
el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el
Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un
producto único de primos.
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Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número
2n-1(2n - 1) es un número perfecto.
Eratóstenes
Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números
primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.
Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente
llamado la Edad Obscura.
Matemáticos Modernos
Renacimiento es el nombre dado al amplio movimiento de revitalización cultural
que se produjo en Europa Occidental en los siglos XV y XVI. Sus principales
exponentes se hallan en el campo de las artes aunque también se produjo la
renovación en la literatura y las ciencias, tanto naturales como humanas.
Fibonacci fue el matemático más original de su época y tuvo gran influencia en la
mayoría de los algebristas del Renacimiento.
Marin Mersenne (1588-1648)
Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. Se
los conoce como números de Mersenne. Se denominan así su memoria, quien en
su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que
sólo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números
primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que
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eran los únicos números primos de esa forma. Su lista sólo resultó ser
parcialmente correcta, ya que por error incluyó M67 y M257, que son compuestos, y
omitió M61, M89, y M107, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el
descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó
ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa sólo se
completó más de dos siglos después.
Pierre Fermat (1601-1665)
Después de la matemática griega, hubo pocos avances en el estudio de los
números primos hasta el siglo XVII.
Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de
Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los
matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995.
Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la
primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el
principio fundamental de la geometría analítica.
En 1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño
teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler.
Que dice asi:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, ap ≡ a (mod p).
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También Fermat conjeturó que todos los números de la forma eran
primos (debido a lo cual se los conoce como números de Fermat) y verificó esta
propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de
Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró
Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que
sea primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat.
Leonard Euler (1707-1783)
El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian
Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo.
Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los
trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este
matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.
Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del
análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los
números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de
Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la
función zeta de Riemann.
Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de
Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes
contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange.
Tópicos de la Teoría Elemental de Números
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También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo,
cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprinos con n.
Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño
teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.
Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos,
tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la
investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números
primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de
números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich
Gauss.
En 1747 demostró que todos los números perfectos pares son de la forma 2p − 1(2p
− 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no
existen números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.
En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un número primo
de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido
hasta el año 1867.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
Matemático francés. Hizo importantes contribuciones a la estadística, la teoría de
números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. En 1830 dio una prueba
del último teorema de Fermat para el exponente n = 5, casi simultáneamente con
Dirichlet en 1828.
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En teoría de números, conjeturó la ley de la reciprocidad cuadrática, probada
posteriormente por Gauss. También realizó trabajos pioneros en la distribución de
los números primos, y en la aplicación del análisis a la teoría de números. Su
conjetura, en 1796, del teorema de los números primos fue probada cierta por
Hadamard y de la Vallée-Poussin en 1896Escriba aquí la ecuación..
Marie-Sophie Germain (1776 -1831)
Fue una matemática francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de
números y la teoría de la elasticidad. Uno de los más importantes fue el estudio de
los que posteriormente fueron nombrados como números primos de Sophie
Germain.
Un número primo p es un número de Sophie Germain si 2p+1 también es número
primo.
Los números primos de Sophie Germain recibieron su nombre por la matemática
francesa que demostró que el Último teorema de Fermat era cierto para estos
números, esto es que, si p es un número primo de estas características entonces
no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación xp + yp = zp.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 -1855)
Considerado "El príncipe de la matemática" y "El matemático más grande desde la
antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la
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matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más
influencia ha tenido en la historia.
A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma
independiente que, cuando n tiende a infinito, el número de primos menores o
iguales que n es asintótico a , donde es el logaritmo natural de n.
El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función
logaritmo integral:
Pafnuti Chebyshov (1821-1894)
El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros
resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 por Chebyshov que fue un
matemático ruso quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la
existencia de dos constantes A y B tales que:
para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del
cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1.Tópicos de la Teoría Elemental de Números
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Georg Friedrich Bernard Riemann (1826-1866)
Fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis
y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo
más avanzado de la relatividad general.
La función zeta de Riemann, es una función que tiene una importancia significativa
en la teoría de números, por su relación con la distribución de los números primos.
La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para valores reales mayores que 1,
por la serie de Dirichlet:
En la región {s є C | Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función
que es analítica en esta región. Riemann observó que la función zeta puede
extenderse de manera única por continuación analítica a una función meromorfa
en todo el plano complejo con un único polo en s = 1. Esta es la función que se
considera en la hipótesis de Riemann.
Para los complejos con Re(s)<1, los valores de la función deben ser calculados
mediante su ecuación funcional, obtenida a partir de la continuación analítica de la
función.
Jacques Hadamard (1865 - 1963)
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Influyente matemático francés. Fue figura clave del panorama matemático francés
durante casi un siglo.
Cultivó la teoría de números, la de funciones y series, la topología y la geometría.
También contribuyó con sus obras a la mejora de la enseñanza de las
matemáticas y al estudio de su psicología y de su historia.
El teorema de los números primos fue demostrado por Él y C. J. de la Vallee
Poussin en 1896 usando ciertas técnicas muy complicadas de la teoría de análisis
de números. Además de compartir casi los mismos años de vida, Hadamard y
Vallee Poussin descubrieron sus demostraciones independientes y
simultáneamente.
Charles-Jean de la Vallée Poussin (1866-1962)
Fue un matemático belga es conocido por haber demostrado (a la vez y de modo
independiente con el francés Hadamard) el teorema de los números primos,
utilizando para ello los métodos del análisis complejo.
En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando
de esta forma es:
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Para una constante positiva a y para cada entero m.
Niels Fabian Helge Von Koch (1870-1924)
Fue un matemático sueco, cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva
fractal llamada curva Copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales
en ser descritas.
Von Koch escribió muchos artículos sobre teoría de números. Uno de sus
resultados (1901) fue el teorema que probaba que la hipótesis de Riemann es
equivalente al Teorema de los números primos.
Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente
estimación, más precisa:
Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo
número primo, queda bien aproximado por . En efecto, pn es estrictamente
mayor que este valor.
Paul Erdős (1913 -1996)
Fue un matemático húngaro inmensamente prolífico y famoso por su excentricidad
que, con cientos de colaboradores, trabajó en problemas sobre combinatoria,
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teoría de grafos, teoría de números, análisis clásico, teoría de aproximación, teoría
de conjuntos y probabilidad.
Erdős fue uno de los publicadores de artículos matemáticos más prolíficos de
todos los tiempos, únicamente superado por Leonhard Euler (Erdős publicó más
artículos, pero Euler publicó más páginas). Escribió aproximadamente 1,500
artículos en el transcurso de su vida, colaborando con alrededor de 500 co-
autores. Él creía firmemente en las matemáticas como una actividad social.
Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo
métodos elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración
fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema como teorema
de los números primos.
Atle Selberg (1917 -2007)
Fue un matemático noruego, conocido por sus trabajos en la teoría analítica de los
números y sobre la hipótesis de Riemann.
Siendo estudiante, Selberg fue influenciado por los trabajos y la personalidad del
matemático Srinivasa Ramanujan. Estudió en la Universidad de Oslo, donde de
doctoró en 1943. Durante la Segunda Guerra Mundial trabajo en solitario sobre la
función zeta de Riemann. En 1948 realiza una demostración elemental del
Teorema de los números primos. A la vez, el matemático Paul Erdős realizó otra
demostración por lo que se inició una disputa entre los dos matemáticos, sobre
quien había demostrado primero el teorema.
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Andreas Zachariou
La historia detrás de una conjetura por el difunto profesor Andreas Zachariou del
Departamento de Matemáticas de la Universidad de Atenas, que un pasaje en el
Libro 5, 737e, 738 de Platón "leyes" es en realidad un "oculto" teorema relativo a
la disposición de los números primos. Cuyo articulo es publicado por Antonis
Vardulakis y Clive Pugh con el nombre de Plato's HiddenTheorem on the
Distribution of Primes.
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Distribución de los Números Primos
Capítulo 2.
1.Teorema del Número Primo
El comportamiento de como función de x ha sido objeto de un intenso
estudio a través de la historia por mucho matemáticos ilustres a partir del siglo
XVII. La inspección de tablas de primos condujeron a Gauss en 1792 y Legendre
en 1798 a conjeturar que es asintótica a .
Tal conjetura fue demostrada en 1896 por Hadamard y por de la Vallée Poussin y
se conoce como teorema del número primo.
Las demostraciones del teorema del número primo se clasifican en analíticas y
elementales, según los métodos utilizados para desarrollarlas. La demostración de
Hadamard y de la Vallée Poussin es analítica, utilizando la teoría de las funciones
de variable compleja y propiedades de la función zeta de Riemann. Una
demostración elemental fue hallada en 1949 por A. Selberg y P. Erdôs. Su
demostración no recurre a la función zeta de Riemann ni a la teoría de variable
compleja pero es bastante intricada.
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A continuación se les presentara detalles importantes de la demostración
elemental y de la demostración analítica.
2.1. Enunciado del teorema (PNT): Sea el número de primos que son
menores o iguales que x. El teorema establece que:
Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para
valores de x muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para
valores de x muy grandes es casi igual a 1. Es decir,
.
2.2. Prueba elemental (esbozo)
2.2.1. Plan de la demostración:
En esta sección haremos un esbozo de la prueba elemental pero para esto
necesitaremos algunos teoremas que nos ayudaran y facilitaran la comprensión
de la prueba.
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Distribución de los Números Primos
Definición (1): La función de von Mangoldt, normalmente escrita como Λ(n), está
definida de la siguiente manera:
Definición (2): Para cada definimos la función de Chebyshev por la
formula,
Luego de hacer una serie de arreglos con la misma definición podemos escribir,
Definición (3): la función de Môbius se define como sigue,
Si n>1, escribimos Entonces
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Obsérvese que si y solo si, n admite un divisor cuadrado >1.
Definición (4): Si x>0 definimos la función de Chebyshev por la ecuación,
En donde p recorre todos los primos .
Luego de la definición (2) podemos reescribir de esta forma,
Definición (5): Si para todo , escribiremos,
(Léase: << es mayúscula de >>)
para indicar que el cociente se halla acotado para ; esto es, existe una
constante tal que: para todo .
Una ecuación de la forma,
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significa que .
Teorema (1): si tenemos que:
que llamaremos (1)
Demostración: el teorema es cierto para n=1 ya que ambos miembros son 0. Por
consiguiente suponemos que n>1 y escribimos:
Tomando logaritmos tenemos
Ahora consideramos la suma del segundo miembro de (1). Los únicos términos no
nulos de la suma provienen de los divisores d de la forma para m = 1, 2,…,
y k = 1,2,…, r. luego
que prueba (1).
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Utilizando la inversión de Môbius que dice que si g(n) y f(n) son funciones
aritméticas satisfaciendo
Entonces
Para expresar a en términos de logaritmo.
Teorema (2): si tenemos:
Demostración: Invirtiendo (1) por la formula de inversión de Môbius obtenemos:
Puesto que para todo n, la demostración queda establecida.
Teorema (3): si tenemos:
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La prueba de este teorema se deja a consideración del lector.
Teorema (4): Para tenemos
En donde la suma se halla extendida a todos los primos .
Demostración: Puesto que excepto si n es una potencia de primo,
tenemos,
Pero implica . Además, por lo tanto podemos
escribir la última suma en la forma,
Ahora veremos que esta ultima suma es Tenemos
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Distribución de los Números Primos
Por tanto hemos probado
que, usado prueba el teorema.
Teorema (5): Para todo tenemos
y
La prueba de este teorema se deja a consideración del lector.
Teorema (6): Para todo tenemos que,
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.
Por consiguiente, existen dos constantes positivas tales que
y
A partir de la formula asintótica demostrada en el teorema (4)
Podemos obtener otra aplicación. Dicha formula asintótica se puede escribir en la
forma
En donde es la función definida como sigue
.
Formula asintótica de Selberg.
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Deduciremos la formula de Selberg utilizando un método dado por Tatuzawa e
Iseki en 1951. Y se basa en el siguiente teorema.
Teorema (7): Sea F una función a valores reales o complejos definida en , y
sea
entonces
Demostración: Primero escribimos como una suma,
Y luego utilizaremos la identidad del teorema (2),
Escribimos
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Sumando estas ecuaciones obtenemos,
En la última suma escribimos a fin de obtener,
Que establece la demostración del teorema.
Teorema (8) (Formula asintótica de Selberg): Para tenemos,
Demostración: Aplicamos el teorema (7) a la función y también a
, en donde C es la constante de Euler. En correspondencia con
tenemos:
En donde hemos utilizado el teorema (5). En correspondencia con tenemos,
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Comparando las formulas relativas a y vemos que
De hecho, únicamente utilizaremos la estimación débil
Ahora aplicamos el teorema (7) a cada una de la funciones y y restamos las
dos relaciones así obtenidas. La diferencia de los primeros miembros es :
Considerando el teorema (3). Por consiguiente la diferencia de los dos segundos
miembros es también En otras palabras, tenemos:
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Reordenando términos y utilizando el teorema (6) resulta
Prueba Elemental del teorema del número primo:
Esta sección perfila los pasos principales utilizados para deducir de la formula de
Selberg el teorema del numero primo.
En primer lugar, la formula de Selberg se expresa en una forma mucho más
conveniente que contiene a la función,
La formula de Selberg implica una desigualdad integral de la forma,
Y el teorema del numero primo equivale a demostrar que .
Por consiguiente, si hacemos:
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El teorema del numero primo equivale a demostrar que C=0. Se demuestra
suponiendo que C>0 y se obtiene, como sigue, una contradicción. En
consideración de cómo se define C tenemos que,
En donde cuando . Si C>0, esta desigualdad junto con la
desigualdad integral nos proporciona otra desigualdad del mismo tipo,
En donde 0<C´<C y cuando . La deducción de la desigualdad
anterior a partir de y es la
parte mas larga de la demostración. Si en hacemos que
obtenemos que y esta contradicción establece que el teorema es cierto.
2.3. Prueba Analítica.
2.3.1. Plan de la prueba:
En esta sección daremos una prueba analítica simple del teorema del
número primo basándonos en el uso de técnicas de variable compleja y ciertas
propiedades de funciones conocidas como la analicidad de algunas funciones que
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ya sabemos de antemano que para esto debe cumplir con ciertos criterios como el
de Cauchy – Riemann, etc.
Definición (6): La función divisor se define como:
Teorema (9): Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D,
excepto en un número finito de puntos zk que constituyen singularidades aisladas
de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos orientada
positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades.
Entonces se tiene:
Función de Riemann:
La función zeta de Riemann está definida, para valores reales mayores que 1,
por la serie de Dirichlet:
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La conexión entre esta función y los números primos fue observada por primera
vez por Leonard Euler, que se dio cuenta de que:
Puesto que para cada primo p, es una serie geométrica, convergente
para cualquier número complejo s con Re(s) > 1 a:
Se obtiene que:
Ya que la función es analítica y la función es analítica podemos decir
que:
es analítica y libre de ceros para a quien llamaremos (1).
A partir de (1) daremos la prueba para el PNT y para ello necesitaremos del
siguiente teorema.
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Teorema (10): Se supone que , y forma la serie observamos que
converge claramente a una función analítica . Si en efecto es
analítica en todo entonces converge en todo
Demostración de la convergencia: Tomamos con . Entonces
es analítica en . Elegimos un y determinamos , y
un de modo que:
es analítica y delimitada por en Llamaremos a esta
(2).
Ahora de forma contraria el contorno delimitado por y el
segmento También denotado por A y B respectivamente, las
partes de a la derecha e izquierda de la mitad de los planos.
Por el teorema del residuo,
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Ahora en A, es igual a su serie, y la dividiremos en sumas parciales
y el resto Otra vez por el teorema del residuo,
Con –A como la notación para la reflexión de A por el origen. Por tanto, cambiando
a z por –z, lo siguiente pude ser escrito así:
Combinando (3) y (4) tenemos,
y para estimar estas integrales, denotamos lo siguiente (usualmente nosotros
escribimos , y usaremos la notación de que significa
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y
Por (6), (8), (9) en A, tenemos
Y así, por el "máximo de veces la longitud” de estimación ( ) por integrales,
obtenemos,
Seguido, por (2), (6), y (7), obtenemos,
Insertando las estimaciones (10) y (11) dentro de (5) tenemos.
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Y si arreglamos , tomamos nota de esta mano derecha es para grandes
N. hemos verificado la propia definición de la convergencia.
Prueba analítica simple del Teorema del número primo
De la convergencia de la serie de tal como se mostro, implica el PNT. De
hecho todo lo necesario sobre esta serie es convergente debido a un corolario
sencillo que dice .
Expresando todo en términos de la función , entonces, establecemos el factor
que sus coeficientes van a 0 en promedio.
El PNT es equivalente al factor en promedio de los coeficientes de , es igual
a 1. Simplemente así:
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La última serie es lo mismo que . De hecho el promedio de estos
coeficientes es cual límite es 1 y es exactamente el PNT.
En resumen, queremos que el valor promedio de los coeficientes de
se aproxime a 0. Escribiendo esta función como,
Podemos escribir este promedio (de los primeros N términos), como,
Donde es elegida la constante por lo cual,
queda en
Ahora utilizamos lo cual se concluye que,
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Donde tiende a 0, y de hay tomamos arbitrariamente una función que
se enfoque al infinito, pero de tal manera que se enfoque 0.
Hecho esto, se puede concluir que,
Y la prueba esta completada.
2.4. Relaciones y formas equivalentes al teorema del número primo.
Teorema (11): Para x>0 tenemos,
Esta desigualdad implica
Con otras palabras, si uno de los cocientes o posee límite entonces
el otro cociente también y ambos limites coinciden.
Demostración: De la definición (2) mejorada en la definición (4) de
obtenemos,
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Pero por la definición obtenemos la desigualdad trivial,
Luego
Dividimos entre x y obtenemos el teorema.
Relaciones que ligan
Las dos funciones son funciones escalonadas con salto en los
números primos; las sumas que contienen funciones escalonadas de este tipo se
pueden expresar por medio del teorema que sigue.
Teorema (12) (Identidad de Abel): Para toda función aritmética , sea
en donde si x<1. Supongamos que f posee derivada
continua en el intervalo [y,x], en donde 0<y<x. entonces tenemos:
que llamaremos (2).
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Demostración: Sea y por lo que y .
Entonces:
.
Teorema (13): Para tenemos,
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y
Demostración: designa la función característica de los primos; es decir,
Entonces tenemos,
Hacemos en teorema (12) con y=1 obtenemos
Que prueba (1) ya que .
Ahora, sea y escribimos,
Si hacemos en el teorema (12) con obtenemos,
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Que prueba (2) ya que si
Formas equivalentes al PNT
Teorema (12): Las relaciones que siguen son lógicamente equivalentes:
Demostración: De (1) y (2) obtenemos, respectivamente,
y
Para probar que (3) implica (4) únicamente necesitamos demostrar que (3) implica
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Pero (3) implica o sea,
Ahora bien
Luego,
Esto demuestra que (3) implica (4).
Para probar que (4) implica (3) únicamente necesitamos probar que (4) implica,
Pero (4) implica luego,
Ahora bien
Por lo tanto
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Esto demuestra que (4) implica (3), luego (3) y (4) son equivalentes. En virtud del
teorema (11) sabemos que (4) y (5) son equivalentes.
Teorema (13): Si designa el primo n-ésimo, entonces las siguientes relaciones
asintóticas son equivalentes:
Demostración: Probaremos que (6) implica (7), que (7) implica (8), que (8) implica
(7), y que (7) implica (6).
Supongamos que se verifica (6). Tomando logaritmos obtenemos,
Luego
Puesto que vemos que,
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De donde obtenemos,
Esto junto con (6), nos da (7).
Ahora suponemos que verifica (7). Si entonces y
Luego (7) implica
Entonces (7) implica (8).
Ahora suponemos que se verifica (8). Dado x, definimos n por medio de las
desigualdades,
O sea que , si dividimos por , obtenemos,
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Ahora suponemos que y utilizamos (8) a fin de obtener,
Por consiguiente (8) implica (7). Probaremos que (7) implica (6). Si tomamos
logaritmos en (7) obtenemos,
O bien
Puesto que se tiene que,
Esto, junto con (7), nos da (6).
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2.5. Una interesante propiedad de /
Recordemos que se define como el número de primos menores o iguales a x:
por ejemplo, , , etc. Vemos que el PNT afirma que el número
cuando . Esto nos dice que mientras más crece o más grande es
, va al infinito. La cuestión que quisiera considerar es: "Dado un número
natural , no existe un número natural x de forma que ". En otras
palabras, ¿Existe algún x tal que exactamente una enésimo número natural sea
menor o igual a x que sea primo?
La sorprendente respuesta es afirmativa, probada por S. Golomb. Después de
varias discusiones con colegas, este resultado no parece ser conocido. El enfoque
aquí es diferente a la dada por Golomb, y quizás más fácil a seguir.
Comenzamos con un teorema que sería interesante dar un verdadero análisis de
la clase introductoria.
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Teorema (14): Sea no decreciente y suponga la sucesión es
ilimitada. Si y cumple con que para algunos , entonces existe
tal que .
Prueba: Sea n un número natural. Supongamos que existe un con . Si
tenemos que , entonces ya esta. De otro modo, puesto que sabemos que
existe un tal que , tenemos,
Tenemos entonces que y , y así, ,
es decir, . Ya que es no decreciente y son
números naturales, . La aplicación de la ecuación anterior muestra
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que, luego . Por lo tanto tenemos
.
Tomamos nota de que , por lo que . Por lo tanto, tenemos el
siguiente corolario, que es el teorema de Golomb.
Corolario: Para cada , existe un tal que .
Prueba: Basta señalar que es una función no decreciente de y que
por el PNT es no acotado.
Por lo tanto, dado cualquier número natural , existe un número natural tal
que el enésimo número natural menor o igual a sea primo.
Tan sorprendente como este resultado como lo fue para los autores (cuando se
tropezó en ella), era igual de sorprendente que para muchos (o tal vez más) los
valores de n, hay varios valores de x tal que . Después de un equipo de
búsqueda, la tabla siguiente se da lo que parece ser el más grande de los valores
de "x" y el número de valores de x para .
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n x # de x n x # de x
2 8 4 16 25874784 3
3 33 3 17 70119985 10
4 120 3 18 189969354 33
5 360 6 19 514278263 31
6 1134 7 20 1394199300 32
7 3094 6 21 3779856633 23
8 8472 6 22 10246936436 8
9 24300 3 23 27788573803 13
10 64720 9 24 75370126416 32
11 175197 1 25 204475055200 35
12 481452 18 26 554805820556 4
13 1304719 11 27 1505578026105 15
14 3524654 12 28 4086199303004 9
15 9560100 21 29 11091501633008 11
Una pregunta que surge de la tabla de arriba es: ¿Qué tiene de especial n = 11?,
¿Existen otros valores de n tales que existe sólo un valor correspondiente a x?
Los autores sospechan que hay alguna declaración que se hizo acerca de la
densidad relativa de los primos en el rango de valores de x cerca de donde es
un número entero.
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Capitulo 3.
Teorema escondido de Platón sobre
distribución de números primos.
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La historia detrás de una conjetura por el difunto profesor Andreas Zachariou del
Departamento de Matemáticas de la Universidad de Atenas, que un pasaje en el
Libro 5, 737e, 738 de Platón "leyes" es en realidad un "oculto" teorema relativo a
la disposición de los números primos.
Se afirma que existe el número de los ciudadanos de una ciudad ideal que debe
tener un Estado y debe ser 5040, porque este número es divisible por un total de
59 números y en particular, por todos los enteros de 1 a 10.
Como ha quedado claro en la secuela, es interesante que el número 5040
aparezca en el texto de Platón exactamente 7! Veces.
Fragmento del libro V de Platón
“Vamos a suponer que existen en un número adecuado 5040 hombres, a los
titulares de la tierra y para la defensa de sus parcelas, 2 y dejar la tierra y las
casas también se divide en el mismo número de piezas -- el hombre y su
adjudicación en conjunto forman una división. El hombre que hace las leyes debe
comprender, al menos, por mucho; que en primer lugar, dejar que el número total
se dividirá en dos; siguiente en tres, a continuación, siga en orden natural de
cuatro y cinco, y así sucesivamente hasta diez. En cuanto a los números, cada
cantidad y tipo de serie será de mayor utilidad para todos los estados. Optemos
que contiene los más numerosos y más consecutivas sub-divisiones. Los números
en su conjunto comprende cada división a todos los efectos, mientras que el
número 5040, a los efectos de la guerra y en paz para todos los efectos
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relacionados con las contribuciones y la distribución, admite división en no más de
59 secciones, que son consecutivos de uno a diez”.
Zachariou observó que:
5040=7!
10=11-1
7 Y 11 son primos sucesivos y finalmente estos concuerdan con Platón.
El número 5040 a los efectos de la guerra y en paz para todos los efectos
relacionados con las contribuciones y la distribución
Esto lo llevó a creer que en este pasaje de las Leyes de Platón es o de hecho,
afirma (en una manera críptica) un teorema, que puede formularse como sigue:
Teorema ( Plato's hidden theorem on the distribution of primes ) (15):
Tenemos que 3 <P <Q, donde P y Q son primos consecutivos. Entonces cada
entero r<Q divide P!
Nota: El teorema no es cierto cuando P = 3, de modo que Q = 5, porque 3! = 6 no
es un múltiplo de 4.
Aunque hasta el año 2003 la conjetura ha sido probada para ser verdad para los
sucesivos números primos muy grandes, que nosotros sepamos, hasta el verano
de 2003, no había pruebas disponibles del Teorema.
La primera prueba se dio por Peter Shiu en 2004 después de la conjetura se
mencionó a él por C. Pugh.
La segunda prueba se dio por una licenciatura de Medicina, Georgios Velisaris, en
2007.
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Corolario: Si n es un entero positivo > 5, entonces n! es divisible por todos los
números enteros 1, 2. . . ., n y por todos los compuestos entre los números
enteros n + 1, n + 2,. . ., 2n.
Todas las pruebas están disponibles a partir de los autores del artículo referente a
este tema C. Pugh y Antonis Vardulakis.
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Conclusión
Hemos visto que a medida del paso del tiempo muchas civilizaciones
optaron por el estudio de los números primos, de forma tal que estos
conocimientos adquiridos han contribuido al desarrollo en si del estudio de
la disposición de los primos entre los enteros. Estos grandes matemáticos
trabajaron arduamente con describir el comportamiento de los primos, como
pudimos observar en este trabajo.
De acuerdo en lo observado podemos concluir que la prueba elemental es
mas difícil de entender que la prueba analítica y aunque en la función
funcional Zeta de Riemann es una función parcialmente probada en la cual,
todos los ceros “no triviales” se sitúan simétricamente con respecto a la
recta Rs=1/2.
Se pudo observar también que el PNT esta relacionado con otros teoremas
asintóticos y que la prueba de ellos es validad para probarlo, y además que
existen relaciones que ligan la función pi con otras.
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Recomendaciones
Para los interesados en obtener la prueba elemental del PNT con todos los
detalles se pueden hacer acreedores del libro de Selberg donde se
encuentra tal prueba. Además que para el teorema oculto de Platón la
prueba se encuentra a partir de los autores.
Incentivar a los lectores a seguir con los trabajos de investigación para
reanimar el interés del mundo entero con respecto al tesoro escondido en
teoría de números más explícitamente en el estudio de los números primos
y su distribución.
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Bibliografía
Apóstol, Tom. Introducción a la teoría analítica de números. Editorial
Web-bibliografía
http://ciencia.astroseti.org/matematicas/
articulo_3492_historia_los_numeros_primos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primos
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
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