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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA

ESCUELA DE MATEMÁTICA

DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS

POR:

DEMETRIO WENHAM V.

.

CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDÉZ PEREIRA

PANAMÁ, 2009

MONOGRAFÍA PRESENTADA COMO UN

REQUISITO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE

LICENCIATURA EN MATEMÁTICA

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Distribución de los Números Primos

Dedicatoria

Primeramente dedico este trabajo a YHWH porque Él me ha sabido guiar durante

toda mi vida y particularmente en la elaboración de este trabajo. También a mi

madre, abuelos y familiares que me han sabido educar de la mejor manera para

poder llegar a esto. Además a mis compañeros que me han apoyado y soportado

durante el transcurso de la carrera.

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Distribución de los Números Primos

Agradecimientos

Agradezco a YHWH por haberme dado la vida y por darme la sabiduría para

afrontar los retos que me ha deparado estudiar en esta carrera. De igual forma al

Dr. Jaime Gutiérrez que supo guiar adecuadamente a sus estudiantes durante el

transcurso del seminario. Finalmente a todos los profesores que han tenido el

interés de que los estudiantes aprendan y sigan interesados en elevar el nivel

matemático en cada uno de ellos.

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Distribución de los Números Primos

Índice

Introducción

1. Reseña histórica

2. Teorema del número primo

2.1. Enunciado del teorema

2.2. Prueba elemental (esbozo).

2.2.1 Plan de la demostración

2.3. Prueba analítica.

2.3.1 Plan de la demostración

2.4. Algunos teoremas equivalentes al teorema del número primo.

2.5. Una Propiedad interesante de /

3. Teorema escondido de Platón sobre distribución de números primos.

Conclusión

Recomendaciones

Bibliografía

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Distribución de los Números Primos

Introducción

Entre las muchas cuestiones en las que están implicados los números primos,

una de las más interesantes concierne a su distribución entre los números enteros.

Este trabajo se basa en la distribución de los números primos, se presenta como

los matemáticos a través de la historia se han interesado por este tema desde los

chinos, egipcios hasta los matemáticos modernos como es el caso de Fermat

Euler, Gauss y Legendre. Estos dos últimos conjeturaron que la función

es la que cuenta cuantos números primos aproximadamente hay en

un intervalo hasta x, que fue demostrado por Hadamard y de la Vallée Poussin y

de manera elemental por Erdros y Selberg y que se conoce como teorema de

distribución de los números primos o (PNT) que son las siglas en ingles “Prime

Number Theorem”. También existe otro teorema que estaba de manera implícita

en el libro “Leyes” de Platón y a este teorema se le conoce como teorema oculto

de Platón sobre distribución números de primos que se presentara junto al

teorema de los números primos.

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Distribución de los Números Primos

Capítulo 1.

Reseña Histórica

En la historia han ocurrido diversos sucesos en los cuales los números

primos forman parte de los temas más importantes e imponentes en la teoría de

números. Como plato principal la distribución de los números primos a sido

estudiada por diversos matemáticos al pasar del tiempo, exactamente, no se

conoce desde cuando empezó todo esto del encanto por los números primos y su

distribución, pero, se tienen hallazgos importantes las cuales pueden definir más o

menos o más bien tener una aproximación de cuando empezó el estudio de los

números primos.

En la antigüedad

En la antigüedad podemos rescatar más precisamente hace 35 000 años a. C. que

el hombre de aquella época ya podía diferenciar ya en la nomenclatura los

números primos, el hallazgo de un hueso de babuino da a pensar esta teoría. El

hueso de Ishango pudo ser tallado para establecer un sistema numérico.

Las tres columnas de muescas agrupadas asimétricamente implican que la

herramienta era más bien funcional que decorativa.

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La columna central comienza con 3 muescas y luego duplica su número. El mismo

proceso se repite con el número 4, que se duplica a 8 muescas, y luego se invierte

el proceso con el número 10, que es dividido por la mitad resultando en 5

muescas. Por esto se llega a la conclusión de que estos números no pueden ser

puramente arbitrarios, sino que sugieren algún atisbo de cálculos de multiplicación

y división por dos. El hueso puede haber sido usado por lo tanto como una

herramienta para llevar a cabo procedimientos matemáticos simples.

Además, el número de muescas de ambos lados de la columna central podría

indicar una mayor capacidad de conteo. Tanto los números de la columna

izquierda como los de la derecha son todos números impares (9, 11, 13, 17, 19 y

21). Los números de la columna izquierda son todos los números primos

comprendidos entre 10 y 20 (que conforman un primo cuádruple), mientras que los

de la columna derecha consisten en 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 y 20 - 1. Los números

de cada una de estas columnas suman 60, y la sumatoria de los números de la

columna central es 48. Ambos resultados son múltiplos de 12, lo que vuelve a

sugerir la existencia de un entendimiento de la multiplicación y la división

Fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt parecen aislar

cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este

hecho como la prueba del conocimiento de los números primos.

En la matemática egipcia, estos sólo operaban con las llamadas fracciones

unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1 ( , por lo que las

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fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como suma de inversos de

naturales, a ser posible sin repetición ( en lugar de ). Para ello

seguramente hacía falta disponer de una tabla de los primeros números primos.

La civilización china parece que fue la primera cultura en estar interesada en la

aritmética modular. Existe una hipótesis, documentada por Joseph Needham,

según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron estudiados por esta

civilización.

Así pues, matemáticos chinos formularon la hipótesis (a veces conocida como

hipótesis china) de que p es primo si y sólo si 2p ≡ 2 (mod p) (donde el símbolo ≡

significa congruencia según el módulo indicado). Es verdad que, si p es primo,

entonces 2p ≡ 2 (mod p) (este es un caso especial del pequeño teorema de

Fermat), pero el recíproco (si 2p ≡ 2 (mod p), entonces p es primo) no lo es, por lo

que la hipótesis es falsa.

Antigua Grecia (periodo helenístico)

La matemática griega hace referencia a la matemática escrita en griego desde el

600 a.C. hasta el 300 d.C. Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas

a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero

estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. La matemática griega del

periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas

helenísticas.

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Escuela Pitagórica

Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Thales (hacia 624 a.C –

546 a.C) y Pitágoras (hacia 582 a.C. - 507 a.C.).

Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas

probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias. Según la

leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemática, geometría y

astronomía de los sacerdotes egipcios.

Los matemáticos de la Escuela Pitagórica estaban interesados en los números por

su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de

primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.

Euclides

Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C.,

ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos.

En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números

primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza

el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el

Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un

producto único de primos.

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Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número

2n-1(2n - 1) es un número perfecto.

Eratóstenes

Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números

primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.

Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente

llamado la Edad Obscura.

Matemáticos Modernos

Renacimiento es el nombre dado al amplio movimiento de revitalización cultural

que se produjo en Europa Occidental en los siglos XV y XVI. Sus principales

exponentes se hallan en el campo de las artes aunque también se produjo la

renovación en la literatura y las ciencias, tanto naturales como humanas.

Fibonacci fue el matemático más original de su época y tuvo gran influencia en la

mayoría de los algebristas del Renacimiento.

Marin Mersenne (1588-1648)

Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. Se

los conoce como números de Mersenne. Se denominan así su memoria, quien en

su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que

sólo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números

primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que

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eran los únicos números primos de esa forma. Su lista sólo resultó ser

parcialmente correcta, ya que por error incluyó M67 y M257, que son compuestos, y

omitió M61, M89, y M107, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el

descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó

ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa sólo se

completó más de dos siglos después.

Pierre Fermat (1601-1665)

Después de la matemática griega, hubo pocos avances en el estudio de los

números primos hasta el siglo XVII.

Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de

Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los

matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995.

Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la

primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el

principio fundamental de la geometría analítica.

En 1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño

teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler.

Que dice asi:

Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, ap ≡ a (mod p).

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Distribución de los Números Primos

También Fermat conjeturó que todos los números de la forma eran

primos (debido a lo cual se los conoce como números de Fermat) y verificó esta

propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de

Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró

Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que

sea primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat.

Leonard Euler (1707-1783)

El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian

Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo.

Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los

trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este

matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.

Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del

análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los

números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de

Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la

función zeta de Riemann.

Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de

Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes

contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange.

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Distribución de los Números Primos

También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo,

cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprinos con n.

Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño

teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.

Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos,

tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la

investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números

primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de

números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich

Gauss.

En 1747 demostró que todos los números perfectos pares son de la forma 2p − 1(2p

− 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no

existen números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.

En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un número primo

de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido

hasta el año 1867.

Adrien-Marie Legendre (1752-1833)

Matemático francés. Hizo importantes contribuciones a la estadística, la teoría de

números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. En 1830 dio una prueba

del último teorema de Fermat para el exponente n = 5, casi simultáneamente con

Dirichlet en 1828.

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Distribución de los Números Primos

En teoría de números, conjeturó la ley de la reciprocidad cuadrática, probada

posteriormente por Gauss. También realizó trabajos pioneros en la distribución de

los números primos, y en la aplicación del análisis a la teoría de números. Su

conjetura, en 1796, del teorema de los números primos fue probada cierta por

Hadamard y de la Vallée-Poussin en 1896Escriba aquí la ecuación..

Marie-Sophie Germain (1776 -1831)

Fue una matemática francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de

números y la teoría de la elasticidad. Uno de los más importantes fue el estudio de

los que posteriormente fueron nombrados como números primos de Sophie

Germain.

Un número primo p es un número de Sophie Germain si 2p+1 también es número

primo.

Los números primos de Sophie Germain recibieron su nombre por la matemática

francesa que demostró que el Último teorema de Fermat era cierto para estos

números, esto es que, si p es un número primo de estas características entonces

no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación xp + yp = zp.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777 -1855)

Considerado "El príncipe de la matemática" y "El matemático más grande desde la

antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la

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matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más

influencia ha tenido en la historia.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma

independiente que, cuando n tiende a infinito, el número de primos menores o

iguales que n es asintótico a , donde es el logaritmo natural de n.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función

logaritmo integral:

Pafnuti Chebyshov (1821-1894)

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros

resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 por Chebyshov que fue un

matemático ruso quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la

existencia de dos constantes A y B tales que:

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del

cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1.Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

Georg Friedrich Bernard Riemann (1826-1866) 

Fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis

y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo

más avanzado de la relatividad general.

La función zeta de Riemann, es una función que tiene una importancia significativa

en la teoría de números, por su relación con la distribución de los números primos.

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para valores reales mayores que 1,

por la serie de Dirichlet:

En la región {s є C | Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función

que es analítica en esta región. Riemann observó que la función zeta puede

extenderse de manera única por continuación analítica a una función meromorfa

en todo el plano complejo con un único polo en s = 1. Esta es la función que se

considera en la hipótesis de Riemann.

Para los complejos con Re(s)<1, los valores de la función deben ser calculados

mediante su ecuación funcional, obtenida a partir de la continuación analítica de la

función.

Jacques Hadamard  (1865 - 1963)

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Distribución de los Números Primos

Influyente matemático francés. Fue figura clave del panorama matemático francés

durante casi un siglo.

Cultivó la teoría de números, la de funciones y series, la topología y la geometría. 

También contribuyó con sus obras a la mejora de la enseñanza de las

matemáticas y al estudio de su psicología y de su historia. 

El teorema de los números primos fue demostrado por Él y C. J. de la Vallee

Poussin en 1896 usando ciertas técnicas muy complicadas de la teoría de análisis

de números. Además de compartir casi los mismos años de vida, Hadamard y

Vallee Poussin descubrieron sus demostraciones independientes y

simultáneamente.

Charles-Jean de la Vallée Poussin (1866-1962)

Fue un matemático belga es conocido por haber demostrado (a la vez y de modo

independiente con el francés Hadamard) el teorema de los números primos,

utilizando para ello los métodos del análisis complejo.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando

de esta forma es:

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Para una constante positiva a y para cada entero m.

Niels Fabian Helge Von Koch (1870-1924)

Fue un matemático sueco, cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva

fractal llamada curva Copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales

en ser descritas.

Von Koch escribió muchos artículos sobre teoría de números. Uno de sus

resultados (1901) fue el teorema que probaba que la hipótesis de Riemann es

equivalente al Teorema de los números primos.

Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente

estimación, más precisa:

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo

número primo, queda bien aproximado por . En efecto, pn es estrictamente

mayor que este valor.

Paul Erdős (1913 -1996)

Fue un matemático húngaro inmensamente prolífico y famoso por su excentricidad

que, con cientos de colaboradores, trabajó en problemas sobre combinatoria,

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Distribución de los Números Primos

teoría de grafos, teoría de números, análisis clásico, teoría de aproximación, teoría

de conjuntos y probabilidad.

Erdős fue uno de los publicadores de artículos matemáticos más prolíficos de

todos los tiempos, únicamente superado por Leonhard Euler (Erdős publicó más

artículos, pero Euler publicó más páginas). Escribió aproximadamente 1,500

artículos en el transcurso de su vida, colaborando con alrededor de 500 co-

autores. Él creía firmemente en las matemáticas como una actividad social.

Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo

métodos elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración

fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema como teorema

de los números primos.

Atle Selberg (1917 -2007)

Fue un matemático noruego, conocido por sus trabajos en la teoría analítica de los

números y sobre la hipótesis de Riemann.

Siendo estudiante, Selberg fue influenciado por los trabajos y la personalidad del

matemático Srinivasa Ramanujan. Estudió en la Universidad de Oslo, donde de

doctoró en 1943. Durante la Segunda Guerra Mundial trabajo en solitario sobre la

función zeta de Riemann. En 1948 realiza una demostración elemental del

Teorema de los números primos. A la vez, el matemático Paul Erdős realizó otra

demostración por lo que se inició una disputa entre los dos matemáticos, sobre

quien había demostrado primero el teorema.

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Distribución de los Números Primos

Andreas Zachariou

La historia detrás de una conjetura por el difunto profesor Andreas Zachariou del

Departamento de Matemáticas de la Universidad de Atenas, que un pasaje en el

Libro 5, 737e, 738 de Platón "leyes" es en realidad un "oculto" teorema relativo a

la disposición de los números primos. Cuyo articulo es publicado por Antonis

Vardulakis y Clive Pugh con el nombre de Plato's HiddenTheorem on the

Distribution of Primes.

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

Capítulo 2.

1.Teorema del Número Primo

El comportamiento de como función de x ha sido objeto de un intenso

estudio a través de la historia por mucho matemáticos ilustres a partir del siglo

XVII. La inspección de tablas de primos condujeron a Gauss en 1792 y Legendre

en 1798 a conjeturar que es asintótica a .

Tal conjetura fue demostrada en 1896 por Hadamard y por de la Vallée Poussin y

se conoce como teorema del número primo.

Las demostraciones del teorema del número primo se clasifican en analíticas y

elementales, según los métodos utilizados para desarrollarlas. La demostración de

Hadamard y de la Vallée Poussin es analítica, utilizando la teoría de las funciones

de variable compleja y propiedades de la función zeta de Riemann. Una

demostración elemental fue hallada en 1949 por A. Selberg y P. Erdôs. Su

demostración no recurre a la función zeta de Riemann ni a la teoría de variable

compleja pero es bastante intricada.

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

A continuación se les presentara detalles importantes de la demostración

elemental y de la demostración analítica.

2.1. Enunciado del teorema (PNT): Sea el número de primos que son

menores o iguales que x. El teorema establece que:

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para

valores de x muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para

valores de x muy grandes es casi igual a 1. Es decir,

.

2.2. Prueba elemental (esbozo)

2.2.1. Plan de la demostración:

En esta sección haremos un esbozo de la prueba elemental pero para esto

necesitaremos algunos teoremas que nos ayudaran y facilitaran la comprensión

de la prueba.

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Distribución de los Números Primos

Definición (1): La función de von Mangoldt, normalmente escrita como Λ(n), está

definida de la siguiente manera:

Definición (2): Para cada definimos la función de Chebyshev por la

formula,

Luego de hacer una serie de arreglos con la misma definición podemos escribir,

Definición (3): la función de Môbius se define como sigue,

Si n>1, escribimos Entonces

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

Obsérvese que si y solo si, n admite un divisor cuadrado >1.

Definición (4): Si x>0 definimos la función de Chebyshev por la ecuación,

En donde p recorre todos los primos .

Luego de la definición (2) podemos reescribir de esta forma,

Definición (5): Si para todo , escribiremos,

(Léase: << es mayúscula de >>)

para indicar que el cociente se halla acotado para ; esto es, existe una

constante tal que: para todo .

Una ecuación de la forma,

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

significa que .

Teorema (1): si tenemos que:

que llamaremos (1)

Demostración: el teorema es cierto para n=1 ya que ambos miembros son 0. Por

consiguiente suponemos que n>1 y escribimos:

Tomando logaritmos tenemos

Ahora consideramos la suma del segundo miembro de (1). Los únicos términos no

nulos de la suma provienen de los divisores d de la forma para m = 1, 2,…,

y k = 1,2,…, r. luego

que prueba (1).

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 26: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Utilizando la inversión de Môbius que dice que si g(n) y f(n) son funciones

aritméticas satisfaciendo

Entonces

Para expresar a en términos de logaritmo.

Teorema (2): si tenemos:

Demostración: Invirtiendo (1) por la formula de inversión de Môbius obtenemos:

Puesto que para todo n, la demostración queda establecida.

Teorema (3): si tenemos:

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Distribución de los Números Primos

La prueba de este teorema se deja a consideración del lector.

Teorema (4): Para tenemos

En donde la suma se halla extendida a todos los primos .

Demostración: Puesto que excepto si n es una potencia de primo,

tenemos,

Pero implica . Además, por lo tanto podemos

escribir la última suma en la forma,

Ahora veremos que esta ultima suma es Tenemos

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

Por tanto hemos probado

que, usado prueba el teorema.

Teorema (5): Para todo tenemos

y

La prueba de este teorema se deja a consideración del lector.

Teorema (6): Para todo tenemos que,

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 29: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

.

Por consiguiente, existen dos constantes positivas tales que

y

A partir de la formula asintótica demostrada en el teorema (4)

Podemos obtener otra aplicación. Dicha formula asintótica se puede escribir en la

forma

En donde es la función definida como sigue

.

Formula asintótica de Selberg.

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Distribución de los Números Primos

Deduciremos la formula de Selberg utilizando un método dado por Tatuzawa e

Iseki en 1951. Y se basa en el siguiente teorema.

Teorema (7): Sea F una función a valores reales o complejos definida en , y

sea

entonces

Demostración: Primero escribimos como una suma,

Y luego utilizaremos la identidad del teorema (2),

Escribimos

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 31: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Sumando estas ecuaciones obtenemos,

En la última suma escribimos a fin de obtener,

Que establece la demostración del teorema.

Teorema (8) (Formula asintótica de Selberg): Para tenemos,

Demostración: Aplicamos el teorema (7) a la función y también a

, en donde C es la constante de Euler. En correspondencia con

tenemos:

En donde hemos utilizado el teorema (5). En correspondencia con tenemos,

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

Comparando las formulas relativas a y vemos que

De hecho, únicamente utilizaremos la estimación débil

Ahora aplicamos el teorema (7) a cada una de la funciones y y restamos las

dos relaciones así obtenidas. La diferencia de los primeros miembros es :

Considerando el teorema (3). Por consiguiente la diferencia de los dos segundos

miembros es también En otras palabras, tenemos:

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Distribución de los Números Primos

Reordenando términos y utilizando el teorema (6) resulta

Prueba Elemental del teorema del número primo:

Esta sección perfila los pasos principales utilizados para deducir de la formula de

Selberg el teorema del numero primo.

En primer lugar, la formula de Selberg se expresa en una forma mucho más

conveniente que contiene a la función,

La formula de Selberg implica una desigualdad integral de la forma,

Y el teorema del numero primo equivale a demostrar que .

Por consiguiente, si hacemos:

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Distribución de los Números Primos

El teorema del numero primo equivale a demostrar que C=0. Se demuestra

suponiendo que C>0 y se obtiene, como sigue, una contradicción. En

consideración de cómo se define C tenemos que,

En donde cuando . Si C>0, esta desigualdad junto con la

desigualdad integral nos proporciona otra desigualdad del mismo tipo,

En donde 0<C´<C y cuando . La deducción de la desigualdad

anterior a partir de y es la

parte mas larga de la demostración. Si en hacemos que

obtenemos que y esta contradicción establece que el teorema es cierto.

2.3. Prueba Analítica.

2.3.1. Plan de la prueba:

En esta sección daremos una prueba analítica simple del teorema del

número primo basándonos en el uso de técnicas de variable compleja y ciertas

propiedades de funciones conocidas como la analicidad de algunas funciones que

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Distribución de los Números Primos

ya sabemos de antemano que para esto debe cumplir con ciertos criterios como el

de Cauchy – Riemann, etc.

Definición (6): La función divisor se define como:

Teorema (9): Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D,

excepto en un número finito de puntos zk que constituyen singularidades aisladas

de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos orientada

positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades.

Entonces se tiene:

Función de Riemann:

La función zeta de Riemann está definida, para valores reales mayores que 1,

por la serie de Dirichlet:

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Page 36: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

La conexión entre esta función y los números primos fue observada por primera

vez por Leonard Euler, que se dio cuenta de que:

Puesto que para cada primo p, es una serie geométrica, convergente

para cualquier número complejo s con Re(s) > 1 a:

Se obtiene que:

Ya que la función es analítica y la función es analítica podemos decir

que:

es analítica y libre de ceros para a quien llamaremos (1).

A partir de (1) daremos la prueba para el PNT y para ello necesitaremos del

siguiente teorema.

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Page 37: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Teorema (10): Se supone que , y forma la serie observamos que

converge claramente a una función analítica . Si en efecto es

analítica en todo entonces converge en todo

Demostración de la convergencia: Tomamos con . Entonces

es analítica en . Elegimos un y determinamos , y

un de modo que:

es analítica y delimitada por en Llamaremos a esta

(2).

Ahora de forma contraria el contorno delimitado por y el

segmento También denotado por A y B respectivamente, las

partes de a la derecha e izquierda de la mitad de los planos.

Por el teorema del residuo,

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Page 38: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Ahora en A, es igual a su serie, y la dividiremos en sumas parciales

y el resto Otra vez por el teorema del residuo,

Con –A como la notación para la reflexión de A por el origen. Por tanto, cambiando

a z por –z, lo siguiente pude ser escrito así:

Combinando (3) y (4) tenemos,

y para estimar estas integrales, denotamos lo siguiente (usualmente nosotros

escribimos , y usaremos la notación de que significa

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Page 39: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

y

Por (6), (8), (9) en A, tenemos

Y así, por el "máximo de veces la longitud” de estimación ( ) por integrales,

obtenemos,

Seguido, por (2), (6), y (7), obtenemos,

Insertando las estimaciones (10) y (11) dentro de (5) tenemos.

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Page 40: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Y si arreglamos , tomamos nota de esta mano derecha es para grandes

N. hemos verificado la propia definición de la convergencia.

Prueba analítica simple del Teorema del número primo

De la convergencia de la serie de tal como se mostro, implica el PNT. De

hecho todo lo necesario sobre esta serie es convergente debido a un corolario

sencillo que dice .

Expresando todo en términos de la función , entonces, establecemos el factor

que sus coeficientes van a 0 en promedio.

El PNT es equivalente al factor en promedio de los coeficientes de , es igual

a 1. Simplemente así:

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Page 41: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

La última serie es lo mismo que . De hecho el promedio de estos

coeficientes es cual límite es 1 y es exactamente el PNT.

En resumen, queremos que el valor promedio de los coeficientes de

se aproxime a 0. Escribiendo esta función como,

Podemos escribir este promedio (de los primeros N términos), como,

Donde es elegida la constante por lo cual,

queda en

Ahora utilizamos lo cual se concluye que,

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Page 42: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Donde tiende a 0, y de hay tomamos arbitrariamente una función que

se enfoque al infinito, pero de tal manera que se enfoque 0.

Hecho esto, se puede concluir que,

Y la prueba esta completada.

2.4. Relaciones y formas equivalentes al teorema del número primo.

Teorema (11): Para x>0 tenemos,

Esta desigualdad implica

Con otras palabras, si uno de los cocientes o posee límite entonces

el otro cociente también y ambos limites coinciden.

Demostración: De la definición (2) mejorada en la definición (4) de

obtenemos,

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Page 43: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Pero por la definición obtenemos la desigualdad trivial,

Luego

Dividimos entre x y obtenemos el teorema.

Relaciones que ligan

Las dos funciones son funciones escalonadas con salto en los

números primos; las sumas que contienen funciones escalonadas de este tipo se

pueden expresar por medio del teorema que sigue.

Teorema (12) (Identidad de Abel): Para toda función aritmética , sea

en donde si x<1. Supongamos que f posee derivada

continua en el intervalo [y,x], en donde 0<y<x. entonces tenemos:

que llamaremos (2).

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Page 44: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Demostración: Sea y por lo que y .

Entonces:

.

Teorema (13): Para tenemos,

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Page 45: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

y

Demostración: designa la función característica de los primos; es decir,

Entonces tenemos,

Hacemos en teorema (12) con y=1 obtenemos

Que prueba (1) ya que .

Ahora, sea y escribimos,

Si hacemos en el teorema (12) con obtenemos,

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Page 46: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Que prueba (2) ya que si

Formas equivalentes al PNT

Teorema (12): Las relaciones que siguen son lógicamente equivalentes:

Demostración: De (1) y (2) obtenemos, respectivamente,

y

Para probar que (3) implica (4) únicamente necesitamos demostrar que (3) implica

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Page 47: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Pero (3) implica o sea,

Ahora bien

Luego,

Esto demuestra que (3) implica (4).

Para probar que (4) implica (3) únicamente necesitamos probar que (4) implica,

Pero (4) implica luego,

Ahora bien

Por lo tanto

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 48: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Esto demuestra que (4) implica (3), luego (3) y (4) son equivalentes. En virtud del

teorema (11) sabemos que (4) y (5) son equivalentes.

Teorema (13): Si designa el primo n-ésimo, entonces las siguientes relaciones

asintóticas son equivalentes:

Demostración: Probaremos que (6) implica (7), que (7) implica (8), que (8) implica

(7), y que (7) implica (6).

Supongamos que se verifica (6). Tomando logaritmos obtenemos,

Luego

Puesto que vemos que,

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Page 49: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

De donde obtenemos,

Esto junto con (6), nos da (7).

Ahora suponemos que verifica (7). Si entonces y

Luego (7) implica

Entonces (7) implica (8).

Ahora suponemos que se verifica (8). Dado x, definimos n por medio de las

desigualdades,

O sea que , si dividimos por , obtenemos,

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 50: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Ahora suponemos que y utilizamos (8) a fin de obtener,

Por consiguiente (8) implica (7). Probaremos que (7) implica (6). Si tomamos

logaritmos en (7) obtenemos,

O bien

Puesto que se tiene que,

Esto, junto con (7), nos da (6).

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 51: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

2.5. Una interesante propiedad de /

Recordemos que se define como el número de primos menores o iguales a x:

por ejemplo, , , etc. Vemos que el PNT afirma que el número

cuando . Esto nos dice que mientras más crece o más grande es

, va al infinito. La cuestión que quisiera considerar es: "Dado un número

natural , no existe un número natural x de forma que ". En otras

palabras, ¿Existe algún x tal que exactamente una enésimo número natural sea

menor o igual a x que sea primo?

La sorprendente respuesta es afirmativa, probada por S. Golomb. Después de

varias discusiones con colegas, este resultado no parece ser conocido. El enfoque

aquí es diferente a la dada por Golomb, y quizás más fácil a seguir.

Comenzamos con un teorema que sería interesante dar un verdadero análisis de

la clase introductoria.

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 52: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Teorema (14): Sea no decreciente y suponga la sucesión es

ilimitada. Si y cumple con que para algunos , entonces existe

tal que .

Prueba: Sea n un número natural. Supongamos que existe un con . Si

tenemos que , entonces ya esta. De otro modo, puesto que sabemos que

existe un tal que , tenemos,

Tenemos entonces que y , y así, ,

es decir, . Ya que es no decreciente y son

números naturales, . La aplicación de la ecuación anterior muestra

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 53: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

que, luego . Por lo tanto tenemos

.

Tomamos nota de que , por lo que . Por lo tanto, tenemos el

siguiente corolario, que es el teorema de Golomb.

Corolario: Para cada , existe un tal que .

Prueba: Basta señalar que es una función no decreciente de y que

por el PNT es no acotado.

Por lo tanto, dado cualquier número natural , existe un número natural tal

que el enésimo número natural menor o igual a sea primo.

Tan sorprendente como este resultado como lo fue para los autores (cuando se

tropezó en ella), era igual de sorprendente que para muchos (o tal vez más) los

valores de n, hay varios valores de x tal que . Después de un equipo de

búsqueda, la tabla siguiente se da lo que parece ser el más grande de los valores

de "x" y el número de valores de x para .

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 54: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

n x # de x n x # de x

2 8 4 16 25874784 3

3 33 3 17 70119985 10

4 120 3 18 189969354 33

5 360 6 19 514278263 31

6 1134 7 20 1394199300 32

7 3094 6 21 3779856633 23

8 8472 6 22 10246936436 8

9 24300 3 23 27788573803 13

10 64720 9 24 75370126416 32

11 175197 1 25 204475055200 35

12 481452 18 26 554805820556 4

13 1304719 11 27 1505578026105 15

14 3524654 12 28 4086199303004 9

15 9560100 21 29 11091501633008 11

Una pregunta que surge de la tabla de arriba es: ¿Qué tiene de especial n = 11?,

¿Existen otros valores de n tales que existe sólo un valor correspondiente a x?

Los autores sospechan que hay alguna declaración que se hizo acerca de la

densidad relativa de los primos en el rango de valores de x cerca de donde es

un número entero.

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Page 55: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Capitulo 3.

Teorema escondido de Platón sobre

distribución de números primos.

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Page 56: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

La historia detrás de una conjetura por el difunto profesor Andreas Zachariou del

Departamento de Matemáticas de la Universidad de Atenas, que un pasaje en el

Libro 5, 737e, 738 de Platón "leyes" es en realidad un "oculto" teorema relativo a

la disposición de los números primos.

Se afirma que existe el número de los ciudadanos de una ciudad ideal que debe

tener un Estado y debe ser 5040, porque este número es divisible por un total de

59 números y en particular, por todos los enteros de 1 a 10.

Como ha quedado claro en la secuela, es interesante que el número 5040

aparezca en el texto de Platón exactamente 7! Veces.

Fragmento del libro V de Platón

“Vamos a suponer que existen en un número adecuado 5040 hombres, a los

titulares de la tierra y para la defensa de sus parcelas, 2 y dejar la tierra y las

casas también se divide en el mismo número de piezas -- el hombre y su

adjudicación en conjunto forman una división. El hombre que hace las leyes debe

comprender, al menos, por mucho; que en primer lugar, dejar que el número total

se dividirá en dos; siguiente en tres, a continuación, siga en orden natural de

cuatro y cinco, y así sucesivamente hasta diez. En cuanto a los números, cada

cantidad y tipo de serie será de mayor utilidad para todos los estados. Optemos

que contiene los más numerosos y más consecutivas sub-divisiones. Los números

en su conjunto comprende cada división a todos los efectos, mientras que el

número 5040, a los efectos de la guerra y en paz para todos los efectos

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

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Distribución de los Números Primos

relacionados con las contribuciones y la distribución, admite división en no más de

59 secciones, que son consecutivos de uno a diez”.

Zachariou observó que:

5040=7!

10=11-1

7 Y 11 son primos sucesivos y finalmente estos concuerdan con Platón.

El número 5040 a los efectos de la guerra y en paz para todos los efectos

relacionados con las contribuciones y la distribución

Esto lo llevó a creer que en este pasaje de las Leyes de Platón es o de hecho,

afirma (en una manera críptica) un teorema, que puede formularse como sigue:

Teorema ( Plato's hidden theorem on the distribution of primes ) (15):

Tenemos que 3 <P <Q, donde P y Q son primos consecutivos. Entonces cada

entero r<Q divide P!

Nota: El teorema no es cierto cuando P = 3, de modo que Q = 5, porque 3! = 6 no

es un múltiplo de 4.

Aunque hasta el año 2003 la conjetura ha sido probada para ser verdad para los

sucesivos números primos muy grandes, que nosotros sepamos, hasta el verano

de 2003, no había pruebas disponibles del Teorema.

La primera prueba se dio por Peter Shiu en 2004 después de la conjetura se

mencionó a él por C. Pugh.

La segunda prueba se dio por una licenciatura de Medicina, Georgios Velisaris, en

2007.

Tópicos de la Teoría Elemental de Números

Page 58: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Corolario: Si n es un entero positivo > 5, entonces n! es divisible por todos los

números enteros 1, 2. . . ., n y por todos los compuestos entre los números

enteros n + 1, n + 2,. . ., 2n.

Todas las pruebas están disponibles a partir de los autores del artículo referente a

este tema C. Pugh y Antonis Vardulakis.

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Distribución de los Números Primos

Conclusión

Hemos visto que a medida del paso del tiempo muchas civilizaciones

optaron por el estudio de los números primos, de forma tal que estos

conocimientos adquiridos han contribuido al desarrollo en si del estudio de

la disposición de los primos entre los enteros. Estos grandes matemáticos

trabajaron arduamente con describir el comportamiento de los primos, como

pudimos observar en este trabajo.

De acuerdo en lo observado podemos concluir que la prueba elemental es

mas difícil de entender que la prueba analítica y aunque en la función

funcional Zeta de Riemann es una función parcialmente probada en la cual,

todos los ceros “no triviales” se sitúan simétricamente con respecto a la

recta Rs=1/2.

Se pudo observar también que el PNT esta relacionado con otros teoremas

asintóticos y que la prueba de ellos es validad para probarlo, y además que

existen relaciones que ligan la función pi con otras.

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Page 60: Distribución de los números primos

Distribución de los Números Primos

Recomendaciones

Para los interesados en obtener la prueba elemental del PNT con todos los

detalles se pueden hacer acreedores del libro de Selberg donde se

encuentra tal prueba. Además que para el teorema oculto de Platón la

prueba se encuentra a partir de los autores.

Incentivar a los lectores a seguir con los trabajos de investigación para

reanimar el interés del mundo entero con respecto al tesoro escondido en

teoría de números más explícitamente en el estudio de los números primos

y su distribución.

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Distribución de los Números Primos

Bibliografía

Apóstol, Tom. Introducción a la teoría analítica de números. Editorial

Web-bibliografía

http://ciencia.astroseti.org/matematicas/

articulo_3492_historia_los_numeros_primos.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primos

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo

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