ITM, Institución universitaria. Guía de clase
Vectores
Escalares y vectores
En un curso de física básica se usan dos tipos de cantidades: escalares y vectores. Podemos definir un
escalar como una cantidad que queda completamente especificada por un número, positivo o negativo.
Aunque esta definición no es muy rigurosa, trabajaremos con la noción de que un escalar se puede entender
como un número real, aunque es necesario aclarar que en matemáticas la noción de escalar es más
compleja, al igual que la noción de vector que definiremos enseguida. Los vectores son entes matemáticos
que requieren de más de un parámetro para describirse completamente, estos parámetros pueden ser:
magnitud y dirección; coordenadas cartesianas u otros. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza no basta
con saber la magnitud de ésta, también es necesario saber en qué dirección se aplica. Con la velocidad,
aceleración y las demás cantidades vectoriales ocurre algo similar.
Ejemplos: Un escalar es básicamente una cantidad que sólo tiene magnitud, como: el tiempo, la energía, la
rapidez, la masa, la carga eléctrica, la temperatura, etc. En la mayoría de los textos se representan con
letras minúsculas.
Para un matemático, la definición de vector, o más ampliamente de un espacio vectorial, implica hablar de
un conjunto de objetos, los vectores, y de unas operaciones entre estos objetos, que cumplen una lista de
propiedades. Sin embargo, omitiremos el rigor matemático y daremos una definición de vector que, aunque
no es muy formal, si puede ayudarnos a comprender la importancia del uso de vectores en el tratamiento de
problemas físicos. En general puede decirse que un vector es un objeto matemático que necesita de varios
parámetros o componentes para ser descrito. En el plano R2 un vector necesita dos componentes, que
pueden ser las coordenadas cartesianas (x, y), o también pueden ser una magnitud y un ángulo de
orientación θ medido siempre respecto al eje x, (r, θ) o coordenadas polares, vea la figura 1. En el espacio
R3 se requieren tres parámetros para describir un vector, que pueden ser sus componentes cartesianas (Bx,
By, Bz), o sus coordenadas esféricas (B, θ, φ), con los ángulos medidos en la dirección que se indica en la
figura 2. Un vector se puede representar por un segmento dirigido o flecha, cuyo origen coincide con el
origen del sistema de coordenadas y el otro extremo está ubicado en un punto dado del plano, que en el
caso de la figura 1 es (Ax, Ay). Los vectores se denotarán por letras, generalmente mayúsculas, con una
flecha sobre ellas: B
. La magnitud de un vector B
, se denota poniéndolo entre barras: || B
, o
simplemente escribiéndolo sin la flecha: B.
Figura 1. Vector en el plano Figura 2. Vector en el espacio
x
y
z
φ
θ
Bx
By
Bz
x
y
A
Ax
Ay
A
θ
Operaciones con vectores y escalares
Producto de un escalar por un vector
Sea “a” un escalar y sea B
un vector. El producto “ Ba
“ es también un vector, que tiene la misma
dirección que B
, pero su magnitud ha sido modificada en un factor “a”. Para ilustrar gráficamente algunas
observaciones respecto al producto de un vector por un escalar, tomemos el vector B
mostrado en la figura
3.a. Las características de este producto son las siguientes:
a) Si el escalar es un número mayor que 0 y menor que 1, se obtendrá un vector de longitud menor
que el inicial, ver figura 3.b.
b) Un escalar mayor que 1 aumentará el tamaño del vector en “a”, esto puede verse en la figura 3.c.
c) Cuando el escalar es negativo, además de su longitud, también se cambia el sentido del vector, es
decir, el nuevo vector está a 180 grados del original, vea la figura 3.d.
d) Como un caso particular del anterior, si el escalar es -1, el nuevo vector será - B
, el cual es
llamado el opuesto de B
, y que tiene la misma magnitud, esto se ve en la figura 3.e.
e) Si el escalar es 1, el vector no sufrirá modificación, es decir, el escalar 1 es módulo de esta
operación.
Figura 3.a. Vector B
Figura 3.b. Producto Ba
con 10 a
Figura 3.c. Producto Ba
con 1a Figura 3.d. Producto Ba
con 0a
x
y
x
y
x
y
x
y
Figura 3.e Producto Ba
con 1a
Suma de vectores
La suma de vectores da como resultado otro vector, y puede hallarse gráfica o analíticamente.
Suma gráfica
Cuando un vector no está asociado con un sistema de referencia o sistema de coordenadas, es llamado
vector libre. Aunque en la mayoría de casos prácticos no se usan vectores libres, esta idea puede ayudar a
comprender la suma de vectores. Para sumar dos vectores gráficamente, se toma el segundo vector y se
traslada en el espacio, sin cambiar su orientación ni su magnitud, y su base se pone sobre la punta o cabeza
del primero. El vector resultante o vector suma va desde el origen del primero hasta final del segundo
vector. Este método es conocido como: cabeza con cola. Esto se ilustra en la siguiente figura
Figura 4. Suma de vectores libres por el método cabeza con cola
También se conoce el método del paralelogramo, en el cual se toman los dos vectores que se quieren sumar
y se trasladan en el espacio sin alterarlos poniéndolos a que coincidan en origen, y se construye un
paralelogramo trazando, sobre el final del primer vector un segmento de recta paralelo al segundo y con su
longitud, y sobre el segundo vector otro segmento paralelo al primero y con su longitud. El vector suma es
la diagonal del paralelogramo y su origen coincide con el de los otros dos. En la siguiente figura se
muestra un ejemplo de cómo se forma el paralelogramo para sumar vectores, usando los mismos vectores
del ejemplo anterior
x
y
Figura 5. Suma de vectores libres por el método del paralelogramo
Componentes
Si ubicamos un vector R
en un sistema de coordenadas y lo escribimos como la suma de otros dos
vectores que cumplan la condición cabeza-cola, de modo que los vectores que conformen la suma sean
perpendiculares y paralelas a los ejes coordenados, que se llamarán componentes vectoriales rectangulares
o cartesianas, los cuales se denotarán con subíndices x e y, y como consecuencia, al ser paralelas a los ejes
x e y, se podrán escribir en términos de vectores unitarios (de magnitud uno) en las direcciones,
respectivamente i , j . En la siguiente figura se ilustra un vector en un sistema de coordenadas en términos
de dos componentes paralelas a los ejes, llamadas componentes vectoriales rectangulares o cartesianas.
Figura 6. Descomposición vectorial en términos de vectores unitarios
Ahora bien, dado que las componentes rectangulares están sobre los ejes, cada una de ellas puede escribirse
como el producto de su magnitud por el vector unitario en cada dirección. Por lo tanto la descomposición
vectorial se puede escribir de la forma:
jRiRRRR yxyxˆˆ
(1)
x
y
x
y
Suma analítica
Para sumar vectores analíticamente, es necesario expresar cada vector en términos de sus componentes
cartesianas, y el vector resultante se halla sumando componente a componente. Si se tienen dos vectores
jAiAA yxˆˆ
y jBiBB yx
ˆˆ
, el vector resultante o suma viene dado por
jBiBjAiABA yxyxˆˆˆˆ
(2)
Ahora usamos el álgebra para agrupar los términos o componentes escalares que acompañan a los vectores
unitarios. Esto nos conduce a la siguiente fórmula para la suma analítica de vectores:
jBAiBABA yyxxˆˆ
(3)
Es necesario tener en cuenta que cuando una componente escalar es negativa, debe incluirse este signo en
la ecuación (3). Así mismo debe tenerse en cuenta que cuando la operación es una resta de vectores,
cambian los signos en la ecuación (3) de forma que el vector resta o diferencia queda escrito como:
jBAiBABA yyxxˆˆ
(4)
Note que no cambia el signo más entre las dos componentes vectoriales del vector resta, sino entre las
componentes escalares. Cuando la suma analítica se realiza en tres dimensiones simplemente se adiciona la
tercera componente en la ecuación (3), por lo cual la ecuación se convierte en:
kBAjBAiBABA zzyyxx
(5)
Recuerde que los vectores pueden escribirse en términos de sus componentes cartesianas (Ax, Ay), o en
términos de sus componentes polares (A, θ). Las ecuaciones (6) y (7) se utilizan para relacionar las
componentes polares, con las componentes cartesianas. También es importante recordar que los signos de
las componentes escalares dependen del cuadrante en que se encuentre el vector.
Reglas de transformación de coordenadas
x
y
yx
y
x
A
ATan
AAA
ASenA
ACosA
1
22
Figura 7. Componentes escalares
x
y
A
Ax
Ay
A
θ
Polares a
Cartesianas
Cartesianas a
Polares
(6)
(7)
Ejemplos
1) Sean los vectores:
kjiA ˆ7ˆ3ˆ4
; kjiB ˆˆˆ
; kjC ˆ6ˆ2
Encuentre:
a) BA
b) CBA
32
Solución:
a) BA
kjikjikjikji ˆ8ˆ2ˆ5ˆ)17(ˆ)13(ˆ)14()ˆˆˆ()ˆ7ˆ3ˆ4(
b) kjik)(j)(i)(
)kj()kji()kji(CBA
1111631423638
62333146832
Producto punto o producto escalar entre vectores.
El producto punto entre vectores da como resultado un escalar, de ahí su nombre. Sean dos vectores A
y
B
en R2
o en R3, los cuales al ser ubicados coincidiendo en origen forman un ángulo entre ellos. Se
define el producto punto o producto escalar en el espacio R3, entre los vectores kAjAiAA ZYX
ˆˆˆ
y
kBjBiBB ZYXˆˆˆ
como:
ZZYYXX BABABABA
(8)
Pero también puede definirse como
CosABBA
(9)
En el plano XY simplemente se suprime la última componente en la ecuación (8). Es fácil demostrar que
estas dos definiciones son equivalentes. Se usará la que más convenga en cada caso.
Producto vectorial o producto cruz
El producto cruz entre vectores da como resultado otro vector. La forma en que se define el producto cruz
sugiere una operación similar al cálculo del determinante de una matriz 3x3, pero dado que la primera fila
en este caso está constituida por los vectores unitarios, se habla de un seudodeterminante.
Sean los vectores en el espacio kAjAiAA ZYXˆˆˆ
y kBjBiBB ZYX
ˆˆˆ
. Se define el producto
vectorial como:
kABBAjABBAiABBABA yxyxzxzxzyzyˆ)(ˆ)(ˆ)(
(10)
Este producto así definido tiene varias propiedades. El vector resultante es perpendicular a cada uno de los
vectores ByA
, por lo tanto es perpendicular al plano formado por ellos. Si los vectores ByA
están en
el plano xy, entonces el vector resultante estará en el eje z. Si θ es el ángulo entre los vectores ByA
medido en el sentido en que se miden positivos los ángulos, entonces la magnitud del producto cruz está
dada por
SenABBA
(11)
El producto cruz sigue la llamada regla de la mano derecha, según la cual se apunta el dedo índice en la
dirección del primer vector involucrado levantando el pulgar perpendicularmente al primero y se gira el
índice hacia el segundo vector cerrando la mano. El vector resultante tendrá la dirección del pulgar. La
dirección del vector producto cruz se ilustra en la figura 8.
Figura 8. Dirección del producto vectorial
Convención: Cuando se dibuja un vector perpendicular a la superficie de dibujo, se sigue la siguiente
convención. Un vector perpendicular al plano y que apunta hacia afuera de la superficie se dibuja como un
punto dentro de una circunferencia, queriendo denotar la vista frontal de la punta de éste. Un vector
perpendicular al plano y que apunta hacia adentro de éste, se dibuja como una x dentro de una
circunferencia.
Figura 9. Vector saliente. Figura 10. Vector entrante al plano de dibujo.
Ejemplo
Sean los vectores A
= kji ˆ2ˆ4ˆ3 y B
= kji ˆˆ3ˆ2 . Encuentre BA
Solución:
A
BA
B
BA
kji ˆ)]4)(2()3)(3[(ˆ)]2)(2()1)(3[(ˆ)]2)(3()1)(4[(
kjikji ˆˆˆ2ˆ)89(ˆ)43(ˆ)64(
kjiBA ˆˆˆ2
Taller
1. Dados los siguientes vectores en términos de sus componentes cartesianas, a
=(3, -4), b
=(-1, 3),
c
=(0,3) y d
=(-4,-1)
a) Grafique los vectores en el plano XY
b) Encuentre sus coordenadas polares
c) Escríbalos en términos de los vectores unitarios en la forma dada por la ecuación 1.
d) Halle el vector suma dbaR
por el método analítico y grafíquelo.
e) Calcule el vector dbcM
32 y grafíquelo.
2. Demuestre que el producto cruz entre vectores paralelos es cero.
3. Demuestre que el producto punto entre vectores perpendiculares es cero.
4. Demuestre que el producto cruz es anticonmutativo, es decir que:
)( ABBA
5. Sean los vectores en R3: zyxCyzxB,zyxA 642254
, calcule:
a) BA
2
b) AC
c) BC
2
d) CA
3
e) BA
2
f) AC
5
g) BC
2
h) CA
6