INVESTIGACIÓN OPERATIVA
PROGRAMACIÓN LINEAL
1.1. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
1.2. FORMULACION DE UN PROBLEMA LINEAL
1.3. SOLUCION GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL
1.4. CASOS ESPECIALES DE PROBLEMAS LINEALES
1.4.1. Problemas Infactibles
1.4.2. Problemas no Acotados
1.4.3. Problemas con Restricciones Redundantes
1.4.4. Problemas con Múltiples Soluciones
1.5 Problemas de Aplicación
1.1. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
La programación lineal es una técnica matemática que permite la asignación de recursos
de la mejor manera posible. Esto implica la determinación de los valores óptimos de un
conjunto de variables que deben satisfacer un cierto número de limitaciones sobre los
valores que pueden tomar, con el fin de obtener el mayor o menor grado de satisfacción
posible.
Esta técnica se utiliza para solucionar
problemas principalmente de la economía
y de la industria que se pueden encontrar
en ámbitos disparejos como inversiones,
control de la producción, distribución de
productos, control de la contaminación,…
Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podríamos
citar:
1.2. FORMULACION DE UN PROBLEMA LINEAL
Partiendo de una situación real se crea un modelo para su resolución matemática. Este
proceso de formulación del modelo de un problema es muy importante ya que
dependiendo del modelo que se construya se obtendrá una solución u otra del
problema.
Para ver los pasos que hay que seguir en la construcción de un modelo de un problema
lineal vamos a utilizar el siguiente ejemplo: Una fábrica produce a partir de cuatro
sustancias: M, N, P y Q dos productos denominados A y B. Para producir estos dos
productos no hay ninguna limitación de las sustancias M y N pero la fábrica solo dispone
de 50 unidades de sustancia P y de 25 unidades de sustancia Q. A continuación, se
recogen en la siguiente tabla las cantidades necesarias de cada una de estas sustancias
para la fabricación de los dos productos, así como el precio de venta de cada unidad de
producto vendida a la semana y el precio de costo de los mismos:
Producto A Producto B Disponibilidad
1. A partir de los recursos disponibles, determinar
las unidades a producir de cada bien de forma que
se maximice el beneficio de la empresa.
2. Elegir materias primas en procesos de
alimentación, para obtener mezclas con unas
determinadas propiedades al mínimo coste.
3. Determinar el sistema de distribución que
minimice el coste total de transporte, desde diversos
almacenes a varios puntos de distribución.
4. Desarrollar un plan de producción que,
satisfaciendo las demandas futuras de los productos
de una empresa, minimice al mismo tiempo los
costes totales de producción e inventario.
Sustancia P 12 5 50
Sustancia Q 3 4 25
Precio de Venta
en euros
40 45
Precio de Costo en euros 10 20
El problema del gerente de esta fábrica radica en determinar qué cantidad de cada
producto debe fabricar de manera que el beneficio semanal sea el máximo.
Antes de plantear el modelo de este problema lineal hay que determinar tres elementos:
1. Variables de decisión:
Son las incógnitas de nuestro problema, habitualmente; se les denomina
0 se asigna con x, y, z, o x1, x2,……...
En este problema las variables de decisión son:
2. Restricciones:
Son las limitaciones que hay que imponer a las variables de decisión.
En este problema no hay limitación de las sustancias M y N pero si de las sustancias
P e Q de manera que para cada una de ellas se debe cumplir que recurso utilizado ≤
recurso disponible
Además de estas restricciones hay que considerar que no se pueden fabricar
unidades negativas de un producto por lo que añadiremos las siguientes restricciones:
x ≥ 0 e y ≥ 0 que denominan restricciones no negatividad.
a) Sustancia P: 12𝑥 + 5𝑦 ≤ 50
b) Sustancia Q: : 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 50
x: Número de unidades de la sustancia A a
fabricar en una semana
y: Número de unidades de la sustancia B a
fabricar en la semana
3. Funciona Objetivo:
Se trata de indicar como es matemáticamente el objetivo del problema, que es o
maximizar o minimizar una función.
En este problema hay que conseguir que el beneficio semanal sea el máximo
por lo tanto la función objetivo será de maximización.
Beneficio semanal del producto A: precio de venta-precio de costo
40 – 10 = 30 Euros
Beneficio semanal del producto B: precio de venta-precio de costo
45 – 20 = 25 Euros.
Con estos tres elementos definimos ya podemos escribir el modelo de nuestro problema
linea
Máx. z = 30x + 25y
12x + 5y ≤ 50
Sujeto a 3x + 4y ≤ 25
x ≥0 , y ≥ 0
1.3 SOLUCION GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL
El procedimiento gráfico solamente lo utilizaremos para la resolución de problemas lineales
con dos variables de decisión. Este procedimiento tiene las siguientes fases:
.
Otra forma de calcular la solución óptima de un problema es realizar los pasos 1, 2 y
3 y variar el paso 4 de la siguiente manera:
Se representan en el sistema de coordenadas cartesianas las denominadas líneas
de isobeneficio (si el problema lineal consiste en maximizar) o las líneas de isocosto (si
el problema lineal consiste en minimizar). Estas líneas son líneas paralelas a la función
objetivo que indican valores de z iguales a cantidades arbitrarias. Si el problema
tiene como objetivo maximizar se desplazan las líneas de isobeneficio alejándose del
origen de coordenadas y si tiene como objetivo minimizar se desplazan las líneas de
isocosto acercándose al origen de coordenadas de manera que aquel punto en el
que la línea de isobeneficio o isocosto sea tangente a la región factible es la solución
del problema lineal (punto óptimo).
1.4. CASOS ESPECIALES DE PROBLEMAS LINEALES
1.4.1. Problemas Infactibles
. Este caso suele presentarse cuando nos hemos equivocado al formular el
problema lineal
1) Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en el que las variables de decisión están representadas por los ejes.
2) Dibujar las restricciones del problema incluyendo las de no negatividad. La intersección de todas las restricciones determina lo que se denomina región factible. Si la región factible de un problema es vacía, se dice que dicho problema es infactible.
3) De todos los puntos de la región factible (puntos que
satisfacen todas las restricciones), se determinan los vértices ya que en uno de ellos será la solución del problema.
4) Se evalúa la función objetivo en todos los vértices de la
región factible y se elige como solución óptima aquel vértice
que maximice o minimice (según sea el caso) el valor de la
función objetivo
Máx. z = 2x + y
x + y ≥ 6
3x + 2y ≤ 6
Sujeto a x≥0,y≥
Como se ve en la figura las restricciones r1 y r2 no tienen ningún punto común
por lo que el problema no tiene solución.
1.4.2. Problemas no Acotados
Este caso se presenta cuando no es posible elegir un punto de la región factible como
punto óptimo ya que siempre es posible encontrar otro punto que mejore el valor de la
función objetivo obtenido con el punto anterior.
Máx. z = x + 3y
y ≥ x
y ≥ 2
Sujeto a
x ≥ 0, y≥0
En el ejemplo se ve como la región factible es ilimitada y como el problema es de
maximización, dado un punto de la región factible siempre es posible encontrar otro cuyo
valor de z sea mayor y por tanto no es posible determinar la solución del problema.
1.4.3. Problemas con restricciones redundantes
Este caso se presenta cuando el problema tiene restricciones que no
intervienen en la determinación de la región factible. Una restricción redundante no influye
en la solución de un problema pero si puede dificultar su resolución ya que aumenta el
tamaño del mismo.
Máx. z = 2x + 5y
3x + y ≤ 6
Sujeto a x + y ≤ 6
x + 2y ≤ 6
x≥0, y≥0
En el ejemplo observamos que la región factible queda determinada únicamente
por las restricciones r1 y r3, no interviniendo en su determinación la
restricción r2. Por tanto, r2 es una restricción redundante.
1.4.4. Problemas con Múltiples Soluciones
Este caso se presenta cuando una de las restricciones es paralela a la función
objetivo.
Máx. z= 2x + 4y
3x + y ≤ 6
Sujeto a x+ 2y ≤ 6
x≥0, y≥0
En ejemplo se observa que r2 es paralela a la función objetivo por lo que al trazar la
línea de isobeneficio y acercarla al origen de coordenadas, vemos que es tangente a la
región factible en el punto A y en el punto B y por ello en los infinitos puntos del segmento
AB. Por ello el problema tiene infinitas soluciones óptimas.
De los casos anteriormente descritos se puede deducir que un problema lineal puede tener
0 soluciones (si el problema es infactible), 1 solución o infinitas soluciones. Lo que no es
posible es que el problema tenga un número finito de soluciones diferentes de 1.
SISTEMA DE INECUACIONES
Hallar la solución del sistema de inecuaciones
a){2𝑥 + 𝑦 ≤ 42𝑥 − 3𝑦 > 6
b) {𝑥 + 𝑦 ≥ 3𝑥 ≥ 2𝑦 < 5
SOLUCIÓN GRAFICA EN GEOGEBRA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Para resolver los problemas de programación lineal, fundamentalmente existen dos
métodos:
Método gráfico y algebraico
Método simplex: simplex algebraico, simplex por tablas
1. Método gráfico y algebraico
Para hallar el máximo o mínimo de una figura Z, f(x, y), G(x, y), mediante el método gráfico
se afecta fundamentalmente una búsqueda tentativa en los extremos o vértices del
semiplano de solución del sistema de restricciones.
Esta búsqueda tentativa en los extremos del sistema de restricciones, sirve de sustento
teórico de los otros métodos de programación lineal.
Ejemplos:
1. Hallar el mínimo y máximo de la función objetivo Z, sujetos a los sistemas de restricción.
Z 3x y 1
Sujeto a:
x y 12
x 4
y 2
x 0,y 0
Solución:
Z 3x y 1
1V (4,8): Z(x,y) 3(4) 8 1 21
2V (10,2): Z(x,y) 3(10) 2 1 33
MÁXIMO
3V (4,2): Z(x,y) 3(4) 2 1 15 MÍNIMO
2. Hallar el máximo y mínimo de la función objetivo Z 2x 5y 8 , sujetos a los sistemas
de restricción:
Sujeto a:
x y 16
4x y 16
2x y 12
y 1
x 0,y 0
Solución:
Z 2x 5y 8
1V (0,16): Z(x,y) 2(0) 5(16) 8 88 MÁXIMO
2V (15,1): Z(x,y) 2(15) 5(1) 8 43
3
11 11V ,1 : Z(x,y) 2 5(1) 8 24
2 2
MÍNIMO
4V (2,8): Z(x,y) 2(2) 5(8) 8 52
3. Hallar el máximo de la función objetivo Z 2000x 5000y , sujetos a los sistemas de
restricción:
2x 3y 3
2x y 9 0
2x 5y 5 0
Solución:
Z 2000x 5000y
1V (5,1): Z(x,y) 2000(5) 5000(1) 15000
No negatividad MÁXIMO
Problemas de aplicación
1. Se dispone de 600 gramos de un determinado
fármaco para elaborar pastillas grandes y
pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas
30 g, se necesitan al menos 3 pastillas grandes, y
al menos el doble de pequeñas que de las grandes.
Cada pastilla grande proporciona un beneficio de
2bs y la pequeña de 1bs. ¿Cuántas pastillas se han
de elaborar de cada clase para que el beneficio sea
máximo.
Solucion:
x = pastillas grandes
y = pastillas pequeñas
FUNCIÓN OBJETIVO f(x,y) 2x y
Fármaco
Pastillas grandes Cantidad 40g
Precio 2bs
Pastillas
pequeñas
Cantidad 30g
Precio 1bs
40x 30y 600
x 3
2x y
f(x,y) 2x y
1V (6,12): f(6,12) 2(6) 12 24 MÁXIMO
2V (3,6): f(3,6) 2(3) 6 12
3V (3,16): f(3,16) 2(3) 16 22
2. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde se van a trabajar
electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado es necesario que haya mayor
o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no
supere al doble de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos.
El beneficio de la empresa por jornada es de 250bs por electricista y 200bs por
mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo
beneficio y cuál es este?
Solución:
x = electricistas
y = mecánicos
FUNCIÓN OBJETIVO
f(x,y) 250x 200y
y x
y 2x
x 30
y 20
x 0;y 0
f(x,y) 250x 200y
1V (10,20): f(10,20) 250(10) 200(20) 6500
2V (20,20): f(20,20) 250(20) 200(20) 9000
3V (0,0): f(0,0) 250(0) 250(0) 0
Respuesta. Se han de elaborar 6
pastillas grandes y 12 pastillas
pequeñas para que el beneficio
sea máximo.
Respuesta.20
electricistas y 20
mecanicos.
3. Un negocio se dedica a la fabricación de sillas y mesas, fabricar cada uno consume una
cantidad de tiempo en horas de los departamentos corte y ensamble. Los
departamentos tienen disponibles una limitada cantidad de horas de trabajo: 120 horas
para corte y 90 horas para ensamble. Cada uno de los productos ofrecen a la empresa
la siguiente contribución: 50bs para las mesas y 80bs para las sillas. La información
anterior mas los consumos de tiempo de cada producto se resume en la siguiente tabla:
Proceso
Consumo de tiempo por cada
unidad de producto, por producto
Tiempo disponible en
cada departamento,
en horas Mesas (x) Sillas (y)
Corte 1 2 120
Ensamble 1 1 90
Contribución 50 80
Determinar la cantidad de mesas y sillas para obtener la máxima ganancia:
Solución:
FUNCIÓN OBJETIVO (x,y)f 50x 80y
x 2y 120
x y 90
x 0;y 0
(x,y)f 50x 80y
1 (0,60)V (0,60): f 50(0) 80(60) 4800
2 (60,30)V (60,30): f 50(60) 80(30) 5400
3 (90,0)V (90,0): f 50(90) 80(0) 4500
4 (0,0)V (0,0): f 50(0) 80(0) 0
Respuesta. Para obtener la
máxima ganancia debe
fabricarse 60 mesas y 30 sillas.
4. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 metros de tejido de algodón y 1000
metros de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 metro de algodón y 2 metros de
poliéster. Para cada chaqueta se necesita 1.5 metros de algodón y 1 metro de poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50bs y el de la chaqueta en 40bs. ¿Qué número de
pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante para los almacenes para que
estos consigan un beneficio máximo?
Pantalones (x) Chaquetas (y) Disponibles
Algodón 1 1.5 750
Poliéster 2 1 1000
Solución:
FUNCIÓN OBJETIVO (x,y)f 50x 40y
3x y 750
22x y 1000
x 0;y 0
(x,y)f 50x 40y
1 (0,500)V (0,500): f 50(0) 40(500) 20000
2 (375,250)V (375,250): f 50(375) 40(250) 28750
3 (500,0)V (500,0): f 50(500) 40(0) 25000
4 (0,0)V (0,0): f 50(0) 40(0) 0
Respuesta. El fabricante debe
suministrar 375 pantalones y 250
chaquetas para conseguir el
beneficio máximo.
5. Un agrónomo dispone de 100 hectáreas (Ha) de terreno, 160kg de abono y 1100bs para
inverir. Esta disponibilidad de recursos desea emplear en dos cultivos A y B. El cultivo
A requiere de 1kg de abono, 10bs de inversión, produciendo un beneficio de 40bs por
Ha. El cultivo B requiere de 4kg de abono, 20bs de inversión, dando un beneficio de
120bs por Ha. Hallar el máximo beneficio. Ordenando en una tabla los datos del
problema, determinando a partir de ella la función objetivo Z (el beneficio) además de
su sistema de restricciones.
Cultivo A B Total disponible
Ha de terreno x y 100
Kg de
abono/Ha 1 4 160
Inversión/Ha 10 20 1100
Solución:
FUNCIÓN OBJETIVO (x,y)f 40x 120y
x y 100
x 4y 160
10x 20y 1100
x 0;y 0
(x,y)f 40x 120y
1 (0,40)V (0,40): f 40(0) 120(40) 4800
2 (60,25)V (60,25): f 40(60) 120(25) 5400
3 (90,10)V (90,10): f 40(90) 120(10) 4800
4 (100,0)V (100,0): f 40(100) 120(0) 4000
5 (0,0)V (0,0): f 40(0) 120(0) 0
Respuesta. Para obtener el
máximo beneficio el cultivo A
requiere 60 Ha de terreno y el
cultivo B requiere 25 Ha de
terreno.
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