andaluciatech
Lımites y continuidadDerivadas
Funciones de una variable
Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Malaga
M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable
andaluciatech
Lımites y continuidadDerivadas
Motivacion
Conceptos matematicos
Funciones
Continuidad
Derivada
Integral
Mundo real
M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable
andaluciatech
Lımites y continuidadDerivadas
Definicion de funcion
R ⊃ A: Dominio
R ⊃ B: Imagen
f : A→ B
AB
x y
f
y = f (x)
Definicion
Una funcion f asigna exactamente un elemento y de Y a cadaelemento x de X .
Ejemplo
f (x) = x2 + 3 x − 4
f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6
x y
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Lımites y continuidadDerivadas
Definicion de funcion
R ⊃ A: Dominio
R ⊃ B: Imagen
f : A→ B
AB
x y
f
y = f (x)
Definicion
Una funcion f asigna exactamente un elemento y de Y a cadaelemento x de X .
Ejemplo
f (x) = x2 + 3 x − 4
f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6
x y
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Lımites y continuidadDerivadas
Definicion de funcion
R ⊃ A: Dominio
R ⊃ B: Imagen
f : A→ B
AB
x y
f
y = f (x)
Definicion
Una funcion f asigna exactamente un elemento y de Y a cadaelemento x de X .
Ejemplo
f (x) = x2 + 3 x − 4
f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6
x y
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Grafica de una funcion
Definicion
La grafica de una funcion es el conjunto de puntos (x , y) cony = f (x).
Por ejemplo:
y = f (x) = x2
f
(1
2
)=
1
4
Parametrica: (x ,y)=(cos(t),sen(t)), t∈(0,2π)
Implıcita: x2+y2=1
Explıcita: y = ±√
1− x2 ?= f (x)
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Lımites y continuidadDerivadas
Funciones “conocidas”
Funcion Definicion y dominio Valores computables
Polinomios f (x)=a0+a1 x+a2 x2+···+an xn Todos
=∑n
i=0 ai xi
Racionales f (x) = p(x)q(x) , q(x) 6= 0 Todos
Exponencial f (x) = ex f (0) = 1
Logaritmo f (x) = ln x , x 6= 0 f (1) = 0
Seno f (x) = sen x f (0) = 0, f (π/2) = 1, · · ·
Coseno f (x) = cos x f (0) = 1, f (π/2) = 0, · · ·
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Lımites y continuidadDerivadas
Lımite de una funcion
Motivacion
Dos funciones muy distintas cerca de x = 2pero ninguna esta definida en x = 2.
f (x) =x2 − 4
x − 2f (x) =
x2 − 4.1
x − 2
Definicion
Para que limx→a
f (x) = L tenemos que:
dado cualquier ε, conseguir |f (x)− L| < ε
buscando un δ(ε) y haciendo |x − a| < δ
La definicion tambien sirve si
{a =∞ =⇒ x > k
L =∞ =⇒ f (x) > K
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Lımites y continuidadDerivadas
Lımite de una funcion
Motivacion
Dos funciones muy distintas cerca de x = 2pero ninguna esta definida en x = 2.
f (x) =x2 − 4
x − 2f (x) =
x2 − 4.1
x − 2
Definicion
Para que limx→a
f (x) = L tenemos que:
dado cualquier ε, conseguir |f (x)− L| < ε
buscando un δ(ε) y haciendo |x − a| < δ
La definicion tambien sirve si
{a =∞ =⇒ x > k
L =∞ =⇒ f (x) > K
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Lımites y continuidadDerivadas
Calculo de lımites
Para “funciones conocidas” limx→a
f (x) = f (a) si a en el dominio
limx→2
x3 + sen x − ecos x
ln(x + 5) +√x3 − 7
Lımites lateraleslimx→0|x | = 0
Cancelacion
limx→2
x2 − 4
x − 2limx→1
1−√x
1− x
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Lımites y continuidadDerivadas
Lımites: teorema de compresion
Teorema
Si se encuentran dos funciones g(x),h(x) tales que:
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
limx→a
g(x) = = limx→a
h(x) = L
entonces limx→a
f (x) = L.
Ejemplo: limx→0
x sen1
x
Regla mnemotecnica: cero x acotado = cero
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Lımites: teorema de compresion
Teorema
Si se encuentran dos funciones g(x),h(x) tales que:
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
limx→a
g(x) = = limx→a
h(x) = L
entonces limx→a
f (x) = L.
Ejemplo: limx→0
x sen1
x
Regla mnemotecnica: cero x acotado = cero
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Lımites: aproximacion diferencial1
Teorema
limx→a
f (x)
g(x)=
(0
0
)= lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
Tambien es valido para la indeterminacion∞∞
Otras indeterminaciones se convierten tomando el logaritmo,la exponencial, sacando factor comun...
0 · ∞ ∞0 00 1∞ ∞−∞
Ejemplos:
limx→0
(1
ln x + 1− 1
x
)limx→0
x ln x limx→1
x1
x−1 limx→0
(sen x)x
1La regla de L’Hopital es un caso particular del concepto de aproximacion por la derivada que veremos mas adelante
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Lımites y continuidadDerivadas
Continuidad
Definicion
Una funcion f es continua en un punto a si limx→a
f (x) = f (a)
Tienen que existir los dos lados de la igualdad:
limx→a
f (x) = L
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Continuidad
Definicion
Una funcion f es continua en un punto a si limx→a
f (x) = f (a)
Tienen que existir los dos lados de la igualdad:
f (a) = L
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Continuidad
Definicion
Una funcion f es continua en un punto a si limx→a
f (x) = f (a)
Tienen que existir los dos lados de la igualdad:
limx→a
f (x) = f (a)
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Discontinuidades
De salto: limx→a+
f (x) 6= limx→a−
f (x)
Ejemplo: f (x) = |x |+ 1
Infinita: limx→a
f (x) = ±∞
Ejemplo: f (x) = 1x
Esencial: limx→a
f (x) no existe
Ejemplo: f (x) = x + sen 1x−1
Evitable: f (a) 6= limx→a
f (x)
Ejemplo: f (x) = x2−4x−2
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Discontinuidades
De salto: limx→a+
f (x) 6= limx→a−
f (x)
Ejemplo: f (x) = |x |+ 1
Infinita: limx→a
f (x) = ±∞
Ejemplo: f (x) = 1x
Esencial: limx→a
f (x) no existe
Ejemplo: f (x) = x + sen 1x−1
Evitable: f (a) 6= limx→a
f (x)
Ejemplo: f (x) = x2−4x−2
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Derivada
Definicion
Una funcion f es derivable en el punto a si existe el lımite
f ′(a) = limx→a
f (x)− f (a)
x − a= lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
La funcionf (b)− f (a)
b − aes la
pendiente de la secante enpor a, b.
En el lımite, la secante seconvierte en la tangente.
Si f es derivable, entoncestambien es continua. .
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Derivada
Definicion
Una funcion f es derivable en el punto a si existe el lımite
f ′(a) = limx→a
f (x)− f (a)
x − a= lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
La funcionf (b)− f (a)
b − aes la
pendiente de la secante enpor a, b.
En el lımite, la secante seconvierte en la tangente.
Si f es derivable, entoncestambien es continua. .
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Derivada
Definicion
Una funcion f es derivable en el punto a si existe el lımite
f ′(a) = limx→a
f (x)− f (a)
x − a= lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
La funcionf (b)− f (a)
b − aes la
pendiente de la secante enpor a, b.
En el lımite, la secante seconvierte en la tangente.
Si f es derivable, entoncestambien es continua. .
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Derivada
Definicion
Una funcion f es derivable en el punto a si existe el lımite
f ′(a) = limx→a
f (x)− f (a)
x − a= lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
La funcionf (b)− f (a)
b − aes la
pendiente de la secante enpor a, b.
En el lımite, la secante seconvierte en la tangente.
Si f es derivable, entoncestambien es continua. .
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Recta tangente y aproximacion lineal
La recta tangente tiene la misma pendiente de la curva y pasapor el punto (a, f (a)):
y − f (a) = f ′(a) (x − a)
Por ejemplo: f (x)=ex
a=0
}=⇒ y = x + 1
Puede tomarse como aproximacion para x 6= a:
f (x) ≈ f (a) + f ′(a) (x − a)
Por ejemplo: e0.1 ≈ 1.1
En el lımite, la aproximacion es exacta.
Por ejemplo: limx→0
sen x
x= 1
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Reglas de derivacion 2
2Fuente: http://www.derivadas.es/2009/08/18/reglas-de-derivacion/M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable
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Derivada de la funcion inversa
Definicion de inversa: f(f −1(x)
)= x
Regla de la cadena: f ′(f −1(x)
) (f −1)′
(x) = 1
(f −1)′
(x) =1
f ′ (f −1(x))
Por ejemplo: f (x) = arctan x
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Derivacion implıcita
Se puede derivar una expresion que defineimplıcitamente una funcion.
Todas las reglas de derivacion siguensiendo validas.
Por ejemplo: calcular la recta tangente dela funcion y = f (x) en x = 0 dada por
x5 + x y + y5 = 32
Puede usarse para facilitar los calculos: derivacion logarıtmica
f (x) =x3 sen2 x
(x + 1) (x − 2)2
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Maximos y mınimos
Teorema
En un extremo local x , ocurre:
f ′(x) = 0
o
f ′(x) no existe
f (x) =?
Calcular los extremos absolutos.
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