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Ecuación constitutivaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Una ecuación constitutiva es una relación entre las variables termodinámicas y/o mecánicas de un sistema físico: presión, volumen, tensión, deformación, temperatura, densidad, entropía, etc. Cada material o substancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación sólo depende de la organización molecular interna.

En mecánica de sólidos y en ingeniería estructural, las ecuaciones constitutivas son igualdades que relacionan el campo de tensiones con la deformación, usualmente dichas ecuaciones relacionan componentes de los tensores tensión, deformación y velocidad de deformación. Para un material elástico lineal la ecuación constitutiva se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke o más simplemente ley de Hooke.

También más generalmente en física se usa el término ecuación constitutiva para cualquier relación entre magnitudes tensoriales, que no es derivable de leyes de conservación u otro tipo de leyes universales y que son específicas del tipo de problema estudiado.

Contenido

[ocultar] 1 Ejemplos

o 1.1 Medios continuos y termodinámica o 1.2 Electromagnetismo o 1.3 Fenómenos de transporte o 1.4 Otros Ejemplos

2 Véase también

Ejemplos [editar]

Medios continuos y termodinámica [editar]

Sólido Elástico lineal (Ley de Hooke)

(caso unidmensional)

(caso general) Sólido Elástico isótropo no-lineal (Teorema de Rivlin-Ericksen)

Page 3: Ecuación constitutiva

Resistencia aerodinámica

Véase también [editar]

Ecuación de estado Principio de objetividad material

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_constitutiva"Categorías: Ecuaciones | Termodinámica | Mecánica de medios continuos

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Esquema; se representa cada "elemento" con una fuerza dP y un área dS.

En física y disciplinas afines la presión es una magnitud física que mide la fuerza por unidad de superficie, y sirve para caracterizar como se aplica una determinada fuerza resultante sobre una superficie.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la presión se mide en una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente a una fuerza total de un newton actuando uniformemente en un metro cuadrado.

Contenido

Page 4: Ecuación constitutiva

[ocultar] 1 Definición

o 1.1 Densidad de fuerza o 1.2 Presión absoluta y relativa

2 Unidades de medida, presión y sus factores de conversión 3 Propiedades de la presión en un medio fluido 4 Aplicaciones

o 4.1 Frenos hidráulicos o 4.2 Refrigeración o 4.3 Llantas de los automóviles

5 Véase también

6 Enlaces externos

Definición [editar]

La presión es la magnitud que relaciona la fuerza con la superficie sobre la que actúa, es decir, equivale a la fuerza que actúa sobre la unidad de superficie.

Cuando sobre una superficie plana de área A se aplica una fuerza normal F de manera uniforme y perpendicularmente a la superficie, la presión P viene dada por:

En un caso general donde la fuerza puede tener cualquier dirección y no estar distribuida uniformemente en cada punto la presión se define como:

Donde es un vector unitario y normal a la superficie en el punto donde se pretende medir la presión.

Densidad de fuerza [editar]

La densidad de fuerza es igual al gradiente de la presión:

si hace referencia a la fuerza gravitacional, la densidad de la fuerza es el peso específico. La anterior igualdad hace que podamos interpretar a la presión como una suerte de energía potencial por unidad de volumen.mas en volumen es igual a fuerza

Page 5: Ecuación constitutiva

Presión absoluta y relativa [editar]

Además, en determinadas aplicaciones la presión se mide no como la presión absoluta sino como la presión por encima de la presión atmosférica, denominándose presión relativa, presión normal, presión de gauge o presión manométrica. Consecuentemente, la presión absoluta es la presión atmosférica más la presión manométrica (presión que se mide con el manómetro).

Unidades de medida, presión y sus factores de conversión [editar]

La presión atmosférica es de aproximadamente de 101.300 pascales (101,3 kPa), a nivel de mar.

Unidades de presión y sus factores de conversión

  Pascal bar N/mm² kp/m² kp/cm² atm Torr

1 Pa (N/m²)= 1 10-5 10-6 0.102 0,102×10-4 0,987×10-5 0,0075

1 bar (daN/cm²) =

100000 1 0,1 10200 1,02 0,987 750

1 N/mm² = 106 10 1 1,02×105 10,2 9,87 7500

1 kp/m² = 9,81 9,81×10-5 9,81×10-6 1 10-4 0,968×10-4 0,0736

1 kp/cm² = 98100 0,981 0,0981 10000 1 0,968 736

1 atm (760 Torr) =

101325 1,013 0,1013 10330 1,033 1 760

1 Torr (mmHg) =

133 0,00133 1,33×10-4 13,6 0,00132 0,00132 1

Las obsoletas unidades manométricas de presión, como los milímetros de mercurio, están basadas en la presión ejercida por el peso de algún tipo estándar de fluido bajo cierta gravedad estándar. Las unidades de presión manométricas no deben ser utilizadas para propósitos científicos o técnicos, debido a la falta de repetibilidad inherente a sus definiciones. También se utilizan los milímetros de columna de agua (mm c.d.a.)

Propiedades de la presión en un medio fluido [editar]

Page 6: Ecuación constitutiva

Manómetro1. La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones . 2. La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno

de un fluido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es la misma.

3. En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior del fluido una parte de este sobre la otra es normal a la superficie de contacto (Corolario: en un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce el fluido sobre la superficie sólida que lo contiene es normal a ésta).

4. La fuerza asociada a la presión en un fluido ordinario en reposo se dirige siempre hacia el exterior del fluido, por lo que debido al principio de acción reacción, resulta en una compresión para el fluido, jamás una tracción.

5. La superficie libre de un líquido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es siempre horizontal. Eso es cierto sólo en la superficie de la Tierra y a simple vista, debido a la acción de la gravedad no es constante. Si no hay acciones gravitatorias, la superficie de un fluido es esférica y, por tanto, no horizontal.

6. En los fluidos en reposo, un punto cualquiera de una masa líquida está sometida a una presión que es función únicamente de la profundidad a la que se encuentra el punto. Otro punto a la misma profundidad, tendrá la misma presión. A la superficie imaginaria que pasa por ambos puntos se llama superficie equipotencial de presión o superficie isobárica.

Aplicaciones [editar]

Frenos hidráulicos [editar]

Los frenos hidráulicos de los automóviles son una aplicación importante del principio de Pascal. La presión que se ejerce sobre el pedal del freno se transmite a través de todo el líquido a los pistones los cuales actúan sobre los discos de frenado en cada rueda multiplicando la fuerza que ejercemos con los pies.

Refrigeración [editar]

La refrigeración se basa en la aplicación alternativa de presión elevada y baja, haciendo circular un fluido en los momentos de presión por una tubería. Cuando el fluido pasa de presión elevada a baja en el evaporador, el fluido se enfría y retira el calor de dentro del refrigerador. Como el fluido se encuentra en un ciclo cerrado, al ser comprimido por un compresor para elevar su temperatura en el condensador, que también cambia de estado a líquido a alta presión, nuevamente esta listo para volverse a expandir y a retirar calor (recordemos que el frío no existe es solo una ausencia de calor).

Llantas de los automóviles [editar]

Se inflan a una presión de 310.263,75 Pa, lo que usualmente se le llama 30 psi (utilizando el psi como unidad de presión relativa a la presión atmosférica). Esto se hace para que las llantas tengan elasticidad ante fuertes golpes (muy frecuentes al ir en el automóvil).

Page 7: Ecuación constitutiva

Véase también [editar]

Magnitudes físicas o Presión de vapor o presión de saturación o Presión crítica o Presión parcial o Presión atmosférica o Presión hidrostática o Presión dinámica o Presión estática o Presión de radiación

Medicina o Presión arterial o Presión ocular

Unidades de presión Isobara Línea de tiempo de la tecnología de medición de la temperatura y la presión Conversión de unidades

Enlaces externos [editar]

www.npl.co.uk/pressure/punits Conversión de unidades de presión online

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n"Categoría: Magnitudes físicas

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Page 9: Ecuación constitutiva

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GradienteDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.

El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.

En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.

Contenido

[ocultar] 1 Definición 2 Interpretación del Gradiente 3 Aproximación lineal de una función 4 Propiedades 5 Expresión en diferentes sistemas de coordenadas 6 Gradiente de un campo vectorial 7 Ejemplo

8 Aplicaciones en física

Definición [editar]

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

Page 11: Ecuación constitutiva

siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del Gradiente [editar]

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llamese

, , etcétera. Algunos ejemplos son:

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un

campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es

. Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.

Considere una montaña en la cual su altura en el punto se define como

. El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Aproximación lineal de una función [editar]

El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:

donde es el gradiente evaluado en x0.

Page 12: Ecuación constitutiva

Propiedades [editar]

El gradiente verifica que:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.. Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima. Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima. Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla) El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto

es,

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas [editar]

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1, ) resulta

y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r, )

Gradiente de un campo vectorial [editar]

En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de

un campo vectorial, siendo el gradiente de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento

Page 13: Ecuación constitutiva

Este tensor podrá representarse por una matriz , que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.

Ejemplo [editar]

Dada la función f(x,y,z) = 2x + 3y2 − sin(z) su vector gradiente es:

Aplicaciones en física [editar]

El Gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.

Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como

Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas

siendo k la conductividad térmica.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente"Categoría: Análisis matemático

Magnitud físicaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Page 14: Ecuación constitutiva

Toda medición consiste en atribuir un valor numérico cuantitativo a alguna propiedad de un cuerpo, como la longitud o el área. Estas propiedades, conocidas bajo el nombre de magnitudes físicas, pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, la energía, etc.

A diferencia de las unidades empleadas para expresar su valor, las magnitudes físicas se expresan en cursiva: así, por ejemplo, la "masa" se indica con "m", y "una masa de 3 kilogramos" la expresaremos como m = 3 kg.

Contenido

[ocultar] 1 Tipos de magnitudes físicas

o 1.1 Escalares, vectores y tensores o 1.2 Magnitudes extensivas e intensivas

2 Sistema Internacional de Unidades o 2.1 Unidades básicas o fundamentales del SI o 2.2 Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S. o 2.3 Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico

Técnico o 2.4 Magnitudes físicas derivadas

3 Véase también

4 Enlaces externos

Tipos de magnitudes físicas [editar]

Las magnitudes físicas se pueden clasificar de acuerdo a varios criterios:

Según su forma matemática, las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales.

Según su actividad, se clasifican en magnitudes extensivas e intensivas.

Escalares, vectores y tensores [editar]

Las magnitudes físicas se clasifican en tres tipos:

Magnitudes escalares: Son aquéllas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de direción y sentido. Su valor puede ser independiente del observador (v.g.: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o estado de movimiento del observador (v.g.: la energía cinética)

Magnitudes vectoriales: Son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un

Page 15: Ecuación constitutiva

segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad,la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc.

Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial.

Magnitudes tensoriales (propiamente dichas): Son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación.

De acuerdo con el tipo de magnitud, debemos escoger leyes de transformación de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador conocidas las de otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.

Magnitudes extensivas e intensivas [editar]

Una magnitud extensiva es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema. Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc.

Una magnitud intensiva es aquélla cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud intensiva. Ejemplo: masa dividida por volumen representa densidad.

Sistema Internacional de Unidades [editar]

Artículo principal: Sistema Internacional de Unidades

El Sistema Internacional de Unidades se basa en dos tipos de magnitudes físicas, las siete que toma como fundamentales (longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa) y las derivadas, que son las restantes y que pueden ser expresadas con una combinación matemática de las anteriores.

Unidades básicas o fundamentales del SI [editar]

Page 16: Ecuación constitutiva

Artículo principal: Unidades básicas del SI

Las magnitudes básicas no derivadas del SI son las siguientes:

Longitud: metro [m]. El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. Este patrón fue establecido en el año 1983.

Tiempo: segundo [s]. El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio-133. Este patrón fue establecido en el año 1967.

Masa: kilogramo [kg]. El kilogramo es la masa de un cilindro de aleación de Platino-Iridio depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Este patrón fue establecido en el año 1887.

Intensidad de corriente eléctrica: amperio [A]. El amperio o ampere es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vacío, produciría una fuerza igual a 2×10-7 newton por metro de longitud.

Temperatura: kelvin [K]. El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua.

Cantidad de sustancia: mol [mol]. El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 12 gramos de carbono-12.

Intensidad luminosa: candela [cd]. La candela es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 Hz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S. [editar]

Longitud: centímetro (cm): 1/100 del metro (m) S.I. Tiempo: segundo (s): La misma definición del S.I. Masa: gramo (g): 1/1000 del kilogramo (kg) del S.I.

Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico Técnico [editar]

Longitud: metro (m). La misma definición del Sistema Internacional. Tiempo: segundo (s).La misma definición del Sistema Internacional Fuerza: kilogramo-fuerza (kgf). El peso de una masa de 1 kg (S.I.),en

condiciones normales de gravedad (g = 9,80665 m/s2 ).

Equivalencia

1 kgf = 9,80665 N

donde:

kgf: unidad de fuerza en el Sistema Técnico de Unidades.

N : unidad de fuerza en el S.I..

Page 17: Ecuación constitutiva

Magnitudes físicas derivadas [editar]

Artículo principal: Unidades derivadas del SI

Una vez definidas las magnitudes que se consideran básicas, las demás resultan derivadas y se pueden expresar como combinación de las primeras.

Las unidades derivadas se usan para las siguientes magnitudes: superficie, volumen, velocidad, aceleración, densidad, frecuencia, periodo, fuerza, presión, trabajo, calor, energía, potencia, carga eléctrica, diferencia de potencial, potencial eléctrico, resistencia eléctrica, etcétera.

Algunas de las unidades usadas para esas magnitudes derivadas son:

Fuerza: newton [N] que es igual a [kg·m·s-2]. Energía: julio [J] que es igual a [kg·m2·s-2].

Véase también [editar]

Sistema de unidades Principio de Fourier

Enlaces externos [editar]

Wikisource contiene obras originales de o sobre Patrones oficiales de las

magnitudes (España). Bureau International des Poids et Mesures - The International System of

Mesures

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica"Categorías: Magnitudes físicas | Física

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Page 19: Ecuación constitutiva

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Magnitud extensivaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsquedaSe ha sugerido que este artículo o sección sea fusionado en Propiedades intensivas y extensivas. (Discusión).Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales en WP:TAB/F.

En termodinámica, una magnitud extensiva es una magnitud cuyo valor es proporcional al tamaño del sistema que describe. Esta magnitud puede ser expresada como suma de las magnitudes de un conjunto de subsistemas que formen el sistema original. Por ejemplo la masa y el volumen son magnitudes extensivas.

En general el cociente entre dos magnitudes extensivas nos da una magnitud intensiva, por ejemplo la división entre masa y volumen nos da la densidad.

En cambio una magnitud intensiva es una aquella cuyo valor no depende del tamaño ni la cantidad de materia del sistema. Es decir, tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas abiertos. Por ejemplo, la densidad es una magnitud intensiva.

Véase también [editar]

magnitud física magnitud intensiva

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_extensiva"

En física y química, las propiedades intensivas son las que no dependen de la cantidad de sustancia del sistema, por este motivo no son propiedades aditivas. En otras palabras, las propiedades intensivas no dependen de la masa. Por el contrario, las propiedades extensivas son las que sí dependen de la cantidad de sustancia del sistema.

Propiedades intensivas [editar]

Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia presente.

Algunos ejemplos de propiedades intensivas son la temperatura, la velocidad, el volumen específico (volumen ocupado por la unidad de masa), el punto de ebullición, el punto de fusión,una magnitud escalar, una magnitud vectorial, etc.

Page 20: Ecuación constitutiva

Si se tiene un litro de agua, su punto de ebullición es 100 °C (a 1 atmósfera de presión). Si se agrega otro litro de agua, el nuevo sistema, formado por dos litros de agua, tiene mismo punto de ebullición

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedades_intensivas_y_extensivas"

MasaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsquedaPara otros usos de este término, véase Masa (desambiguación).

La masa, en física, es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. La unidad de masa, en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es una cantidad escalar y no debe confundirse con el peso, que es una fuerza.

Contenido

[ocultar] 1 Historia 2 Masa inercial 3 Masa gravitacional 4 Equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria 5 Consecuencias de la Relatividad 6 Masa Convencional 7 Referencias 8 Véase también

9 Enlaces externos

Historia [editar]

El concepto de masa surge de la confluencia de dos leyes: la ley Gravitación Universal de Newton y la 2ª Ley de Newton (o 2º "Principio"). Según la ley de la Gravitación de Newton, la atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de dos constantes, denominadas masa gravitacional —una de cada uno de ellos—, siendo así la masa gravitatoria una propiedad de la materia en virtud de la cual dos cuerpos se atraen; por la 2ª ley (o principio) de Newton, la fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración que experimenta, denominándose a la constante de proporcionalidad: masa inercial del cuerpo.

No es obvio que la masa inercial y la masa gravitatoria coincidan. Sin embargo todos los experimentos muestran que sí. Para la física clásica esta identidad era accidental. Ya Newton, para quien peso e inercia eran propiedades independientes de la materia, propuso que ambas cualidades son proporcionales a la cantidad de materia, a la cual denominó "masa". Sin embargo, para Einstein, la coincidencia de masa inercial y masa gravitacional fue un dato crucial y uno de los puntos de partida para su teoría de la

Page 21: Ecuación constitutiva

Relatividad y, por tanto, para poder comprender mejor el comportamiento de la naturaleza. Según Einstein, esa identidad significa que: «la misma cualidad de un cuerpo se manifiesta, de acuerdo con las circunstancias, como inercia o como peso.»

Esto llevó a Einstein a enunciar el Principio de equivalencia: «las leyes de la naturaleza deben expresarse de modo que sea imposible distinguir entre un campo gravitatorio uniforme y un sistema referencial acelerado.» Así pues, «masa inercial» y «masa gravitatoria» son indistinguibles y, consecuentemente, cabe un único concepto de «masa» como sinónimo de «cantidad de materia», según formuló Newton.

En palabras de D. M. McMaster: «la masa es la expresión de la cantidad de materia de un cuerpo, revelada por su peso, o por la cantidad de fuerza necesaria para producir en un cuerpo cierta cantidad de movimiento en un tiempo dado.»1

En la física clásica, la masa es una constante de un cuerpo. En física relativista, la masa es función de la velocidad que el cuerpo posee respecto al observador. Además, la física relativista demostró la relación de la masa con la energía, quedando probada en las reacciones nucleares; por ejemplo, en la explosión de una bomba atómica queda patente que la masa es una magnitud que trasciende a la masa inercial y a la masa gravitacional.

Es un concepto central en física, química, astronomía y otras disciplinas afines.

Masa inercial [editar]

Artículo principal: Masa inercial

La masa inercial para la física clásica viene determinada por la Segunda y Tercera Ley de Newton. Dados dos cuerpos, A y B, con masas inerciales mA (conocida) y mB (que se desea determinar), en la hipótesis dice que las masas son constantes y que ambos cuerpos están aislados de otras influencias físicas, de forma que la única fuerza presente sobre A es la que ejerce B, denominada FAB, y la única fuerza presente sobre B es la que ejerce A, denominada FBA, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton:

.

donde aA y aB son las aceleraciones de A y B, respectivamente. Es necesario que estas aceleraciones no sean nulas, es decir, que las fuerzas entre los dos objetos no sean iguales a cero. Una forma de lograrlo es, por ejemplo, hacer colisionar los dos cuerpos y efectuar las mediciones durante el choque.

La Tercera Ley de Newton afirma que las dos fuerzas son iguales y opuestas:

.

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, se obtiene la masa de B como

.

Page 22: Ecuación constitutiva

Así, el medir aA y aB permite determinar mB en relación con mA, que era lo buscado. El requisito de que aB sea distinto de cero hace que esta ecuación quede bien definida.

En el razonamiento anterior se ha supuesto que las masas de A y B son constantes. Se trata de una suposición fundamental, conocida como la conservación de la masa, y se basa en la hipótesis de que la materia no puede ser creada ni destruida, sólo transformada (dividida o recombinada). Sin embargo, a veces es útil considerar la variación de la masa del cuerpo en el tiempo; por ejemplo, la masa de un cohete decrece durante su lanzamiento. Esta aproximación se hace ignorando la materia que entra y sale del sistema. En el caso del cohete, esta materia se corresponde con el combustible que es expulsado; la masa conjunta del cohete y del combustible es constante.

Masa gravitacional [editar]

Artículo principal: Masa gravitacional

Considérense dos cuerpos A y B con masas gravitacionales MA y MB, separados por una distancia |rAB|. La Ley de la Gravitación de Newton dice que la magnitud de la fuerza gravitatoria que cada cuerpo ejerce sobre el otro es

donde G es la constante de gravitación universal. La sentencia anterior se puede reformular de la siguiente manera: dada la aceleración g de una masa de referencia en un campo gravitacional (como el campo gravitatorio de la Tierra), la fuerza de la gravedad en un objeto con masa gravitacional M es de la magnitud

.

Esta es la base según la cual las masas se determinan en las balanzas. En las balanzas de baño, por ejemplo, la fuerza |F| es proporcional al desplazamiento del muelle debajo de la plataforma de pesado (véase Ley de Hooke), y la escala está calibrada para tener en cuenta g de forma que se pueda leer la masa M.

Equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria [editar]

Se demuestra experimentalmente que la masa inercial y la masa gravitacional son iguales —con un grado de precisión muy alto—. Estos experimentos son esencialmente pruebas del fenómeno ya observado por Galileo de que los objetos caen con una aceleración independiente de sus masas (en ausencia de factores externos como el rozamiento).

Supóngase un objeto con masas inercial y gravitacional m y M, respectivamente. Si la gravedad es la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, la combinación de la segunda ley de Newton y la ley de la gravedad proporciona su aceleración como

Page 23: Ecuación constitutiva

Por tanto, todos los objetos situados en el mismo campo gravitatorio caen con la misma aceleración si y sólo si la proporción entre masa gravitacional e inercial es igual a una constante. Por definición, se puede tomar esta proporción como 1.

Consecuencias de la Relatividad [editar]

En la teoría especial de la relatividad la "masa" se refiere a la masa inercial de un objeto medida en el sistema de referencia en el que está en reposo (conocido como "sistema de reposo"). El método anterior para obtener la masa inercial sigue siendo válido, siempre que la velocidad del objeto sea mucho menor que la velocidad de la luz, de forma que la mecánica clásica siga siendo válida.

Históricamente, se ha usado el término "masa" para describir a la magnitud E/c², (que se denominaba "masa relativista") y a m, que se denominaba "masa en reposo". Los físicos no recomiendan seguir esta terminología, porque no es necesario tener dos términos para la energía de una partícula y porque crea confusión cuando se habla de partículas "sin masa". En este artículo, siempre se hace referencia a la "masa en reposo". Para más información, véase el 'Usenet Relativity FAQ' en la sección de Enlaces externos.

En la mecánica relativista, la masa de una partícula libre está relacionada con su energía y su momento según la siguiente ecuación:

.

Que se puede reordenar de la siguiente manera:

El límite clásico se corresponde con la situación en la que el momento p es mucho menor que mc, en cuyo caso se puede desarrollar la raíz cuadrada en una serie de Taylor:

El término principal, que es el mayor, es la energía en reposo de la partícula. Si la masa es distinta de cero, una partícula siempre tiene como mínimo esta cantidad de energía, independientemente de su momentum. La energía en reposo, normalmente, es inaccesible, pero puede liberarse dividiendo o combinando partículas, como en la fusión y fisión nucleares. El segundo término es la energía cinética clásica, que se demuestra usando la definición clásica de momento cinético o momento lineal:

Page 24: Ecuación constitutiva

y sustituyendo para obtener:

La relación relativista entre energía, masa y momento también se cumple para partículas que no tienen masa (que es un concepto mal definido en términos de mecánica clásica). Cuando m = 0, la relación se simplifica en

donde p es el momento relativista.

Esta ecuación define la mecánica de las partículas sin masa como el fotón, que son las partículas de la luz.

Masa Convencional [editar]

Según el documento D28 "Conventional value of the result of weighing in air" de la Organización Internacional de Metrología Legal (OIML), la masa convencional de un cuerpo es igual a la masa de un patrón de densidad igual a 8000 kg/m3 que equilibra en el aire a dicho cuerpo en condiciones convencionalmente escogidas: temperatura del aire igual a 20 ºC y densidad del aire igual a 0,0012 g/cm3

Esta definición es fundamental para un comercio internacional sin controversias sobre pesajes realizados bajo distintas condiciones de densidad del aire y densidad de los objetos. Si se pretendiera que las balanzas midan masa, sería necesario contar con patrones de masa de la misma densidad que los objetos cuya masa interese determinar, lo que no es práctico y es la razón por la que se definió la Masa Convencional, la cual es la magnitud que miden las balanzas con mayor exactitud que masa.

Referencias [editar]

1. ↑ MacMasters, D.M. (1964). Gran Enciclopedia del Mundo. Bilbao: Durvan, S.A. de Ediciones. B1.-1.021-1964.

Véase también [editar]

Unidades de masa Masa invariante Ley de conservación de la materia

Enlaces externos [editar]

Organización Internacional de Metrología Legal ¿Cómo se puede medir allí la masa? Calculadora para conversión de unidades de masa (y peso)

Page 25: Ecuación constitutiva

Conversor simple de unidades Usenet Physics FAQ What is relativistic mass? Au sujet de la masse

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Masa"Categorías: Magnitudes físicas | Conceptos fundamentales de la físicaCategorías ocultas: Wikipedia:Artículos destacados en w:it | Wikipedia:Artículos buenos en w:is | Wikipedia:Artículos destacados en w:ast

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Page 28: Ecuación constitutiva

Propiedades intensivas y extensivasDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsquedaSe ha sugerido que Magnitud extensiva sea fusionado en este artículo o sección. (Discusión).Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales en WP:TAB/F.

En física y química, las propiedades intensivas son las que no dependen de la cantidad de sustancia del sistema, por este motivo no son propiedades aditivas. En otras palabras, las propiedades intensivas no dependen de la masa. Por el contrario, las propiedades extensivas son las que sí dependen de la cantidad de sustancia del sistema.

Propiedades intensivas [editar]

Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia presente.

Algunos ejemplos de propiedades intensivas son la temperatura, la velocidad, el volumen específico (volumen ocupado por la unidad de masa), el punto de ebullición, el punto de fusión,una magnitud escalar, una magnitud vectorial, etc.

Si se tiene un litro de agua, su punto de ebullición es 100 °C (a 1 atmósfera de presión). Si se agrega otro litro de agua, el nuevo sistema, formado por dos litros de agua, tiene mismo punto de ebullición

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedades_intensivas_y_extensivas"Categorías: Wikipedia:Fusionar | Física | Propiedades químicas

Magnitud intensivaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En física, una magnitud o propiedad intensiva es aquella cuyo valor permanece inalterable al subdividir el sistema inicial en varios subsistemas; es decir que no depende de la cantidad de sustancia considerada. Por este motivo, y en contraposición a las propiedades extensivas, las intensivas no constituyen magnitudes aditivas. Una propiedad intensiva puede corresponder a una magnitud escalar o vectorial.

Ejemplos de propiedades intensivas son la temperatura, el volumen específico (el ocupado por la unidad de masa) y en general todas aquellas que caracterizan a una

Page 29: Ecuación constitutiva

sustancia diferenciándola de otras, como su dureza o su potencial de reducción. Muchas variables físicas, químicas o termodinámicas extensivas, como el volumen, la cantidad de calor o el peso, pueden convertirse en intensivas dividiéndolas por la cantidad de sustancia, la masa o el volumen de la muestra; resultando en valores por unidad de sustancia, de masa, o de volumen respectivamente; como lo son el volumen molar, el calor específico o el peso específico.

Véase también [editar]

magnitud física magnitud extensiva

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_intensiva"Categorías: Wikipedia:Fusionar | Magnitudes físicas

Magnitud extensivaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En termodinámica, una magnitud extensiva es una magnitud cuyo valor es proporcional al tamaño del sistema que describe. Esta magnitud puede ser expresada como suma de las magnitudes de un conjunto de subsistemas que formen el sistema original. Por ejemplo la masa y el volumen son magnitudes extensivas.

En general el cociente entre dos magnitudes extensivas nos da una magnitud intensiva, por ejemplo la división entre masa y volumen nos da la densidad.

En cambio una magnitud intensiva es una aquella cuyo valor no depende del tamaño ni la cantidad de materia del sistema. Es decir, tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas abiertos. Por ejemplo, la densidad es una magnitud intensiva.

Véase también [editar]

magnitud física magnitud intensiva

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_extensiva"

Page 30: Ecuación constitutiva

Campo escalarDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Un campo escalar es una función que va de . Esto quiere decir que asocia cada punto de un espacio vectorial con un número o escalar

. Esta función también es conocida como función de punto o función escalar.

Se utiliza generalmente para indicar una distribución de magnitudes físicas (por ejemplo, temperatura o presión) en el espacio.

Campos escalares en física [editar]

En física clásica no relativista los campos electrostático y gravitatorio son tratados como campos escalares. Aunque también en mecánica de fluidos la presión puede ser tratada como un campo escalar, o la distribución de temperatura sobre un cuerpo es otro campo escalar. Todos estos campos son clasificados como campos escalares por motivo de la descripción matemática necesaria. Una construcción que caracteriza los campos escalares son las superficies equipotenciales que son el conjunto de puntos sobre el cual la función toma un mismo valor.

En física cuántica, se usa el término "campo escalar" de una forma más restringida, se aplica a describir el campo asociado a partículas de espín nulo.

Campos escalares en geometría diferencial [editar]

Véase también [editar]

Campos en física, teoría clásica de campos, teoría cuántica de campos. campo vectorial, campo tensorial y campo espinorial. Gradiente de un campo escalar.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar"

Superficie equipotencialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de un campo escalar en los cuales el "potencial de campo" o valor numérico de la función que representa el

Page 31: Ecuación constitutiva

campo, es constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuación de Poisson.

El caso más sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el que hay una masa puntual: las superficies equipotenciales son esferas concéntricas alrededor de dicho punto. El trabajo realizado por esa masa siendo el potencial constante, será pues, por definición, cero.

Cuando el campo potencial se restringe a un plano, la intersección de las superficies equipotenciales con dicho plano se llaman líneas equipotenciales.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_equipotencial"Categoría: Física matemática

Ecuación de PoissonDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con una amplia utilidad en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Su nombre se lo debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson.

La ecuación de Poisson se define como:

donde es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

Contenido

[ocultar] 1 Problema de Poisson

o 1.1 Problemas de potencial 2 Problema de Dirichlet

o 2.1 Relación con el problema de Poisson 3 Problema de Von Neumann

Page 32: Ecuación constitutiva

4 Referencias

o 4.1 Enlaces exteriores

Problema de Poisson [editar]

La ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación. Concretamente el problema de Poisson es el problema de encontrar una función definida sobre el dominio Ω que satisfaga:

(1)

Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para n > 2:

Problemas de potencial [editar]

La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio. En esos problemas ρ representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa. Además la constante cn debe ser tomada 1/ε0 para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como cn = 4πG.

Problema de Dirichlet [editar]

Artículo principal: Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno del dominio:

(2)

En electrostática el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma Ω dentro de la cual hay una distribución de carga dada por ρ.

Relación con el problema de Poisson [editar]

Page 33: Ecuación constitutiva

Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si

es una función de clase C1 sobre la frontera del dominio y es una extensión de f a todo el dominio Ω que sea de clase C2, es decir:

Entonces la solución del problema de Dirichlet (2) viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como (1):

Problema de Von Neumann [editar]

El problema de Von Neumann es similar al anterior pero en lugar de fijar el valor de la función incógnita sobre la frontera, fija el valor de la derivada perpendicularmente a la superficie.

(3)

Referencias [editar]

Enlaces exteriores [editar]

Ecuaciones diferenciales elípticas Soluciones exactas de la ecuación de Poisson

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson"Categorías: Ecuaciones en derivadas parciales | Electrostática | Física matemática

Ecuación en derivadas parcialesDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas

Page 34: Ecuación constitutiva

parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

Contenido

[ocultar] 1 Introducción

o 1.1 Notación y ejemplos o 1.2 Solución general y solución completa o 1.3 Existencia y unicidad

2 Clasificación de las EDP de segundo orden 3 EDP de orden superior 4 Referencias

o 4.1 Bibliografía o 4.2 Enlaces externos

5 Véase también

Introducción [editar]

Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

que tiene la siguiente solución

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones

Page 35: Ecuación constitutiva

adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función f(y) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.

Notación y ejemplos [editar]

En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en

coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como

(notación matemática)

(notación física)

Solución general y solución completa [editar]

Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Existencia y unicidad [editar]

Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.1 Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.

Page 36: Ecuación constitutiva

Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:

con condiciones inciales

Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:

Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.

Clasificación de las EDP de segundo orden [editar]

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Ecuación Nombre Tipo

Laplace Elíptica

Onda Hiperbólica

Difusión Parabólicas

Helmholtz Elíptica

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

Page 37: Ecuación constitutiva

se dice que es elíptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0.

se dice que es parabólica si la matriz tiene un determinante igual a 0.

se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un determinante menor a 0.

EDP de orden superior [editar]

Si bien las EDP de segundo orden rigen una inmensa cantidad de fenómenos físicos, otra cantidad no tan grande es regida por EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

Flexión mecánica de una lámina elástica:

Vibración flexional de una viga:

Referencias [editar]

1. ↑ Lewy, 1957.

Bibliografía [editar]

José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.

R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Wiley-Interscience, New York, 1962.

L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

J. Jost, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2002. Hans Lewy (1957) An example of a smooth linear partial differential equation

without solution. Annals of Mathematics, 2nd Series, 66(1),155-158. I.G. Petrovskii, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co.,

Philadelphia, 1967.

Page 38: Ecuación constitutiva

A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3

A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X

D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2005. ISBN 978-0-521-84886-2

Enlaces externos [editar]

Ecuaciones en derivadas parciales: las soluciones exactas en EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Ecuaciones en derivadas parciales: Índice en EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Ecuaciones en derivadas parciales: Métodos de resolución en EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Problemas de ejemplo con soluciones en exampleproblems.com Ecuaciones en derivadas parciales en mathworld.wolfram.com Object Oriented Finite Element Solver with GNU license

Véase también [editar]

Ecuación hiperbólica en derivadas parciales Ecuación parabólica en derivadas parciales Ecuación elíptica en derivadas parciales Diferencia finita

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"Categoría: Ecuaciones en derivadas parciales

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras, constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

(donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi')

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Page 39: Ecuación constitutiva

Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Contenido

[ocultar] 1 Introducción 2 Ejemplos 3 Notación 4 Definición formal 5 Derivadas parciales de orden superior

6 Véase también

Introducción [editar]

Supón que ƒ es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Page 40: Ecuación constitutiva

Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 son mostrados a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

en el punto (1, 1, 3),

o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos [editar]

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)

*Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

Page 41: Ecuación constitutiva

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

Otro ejemplo, dada la función

la derivada parcial de F respecto de x es:

mientras que con respecto de y es:

Notación [editar]

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.

Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

Derivadas cruzadas de segundo orden:

Definición formal [editar]

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

Page 42: Ecuación constitutiva

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.

Derivadas parciales de orden superior [editar]

A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadas cruzadas) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwartz.

En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

Véase también [editar]

Diferenciación parcial Derivada de Lie Derivada Jacobiano

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial"Categoría: Operadores diferenciales

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Page 44: Ecuación constitutiva

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Cálculo vectorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)vectorial.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Page 45: Ecuación constitutiva

Historia [editar]

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willar Gibbs (1839-1903).

Véase también [editar]

Lista de asuntos del cálculo multivariable Teorema de Green, Teorema de Stokes, Teorema de la divergencia Teorema de Helmoltz-Hodge, Dual de Hodge Operador nabla, gradiente, divergencia, Rotacional,1-forma. Electrostática, Magnetostática

Portal:Matemática Contenido relacionado con Matemática.

Portal:Física Contenido relacionado con Física.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial"Categorías: Álgebra lineal | Análisis real

Teorema de ClairautDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwartz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas entonces son iguales.

Contenido

[ocultar] 1 Enunciado

o 1.1 Caso general

Page 46: Ecuación constitutiva

o 1.2 Enunciado del teorema en dos variables

1.2.1 Demostración

Enunciado [editar]

Caso general [editar]

Sea : , A un abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en A.

Entonces para cualquier punto se cumple que:

Enunciado del teorema en dos variables [editar]

Sea

una función de dos variables, definida en un abierto Ω del plano . si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en Ω (

) estas son iguales, es decir:

.

Demostración [editar]

Sea

.

Y sean , reales tales que . Lo

cual es posible, ya que es un abierto de .

Se definen dos funciones y

,

,

Page 47: Ecuación constitutiva

de modo que:

,

.

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

,

y análogamente:

,

con , , por comodidad de escritura pero sin perder

generalidad, se suponen .

Luego haciendo tender y a se logra la tesis.

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Condición necesaria y suficienteDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En lógica, las palabras necesario y suficiente describen la relación que mantienen dos proposiciones o estado de las cosas, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, alguien puede decir:

El tomar agua regularmente es necesario para que un humano se mantenga con vida.

El saltar es suficiente para despegarse de la tierra. El tener una credencial de identificación es una condición necesaria y suficiente

para ser admitido.

Page 48: Ecuación constitutiva

Nota: este artículo discute solamente la relación lógica implícita en las palabras necesario y suficiente. El significado causal de estas palabras es ignorado. Esto es potencialmente engañoso, ya que estas palabras a menudo implican causalidad en su uso normal.

Contenido

[ocultar] 1 Condiciones necesarias 2 Condiciones suficientes 3 Condición necesaria y suficiente 4 Notas

5 Enlaces externos

Condiciones necesarias [editar]

Al decir que A es necesaria para B, estamos diciendo que B no puede ser verdadera a menos que A sea verdadera, o que cuando quiera, donde quiera, o como sea, B es verdadera, si A lo es.

En pocas palabras Si el antecedente es falso, el consecuente tiene que ser falso

Nosotros podemos decir que el tener por lo menos 18 años es necesario para tener una licencia de conducir.

En el sentido en el que utilizamos aquí la palabra «necesario», podemos decir también «el humo es necesario para el fuego». Esto es confuso, desde el momento en que el humo viene después del fuego; pero todo lo que nosotros estamos diciendo es que donde quiera que exista B, ahí existe A, es decir, el fuego (A) no puede ocurrir sin que exista humo (B). Estamos tratando de no decir nada acerca de la dirección del tiempo. En el lenguaje ordinario diríamos «El humo es una consecuencia necesaria del fuego».1

En cada caso, lo importante es notar que una cosa es asumida (el fuego, una licencia), y una segunda cosa es derivada como «necesaria consecuentemente». El tener 18 es una condición necesaria en el segundo caso; el humo es una condición necesaria en el primer caso (sin embargo, nuevamente, originariamente no deberemos llamar esto una «condición»).

Es importante saber que es muy posible que una condición necesaria ocurra por sí sola, por ejemplo, uno puede tener 18 años y no tener la licencia de conducir, y hay formas de generar humo sin fuego.

Si A es una condición necesaria para B, entonces la relación lógica entre A y B se expresa: «si B entonces A» o «B solo si A» o «B → A».

Condiciones suficientes [editar]

Page 49: Ecuación constitutiva

Al decir que A es suficiente para B, estamos diciendo precisamente lo contrario: que A no puede ocurrir sin B, o cuando sea que ocurra A, B ocurrirá. Es decir, que el hecho de que exista fuego es suficiente para que haya humo.

En pocas palabras si el antecedente es verdadero, el consecuente tiene que ser verdadero

Las condiciones necesarias y suficientes consecuentemente están relacionadas. A es una condición necesaria para B solo en el caso de que B sea una condición suficiente para A.

En el sentido en el cual utilizamos la palabra «suficiente», podríamos también decir «tener una licencia es suficiente para tener dieciocho años». Esto es confuso, desde el momento en que tener una licencia no «causa» que tengas dieciocho años; no obstante, la percepción común es que si tú tienes una licencia, tú debes tener dieciocho años (consideramos la licencia como una prueba de edad debido a que la consideramos «suficiente» para demostar la edad en algo como en el sentido expuesto). Trate de ignorar la relación causal y la dirección del tiempo: Estamos poniendo atención solo en la relación lógica.

En todo caso, note que una cosa es asumida (fuego, una licencia), y «esta misma cosa» la identificamos como la condición suficiente para otra cosa (humo, edad) - suficiente en el sentido de «lo justo adecuado para que la otra exista».

Debemos considerar que, una condición suficiente, por definición, es aquello que no puede ocurrir sin aquello para lo que es condición, así que, no puedes tener una licencia sin tener dieciocho años.

Si A es una condición suficiente para B, entonces la relación lógica entre ellas es expresada como «Si A entonces B» o «A solo si B» o «A → B».

Condición necesaria y suficiente [editar]

Decir que A es necesaria y suficiente para B es decir dos cosas simultáneamente:

1. A es necesaria para B 2. A es suficiente para B.

Por ejemplo, Si Alicia siempre come bistec el lunes, pero nunca en otro día, podemos decir que «El hecho de que sea lunes es una condición necesaria y suficiente para que Alicia coma bistec». Lo contrario también es verdadero: «El hecho de que Alicia esté comiendo bistec es una condición necesaria y suficiente para que sea lunes». De este modo, en el momento en que A es necesaria y suficiente para B, B es necesaria y suficiente para A.

Una vez más, esto es confuso, desde que la acción de Alicia de comer bistec no causa que sea Lunes.

Desde que la frase «necesaria y suficiente» puede expresar una relación entre oraciones o entre estado de las cosas, objetos, o eventos, esta no debe ser combinada demasiado

Page 50: Ecuación constitutiva

rápido con equivalencia lógica. El hecho de que Alicia este comiendo bistec no es equivalentemente lógico para que sea Lunes.

Sin embargo, «A es necesario y suficiente para B» expresa la misma cosa que «A si y solo si B».

Notas [editar]

1. ↑ Para el propósito de este ejemplo, ignoraremos la posibilidad de que el fuego no cree humo.

Enlaces externos [editar]

Stanford Encyclopedia of Philosophy: Necessary and Sufficient Conditions

Mecánica de fluidosDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Perturbación provocada por un avión al despegar hecha visible con humo coloreado.

La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos (que a su vez es una rama de la física) que estudia el movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que los provocan. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita. La hipótesis fundamental en la que se basa toda la mecánica de fluidos es la hipótesis del medio continuo.

Contenido

[ocultar] 1 Hipótesis básicas

o 1.1 Hipótesis del medio continuo o 1.2 Concepto de partícula fluida

Page 51: Ecuación constitutiva

o 1.3 Descripciones lagrangiana y euleriana del movimiento de un fluido 2 Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos 3 Véase también

4 Enlaces externos

Hipótesis básicas [editar]

Como en todas las ramas de la ciencia, en la mecánica de fluidos se parte de hipótesis en función de las cuales se desarrollan todos los conceptos. En particular, en la mecánica de fluidos se asume que los fluidos verifican las siguientes leyes:

-Conservación de la masa y de la cantidad de movimiento. -Primera y segunda ley de la termodinámica.

Pero probablemente la hipótesis más importante de la mecánica de fluidos es la hipótesis del medio continuo.

Hipótesis del medio continuo [editar]

La hipótesis del medio continuo es la hipótesis fundamental de la mecánica de fluidos y en general de toda la mecánica de medios continuos. En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

La forma de determinar la validez de esta hipótesis consiste en comparar el camino libre medio de las moléculas con la longitud característica del sistema físico. Al cociente entre estas longitudes se le denomina número de Knudsen. Cuando este número adimensional es mucho menor a la unidad, el material en cuestión puede considerarse un fluido (medio continuo). En el caso contrario los efectos debidos a la naturaleza molecular de la materia no pueden ser despreciados y debe utilizarse la mecánica estadística para predecir el comportamiento de la materia.(Ejemplos de situaciones donde la hipótesis del medio continuo no es válida pueden encontrarse en el estudio de los plasmas.

Concepto de partícula fluida [editar]

Este concepto esta muy ligado al del medio continuo y es sumamente importante en la mecánica de fluidos. Se llama partícula fluida a la masa elemental de fluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Dicha masa elemental ha de ser lo suficientemente grande como para contener un gran número de moléculas, y lo suficientemente pequeña como para poder considerar que en su interior no hay variaciones de las propiedades macroscópicas del fluido, de modo que en cada partícula fluida podamos asignar un valor a estas propiedades. Es importante tener en cuenta que la partícula fluida se mueve con la velocidad macroscópica del fluido, de modo que está siempre formada por las mismas moléculas. Así pues un determinado punto del espacio en distintos instantes de tiempo estará ocupado por distintas partículas fluidas.

Page 52: Ecuación constitutiva

Descripciones lagrangiana y euleriana del movimiento de un fluido [editar]

A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista. Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Ésta es la descripción Lagrangiana. Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante un valor para las propiedades o magnitudes fluidas sin importar la partícula fluida que en dicho instante ocupa ese punto. Ésta es la descripción Euleriana, que no está ligada a las partículas fluidas sino a los puntos del espacio ocupados por el fluido. En esta descripción el valor de una propiedad en un punto y en un instante determinado es el de la partícula fluida que ocupa dicho punto en ese instante.

La descripción euleriana es la usada comúnmente, puesto que en la mayoría de casos y aplicaciones es más útil. Usaremos dicha descripción para la obtención de las ecuaciones generales de la mecánica de fluidos.

Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos [editar]

Artículo principal: Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana.

Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes.

No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional.

Las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación de continuidad:

-Forma integral:

Page 53: Ecuación constitutiva

-Forma diferencial:

Ecuación de cantidad de movimiento:

-Forma integral:

-Forma diferencial:

Ecuación de la energía

-Forma integral:

-Forma diferencial:

Para un desarrollo más profundo de estas ecuaciones ver el artículo ecuaciones de Navier-Stokes

Véase también [editar]

Campos de estudio:

acústica aerodinámica aeroelasticidad Oleohidráulica hidrostática hidrodinámica hemodinámica máquinas hidráulicas reología tránsito vehicular

Ecuaciones matemáticas que describen el comportamiento de los fluidos:

ecuación de Bernoulli ecuación de Darcy-Weisbach ecuación Lattice-Boltzmann ecuaciones de Euler ecuaciones de Navier-Stokes

Page 54: Ecuación constitutiva

ecuaciones relativistas de Euler ley de Poiseuille teoremas de Helmholtz

Tipos de fluidos:

fluido newtoniano fluido no newtoniano

Tipos de flujo:

flujo compresible, flujo incompresible, flujo laminar, flujo turbulento

Propiedades de los fluidos:

capa límite, efecto Coanda, efecto Magnus, ecuaciones de Navier-Stokes fuerza de sustentación presión de vapor tensión superficial

Números adimensionales:

Número de Eckert Número de Euler Número de Grashof Número de Knudsen Número de Mach Número de Peclet Número de Prandtl Número de Reynolds Número de Rossby Número de Strouhal Número de Weber

Enlaces externos [editar]

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Mecánica de fluidos.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_fluidos"Categorías: Mecánica de fluidos | Mecánica de medios continuos | Ingeniería civil | Ingeniería Agrícola

Page 55: Ecuación constitutiva

Ecuación de continuidadDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemática, ya sea de forma integral como de forma diferencial.

Contenido

[ocultar] 1 Teoría Electromagnética 2 Mecánica de fluidos 3 Mecánica cuántica

4 Véase también

Teoría Electromagnética [editar]

En teoría electromagnética, la ecuación de continuidad viene derivada de dos de las ecuaciones de Maxwell. Establece que la divergencia de la densidad de corriente es igual al negativo de la derivada de la densidad de carga respecto del tiempo:

En otras palabras, sólo podra haber un flujo de corriente si la cantidad de carga varía con el paso del tiempo, ya que está disminuyendo o aumentando en proporción a la carga que es usada para alimentar dicha corriente.

Esta ecuación establece la conservación de la carga.

Mecánica de fluidos [editar]

En mecánica de fluidos, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. Su forma diferencial es:

con

donde ρ es la densidad, t el tiempo y la velocidad del fluido. Es una de las tres Ecuaciones de Euler (fluidos).

Page 56: Ecuación constitutiva

Mecánica cuántica [editar]

En Mecánica cuántica, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la probabilidad. Su forma diferencial es:

Donde ρ es la Densidad de probabilidad de la Función de ondas y J es la Corriente de Probabilidad o Densidad de corriente.

Véase también [editar]

Ley de conservación Ecuaciones de Euler Fluido incompresible Ecuación de Schrödinger Densidad de probabilidad

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_continuidad"Categorías: Mecánica de fluidos | Ecuaciones de dinámica de fluidos | Leyes de conservación

Cantidad de movimientoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus y vis.

Contenido

[ocultar] 1 Introducción 2 Cantidad de movimiento en mecánica clásica

o 2.1 Mecánica newtoniana o 2.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 2.3 Cantidad de movimiento de un medio continuo

3 Cantidad de movimiento en mecánica relativista 4 Cantidad de movimiento en mecánica cuántica 5 Conservación

Page 57: Ecuación constitutiva

o 5.1 Mecánica newtoniana o 5.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 5.3 Mecánica relativista o 5.4 Mecánica cuántica

6 Véase también

7 Enlaces externos

Introducción [editar]

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (Kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente.

Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un periodo de tiempo dado:

siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo.

Cantidad de movimiento en mecánica clásica [editar]

Mecánica newtoniana [editar]

Page 58: Ecuación constitutiva

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana [editar]

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Cantidad de movimiento de un medio continuo [editar]

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal, es decir

Page 59: Ecuación constitutiva

Cantidad de movimiento en mecánica relativista [editar]

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El Principio de Relatividad establece que las leyes de la Física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este Principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:

donde v2,c2 son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y γ es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

Page 60: Ecuación constitutiva

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica [editar]

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula

el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el

espacio de funciones absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento,

salvo que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

Conservación [editar]

Mecánica newtoniana [editar]

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

Page 61: Ecuación constitutiva

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana [editar]

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene n grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada que viene dada por:

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker gij(q2,...,qn) = δij y la cantidad coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

Mecánica relativista [editar]

Page 62: Ecuación constitutiva

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Mecánica cuántica [editar]

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert

del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo . Se tiene que:

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas xi, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).

Véase también [editar]

Invariancia galileana de Galileo Galilei

Page 63: Ecuación constitutiva

relatividad especial de Einstein Movimiento

Enlaces externos [editar]

Cantidad de movimiento en Relatividad Especial

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento"Categorías: Magnitudes físicas | Mecánica | Leyes de conservación

Cantidad de movimientoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus y vis.

Contenido

[ocultar] 1 Introducción 2 Cantidad de movimiento en mecánica clásica

o 2.1 Mecánica newtoniana o 2.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 2.3 Cantidad de movimiento de un medio continuo

3 Cantidad de movimiento en mecánica relativista 4 Cantidad de movimiento en mecánica cuántica 5 Conservación

o 5.1 Mecánica newtoniana o 5.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 5.3 Mecánica relativista o 5.4 Mecánica cuántica

6 Véase también

7 Enlaces externos

Introducción [editar]

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (Kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del

Page 64: Ecuación constitutiva

teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente.

Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un periodo de tiempo dado:

siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo.

Cantidad de movimiento en mecánica clásica [editar]

Mecánica newtoniana [editar]

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener

Page 65: Ecuación constitutiva

con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana [editar]

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Cantidad de movimiento de un medio continuo [editar]

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal, es decir

Cantidad de movimiento en mecánica relativista [editar]

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El Principio de Relatividad establece que las leyes de la Física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este Principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la

Page 66: Ecuación constitutiva

velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:

donde v2,c2 son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y γ es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica [editar]

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula

Page 67: Ecuación constitutiva

el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el

espacio de funciones absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento,

salvo que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

Conservación [editar]

Mecánica newtoniana [editar]

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana [editar]

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene n grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:

Page 68: Ecuación constitutiva

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada que viene dada por:

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker gij(q2,...,qn) = δij y la cantidad coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

Mecánica relativista [editar]

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:

Page 69: Ecuación constitutiva

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Mecánica cuántica [editar]

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert

del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo . Se tiene que:

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas xi, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).

Véase también [editar]

Invariancia galileana de Galileo Galilei relatividad especial de Einstein Movimiento

Enlaces externos [editar]

Cantidad de movimiento en Relatividad Especial

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento"Categorías: Magnitudes físicas | Mecánica | Leyes de conservación

Ecuaciones de Navier-Stokes

Page 70: Ecuación constitutiva

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Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina mecánica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Contenido

[ocultar] 1 Conceptos previos

o 1.1 Derivada sustancial o material o 1.2 Teorema del transporte de Reynolds o 1.3 Teorema de la divergencia

2 Las ecuaciones de Navier-Stokes 3 Fluidos no viscosos 4 Otras consideraciones 5 Véase también

6 Enlaces externos

Conceptos previos [editar]

Derivada sustancial o material [editar]

Artículo principal: Derivada sustancial

Debido a que generalmente adoptamos la descripción euleriana la derivada ordinaria

ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una determinada

Page 71: Ecuación constitutiva

propiedad del fluido φ siguiendo a la partícula fluida. Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación usaremos la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida). La derivada sustancial o derivada material se define como el operador:

Donde es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local, mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociado al cambio de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva. Este es el procedimiento que sigue José de Echegarai para demostrar la derivada material. Véase una demostración de cómo llegar a una derivada material. Tomando las coordenadas de Euler como:

.

Calcularemos la aceleración para estas coordenadas:

Desarrollamos cada derivada total de cada componente, así podremos seguir un desarrollo fácil de recordar:

Si sumamos termino a términos y sacamos factor común nos damos cuenta de que podemos factorizar bastante:

Page 72: Ecuación constitutiva

Vemos que la parte de las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como:

Si ahora sustituimos velocidad por obtenemos formalmente la expresión de la derivada material:

Teorema del transporte de Reynolds [editar]

Artículo principal: Teorema del transporte de Reynolds

Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una propiedad del fluido siguiendo a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. En su forma general el teorema del transporte de Reynolds se expresa como:

donde φ es una propiedad extensiva definida por unidad de volumen, Vf es un volumen fluido, Vc es un volumen de control que coincide con Vf en el instante t, Sc la superficie de control ligada a dicho volumen, la velocidad del fluido y la velocidad de la superficie de control.

Expresado en términos coloquiales puede decirse que el teorema del transporte de Reynolds viene a decir que la variación de una propiedad extensiva en un volumen fluido, es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.

Teorema de la divergencia [editar]

Artículo principal: teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss), nos permite transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

Las ecuaciones de Navier-Stokes [editar]

Page 73: Ecuación constitutiva

.

Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general. La ley de conservación de la masa se escribe:

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.

donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

Fluidos no viscosos [editar]

Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque. Si además ρ puede ser considerada constante (como en un líquido):

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

Page 74: Ecuación constitutiva

Otras consideraciones [editar]

Una importante cuestión abierta concerniente a estas ecuaciones es la determinación de si, partiendo de unas condiciones iniciales del movimiento de fluido suave y laminar, la solución de las ecuaciones para todo instante de tiempo implica también un flujo suave y laminar. Esta pregunta constituye uno de los Problemas del Milenio que el Instituto de Matemáticas Clay premia con 1 millón de dólares estadounidenses a quién pueda resolverlo.

Véase también [editar]

Número de Reynolds Número de Mach

Enlaces externos [editar]

Página de la Universidad de Cambridge (en inglés) Página del Instituto Clay sobre el problema de Navier-Stokes

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes"Categorías: Mecánica de fluidos | Ecuaciones de dinámica de fluidos

Principio de BernoulliDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsquedaPara el teorema matemático enunciado por Jakob Bernoulli, véase Teorema de Bernoulli.

Esquema del Principio de Bernoulli.

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo

Page 75: Ecuación constitutiva

de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que

posee.

La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

donde:

V = velocidad del fluido en la sección considerada. g = aceleración gravitatoria z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P = presión a lo largo de la línea de corriente. ρ = densidad del fluido.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.

Caudal constante Fluido incompresible - ρ es constante. La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente.

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

Contenido

[ocultar] 1 Características y consecuencias 2 Ecuación de Bernoulli y la Primera Ley de la Termodinámica

o 2.1 Suposiciones o 2.2 Demostración

3 Aplicaciones del Principio de Bernoulli

4 Véase también

Características y consecuencias [editar]

Page 76: Ecuación constitutiva

Cada uno de los términos de esta ecuación tienen unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el término z se suele agrupar con P / γ para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica.

También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por γ, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera más sencilla:

q + p = p0

donde

p = P + γz

Page 77: Ecuación constitutiva

p0 es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

Así el principio de bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía, es decir, en una linea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Gracias a este efecto observamos que las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas, ya que la presión del aire es menor fuera del auto ya que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro del auto, donde la presión es necesariamente mayor; pero en forma aparentemente contradictoria el aire entra al carro, pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Ecuación de Bernoulli y la Primera Ley de la Termodinámica [editar]

De la primera ley de la termodinámica se puede concluir una ecuación estéticamente parecida a la ecuación de Bernouilli anteriormente señalada, pero conceptualmente distinta. La diferencia fundamental yace en los límites de funcionamiento y en la formulación de cada fórmula. La ecuación de Bernoulli es un balance de fuerzas sobre una partícula de fluido que se mueve a través de una linea de corriente, mientras que la primera ley de la termodinámica consiste en un balance de energía entre los límites de un volumen de control dado, por lo cual es más general ya que permite expresar los intercambios energéticos a lo largo de una corriente de fluido, como lo son las pérdidas por fricción que restan energía, y las bombas o ventiladores que suman energía al fluido. La forma general de esta, llamémosla, "forma energética de la ecuación de Bernoulli" es:

donde:

γ es el peso específico (γ = ρg). W es una medida de la energía que se le suministra al fluido.

Page 78: Ecuación constitutiva

hf es una medida de la energía empleada en vencer las fuerzas de fricción a través del recorrido del fluido.

Los subíndices 1 y 2 indican si los valores están dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente.

g = 9,81 m/s2 y gc = 1 kg·m/(N·s2)

Suposiciones [editar]

La ecuación arriba escrita es un derivado de la primera ley de la termodinámica para flujos de fluido con las siguientes características .

El fluido de trabajo, es decir, aquél que fluye y que estamos considerando, tiene una densidad constante.

No existe cambio de energía interna.

Demostración [editar]

Escribamos la primera ley de la termodinámica con un criterio de signos termodinámico conveniente:

Recordando la definición de la entalpía h = u + Pv, donde u es la energía interna y v se conoce como volumen específico v = 1 / ρ. Podemos escribir:

que por la suposiciones declaradas más arriba se puede reescribir como:

dividamos todo entre el término de la aceleración de gravedad

Los términos del lado izquierdo de la igualdad son relativos a los flujos de energía a través del volumen de control considerado, es decir, son las entradas y salidas de energía del fluido de trabajo en formas de trabajo (w) y calor (q). El término relativo al trabajo w / g consideraremos que entra al sistema, lo llamaremos h y tiene unidades de longitud, al igual que q / g, que llamaremos hf quién sale del sistema, ya que consideraremos que sólo se intercambia calor por vía de la fricción entre el fluido de trabajo y las paredes del conducto que lo contiene. Así la ecuación nos queda:

Page 79: Ecuación constitutiva

o como la escribimos originalmente:

Así, podemos observar que el principio de bernoulli es una consecuencia directa de la primera ley de la termodinámica, o si se quiere, otra forma de esta ley. En la primera ecuación presentada en este artículo el volumen de control se había reducido a tan solo una linea de corriente sobre la cual no habían intercambios de energía con el resto del sistema, de aquí la suposición de que el fluido debería ser ideal, es decir, sin viscosidad ni fricción interna, ya que no existe un término hf entre las distintas lineas de corriente.

Aplicaciones del Principio de Bernoulli [editar]

AirsoftLas réplicas usadas en este juego suelen incluir un sistema llamado HopUp que provoca que la bola sea proyectada realizando un efecto circular, lo que aumenta el alcance efectivo de la réplica. Este efecto es conocido como efecto Magnus, la rotación de la bola provoca que la velocidad del flujo por encima de ella sea mayor que por debajo, y con ello la aparición de una diferencia de presiones que crea la fuerza sustentadora, que hace que la bola tarde más tiempo en caer.

ChimeneaLas chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

TuberíaLa ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.

NataciónLa aplicación dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión.

Sustentación de avionesEl efecto Bernoulli es también en parte el origen de la sustentación de los aviones. Gracias a la forma y orientación de los perfiles aerodinámicos, el ala es curva en su cara superior y está angulada respecto a las líneas de corriente incidentes. Por ello, las líneas de corriente arriba del ala están mas juntas que abajo, por lo que la velocidad del aire es mayor y la presión es menor arriba del ala; al ser mayor la presión abajo del ala, se genera una fuerza neta hacia arriba llamada sustentación.

Page 80: Ecuación constitutiva

Movimiento de una pelota o balón con efectoSi lanzamos una pelota o un balón con efecto, es decir rotando sobre sí mismo, se desvía hacia un lado. También por el conocido efecto Magnus, típico es el balón picado, cuando el jugador mete el empeine por debajo del balón causándole un efecto rotatorio de forma que este traza una trayectoria parabólica. Es lo que conocemos como vaselina.

Carburador de automóvilEn un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Flujo de fluido desde un tanqueLa tasa de flujo esta dada por la ecuación de Bernoulli.

Véase también [editar]

Teorema de Torricelli.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli"Categorías: Principios y leyes físicas | Mecánica de fluidos | Aerodinámica | Técnica de Fórmula 1

Ecuación de Darcy-WeisbachDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Contenido

[ocultar] 1 Definición 2 Ejemplo 3 Véase también

4 Referencias

Definición [editar]

La ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación ampliamente usada en hidráulica. Permite el cálculo de la pérdida de carga debida a la fricción dentro una tubería.

La ecuación fue inicialmente una variante de la ecuación de Prony, desarrollada por el francés Henry Darcy. En 1845 fue refinada por Julius Weisbach, de Sajonia, hasta la forma en que se conoce actualmente:

Page 81: Ecuación constitutiva

donde hf es la pérdida de carga debida a la fricción, calculada a partir de (f) = factor de fricción de Darcy , L/D = relación entre la longitud y el diámetro de la tubería , v = la velocidad media de flujo , g = que corresponde a la aceleración debida a la gravedad, y se supone constante (9.81m/s2).

El factor de fricción φ es adimensional y varía de acuerdo a los parámetros de la tubería y del flujo. Este puede ser conocido con una gran exactitud dentro de ciertos regímenes de flujo; sin embargo, los datos acerca de su variación con la velocidad eran inicialmente desconocidos, por lo que esta ecuación fue inicialmente superada en muchos casos por la ecuación empírica de Prony.

Años más tarde se evitó su uso en diversos casos especiales en favor de otras ecuaciones empíricas, principalmente la ecuación de Hazen-Williams, ecuaciones que, en la mayoría de los casos, eran significativamente más fáciles de calcular. No obstante, desde la llegada de las calculadoras la facilidad de cálculo no es mayor problema, por lo que la ecuación de Darcy-Weisbach es la preferida.

Ejemplo [editar]

En una tubería de 1000m de longitud y 18 pulgadas de diámetro se transporta un fluido. Se ha determinado que el factor de fricción de la tubería es de 0.03 y que la velocidad media de flujo es de 2.5m/s, si el valor de la gravedad se supone de 9.81m/s2 calcule la pérdida por fricción.

Reemplazando los valores se llega a:

Véase también [editar]

Tubería Flujo de agua en tubería Cálculo de caudal de agua en tubería Ecuación de Colebrook-White

Referencias [editar]

Hidráulica de los canales abiertos. Ven Te Chow. 1982. ISBN 968-13-1327-5 Hidráulica General. Sotelo, G. 1999. ISBN 978-968-18-0503-6

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Darcy-Weisbach"Categorías: Hidráulica | Ecuaciones de dinámica de fluidos

En diversas áreas de la mecánica y las matemáticas existen diversas ecuaciones de Euler:

Page 82: Ecuación constitutiva

1. En mecánica de fluidos tenemos las Ecuaciones de Euler (fluidos) para fluidos compresibles.

2. En Mecánica del sólido rígido tenemos las Ecuaciones de Euler (sólidos) que describen el movimiento de un sólido rígido animado de rotación.

En otras áreas también aparecen trabajos relacionados de Euler como:

Fórmula de Euler Identidad de Euler

Existen también las Ecuaciones de Euler (pandeo)

Ecuaciones de Euler (fluidos)De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsquedaEsta página trata sobre el flujo de fluidos compresibles. Mas ecuaciones de Euler en la Wikipedia en Ecuaciones de Euler.

En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes:

Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación de masa, momento y energía. Estas ecuaciones se llaman así en honor de Leonhard Euler quien las dedujo directamente de las leyes de Newton. Este artículo contempla las connotaciones aplicables a la mecánica clásica; para fluidos compresibles con velocidades próximas a la velocidad de la luz se debe consultar el artículo Ecuaciones relativistas de Euler.

Expresión matemática [editar]

Aunque formalmente las ecuaciones de Euler se reducen a flujo irrotacional en el límite de desaparición del número de Mach (es decir para números de Mach muy pequeños), esto no es útil en la práctica, debido esencialmente a que la aproximación de incompresibilidad no resta exactitud a los cálculos. La expresión diferencial de estas ecuaciones es la siguiente:

Page 83: Ecuación constitutiva

donde E = ρe + ρ(u2 + v2 + w2) / 2 es la energía total por unidad de volumen (e es la energía interna por unidad de masa para el fluido), p es la presión, u la velocidad del fluido y ρ la densidad del fluido. La segunda ecuación incluye la divergencia de un tensor diádico y puede quedar más clara de acuerdo a la siguiente notación:

Nótese que las ecuaciones anteriores están expresadas en forma de conservación o equilibrio, dado que con esta forma se enfatiza su origen físico (y es además en gran medida la más conveniente para la simulación computacional de la dinámica de fluidos). El componente del momento de las ecuaciones de Euler se expresa del siguiente modo:

aunque esta forma oculta la conexión directa existente entre las ecuaciones de Euler y la segunda ley de Newton (en particular, no es claramente intuitivo por qué esta ecuación

es correcta y no lo es). En formato vectorial las ecuaciones de Euler quedan expresadas del siguiente modo:

donde

Esta forma deja más claro que F,G,H son caudales.

Las ecuaciones anteriores representan por tanto la conservación de la masa, los tres componentes del momento y la energía. Hay por tanto cinco ecuaciones y seis incógnitas (ρ,u,v,w,E,p). Para cerrar el sistema se necesita una ecuación de estado; la

Page 84: Ecuación constitutiva

ecuación de estado más comúnmente utilizada es la ley de los gases ideales ( p.e. p = ρ(γ − 1)e ).

Una característica muy importante de las Ecuaciones de Euler es que debido a que proceden de una reducción de las Ecuaciones de Navier-Stokes despreciando los términos provenientes de los términos disipativos como hemos dicho al principio, estamos eliminando en las ecuaciones los terminos en derivadas parciales de mayor

grado: en la Ecuación de la Cantidad de movimiento así como y de la Ecuación de la Energía, estas ecuaciones no podrán cumplir con todas las

condiciones de contorno naturales. En particular no cumplen con la condición de no deslizamiento en las superficies de contacto con sólidos o la condición de continuidad de la temperatura, estas discontinuidades carecen de importancia para muchas aplicaciones pero no para otras lo que conlleva a tratar en esas discontinuidades con otras ecuaciones que finalmente conllevarían a temas muy profusos dentro de esta disciplina como es la Teoría de la Capa Límite. Por último hay que decir que en flujos supersónicos se producen otras discontinuidades en estas ecuaciones como son las Ondas de Choque o las Ondas de Mach.

Nótese la desigual forma para la ecuación de la energía; ver la ecuación de Rankine-Hugoniot. Los términos adicionales que contienen la expresión p (presión) pueden ser interpretados como el trabajo mecánico realizado por el fluido en un elemento de fluido por los elementos fluidos próximos que se mueven alrededor. Estos términos suman cero en un fluido incompresible.

La más conocida ecuación de Bernoulli puede ser obtenida integrando la ecuación de Euler a través de una línea de corriente (líneas a las que la velocidad del fluido es tangente en cada punto) asumiendo que la densidad es constante y con una ecuación de estado adecuada.

Ley de PoiseuilleDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille después de los experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) en 1839) es la ley que permite determinar el flujo laminar estacionario ΦV de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:

donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo t, vmedia la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilíndrico, R

Page 85: Ecuación constitutiva

es el radio interno del tubo, Δp es la caída de presión entre los dos extremos, η es la viscosidad dinámica y L la longitud característica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:

donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.

La ley es también muy importante en hemodinámica.

La ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basándose en el trabajo de Hagenbach.

Contenido

[ocultar] 1 Cálculo de la fórmula 2 Curiosidad 3 Relación con los circuitos eléctricos 4 Relación con el pulmón

5 Referencias

Cálculo de la fórmula [editar]

Page 86: Ecuación constitutiva

Consideremos una tubería horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones transversales 1 y 2 separadas una distancia L. Estas secciones delimitan un trozo de tubería que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada consideramos a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos abcd con área de tapas A = π r2 y radio r. Debido a la viscosidad del fluido, sobre este cilindro actúa un esfuerzo cortante Que llamaremos T provocado por una fuerza cortante F sobre un área longitudinal AL = 2π r L. Esta fuerza será igual a F = p1A − p2A tendrá un sentido izquierda - derecha igual al desplazamiento del fluido, provocado por un gradiente de presión en la que p1 es mayor que p2 (no guiarse por el dibujo adjunto, aún no encontré la manera de cambiarlo). Integrando las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille.

De acuerdo a la primera ley de Newton, si p1 y p2 son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 tenemos que:

p1A − p2A + F = 0

En un sólido el esfuerzo de corte es proporcional a la deformación, pero un fluido se deforma continuamente mientras se aplique el esfuerzo, por lo tanto el esfuerzo de corte será proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada viscosidad, es decir:

Sustituyendo el valor de la superficie AL por 2 π r L y despejando F nos queda

Reemplazamos:

Simplificando queda:

Con lo que:

Integrando esta ecuación:

Page 87: Ecuación constitutiva

El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los límites. Es decir cuando r =R entonces v = 0. Por lo que:

Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial tenemos que:

Esta ecuación da la distribución de velocidades en una tubería. Como se puede observar, el término del radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la velocidad máxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubería. Zona en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es mínima. La expresión de la velocidad máxima queda del siguiente modo:

En la práctica es más sencillo medir la velocidad media que la velocidad máxima. La expresión de la velocidad media es la siguiente:

Para calcular el caudal en la tubería vamos a considerar un anillo diferencial de espesor dr entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería y radios r y r + dr. En este caso la expresión del caudal queda:

dQ = 2πrdrv

Sustituyendo la expresión de la velocidad calculada anteriormente tenemos que:

Integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y R podremos calcular el caudal total:

Page 88: Ecuación constitutiva

y finalmente obtenemos la expresión de la ley de Poiseuille para el caudal:

si seguimos trabajando sobre esta fórmula y sustituimos esta expresión del caudal en la fórmula anterior de la velocida media obtenemos lo siguiente:

de donde se deduce que:

despejando la pérdida de presión en las anteriores ecuaciones obtenemos:

que no deja de ser otra expresión de la ley de Poiseuille para la pérdida de presión en una tubería de sección constante con flujo laminar.

Si dividimos y multiplicamos el segundo miembro de la ecuación anterior por la expresión 2ρvmediag tenemos que:

donde es la pérdida de carga y es la expresión del número de Reynolds, con lo que la pérdida de carga queda expresada del siguiente modo:

comparando esta última expresión con la ecuación de Darcy-Weisbach se deduce el valor de λ:

Page 89: Ecuación constitutiva

siendo esta otra expresión de la ecuación de Hagen-Poiseuille.

Curiosidad [editar]

La ley en sí misma muestra cómo de interesante es este campo, dado que la ecuación de Darcy-Weisbach debería ser denominada completa y propiamente como ecuación de Chézy - Weisbach - Darcy - Poiseuille - Hagen - Reynolds - Fanning - Prandtl - Blasius - von Kármán - Nikuradse - Colebrook - White - Rouse - Moody o abreviadamente como CWDPHRFPBKNCWRM.

Nótese también como en la fórmula el flujo depende fuertemente del radio. Si el resto de factores permanece constante, el doblar el radio del canal da como resultado un incremento en 16 veces del flujo.

Relación con los circuitos eléctricos [editar]

La electricidad fue originalmente entendida como una clase de fluido. Esta analogía hidráulica es todavía útil en el ámbito académico con fines didácticos.

La ley de Poiseuille se corresponde con la ley de Ohm para los circuitos eléctricos, donde la caída de presión Δp* es reemplazada por el voltaje V y el caudal ΦV por la corriente eléctrica I. De acuerdo con esto el término 8η l/πr4 es un sustituto adecuado para la resistencia eléctrica R.

Relación con el pulmón [editar]

La ley de Poiseuille tiene aplicación en la ventilación pulmonar al describir el efecto que tiene el radio de las vías respiratorias sobre la resistencia del flujo de aire en dirección a los alveolos. De ese modo, si el radio de los bronquiolos se redujera por la mitad, la ley de Poiseuille predice que el caudal de aire que pasa por ese bronquiolo reducido tendría que oponerse a una resistencia 16 veces mayor, siendo que la resistencia al flujo es inversamente proporcional al radio elevado a la cuarta potencia.1

Este principio cobra importancia en el asma y otras enfermedades obstructivas del pulmón. Al reducirse el radio de las vías aéreas respiratorias, el esfuerzo de la persona se eleva a la cuarta potencia.

Fluido newtonianoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Page 90: Ecuación constitutiva

Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. La curva que muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra su tasa de deformación es lineal y pasa por el origen, es decir, el punto [0,0]. El mejor ejemplo de este tipo de fluidos es el agua en contraposición al pegamento, la miel o los geles que son ejemplos de fluido no newtoniano.

Un buen número de fluidos comunes se comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y temperatura: el aire, el agua, la gasolina, el vino y algunos aceites minerales.

Ecuación constitutiva [editar]

Matemáticamente, el rozamiento en un flujo unidimensional de un fluido newtoniano se puede representar por la relación:

Donde:

es la tensión tangencial ejercida en un punto del fluido o sobre una superficie sólida en contacto con el mismo, tiene unidades de tensión o presión ([Pa]).

es la viscosidad del fluido, y para un fluido newtoniano depende sólo de la temperatura, puede medirse en [Pa·s] o [kp·s/cm2].

es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección al plano en el que estamos calculando la tensión tangencial, [s−1].

La ecuación constitutiva que relaciona el tensor tensión y el gradiente de velocidad y la presión en un fluido newtoniano es simplemente:

Viscosidad y temperatura [editar]

A medida que aumenta la temperatura de un fluido líquido, disminuye su viscosidad. Esto quiere decir que la viscosidad es inversamente proporcional al aumento de la temperatura. La ecuación de Arrhenius predice de manera aproximada la viscosidad mediante la ecuación:

Fluido no-newtoniano

Page 91: Ecuación constitutiva

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(Redirigido desde Fluido no newtoniano)Saltar a navegación, búsqueda

Un fluido no newtoniano es aquél cuya viscosidad varía con la temperatura y presión,pero no con la variación dv/dy.

Aunque el concepto de viscosidad se usa habitualmente para caracterizar un material, puede resultar inadecuado para describir el comportamiento mecánico de algunas sustancias, en concreto, los fluidos no newtonianos. Estos fluidos se pueden caracterizar mejor mediante otras propiedades reológicas, propiedades que tienen que ver con la relación entre el esfuerzo y los tensores de tensiones bajo diferentes condiciones de flujo, tales como condiciones de esfuerzo cortante oscilatorio.

Un ejemplo barato y no tóxico de fluido no newtoniano puede hacerse fácilmente añadiendo almidón de maíz en una taza de agua. Se añade el almidón en pequeñas proporciones y se revuelve lentamente. Cuando la suspensión se acerca a la concentración crítica es cuando las propiedades de este fluido no newtoniano se hacen evidentes. La aplicación de una fuerza con la cucharilla hace que el fluido se comporte de forma más parecida a un sólido que a un líquido. Si se deja en reposo recupera su comportamiento como líquido. Se investiga con este tipo de fluidos para la fabricación de chalecos antibalas, debido a su capacidad para absorber la energía del impacto de un proyectil a alta velocidad, pero permaneciendo flexibles si el impacto se produce a baja velocidad.

Un ejemplo familiar de un fluido con el comportamiento contrario es la pintura. Se desea que fluya fácilmente cuando se aplica con el pincel y se le aplica una presión, pero una vez depositada sobre el lienzo se desea que no gotee.

Dentro de los principales tipos de fluidos no newtonianos se incluyen los siguientes:

Tipo de fluido Comportamiento Características Ejemplos

Plásticos

Plástico perfecto

La aplicación de una deformación no conlleva un esfuerzo de resistencia en sentido contrario

Metales dúctiles una vez superado el límite elástico

Plástico de Bingham

Relación lineal, o no lineal en algunos casos, entre el esfuerzo cortante y el gradiente de deformación una vez se ha superado un determinado valor del esfuerzo cortante

Barro, algunos coloides

Page 92: Ecuación constitutiva

Limite seudoplastico

Fluidos que se comportan como seudoplásticos a partir de un determinado valor del esfuerzo cortante

Limite dilatante

Fluidos que se comportan como dilatantes a partir de un determinado valor del esfuerzo cortante

Fluidos que siguen la Ley de la Potencia

seudoplásticoLa viscosidad aparente se reduce con el gradiente del esfuerzo cortante

Algunos coloides, arcilla, leche, gelatina, sangre.

DilatanteLa viscodidad aparente se incrementa con el gradiente del esfuerzo cortante

Soluciones concentradas de azúcar en agua, suspensiones de almidón de maíz o de arroz.

Fluidos Viscoelásticos

Material de Maxwell

Combinación lineal "serie" de efectos elásticos y viscosos

Metales, Materiales compuestos

Fluido Oldroyd-B

Combinación lineal de comportamiento como fludio Newtoniano y como material de Maxwel

Betún, Masa panadera, nailon, Plastilina

Material de Kelvin

Combinación lineal "paralela" de efectos elásticos y viscosos

PlásticoEstos materiales siempre vuelven a un estado de reposo predefinido

Fluidos cuya viscosidad depende del

Reopéctico La viscosidad aparente se incrementa con la duración del esfuerzo aplicado

Algunos lubricantes

Page 93: Ecuación constitutiva

tiempo TixotrópicoLa viscosidad aparente decrece con la duración de esfuezo aplicado

Algunas variedades de mieles, kétchup, algunas pinturas antigoteo.

Véase también [editar]

Mecánica de fluidos Ecuaciones de Navier-Stokes Propiedades de los Fluidos

Enlaces externos [editar]

Una piscina llena de fluido no-newtoniano (Video de YouTube) Agujeros que se mantienen, y dedos que se multiplican. Ensayos en una probeta,

sometido a dos aceleraciones. (Video de YouTube)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_no-newtoniano"

Efecto CoandaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Contenido

[ocultar] 1 Introducción 2 Explicación 3 Descubrimiento

4 Efecto Coanda en el mundo de la competición

Introducción [editar]

Este efecto es estudiado en la Mecánica de fluidos. Pretende expresar las fuerzas que se originan debido a la viscosidad de los fluidos.

Explicación [editar]

Una buena manera de explicar en qué consiste el efecto Coanda es con un ejemplo:

Supongamos una superficie curva, por ejemplo un cilindro, tal como está en la ilustración. Si sobre él vertemos algo sólido (arroz, por ejemplo) rebotará hacia la

Page 94: Ecuación constitutiva

derecha. El cilindro, por el principio de acción-reacción, tenderá a ir a la izquierda. Esto se puede ver en la primera parte de la ilustración.

Si repetimos esta experiencia con un líquido, debido a su viscosidad, tenderá a "pegarse" a la superficie curva. El fluido saldrá en dirección opuesta. En este caso, el cilindro será atraído hacia el fluido.

Si nos imagináramos el líquido que cae como miles de capas de agua, las capas que tocan al cilindro se pegarán. Las capas contiguas, por el rozamiento, se pegarán a esta y se desviarán un poco. Las siguientes capas, igualmente, se desviarán algo más.

Descubrimiento [editar]

El efecto coanda fue descubierto en 1910 por el ingeniero aeronáutico rumano Henri Coandă (1885-1972), que se interesó en el fenómeno después de haber destruido un prototipo de aeroplano desarrollado por él (Coandă-1910). Coandă notó que un fluido tiende a seguir el contorno de la superficie sobre la que incide, si la curvatura de la misma, o el ángulo de incidencia del fluido con la superficie, no son demasiado acentuados.

Efecto Coanda en el mundo de la competición [editar]

En el automovilismo, y en especial en la Fórmula 1, este efecto se utiliza para canalizar el aire donde se desee en ciertas partes del chasis del monoplaza sin tener que deflectarlo en demasía, evitando gran resistencia aerodinámica.

Ver el experimento: http://jlnlabs.online.fr/gfsuav/coanda/index.htm

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coanda"Categorías: Mecánica de fluidos | Técnica de Fórmula 1

Viscosidad

Page 95: Ecuación constitutiva

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La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal, en realidad todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones.

Contenido

[ocultar] 1 Explicación de la viscosidad

o 1.1 Medidas de la viscosidad 2 Enlaces externos

3 Véase también

Explicación de la viscosidad [editar]

Imaginemos un bloque sólido (no fluido) sometido a una fuerza tangencial, por ejemplo, una goma de borrar sobre la que se sitúa la palma de la mano que empuja en dirección paralela a la mesa; en este caso, el material sólido opone una resistencia a la fuerza aplicada, pero se deforma (b), tanto más cuanto menor sea su rigidez. Si imaginamos que la goma de borrar está formada por delgadas capas unas sobre otras, el resultado de la deformación es el desplazamiento relativo de unas capas respecto de las adyacentes, tal como muestra la figura (c).

Deformación de un sólido por la aplicación de una fuerza tangencial.

En los líquidos, el pequeño rozamiento existente entre capas adyacentes se denomina viscosidad. Es su pequeña magnitud la que le confiere al fluido sus peculiares características; así, por ejemplo, si arrastramos la superficie de un líquido con la palma de la mano como hacíamos con la goma de borrar, las capas inferiores no se moverán o lo harán mucho más lentamente que la superficie ya que son arrastradas por efecto de la pequeña resistencia tangencial, mientras que las capas superiores fluyen con facilidad. Igualmente, si revolvemos con una cuchara un recipiente grande con agua en el que hemos depositado pequeños trozos de corcho, observaremos que al revolver en el centro también se mueve la periferia y al revolver en la periferia también dan vueltas los trocitos de corcho del centro; de nuevo, las capas cilíndricas de agua se mueven por efecto de la viscosidad, disminuyendo su velocidad a medida que nos alejamos de la cuchara.

Page 96: Ecuación constitutiva

Ejemplo de la viscosidad de la leche y el agua. Líquidos con altas viscosidades no forman salpicaduras.

Cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. Es por ello por lo que llenado un recipiente con un líquido, la superficie del mismo permanece plana, es decir, perpendicular a la única fuerza que actúa en ese momento, la gravedad, sin existir por tanto componente tangencial alguna.

Si la viscosidad fuera muy grande, el rozamiento entre capas adyacentes lo sería también, lo que significa que éstas no podrían moverse unas respecto de otras o lo harían muy poco, es decir, estaríamos ante un sólido. Si por el contrario la viscosidad fuera cero, estaríamos ante un superfluido que presenta propiedades notables como escapar de los recipientes aunque no estén llenos (véase Helio-II).

La viscosidad es característica de todos los fluidos, tanto líquidos como gases, si bien, en este último caso su efecto suele ser despreciable, están más cerca de ser fluidos ideales.

Medidas de la viscosidad [editar]

La viscosidad de un fluido puede medirse por un parámetro dependiente de la temperatura llamado coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad:

Coeficiente de viscosidad dinámico, designado como η o μ. En unidades en el SI: [µ] = [Pa·s] = [kg·m-1·s-1] ; otras unidades:

1 Poise = 1 [P] = 10-1 [Pa·s] = [10-1 kg·s-1·m-1]

Ver unidades de viscosidad para tener una idea más exacta del Poise [P].

Page 97: Ecuación constitutiva

Coeficiente de viscosidad cinemático, designado como ν, y que resulta ser igual al cociente del coeficiente de viscosidad dinámica entre la densidad ν = μ/ρ. (En unidades en el SI: [ν] = [m2.s-1]. En el sistema cegesimal es el Stoke(St).

Enlaces externos [editar]

Tabla de conversion entre sistemas de viscosidad La tabla SAE J306 de clasificación de aceites de transmisiones y diferenciales La tabla SAE J300 de clasificación de aceites de motores

Véase también [editar]

Efecto coanda Unidades de viscosidad

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad"

Efecto MagnusDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Efecto Magnus

El efecto Magnus, denominado así en honor al físico y químico alemán Heinrich Gustav Magnus (1802-1870), es el nombre dado al fenómeno físico por el cual la rotación de un objeto afecta a la trayectoria del mismo a través de un fluido, en particular, el aire. Es producto de varios fenómenos, incluido el principio de Bernoulli y el proceso de formación de la capa límite en el fluido situado alrededor de los objetos en movimiento. Este efecto fue descrito por primera vez por el físico alemán Heinrich Magnus en 1853.

Un objeto en rotación crea un remolino de aire a su alrededor. Sobre un lado del objeto, el movimiento del remolino tendrá el mismo sentido que la corriente de aire a la que el objeto está expuesto. En este lado la velocidad se incrementará. En el otro lado, el

Page 98: Ecuación constitutiva

movimiento del remolino se produce en el sentido opuesto a la de la corriente de aire y la velocidad se verá disminuida. La presión en el aire se ve reducida desde la presión atmosférica en una cantidad proporcional al cuadrado de la velocidad, con lo que la presión será menor en un lado que en otro, causando una fuerza perpendicular a la dirección de la corriente de aire. Esta fuerza desplaza al objeto de la trayectoria que tendría si no existiese el fluido.

En la imagen, en la que una esfera observada desde arriba se está desplazando hacia la derecha (por lo que la velocidad del aire circundante respecto de la esfera va hacia la izquierda) y gira en el sentido de las agujas del reloj, la velocidad del aire en el punto más bajo de la esfera aumenta por el arrastre de ese giro. Asimismo, en el punto más alto, el giro de la esfera se opone a la corriente de aire y frena esta corriente. De ahí que en el punto más bajo de la esfera aparezca una pérdida de presión respecto del más alto que impulsa a la esfera hacia abajo.

A menudo se hace referencia a este efecto a la hora de explicar movimientos extraños pero comúnmente observados en deportes que hacen uso de bolas y pelotas en rotación, especialmente en el golf, béisbol, fútbol, billar o cricket, o en los boomerangs. Sin embargo el efecto Magnus no es el responsable del movimiento de la bola de cricket visto en el swing bowling. En el fútbol, este efecto es responsable de la llamada "comba", en lugares con una altura considerable sobre el nivel del mar, este efecto es notablemente menor, dando por resultado el famoso "la pelota no dobla".

Véase también [editar]

Teorema de Kutta-Jukowski Ecuación de Bernoulli Anton Flettner Rotor Flettner Teoría de flujo potencial Massé

Enlaces externos [editar]

El efecto Magnus explicado gráficamente Efecto Magnus El efecto Magnus y el movimiento de la pelota deportiva Efecto Magnus (Applet Java)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Magnus"Categorías: Aerodinámica | Mecánica de fluidos

SustentaciónDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Page 99: Ecuación constitutiva

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La sustentación es la fuerza generada sobre un cuerpo que se desplaza a través un fluido, de dirección perpendicular a la de la velocidad de la corriente incidente.

Como con otras fuerzas aerodinámicas, en la práctica se utilizan coeficientes adimensionales que representan la efectividad de la forma de un cuerpo para producir sustentación y se usan para facilitar los cálculos y los diseños.

El modelo matemático de la fuerza de sustentación es:

donde:

L es la fuerza de sustentación en N. ρ es la densidad del fluido, en kg/m3. V es la velocidad, en m/s. A es el área de referencia del cuerpo, en m2. CL es el coeficiente de sustentación. Como el resto de coeficientes

aerodinámicos, es adimensional. Este coeficiente se halla experimentalmente de acuerdo a:

En aeronáutica [editar]

Ejemplo de gráfica coeficiente de sustentación-ángulo de ataque.

En aeronáutica es la principal fuerza que permite que una aeronave con alas se mantenga en vuelo. Ésta, al ser mayor que el peso total de la aeronave, le permite despegar.

Para la sustentación se utiliza la notación L, del término inglés lift, y CL para el coeficiente de sustentación, el cual siempre se busca sea lo mayor posible.

Page 100: Ecuación constitutiva

Además, la sustentación, y en consecuencia, su coeficiente, dependen directamente del ángulo de ataque, aumentando según aumenta éste hasta llegar a un punto máximo, después del cual el flujo de aire que pasa sobre el extrados (parte superior del ala), no logra recorrer en su totalidad y mantenerse adherido al perfil aerodinámico, dando lugar a la entrada en pérdida (stall, en inglés).

En automovilismo [editar]

Para la sustentación se utiliza la notación Fz, y Cz para el coeficiente de sustentación, ya que esta fuerza actúa paralelamente al eje OZ del triedro de referencia que se asocia al vehículo.

Para poder comparar directamente la sustentación que producen dos vehículos en las mismas condiciones, se utiliza el coeficiente SCz, exactamente por los mismos motivos que en el caso de la resistencia aerodinámica.

En los vehículos de calle no se suele tener en cuenta ni aprovechar la sustentación e incluso puede haber un pequeño coeficiente positivo.

En muchos tipos de vehículos de competición, como pueden ser los de la Fórmula 1, ocurre todo lo contrario, buscándose que sea negativo; es decir, que el vehículo sea empujado hacia el suelo, con el objetivo de obtener un mejor agarre o apoyo aerodinámico, mediante superficies como alerones o el aprovechamiento del fondo plano.Además, en algunos de estos vehículos, dependiendo entre otras cosas de la distribución de masas y del tipo de tracción, se buscan apoyos aerodinámicos diferentes para cada eje, por lo que puede haber un coeficiente diferente asociado a cada uno de ellos.

Capa límiteDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Ejemplo de capa limite laminar. Un flujo laminar horizontal es frenado al pasar sobre una superficie sólida (linea gruesa). El perfil de velocidad (u) del fluido dentro de la capa límite (área sombreada) depende de la distancia a la superficie (y). Debido al rozamiento, la velocidad del fluido en contacto con la placa es nula. Fuera de la capa

Page 101: Ecuación constitutiva

límite, el fluido se desplaza prácticamente la misma velocidad que en las condiciones iniciales (u0).

En mecánica de fluidos, la capa límite o capa fronteriza de un fluido es la zona donde el movimiento de éste es perturbado por la presencia de un sólido con el que está en contacto. La capa límite se entiende como aquella en la que la velocidad del fluido respecto al sólido en movimiento varía desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente no perturbada.1

La capa límite puede ser laminar o turbulenta; aunque también pueden coexistir en ella zonas de flujo laminar y de flujo turbulento. En ocasiones es de utilidad que la capa límite sea turbulenta. En aeronáutica aplicada a la aviación comercial, se suele optar por perfiles alares que generan una capa límite turbulenta, ya que ésta permanece adherida al perfil a mayores ángulos de ataque que la capa límite laminar, evitando así que el perfil entre en pérdida, es decir, deje de generar sustentación aerodinámica de manera brusca por el desprendimiento de la capa límite.

El espesor de la capa límite en la zona del borde de ataque o de llegada es pequeño, pero aumenta a lo largo de la superficie. Todas estas características varían en función de la forma del objeto (menor espesor de capa límite cuanta menor resistencia aerodinámica presente la superficie: ej. forma fusiforme de un perfil alar).

Contenido

[ocultar] 1 Aplicaciones de su estudio 2 Referencias 3 Véase también

4 Enlaces externos

Aplicaciones de su estudio [editar]

La capa límite se estudia para analizar la variación de velocidades en la zona de contacto entre un fluido y un obstáculo que se encuentra en su seno o por el que se desplaza. La presencia de esta capa es debida principalmente a la existencia de la viscosidad, propiedad inherente de cualquier fluido. Ésta es la causante de que el obstáculo produzca una variación en el movimiento de las líneas de corriente más próximas a él. La variación de velocidades, como indica el principio de Bernoulli, conlleva una variación de presiones en el fluido, que pueden dar lugar a efectos como las fuerzas de sustentación y de resistencia aerodinámica.

En la atmósfera terrestre, la capa límite es la capa de aire cercana al suelo y que se ve afectada por la convección debida al intercambio diurno de calor, humedad y momento con el suelo.

En el caso de un sólido moviéndose en el interior de un fluido, una capa límite laminar proporciona menor resistencia al movimiento.

Page 102: Ecuación constitutiva

Referencias [editar]

1. ↑ Capa límite. Área de Mecánica de Fluidos de la E. P. S. de Ingeniería de Gijón. Universidad de Oviedo. Consultado el 24 de abril de 2009.

Véase también [editar]

Aerodinámica Vorticidad

Presión de vaporDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Gráfico de la presión del vapor de agua.

La presión de vapor o más comúnmente presión de saturación es la presión, para una temperatura dada, en la que la fase líquida y el vapor se encuentran en equilibrio dinámico; su valor es independiente de las cantidades de líquido y vapor presentes mientras existan ambas. Este fenómeno también lo presentan los sólidos; cuando un sólido pasa al estado gaseoso sin pasar por el estado liquido (proceso denominado sublimación o el proceso inverso llamado deposicitación o sublimación inversa) también hablamos de presión de vapor. En la situación de equilibrio, las fases reciben la denominación de líquido saturado y vapor saturado. Esta propiedad posee una relación inversamente proporcional con las fuerzas de atracción intermoleculares, debido a que cuanto mayor sea el módulo de las mismas, mayor deberá ser la cantidad de energía entregada (ya sea en forma de calor u otra manifestación) para vencerlas y producir el cambio de estado.

Imaginemos una ampolla de cristal en la que se ha realizado el vacío y que se mantiene a una temperatura constante; si introducimos una cierta cantidad de líquido en su interior éste se evaporará rápidamente al principio hasta que se alcance el equilibrio entre ambas fases.

Inicialmente sólo se produce la evaporación ya que no hay vapor; sin embargo a medida que la cantidad de vapor aumenta y por tanto la presión en el interior de la ampolla, se va incrementando también la velocidad de condensación, hasta que transcurrido un

Page 103: Ecuación constitutiva

cierto tiempo ambas velocidades se igualan. Llegados a este punto se habrá alcanzado la presión máxima posible en la ampolla (presión de vapor o de saturación) que no podrá superarse salvo que se incremente la temperatura.

El equilibrio dinámico se alcanzará más rápidamente cuanto mayor sea la superficie de contacto entre el líquido y el vapor, pues así se favorece la evaporación del líquido; del mismo modo que un charco de agua extenso pero de poca profundidad se seca más rápido que uno más pequeño pero de mayor profundidad que contenga igual cantidad de agua. Sin embargo, el equilibrio se alcanza en ambos casos para igual presión.

El factor más importante que determina el valor de la presión de saturación es la propia naturaleza del líquido, encontrándose que en general entre líquidos de naturaleza similar, la presión de vapor a una temperatura dada es tanto menor cuanto mayor es el peso molecular del líquido.

Importancia para el Derecho Ambiental [editar]

El Índice de Peligrosidad (Ip) de una sustancia está determinado por el cociente entre la Presión de Vapor de la sustancia y su CMP (Concentración Máxima Permitida) en condiciones estándar (25 ºC y 1 atm), por lo que esta propiedad nos permite analizar la viabilidad del uso de una sustancia para actividades determinadas, debido a que indica la probabilidad de que la misma se volatilice.

Equilibrio dinámicoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Un equilibrio dinámico ocurre cuando dos procesos reversibles ocurren al mismo paso. Muchos procesos (como algunas reacciones químicas) son reversibles y cuando están en un equilibrio dinámico, reacciones opuestas ocurren al mismo paso.

Un ejemplo del proceso puede ser imaginado con un cubo lleno de agua que se coloca en un cuarto pequeño. El agua del cubo evapora, y el aire en el cuarto se empieza a saturar del vapor de agua. Eventualmente, el aire en el cuarto será completamente saturado y el nivel de agua en el cubo parará completamente. Sin embargo, el agua en el cubo sigue evaporando. Lo que esta pasando es que las moléculas de agua en el aire de vez en cuando se chocan contra la superficie del agua y se vuelven a condensar. Esto ocurre al mismo paso al que el agua evapora del cubo. Este es en un ejemplo del equilibrio dinámico porque el paso de evaporación es igual al paso de la condensación.

El concepto del equilibrio dinámico no es limitado a los simples cambios de estado. Con frecuencia está aplicado al análisis cinético de reacciones químicas para obtener información útil sobre la proporción de reactivos y productos que formarán del equilibro. Debería ser notado que en un equilibro las concentraciones de los reactivos y las concentraciones de los productos son constantes.

Page 104: Ecuación constitutiva

El termino también tiene otras aplicaciones. Siempre se refiere a una situación estable mantenido por manteniendo procesos en equilibrio. Por ejemplo, en ecología, una populación de organismos que no cambia resulta equilibrando el índice de natalidad y el índice de mortalidad.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_din%C3%A1mico"

Tensión superficialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Ejemplo de tensión superficial: una aguja de acero sobre agua.

En física se denomina tensión superficial de un líquido a la cantidad de energía necesaria para aumentar su superficie por unidad de área.1 Esta definición implica que el líquido tiene una resistencia para aumentar su superficie. Esta propiedad produce el fenómeno por el cual la superficie de un líquido tiende a comportarse como si fuera una delgada película elástica. Este efecto permite a algunos insectos, como el zapatero (Gerris lacustris) , desplazarse por la superficie del agua sin hundirse. La tensión superficial (una manifestación de las fuerzas intermoleculares en los líquidos), junto a las fuerzas que se dan entre los líquidos y las superficies sólidas que entran en contacto con ellos, da lugar a la capilaridad.

Contenido

[ocultar] 1 Causa 2 Propiedades 3 Tensoactividad 4 Referencias 5 Véase también

6 Enlaces externos

Causa [editar]

Page 105: Ecuación constitutiva

Diagrama de fuerzas entre dos moléculas de un líquido

Este clip está debajo del nivel del agua, que ha aumentado ligeramente. La tensión superficial evita que el clip se sumerga y que el vaso rebose.

A nivel microscópico, la tensión superficial se debe a que las fuerzas que afectan a cada molécula son diferentes en el interior del líquido y en la superficie. Así, en el seno de un líquido cada molécula está sometida a fuerzas de atracción que en promedio se anulan. Esto permite que la molécula tenga una energía bastante baja. Sin embargo, en la superficie hay una fuerza neta hacia el interior del líquido. Rigurosamente, si en el exterior del líquido se tiene un gas, existirá una mínima fuerza atractiva hacia el exterior, aunque en la realidad esta fuerza es despreciable debido a la gran diferencia de densidades entre el líquido y el gas.

Otra manera de verlo es que una molécula en contacto con su vecina está en un estado menor de energía que si no estuviera en contacto con dicha vecina. Las moléculas interiores tienen todos las moléculas vecinas que podrían tener, pero las partículas de contorno tienen menos partículas vecinas que las interiores y por eso tienen un estado más alto de energía. Para el líquido minimizar su estado energético es por tanto minimizar el número de partículas en su superficie.2

Energéticamente, las moléculas situadas en la superficie tiene una mayor energía promedio que las situadas en el interior, por lo tanto la tendencia del sistema será a disminuir la energía total, y ello se logra disminuyendo el número de moléculas situadas en la superficie, de ahí la reducción de área hasta el mínimo posible.

Page 106: Ecuación constitutiva

Como resultado de minimizar la superficie, una superficie asumirá la forma más suave que pueda ya que está probado matemáticamente que las superficies minimizan el área por la [[ecuación de Euler-Lagrange). De esta forma el líquido intentará reducir cualquier curvatura en su superficie para disminuir su estado de energía de la misma forma que una pelota cae al suelo para disminuir su potencial gravitacional.

Propiedades [editar]

La tensión superficial puede afectar a objetos de mayor tamaño impidiendo, por ejemplo, el hundimiento de una flor.

La tensión superficial suele representarse mediante la letra . Sus unidades son de N·m-

1=J·m-2 (véase análisis dimensional).

Algunas propiedades de :

> 0, ya que para aumentar el estado del líquido en contacto hace falta llevar más moléculas a la superficie, con lo cual disminuye la energía del sistema y es

, o la cantidad de trabajo necesario para llevar una molécula a la superficie.

depende de la naturaleza de las dos fases puestas en contacto que, en general, será un líquido y un sólido. Así, la tensión superficial será igual por ejemplo para agua en contacto con su vapor, agua en contacto con un gas inerte o agua en contacto con un sólido, al cual podrá mojar o no (véase capilaridad) debido a las diferencias entre las fuerzas cohesivas (dentro del líquido) y las adhesivas (líquido-superficie).

se puede interpretar como un fuerza por unidad de longitud (se mide en N·m-1). Esto puede ilustrarse considerando un sistema bifásico confinado por un pistón móvil, en particular dos líquidos con distinta tensión superficial, como podría ser el agua y el hexano. En este caso el líquido con mayor tensión superficial (agua) tenderá a disminuir su superficie a costa de aumentar la del hexano, de menor tensión superficial, lo cual se traduce en una fuerza neta que mueve el pistón desde el hexano hacia el agua.

El valor de depende de la magnitud de las fuerzas intermoleculares en el seno del líquido. De esta forma, cuanto mayor sean las fuerzas de cohesión del líquido, mayor será su tensión superficial. Podemos ilustrar este ejemplo considerando tres líquidos: hexano, agua y mercurio. En el caso del hexano, las fuerzas intermoleculares son de tipo fuerzas de Van der Waals. El agua, aparte de la de Van der Waals tiene interacciones de puente de hidrógeno, de mayor

Page 107: Ecuación constitutiva

intensidad, y el mercurio está sometido al enlace metálico, la más intensa de las tres. Así, la de cada líquido crece del hexano al mercurio.

Para un líquido dado, el valor de disminuye con la temperatura, debido al aumento de la agitación térmica, lo que redunda en una menor intensidad efectiva de las fuerzas intermoleculares. El valor de tiende a cero conforme la temperatura se aproxima a la temperatura crítica Tc del compuesto. En este punto, el líquido es indistinguible del vapor, formándose una fase continua donde no existe una superficie definida entre ambos .

Tensoactividad [editar]

Se denomina tensoactividad al fenómeno por el cual una sustancia reduce la tensión superficial al disolverse en agua u otra solución acuosa. Su fórmula es n=m(masa)/(masa molar); donde:

-D = Diámetro.

- = Tensión Superficial.

-F = Fuerza.

Referencias [editar]

1. ↑ Alejandro Martínez U. - Ricardo Ortega P. [[1]] 2. ↑ White, Harvey E. (1948). Modern College Physics. van Nostrand. ISBN

0442294018.

Véase también [editar]

Capilaridad Energía superficial Ángulo de contacto

NablaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial representado por el símbolo : (nabla).

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

Page 108: Ecuación constitutiva

siendo , y los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta

base también se representa por , , .

Contenido

[ocultar] 1 Expresión en otros sistemas de coordenadas 2 Operador nabla en variedades diferenciales 3 Aplicaciones del operador nabla 4 Definición intrínseca 5 Álgebra del operador ∇ 6 Véase también

7 Bibliografía avanzada

Expresión en otros sistemas de coordenadas [editar]

Cuando se emplean sistemas de coordenadas diferentes de las coordenadas cartesianas, la expresión de nabla debe generalizarse. En sistemas de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas y las esféricas, en la expresión aparecen los factores de escala:

En particular, para coordenadas cilíndricas ( ) resulta

y para coordenadas esféricas ( )

El símbolo ∇ fue utilizado por primera vez por William Rowan Hamilton.

Operador nabla en variedades diferenciales [editar]

Dada una variedad diferenciable dotada de una conexión que de lugar a una derivada covariante se define el operador nabla como aplicación del conjunto de funciones sobre la variedad o 0-formas al conjunto de 1-formas de dicha variedad. Fijada un sistema de coordenadas local se expresa como:

Page 109: Ecuación constitutiva

Aplicaciones del operador nabla [editar]

Este operador puede aplicarse a campos escalares (Φ) o a campos vectoriales F, dando:

• Gradiente:• Divergencia:

• Rotacional:

• Laplaciano:

Definición intrínseca [editar]

Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:

En la expresión anterior representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) y A es un campo escalar, vectorial o tensorial. ΔV es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto. De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.

Álgebra del operador ∇ [editar]

Al tratarse de un operador diferencial, el resultado de su aplicación sobre un producto sigue reglas similares a la derivada de un producto. Sin embargo, dependiendo del carácter de los entes sobre los que actúa, el resultado puede tener una expresión más o menos complicada. Las fórmulas más importantes son:

Véase también [editar]

Page 110: Ecuación constitutiva

Tabla de símbolos matemáticos Ecuaciones de Maxwell Nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas

Bibliografía avanzada [editar]

Div, Grad, Curl, and All That, H. M. Schey, ISBN 0-393-96997-5 Jeff Miller, Earliest Uses of Symbols of Calculus (Aug. 30, 2004). Cleve Moler, ed., "History of Nabla", NA Digest 98 (Jan. 26, 1998

Sistema de coordenadasDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.

En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.

Contenido

[ocultar]

Page 111: Ecuación constitutiva

1 Sistemas de coordenadas o 1.1 Sistema de coordenadas cartesianas o 1.2 Sistema de coordenadas cilíndricas o 1.3 Sistema de coordenadas esféricas o 1.4 Coordenadas geográficas o 1.5 Coordenadas curvilíneas

2 Cambios de coordenadas 3 Origen de coordenadas 4 Véase también

5 Enlaces externos

Sistemas de coordenadas [editar]

Sistema de coordenadas cartesianas [editar]

Artículo principal: Coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional. El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección

ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ) sobre un eje determinado.

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector unitario

( ).

, cuyo módulo es .

El valor de la coordenada X de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

Page 112: Ecuación constitutiva

Sistema de coordenadas cilíndricas [editar]

Artículo principal: Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas son usadas para parametrizar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas [editar]

Artículo principal: Coordenadas esféricas

Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Coordenadas geográficas [editar]

Artículo principal: Coordenadas geográficas

Page 113: Ecuación constitutiva

Este tipo de coordenadas se usa para nombrar puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

DD Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM Degree:Minute (Grados:Minutos.Segundos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-

123:30:00

Otro sistema de coordenadas geográficas habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Coordenadas curvilíneas [editar]

Artículo principal: Coordenadas curvilíneas

Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o variedad diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si tenemos un espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:

Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:

Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas en sistema de coordenadas ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo .

Cambios de coordenadas [editar]

En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad.

Más formalmente un cambio de coordendas puede representarse por un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también diferenciable):

Page 114: Ecuación constitutiva

Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:

Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de tranformación tensorial:

Origen de coordenadas [editar]

Origen de un sistema bidimensional de coordenadas cartesianas.

El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo (ρ = 0), siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.

En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del sistema se cortan.

Véase también [editar]

Coordenadas celestes Coordenadas geográficas Tabla en coordenadas cilíndricas y esféricas Regla de la mano derecha