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Ecuaciones Algebraicas
Una ecuación es una igualdad entre dos partes. Cada parte se llama miembro de la ecuación.
Cuando existen variables en alguno de los miembros de la ecuación, ésta se llamará
ecuación algebraica.
En consecuencia, de este principio, se deriva la Ley de transposición de términos, la
cual permite que una cantidad, si está sumando pase a restar al miembro contrario y
viceversa, y si está multiplicando pase a dividir y viceversa.
Tipos de Ecuaciones: Según como estén dispuestas las variables en una ecuación, se
tienen (principalmente):
1. Ecuaciones Polinómicas (conformadas por un polinomio algebraico P(x)).
2. Ecuaciones Racionales (de la forma P(x)/Q(x)).
3. Ecuaciones Trigonométricas (la variable es un ángulo).
4. Ecuaciones Exponenciales (la variable es un exponente).
Raíces o soluciones: Son los valores numéricos de las variables que verifican o satisfacen
a una ecuación.
Principio Fundamental de las Ecuaciones:
En toda ecuación, si a ambos miembros se les aplica las mismas operaciones iguales, los
resultados serán iguales.
2
En una ecuación algebraica, existen tantas raíces o soluciones como el máximo valor del
exponente de la variable.
Ecuaciones de Primer Grado
Son ecuaciones en las que la variable está elevada hasta la potencia 1. Tienen la forma
ax + b = 0. También se les llama ecuaciones lineales.
Para hallar la variable simplemente se despeja por medio de la Ley de Transposición, o
sea, “Números a un lado y letras al otro”.
Ejemplos:
Entonces
x = 1
3
Conjunto Solución: {x / x = 1
3 , x ∈ R}
Solución Gráfica:
2 (x+3) - 2 = 5x + 3
2x + 6 -2 = 5x + 3 Propiedad distributiva
2x + 4 = 5x + 3 Reducimos términos semejantes de cada miembro
2x – 5x = 3 – 4 Transponemos términos
-3x = -1 Reducimos términos semejantes
x = −1
−3 Despejamos la incógnita
-2 -1 -0 -1 -2
x = 1
3
3
EJEMPLO 2.
x -(2x+1) = 8-(3x+3)
x-2x-1 = 8-3x-3
x-2x+3x = 8-3+1
2x = 6
x= 6
2
x= 3
15x-10 = 6x-(x+2) +(-x+3)
15x-10 = 6x-x-2-x+3
15x-6x+x+x = -2+3+10
11x = 11
x= 11
11
x= 1
4
EJEMPLO 3.
EJEMPLO 4.
5
EJEMPLO 5.
EJEMPLO 6.
6
Ecuaciones de Segundo Grado
Son ecuaciones en las que la variable está elevada hasta la potencia 2. Tienen la forma
ax2 + bx + c = 0. También se les llama ecuaciones cuadráticas.
La anterior conocida comúnmente como: “Fórmula del bachiller”.
De la fórmula general, la expresión b2 – 4ac se denomina Discriminante de la ecuación
ax2 + bx + c = 0, e indica los tipos de soluciones de la ecuación:
1. Si b2 – 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones Re distintas.
2. Si b2 – 4ac = 0, entonces la ecuación tiene una sola solución Re (dos soluciones iguales).
3. Si b2 – 4ac < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones Re. Las soluciones son
complejas.
Para solucionar la ecuación cuadrática, en general, existen tres alternativas distintas:
1. Ejemplar la fórmula general cuadrática.
2. Despejar normalmente la variable (para casos: ax2 + c = 0)
3. Factorizar e igualar a cero, y luego deducir las raíces.
Fórmula General Cuadrática
Sea ax2 + bx + c = 0
x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄
𝟐𝒂
7
Ejemplos:
Alternativa 1
3x2 - 5x + 2 = 0
(3)(x)2 + (-5)(x)+(2) = 0
x= −(−5)± √(−5)2−4 (3)(2)
2(3)
x= −(−5)± √25−24
2(3)
Alternativa 2
4x2 - 8 = 0
4x2 = 8
a b c
x= 5±√1
6
x= 5+√1
6 : x =1
x= 5−√1
6 : x =
2
3
Fórmula General Cuadrática
Sea ax2 + bx + c = 0
x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄
𝟐𝒂
8
x2 = 8
4
x2 = 2
x2 = ±√2
Alternativa 3
2x2 - 5x + 2 = 0 2𝑥2 2x x
2 -1 -2 = -4x-x =-5x
Casos Especiales
No siempre las ecuaciones lineales y/o cuadráticas presentan la forma estándar ax + b = 0 ó
ax2 + bx + c = 0, sino que en muchas ocasiones éstas inicialmente presentan otras formas con
fracciones, radicales, etc. En estos casos necesitamos transformar la ecuación original en una
ecuación equivalente, utilizando las propiedades (P1 y P2) y las operaciones descritas
anteriormente.
Ecuaciones que contienen fracciones algebraicas:
Un ejemplo de ecuación con fracciones algebraicas es:
7
𝑥−1−
6
𝑥2−1 = 5 𝑥2 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
7 (𝑥+1 )−6
(𝑥−1)(𝑥+1)= 5
(𝑥+1)(𝑥−1)
(𝑥−1)= (𝑥 + 1)
x = √2
=== x = − √2
(x-2 )(2x-1) = 0
(x -2) = 0: x = 2
(2x-1)=0 : x = 1
2
2x=1
9
7𝑥 + 7 − 6
𝑥2 − 1= 5
7𝑥 + 1 = 5(𝑥2 − 1)
7𝑥 + 1 = 5𝑥2 − 5
−5𝑥2 + 7𝑥 + 6 = 0
(-1)(−5𝑥2 + 7𝑥 + 6) = 0
5𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0 a=5 b=-7 c= -6
Ahora, utilizando la fórmula, obtenemos:
𝑥 = −(−7) ± √(−7)2 − 4 ∗ 5 (−6)
10
𝑥 = 7 ± √49 + 120
10
𝑥 = 7 ± √169
10
𝑥1 = 7 + 13
10= 2
𝑥2 = 7 − 13
10= −
6
10= −
3
5
Fórmula General
Cuadrática
Sea ax2 + bx + c = 0
x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄
𝟐𝒂
10
Otra forma de solucionar el ejercicio
5𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0
1. Se buscan dos números o variables los cuales al multiplicarse den como resultado el
primer y tercer término.
2. Al encontrar estos números o variables se multiplican en cruz y luego se operan de tal
forma que me dé como resultado el término de la mitad.
5𝑥2 = 5𝑥 ∗ 𝑥
−6 = 3 ∗ −2 se multiplica en forma diagonal (5𝑥 ∗ −2) y (3 ∗ 𝑥)
−10𝑥 + 3𝑥 = −7𝑥
3. Luego Estos números o variables serán ubicados de forma vertical
5𝑥2 = 5𝑥 ∗ 𝑥
−6 = 3 ∗ −22
(5𝑥 + 3)(𝑥 − 2)=0 (5𝑥 + 3) = 0 (𝑥 − 2)=0
5𝑥 = −3 𝑥 = 2
𝑥 = −3
5
4. Ya teniendo resuelta la factorización se determinan las dos soluciones.
𝑥1 = 2
𝑥2 = −3
5
Otro ejemplo
11
𝑥
𝑥 + 2−
4
𝑥 + 1=
−2
𝑥 + 2
𝑥(𝑥 + 1) − 4 (𝑥 + 2)
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)=
−2
𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 4𝑥 − 8
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)=
−2
𝑥 + 2
𝑥2 − 3𝑥 − 8 =−2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 2)
𝑥2 − 3𝑥 − 8 = −2𝑥 − 2
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 Factorizando
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 (𝑥 − 3) = 0 (𝑥 + 2) = 0
𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −2
Mediante la fórmula de la cuadrática: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 a =1, b=-1 c=-6
𝑥 = − (−1) ± √(−1)2 − 4(1) (−6)
2(1)
Fórmula General Cuadrática
Sea ax2 + bx + c = 0
x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄
𝟐𝒂
12
𝑥 = 1 ± √1 + 24
2
𝑥 = 1 ± 5
2
𝑥1 = 1 + 5
2=
6
2= 3 𝑦 𝑥2 =
1 − 5
2= −
4
2= −2
13
14
Problemas planteados con palabras (ecuaciones lineales)
Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones entre cantidades
numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una ecuación algebraica que
pueda resolverse por medios conocidos.
Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:
1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable.
2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de la misma
variable
3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuación algebraica.
4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades
requeridas.
5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la
ecuación.
Las siguientes ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus equivalentes
algebraicos:
1. Un número aumentado en 6
x + 6
2. Un número disminuido en 3
x – 3
3. Un número supera en 8 a otro.
Primer número Segundo número
x + 8 x
15
4. Un número es 3 unidades menor a otro.
Primer número Segundo número
x - 3 x
5. La suma de dos números es 20.
Primer número Segundo número
x 20 – x
6. Tres enteros consecutivos
Primer número Segundo número Tercer número
x x + 1 x + 2
7. Tres enteros impares consecutivos
Primer número Segundo número Tercer número
x x + 2 x + 4
8. Tres enteros pares consecutivos
Primer número Segundo número Tercer número
x x + 2 x + 4
9. Un número es la mitad de un segundo número
Primer número Segundo número
½ x x
O bien
x 2x
10. Un número es el triple de otro
Primer número Segundo número
3x x
16
11. Un número es 3 unidades menor que el doble de un segundo número.
Primer número Segundo número
2x - 3 x
12. Un número supera en 5 el triple de un segundo número
Primer número Segundo número
3x + 5 x
13. El número a supera en 6 al número b
a – 6 = b o bien a = b + 6
14. En número a es 10 unidades menor que el número b.
a + 10 = b o bien a = b - 10
Para resolver problemas que dan origen a ecuaciones de primer grado con una incógnita es
importante identificar la variable para poder plantear a continuación la ecuación que conduce a la
solución del problema.
Ejemplo 1.
La suma de dos números enteros consecutivos es 79, ¿cuáles son los números?
Solución:
a. Elección de la incógnita.
Interpretamos el enunciado para identificar los datos conocidos y la pregunta que se
formula; luego plateamos la ecuación correspondiente.
Primer número: x
Número consecutivo: x + 1
Suma de los dos números: 79
17
b. Planteo de la ecuación:
x + (x + 1) = 79
c. Resolución:
x + x + 1 = 79
2x + 1 = 79
2x = 79 – 1
2x =78
x = 78/2
x = 39
d. Interpretación de los resultados:
Primer número x = 39
Número consecutivo x + 1 = 39 + 1 = 40
Verificación:
x + (x + 1) = 79
39 + (39 + 1) = 79
79 = 79
Respuesta: Los números son 39 y 40
Ejemplo 2.
La edad actual de francisco excede en 5 unidades al doble de la edad de Karen. hace 10
años Francisco tenía el triple de edad que Karen. ¿cuáles son las edades correspondientes
de cada uno?
F = 2k +5
F-10 = 3(K-10)
18
(2k+5)-10 = 3K-30
2K-5 = 3k -30
-5 +30 = 3K-2K
25= K y F = 2k+5 donde reemplazando tenemos F = 55.
Es decir, Karen tiene 25 años y Francisco 55. años
Ejemplo 3.
La diferencia de dos números es 9. Si el menor de ellos es igual a la quinta parte del doble del
mayor, ¿cuáles son los números?
x – x = 9
x = 9 + x
𝑥 = 1
5∗ 2(9 + 𝑥)
5x = 18 + 2x
3x = 18
x = 18
3
x = 6
9 + 6 = 15
Ejemplo 4.
La diferencia de dos números es 5. Si el triple del mayor supera en uno al quíntuplo del menor,
obtenga ambos.
Primer número: x Segundo número: x + 5
3 (x + 5) = 5x + 1
19
3x + 15 = 5x + 1
15 – 1 = 5x – 3x
14 = 2x
x= 14/ 2
x = 7
x + 5 = 12
ejemplo de ejercicios
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BIBLIOGRAFIA
Studer M. (1991), Algebra, Trigonometría y geometría analítica, Bogotá, Editorial Educativa.
Allendoerfer C. (1990), Matemáticas Universitarias, Cuarta Edición, Bogotá, Mc Graw Hill.
García, J. (1980). Introducción al cálculo. Bogotá, Colombia. Editorial fotolito
(Allueva A. et. Al., 2016).Matemática Aplicada Recuperado de : https://ocw.unizar.es/ciencias-
experimentales/conocimientos-basicos-de-matematicas-para-primeros-cursos-
universitarios/B4_calculo/Bloque4_tema1/resueltos_b4_t1.pdf
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