1Captulo IV: Ecuaciones Diferenciales

en Derivadas Parciales

Profesor: Raul Fierro P.

1 Ecuacion ordinaria de primer orden

1. Observacion Sean a0, a1 y h funciones continuas de R en R tales que para todo

x R, a1(x) 6= 0.

Consideremos la ecuacion diferencial ordinaria siguiente:

a1(x)y + a0(x)y = h(x). (1)

Dividiendo en (1) por a1(x) y luego multiplicando por exp( xa

a0(u)a1(u)

du) se obtiene

d

dx

(y(x) exp(

xa

a0(u)

a1(u)du)

)=

h(x)

a1(x)exp(

xa

a0(u)

a1(u)du).

Integrando entre a y x se obtiene as:

y(x) = exp(

xa

a0(u)

a1(u)du)

(y(a) +

xa

h(u)

a1(u)exp(

ua

a0(v)

a1(v)dv)du

). (2)

2. Ejemplo Resolverdy

dx+ 2xy = x, y(0) = 1.

3. Observacion Sea n N\{0, 1}. Para resolver

a1(x)y + a0(x)y = h(x)y

n, (3)

dividimos por yn y entonces a1(x)y

yn+ a0(x)y

1n = h(x).

Haciendo u(x) = y(x)1n se obtienedu

dx=y(x)

yn(x)y entonces (3) es equivalente a

2 Fierro

a1(x)du

dx+ a0(x)u(x) = h(x). (4)

Esta ultima ecuacion se resuelve con las indicaciones dadas en Observacion 1.

4. Ejemplo Resolver y + xy = xy3.

2 Problemas de valor de frontera

1. Definicion Se dice que un operador diferencial L de segundo orden definido en

C2[a, b] esta en forma autoadjunta, si y solo si,

L = D(p(x)D) + q(x)I, (5)

donde p C1[a, b] es tal que para todo x ]a, b[, p(x) 6= 0, y q C[a, b].

2. Nota En esta seccion, consideraremos C[a, b] con el producto interno usual, a

saber,

< f, g >=

ba

f(x)g(x) dx. (6)

3. Observaciones Sea L un operador lineal sobre C[a, b] y supongamos que L es

simetrico; es decir, para todos x, y C[a, b], < x,Ly >=< Lx, y >.

En este caso se tiene

(3.1) los valores propios de L son reales, y

(3.2) los vectores propios de L correspondientes a distintos valores propios son

ortogonales.

4. Teorema Sean S C2[a, b] y L = D(p(x)D) + q(x)I un operador definido sobre

S en forma autoadjunta. Entonces, las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(4.1) L es simetrico sobre S.

(4.2) Para todos y1, y2 S, p(x)[y1(x)y

2(x) y

1(x)y2(x)]ba= 0.

5. Observaciones Sean S C2[a, b] y L = D(p(x)D) + q(x)I un operador definido

sobre S en forma autoadjunta.

3(5.1) Si S = C2[a, b] y p(a) = p(b) = 0, entonces L es simetrico sobre S.

(5.2) Supongamos que S es el conjunto de todas las funciones y C2[a, b] tales

que

1y(a) + 2y(a) = 0

1y(b) + 2y(b) = 0,

donde |1|+ |2| 6= 0 y |1|+ |2| 6= 0.

Entonces, L es simetrico sobre S.

(5.3) Supongamos ahora que p(a) = p(b) (no necesariamente iguales a 0) y

que S es el conjunto de todas las funciones y C2[a, b] tales que y(a) = y(b) e

y(a) = y(b).

Entonces, L es simetrico sobre S.

6. Ejemplo Analizar el problema de valor de frontera

y + y = 0, y(0) = y(pi) = 0.

3 Desarrollos en serie

1. Observacion Sea L : S C2[a, b] C[a, b] un operador diferencial lineal

de segundo orden y simetrico sobre S. Supongamos ademas que existe un sistema

(k; k N) de funciones propias de L. Luego, (k; k N) es una sucesion ortogonal

y los correspondientes valores propios asociados a estas funciones propias son reales.

Sea h C[a, b] tal que h =

k=0 kk. Luego, los k estan unvocamente deter-

minados y deben ser iguales a k =< h,k > /2.

En consecuencia,

h =k=0

< h,k >

k2k. (7)

Sea y(x) =

k=0 kk (k R), y supongamos que y es solucion de la ecuacion

Ly = h. (8)

4 Fierro

Para cada k N, sea k el valor propio correspondiente a la funcion propia k.

Es decir, Lk = kk.

Procediendo formalmente se obtiene que si y satisface (8), entonces

k=0

kkk(x) =k=0

< h,k >

k2k.

Por lo tanto, para todo k N, kk =< h,k > /k2, y en consecuencia, las

afirmaciones siguientes son validas:

(1.1) Si para algun k N, k = 0 y < h,k > 6= 0, entonces y no es solucion

de (8).

(1.2) Si para algun k N, k = 0 y < h,k >= 0, entonces (8) tiene infinitas

soluciones.

(1.3) Si para todo k N, k 6= 0, entonces (8) tiene solucion unica, a saber,

y(x) =k=0

< h,k >

kk2k. (9)

2. Ejemplo Sea L = D2 y S = {y C2[0, pi] : y(0) = y(pi) = 0}. Determinar la

solucion formal de Ly = h, y calcular explcitamente esta solucion si h(x) = x.

4 Ecuacion de la cuerda vibrante

1. Problema Sean a > 0, c > 0, y f y g funciones de [0, a] en R que satisfacen la

condicion de Dirichlet en cada punto de [0, a].

Resolver2u

t2= c2

2u

x2, (10)

bajo las condiciones de frontera u(0, t) = u(a, t) = 0 para todo t 0, y las condiciones

iniciales u(x, 0) = f(x) yu

t(x, 0) = g(x).

2. Observacion Otro camino para resolver (10) es el siguiente:

5Definimos v = x+ct y w = xct. As, si las segundas derivadas parciales respecto

de v y w existen y son continuas, entonces

2u

t2= c2

(2u

v2+ 2

2u

vw+2u

w2

). (11)

Analogamente,2u

x2=2u

v2 2

2u

vw+2u

w2. (12)

De (11) y (12) obtenemos2u

vw= 0 (13)

lo cual implica que u = (w)+(v). En consecuencia, la solucion de (10) es u(x, t) =

(x ct) + (x+ ct). Esta solucion se conoce como solucion de DAlembert para la

ecuacion de onda unidimensional.

Si se impone las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x) yu

t(x, 0) = 0, entonces la

solucion de la ecuacion es

u(x, t) =1

2(f(x+ ct) + f(x ct)) .

5 Flujo unidimensional de calor

1. Problema Sean a > 0, c > 0 y f : [0, a] R una funcion que satisface la

condicion de Dirichlet en cada punto de [0, a].

Resolveru

t= c2

2u

x2, (14)

bajo las condiciones de frontera u(0, t) = u(a, t) = 0 para todo t 0, y bajo la

condicion inicial u(x, 0) = f(x).

6 Ecuacion de la membrana vibrante

1. Problema Sea a > 0, b > 0, c > 0 y f y g funciones continuas de [0, a] [0, b] en

R y diferenciables en el interior de su dominio.

6 Fierro

Resolver

2u

t2= c2

(2u

x2+2u

y2

), (15)

bajo las condiciones de frontera u(x, y, t) = 0 para todo (x, y) en la frontera del

rectangulo [0, a] [0, b] y todo t 0. Ademas, se supone que la solucion de (15)

satisface para todo (x, y) [0, a] [0, b], las condiciones iniciales u = f(x, y) yu

t(x, y, 0) = g(x, y).

7 Ecuacion bidimensional del calor

1. Problema Sean a > 0, b > 0, c > 0 y f : [0, a][0, b] R continua y diferenciable

en el interior de su dominio. Resolver

2u

t2= c2

(2u

x2+2u

y2

), (16)

bajo las condiciones de frontera u(x, y) = 0 para todo (x, y) en la frontera del

rectangulo [0, a] [0, b] y todo t 0. Ademas, se supone que la solucion de (16)

satisface para todo (x, y) [0, a] [0, b], la condicion inicial u(x, y, 0) = f(x, y).

Ejercicios propuestos

1.- Encuentre la solucion general de las ecuaciones siguientes:

(1.1) xy + y = 0. (1.2) cos2(x)y + y = 1. (1.3) y + 2y = x.

(1.4) y + y = ex. (1.5) x3y + x2y = 1 + x4. (1.6) (x2 + 4)y + x2y = 2.

(1.7) y + xy2 + y = 0.(1.8) y + y = y2. (1.9) yy + xy2 = 1 + x.

(1.10) (x 1)y 2y =

(x2 1)y.

2.- Con las condiciones que se indica, encuentre las soluciones de las ecuaciones sigu-

ientes:

(2.1) sen(x)y + cos(x)y = 0, y(3pi/4) = 2.

7(2.2) cos2(x)y + y = 1, y(pi/6) = 1.

(2.3) x3y + x2y = 1 + x4, y(1) = 1.

(2.4) y + y = y2, y(0) = 1/3.

(2.5) yy + xy2 = 1 + x, y(0) = 0.

3.- Encuentre la solucion general de las ecuaciones siguientes:

(3.1) y 3y + 2y = 0. (3.2) y 3y + 2y = x. (3.3) y + 2y + y = 1.

(3.4) y + 2y + y = sen(x). (3.5) y(iv) y = 2x ex . (3.6) y(iv) y = x2 + 1.

4.- Encuentre las soluciones de los siguientes problemas de valor de frontera:

(4.1) y + y = 0, y(0) = 1, y(pi) = 1.

(4.2) y + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0.

(4.3) y + 4y = sen(2x), y(0) = 0, y(pi) = 0.

5.- Encuentre los valores de y las correspondientes soluciones para los siguientes

problemas de valor de frontera:

(5.1) y + y = 0, y(0) = y(2pi), y(0) = y(2pi).

(5.2) y + y = 0, y(0) = y(pi) = y(pi).

(5.3) y + y = 0, y(0) = y(pi) = 0.

(5.4) y + 4y + (4 + 9)y = 0, y(0) = y(a) = 0, (a > 0).

6.- Determine el desarrollo formal en serie de la solucion de los siguientes problemas

de valor de frontera, en terminos de las funciones propias para el problema de Sturm-

Liouville asociado.

(6.1) y = x(x 2pi), y(0) = y(pi) = 0.

(6.2) y = x2 pi2, y(0) = y(pi) = 0.

(6.3) y = sen(pix/a), y(0) = y(a) = 0, (a > 0).

(6.4) y = sen(pix/a), y(0) = y(a) = 0, (a > 0).

8 Fierro

7.- Use el metodo de separacion de variables para encontrar soluciones de la ecuacion

diferencial en derivadas parciales siguiente:

2u

t2+ a2

4u

x4= 0, (a > 0).

8.- Resuelva las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales sujetas a las condiciones

sealadas:

(8.1)u

t= cos(t)

2u

x2, u(0, t) = u(pi/4, t) = 0 (t 0) y u(x, 0) = f(x)

(x [0, pi/4]).

(8.2)u

t=2u

x2,

u

x(pi, t) =

u

x(pi, t) = 0, (t 0) y u(x, 0) = cos(x) +

2sen(x/2)

(8.3)u

t=

2u

x2,

u

x(a, t) =

u

x(a, t) = 0, (t 0) y u(0, x) = 1 +

cos(pix/2a) + 3sen(pix/2a), (a > 0).

(8.4)u

t= et

2u

x2, u(0, t) = u(3, t) (t 0) y u(x, 0) = x, (x [0, 3]).

(8.5)u

t= t2

2u

x2, u(0, t) = u(1, t) (t 0) y u(x, 0) = x, (x [0, 1]).

(8.6)2u

x22u

t2+ u = 0, u(0, t) = u(pi, t) = 0 (t 0), u(x, 0) = sen(x) y

u

t(x, 0) = sen(5x).

9.- Sean a > 0, S = {y C1[0, a] : y(0) = y(a) = 0} y L = D2 I.

(9.1) Demuestre que L esta en forma autoadjunta y que es simetrico sobre S.

(9.2) Determine los valores de para los cuales Ly = y tiene solucion no

trivial. Encuentre las soluciones.

(9.3) Resuelva

u

t= cos(t)(

2u

x2 u),

con la condicion inicial u(x, 0) = x y la condicion de frontera u(0, t) = u(a, t) = 0

(t 0).

10.- Sean a > 0, S = {y C2[0, a] : y(0) = y(a) = 0} y L : S C[0, a] el operador

9definido por Ly = y.

(10.1) Verifique que L es simetrico.

(10.2) Demuestre que el conjunto de valores propios de L esta dado por

{(2n+ 1)2pi2/4a2 : n N}.

(10.3) Para cada valor propio de L, encuentre la solucion general de Ly = y.

(10.4) Para a > 0, resuelva la ecuacion diferencial en derivadas parciales

u

t= cos(t)

2u

x2,

bajo las condiciones de frontera u(0, t) =u

x(a, t) = 0 (t 0) y la condicion inicial

u(x, 0) = sen(5pix/2a).

11.- Sean a > 0 y b > 0. Resuelva

u

t= cos(t)

(2u

x2+2u

y2

),

u(x, y, t) = 0 y u(0, x, y) = f(x, y), (t 0, (x, y) ([0, a] [0, b])).

12.- Sean lh,1 = [0, a]{0} y lh,2 = [0, a] {b} los lados horizontales del rectangulo

[0, a] [0, b] y, lv,1 = {0} [0, b] y lv,2 = {a} [0, b] sus correspondientes lados

verticales.

Encuentre la solucion de2u

x2+2u

y2= 0 (17)

en los casos siguientes:

(12.1) u(x, y) = f1(x) si (x, y) lh,1 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,2 lv,1 lv,2.

(12.2) u(x, y) = f2(x) si (x, y) lh,2 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,1 lv,1 lv,2.

(12.3) u(x, y) = f3(x) si (x, y) lv,1 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,1 lh,2 lv,2.

(12.4) u(x, y) = f4(x) si (x, y) lv,2 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,1 lh,2 lv,1.

Si ui (i = 1, 2, 3, 4) es la solucion encontrada en (12..i), demuestre que

u = u1 + u2 + u3 + u4

10 Fierro

es solucion de (17) y satisface

u(x, y) =

f1(x) si (x, y) lh,1

f2(x) si (x, y) lh,2

f3(x) si (x, y) lv,1

f4(x) si (x, y) lv,2.

(12.5) Resuelva (17) bajo las condiciones u(0, y) = u(a, y) = 0 (0 y b) y

u(x, 0) = u(x, b) = 2x(x a) (0 x a).