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Ecuaciones DiferencialesAcademia de Ciencias Básicas
Tarea III
1. Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a) t
b) cos at
c) t sin at
d) Usa el hecho que cosh bt = (ebt + e−bt)/2 y encuentra la transformada de Laplace de lafunción cosh bt
e)
f (x) =
0, t < 2
(t − 2)2, t ≥ 2.
f) f (t) = (t − 3)u2(t) − (t − 2)u3(t)
g) f (t) = t0
(t − τ )2 cos2τ dτ
h) f (t) = t
0 sin(t − τ )cos τ dτ
2. Encuentra la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:
a) 2s+2s2+2s+5
b)
8s2−4s+12
s(s2
+4)
c) F (s) = 2(s−1)e−2s
s2−2s+2
d) F (s) = e−2s
s2+s−2
e) F (s) = 1(s+1)2(s2+4)
f) F (s) = G(s)s2+1
3. Aplica la transformada de Laplace para resolver el problema con valor inicial dado:
a) y − 2y + 2y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1
b) y − 2y + 2y = cos t, y (0) = 1, y (0) = 0
4. Encuentra la solución de la ecuación diferencial dada.a) y − 2y − 3y = −3xe−x
b) 2y + 3y + y = x2 + 3 sin x
c) y + 9y = x2e3x + 6
5. Encuentra la solución del problema con valor inicial.
a) y + y − 2y = 2x, y(0) = 0, y(0) = 1.
b) y + 2y + 5y = 4e−x cos2x, y (0) = 1, y (0) = 0.
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c)
y + 2y + 2y = h(t); y(0) = 0, y(0) = 1, h(t) =
1, π ≤ t < 2π
0, 0 ≤ t < π, t ≥ 2π
d)
y + 2y + y = f (t); y(0) = 1, y(0) = 0, f (t) =
1, 0 ≤ t < 1
0, t ≥ 1
e)
y + y + 5
4y = g(t); y(0) = 0, y(0) = 0, g(t) =
sin t, 0 ≤ t < π
0, t ≥ π
6. Expresa la solución del problema con valor inicial dado en th́ermanos de una integral de
convolución:
a) y + y + 54y = 1 − uπ(t); y(0) = 1, y(0) = −1
b) yiv − y = g(t); y (0) = y(0) = y(0) = y (0) = 0
c) y + 2y + 2y = sin αt; y (0) = y(0) = 0
7. (Punto extra sobre calif del examen) Considere la ecuación
φ(t) +
t
0
k(t − ξ )φ(ξ )dξ = f (t),
en la que f y k son funciones conocidas y ha de determinarse φ. Dado que la función des-conocida φ aparece bajo un signo de integral, la ecuación se llama ecuación integral; en
particular, pertenece a una clase de ecuaciones integrales conocida como ecuaciones integralesde Volterra. Calcule la transformada de Laplace de la ecuación integral dada y obtenga unaexpresión para L {φ} en términos de las transformadas L {f (t)} y L {k(t)} de las funcionesdadas f y k. La transformada inversa de L {φ} es la solución de la ecuación integral original.
Considere la ecuación integral de Volterra
φ(t) =
t
0
(t − ξ )φ(ξ )dξ = sin 2t.
a) Demuestre que si u es una función tal que u(t) = φ(t), entonces u(t) + u(t)− tu(0)−u(0) = sin 2t.
b) Demuestre que la ecuación integral dada es equivalente al problema con valor inicial
u(t) + u(t) = sin2t; u(0) = 0, u(0) = 0.
c) Resuelva la ecuación integral dada mediante la aplicación de la transformada de Laplace.
d) Resuelva el problema con valor inicial del inciso b) y compruebe que la solución es lamisma que la del inciso c).
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