ECUACIONES DIFERENCIALES
Salvador Solis Valdez
• En esta presentación hare tres
• Ejemplos , Resolviendo por Coeficientes Indeterminados
Las ejemplos son:
1.- y’’-3y’= 8e3x+4senx
2.- y’’ + y = xcosx - cosx
3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8
Bien resolvamos el primero:
y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx
Para resolver encontremos yc para eso usamos la ecuación auxiliar.
y’’ – 3y’ = 0
m2 – 3m= 0
m (m-3)=0 m1=0 y m2=3
• Como el valor de las m son distintos y reales aplicamos el caso#1 en el que nos queda:
yc= C1 + C2e3x
Despues de Encontrar yc encontremos yp
para esto hay que aplicar un operador
anulador.
Para encontrar el operador anulador hay que observar los terminos de f(x).
En la ecuación tenemos que
y’’-3y’= 8e3x+4senx
El anulador de 8e3x es D-3
El anulador de 4senx es D2 + 1
• Entonces nos queda que
• (D-3)(D2 + 1)=0
D1= 3 D2=D3=i
Aplicando los casos nos queda :
yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx
Ahora derivamos dos veces yp para sustitur en la ecuacion original.
yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx
y’p = 3C3xe3x + C3e3x - C4senx + C5cosx
y’’p= 9C3xe3x+3C3e3x +3C3e3x –C4cosx-C5senx
y’’p= 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx
Ahora lo cambiamos en la ecuacion original.
• y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx
9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx -3(3C3xe3x +C3e3x -C4senx+C5cosx)
= 8e3x+ 4senx
9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx- C5senx -9C3xe3x -3C3e3x +3C4senx-3C5cosx
=8e3x+ 4senx
3C3e3x –C4cosx -C5senx +3C4senx-3C5cosx
= 8e3x+ 4senx
Ahora igulamos coeficientes
3C3=8 C3=8/3
(-3) 3C4-C5=4
-C4-3C5=0
-9C4+3C5=-12 C4=-12/-10= 6/5
-C4-3C5=0 -6/5-3C5=0
-10C4 = -12 C5=2/5
• Entonces yp=C3xe3x + C4 cosx + C5senx
• Es igual a yp=8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx
• La formula dice que la solucion general es
y=yc+yp
y=C1 + C2e3x+8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx
• En los siguientes ejemplos los mostrare de forma mas simplificada:
• 2.- y’’ + y = xcosx – cosx
y’’+y=0
m2+1= 0
m1=m2=i
yc=C1cosx +C2senx
Anuladores
xcosx-cosx es (D2 +1)2 (D2+1)=0
D1=D2=D3=D4= i
yp=C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx+C6x2senx
y’p=-C3xsenx+C3cosx+C4xcosx+C4senx-C5x2senx
+2C5xcosx+C6x2cosx+2C6xsenx
y’’p=-C3xcosx-C3senx-C3senx -C4xsenx + C4cosx + C4cosx-C5x2 cosx-2C5xsenx-2C5xsenx+2C5cosx+
-C6x2senx +2C6xcosx +2C6xcosx+2C6senx
• y’’p=-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6cosx
• Sustituimos en Ec. Original
-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2
cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6senx +C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx +C6x2senx= xcosx – cosx
• - 2C3senx +2C4cosx -4C5xsenx+2C5cosx +4C6xcosx +2C6senx = xcosx-cosx
Igualamos coeficientes
-2C3+2C6=0 C3=1/4
2C4+2C5=-1 C4=-1/2
-4C5=0 C5=0
4C6=1 C6=1/4
y=C1cosx+C2senx+1/4xcosx-1/2xsenx+1/4x2senx
• 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8
y’’+4y=0
m2+4= 0
m1=m2=2i
yc= C1cosx +C2senx
(D2+1) (D2+1)D= 0
D1=0 D2=D3=D4=D5=i
• yp=C3+C4cosx+C5senx+C6xcosx+C7xsenx
• y’p=-C4senx+C5cosx-C6xsenx+C6cosx+C7xcosx+C7senx
y’’p=-C4cosx-C5senx-C6xcosx-2C6senx-C7xsenx+2C7cosx
3C4cosx+3C5senx+3C6xcosx-2C6senx+3C7xsenx+2C7cosx+4C3=4COSX+3senx-8
Se igualan coeficientes
4C3=-8 C3=-2
3C4+2C7=4 C4=4/3
3C5-2C6=3 C5=1
3C6=0 C6=0
3C7=0 C7=0
y=C1cos2x+C2sen2x+4/3cosx+senx-2