5/10/2018 Ejemplos de Campos Gravitatorios - slidepdf.com
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Ejemplos de campos gravitatorios
El campo creado por una distribución de masa esférica, viene dado en cada punto fuerade la esfera por un campo vectorial que apunta hacia el centro de la esfera:
(1) ,
donde r es la distancia radial al centro de la distribución. En el interior de la esfera central
el campo varía según una ley dependiente de la distribución de masa (para una esfera
uniforme, crece en forma lineal desde el centro hasta el radio exterior de la esfera). La
ecuación (1), por tanto, sólo es válida a partir de la superficie exterior que limita el cuerpo
que provoca el campo, punto a partir del cual el campo decrece según la ley de la inversa
del cuadrado. El campo creado por una distribución de masa totalmente general en un
punto del espacio :
,
El interés de realizar una descripción de la interacción gravitatoria por medio de un campo
radica en la posibilidad de poder expresar la interacción gravitacional como el producto de
dos términos, uno que depende del valor local del campo y otro, una propiedad escalarque representa la respuesta del objeto que sufre la acción del campo. Por ejemplo, el
movimiento de un planeta se puede describir como el movimiento orbital del planeta en
presencia de un campo gravitatorio creado por el Sol.
Los campos gravitatorios son aditivos; el campo gravitatorio creado por una distribución de
masa es igual a la suma de los campos creados por sus diferentes elementos. El campo
gravitatorio del Sistema Solar es el creado por el Sol, Júpiter y los demás planetas.
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editar Líneas de fuerza
Artículo principal: Líneas de fuerza
Una línea de fuerza o línea de flujo, normalmente en el contexto del electromagnetismo, es
la curva cuya tangente proporciona la dirección del campo en ese punto. Como resultado,también es perpendicular a las líneas equipotenciales en la dirección convencional de
mayor a menor potencial. Suponen una forma útil de esquematizar gráficamente un campo,
aunque son imaginarias y no tienen presencia física.
[editar] Potencial gravitatorio
Artículo principal: Potencial gravitatorio
La naturaleza conservativa del campo permite definir una magnitud, que se podría llamar
energía mecánica, tal que la suma de la energía potencial y energía cinética del sistema es
una cantidad constante. Esto implica que el trabajo realizado en el seno de un campogravitatorio dependerá sólo de las posiciones final e inicial, y no de la trayectoria seguida
(así,el trabajo realizado a lo largo de una superficie cerrada será nulo). Así a cada punto del
espacio se le puede asignar un potencial Φ gravitatorio relacionado con la densidad de ladistribución de masa y con el vector de campo gravitatorio por:
Podemos demostrar matemáticamente de forma sencilla (y esto es extensible al campo
eléctrico), que efectivamente el campo gravitatorio de la mecánica newtoniana es
conservativo: Primero deberíamos notar un hecho matemático importante, y es que si un
campo vectorial se puede expresar como gradiente de algún campo escalar , es
decir, si entonces el trabajo realizado a lo largo de cualquier trayectoria
depende sólo del estado final y el inicial. La función escalar se llama función potencial
del campo vectorial . Para probar esto hay que integrar la fuerza a lo largo de una
determinada curva , es decir, debe calcularse la integral de línea:
(*)
que, si y son los puntos en el espacio tridimensional con que empieza y acaba Crespectivamente, y se designamos la función nos quedará
Llamando y . Ahora, partiendo de (*) ahora tenemos que
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que con una simple inspección concluimos que es:
Ahora obtenemos pues . El escalar − ϕ( x) se llama energía
potencial en x, y vemos que su suma con el escalar k(x) tiene que mantenerse constante, ha
de ser la misma. En el caso del campo gravitatorio,tenemos que
con r = ( x2 + y2 + z2)1 / 2. El vector unitario de dirección puede ser puesto , así que:
Y este campo de fuerza es obviamente un gradiente de ,que es la
función potencial. Con esto queda pues demostrado que el campo gravitatorio es
conservativo (la energía mecánica, en ausencia de otras fuerzas externas, ha de
conservarse). La demostración para el caso del campo eléctrico es análoga con pocos
matices (la fuerza puede ser atractiva o repulsiva, y cargas iguales se reepelen, mientras queen el campo gravitatorio sólo hay atracción).
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