7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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UNIDAD VI : AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Ejercicio 1
1. Encontrar las ecuaciones caractersticas de las siguientes matrices:
a) [3 08 1]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[3 08 1]
223=0Ec .Caracteristica
b) [10 94 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[10 94 2]
28+16=0Ec .Caracteristica
c) [0 34 0]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[ 3
4 ]
212=0Ec . Caracteristica
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) [2 71 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[2 71 2 ]
2+3=0Ec .Caracteristica
e) [0 00 0 ]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[ 00 ]
2=0Ec .Caracteristica
!) [1 00 1 ]
(A . In )=[1 0
0 1]
22+1=0Ec . Caracteristica
". Encontrar los autovalores de las matrices del ejercicio 1
a) A#
[3 0
8 1]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[3 08 1]
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det(A . In )=(3 ) (1 ) 0=0
=3 , =1 autovalores
b) A=[10 94 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[10 94 2]
det
(A . I
n )=(10) (2 )+36=0
28+16=0
(4)(4)=0
(4 )2=0
=4 autovalor
c) A=[0 34 0 ]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[ 34 ]
det(A . In )=212=0
1(+2 3)(23)
=23 , =23 autovalores
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) A=[2 71 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[2 71 2 ]det(A . In )=
2+3=0
Nohay autovalores reales
La matriz caracteristica sera (A . I
n )
(A . In )=[ 00 ]det(A . In )=() ( ) 0=0
=0 autovalor
!) A=[1 00 1]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[1 00 1]
det(A . In )=(1 ) (1 )=0
(1 )2=0
=1 autovalor
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$. Encontrar bases para los autovectores de las matrices del ejercicio 1
a) A# [3 08 1]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[3 08 1] det(A . In )=(3 ) (1 ) 0=0
=3 , =1 autovalores
b) A=[10 94 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[10 94 2]
det(A . In )=(10) (2 )+36=0
28+16=0
(4)(4)=0
(4 )2=0
=4 autovalor
(AI) ..Cuado =4
(AI) ..Cuado =3
(AI)=
[0 0
8 4]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 120 0
]x
1x=0 (1 )
(AI) ..Cuado =1
(AI)=
[4 0
8 0
]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 00 0]x =0 1
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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(AI)=[6 94 6]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 320 0
]x
1
3
2x
2=0 (1 )
De la ecuacin 1 del sistema (1)
encontramos con la variablex
1:
x1=
3
2x
2x=(
3
2x
2
x2
)
c) A=[0 34 0 ]
La matriz caracteristica sera
(A . In )
(A . In )=[ 34 ]
det(A . In )=212=0
1(+23)(23)
=23 , =23 autovalores
(AI) ..Cuado =23
(AI)=
[
23 3
4 23]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 320 0
]x
1+
3
2x
2=0
(1
)
(AI) ..Cuado =2
(AI)=
[
23 3
4 2
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 320 0
]x
1
3
2x
2
=0 (1
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) A=[2 71 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
Nohay autovalores reales
Sin los autovalores no se puede hallar los autovectores
(A . In )=[2 71 2 ]det(A . In )=
2+3=0
e) A=[0 00 0]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=
[ 0
0 ]det(A . In )=() ( ) 0=0
=0 autovalor
(AI) ..Cuado =0
(AI)=
[0 0
0 0
]
%% (AI)
%% rref(AI)
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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[0 00 0]x=(x1x
2)
!) A=[1 00 1]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[1 00 1]det(A . In )=(1 ) (1 )=0
(1 )2=0
=1 autovalor
(AI) ..Cuado =1
(AI)=[0 00 0]
%% (AI)
%% rref(AI)
[0 00 0]x=(
x1x
2)
&. Determinar las ecuaciones caractersticas de las siguientes matrices:
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a) [ 4 0 12 1 02 0 1 ] La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[4 0 12 1 02 0 1]
362+116=0Ec . caracteristica
b)
[3 0 5
15
1 0
1 1 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=
[
3 0 51
51 0
1 1 2
]
32=0Ec . caracteristica
c) [2 0 16 2 019 5 4 ]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[2 0 16 2 019 5 4]
3+8 2++8=0Ec . caracteristica
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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d) [1 0 11 3 04 13 1] La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[1 0 11 3 04 13 1 ]
322=0Ec . caracteristica
e) [ 5 0 11 1 07 1 0] La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=
[5 0 1
1 1 0
7 1
]362+128=0Ec . caracteristica
f) [5 6 20 1 81 0 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[5 6 20 1 81 0 2 ]
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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32215+36=0Ec . caracteristica
'. btener los autovalores de las matrices del ejercicio !.
a) A=[ 4 0 12 1 02 0 1] La matriz caracteristica sera (A . In )
A . In=
4 0 1
2 1 0
det(A . In )=( 4 ) (1 ) (1 ) {(1 ) (1 ) (2 )}=0
(4 ) (1 ) (1)+{2 (1 ) }=0
(1 )2{(1 ) (4 )+2}=0
(1 )2{(25+6)}=0
det(A . In )=(3 )+2=0
(1)()(2)(+2)=0
b) A=[3 0 51
51 0
1 1 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
3 0 5
c) [2 0 16 2 019 5 4 ]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=2 0 16 2 0
det(A . In )=(3 )828=0
(( )21) (+8)=0
=8 autovalor
) [1 0 11 3 04 13 1]La matriz caracteristica sera (A . In )
A . I =1 0 1
det(A . In )=(3 )+2++2=0
((2 )1)(2)=0
=2 autovalor
e) [ 5 0 11 1 07 1 0] La matriz caracteristica sera (A . In )
A . I =5 0 1
1 1 0
det(A . In )=(3 )+6212+8=0
1 (2 ) (2 ) (2 )=0
(1 ) (2 )3=0
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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(. "alle las bases de los autoespacios de las matrices del ejercicio !
aA=
[ 4 0 12 1 02 0 1]
=1, =2,=3 autovalores
(AI) ..Cuado =1
(AI)=[ 3 0 12 0 02 0 0]%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0 0
0 0 10 0 0
]x1=0
x3=0 (1 )
!) [5 6 2
0 1 81 0 2]
La matriz caracteristica sera (A . In )
5 6 2
det(A . In )=(3 )+62+1536=0
1 (+ 4 ) (3 ) (3 )=0
(1 ) (+4 ) (3 )2=0
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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#De la ecuacin $ del sistema (1)encontramos con la variablex
3:
% de la ecuacin
1 del sistema (1)la variablex
1
x3=0 , x1=0x=
(0
x20)
(AI) ..Cuado =2
(AI)=[ 2 0 12 1 02 0 1]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0 1
2
0 1 10 0 0
]x1+
1
2x3=0
x2x3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1)encontramos con la variablex
2:
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variablex
1:
x2=x3, x1=1
2x3x=(
1
2x
3
x3
x3
)
(AI) ..Cuado =3
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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(AI)=[ 1 0 12 2 02 0 2]%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0 00 1 10 0 0
]x
1+x
3=0
x2x
3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1)encontramos con la variable x2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variablex
1:
x2=x
3, x
1=x
3x=(
x3
x3
x3
)
b) A=
[3 0 51
5 1 0
1 1 2]=0 , =2 , =2 ,
(AI) ..Cuado =0
(AI)=
[3 0 51
5 1 01 1 2]%% (AI)
%% rref(AI)
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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[
1 0 5
3
0 1 1
3
0 0 0
]x15
3x
3=0
x2
1
3x
3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1) encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variablex
1:
x1=5
3x3 , x2=
1
3x3x=(
0x
2
0 )
(AI) ..Cuado =2
(AI)=[2+ 3 0 5
1
521 0
1 1 22]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0 5215
7
0 0 22+1
7
0 0 0 ]
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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x15215
7x
3=0
x2+
22+17
x3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1) encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variablex
1:
x1=
52+157
x3
, x2=
2217
x3
,
x=
(52+15
7x
3
22
1
7 x3
x3 )(AI) ..Cuado =2
(AI)=[2+3 0 5
1
5 21 0
1 1 22]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0 5215
7
0 0 22+1
7
0 0 0]
x1+
52157
x3=0
x2+
22+17
x3=0 (1 )
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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#De la ecuacin $ del sistema (1) encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la
variablex
1:
x1=52
+15
7 x3 , x2=22
1
7 x3 ,
x=(52+15
7x
3
2217
x3
x3
)c) [
2 0 16 2 019 5 4 ]
=8 autovalor
(AI) ..Cuado =8
(AI)=[ 6 0 16 6 019 5 4
]%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0
1
6
0 1 1
6
0 0 0 ]x
1+
1
6x
3=0
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
18/33
x2+
1
6x
3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1) encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variable
x1
:
x1=1
6x
3,
x2=1
6x
3,
x=
(1
6x
3,
16
x3
,
x3
, )) [1 0 11 3 04 13 1]
=2 autovalor
(AI) ..Cuado =2
(AI)=[3 0 11 1 04 13 3]%% (AI)
%%
rref(AI)
[1 0 1
3
0 1 1
3
0 0 0]
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
19/33
x1
1
3x
3=0
x2
1
3x
3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1) encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variablex
1:
x1=
1
3x
3,
x2=1
3x3,
x=(1
3x
3,
1
3x
3,
x3
,)
e) [ 5 0 11 1 07 1 0] =2 autovalor (AI) ..Cuado =2
(AI)=[ 3 0 11 1 07 1 2]%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0 1
3
0 1 1
3
0 0 0]
#De la ecuacin $ del sistema (1)
encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)
encontramos con la variablex
1:
x1=1
3x
3,
x2=1
3x
3,
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
20/33
x1+
1
3x
3=0
x2+
1
3x
3=0 (1 )
!) [5 6 20 1 81 0 2]
=4,=3 autovalores
(AI) ..Cuado =4
(AI)=[9 6 20 3 81 0 2]
%% (AI)
%% rref(AI)
[
1 0 2
0 1 8
3
0 0 0
]x1+2x3=0x
2
8
3x
3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1) encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variablex
1:
x1=2x3 , x2= 8
3x
3,
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
21/33
, x=(2x
3,
8
3x
3,
x3
,) ,
(AI) ..Cuado =3
(AI)=[2 6 20 4 81 0 5 ]
%% (AI)
%% rref(AI)
[1 0 50 1 2
0 0 0]x
15x
3=0
x2+2x
3=0 (1 )
#De la ecuacin $ del sistema (1)
encontramos con la variablex
2 :
#De la ecuacin 1 del sistema (1)
encontramos con la variablex
1:
x1=5x
3, x
2=2x
3
, x=( 5x
3,
2x3
,
x3
,)*. Determinar las ecuaciones caractersticas de las siguientes matrices:
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
22/33
a) [0 0 2
1 0 1
0 1 2
0
0
0
0 0 0 1]
(A . In )=[ 0 2
1 10 1 2
0
0
0
0 0 0 1]
(1 )2 (+2 ) (+1 )=0
4+332+2=0Ecuacincaracteristica
b) [10 9 04 2 00 0 2
0
0
7
0 0 1 2]
(A . In )=
[10 9 0
4 2 0
0 0 2
0
0
70 0 1 2
]
(4 )2 (2+ 3 )=0
483+19224+48=0Ecuacincaracteristica
+. Determinar los autovalores del ejercicio &
a) [0 0 2
1 0 1
0 1 2
0
0
0
0 0 0 1] (A . In )=[
0 21 10 1 2
0
0
0
0 0 0 1]
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
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det(A . In )=4+3 32+2=0
(1 ) (1 ) (1 ) (+1 ) (+2 )=0
(1 )2 (+1 ) (+2 )=0
=1, =1,=2 autovalores
b)
[10 9 04 2 0
0 0 2
0
0
70 0 1 2]
(A . In )=[10 9 0
4 2 00 0 2
0
0
7
0 0 1 2 ]
det(A . In )=4 +83+52+ 88176=0
(1 ) (4 ) (4 )(+11 )(11)=0
(4 )2 (+11)(11)=0
=4 , =11=11autovalores
,. Encontrar bases para los autovectores de las matrices del ejercicio &
a) [0 0 2
1 0 1
0 1 2
0
0
0
0 0 0 1]
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
24/33
Dado que
IA=
[
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1 0
0 1
]
[
0 0 2
1 0 1
0 1 2
0
0
0
0 0 0 1
]=
[
0 21 1
0 1 +2
0
0
0
0 0 0 1
]Sea:det(IA )=(1 )2 (+2 ) (+1 )=0
4+332+2=0Ecuacincaracteristica
Entonces
(1 )2 (+2 ) (+1 )=0
1=2,2=1y 3=1
De modo que
existen 3 eigenespacios de A.Por definicin,
x=[x
1
x2
x3
x4
]Es un eigenvector de Acorrespondiente aA si y slo si x es una
solucin no trivial de det(IA ) ; es decir, de
[ 0 21 1
0 1 +2
0
0
0
0 0 0 1][
x1
x2
x3
x4
]=[0
0
0
0]
Para
1=2
[2 0 21 2 1
0 1 0
0
0
0
0 0 0 3] [
x1
x2
x3
x4
]=[0
0
0
0]
Resolviendo este sistema
se otiene
[1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0
0
0
0
0 1
0 0
0
0][x
1
x2
x3
x4
]=[t
0
t
0]=t[
10
1
0]
B=1
0
Para
2=1
[
1 0 21 1 1
0 1 1
0
0
0
0 0 0 2
][
x1
x2
x3
x4
]=
[
0
0
0
0
]Resolviendo estesistema se otiene[
1 0 2 0 0
0 1 1 0 0
0
0
0
0
0 1
0 0
0
0]
x1x
2 =2 t
t=
21
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
25/33
b) [10 9 04 2 00 0 2
0
0
7
0 0 1 2]
!ase para el eigenespacio
correspondiente a 1=2 :
(1
0
1
0 )!ase para el eigenespaciocorrespondiente a
2=1
: (2
1
1
0)
!ase para el eigenespacio
correspondiente a
3=1
: (00
0
1) ,(23
1
0)
Para
3=1
[ 1 0 2
1 1 10 1 3
0
00
0 0 0 0][x
1
x2
x3
x4]
=
[Resolviendo este sistema seotiene
[1 0 2 0 00 1 3 0 0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0]
x1
x2 =
2 s
3 s=s
2
3+ t
0
0
Dado que483+19 224+48=0Ecuacincaracteristica
Entonces
(4 )2 ( 2+3 )=0
1=4
De modo que
existe un eigenespacio de A.Por definicin,
x=
[x
1
x2x
3
x4]Es un eigenvector de Acorrespondiente aA si y slo si x es una solucin no trivial de
det(IA ); es decir, de
[
10 9 04 +2 0
0 0 +2
0
0
7
0 0 1 2
] [
x1
x2
x3
x4
]=
[
0
0
0
0
]
7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)
26/33
1-. 'or inspeccin halle los autovalores de las siguientes matrices:
a) [1 69 5]
La matriz caracteristica sera (A . In )
1 6
9
(A . In )=[ ]
det(A . In )=(1 ) (5 )54=0
Resolviendo este sistema se otiene
[1 1.5 0 0 00 0 1 0 0
0
0
0
0
0 1
0 0
0
0
][x
1
x2
x3
x4]=[
3
2t
t
0
0]=t[
3
2
1
0
0]
B1=
{(3
2
1
0
0 )}
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=9.873999999999999 , =5.874 autovalores
b)
[ 3 0 0
2 7 04 8 1 ]
La matriz caracteristica sera (A . In )
(A . In )=[3 0 02 7 04 8 1 ]
det(A . In )=(3 ) (7 )(1)=0
=3 , =7,=1 autovalores
c)
[
13
0 0 0
0 1
30 0
0 0 1 00 0 0
1
2
](A . In )=
[
13
0 0 0
0 1
3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2
]
det(A . In )=(13 )2
(1)( 12)=0
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=
13
, =1,=1
2autovalores
11. Encontrar los autovalores de *
+ [1 3 7
0 1
23
0 0 0
11
8
4
0 0 0 2]
Dado que
IA=[
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1 0
0 1][
1 3 7
0 1
23
0 0 0
11
8
4
0 0 0 2]=[
1 3 7
0 1
23
0 0
1184
0 0 0 2]
Sea:
det(IA )=0
det[1 3 7
0 1
23
0 0
1184
0 0 0 2 ]=0(12 ) ( ) (2 )=0
483+19224+48=0Ecuacincaracteristica
(12 ) (
) (2 )=0
1=0,
2=
1
2y
3=2
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De modo que 1=09=0 ,
2=( 12 )
9
= 1
512y
3=29=512 son eigenvalores de
A9
1". Encontrar los autovalores % bases para los autoespacios de $,para
+ [1 2 21 2 11 1 0]Dado que
IA=
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
[
1 2 21 2 1
1
1 0
]=
[
+1 2 21 2 1
1 1
]Sea:det(IA )=0det[+1 2 21 2 1
1 1 ]=0(+1 )[(2 ) ( )(1 ) (1 )](2 )[(1 ) ( )(1 ) (1 )]+(2 )[(1 ) (1 )(1 ) (2 )]=0
(+1 )[22+ 1 ](2 )[+1 ]+(2 )[+ 1 ]=0
322+1+222+2=0
322+1=0Ecuacincaracteristica
Entonces
(+1 ) (1 )2=0
1=1,
2=1
"De modo queexisten 2 eigenespacios de A.
Por definicin,
x=
[x1x
2
x3]
Es un eigenvector de Acorrespondiente a A si y slo si x es una solucin
no trivial de det(IA ) ; es decir, de
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[+1 2 21 2 11 1 ] [
x1
x2
x3]=[000]
Para
1=1
[ 0 2 21 3 11 1 1] [
x1
x2
x3]=[000]
Resolviendo este sistema se otiene
[1 0 2 00 1 1 00 0 0 0
]
[x1
x2
x3]=[
2 t
tt]=t[
2
11]
B1={( 211)}
Para 2=1
[ 2 2 21 1 11 1 1
][x1x2x3]=[000]
Resolviendo este sistema se otiene
[1 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0]
[x1x2x3]=[stst]=s [110]+t[101]
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B2={(110) ,(
10
1)}
De modo que 1= (1 )25=1 , 2=(1 )25=1 son eigenvalores de A
25
!ase para el eigenespacio correspondiente a
1=1
: ( 211)
!ase para el eigenespacio correspondiente a
2=1
: (110) ,(10
1)
1$. Sea una matri- de orden $ $. /a recta 0ue pasa por el origen de $es
invariante bajo si est2 sobre la recta cuando tambi3n lo est2.
Encontrar las ecuaciones de las rectas en $ en caso de verlas 0ue son
invariantes bajo las matri- dada.
1&. Encontrar det() dado 0ue tiene p ( ) como su polinomio
caracterstico.
a) p (
) +
3
2
2
++5
El polinomio caracteristico de A esP( )=et(AI) "
P( )=n+c1
n1++cn=0
#omocn ! 0 , la matri$ A es invertile, entonces %aciendo =0
Resulta:
et(A )=cn o (1)net(A )=cn
entonces(1 )net(A )=cn
(1 )net(A )=5
et(A )=5
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b) p ( ) + 43+7
El polinomio caracteristico de A esP( )=et(AI) "
P( )=n+c1n1++cn=0
#omocn ! 0 , la matri$ A es invertile, entonces %aciendo =0
Resulta:
et(A )=cn o (1)net(A )=cn
entonces
(1 )net(A )=cn
(1 )net(A )=7
et(A )=7
1'. Sea una matri- n n
a) Demostrar 0ue el polinomio caracterstico de es grado n
Si et(AI) es un polinomio en &" Puede mostrarse que si
A es una matri$ de n ' n, entonceset(AI)
es un polinomio degrado n"Es decir, en el desarrollo de la determinante de una matri$ de nxn,
cada termino es un producto de n elementos de la matri$, el cual tiene
exactamente un elemento en cada fila (renglon) y un elemento en
cada columna" En consecuencia, si desarrollamos et(AI) ,
otenemos un polinomio de grado n
b) Demostrar 0ue el coe4ciente de n
en el polinomio caracterstico es
1.
*a expresion relacionada con n
en el polinomio caracteristico de A
proviene del producto
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(a11 )( a22 ) (ann )
De modo que el coeficiente n=1
15. Desmostrar 0ue la ecuacin caracterstica de una matri- de orden $$ se
puede epresar como 2tr (A )+det(A )=0 .
1&. 6sando el resultado del ejercicio 15 demostrar 0ue si + [a "c d] entonces las soluciones de la ecuacin caracterstica de son
=1
2
[ (a+d ) #(ad)2+4 "c ]
6sando el resultado anterior demostrar 0ue
a) tiene dos autovalores reales distintos si (ad )2+4 "c 7 8
b ) tiene un autovalor real si (ad )2+ 4 "c + 8
c ) 9o tiene autovalores reales si (ad )2+4 "c 8
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