FI-UAEMex. Calculo 2, grupo 02. Ejercicios 01. Funciones vectoriales y derivadas de Iunciones vectoriales.1. Dibuje la curva representada por la Iuncion vectorial r (t )=2cos3(t )i +2sen3(t )f,yde la orientacion dela curva.Respuesta. La curva se muestra en la figura 1, es una astroide que comien:a en la parte positiva del efe X v 'avan:a hacia` la parte positiva del efe Y. La ecuacion cartesiana de esta astroide es.x2/3+v2/ 3=22/ 3.2. Dibuje la curva representada por la Iuncion vectorial r (t )=(-t +1)i +( 4t +2)f +( 2t+3) k, y de la orientacion de la curva.Respuesta. La curva, una recta, se muestra en la figura 2. Dos planos que contienen a la recta son (es decir, una representacion bisuperficial de la recta). 4 x+v-6=0 2 x+:-5=0Figura 1 Figura 23. Dibuje la curva enelespaciorepresentada por la interseccion de las superIiciesx2+v2=4:=x2. Despues represente la curva por medio de una Iuncion vectorial usando el parametro x=2 sen(t ) .Respuesta. Usando la parametri:acion propuesta para x, una funcion vectorial que proporciona la curva es.f (t )=( 2sen(t ) , 2cos(t ) , 4 sen2(t )). Puesto que se trata de una curva cerrada, se puede buscar el dominio de la funcion con el que la curva se dibufe una ve:, por simple inspeccion, tal intervalo es. t -| 0,2n . En la figura 3 se muestran las superficies dadas, v la curva de interseccion.4. Dibuje la curva plana representada por la Iuncion vectorial r (t )=(1+t )i +t3fy dibujar los vectores r (t0) r (t0) , para t0=1. Coloque los vectores de manera que el punto inicial de r (t0) este en el origen y el punto inicial de r (t0) este en el punto Iinal de r (t0) .Que relacion hay entre r (t0) y la curva?Respuesta. En la figura 4 se muestra la curva descrita por r (t ) . Ademas, r (1)=2i +f. Derivando la funcion r (t ) se obtiene r (t )=i +3t2f, asi que, r (1)=i +3 f. En la misma figura se muestra los vectores anteriores tal v como se piden (se puede observar que el vector r (t0) 'parece` tangente a la curva en el punto que corresponde con r (t0) ).Figura 3 Figura 4Jose Luis Nuez Mejia. Abulico IA pag.1 de 2FI-UAEMex. Calculo 2, grupo 02. Ejercicios 01. Funciones vectoriales y derivadas de Iunciones vectoriales.5. Para la Iuncion r (t )=(cos(t )+t sen(t ) , sen(t )-t cos( t ) , t ) , halle r (t ) r (t )r (t ) .Respuesta. r (t )=( t cos(t ) , t sen(t ) , 1), r (t )=( cos(t )-t sen(t ) , sen(t )+t cos(t ) , 0)v, de los dos resultados anteriores, r (t )r (t )=t .6. Halle el (los) intervalo (s) abierto (s) en que la curva dada por la Iuncion r (t )=2t8+t3 i +2t28+t3 f es suave.Respuesta. Para cumplir con las condiciones de curva suave. el intervalo de variacion de t (para que la funcion tenga componentes en los numeros reales) debe ser cualquiera que no contenga a las raices, reales, del termino8+t3, esto es t =-2, ademas,se tiene que cumplir |r (t )|=0, lo cual lleva a la misma condicion ( t =-2).7. Use las propiedades de la derivada para encontrar lo siguiente: a) r (t ) b) r (t ) c) Dt( r (t )u(t ))d) Dt( 3r (t )-u(t )) e) Dt( r (t )u(t )) I) Dt(|r (t )|) , t >0. Si las Iunciones vectoriales son:r (t )=ti +2 sen(t )f +2cos(t )k u(t )=1t i +2 sen(t )f +2cos(t )kRespuesta. a)r (t )=(1 , 2cos(t ) ,-2 sen(t )) b)r (t )=(0 ,-2 sen(t ) ,-2cos(t ))c) Dt( r (t )u(t ))=0d) Dt( 3r (t )-u(t ))=(3+1t2 , 4cos(t ) ,-4 sen(t ))e)Dt( r (t )u(t ))= 1t2 (0,( 2t3-2t ) sen(t )+(-2t2-2)cos(t ) , (2t2+2) sen(t )+( 2t3-2t ) cos(t ))f)Dt(|r(t )|)=t.4+t2.Los archivos, en Winplot, de las Iiguras 3 y 4 estan aqui.Algunas de la operaciones, en Maxima, que se hicieron para resolver los problemas estan aqui.Jose Luis Nuez Mejia. Abulico IA pag.2 de 2